משוואות טריגונומטריות הן נושא לא קל. הם מגוונים מדי.) לדוגמה, אלה:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

וכו...

אבל למפלצות הטריגונומטריות הללו (ולכל שאר) יש שתי תכונות משותפות ומחייבות. ראשית - לא תאמינו - יש פונקציות טריגונומטריות במשוואות.) שנית: כל הביטויים עם x נמצאים בתוך אותן פונקציות.ורק שם! אם X מופיע איפשהו בחוץ,לדוגמה, sin2x + 3x = 3,זו כבר תהיה משוואה מסוג מעורב. משוואות כאלה דורשות גישה אינדיבידואלית. לא נשקול אותם כאן.

גם בשיעור זה לא נפתור משוואות רעות.) כאן נעסוק המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר.למה? כן כי הפתרון כלמשוואות טריגונומטריות מורכבות משני שלבים. בשלב הראשון, משוואת הרע מצטמצמת לפשוטה באמצעות מגוון של טרנספורמציות. בשני, המשוואה הפשוטה ביותר נפתרת. אין דרך אחרת.

אז אם יש לך בעיות בשלב השני, השלב הראשון לא הגיוני במיוחד.)

איך נראות משוואות טריגונומטריות יסודיות?

sinx = א

cosx = א

tgx = a

ctgx = a

כאן א מייצג כל מספר. כל.

אגב, בתוך פונקציה אולי אין X טהור, אלא סוג של ביטוי, כמו:

cos(3x+π /3) = 1/2

וכו ' זה מסבך את החיים, אבל לא משפיע על שיטת הפתרון של משוואה טריגונומטרית.

איך פותרים משוואות טריגונומטריות?

ניתן לפתור משוואות טריגונומטריות בשתי דרכים. הדרך הראשונה: שימוש בלוגיקה והמעגל הטריגונומטרי. נבחן את הדרך הזו כאן. הדרך השנייה - שימוש בזיכרון ובנוסחאות - תידון בשיעור הבא.

הדרך הראשונה ברורה, אמינה וקשה לשכוח.) היא טובה לפתרון משוואות טריגונומטריות, אי שוויון וכל מיני דוגמאות לא סטנדרטיות מסובכות. ההיגיון חזק יותר מהזיכרון!)

פתרון משוואות באמצעות עיגול טריגונומטרי.

אנו כוללים לוגיקה אלמנטרית ויכולת להשתמש במעגל הטריגונומטרי. אתה לא יודע איך? עם זאת... יהיה לך קשה בטריגונומטריה...) אבל זה לא משנה. תסתכל על השיעורים "מעגל טריגונומטרי...... מה זה?" ו"מדידת זוויות במעגל טריגונומטרי". הכל פשוט שם. בניגוד לספרי לימוד...)

אה, אתה יודע!? ואפילו שלטו ב"עבודה מעשית עם המעגל הטריגונומטרי"!? מזל טוב. הנושא הזה יהיה קרוב ומובן לך.) מה שמשמח במיוחד הוא שלמעגל הטריגונומטרי לא אכפת איזו משוואה אתה פותר. סינוס, קוסינוס, טנגנס, קוטנגנט - הכל אותו דבר עבורו. יש רק עקרון פתרון אחד.

אז ניקח כל משוואה טריגונומטרית יסודית. לפחות זה:

cosx = 0.5

אנחנו צריכים למצוא את X. מדברים בשפה אנושית, אתה צריך מצא את הזווית (x) שהקוסינוס שלה הוא 0.5.

כיצד השתמשנו בעבר במעגל? ציירנו על זה זווית. במעלות או ברדיאנים. ומיד ראה פונקציות טריגונומטריות של זווית זו. עכשיו בואו נעשה את ההיפך. נצייר קוסינוס על המעגל השווה ל-0.5 ומיד נראה פינה. כל מה שנותר הוא לרשום את התשובה.) כן, כן!

צייר עיגול וסמן את הקוסינוס שווה ל-0.5. על ציר הקוסינוס, כמובן. ככה:

עכשיו בואו נצייר את הזווית שהקוסינוס הזה נותן לנו. העבר את העכבר מעל התמונה (או גע בתמונה בטאבלט), וכן תראההפינה הזו בדיוק איקס.

הקוסינוס של איזו זווית הוא 0.5?

x = π /3

חַסַת עָלִים 60°= cos( π /3) = 0,5

יש אנשים שיצחקקו בספקנות, כן... כאילו, האם היה כדאי לעשות עיגול כשהכל כבר ברור... אפשר כמובן לגחך...) אבל העובדה היא שזו תשובה מוטעית. או יותר נכון, לא מספיק. אניני מעגלים מבינים שיש כאן חבורה שלמה של זוויות אחרות שגם נותנות קוסינוס של 0.5.

אם תסובב את הצד הנע OA סיבוב מלא, נקודה A תחזור למיקומה המקורי. עם אותו קוסינוס שווה ל-0.5. הָהֵן. הזווית תשתנהב-360° או 2π רדיאנים, ו קוסינוס - לא.הזווית החדשה 60° + 360° = 420° תהיה גם פתרון למשוואה שלנו, מכיוון

אפשר לעשות אינסוף מהפכות שלמות כאלה... וכל הזוויות החדשות הללו יהיו פתרונות למשוואה הטריגונומטרית שלנו. ואת כולם צריך לכתוב איכשהו בתגובה. את כל.אחרת, ההחלטה לא נחשבת, כן...)

מתמטיקה יכולה לעשות זאת בפשטות ובאלגנטיות. רשום בתשובה אחת קצרה סט אינסופיהחלטות. כך זה נראה עבור המשוואה שלנו:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

אני אפענח את זה. עדיין תכתוב בצורה משמעותיתזה יותר נעים מלצייר בטיפשות כמה אותיות מסתוריות, נכון?)

π /3 - זו אותה פינה שאנחנו ראהעל המעגל ו נחוש בדעתולפי טבלת הקוסינוס.

הוא מהפכה אחת שלמה ברדיאנים.

