בפירמידה משולשת רגילה, אורכי הקצוות ידועים. תכונות בסיסיות של פירמידה רגילה

הַשׁעָרָה:אנו מאמינים שהשלמות של צורת הפירמידה נובעת מהחוקים המתמטיים הטמונים בצורתה.

יַעַד:לאחר שלמדנו את הפירמידה כגוף גיאומטרי, הסבירו את השלמות של צורתה.

משימות:

1. תן הגדרה מתמטית של פירמידה.

2. למד את הפירמידה כגוף גיאומטרי.

3. להבין איזה ידע מתמטי שילבו המצרים בפירמידות שלהם.

שאלות פרטיות:

1. מהי פירמידה כגוף גיאומטרי?

2. כיצד ניתן להסביר את הצורה הייחודית של הפירמידה מנקודת מבט מתמטית?

3. מה מסביר את הפלאים הגיאומטריים של הפירמידה?

4. מה מסביר את השלמות של צורת הפירמידה?

הגדרה של פירמידה.

פִּירָמִידָה (מיוונית pyramis, gen. pyramidos) - רב-הדרון שבסיסו הוא מצולע, ושאר הפרצופים הם משולשים בעלי קודקוד משותף (ציור). בהתבסס על מספר הפינות של הבסיס, הפירמידות מסווגות כמשולשות, מרובעיות וכו'.

פִּירָמִידָה - מבנה מונומנטלי בעל צורה גיאומטרית של פירמידה (לעיתים גם מדורג או בצורת מגדל). פירמידות הן השם שניתן לקברי הענק של הפרעונים המצריים הקדומים של האלף ה-3-2 לפני הספירה. e., כמו גם אדני מקדשים אמריקאים עתיקים (במקסיקו, גואטמלה, הונדורס, פרו), הקשורים לכתים קוסמולוגיים.

ייתכן שהמילה היוונית "פירמידה" באה מהביטוי המצרי per-em-us, כלומר, ממונח שמשמעותו גובה הפירמידה. האגיפטולוג הרוסי המצטיין V. Struve האמין כי ה"פורם...j" היווני מגיע מה-p"-mr המצרי העתיק.

מההיסטוריה. לאחר שלמד את החומר בספר הלימוד "גיאומטריה" מאת מחברי Atanasyan. בוטוזוב ואחרים, למדנו ש: רב-הדרון המורכב מ-n-גון A1A2A3 ... An ו-n משולשים PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 נקרא פירמידה. מצולע A1A2A3...An הוא בסיס הפירמידה, ומשולשים PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 הם פני הצד של הפירמידה, P הוא החלק העליון של הפירמידה, מקטעים PA1, PA2,..., PAn הם הקצוות הצדדיים.

עם זאת, הגדרה זו של פירמידה לא תמיד הייתה קיימת. לדוגמה, המתמטיקאי היווני הקדום, מחברם של חיבורים תיאורטיים על מתמטיקה שהגיעו אלינו, אוקלידס, מגדיר פירמידה כדמות מוצקה המוגבלת על ידי מישורים המתכנסים ממישור אחד לנקודה אחת.

אבל הגדרה זו זכתה לביקורת כבר בימי קדם. אז הרון הציע את ההגדרה הבאה של פירמידה: "זוהי דמות תחומה על ידי משולשים המתכנסים בנקודה אחת ובסיסה הוא מצולע."

הקבוצה שלנו, לאחר השוואה בין ההגדרות הללו, הגיעה למסקנה שאין להן ניסוח ברור של המושג "יסוד".

בדקנו את ההגדרות הללו ומצאנו את ההגדרה של אדריאן מארי לג'נדר, שב-1794 בעבודתו "אלמנטים של גיאומטריה" מגדיר פירמידה באופן הבא: "פירמידה היא דמות מוצקה שנוצרה על ידי משולשים המתכנסים בנקודה אחת ומסתיימים בצדדים שונים של בסיס שטוח."

נראה לנו שההגדרה האחרונה נותנת מושג ברור על הפירמידה, מכיוון שהיא מדברת על העובדה שהבסיס שטוח. הגדרה נוספת של פירמידה הופיעה בספר לימוד מהמאה ה-19: "פירמידה היא זווית מוצקה הנחתכת על ידי מישור".

פירמידה כגוף גיאומטרי.

זֶה. פירמידה היא פולי-הדרון, שאחד מהפנים שלו (בסיס) הוא מצולע, שאר הפרצופים (צלעות) הם משולשים בעלי קודקוד אחד משותף (קודקוד הפירמידה).

הניצב המצויר מראש הפירמידה למישור הבסיס נקרא גוֹבַהחפירמידות.

בנוסף לפירמידה השרירותית, יש פירמידה נכונהשבבסיסו מצוי מצולע רגיל ו פירמידה קטומה.

באיור יש פירמידה PABCD, ABCD הוא הבסיס שלה, PO הוא הגובה שלה.

שטח פנים כולל פירמידה היא סכום השטחים של כל פניה.

Sfull = Sside + Smain,איפה צַד– סכום שטחי פני הצד.

נפח הפירמידה נמצא על ידי הנוסחה:

V=1/3Sbas. ח, שבו סבס. - שטח בסיס, ח- גובה.

הציר של פירמידה רגילה הוא הקו הישר המכיל את גובהה.
Apothem ST הוא גובה פני הצד של פירמידה רגילה.

שטח הפנים לרוחב של פירמידה רגילה מתבטא באופן הבא: סיד. =1/2P ח, כאשר P הוא היקף הבסיס, ח- גובה הפנים הצדדיות (אפותם של פירמידה רגילה). אם הפירמידה נחתכת על ידי המישור A'B'C'D', במקביל לבסיס, אז:

1) הצלעות הצדדיות והגובה מחולקים על ידי מישור זה לחלקים פרופורציונליים;

2) בחתך מתקבל מצולע A'B'C'D', בדומה לבסיס;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

בסיסים של פירמידה קטומה– מצולעים דומים ABCD ו-A`B`C`D`, פני הצד הם טרפזים.

גוֹבַהפירמידה קטומה - המרחק בין הבסיסים.

נפח קטועהפירמידה נמצאת בנוסחה:

V=1/3 ח(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> שטח הפנים לרוחב של פירמידה קטומה רגילה מתבטא באופן הבא: Sside. = ½(P+P') ח, כאשר P ו-P' הם היקפים של הבסיסים, ח- גובה הפנים הצדדיות (תפיסה של פיראמי קטום רגיל

קטעים של פירמידה.

קטעים של פירמידה לפי מישורים העוברים בקודקוד שלה הם משולשים.

קטע העובר דרך שני קצוות רוחביים לא צמודים של פירמידה נקרא חתך אלכסוני.

