Плоский конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделённых небольшим зазором шириной , заполненным однородным диэлектриком.
Нам известно, что поле между двумя разноимённо заряженными пластинами с одинаковой по величине поверхностной плотностью равно, где,S– площадь каждой пластины. Напряжение между обкладками:
Используя определение емкости конденсатора, получаем:
Отметим, что полученная формула является приближенной, так как выведена без учета искажения поля у краев пластин. Расчет по этой формуле дает завышенное значение ёмкости и тем точнее, чем меньше зазор по сравнению с линейными размерами пластин.
Ёмкость сферического конденсатора.
Сферический конденсатор представляет
собой систему двух концентрических
сфер с радиусами
и.
Электрическое поле между обкладками
сферического конденсатора согласно
теореме Гаусса определяется зарядом
внутренней сферы. Напряжение между
обкладками равно:
.
Для ёмкости сферического конденсатора получаем:
Это формула точная.
Если , полученная формула переходит в выражение для ёмкости плоского конденсатора.
Ёмкость цилиндрического конденсатора.
Цилиндрический конденсатор составляет систему двух коаксиальных цилиндров с радиусами и, длиной.
Рассуждая аналогично выводу ёмкости сферического конденсатора, получаем:
..
Полученная формула является приближенной и при малом зазоре переходит в формулу емкости плоского конденсатора.
Соединение конденсаторов.
В практике для получения необходимых значений емкости используют соединения конденсаторов: а) последовательное, б) параллельное, в) смешанное (см. рисунок).
Ёмкость последовательного соединения конденсаторов.
Заряды последовательно соединенных конденсаторов равны , а напряжение на батарее. Из определения емкости следует:
Если , то(ёмкость последовательного соединения меньше наименьшей ёмкости в последовательном соединении).
Для последовательно соединенных конденсаторов емкость вычисляется по формуле:
Ёмкость параллельного соединения конденсаторов.
Заряд батареи равен сумме зарядов:
а напряжение . По определению емкости получаем:
Для параллельно соединенных конденсаторов:.
В случае одинаковых конденсаторов: .
Оценить
емкость батареи (см. рисунок)
.
Используя свойство бесконечности можно представить цепь в виде соединения (см. рисунок).
Для расчета ёмкости батареи получаем:
Откуда: , так как, то.
Лекция 7.
Диэлектрики в электрическом поле.
Диэлектриками (изоляторами) называют вещества, не проводящие постоянного электрического тока. Это означает, что в диэлектриках отсутствуют «свободные» заряды, способные перемещаться на значительные расстояния.
Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки. Сами же молекулы могут быть полярными инеполярными. Полярные молекулы обладают дипольным моментом, у неполярных молекул дипольный момент равен нулю.
Поляризация.
В электрическом поле диэлектрики поляризуются. Это явление связано с появлением в объеме и на поверхности диэлектрика «связанных » зарядов. При этом конечный объем диэлектрика приобретает дипольный момент. Механизм поляризации связан с конкретным строением диэлектрика. Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов – положительных по полю, отрицательных против поля, т.е. молекулы, приобретают дипольный момент. У диэлектрика с полярными молекулами в отсутствии внешнего электрического поля их дипольные моменты ориентированы хаотично.
Под действием электрического поля
диполи ориентируются преимущественно
в направлении поля. Рассмотрим подробнее
этот механизм (см. рисунок). Пара сил
исоздает
вращательный момент равный,
где-
дипольный момент молекулы. Этот момент
стремится ориентировать диполь вдоль
поля. В ионных кристаллах под действием
электрического поля все положительные
ионы смещаются по полю, отрицательные
– против поля. Отметим, что смещение
зарядов очень малы даже по сравнению с
размерами молекул. Это связано с тем,
что напряженность внешнего электрического
поля обычно много меньше напряженности
внутренних электрических полей в
молекулах.
Отметим, что существуют диэлектрики, поляризованные даже при отсутствии внешнего поля (электреты, сегнетоэлектрики). Мы остановимся на рассмотрении только однородных диэлектриков, в которых отсутствует остаточная поляризация, а объемный и «связанный» заряд всегда равен нулю .
КОНДЕНСАТОР - означает накопитель. В радио и электронной аппаратуре конденсатор является накопителем электрических зарядов. Простейший конденсатор состоит из двух металлических пластинок разделенных слоем диэлектрика. Диэлектрик - это материал который не проводит электрического тока и обладает определенными свойствами о которых поговорим чуть позже.
Так как конденсатор является накопителем, то он должен
обладать определенной емкостью (объемом для накопления
зарядов). На емкость конденсатора влияют площадь пластин
(еще их называют "обкладками"), расстояние между обкладками
и качество диэлектрика. К хорошим диэлектрикам
относятся вакуум, эбонит, фарфор, слюда, полиэтилен,
текстолит и много других синтетических материалов.