נ - זהו מספר השלמים, כלומר. כֹּלסל"ד זה ברור ש נ יכול להיות שווה ל-0, ±1, ±2, ±3.... וכן הלאה. כפי שעולה מהערך הקצר:

n ∈ Z

נ שייך ( ) קבוצה של מספרים שלמים ( ז ). אגב, במקום המכתב נ בהחלט ניתן להשתמש באותיות ק, מ, ט וכו '

סימון זה אומר שאתה יכול לקחת כל מספר שלם נ . לפחות -3, לפחות 0, לפחות +55. מה שתרצה. אם תחליף את המספר הזה בתשובה, תקבל זווית מסוימת, שבהחלט תהיה הפתרון למשוואה הקשה שלנו.)

או, במילים אחרות, x = π /3 הוא השורש היחיד של קבוצה אינסופית. כדי לקבל את כל שאר השורשים, מספיק להוסיף כל מספר של סיבובים מלאים ל-π /3 ( נ ) ברדיאנים. הָהֵן. 2πn רדיאן.

את כל? לא. אני מאריך בכוונה את התענוג. לזכור טוב יותר.) קיבלנו רק חלק מהתשובות למשוואה שלנו. אני אכתוב את החלק הראשון של הפתרון כך:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - לא רק שורש אחד, אלא סדרה שלמה של שורשים, כתובים בצורה קצרה.

אבל יש גם זוויות שנותנות גם קוסינוס של 0.5!

נחזור לתמונה שלנו ממנה רשמנו את התשובה. הנה היא:

העבר את העכבר מעל התמונה ו אנחנו מביניםזווית אחרת כי נותן גם קוסינוס של 0.5.למה אתה חושב שזה שווה? המשולשים זהים... כן! זה שווה לזווית איקס , רק מתעכב בכיוון השלילי. זו הפינה -איקס. אבל כבר חישבנו את x. π /3 או 60°. לכן, אנו יכולים לכתוב בבטחה:

x 2 = - π /3

ובכן, כמובן, אנו מוסיפים את כל הזוויות המתקבלות באמצעות מהפכות מלאות:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

זה הכל עכשיו.) על המעגל הטריגונומטרי אנחנו ראה(מי מבין, כמובן)) את כלזוויות שנותנות קוסינוס של 0.5. ורשמנו את הזוויות הללו בצורה מתמטית קצרה. התשובה הביאה לשתי סדרות אינסופיות של שורשים:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

זו התשובה הנכונה.

לְקַווֹת, עקרון כללי לפתרון משוואות טריגונומטריותהשימוש במעגל ברור. נסמן על מעגל את הקוסינוס (סינוס, טנגנס, קוטנגנט) מהמשוואה הנתונה, נצייר את הזוויות המתאימות לו ורשום את התשובה.כמובן, אנחנו צריכים להבין באילו פינות אנחנו ראהעל המעגל. לפעמים זה לא כל כך ברור. ובכן, אמרתי שנדרשת היגיון כאן.)

לדוגמה, בואו נסתכל על משוואה טריגונומטרית אחרת:

בבקשה קחו בחשבון שהמספר 0.5 הוא לא המספר האפשרי היחיד במשוואות!) פשוט יותר נוח לי לכתוב אותו מאשר שורשים ושברים.

אנו עובדים על פי העיקרון הכללי. אנו מציירים עיגול, מסמנים (על ציר הסינוס, כמובן!) 0.5. אנו מציירים את כל הזוויות המתאימות לסינוס זה בבת אחת. אנחנו מקבלים את התמונה הזאת:

בוא נעסוק קודם כל בזווית איקס ברבעון הראשון. אנו זוכרים את טבלת הסינוסים וקובעים את ערכה של זווית זו. זה עניין פשוט:

x = π /6

אנו זוכרים על פניות מלאות, ובמצפון נקי, רושמים את סדרת התשובות הראשונה:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

חצי מהעבודה בוצעה. אבל עכשיו אנחנו צריכים לקבוע פינה שנייה...זה מסובך יותר משימוש בקוסינוסים, כן... אבל ההיגיון יציל אותנו! כיצד לקבוע את הזווית השנייה דרך x? כן קל! המשולשים בתמונה זהים, והפינה האדומה איקס שווה לזווית איקס . רק הוא נספר מהזווית π בכיוון השלילי. לכן זה אדום.) ולתשובה אנחנו צריכים זווית, נמדדת נכון, מהציר החצי החיובי OX, כלומר. מזווית של 0 מעלות.

נרחף עם הסמן מעל הציור ורואים הכל. הסרתי את הפינה הראשונה כדי לא לסבך את התמונה. הזווית בה אנו מעוניינים (מצויירת בירוק) תהיה שווה ל:

π - x

X אנחנו יודעים את זה π /6 . לכן, הזווית השנייה תהיה:

π - π /6 = 5π /6

שוב אנו זוכרים על הוספת מהפכות מלאות ורשום את סדרת התשובות השנייה:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

זה הכל. תשובה מלאה מורכבת משתי סדרות של שורשים:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

ניתן לפתור בקלות משוואות טנגנטים וקוטנגנטים באמצעות אותו עיקרון כללי לפתרון משוואות טריגונומטריות. אם, כמובן, אתה יודע לצייר משיק וקוטנגנט על מעגל טריגונומטרי.

בדוגמאות למעלה השתמשתי בערך הטבלה של סינוס וקוסינוס: 0.5. הָהֵן. אחת מאותן משמעויות שהתלמיד יודע צריך.עכשיו בואו נרחיב את היכולות שלנו ל כל שאר הערכים.תחליט, אז תחליט!)

אז נניח שעלינו לפתור את המשוואה הטריגונומטרית הזו:

אין ערך קוסינוס כזה בטבלאות הקצרות. אנו מתעלמים בקרירות מהעובדה הנוראה הזו. צייר עיגול, סמן 2/3 על ציר הקוסינוס וצייר את הזוויות המתאימות. אנחנו מקבלים את התמונה הזו.

בואו נסתכל, ראשית, על הזווית ברבע הראשון. לו רק היינו יודעים למה שווה x, מיד היינו רושמים את התשובה! אנחנו לא יודעים... כישלון!? לְהַרְגִיעַ! המתמטיקה לא משאירה את האנשים שלה בצרות! היא המציאה קוסינוס קשת עבור המקרה הזה. לא יודע? לשווא. גלה, זה הרבה יותר קל ממה שאתה חושב. אין כישוף מסובך אחד לגבי "פונקציות טריגונומטריות הפוכות" בקישור הזה... זה מיותר בנושא זה.

