משוואות קנוניות של ישר במרחב הן משוואות שמגדירות קו העובר דרך נקודה נתונה בקולינארית לווקטור הכיוון.

תנו נקודה ווקטור כיוון. נקודה שרירותית נמצאת על קו לרק אם הוקטורים וקולינאריים, כלומר, התנאי מתקיים עבורם:

.

המשוואות לעיל הן המשוואות הקנוניות של הקו הישר.

מספרים M , נו עהינן השלכות של וקטור הכיוון על צירי הקואורדינטות. מכיוון שהווקטור אינו אפס, אז כל המספרים M , נו עלא יכול להיות שווה לאפס בו זמנית. אבל אחד או שניים מהם עשויים להתברר כאפס. בגיאומטריה אנליטית, למשל, הכניסה הבאה מותרת:

,

כלומר ההטלות של הווקטור על הציר אויו עוזשווים לאפס. לכן, גם הווקטור וגם הישר המוגדרים על ידי המשוואות הקנוניות מאונכים לצירים אויו עוז, כלומר מטוסים yOz .

דוגמה 1.כתוב משוואות לישר במרחב מאונך למישור ועוברים דרך נקודת החיתוך של המישור הזה עם הציר עוז .

פִּתָרוֹן. בואו נמצא את נקודת החיתוך של המישור הזה עם הציר עוז. מאז כל נקודה שוכבת על הציר עוז, יש קואורדינטות , אם כן, בהנחה במשוואה הנתונה של המישור x = y = 0, אנחנו מקבלים 4 ז- 8 = 0 או ז= 2 . לכן, נקודת החיתוך של מישור זה עם הציר עוזיש קואורדינטות (0; 0; 2) . מכיוון שהקו הרצוי מאונך למישור, הוא מקביל לווקטור הרגיל שלו. לכן, הווקטור המכוון של הקו הישר יכול להיות הווקטור הרגיל מטוס נתון.

כעת נרשום את המשוואות הנדרשות לישר העובר דרך נקודה א= (0; 0; 2) בכיוון הווקטור:

משוואות של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות

ניתן להגדיר קו ישר על ידי שתי נקודות המונחות עליו ו במקרה זה, הווקטור המכוון של הקו הישר יכול להיות הווקטור . ואז המשוואות הקנוניות של הישר לובשות את הצורה

.

המשוואות לעיל קובעות קו העובר דרך שתי נקודות נתונות.

דוגמה 2.כתוב משוואה עבור קו במרחב העובר דרך הנקודות ו.

פִּתָרוֹן. הבה נרשום את משוואות הקו הישר הנדרשות בצורה שניתנה לעיל בהתייחסות התיאורטית:

.

מאז , אז הקו הישר הרצוי הוא מאונך לציר אוי .

ישר כקו החיתוך של מטוסים

ניתן להגדיר קו ישר במרחב כקו החיתוך של שני מישורים לא מקבילים, כלומר כמערכת של נקודות המספקות מערכת של שתי משוואות ליניאריות.

משוואות המערכת נקראות גם המשוואות הכלליות של קו ישר במרחב.

דוגמה 3.חבר משוואות קנוניות של קו במרחב הנתון על ידי משוואות כלליות

פִּתָרוֹן. כדי לכתוב את המשוואות הקנוניות של ישר או, מה שזה אותו הדבר, את המשוואות של הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות, אתה צריך למצוא את הקואורדינטות של כל שתי נקודות על הישר. הם יכולים להיות נקודות החיתוך של קו ישר עם כל שני מישורי קואורדינטות, למשל yOzו xOz .

נקודת חיתוך של קו ומישור yOzיש אבשיסה איקס= 0 . לכן, בהנחה במערכת המשוואות הזו איקס= 0, נקבל מערכת עם שני משתנים:

ההחלטה שלה y = 2 , ז= 6 יחד עם איקס= 0 מגדיר נקודה א(0; 2; 6) הקו הרצוי. ואז נניח במערכת המשוואות הנתונה y= 0, אנו מקבלים את המערכת

ההחלטה שלה איקס = -2 , ז= 0 יחד עם y= 0 מגדיר נקודה ב(-2; 0; 0) חיתוך של קו עם מישור xOz .