אם הקטע עובר דרך נקודה בקצה הצד ובצד הבסיס, אזי העקבות שלו למישור בסיס הפירמידה יהיה צד זה.

קטע העובר דרך נקודה השוכבת על פני הפירמידה ועקבות קטע נתון במישור הבסיס, אז הבנייה צריכה להתבצע באופן הבא:

· למצוא את נקודת החיתוך של מישור פנים נתון ואת עקבות החתך של הפירמידה ולציין אותה;

· לבנות קו ישר העובר דרך נקודה נתונה ונקודת החיתוך המתקבלת;

· חזור על שלבים אלה עבור הפרצופים הבאים.

, המתאים ליחס הרגליים של משולש ישר זווית 4:3. יחס זה של הרגליים מתאים למשולש הישר-זוויתי הידוע עם הצלעות 3:4:5, הנקרא המשולש "המושלם", "הקדוש" או "המצרי". לדברי היסטוריונים, המשולש "המצרי" קיבל משמעות קסומה. פלוטארכוס כתב שהמצרים השוו את טבע היקום למשולש "קדוש"; הם השוו באופן סמלי את הרגל האנכית לבעל, את הבסיס לאישה ואת התחתון לזה שנולד משניהם.

עבור משולש 3:4:5, השוויון נכון: 32 + 42 = 52, המבטא את משפט פיתגורס. האם לא את המשפט הזה רצו הכוהנים המצריים להנציח על ידי הקמת פירמידה המבוססת על המשולש 3:4:5? קשה למצוא דוגמה מוצלחת יותר להמחשת משפט פיתגורס, שהיה ידוע למצרים הרבה לפני גילויו על ידי פיתגורס.

לפיכך, היוצרים המבריקים של הפירמידות המצריות ביקשו להדהים צאצאים רחוקים בעומק הידע שלהם, והם השיגו זאת על ידי בחירת המשולש הימני "הזהוב" כ"רעיון הגיאומטרי העיקרי" לפירמידת צ'אופס, ו"הקדושה" או "מצרי" עבור פירמידת ח'פר.משולש.

לעתים קרובות מאוד במחקר שלהם, מדענים משתמשים במאפיינים של פירמידות עם פרופורציות של יחס הזהב.

המילון האנציקלופדי המתמטי נותן את ההגדרה הבאה של חתך הזהב - זוהי חלוקה הרמונית, חלוקה ביחסים קיצוניים וממוצעים - חלוקת הקטע AB לשני חלקים באופן שהחלק הגדול שלו AC הוא היחס הממוצע בין הקטע כולו AB וחלקו הקטן יותר NE.

קביעה אלגברית של חתך הזהב של קטע AB = אמפחית לפתרון המשוואה a: x = x: (a – x), שממנה x שווה בערך ל-0.62a. ניתן לבטא את היחס x כשברים 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618, כאשר 2, 3, 5, 8, 13, 21 הם מספרי פיבונאצ'י.

הבנייה הגיאומטרית של חתך הזהב של הקטע AB מתבצעת באופן הבא: בנקודה B, משחזר מאונך ל-AB, מונח עליו הקטע BE = 1/2 AB, A ו-E מחוברים, DE = BE מפוטר ולבסוף AC = AD, אז השוויון AB מתקיים: CB = 2:3.

יחס הזהב משמש לעתים קרובות ביצירות אמנות, אדריכלות, ונמצא בטבע. דוגמאות חיות הן הפסל של אפולו בלוודר והפרתנון. במהלך בניית הפרתנון נעשה שימוש ביחס בין גובה המבנה לאורכו ויחס זה הוא 0.618. חפצים מסביבנו מספקים גם דוגמאות ליחס הזהב, למשל, לכריכות של ספרים רבים יש יחס רוחב-אורך קרוב ל-0.618. בהתחשב בסידור העלים על הגבעול המשותף של הצמחים, ניתן לשים לב שבין כל שני זוגות עלים השלישי ממוקם ביחס הזהב (מגלשות). כל אחד מאיתנו "נושא" את יחס הזהב עמנו "בידינו" - זה היחס בין הפלנגות של האצבעות.

הודות לגילוי של כמה פפירוסים מתמטיים, אגיפטולוגים למדו משהו על מערכות החישוב והמדידה המצריות הקדומות. המשימות הכלולות בהן נפתרו על ידי סופרים. אחד המפורסמים שבהם הוא הפפירוס המתמטי של הרינד. על ידי לימוד הבעיות הללו למדו האגיפטולוגים כיצד התמודדו המצרים הקדמונים עם הכמויות השונות שהתעוררו בעת חישוב מדדים של משקל, אורך ונפח, שלעתים קרובות כללו שברים, וכן כיצד הם התמודדו עם זוויות.

המצרים הקדמונים השתמשו בשיטה של ​​חישוב זוויות המבוססת על היחס בין הגובה לבסיס של משולש ישר זווית. הם ביטאו כל זווית בשפה של שיפוע. שיפוע השיפוע בא לידי ביטוי כיחס מספרים שלמים שנקרא "סוד". במתמטיקה בעידן הפרעונים, ריצ'רד פילינס מסביר: "הסקד של פירמידה רגילה הוא הנטייה של כל אחד מארבעת הפרצופים המשולשים למישור הבסיס, הנמדדת במספר ה-n של יחידות אופקיות ליחידת עלייה אנכית. . לפיכך, יחידת מדידה זו מקבילה לקוטנגנט המודרני שלנו של זווית הנטייה. לכן, המילה המצרית "סוד" קשורה למילה המודרנית שלנו "שיפוע".

המפתח המספרי לפירמידות נמצא ביחס בין גובהן לבסיס. מבחינה מעשית, זו הדרך הקלה ביותר להפוך את התבניות להכרחיות כדי לבדוק כל הזמן את זווית הנטייה הנכונה לאורך בניית הפירמידה.

אגיפטולוגים ישמחו לשכנע אותנו שכל פרעה השתוקק לבטא את האינדיבידואליות שלו, ומכאן ההבדלים בזוויות הנטייה לכל פירמידה. אבל יכולה להיות סיבה אחרת. אולי כולם רצו לגלם אסוציאציות סמליות שונות, חבויות בפרופורציות שונות. עם זאת, זווית הפירמידה של ח'פר (המבוססת על המשולש (3:4:5) מופיעה בשלוש הבעיות שמציגות הפירמידות בפפירוס המתמטי של הרינד). אז הגישה הזו הייתה מוכרת היטב למצרים הקדמונים.

כדי להיות הוגנים כלפי האגיפטולוגים הטוענים שהמצרים הקדמונים לא היו מודעים למשולש 3:4:5, אורך ההיפוטנוזה 5 מעולם לא הוזכר. אבל בעיות מתמטיות המערבות פירמידות נפתרות תמיד על בסיס זווית הסדקה - היחס בין גובה לבסיס. מאחר שאורך התחתון מעולם לא הוזכר, הסיק כי המצרים מעולם לא חישבו את אורך הצלע השלישית.