אם אתה יודע, פשוט אמור לעצמך: "X הוא זווית שהקוסינוס שלה שווה ל-2/3." ומיד, אך ורק לפי ההגדרה של arc cosinus, נוכל לכתוב:

אנו זוכרים את המהפכות הנוספות ורושמים בשלווה את סדרת השורשים הראשונה של המשוואה הטריגונומטרית שלנו:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

סדרת השורשים השנייה לזווית השנייה נרשמת כמעט אוטומטית. הכל אותו דבר, רק X (arccos 2/3) יהיה עם מינוס:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

וזה הכל! זו התשובה הנכונה. אפילו יותר קל מאשר עם ערכי טבלה. אין צורך לזכור כלום.) אגב, הקשובים ביותר ישימו לב שהתמונה הזו מציגה את הפתרון דרך קוסינוס הקשת בעצם, לא שונה מהתמונה עבור המשוואה cosx = 0.5.

בְּדִיוּק! העיקרון הכללי הוא בדיוק זה! ציירתי בכוונה שתי תמונות כמעט זהות. המעגל מראה לנו את הזווית איקס לפי הקוסינוס שלו. לא ידוע לכולם אם זה קוסינוס טבלאי או לא. איזה סוג של זווית זו, π /3, או מהו arc cosinus - זה תלוי בנו להחליט.

אותו שיר עם סינוס. לדוגמה:

צייר שוב עיגול, סמן את הסינוס שווה ל-1/3, צייר את הזוויות. זו התמונה שאנו מקבלים:

ושוב התמונה כמעט זהה למשוואה sinx = 0.5.שוב אנחנו מתחילים מהפינה ברבע הראשון. למה שווה X אם הסינוס שלו הוא 1/3? אין בעיה!

כעת חבילת השורשים הראשונה מוכנה:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

נעסוק בזווית השנייה. בדוגמה עם ערך טבלה של 0.5, זה היה שווה ל:

π - x

זה יהיה בדיוק אותו הדבר גם כאן! רק x שונה, arcsin 1/3. אז מה!? אתה יכול לכתוב בבטחה את חבילת השורשים השנייה:

x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

זו תשובה נכונה לחלוטין. למרות שזה לא נראה מאוד מוכר. אבל זה ברור, אני מקווה.)

כך פותרים משוואות טריגונומטריות באמצעות עיגול. דרך זו ברורה ומובנת. הוא זה ששומר במשוואות טריגונומטריות עם בחירת שורשים במרווח נתון, באי-שוויון טריגונומטרי - הם נפתרים בדרך כלל כמעט תמיד במעגל. בקיצור, בכל משימות קצת יותר קשות מהסטנדרטיות.

בואו ליישם ידע בפועל?)

פתרו משוואות טריגונומטריות:

ראשית, פשוט יותר, ישר מהשיעור הזה.

עכשיו זה יותר מסובך.

רמז: כאן תצטרכו לחשוב על המעגל. אישית.)

ועכשיו הם פשוטים כלפי חוץ... הם נקראים גם מקרים מיוחדים.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

רמז: כאן צריך להבין במעגל איפה יש שתי סדרות של תשובות ואיפה יש אחת... ואיך לכתוב אחת במקום שתי סדרות של תשובות. כן, כדי שאף שורש ממספר אינסופי לא יאבד!)

ובכן, פשוט מאוד):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

רמז: כאן אתה צריך לדעת מה הם arcsine ו- arccosine? מה זה arctangent, arccotangent? ההגדרות הפשוטות ביותר. אבל אתה לא צריך לזכור שום ערכי טבלה!)

התשובות הן, כמובן, בלאגן):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0.3 + 2

לא הכל מסתדר? קורה. קרא שוב את השיעור. רק מתוך מחשבה(יש מילה כזו מיושנת...) ועקוב אחרי הקישורים. הקישורים העיקריים הם על המעגל. בלעדיו, טריגונומטריה היא כמו חציית הכביש עם עיניים מכוסות. לפעמים זה עובד.)

אם אתה אוהב את האתר הזה...

אגב, יש לי עוד כמה אתרים מעניינים בשבילך.)

אתה יכול לתרגל פתרון דוגמאות ולגלות את הרמה שלך. בדיקה עם אימות מיידי. בואו ללמוד - בעניין!)

ניתן להכיר פונקציות ונגזרות.

פעם הייתי עד לשיחה בין שני פונים:

– מתי צריך להוסיף 2πn, ומתי צריך להוסיף πn? אני פשוט לא זוכר!

– ויש לי את אותה בעיה.

רק רציתי להגיד להם: "אתם לא צריכים לשנן, אבל מבינים!"

מאמר זה פונה בעיקר לתלמידי תיכון, ואני מקווה שיעזור להם לפתור את המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר באמצעות "הבנה":

עיגול מספרים

לצד המושג קו מספרים קיים גם המושג מעגל מספרים. כידוע, במערכת קואורדינטות מלבנית, מעגל עם מרכז בנקודה (0;0) ורדיוס 1 נקרא מעגל יחידה.בואו נדמיין את קו המספרים כחוט דק ונפתל אותו סביב המעגל הזה: נצמיד את המקור (נקודה 0) לנקודה ה"ימנית" של מעגל היחידה, נעטוף את חצי הציר החיובי נגד כיוון השעון ואת החצי השלילי. -ציר בכיוון (איור 1). מעגל יחידה כזה נקרא מעגל מספרי.

מאפייני מעגל המספרים

  • כל מספר ממשי נמצא בנקודה אחת במעגל המספרים.
  • ישנם אינסוף מספרים ממשיים בכל נקודה במעגל המספרים. מכיוון שאורך מעגל היחידה הוא 2π, ההפרש בין כל שני מספרים בנקודה אחת על המעגל שווה לאחד המספרים ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

בואו נסכם: בידיעה של אחד המספרים של נקודה A, נוכל למצוא את כל המספרים של נקודה A.