כעת נרשום את משוואות הישר העובר בנקודות א(0; 2; 6) ו ב (-2; 0; 0) :

,

או לאחר חלוקת המכנים ב-2:

,

תנו שתי נקודות M 1 (x 1, y 1)ו M 2 (x 2,y 2). הבה נכתוב את משוואת הישר בצורה (5), שם קמקדם עדיין לא ידוע:

מאז הנקודה M 2שייך לישר נתון, אז הקואורדינטות שלו עומדות במשוואה (5): . ביטוי מכאן והחלפה במשוואה (5), נקבל את המשוואה הנדרשת:

אם ניתן לשכתב את המשוואה הזו בצורה נוחה יותר לשינון:

(6)

דוגמא.רשום את המשוואה של ישר העובר בנקודות M 1 (1,2) ו-M 2 (-2,3)

פִּתָרוֹן. . באמצעות תכונת הפרופורציה וביצוע הטרנספורמציות הנחוצות, אנו מקבלים את המשוואה הכללית של קו ישר:

זווית בין שני קווים ישרים

שקול שני קווים ישרים l 1ו l 2:

l 1: , , ו

l 2: , ,

φ היא הזווית ביניהם (). מאיור 4 ברור:.

מכאן , או

באמצעות נוסחה (7) ניתן לקבוע את אחת מהזוויות בין ישרים. הזווית השנייה שווה ל.

דוגמא. שני ישרים ניתנים על ידי המשוואות y=2x+3 ו-y=-3x+2. מצא את הזווית בין הקווים הללו.

פִּתָרוֹן. מהמשוואות ברור כי k 1 =2, ו-k 2 =-3. החלפת ערכים אלה בנוסחה (7), אנו מוצאים

. לפיכך, הזווית בין קווים אלה שווה ל.

תנאים להקבלה ולניצב של שני קווים ישרים

אם ישר l 1ו l 2מקבילים, אם כן φ=0 ו tgφ=0. מהנוסחה (7) עולה כי, מנין k 2 =k 1. לפיכך, התנאי להקבלה של שני קווים הוא שוויון המקדמים הזוויתיים שלהם.

אם ישר l 1ו l 2הם מאונכים, אם כן φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . לפיכך, התנאי לניצב של שני קווים ישרים הוא שמקדמי הזווית שלהם הפוכים בגודלם ומנוגדים בסימן.

מרחק מנקודה לקו

מִשׁפָּט. אם ניתנת נקודה M(x 0, y 0), אזי המרחק לישר Ax + Bу + C = 0 נקבע כ

הוכחה. תן לנקודה M 1 (x 1, y 1) להיות הבסיס של האנך שירד מנקודה M לישר נתון. ואז המרחק בין נקודות M ו-M 1:

ניתן למצוא את הקואורדינטות x 1 ו- y 1 על ידי פתרון מערכת המשוואות:

המשוואה השנייה של המערכת היא משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה M 0 בניצב לישר נתון.

אם נהפוך את המשוואה הראשונה של המערכת לצורה:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ואז, בפתרון, נקבל:

החלפת ביטויים אלה במשוואה (1), אנו מוצאים:

המשפט מוכח.

דוגמא.קבע את הזווית בין הקווים: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

דוגמא.הראה שהקווים 3x – 5y + 7 = 0 ו- 10x + 6y – 3 = 0 מאונכים.

אנו מוצאים: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, לכן, הקווים מאונכים.

דוגמא.נתונים הם קודקודי המשולש A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). מצא את משוואת הגובה שנמשך מקודקוד C.

נמצא את המשוואה של הצלע AB: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

למשוואת הגובה הנדרשת יש את הצורה: Ax + By + C = 0 או y = kx + b.

k= . ואז y = . כי הגובה עובר דרך נקודה C, ואז הקואורדינטות שלו מקיימות את המשוואה הזו: משם b = 17. סך הכל:.

תשובה: 3x + 2y – 34 = 0.

המרחק מנקודה לישר נקבע על פי אורך האנך המצויר מהנקודה לישר.

אם הקו מקביל למישור ההקרנה (ח | | P 1), ואז על מנת לקבוע את המרחק מהנקודה אלקו ישר חיש צורך להוריד את הניצב מהנקודה אלאופקי ח.

הבה נשקול דוגמה מורכבת יותר, כאשר הקו הישר תופס עמדה כללית. שיהיה צורך לקבוע את המרחק מנקודה Mלקו ישר אעמדה כללית.