יחסי הגובה לבסיס ששימשו בפירמידות גיזה היו ללא ספק ידועים למצרים הקדמונים. ייתכן שהיחסים הללו עבור כל פירמידה נבחרו באופן שרירותי. עם זאת, זה סותר את החשיבות המיוחסת לסמליות המספרים בכל סוגי האמנות המצרית. סביר מאוד שיחסים כאלה היו משמעותיים מכיוון שהם ביטאו רעיונות דתיים ספציפיים. במילים אחרות, מתחם גיזה כולו הוכפף לעיצוב קוהרנטי שנועד לשקף נושא אלוהי מסוים. זה יסביר מדוע המעצבים בחרו בזוויות שונות עבור שלוש הפירמידות.

בתעלומת אוריון הציגו באובל וג'ילבר עדויות משכנעות הקושרות את פירמידות גיזה לקבוצת הכוכבים אוריון, במיוחד כוכבי חגורת אוריון. אותה קבוצת כוכבים קיימת במיתוס של איזיס ואוסיריס, ויש סיבה לראות בכל פירמידה ייצוג של אחת משלושת האלוהויות העיקריות - אוזיריס, איזיס והורוס.

ניסים "גיאומטריים".

בין הפירמידות הגרנדיוזיות של מצרים, היא תופסת מקום מיוחד הפירמידה הגדולה של פרעה צ'אופס (חופו). לפני שנתחיל לנתח את הצורה והגודל של פירמידת צ'אופס, עלינו לזכור באיזו מערכת אמצעים השתמשו המצרים. למצרים היו שלוש יחידות אורך: "אמה" (466 מ"מ), ששווה לשבעה "דקלים" (66.5 מ"מ), אשר, בתורה, הייתה שווה לארבע "אצבעות" (16.6 מ"מ).

הבה ננתח את מימדי פירמידת צ'אופס (איור 2), בעקבות הטיעונים המובאים בספרו הנפלא של המדען האוקראיני ניקולאי ואסיוטינסקי "פרופורציית הזהב" (1990).

רוב החוקרים מסכימים שאורך הצלע של בסיס הפירמידה, למשל, GFשווה ל ל= 233.16 מ' ערך זה מתאים כמעט בדיוק ל-500 "מרפקים". עמידה מלאה ב-500 "מרפקים" תתרחש אם אורך ה"מרפק" נחשב שווה ל-0.4663 מ'.

גובה הפירמידה ( ח) מוערכת על ידי חוקרים באופן שונה מ-146.6 ל-148.2 מ' ובהתאם לגובה המקובל של הפירמידה, כל היחסים של האלמנטים הגיאומטריים שלה משתנים. מה הסיבה להבדלים בהערכות של גובה הפירמידה? העובדה היא שבמהדרין, פירמידת צ'אופס קטועה. הרציף העליון שלו היום בגודל של כ-10 ´ 10 מ', אבל לפני מאה שנה הוא היה 6 ´ 6 מ'. ברור שראש הפירמידה פורק, והוא אינו תואם את זה המקורי.

כאשר מעריכים את גובה הפירמידה, יש צורך לקחת בחשבון גורם פיזי כמו "טיוטת" המבנה. במשך תקופה ארוכה, בהשפעת לחץ אדיר (הגיע ל-500 טון לכל 1 מ"ר של המשטח התחתון), ירד גובה הפירמידה בהשוואה לגובהה המקורי.

מה היה הגובה המקורי של הפירמידה? ניתן לשחזר את הגובה הזה על ידי מציאת ה"רעיון הגיאומטרי" הבסיסי של הפירמידה.

איור 2.

בשנת 1837 מדד הקולונל האנגלי G. Wise את זווית הנטייה של פני הפירמידה: התברר שהיא שווה א= 51°51". ערך זה עדיין מוכר על ידי רוב החוקרים כיום. ערך הזווית שצוין תואם לטנגנס (tg א), שווה ל-1.27306. ערך זה מתאים ליחס בין גובה הפירמידה ACעד מחצית הבסיס שלו C.B.(איור 2), כלומר א.כ. / C.B. = ח / (ל / 2) = 2ח / ל.

וכאן צפויה לחוקרים הפתעה גדולה!.png" width="25" height="24">= 1.272. השוואת ערך זה לערך tg א= 1.27306, אנו רואים שהערכים הללו קרובים מאוד זה לזה. אם ניקח את הזווית א= 51°50", כלומר, הקטינו אותו בדקת קשת אחת בלבד, ואז הערך איהפוך לשווה ל-1.272, כלומר יתאים לערך. יצוין כי בשנת 1840 חזר ג' ווייז על מדידותיו והבהיר כי ערך הזווית א=51°50".

מדידות אלו הובילו את החוקרים להשערה המעניינת מאוד הבאה: המשולש ACB של פירמידת צ'אופס היה מבוסס על היחס AC / C.B. = = 1,272!

שקול כעת את המשולש הימני א ב ג, שבו היחס בין הרגליים א.כ. / C.B.= (איור 2). אם עכשיו אורכי צלעות המלבן א ב גלייעד על ידי איקס, y, ז, וגם לקחת בחשבון שהיחס y/איקס= , אז בהתאם למשפט פיתגורס, האורך זניתן לחשב באמצעות הנוסחה:

אם נקבל איקס = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

איור 3.משולש ישר זווית "זהוב".

משולש ישר זווית שבו הצלעות קשורות כמו ט:גולדן" משולש ישר זווית.

ואז, אם ניקח כבסיס את ההשערה שה"רעיון הגיאומטרי" העיקרי של פירמידת צ'אופס הוא משולש ישר זווית "זהוב", אז מכאן נוכל לחשב בקלות את גובה ה"עיצוב" של פירמידת צ'אופס. זה שווה ל:

H = (L/2) ´ = 148.28 מ'.

הבה נגזור כעת כמה יחסים אחרים לפירמידת צ'אופס, הנובעים מהשערת "הזהב". בפרט, נמצא את היחס בין השטח החיצוני של הפירמידה לשטח הבסיס שלה. כדי לעשות זאת, אנו לוקחים את אורך הרגל C.B.ליחידה, כלומר: C.B.= 1. אבל אז אורך הצלע של בסיס הפירמידה GF= 2, ושטח הבסיס EFGHיהיה שווה SEFGH = 4.