נצייר את קוטר ה-AC (איור 2). מכיוון ש-x_0 הוא אחד המספרים של נקודה A, אז המספרים x_0±π; x_0±3π; x_0±5π; ... ורק הם יהיו המספרים של נקודה C. בוא נבחר אחד מהמספרים האלה, נניח, x_0+π, ונשתמש בו כדי לרשום את כל המספרים של נקודה C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ ז. שימו לב שניתן לשלב את המספרים בנקודות A ו-C בנוסחה אחת: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (עבור k = 0; ±2; ±4; ... נקבל את המספרים של נקודה A, ועבור k = ±1; ±3; ±5; … – מספרים של נקודה C).

בואו נסכם: בידיעה של אחד המספרים באחת מהנקודות A או C של הקוטר AC, נוכל למצוא את כל המספרים בנקודות אלו.

  • שני מספרים מנוגדים ממוקמים בנקודות של המעגל שהן סימטריות ביחס לציר האבשיסה.

בואו נצייר אקורד אנכי AB (איור 2). מכיוון שנקודות A ו-B הן סימטריות על ציר Ox, המספר -x_0 ממוקם בנקודה B, ולכן, כל המספרים של נקודה B ניתנים על ידי הנוסחה: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. נכתוב את המספרים בנקודות A ו-B באמצעות נוסחה אחת: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. הבה נסיים: בידיעה של אחד המספרים באחת מנקודות A או B של האקורד האנכי AB, נוכל למצוא את כל המספרים בנקודות אלו. הבה נבחן את האקורד האופקי AD ונמצא את המספרים של נקודה D (איור 2). מכיוון ש-BD הוא קוטר והמספר -x_0 שייך לנקודה B, אז -x_0 + π הוא אחד המספרים של נקודה D, ולכן, כל המספרים של נקודה זו ניתנים על ידי הנוסחה x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. ניתן לכתוב את המספרים בנקודות A ו-D באמצעות נוסחה אחת: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (עבור k= 0; ±2; ±4; … נקבל את המספרים של נקודה A, ועבור k = ±1; ±3; ±5; … – המספרים של נקודה D).

בואו נסכם: בידיעה של אחד המספרים באחת מהנקודות A או D של האקורד האופקי AD, נוכל למצוא את כל המספרים בנקודות אלו.

שש עשרה נקודות עיקריות של מעגל המספרים

בפועל, פתרון רוב המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר כולל שש עשרה נקודות על מעגל (איור 3). מה זה הנקודות האלה? נקודות אדומות, כחולות וירוקות מחלקות את העיגול ל-12 חלקים שווים. מכיוון שאורך חצי העיגול הוא π, אז אורך הקשת A1A2 הוא π/2, אורך הקשת A1B1 הוא π/6, ואורך הקשת A1C1 הוא π/3.

כעת נוכל לציין מספר אחד בכל פעם:

π/3 על C1 ו

הקודקודים של הריבוע הכתום הם נקודות האמצע של הקשתות של כל רבע, לכן, אורך הקשת A1D1 שווה ל-π/4 ולפיכך, π/4 הוא אחד ממספרי הנקודה D1. בעזרת המאפיינים של מעגל המספרים, נוכל להשתמש בנוסחאות כדי לרשום את כל המספרים בכל הנקודות המסומנות של המעגל שלנו. גם הקואורדינטות של נקודות אלו מסומנות באיור (נשמיט את תיאור רכישתן).

לאחר שלמדנו את האמור לעיל, יש לנו כעת הכנה מספקת כדי לפתור מקרים מיוחדים (עבור תשעה ערכים של המספר א)המשוואות הפשוטות ביותר.

לפתור משוואות

1)sinx=1⁄(2).

– מה נדרש מאיתנו?

מצא את כל המספרים x שהסינוס שלהם שווה ל-1/2.

בואו נזכור את ההגדרה של סינוס: sinx – הסמין של הנקודה במעגל המספרים שעליו נמצא המספר x. יש לנו שתי נקודות על המעגל שהאוריד שלהן שווה ל-1/2. אלו הם הקצוות של האקורד האופקי B1B2. המשמעות היא שהדרישה "לפתור את המשוואה sinx=1⁄2" שווה ערך לדרישה "מצא את כל המספרים בנקודה B1 ואת כל המספרים בנקודה B2".

2)sinx=-√3⁄2 .

אנחנו צריכים למצוא את כל המספרים בנקודות C4 ו-C3.

3) sinx=1. על המעגל יש לנו רק נקודה אחת עם הסמין 1 - נקודה A2, ולכן עלינו למצוא רק את כל המספרים של נקודה זו.

תשובה: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

רק לנקודה A_4 יש אורדינאטה של ​​-1. כל המספרים של נקודה זו יהיו הסוסים של המשוואה.

תשובה: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

על המעגל יש לנו שתי נקודות עם הסמין 0 - נקודות A1 ו-A3. ניתן לציין את המספרים בכל אחת מהנקודות בנפרד, אך בהתחשב בעובדה שנקודות אלו הפוכות בקוטר, עדיף לשלב אותן לנוסחה אחת: x=πk,k∈Z.

תשובה: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

בואו נזכור את ההגדרה של קוסינוס: cosx היא האבססיס של הנקודה במעגל המספרים שעליו נמצא המספר x.על המעגל יש לנו שתי נקודות עם האבססיס √2⁄2 - הקצוות של האקורד האופקי D1D4. אנחנו צריכים למצוא את כל המספרים בנקודות האלה. בואו נרשום אותם, נשלב אותם לנוסחה אחת.

תשובה: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

אנחנו צריכים למצוא את המספרים בנקודות C_2 ו-C_3.

תשובה: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

רק לנקודות A2 ו-A4 יש אבשיסה 0, כלומר כל המספרים בכל אחת מהנקודות הללו יהיו פתרונות למשוואה.
.

הפתרונות למשוואת המערכת הם המספרים בנקודות B_3 ו-B_4. לאי השוויון cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
תשובה: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

שימו לב שלכל ערך קביל של x, הגורם השני חיובי ולכן המשוואה שווה למערכת

הפתרונות למשוואת המערכת הם מספר הנקודות D_2 ו-D_3. המספרים של נקודה D_2 אינם מספקים את אי השוויון sinx≤0.5, אבל המספרים של נקודה D_3 כן.


blog.site, בעת העתקת חומר מלא או חלקי, נדרש קישור למקור המקורי.