משימת קביעה מרחקים בין קווים מקביליםנפתר בדומה לקודם. לוקחים נקודה על ישר אחד וממנו יורדים מאונך לישר אחר. אורכו של מאונך שווה למרחק בין ישרים מקבילים.

עקומה מסדר שניהוא קו המוגדר על ידי משוואה של המעלה השנייה ביחס לקואורדינטות הקרטזיות הנוכחיות. במקרה הכללי, Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

כאשר A, B, C, D, E, F הם מספרים ממשיים ולפחות אחד מהמספרים A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

מעגל

מרכז מעגל– זהו המיקום הגיאומטרי של נקודות במישור במרחק שווה מנקודה במישור C(a,b).

המעגל ניתן על ידי המשוואה הבאה:

כאשר x,y הן הקואורדינטות של נקודה שרירותית במעגל, R הוא רדיוס המעגל.

סימן של משוואת מעגל

1. המונח עם x, y חסר

2. המקדמים עבור x 2 ו- y 2 שווים

אֶלִיפְּסָה

אֶלִיפְּסָהנקרא המיקום הגיאומטרי של נקודות במישור, סכום המרחקים של כל אחת מהן משתי נקודות נתונות של מישור זה נקרא מוקדים (ערך קבוע).

המשוואה הקנונית של האליפסה:

X ו-y שייכים לאליפסה.

a – ציר חצי מרכזי של האליפסה

b – ציר חצי מינור של האליפסה

לאליפסה 2 צירים של סימטריה OX ו-OU. צירי הסימטריה של אליפסה הם הצירים שלה, נקודת החיתוך שלהם היא מרכז האליפסה. הציר שעליו נמצאים המוקדים נקרא ציר מוקד. נקודת החיתוך של האליפסה עם הצירים היא קודקוד האליפסה.

יחס דחיסה (מתח): ε = s/a– אקסצנטריות (מאפיינת את צורת האליפסה), ככל שהיא קטנה יותר, כך האליפסה מתארכת פחות לאורך ציר המוקד.

אם מרכזי האליפסה אינם במרכז C(α, β)

הִיפֵּרבּוֹלָה

הַגזָמָהנקרא המיקום הגיאומטרי של נקודות במישור, הערך המוחלט של הפרש המרחקים, שכל אחת מהן משתי נקודות נתונות של מישור זה, הנקראות מוקדים, היא ערך קבוע השונה מאפס.

משוואת היפרבולה קנונית

להיפרבולה יש 2 צירים של סימטריה:

a – חצי ציר סימטריה אמיתי

ב – חצי ציר סימטריה דמיוני

אסימפטוטים של היפרבולה:

פָּרַבּוֹלָה

פָּרַבּוֹלָההוא מוקד הנקודות במישור במרחק שווה מנקודה נתונה F, הנקראת מוקד, וקו נתון, הנקרא כיוון.

המשוואה הקנונית של פרבולה:

У 2 =2рх, כאשר р הוא המרחק מהמוקד לכיוון (פרמטר פרבולה)

אם קודקוד הפרבולה הוא C (α, β), אז משוואת הפרבולה (y-β) 2 = 2р(x-α)

אם ציר המוקד נלקח כציר האורדינאטה, אזי משוואת הפרבולה תקבל את הצורה: x 2 =2qу

תנו לקו לעבור דרך הנקודות M 1 (x 1; y 1) ו-M 2 (x 2; y 2). למשוואה של ישר העובר בנקודה M 1 יש את הצורה y-y 1 = ק (x - x 1), (10.6)

איפה ק - מקדם עדיין לא ידוע.

מכיוון שהקו הישר עובר דרך הנקודה M 2 (x 2 y 2), הקואורדינטות של נקודה זו חייבות לעמוד במשוואה (10.6): y 2 -y 1 = ק (x 2 - x 1).

מכאן אנו מוצאים את החלפת הערך שנמצא ק לתוך המשוואה (10.6), נקבל את המשוואה של ישר העובר בנקודות M 1 ו-M 2:

ההנחה היא שבמשוואה זו x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

אם x 1 = x 2, אז הישר העובר דרך הנקודות M 1 (x 1,y I) ו-M 2 (x 2,y 2) מקביל לציר הסמין. המשוואה שלו היא x = x 1 .