הבה נחשב כעת את שטח הפנים הצדדיות של פירמידת צ'אופס SD. מאז הגובה א.במשולש AEFשווה ל ט, ואז שטח הפנים הצדדיים יהיה שווה ל SD = ט. אז השטח הכולל של כל ארבעת הפנים הצדדיות של הפירמידה יהיה שווה ל-4 ט, והיחס בין השטח החיצוני הכולל של הפירמידה לשטח הבסיס יהיה שווה ליחס הזהב! זה מה שזה - התעלומה הגיאומטרית העיקרית של פירמידת צ'אופס!

קבוצת ה"ניסים הגיאומטריים" של פירמידת צ'אופס כוללת מאפיינים אמיתיים ומופרכים של היחסים בין ממדים שונים בפירמידה.

ככלל, הם מתקבלים בחיפוש אחר "קבועים" מסוימים, בפרט, המספר "pi" (מספרו של לדולפו), שווה ל-3.14159...; הבסיס של הלוגריתמים הטבעיים "e" (מספר Neperovo), שווה ל-2.71828...; המספר "F", המספר של "חתך הזהב", שווה, למשל, 0.618... וכו'.

אתה יכול למנות, למשל: 1) מאפיין של הרודוטוס: (גובה)2 = 0.5 אמנות. בסיסי x Apothem; 2) נכס של V. מחיר: גובה: 0.5 אמנות. base = שורש ריבועי של "F"; 3) תכונה של M. Eist: היקף הבסיס: 2 גובה = "Pi"; בפרשנות אחרת - 2 כפות. בסיסי : Height = "Pi"; 4) תכונה של G. Edge: רדיוס המעגל הכתוב: 0.5 אמנות. בסיסי = "F"; 5) נכס של ק. קלפשיש: (אמנות בסיסית.)2: 2(אמנות בסיסית. x אפוטם) = (אמנות בסיסית. W. Apothema) = 2(אמנות בסיסית. x אפוטם) : ((2 אמנות. . בסיס X Apothem) + (בסיס אמנות)2). וכו. אתה יכול להמציא מאפיינים רבים כאלה, במיוחד אם אתה מחבר שתי פירמידות סמוכות. לדוגמה, כ"מאפיינים של א. ארפייב" ניתן להזכיר שההבדל בנפחי הפירמידה של צ'אופס והפירמידה של ח'פר שווה לכפול מנפח הפירמידה של מיקרין...

נקודות מעניינות רבות, בפרט על בניית פירמידות על פי "יחס הזהב", מפורטות בספרים של ד' המבידג' "סימטריה דינמית באדריכלות" ומ' גיק "אסתטיקה של פרופורציה בטבע ובאמנות". נזכיר ש"יחס הזהב" הוא חלוקה של קטע ביחס כזה שחלק א' גדול פי כמה מחלק ב', כמה פעמים א' קטן מכל קטע א'+ב'. היחס א/ב שווה למספר "F" == 1.618. .. השימוש ב"יחס הזהב" מצוין לא רק בפירמידות בודדות, אלא גם בכל מכלול הפירמידות בגיזה.

עם זאת, הדבר המוזר ביותר הוא שאותה פירמידת צ'אופס פשוט "לא יכולה" להכיל כל כך הרבה מאפיינים נפלאים. אם לוקחים נכס מסוים אחד אחד, אפשר "להתאים אותו", אבל כולם לא מתאימים בבת אחת - הם לא חופפים, הם סותרים זה את זה. לכן, אם, למשל, כשבודקים את כל המאפיינים, ניקח בתחילה את אותו צד של בסיס הפירמידה (233 מ'), אז גם הגבהים של פירמידות בעלות מאפיינים שונים יהיו שונים. במילים אחרות, ישנה "משפחה" מסוימת של פירמידות הדומות מבחינה חיצונית לצ'אופס, אך בעלות תכונות שונות. שימו לב שאין שום דבר מופלא במיוחד במאפיינים ה"גיאומטריים" - הרבה נובע באופן אוטומטי לחלוטין, מהמאפיינים של הדמות עצמה. "נס" צריך להיחשב רק למשהו שהיה בלתי אפשרי בעליל עבור המצרים הקדמונים. זה, במיוחד, כולל ניסים "קוסמיים", שבהם המידות של פירמידת צ'אופס או מכלול הפירמידה בגיזה מושוות לכמה מדידות אסטרונומיות ומצוינים מספרים "זוגיים": פי מיליון פחות, פי מיליארד פחות, ו בקרוב. בואו נשקול כמה מערכות יחסים "קוסמיות".

אחת ההצהרות היא: "אם מחלקים את צלע בסיס הפירמידה באורך המדויק של השנה, מקבלים בדיוק 10 מיליוניות מציר כדור הארץ". חשבו: חלקו 233 ב-365, נקבל 0.638. רדיוס כדור הארץ הוא 6378 ק"מ.

אמירה אחרת היא למעשה הפוכה מהקודמת. פ. נוטלינג ציין שאם נשתמש ב"האמה המצרית" שהוא עצמו המציא, אזי הצד של הפירמידה יתאים ל"משך המדויק ביותר של שנת השמש, מבוטא למיליארדית היממה הקרובה ביותר" - 365.540. 903.777.

הצהרת פ. סמית': "גובה הפירמידה הוא בדיוק מיליארדית מהמרחק מכדור הארץ לשמש". למרות שהגובה הנלקח בדרך כלל הוא 146.6 מ', סמית' לקח אותו ל-148.2 מ'. לפי מדידות המכ"ם המודרניות, הציר החצי-עיקרי של מסלול כדור הארץ הוא 149,597,870 + 1.6 ק"מ. זהו המרחק הממוצע מכדור הארץ לשמש, אך בפריהליון הוא פחות ב-5,000,000 קילומטרים מאשר באפליון.

אמירה מעניינת אחרונה:

"איך נוכל להסביר שהמסות של הפירמידות של צ'אופס, ח'פר ומיקרינוס קשורות זו לזו, כמו המסות של כוכבי הלכת כדור הארץ, נוגה, מאדים?" בוא נעשה חישוב. המסות של שלוש הפירמידות הן: חאפרה - 0.835; צ'ופס - 1,000; מייקרין - 0.0915. יחסי המסות של שלושת כוכבי הלכת: נוגה - 0.815; כדור הארץ - 1,000; מאדים - 0.108.

לכן, למרות הספקנות, אנו מציינים את ההרמוניה הידועה של בניית הצהרות: 1) גובה הפירמידה, כמו קו "היוצא לחלל", מתאים למרחק מכדור הארץ לשמש; 2) הצד של בסיס הפירמידה, הקרוב ביותר "למצע", כלומר לכדור הארץ, אחראי על רדיוס כדור הארץ ומחזור כדור הארץ; 3) נפחי הפירמידה (קרא - מסות) תואמים ליחס בין המסות של כוכבי הלכת הקרובים לכדור הארץ. ניתן לאתר "צופן" דומה, למשל, בשפת הדבורים שניתחה על ידי קרל פון פריש. עם זאת, נמנע מלהגיב בעניין זה לעת עתה.