מושג פתרון משוואות טריגונומטריות.

  • כדי לפתור משוואה טריגונומטרית, המר אותה למשוואה טריגונומטרית אחת או יותר. פתרון משוואה טריגונומטרית מסתכם בסופו של דבר בפתרון ארבע המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות.
  • פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות.

    • ישנם 4 סוגים של משוואות טריגונומטריות בסיסיות:
    • sin x = a; cos x = a
    • tan x = a; ctg x = a
    • פתרון משוואות טריגונומטריות בסיסיות כולל הסתכלות על מיקומי x שונים על מעגל היחידה, וכן שימוש בטבלת המרה (או מחשבון).
    • דוגמה 1. sin x = 0.866. באמצעות טבלת המרה (או מחשבון) תקבלו את התשובה: x = π/3. מעגל היחידה נותן תשובה נוספת: 2π/3. זכור: כל הפונקציות הטריגונומטריות הן תקופתיות, כלומר הערכים שלהן חוזרים על עצמם. לדוגמה, המחזוריות של sin x ושל cos x היא 2πn, והמחזוריות של tg x ו-ctg x היא πn. לכן התשובה כתובה כך:
    • x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
    • דוגמה 2. cos x = -1/2. באמצעות טבלת המרה (או מחשבון) תקבלו את התשובה: x = 2π/3. מעגל היחידה נותן תשובה נוספת: -2π/3.
    • x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
    • דוגמה 3. tg (x - π/4) = 0.
    • תשובה: x = π/4 + πn.
    • דוגמה 4. ctg 2x = 1.732.
    • תשובה: x = π/12 + πn.
  • טרנספורמציות המשמשות בפתרון משוואות טריגונומטריות.

    • כדי להפוך משוואות טריגונומטריות, נעשה שימוש בטרנספורמציות אלגבריות (פקטוריזציה, הפחתת מונחים הומוגניים וכו') ובזהויות טריגונומטריות.
    • דוגמה 5: באמצעות זהויות טריגונומטריות, המשוואה sin x + sin 2x + sin 3x = 0 מומרת למשוואה 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. לפיכך, המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות הבאות צריך לפתור: cos x = 0; sin(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
    • מציאת זוויות באמצעות ערכי פונקציה ידועים.

      • לפני שלומדים כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות, עליך ללמוד כיצד למצוא זוויות באמצעות ערכי פונקציה ידועים. ניתן לעשות זאת באמצעות טבלת המרה או מחשבון.
      • דוגמה: cos x = 0.732. המחשבון ייתן את התשובה x = 42.95 מעלות. מעגל היחידה ייתן זוויות נוספות, שגם הקוסינוס שלהן הוא 0.732.
    • הניחו בצד את הפתרון על מעגל היחידה.

      • אתה יכול לשרטט פתרונות למשוואה טריגונומטרית על מעגל היחידה. פתרונות למשוואה טריגונומטרית במעגל היחידה הם הקודקודים של מצולע רגיל.
      • דוגמה: הפתרונות x = π/3 + πn/2 במעגל היחידה מייצגים את קודקודי הריבוע.
      • דוגמה: הפתרונות x = π/4 + πn/3 במעגל היחידה מייצגים את הקודקודים של משושה רגיל.
    • שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות.

      • אם משוואה טריגונומטרית נתונה מכילה רק פונקציה טריגונומטרית אחת, פתרו את המשוואה כמשוואה טריגונומטרית בסיסית. אם משוואה נתונה כוללת שתי פונקציות טריגונומטריות או יותר, אז ישנן 2 שיטות לפתרון משוואה כזו (בהתאם לאפשרות הטרנספורמציה שלה).
        • שיטה 1.
      • הפוך את המשוואה הזו למשוואה בצורה: f(x)*g(x)*h(x) = 0, כאשר f(x), g(x), h(x) הן המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות.
      • דוגמה 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
      • פִּתָרוֹן. באמצעות נוסחת הזווית הכפולה sin 2x = 2*sin x*cos x, החלף sin 2x.
      • 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. כעת פתרו את שתי המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות: cos x = 0 ו-(sin x + 1) = 0.
      • דוגמה 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
      • פתרון: בעזרת זהויות טריגונומטריות, הפוך את המשוואה הזו למשוואה בצורה: cos 2x(2cos x + 1) = 0. כעת פתרו את שתי המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות: cos 2x = 0 ו- (2cos x + 1) = 0.
      • דוגמה 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
      • פתרון: בעזרת זהויות טריגונומטריות, הפוך את המשוואה הזו למשוואה בצורה: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. כעת פתרו את שתי המשוואות הטריגונומטריות הבסיסיות: cos 2x = 0 ו-(2sin x + 1) = 0 .
        • שיטה 2.
      • המר את המשוואה הטריגונומטרית הנתונה למשוואה המכילה רק פונקציה טריגונומטרית אחת. לאחר מכן החלף את הפונקציה הטריגונומטרית הזו באחת לא ידועה, למשל, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t וכו').
      • דוגמה 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
      • פִּתָרוֹן. במשוואה זו, החלף (cos^2 x) ב-(1 - sin^2 x) (לפי הזהות). המשוואה שעברה טרנספורמציה היא:
      • 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. החלף את sin x ב-t. כעת המשוואה נראית כך: 5t^2 - 4t - 9 = 0. זוהי משוואה ריבועית שיש לה שני שורשים: t1 = -1 ו-t2 = 9/5. השורש השני t2 אינו עומד בטווח הפונקציות (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
      • דוגמה 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
      • פִּתָרוֹן. החלף את tg x ב-t. כתוב מחדש את המשוואה המקורית באופן הבא: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. כעת מצא את t ואז מצא את x עבור t = tan x.
  • ניתן להזמין פתרון מפורט לבעיה!!!

    שוויון המכיל לא ידוע בסימן של פונקציה טריגונומטרית (`sin x, cos x, tan x` או `ctg x`) נקרא משוואה טריגונומטרית, והנוסחאות שלהם נשקול עוד יותר.

    המשוואות הפשוטות ביותר הן `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, כאשר `x` היא הזווית שיש למצוא, `a` הוא כל מספר. הבה נכתוב את נוסחאות השורש עבור כל אחת מהן.