אם y 2 = y I, אז ניתן לכתוב את משוואת הישר כ- y = y 1, הישר M 1 M 2 מקביל לציר האבססיס.

משוואת ישר בקטעים

תנו לקו הישר לחצות את ציר השור בנקודה M 1 (a;0), ואת ציר Oy בנקודה M 2 (0;b). המשוואה תקבל את הצורה:
הָהֵן.
. המשוואה הזו נקראת משוואה של ישר בקטעים, כי המספרים a ו-b מציינים אילו קטעים קו חותך על צירי הקואורדינטות.

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה בניצב לוקטור נתון

הבה נמצא את המשוואה של ישר העובר דרך נקודה נתונה Mo (x O; y o) מאונך לוקטור נתון שאינו אפס n = (A; B).

הבה ניקח נקודה שרירותית M(x; y) על הקו ונתחשב בוקטור M 0 M (x - x 0; y - y o) (ראה איור 1). מכיוון שהווקטורים n ו-M o M מאונכים, המכפלה הסקלרית שלהם שווה לאפס: כלומר

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

משוואה (10.8) נקראת משוואת ישר העובר דרך נקודה נתונה בניצב לוקטור נתון .

וקטור n= (A; B), מאונך לישר, נקרא נורמלי וקטור רגיל של קו זה .

ניתן לשכתב את המשוואה (10.8) בתור Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

כאשר A ו-B הם הקואורדינטות של הווקטור הנורמלי, C = -Ax o - Vu o הוא האיבר החופשי. משוואה (10.9) היא המשוואה הכללית של הקו(ראה איור 2).

איור 1 איור 2

משוואות קנוניות של הקו

,

איפה
- קואורדינטות של הנקודה שדרכה עובר הקו, ו
- וקטור כיוון.

עיגול מסדר שני מעגל

מעגל הוא קבוצת כל הנקודות של המישור הנמצאות במרחק שווה מנקודה נתונה, הנקראת מרכז.

משוואה קנונית של מעגל רדיוס ר עם מרכז בנקודה
:

בפרט, אם מרכז המוקד עולה בקנה אחד עם מקור הקואורדינטות, המשוואה תיראה כך:

אֶלִיפְּסָה

אליפסה היא קבוצה של נקודות במישור, סכום המרחקים מכל אחת מהן לשתי נקודות נתונות ו , אשר נקראים מוקדים, היא כמות קבועה
, גדול מהמרחק בין מוקדים
.

המשוואה הקנונית של אליפסה שהמוקדים שלה נמצאים על ציר השור, ולמקור הקואורדינטות באמצע בין המוקדים יש את הצורה
ג דהא אורך ציר חצי עיקרי;ב – אורך הציר החצי-מינורי (איור 2).

מאמר זה חושף את גזירת המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות במערכת קואורדינטות מלבנית הממוקמת על מישור. הבה נגזר את משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות במערכת קואורדינטות מלבנית. נציג בבירור ונפתור מספר דוגמאות הקשורות לחומר הנסקר.

Yandex.RTB R-A-339285-1

לפני קבלת משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות, יש צורך לשים לב לכמה עובדות. יש אקסיומה שאומרת שדרך שתי נקודות מתפצלות במישור אפשר לצייר קו ישר ורק אחד. במילים אחרות, שתי נקודות נתונות במישור מוגדרות על ידי קו ישר העובר בנקודות אלו.

אם המישור מוגדר על ידי מערכת הקואורדינטות המלבנית Oxy, אז כל ישר המתואר בו יתאים למשוואה של ישר במישור. יש גם קשר עם הווקטור המכוון של הישר הנתונים האלה מספיקים כדי להרכיב את המשוואה של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות.

בואו נסתכל על דוגמה לפתרון בעיה דומה. יש צורך ליצור משוואה עבור קו ישר העובר דרך שתי נקודות שונות M 1 (x 1, y 1) ו- M 2 (x 2, y 2), הממוקמות במערכת הקואורדינטות הקרטזית.

במשוואה הקנונית של ישר במישור, בעלת הצורה x - x 1 a x = y - y 1 a y, מצוינת מערכת קואורדינטות מלבנית O x y עם ישר שמצטלב איתה בנקודה עם הקואורדינטות M 1 (x 1, y 1) עם וקטור מנחה a → = (a x , a y) .