צורת פירמידה

הצורה הטטרהדרלית המפורסמת של הפירמידות לא התעוררה מיד. הסקיתים עשו קבורה בצורת גבעות עפר - תלים. המצרים בנו "גבעות" מאבן – פירמידות. זה קרה לראשונה לאחר איחוד מצרים העליונה והתחתונה, במאה ה-28 לפני הספירה, כאשר מייסד השושלת השלישית, פרעה ג'וסר (זוזר), עמד בפני המשימה לחזק את אחדות המדינה.

וכאן, על פי ההיסטוריונים, ל"מושג האלוהות החדש" של המלך היה תפקיד חשוב בחיזוק הכוח המרכזי. למרות שהקבורה המלכותית נבדלה בפאר רב יותר, הן, באופן עקרוני, לא היו שונות מקברי אצילי החצר; הן היו אותם מבנים - מסטבס. מעל החדר עם הסרקופג המכיל את המומיה, יצקה גבעה מלבנית של אבנים קטנות, שבה הוצב בניין קטן עשוי מגושי אבן גדולים - "מסטאבה" (בערבית - "ספסל"). פרעה ג'וסר הקים את הפירמידה הראשונה באתר המסטבה של קודמו, סנאכט. הוא היה מדורג והיווה שלב מעבר גלוי מצורה אדריכלית אחת לאחרת, ממסטבה לפירמידה.

בדרך זו "העלה" את פרעה החכם והאדריכל אימהוטפ, שנחשב מאוחר יותר לקוסם ומזוהה על ידי היוונים עם האל אסקלפיוס. זה היה כאילו הוקמו שש מסטבות ברצף. יתר על כן, הפירמידה הראשונה תפסה שטח של 1125 על 115 מטר, עם גובה משוער של 66 מטר (לפי הסטנדרטים המצריים - 1000 "דקלים"). בתחילה תכנן האדריכל לבנות מסטבה, אך לא מאורכת, אלא מרובעת בתוכנית. מאוחר יותר הוא הורחב, אך מכיוון שההרחבה בוצעה נמוך יותר, נראה היה שיש שתי מדרגות.

מצב זה לא סיפק את האדריכל, ועל הפלטפורמה העליונה של המסטבה השטוחה הענקית, אימהוטפ הציב שלושה נוספים, וירדו בהדרגה לכיוון העליון. הקבר נמצא מתחת לפירמידה.

ידועות עוד כמה פירמידות מדרגות, אבל מאוחר יותר עברו הבנאים לבניית פירמידות טטרהדרליות המוכרות לנו יותר. למה, לעומת זאת, לא משולש או, נניח, מתומן? תשובה עקיפה ניתנת על ידי העובדה שכמעט כל הפירמידות מכוונות בצורה מושלמת לאורך ארבעת הכיוונים הקרדינליים, ולכן יש להן ארבעה צדדים. בנוסף, הפירמידה הייתה "בית", קונכייה של חדר קבורה מרובע.

אבל מה קבע את זווית הנטייה של הפנים? בספר "עקרון הפרופורציות" מוקדש לכך פרק שלם: "מה יכול היה לקבוע את זוויות הנטייה של הפירמידות". בפרט, מצוין כי "התמונה שאליה נמשכות הפירמידות הגדולות של הממלכה העתיקה היא משולש עם זווית ישרה בקודקוד.

בחלל זה חצי אוקטהדרון: פירמידה שבה הקצוות והצלעות של הבסיס שווים, הקצוות הם משולשים שווי צלעות". שיקולים מסוימים ניתנים בנושא זה בספרי המבידג', גיק ואחרים.

מה היתרון של זווית חצי אוקטהדרון? לפי תיאורים של ארכיאולוגים והיסטוריונים, חלק מהפירמידות קרסו תחת משקלן. מה שהיה צריך הוא "זווית עמידות", זווית שהייתה האמינה ביותר מבחינה אנרגטית. באופן אמפירי גרידא, ניתן לקחת את הזווית הזו מזווית הקודקוד בערימה של חול יבש מתפורר. אבל כדי לקבל נתונים מדויקים, אתה צריך להשתמש במודל. לוקחים ארבעה כדורים קבועים היטב, עליכם להניח עליהם אחד חמישי ולמדוד את זוויות הנטייה. עם זאת, אפשר לטעות כאן, אז חישוב תיאורטי עוזר: כדאי לחבר את מרכזי הכדורים בקווים (מנטלית). הבסיס יהיה ריבוע עם צלע השווה לרדיוס כפול. הריבוע יהיה רק ​​בסיס הפירמידה, שאורך הקצוות שלה יהיה שווה גם לרדיוס כפול.

לפיכך, אריזה צמודה של כדורים כמו 1:4 תיתן לנו חצי אוקטהדרון רגיל.

עם זאת, מדוע פירמידות רבות, הנמשכות לצורה דומה, בכל זאת אינן שומרות עליה? הפירמידות כנראה מזדקנות. בניגוד לאמרה המפורסמת:

"כל דבר בעולם מפחד מהזמן, והזמן מפחד מפירמידות", מבני הפירמידות חייבים להזדקן, לא רק תהליכי בליה חיצוני יכולים וצריכים להתרחש בהם, אלא גם תהליכים של "התכווצות" פנימית שמהם הפירמידות עשויות להיות נמוכות יותר. הצטמקות אפשרית גם מכיוון שכפי שנחשף מעבודתו של ד' דוידוביץ, המצרים הקדמונים השתמשו בטכנולוגיה של ייצור בלוקים משברי סיד, במילים אחרות, מ"בטון". בדיוק תהליכים דומים יכולים להסביר את הסיבה להרס פירמידת המדום, שנמצאת 50 ק"מ דרומית לקהיר. הוא בן 4600 שנים, מידות הבסיס 146 על 146 מ', הגובה 118 מ'. "למה זה כל כך מעוות?", שואל ו' זמרובסקי. "ההתייחסויות הרגילות להשפעות ההרס של הזמן ו"שימוש באבן למבנים אחרים" אינן מתאימות כאן.

אחרי הכל, רוב הבלוקים והלוחות הפונים שלו נותרו במקומם עד היום, בהריסות למרגלותיו". כפי שנראה, מספר הוראות אף גורמות לנו לחשוב שגם פירמידת צ'אופס המפורסמת "התכווצה". בכל מקרה, בכל התמונות העתיקות הפירמידות מחודדות ...

צורת הפירמידות יכולה הייתה להיווצר גם על ידי חיקוי: כמה דוגמאות טבעיות, "שלמות פלא", למשל, כמה גבישים בצורת אוקטהדרון.