    1. משוואה `sin x=a`.

    עבור `|a|>1` אין לזה פתרונות.

    כאשר `|a| ל-\leq 1` יש מספר אינסופי של פתרונות.

    נוסחת שורש: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

    2. משוואה `cos x=a`

    עבור `|a|>1` - כמו במקרה של סינוס, אין לו פתרונות בין מספרים ממשיים.

    כאשר `|a| ל-\leq 1` יש מספר אינסופי של פתרונות.

    נוסחת שורש: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

    מקרים מיוחדים עבור סינוס וקוסינוס בגרפים.

    3. משוואה `tg x=a`

    יש מספר אינסופי של פתרונות עבור כל ערכים של `a`.

    נוסחת שורש: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

    4. משוואה `ctg x=a`

    יש גם אינסוף פתרונות לכל ערכים של `a`.

    נוסחת שורש: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

    נוסחאות לשורשים של משוואות טריגונומטריות בטבלה

    עבור סינוס:
    עבור קוסינוס:
    עבור משיק וקוטננטי:
    נוסחאות לפתרון משוואות המכילות פונקציות טריגונומטריות הפוכות:

    שיטות לפתרון משוואות טריגונומטריות

    פתרון כל משוואה טריגונומטרית מורכב משני שלבים:

    • בעזרת הפיכתו לפשוטה ביותר;
    • לפתור את המשוואה הפשוטה ביותר שהתקבלה באמצעות נוסחאות השורש והטבלאות שנכתבו למעלה.

    בואו נסתכל על שיטות הפתרון העיקריות באמצעות דוגמאות.

    שיטה אלגברית.

    שיטה זו כוללת החלפת משתנה והחלפתו בשוויון.

    דוגמא. פתרו את המשוואה: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

    `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

    בצע החלפה: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, ואז `2y^2-3y+1=0`,

    אנו מוצאים את השורשים: `y_1=1, y_2=1/2`, שמהם מגיעים שני מקרים:

    1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

    2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

    תשובה: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

    פירוק לגורמים.

    דוגמא. פתרו את המשוואה: `sin x+cos x=1`.

    פִּתָרוֹן. נזיז את כל האיברים של השוויון שמאלה: `sin x+cos x-1=0`. באמצעות , אנו משנים ומפרקים את הצד השמאלי:

    `sin x — 2sin^2 x/2=0`,

    `2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

    `2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

    1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
    2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

    תשובה: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

    הפחתה למשוואה הומוגנית

    ראשית, עליך לצמצם את המשוואה הטריגונומטרית לאחת משתי צורות:

    `a sin x+b cos x=0` (משוואה הומוגנית מהמעלה הראשונה) או `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (משוואה הומוגנית מהמעלה השנייה).

    לאחר מכן חלקו את שני החלקים ב- `cos x \ne 0` - עבור המקרה הראשון, וב- `cos^2 x \ne 0` - עבור השני. נקבל משוואות עבור `tg x`: `a tg x+b=0` ו-`a tg^2 x + b tg x +c =0`, אותם יש לפתור באמצעות שיטות ידועות.

    דוגמא. פתרו את המשוואה: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

    פִּתָרוֹן. בוא נכתוב את הצד הימני בתור `1=sin^2 x+cos^2 x`:

    `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

    `2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

    `sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

    זוהי משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה השנייה, נחלק את הצדדים השמאלי והימני שלה ב-`cos^2 x \ne 0`, נקבל:

    `\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

    `tg^2 x+tg x — 2=0`. הבה נציג את התחליף `tg x=t`, וכתוצאה מכך `t^2 + t - 2=0`. השורשים של משוואה זו הם `t_1=-2` ו-`t_2=1`. לאחר מכן:

    1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
    2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

    תשובה. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

    עוברים לחצי זווית

    דוגמא. פתרו את המשוואה: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

    פִּתָרוֹן. הבה נחיל את נוסחאות הזווית הכפולה, וכתוצאה מכך: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

    `4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

    יישום השיטה האלגברית שתוארה לעיל, נקבל:

    1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
    2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

    תשובה. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

    מבוא של זווית עזר

    במשוואה הטריגונומטרית `a sin x + b cos x =c`, כאשר a,b,c הם מקדמים ו-x הוא משתנה, חלקו את שתי הצדדים ב-`sqrt (a^2+b^2)`:

    `\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

    למקדמים בצד שמאל יש את המאפיינים של סינוס וקוסינוס, כלומר סכום הריבועים שלהם שווה ל-1 והמודולים שלהם אינם גדולים מ-1. הבה נסמן אותם כך: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, ואז:

    `cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

    בואו נסתכל מקרוב על הדוגמה הבאה:

    דוגמא. פתרו את המשוואה: `3 sin x+4 cos x=2`.

    פִּתָרוֹן. נחלק את שני הצדדים של השוויון ב-`sqrt (3^2+4^2)`, נקבל:

    `\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))'

    `3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

    נסמן `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. מאז `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, אז ניקח את `\varphi=arcsin 4/5` בתור זווית עזר. לאחר מכן אנו כותבים את השוויון שלנו בצורה:

    `cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

    יישום הנוסחה של סכום הזוויות עבור הסינוס, אנו כותבים את השוויון שלנו בצורה הבאה:

    `sin (x+\varphi)=2/5`,

    `x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

    `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

    תשובה. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

    משוואות טריגונומטריות רציונליות חלקיות

    מדובר בשוויון עם שברים שהמונים והמכנים שלהם מכילים פונקציות טריגונומטריות.

    דוגמא. פתור את המשוואה. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

    פִּתָרוֹן. הכפלו וחלקו את הצד הימני של השוויון ב-`(1+cos x)`. כתוצאה מכך אנו מקבלים:

    `\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

    `\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

    `\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

    `\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

    `\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

    בהתחשב בכך שהמכנה לא יכול להיות שווה לאפס, נקבל `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

    נשווה את המונה של השבר לאפס: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. ואז `sin x=0` או `1-sin x=0`.

    1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
    2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

    בהתחשב בכך ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, הפתרונות הם `x=2\pi n, n \in Z` ו-`x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

    תשובה. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

    טריגונומטריה, ומשוואות טריגונומטריות בפרט, משמשות כמעט בכל תחומי הגיאומטריה, הפיזיקה וההנדסה. הלימודים מתחילים בכיתה י', תמיד יש משימות לבחינת המדינה המאוחדת, אז נסו לזכור את כל הנוסחאות של משוואות טריגונומטריות - הן בהחלט יועילו לכם!