יש צורך ליצור משוואה קנונית של קו ישר a, שיעבור דרך שתי נקודות עם קואורדינטות M 1 (x 1, y 1) ו- M 2 (x 2, y 2).

לישר a יש וקטור כיוון M 1 M 2 → עם קואורדינטות (x 2 - x 1, y 2 - y 1), מכיוון שהוא חותך את הנקודות M 1 ו-M 2. השגנו את הנתונים הדרושים על מנת להפוך את המשוואה הקנונית עם הקואורדינטות של וקטור הכיוון M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) והקואורדינטות של הנקודות M 1 המונחות עליהן (x 1, y 1) ו-M 2 (x 2, y 2) . נקבל משוואה בצורה x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 או x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

שקול את האיור למטה.

בעקבות החישובים, נכתוב את המשוואות הפרמטריות של ישר במישור העובר בשתי נקודות עם קואורדינטות M 1 (x 1, y 1) ו-M 2 (x 2, y 2). נקבל משוואה בצורה x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ או x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

בואו נסתכל מקרוב על פתרון מספר דוגמאות.

דוגמה 1

רשום את המשוואה של ישר העובר דרך 2 נקודות נתונות עם קואורדינטות M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

פִּתָרוֹן

המשוואה הקנונית לישר החותך בשתי נקודות עם קואורדינטות x 1, y 1 ו-x 2, y 2 לובשת את הצורה x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. לפי תנאי הבעיה, יש לנו ש-x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. יש צורך להחליף את הערכים המספריים במשוואה x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. מכאן נקבל שהמשוואה הקנונית לובשת את הצורה x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

תשובה: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

אם אתה צריך לפתור בעיה עם משוואה מסוג אחר, תחילה אתה יכול ללכת למשוואה הקנונית, מכיוון שקל יותר להגיע ממנה לכל אחת אחרת.

דוגמה 2

חבר את המשוואה הכללית של ישר העובר בנקודות עם קואורדינטות M 1 (1, 1) ו-M 2 (4, 2) במערכת הקואורדינטות O x y.

פִּתָרוֹן

ראשית, עליך לרשום את המשוואה הקנונית של ישר נתון שעובר דרך שתי נקודות נתונות. נקבל משוואה בצורה x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

בואו נביא את המשוואה הקנונית לצורה הרצויה, ואז נקבל:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

תשובה: x - 3 y + 2 = 0 .

דוגמאות למשימות כאלה נדונו בספרי הלימוד בבית הספר במהלך שיעורי אלגברה. בעיות בית ספר היו שונות בכך שהמשוואה של ישר עם מקדם זווית הייתה ידועה, בעלת הצורה y = k x + b. אם אתה צריך למצוא את הערך של השיפוע k והמספר b שעבורם המשוואה y = k x + b מגדירה ישר במערכת O x y שעובר דרך הנקודות M 1 (x 1, y 1) ו-M 2 ( x 2, y 2) , כאשר x 1 ≠ x 2. כאשר x 1 = x 2 , אז המקדם הזוויתי מקבל את הערך של אינסוף, והישר M 1 M 2 מוגדר על ידי משוואה כללית לא שלמה בצורה x - x 1 = 0 .

בגלל הנקודות M 1ו M 2נמצאים על קו ישר, אז הקואורדינטות שלהם עומדות במשוואה y 1 = k x 1 + b ו- y 2 = k x 2 + b. יש צורך לפתור את מערכת המשוואות y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b עבור k ו-b.

לשם כך, נמצא k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 או k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

עם ערכים אלה של k ו-b, משוואת הישר העובר דרך שתי הנקודות הנתונות הופכת ל-y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 או y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

אי אפשר לזכור מספר עצום כזה של נוסחאות בבת אחת. לשם כך, יש צורך להגדיל את מספר החזרות בפתרון בעיות.

דוגמה 3

רשום את המשוואה של ישר עם מקדם זוויתי העובר דרך נקודות עם קואורדינטות M 2 (2, 1) ו-y = k x + b.

פִּתָרוֹן

כדי לפתור את הבעיה, נשתמש בנוסחה עם מקדם זוויתי בצורה y = k x + b. המקדמים k ו-b חייבים לקבל ערך כזה שמשוואה זו מתאימה לישר העובר בשתי נקודות עם קואורדינטות M 1 (- 7, - 5) ו- M 2 (2, 1).