На рисунке изображен простейший конденсатор
с двумя параллельными обкладками площадью S
(S = m * n), которые находятся в вакууме на расстоянии d друг
от друга.
Если между верхней и нижней обкладками конденсатора
приложить напряжение Uab, то на верхней и нижней обкладках
конденсатора накопятся одинаковые положительный +q и
отрицательный -q заряды, которые называют свободными. Между
обкладками возникает электрическое поле обозначенное на рисунке
буквой Е.
Емкость нашего конденсатора (обозначается буквой С) будет:
С = Eo*S/d, где Ео - электрическая постоянная (для вакуума)
Ео=8,854 * 10 -12 Ф/м (Фарад на метр).
Если между обкладками поместить диэлектрик,
то ёмкость конденсатора
будет: С = Er * Eo *S / d. В формуле расчета ёмкости добавилась
величина Er - относительная диэлектрическая проницаемость
введённого диэлектрика.
Из формулы следует, что емкость конденсатора увеличивается на
величину Er проницаемости диэлектрика. Итак, чем больше площадь
S пластин конденсатора, больше значение Er и меньше расстояние
d между пластинами, тем больше емкость конденсатора.
Основной единицей емкости в системе единиц СИ является фарад
(Ф). Емкость 1Ф очень велика. В электротехнике обычно
используют дольные единицы емкости:
микрофарада (мкФ), 1мкФ = 1*10 -6 Ф,
нанофарада (нФ), 1нФ = 1*10 -9 Ф, и
пикофарада (пФ), 1пФ = 1*10 -12 Ф.
При выборе диэлектрика для конденсаторов, кроме относительной
диэлектрической проницаемости диэлектрика, учитывают еще два
важных параметра:
1) Электрическую прочность - прочность диэлектрика при подаче
на прокладки конденсатора высокого напряжения. При низкой
электрической прочности может произойти электрический пробой,
и диэлектрик станет проводником электрического тока;
2) Удельное объемное сопротивление - электрическое
сопротивление диэлектрика постоянному току. Чем больше удельное
сопротивление диэлектрика, тем меньше утечка накопленных
зарядов в конденсаторе.
КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА. На графике накопление заряда конденсатором выглядит как показано на рисунке 1.
Время заряда конденсатора зависит от ёмкости конденсатора (при одинаковом приложенном напряжении). Чем больше ёмкость конденсатора, тем больше время заряда. Аналогичная картина (Рис. 2) наблюдается при разрядке конденсатора на сопротивление. При одинаковом сопротивлении время разряда больше у конденсатора с большей ёмкостью.
КОНДЕНСАТОР В ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА. Если напряжение приложенное к емкостному элементу, будет изменяться по амплитуде (переменное напряжение),то будет изменяться и заряд конденсатора, то есть в емкостном элементе появится ток.
Ток Ic проходящий через конденсатор зависит от
частоты f приложенного переменного напряжения и ёмкости С
конденсатора. Если для постоянного тока сопротивление
конденсатора можно считать равным бесконечности, то для
переменного тока конденсатор обладает определённым
сопротивлением. Сопротивление конденсатора переменному току
Rc рассчитывается по формуле показанной на рисунке.
В формуле расчета емкостного сопротивления переменному току
частота выражается в герцах, а емкость конденсатора в
фарадах. Из формулы видно, что с увеличением частоты f при
неизменной емкости конденсатора сопротивление Rc снижается,
аналогично с увеличением емкости конденсатора при неизменной
частоте сопротивление Rc так же снижается.
Конденсаторы, так же как и резисторы, для получения заданной
емкости Со можно включать параллельно и последовательно.
Формулы расчета результирующей емкости показаны на рисунке.
КОНСТРУКЦИЯ, ПАРАМЕТРЫ И ТИПЫ КОНДЕНСАТОРОВ.
Предположим, что мы конструируем конденсатор и попробуем,
уже обладая определенными знаниями, рассчитать емкость
конденсатора. Как известно, емкость конденсатора зависит от
площади обкладок S, расстояния между обкладками d и
диэлектрической проницаемости применяемого диэлектрика Er.
Обкладки конденсатора изготавливаются из металлов с хорошей
электрической проводимостью - алюминий, медь, серебро, золото.
Емкость конденсатора не зависит от толщины обкладок, поэтому
чем тоньше обкладки конденсатора, тем лучше - экономим металл
и уменьшаем геометрический объём конденсатора.
Расстояние d не должно быть слишком малым, во избежание
электрического пробоя диэлектрика.
Выберем в качестве диэлектрика наиболее распространенный
материал - гетинакс с Er равной 6 ... 8. Примем Er для
нашего конденсатора равной 7.
Площадь S вычисляется для одной обкладки конденсатора при условии,
что линейные размеры обкладок одинаковы.
Если одна из обкладок имеет меньшие длину или ширину то площадь
вычисляется для меньшей обкладки.