    עם זאת, אתה אפילו לא צריך לשנן אותם, העיקר הוא להבין את המהות ולהיות מסוגל להפיק אותה. זה לא כל כך קשה כמו שזה נראה. ראה בעצמך על ידי צפייה בסרטון.

    שיעור ומצגת בנושא: "פתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות"

    חומרים נוספים
    משתמשים יקרים, אל תשכחו להשאיר הערות, ביקורות, משאלות! כל החומרים נבדקו על ידי תוכנת אנטי וירוס.

    מדריכים וסימולטורים בחנות המקוונת אינטגרל לכיתה י' מבית 1C
    אנו פותרים בעיות בגיאומטריה. משימות אינטראקטיביות לבנייה בחלל
    סביבת תוכנה "1C: Mathematical Constructor 6.1"

    מה נלמד:
    1. מהן משוואות טריגונומטריות?

    3. שתי שיטות עיקריות לפתרון משוואות טריגונומטריות.
    4. משוואות טריגונומטריות הומוגניות.
    5. דוגמאות.

    מהן משוואות טריגונומטריות?

    חבר'ה, כבר למדנו arcsine, arccosine, arctangent ו- arccotangent. עכשיו בואו נסתכל על משוואות טריגונומטריות באופן כללי.

    משוואות טריגונומטריות הן משוואות שבהן משתנה כלול בסימן של פונקציה טריגונומטרית.

    הבה נחזור על צורת פתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר:

    1)אם |a|≤ 1, אז למשוואה cos(x) = a יש פתרון:

    X= ± arccos(a) + 2πk

    2) אם |a|≤ 1, אז למשוואה sin(x) = a יש פתרון:

    3) אם |a| > 1, אז למשוואה sin(x) = a ול-cos(x) = a אין פתרונות 4) למשוואה tg(x)=a יש פתרון: x=arctg(a)+ πk

    5) למשוואה ctg(x)=a יש פתרון: x=arcctg(a)+ πk

    עבור כל הנוסחאות k הוא מספר שלם

    למשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר יש את הצורה: T(kx+m)=a, T היא פונקציה טריגונומטרית כלשהי.

    דוגמא.

    פתרו את המשוואות: א) sin(3x)= √3/2

    פִּתָרוֹן:

    א) נסמן 3x=t, ואז נכתוב מחדש את המשוואה שלנו בצורה:

    הפתרון למשוואה זו יהיה: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

    מטבלת הערכים נקבל: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

    נחזור למשתנה שלנו: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

    ואז x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

    תשובה: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, כאשר n הוא מספר שלם. (-1)^n – מינוס אחד בחזקת n.

    דוגמאות נוספות למשוואות טריגונומטריות.

    פתרו את המשוואות: א) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

    פִּתָרוֹן:

    א) הפעם נעבור ישירות לחישוב שורשי המשוואה מיד:

    X/5= ± arccos(1) + 2πk. ואז x/5= πk => x=5πk

    תשובה: x=5πk, כאשר k הוא מספר שלם.

    ב) נכתוב את זה בצורה: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. אנו יודעים ש: arctan(√3)= π/3

    3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

    תשובה: x=2π/9 + πk/3, כאשר k הוא מספר שלם.

    פתרו את המשוואות: cos(4x)= √2/2. ומצא את כל השורשים על הקטע.

    פִּתָרוֹן:

    הבה נפתור את המשוואה שלנו בצורה כללית: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

    4x= ± π/4 + 2πk;

    X= ± π/16+ πk/2;

    עכשיו בואו נראה אילו שורשים נופלים על הקטע שלנו. ב-k בשעה k=0, x= π/16, אנו נמצאים בקטע הנתון.
    עם k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, נפגע שוב.
    עבור k=2, x= π/16+ π=17π/16, אבל כאן לא פגענו, מה שאומר שגם עבור k גדול ברור שלא נפגע.

    תשובה: x= π/16, x= 9π/16

    שתי שיטות פתרון עיקריות.

    הסתכלנו על המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר, אבל יש גם מורכבות יותר. כדי לפתור אותם, נעשה שימוש בשיטת הכנסת משתנה חדש ובשיטת הפירוק לגורמים. בואו נסתכל על דוגמאות.

    בואו נפתור את המשוואה:

    פִּתָרוֹן:
    כדי לפתור את המשוואה שלנו, נשתמש בשיטה של ​​הכנסת משתנה חדש, המציין: t=tg(x).

    כתוצאה מההחלפה נקבל: t 2 + 2t -1 = 0

    בוא נמצא את השורשים של המשוואה הריבועית: t=-1 ו-t=1/3

    ואז tg(x)=-1 ו-tg(x)=1/3, נקבל את המשוואה הטריגונומטרית הפשוטה ביותר, בואו נמצא את השורשים שלה.

    X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

    תשובה: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

    דוגמה לפתרון משוואה

    פתרו משוואות: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

    פִּתָרוֹן:

    בואו נשתמש בזהות: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

    המשוואה שלנו תקבל את הצורה: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

    2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

    הבה נציג את ההחלפה t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

    הפתרון למשוואה הריבועית שלנו הוא השורשים: t=2 ו-t=-1/2

    ואז cos(x)=2 ו-cos(x)=-1/2.

    כי קוסינוס לא יכול לקחת ערכים גדולים מאחד, אז ל-cos(x)=2 אין שורשים.

    עבור cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

    תשובה: x= ±2π/3 + 2πk

    משוואות טריגונומטריות הומוגניות.

    הגדרה: משוואות בצורת a sin(x)+b cos(x) נקראות משוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה הראשונה.

    משוואות של הצורה

    משוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה השנייה.

    כדי לפתור משוואה טריגונומטרית הומוגנית מהמעלה הראשונה, חלקו אותה ב-cos(x): לא ניתן לחלק בקוסינוס אם הוא שווה לאפס, בואו נוודא שזה לא המקרה:
    תנו cos(x)=0, ואז asin(x)+0=0 => sin(x)=0, אבל סינוס וקוסינוס אינם שווים לאפס בו זמנית, נקבל סתירה, כך שנוכל לחלק בבטחה באפס.