גבישים דומים יכולים להיות גבישי יהלומים וזהב. מספר רב של תכונות "חופפות" אופייניות למושגים כגון פרעה, שמש, זהב, יהלום. בכל מקום - אצילי, מבריק (מבריק), נהדר, ללא דופי וכו'. קווי הדמיון אינם מקריים.

פולחן השמש, כידוע, היה חלק חשוב בדת מצרים העתיקה. "לא משנה איך נתרגם את השם של הגדולה שבפירמידות", מציין אחד המדריכים המודרניים, "שמי ח'ופו" או "ח'ופו ​​לשמיים", פירוש הדבר שהמלך הוא השמש. אם ח'ופו, בזוהר כוחו, דמיין את עצמו כשמש השנייה, אז בנו דג'דף-רה הפך לראשון מלכי מצרים שכינה את עצמו "בנו של רא", כלומר, בן השמש. השמש סומלה בקרב כמעט כל העמים על ידי "מתכת השמש", הזהב. "דיסק גדול של זהב בהיר" - כך קראו המצרים לאור היום שלנו. המצרים הכירו את הזהב בצורה מושלמת, הם הכירו את צורותיו המקומיות, שבהן גבישי זהב יכולים להופיע בצורה של אוקטהדרונים.

"אבן השמש" - יהלום - מעניינת גם כאן כ"דוגמא של צורות". שמו של היהלום הגיע בדיוק מהעולם הערבי, "אלמס" - הקשה ביותר, הקשה ביותר, בלתי ניתן להריסה. המצרים הקדמונים הכירו היטב את היהלום ואת תכונותיו. לדברי כמה מחברים, הם אפילו השתמשו בצינורות ברונזה עם חותכי יהלומים לקידוח.

כיום הספק העיקרי של יהלומים הוא דרום אפריקה, אך גם מערב אפריקה עשירה ביהלומים. שטחה של הרפובליקה של מאלי אף נקרא "ארץ היהלומים". בינתיים, בשטח של מאלי מתגוררים הדוגון, שתומכי השערת הביקור הפלאו תולים איתו תקוות רבות (ראה להלן). יהלומים לא יכלו להיות הסיבה למגעים של המצרים הקדמונים עם אזור זה. עם זאת, כך או אחרת, יתכן שדווקא על ידי העתקת האוקטהדרונים של גבישי יהלומים וזהב, המצרים הקדמונים האלימו בכך את הפרעונים, "בלתי ניתנים להריסה" כמו יהלום ו"מבריקים" כמו זהב, בני השמש, ברי השוואה בלבד. ליצירות הטבע הנפלאות ביותר.

סיכום:

לאחר שלמדנו את הפירמידה כגוף גיאומטרי, התוודענו לאלמנטים ותכונותיה, השתכנענו בתקפות הדעה על יופייה של צורת הפירמידה.

כתוצאה מהמחקר שלנו, הגענו למסקנה שהמצרים, לאחר שאספו את הידע המתמטי היקר ביותר, גילמו אותו בפירמידה. לכן, הפירמידה היא באמת היצירה המושלמת ביותר של הטבע והאדם.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה

"גיאומטריה: ספר לימוד. עבור כיתות ז'-ט'. חינוך כללי מוסדות\ וכו' - מהדורה 9 - מ': חינוך, 1999

תולדות המתמטיקה בבית הספר, M: "Prosveshchenie", 1982.

גיאומטריה 10-11 כיתות, מ': "הארה", 2000

פיטר טומפקינס "סודות הפירמידה הגדולה של צ'אופס", מ': "צנטרופוליגרף", 2005.

משאבי אינטרנט

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

אנו ממשיכים לשקול את המשימות הכלולות בבחינת המדינה המאוחדת במתמטיקה. כבר למדנו בעיות שבהן התנאי נתון ונדרש למצוא את המרחק בין שתי נקודות נתונות או זווית.

פירמידה היא פולי-הדרון, שבסיסו הוא מצולע, הפרצופים הנותרים הם משולשים, ויש להם קודקוד משותף.

פירמידה רגילה היא פירמידה שבבסיסה נמצא מצולע רגיל, וקודקודה מוקרן למרכז הבסיס.

פירמידה מרובעת רגילה - הבסיס הוא ריבוע, ראש הפירמידה מוקרן בנקודת החיתוך של אלכסוני הבסיס (ריבוע).

ML - אפוטם
∠MLO - זווית דיהדרלית בבסיס הפירמידה
∠MCO - זווית בין הקצה הרוחבי למישור בסיס הפירמידה

במאמר זה נבחן בעיות לפתרון פירמידה רגילה. אתה צריך למצוא אלמנט כלשהו, ​​שטח פנים לרוחב, נפח, גובה. כמובן, אתה צריך לדעת את משפט פיתגורס, את הנוסחה עבור שטח פני השטח של פירמידה, ואת הנוסחה למציאת נפח של פירמידה.

במאמר "" מציג את הנוסחאות הנחוצות לפתרון בעיות בסטריאומטריה. אז, המשימות:

SABCDנְקוּדָה O- מרכז הבסיס,סקָדקוֹד, כך = 51, א.כ.= 136. מצא את קצה הצדS.C..

במקרה זה, הבסיס הוא ריבוע. זה אומר שהאלכסונים AC ו-BD שווים, הם נחתכים ונחצו לחצי על ידי נקודת החיתוך. שימו לב שבפירמידה רגילה הגובה שירד מהחלק העליון שלה עובר דרך מרכז בסיס הפירמידה. אז SO הוא הגובה והמשולשSOCמַלבֵּנִי. אז לפי משפט פיתגורס:

כיצד לחלץ את השורש של מספר גדול.

תשובה: 85

תחליט בעצמך:

בפירמידה מרובעת רגילה SABCDנְקוּדָה O- מרכז הבסיס, סקָדקוֹד, כך = 4, א.כ.= 6. מצא את הקצה הצדדי S.C..

בפירמידה מרובעת רגילה SABCDנְקוּדָה O- מרכז הבסיס, סקָדקוֹד, S.C. = 5, א.כ.= 6. מצא את אורך הקטע כך.

בפירמידה מרובעת רגילה SABCDנְקוּדָה O- מרכז הבסיס, סקָדקוֹד, כך = 4, S.C.= 5. מצא את אורך הקטע א.כ..

SABC ר- אמצע הצלע לִפנֵי הַסְפִירָה, ס- חלק עליון. ידוע ש א.ב= 7, א ש.ר.= 16. מצא את שטח הפנים לרוחב.