Все размеры - длина и ширина обкладок и расстояние между ними
должны быть выражены в метрах. Примем размеры такие, какие
показаны на рисунке. Подставим в формулу расчета емкости
конденсатора наши данные: C = Er * Eo * S / d;
C = 7 * 8.854*10 -12 * 0.0025 / 0.001= 0.000000000155Ф (фарады).
Возведем полученный результат в 12 степень чтобы получить
значение емкости в пикофарадах:
C = 0.000000000155 12 = 155пФ.
Полученная нами ёмкость конденсатора 155пф очень мала, обычно
такие ёмкости используются в аппаратуре работающей на высоких
частотах переменного тока порядка 1 - 600 МГц (мегагерц).
Представьте себе, что мы разрабатываем миниатюрный карманный
радиоприемник в котором требуется порядка 30 таких конденсаторов.
Если мы установим в схему 30 разработанных нами конденсаторов,
не считая других необходимых радиодеталей, то наш радиоприемник
никак не получится миниатюрным. Все дело в том, что объём
только наших конденсаторов получится таким, что его никак
нельзя будет назвать приемлемым.
Объем одного конденсатора Vc равен Vc = 5см * 5см * 0,1см
Vc = 2,5см в кубе. Тогда объем 30 конденсаторов будет равен:
V = 30 * 2,5 = 75см в кубе.
Что делать, как быть, как уменьшить геометрический объем
конденсатора для применения в миниатюрной радиоаппаратуре?
Для решения этой проблемы максимально уменьшают расстояние
между обкладками, тогда увеличивается емкость и уменьшается
геометрический объем конденсатора. Но расстояние уменьшают
до определенных пределов иначе конденсатор будет пробиваться
даже при низком напряжении подаваемом на конденсатор. В связи
с этим на каждом конденсаторе указывается напряжение которое
он может выдержать.
Для уменьшения площади обкладок конденсатор делают многослойным
состоящим как бы из нескольких параллельно включенных конденсаторов
(вспомните формулу параллельного включения конденсаторов).
В качестве диэлектрика в миниатюрных конденсаторах используют
тонкие пленки из синтетических материалов, а в качестве обкладок
металлическую фольгу, чаще всего из алюминия.
На корпусе конденсатора, обычно, указывается его тип, емкость и
рабочее напряжение. Остальные параметры конденсатора
определяются из справочников. Емкость конденсатора указывается
не так, как на электрических схемах. Например емкость 2,2пФ
обозначается 2П2, емкость 1500 пФ - 1Н5, емкость 0,1 мкФ - М1,
емкость 2,2 мкФ - 2М2, емкость 10 мкФ - 10М.
У обычных конденсаторов КМ, КД, МБМ и так далее трудно получить
большую ёмкость при малых габаритах поэтому были разработаны
так называемые электролитические конденсаторы у которых в
качестве диэлектрика используется специальная электролитическая
жидкость с очень большим Er. Ёмкость таких конденсаторов может
достигать сотен тысяч микрофарад. К недостатку таких конденсаторов
следует отнести низкое рабочее напряжение (до 500V) и обязательное
соблюдение полярности при включении в схему.
Для настройки и подстройки некоторых типов радиоаппаратуры,
например радиоприемник или телевизор, применяют специальные конденсаторы
с изменяемой ёмкостью.
В зависимости от назначения такие конденсаторы называют "подстроечные"
и "конденсаторы переменной емкости".
Емкость переменных и подстроечных конденсаторов изменяется
механическим способом, путем изменения расстояния между
обкладками или изменения площади пластин. В качестве
диэлектрика в таких конденсаторах используется воздух или
фарфор.
В заключение следует отметить, что в настоящее время, в связи
с бурным развитием радиоэлектроники подстроечные и переменные
конденсаторы практически не применяются. Их с успехом заменяют
специальные фильтры и полупроводниковые приборы которые не
требуют механического изменения параметров.
Характеристика плоского конденсатора, мера его способности накапливать электрический заряд.
Так как поле сосредоточено внутри конденсатора, то линии напряженности начинаются на одной обкладке и кончаются на другой, поэтому свободные заряды, которые возникают на разных обкладках, равны по модулю и противоположны по знаку. Под емкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда Q, накопленного в конденсаторе, к разности потенциалов (φ1 - φ2) между его обкладками
При небольших размерах конденсатор отличается значительной емкостью, не зависящей от наличия вблизи него других зарядов или проводников. Обкладкам конденсатора сообщают одинаковые по модулю, но противоположные по знаку заряды, что способствует накоплению зарядов, так как разноименные заряды притягиваются и поэтому располагаются на внутренних поверхностях пластин.
Под зарядом конденсатора понимают заряд одной пластины.
Так же есть:
Энергия конденсатора:
Ёмкость цилиндрического конденсатора: 
Емкость сферического конденсатора:
В формуле мы использовали:
Электрическая ёмкость (ёмкость конденсатора)
Относительная диэлектрическая проницаемость
Электрическая постоянная