    פתור את המשוואה:
    דוגמה: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

    פִּתָרוֹן:

    הבה נוציא את הגורם המשותף: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

    אז אנחנו צריכים לפתור שתי משוואות:

    Cos(x)=0 ו-cos(x)+sin(x)=0

    Cos(x)=0 ב-x= π/2 + πk;

    שקול את המשוואה cos(x)+sin(x)=0 חלקו את המשוואה שלנו ב-cos(x):

    1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

    תשובה: x= π/2 + πk ו-x= -π/4+πk

    כיצד לפתור משוואות טריגונומטריות הומוגניות מהמעלה השנייה?
    חברים, תמיד פעלו לפי הכללים האלה!

    1. ראה למה שווה המקדם a, אם a=0 אז המשוואה שלנו תקבל את הצורה cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), דוגמה לפתרון שלה בשקופית הקודמת

    2. אם a≠0, אז אתה צריך לחלק את שני הצדדים של המשוואה בקוסינוס בריבוע, נקבל:


    נשנה את המשתנה t=tg(x) ונקבל את המשוואה:

    פתרו דוגמה מס':3

    פתור את המשוואה:
    פִּתָרוֹן:

    נחלק את שני הצדדים של המשוואה בריבוע הקוסינוס:

    אנו משנים את המשתנה t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

    בוא נמצא את השורשים של המשוואה הריבועית: t=-3 ו-t=1

    לאחר מכן: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

    Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

    תשובה: x=-arctg(3) + πk ו-x= π/4+ πk

    פתרו דוגמה מס':4

    פתור את המשוואה:

    פִּתָרוֹן:
    בואו נשנה את הביטוי שלנו:


    נוכל לפתור משוואות כאלה: x= - π/4 + 2πk ו-x=5π/4 + 2πk

    תשובה: x= - π/4 + 2πk ו-x=5π/4 + 2πk

    פתרו דוגמה מס':5

    פתור את המשוואה:

    פִּתָרוֹן:
    בואו נשנה את הביטוי שלנו:


    הבה נציג את התחליף tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

    הפתרון למשוואה הריבועית שלנו יהיה השורשים: t=-2 ו-t=1/2

    ואז נקבל: tg(2x)=-2 ו-tg(2x)=1/2
    2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

    2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

    תשובה: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ו-x=arctg(1/2)/2+ πk/2

    בעיות לפתרון עצמאי.

    1) פתרו את המשוואה

    א) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

    2) פתרו את המשוואות: sin(3x)= √3/2. ומצא את כל השורשים על הקטע [π/2; π].

    3) פתרו את המשוואה: מיטת 2 (x) + 2 מיטת תינוק (x) + 1 =0

    4) פתרו את המשוואה: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

    5) פתרו את המשוואה: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

    6) פתרו את המשוואה: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)



    מאמר זה זמין גם בשפות הבאות: תאילנדית

    • הַבָּא

      תודה רבה על המידע המאוד שימושי במאמר. הכל מוצג בצורה מאוד ברורה. זה מרגיש כאילו נעשתה עבודה רבה כדי לנתח את פעולת חנות eBay

      • תודה לך ולשאר הקוראים הקבועים של הבלוג שלי. בלעדיכם, לא היה לי מספיק מוטיבציה להקדיש זמן רב לתחזוקת האתר הזה. המוח שלי בנוי כך: אני אוהב לחפור לעומק, לבצע שיטתיות של נתונים מפוזרים, לנסות דברים שאף אחד לא עשה בעבר או הסתכל עליהם מהזווית הזו. חבל שלבני ארצנו אין זמן לקניות באיביי בגלל המשבר ברוסיה. הם קונים מאליאקספרס מסין, מכיוון שהסחורה שם הרבה יותר זולה (לעיתים קרובות על חשבון האיכות). אבל מכירות פומביות מקוונות eBay, Amazon, ETSY יתנו לסינים בקלות ראש במגוון פריטי מותגים, פריטי וינטג', פריטים בעבודת יד ומוצרים אתניים שונים.

        • הַבָּא

          מה שחשוב במאמרים שלך הוא היחס האישי שלך וניתוח הנושא. אל תוותר על הבלוג הזה, אני מגיע לכאן לעתים קרובות. צריכים להיות הרבה מאיתנו כאלה. תשלח לי אימייל לאחרונה קיבלתי מייל עם הצעה שילמדו אותי איך לסחור באמזון ובאיביי. ונזכרתי במאמרים המפורטים שלך על העסקאות האלה. אֵזוֹר קראתי שוב הכל והגעתי למסקנה שהקורסים הם הונאה. עדיין לא קניתי שום דבר באיביי. אני לא מרוסיה, אלא מקזחסטן (אלמטי). אבל אנחנו גם לא צריכים עוד הוצאות נוספות. אני מאחל לך בהצלחה ותישארי בטוח באסיה.

    • זה גם נחמד שהניסיונות של eBay להרוס את הממשק עבור משתמשים מרוסיה וממדינות חבר העמים החלו להניב פרי. אחרי הכל, הרוב המכריע של אזרחי מדינות ברית המועצות לשעבר אינם בעלי ידע רב בשפות זרות. לא יותר מ-5% מהאוכלוסייה דוברי אנגלית. יש יותר בקרב צעירים. לכן, לפחות הממשק הוא ברוסית - זו עזרה גדולה לקניות מקוונות בפלטפורמת מסחר זו. eBay לא הלכה בדרכה של מקבילתה הסינית Aliexpress, שם מתבצעת תרגום מכונה (מאוד מגושם ולא מובן, לפעמים גורם לצחוק) של תיאורי מוצרים. אני מקווה שבשלב מתקדם יותר של פיתוח הבינה המלאכותית, תרגום מכונה איכותי מכל שפה לכל שפה תוך שניות יהפוך למציאות. עד כה יש לנו את זה (הפרופיל של אחד המוכרים באיביי עם ממשק רוסי, אבל תיאור באנגלית):
      https://uploads.disquscdn.com/images/7a52c9a89108b922159a4fad35de0ab0bee0c8804b9731f56d8a1dc659655d60.png