שטח פני השטח לרוחב של פירמידה משולשת רגילה שווה למחצית המכפלה של היקף הבסיס והאפותם (אפותם הוא גובה פני הצד של פירמידה רגילה הנמשכים מקודקודה):

או שנוכל לומר זאת: שטח פני השטח הצדדיים של הפירמידה שווה לסכום השטחים של שלושת הפנים הצדדיות. הפנים הצדדיות בפירמידה משולשת רגילה הם משולשים בעלי שטח שווה. במקרה הזה:

תשובה: 168

תחליט בעצמך:

בפירמידה משולשת רגילה SABC ר- אמצע הצלע לִפנֵי הַסְפִירָה, ס- חלק עליון. ידוע ש א.ב= 1, א ש.ר.= 2. מצא את שטח הפנים לרוחב.

בפירמידה משולשת רגילה SABC ר- אמצע הצלע לִפנֵי הַסְפִירָה, ס- חלק עליון. ידוע ש א.ב= 1, ושטח המשטח הרוחבי הוא 3. מצא את אורך הקטע ש.ר..

בפירמידה משולשת רגילה SABC ל- אמצע הצלע לִפנֵי הַסְפִירָה, ס- חלק עליון. ידוע ש SL= 2, ושטח המשטח הרוחבי הוא 3. מצא את אורך הקטע א.ב.

בפירמידה משולשת רגילה SABC M. שטח של משולש א ב גהוא 25, נפח הפירמידה הוא 100. מצא את אורך הקטע גברת.

בסיס הפירמידה הוא משולש שווה צלעות. בגלל זה Mהוא מרכז הבסיס, וגברת- גובה של פירמידה רגילהSABC. נפח הפירמידה SABCשווה: הצג פתרון

בפירמידה משולשת רגילה SABCהחציונים של הבסיס מצטלבים בנקודה M. שטח של משולש א ב גשווה 3, גברת= 1. מצא את נפח הפירמידה.

בפירמידה משולשת רגילה SABCהחציונים של הבסיס מצטלבים בנקודה M. נפח הפירמידה הוא 1, גברת= 1. מצא את שטח המשולש א ב ג.

בוא נסיים כאן. כפי שאתה יכול לראות, בעיות נפתרות בשלב אחד או שניים. בעתיד, נשקול בעיות אחרות מהחלק הזה, שבו ניתנים גופי מהפכה, אל תחמיצו את זה!

אני מאחל לך הצלחה!

בברכה, אלכסנדר קרוטיסקיך.

P.S: אודה לך אם תספר לי על האתר ברשתות החברתיות.

הַגדָרָה

פִּירָמִידָההוא פוליהדרון המורכב ממצולע \(A_1A_2...A_n\) ומשולשים \(n\) עם קודקוד משותף \(P\) (לא שוכב במישור המצולע) וצלעות מולו, החופפות ל- הצדדים של המצולע.
ייעוד: \(PA_1A_2...A_n\) .
דוגמה: פירמידה מחומשת \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

משולשים \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) וכו'. נקראים פני צדפירמידות, מקטעים \(PA_1, PA_2\) וכו'. – צלעות לרוחב, מצולע \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - בָּסִיס, נקודה \(P\) – חלק עליון.

גוֹבַהפירמידות הן מאונך שיורד מראש הפירמידה למישור הבסיס.

פירמידה עם משולש בבסיסה נקראת אַרְבָּעוֹן.

לפירמידה קוראים נכון, אם הבסיס שלו הוא מצולע רגיל ומתקיים אחד מהתנאים הבאים:

\((א)\) הקצוות הרוחביים של הפירמידה שווים;

\((ב)\) גובה הפירמידה עובר דרך מרכז המעגל המוקף ליד הבסיס;

\((ג)\) הצלעות הצדדיות נוטות למישור הבסיס באותה זווית.

\((ד)\) פני הצד נוטים למישור הבסיס באותה זווית.

טטרהדרון רגילהיא פירמידה משולשת, שכל פניה הם משולשים שווי צלעות שווים.

מִשׁפָּט

התנאים \((א), (ב), (ג), (ד)\) שווים.

הוכחה

בוא נמצא את גובה הפירמידה \(PH\) . תן \(\alpha\) להיות המישור של בסיס הפירמידה.

1) הבה נוכיח שמ-\((a)\) זה נובע \((b)\) . תן \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

כי \(PH\perp \alpha\), אז \(PH\) מאונך לכל קו השוכן במישור הזה, מה שאומר שהמשולשים ישר זווית. משמעות הדבר היא שהמשולשים הללו שווים ברגל משותפת \(PH\) ובתחתון \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . זה אומר \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . המשמעות היא שהנקודות \(A_1, A_2, ..., A_n\) נמצאות באותו מרחק מהנקודה \(H\), ולכן הן שוכנות על אותו עיגול עם הרדיוס \(A_1H\) . מעגל זה, בהגדרה, מוקף על המצולע \(A_1A_2...A_n\) .

2) הבה נוכיח ש-\((b)\) מרמז על \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)מלבני ושווה על שתי רגליים. זה אומר שגם הזוויות שלהם שוות, לכן, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) הבה נוכיח ש-\((c)\) מרמז על \((a)\) .

בדומה לנקודה הראשונה, משולשים \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)מלבני הן לאורך הרגל והן בזווית החדה. זה אומר שגם תת-החוליות שלהם שווים, כלומר \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) הבה נוכיח ש\((ב)\) מרמז על \((ד)\) .

כי במצולע רגיל מרכזי המעגלים המוקפים והכתובים חופפים (באופן כללי, נקודה זו נקראת מרכז של מצולע רגיל), ואז \(H\) הוא מרכז המעגל הכתוב. נצייר אנכים מהנקודה \(H\) לצידי הבסיס: \(HK_1, HK_2\) וכו'. אלו הם הרדיוסים של המעגל הכתוב (בהגדרה). לאחר מכן, לפי TTP (\(PH\) הוא מאונך למישור, \(HK_1, HK_2\) וכו' הן השלכות מאונכות לצדדים) משופעות \(PK_1, PK_2\) וכו'. בניצב לצדדים \(A_1A_2, A_2A_3\) וכו'. בהתאמה. אז, בהגדרה \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)שווה לזוויות שבין פני הצד לבסיס. כי משולשים \(PK_1H, PK_2H, ...\) שווים (כמלבני בשתי צלעות), ואז הזוויות \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)שווים.

5) הבה נוכיח ש\((ד)\) מרמז על \((ב)\) .

בדומה לנקודה הרביעית, המשולשים \(PK_1H, PK_2H, ...\) שווים (כמלבני לאורך הרגל וזווית חדה), כלומר המקטעים \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) הם שווה. משמעות הדבר היא, בהגדרה, \(H\) הוא מרכז המעגל החתום בבסיס. אלא בגלל עבור מצולעים רגילים, מרכז המעגלים הכתובים והמוקפים חופפים, ואז \(H\) הוא מרכז המעגל המוקף. Chtd.

תוֹצָאָה

הפנים הצדדיות של פירמידה רגילה הם משולשים שווה שוקיים שווים.