נקודות M 1ו M 2ממוקמים על קו ישר, אז הקואורדינטות שלהם חייבות להפוך את המשוואה y = k x + b לשוויון אמיתי. מכאן נקבל ש- 5 = k · (- 7) + b ו- 1 = k · 2 + b. נחבר את המשוואה לתוך המערכת - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ונפתור.

עם ההחלפה אנחנו מקבלים את זה

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

כעת הערכים k = 2 3 ו- b = - 1 3 מוחלפים במשוואה y = k x + b. אנו מוצאים שהמשוואה הנדרשת העוברת דרך הנקודות הנתונות תהיה משוואה בצורה y = 2 3 x - 1 3 .

שיטת פתרון זו קובעת מראש את בזבוז זמן רב. יש דרך שבה המשימה נפתרת בשני שלבים, פשוטו כמשמעו.

הבה נכתוב את המשוואה הקנונית של הישר העובר דרך M 2 (2, 1) ו-M 1 (- 7, - 5), בצורת x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

כעת נעבור למשוואת השיפוע. נקבל את זה: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

תשובה: y = 2 3 x - 1 3 .

אם במרחב התלת מימדי קיימת מערכת קואורדינטות מלבנית O x y z עם שתי נקודות נתונות שאינן חופפות עם הקואורדינטות M 1 (x 1, y 1, z 1) ו-M 2 (x 2, y 2, z 2), ישר M העובר דרכם 1 M 2, יש צורך להשיג את המשוואה של הישר הזה.

יש לנו משוואות קנוניות בצורה x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ומשוואות פרמטריות של הצורה x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ מסוגלים להגדיר קו במערכת הקואורדינטות O x y z, העובר דרך נקודות שיש להן קואורדינטות (x 1, y 1, z 1) עם וקטור כיוון a → = (a x, a y, a z).

ישר M 1 M 2 יש לו וקטור כיוון בצורה M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), כאשר הישר עובר דרך הנקודה M 1 (x 1, y 1, z 1) ו-M 2 (x 2 , y 2 , z 2), מכאן שהמשוואה הקנונית יכולה להיות בצורה x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 או x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, בתורו פרמטרי x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ או x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

שקול ציור המציג 2 נקודות נתונות במרחב ואת משוואת הישר.

דוגמה 4

כתוב את משוואת הישר המוגדר במערכת קואורדינטות מלבנית O x y z של מרחב תלת מימדי, העובר דרך שתי נקודות נתונות עם קואורדינטות M 1 (2, - 3, 0) ו- M 2 (1, - 3, - 5).

פִּתָרוֹן

יש צורך למצוא את המשוואה הקנונית. מכיוון שאנו מדברים על מרחב תלת מימדי, זה אומר שכאשר ישר עובר דרך נקודות נתונות, המשוואה הקנונית הרצויה תקבל את הצורה x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

לפי תנאי יש לנו ש-x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. מכאן נובע שהמשוואות הדרושות ייכתבו באופן הבא:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

תשובה: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה בכיוון נתון. משוואת הישר העובר דרך שתי נקודות נתונות. הזווית בין שני קווים ישרים. מצב המקבילות והניצב של שני קווים ישרים. קביעת נקודת החיתוך של שני קווים

1. משוואת הישר העובר דרך נקודה נתונה א(איקס 1 , y 1) בכיוון נתון, שנקבע לפי השיפוע ק,

y - y 1 = ק(איקס - איקס 1). (1)

משוואה זו מגדירה עיפרון של קווים העוברים דרך נקודה א(איקס 1 , y 1), אשר נקרא מרכז האלומה.

2. משוואת הישר העובר בשתי נקודות: א(איקס 1 , y 1) ו ב(איקס 2 , y 2), כתוב כך:

מקדם הזוויתי של ישר העובר דרך שתי נקודות נתונות נקבע על ידי הנוסחה

3. זווית בין קווים ישרים או בהיא הזווית שבה יש לסובב את הקו הישר הראשון אסביב נקודת החיתוך של קווים אלה נגד כיוון השעון עד שהיא חופפת לקו השני ב. אם שני ישרים ניתנים במשוואות עם שיפוע

y = ק 1 איקס + ב 1 ,