הַגדָרָה

גובה הפנים הצדדיות של פירמידה רגילה הנמשכת מקודקודה נקרא אפוטם.
האפוטמים של כל הפנים הצדדיות של פירמידה רגילה שווים זה לזה והם גם חציונים וחצויים.

הערות חשובות

1. גובהה של פירמידה משולשת רגילה נופל בנקודת החיתוך של הגבהים (או חצויים, או חציונים) של הבסיס (הבסיס הוא משולש רגיל).

2. גובהה של פירמידה מרובעת רגילה נופל בנקודת החיתוך של אלכסוני הבסיס (הבסיס הוא ריבוע).

3. גובהה של פירמידה משושה רגילה נופל בנקודת החיתוך של אלכסוני הבסיס (הבסיס הוא משושה רגיל).

4. גובה הפירמידה מאונך לכל קו ישר השוכן בבסיס.

הַגדָרָה

לפירמידה קוראים מַלבֵּנִי, אם אחד מקצוות הצד שלו מאונך למישור הבסיס.

הערות חשובות

1. בפירמידה מלבנית, הקצה המאונך לבסיס הוא גובה הפירמידה. כלומר, \(SR\) הוא הגובה.

2. כי \(SR\) מאונך לכל קו מהבסיס, אם כן \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- משולשים ישרים.

3. משולשים \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- גם מלבני.
כלומר, כל משולש שנוצר על ידי קצה זה והאלכסון היוצא מקודקוד הקצה הזה השוכן בבסיס יהיה מלבני.

\[(\Large(\text(נפח ושטח הפנים של הפירמידה)))\]

מִשׁפָּט

נפח הפירמידה שווה לשליש מהמכפלה של שטח הבסיס וגובה הפירמידה: \

השלכות

תן \(a\) להיות צלע הבסיס, \(h\) להיות גובה הפירמידה.

1. הנפח של פירמידה משולשת רגילה הוא \(V_(\text(משולש ישר.פיר.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. הנפח של פירמידה מרובעת רגילה הוא \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. הנפח של פירמידה משושה רגילה הוא \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. הנפח של טטרהדרון רגיל הוא \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

מִשׁפָּט

השטח של פני השטח לרוחב של פירמידה רגילה שווה לחצי התוצר של היקף הבסיס והאפוטם.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

הַגדָרָה

שקול פירמידה שרירותית \(PA_1A_2A_3...A_n\) . הבה נצייר מישור מקביל לבסיס הפירמידה דרך נקודה מסוימת השוכנת בקצה הצד של הפירמידה. מישור זה יפצל את הפירמידה לשתי רב-הדרות, שאחת מהן היא פירמידה (\(PB_1B_2...B_n\)), והשנייה נקראת פירמידה קטומה(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

לפירמידה הקטומה יש שני בסיסים - מצולעים \(A_1A_2...A_n\) ו-\(B_1B_2...B_n\) הדומים זה לזה.

גובהה של פירמידה קטומה הוא מאונך הנמשך מנקודה כלשהי של הבסיס העליון למישור הבסיס התחתון.

הערות חשובות

1. כל הפנים לרוחב של פירמידה קטומה הם טרפזים.

2. הקטע המחבר את מרכזי הבסיסים של פירמידה קטומה רגילה (כלומר פירמידה המתקבלת בחתך רוחב של פירמידה רגילה) הוא הגובה.

• אפוטם- גובה פני הצד של פירמידה רגילה, הנמשכת מקודקודה (בנוסף, האפוטם הוא אורך הניצב, המורד מאמצע המצולע הרגיל לאחת מצלעותיו);
• פני צד (ASB, BSC, CSD, DSA) - משולשים הנפגשים בקודקוד;
• צלעות לרוחב ( כפי ש , ב.ס. , C.S. , ד.ס. ) - צדדים משותפים של פני הצד;
• בראש הפירמידה (ט. S) - נקודה המחברת בין הצלעות הצדדיות ושאינה מונחת במישור הבסיס;
• גוֹבַה ( כך ) - קטע מאונך הנמשך דרך חלקה העליון של הפירמידה למישור הבסיס שלה (קצוות קטע כזה יהיו החלק העליון של הפירמידה ובסיס הניצב);
• חתך אלכסוני של הפירמידה- קטע של הפירמידה העובר דרך החלק העליון והאלכסון של הבסיס;
• בסיס (א ב ג ד) - מצולע שאינו שייך לקודקוד הפירמידה.

מאפייני הפירמידה.

1. כאשר כל הקצוות הצדדיים באותו גודל, אז:

• קל לתאר מעגל ליד בסיס הפירמידה, וראש הפירמידה יוקרן למרכז המעגל הזה;
• צלעות הצדדיות יוצרות זוויות שוות עם מישור הבסיס;
• יתרה מכך, גם ההיפך הוא הנכון, כלומר. כאשר צלעות הצדדיות יוצרות זוויות שוות עם מישור הבסיס, או כאשר ניתן לתאר עיגול סביב בסיס הפירמידה וראש הפירמידה יוקרן למרכז המעגל הזה, זה אומר שכל קצוות הצדדיים של הפירמידה באותו גודל.

2. כאשר לפנים הצדדיות יש זווית נטייה למישור הבסיס באותו ערך, אז:

• קל לתאר מעגל ליד בסיס הפירמידה, וראש הפירמידה יוקרן למרכז המעגל הזה;
• הגבהים של פני הצד הם באורך שווה;
• שטח משטח הצד שווה לחצי מהמכפלה של היקף הבסיס וגובה פני הצד.

3. ניתן לתאר כדור סביב פירמידה אם בבסיס הפירמידה ישנו מצולע שסביבו ניתן לתאר עיגול (תנאי הכרחי ומספיק). מרכז הכדור יהיה נקודת החיתוך של המישורים העוברים באמצעי קצוות הפירמידה בניצב אליהם. ממשפט זה אנו מסיקים שניתן לתאר כדור הן סביב כל משולש והן סביב כל פירמידה רגילה.

4. ניתן לרשום כדור לפירמידה אם המישורים החצייים של הזוויות הדו-הדרליות הפנימיות של הפירמידה מצטלבים בנקודה 1 (תנאי הכרחי ומספיק). נקודה זו תהפוך למרכז הכדור.

הפירמידה הפשוטה ביותר.

בהתבסס על מספר הזוויות, בסיס הפירמידה מחולק למשולש, מרובע וכן הלאה.

תהיה פירמידה מְשּוּלָשׁ, מְרוּבָּע, וכן הלאה, כאשר בסיס הפירמידה הוא משולש, מרובע וכן הלאה. פירמידה משולשת היא טטרהדרון - טטרהדרון. מרובע - מחומש וכן הלאה.