מציאת משמעותו של ביטוי, דוגמאות, פתרונות. מציאת ערך של ביטוי, דוגמאות, פתרונות מציאת ערכי ביטויים עם משתנים

מאמר זה דן כיצד למצוא את הערכים של ביטויים מתמטיים. נתחיל עם ביטויים מספריים פשוטים ולאחר מכן נשקול מקרים ככל שהמורכבות שלהם עולה. בסוף נציג ביטוי המכיל סמלי אותיות, סוגריים, שורשים, סמלים מתמטיים מיוחדים, חזקות, פונקציות וכו'. לפי המסורת, נספק לכל התיאוריה דוגמאות בשפע ומפורט.

כיצד למצוא את הערך של ביטוי מספרי?

ביטויים מספריים, בין היתר, עוזרים לתאר את מצבה של בעיה בשפה מתמטית. באופן כללי, ביטויים מתמטיים יכולים להיות פשוטים מאוד, מורכבים מזוג מספרים וסמלים אריתמטיים, או מורכבים מאוד, המכילים פונקציות, חזקות, שורשים, סוגריים וכו'. כחלק ממשימה, לעתים קרובות יש צורך למצוא את המשמעות של ביטוי מסוים. כיצד לעשות זאת נדון להלן.

המקרים הפשוטים ביותר

אלו מקרים שבהם הביטוי אינו מכיל דבר מלבד מספרים ופעולות אריתמטיות. כדי למצוא בהצלחה את הערכים של ביטויים כאלה, תזדקק לידע בסדר ביצוע פעולות אריתמטיות ללא סוגריים, כמו גם את היכולת לבצע פעולות עם מספרים שונים.

אם הביטוי מכיל רק מספרים וסימני חשבון " + " , " · " , " - " , " ÷ " , אז הפעולות מתבצעות משמאל לימין בסדר הבא: תחילה כפל וחילוק, לאחר מכן חיבור וחיסור. בואו ניתן דוגמאות.

דוגמה 1: הערך של ביטוי מספרי

תן לך למצוא את הערכים של הביטוי 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

בוא נעשה תחילה את הכפל והחילוק. אנחנו מקבלים:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

כעת אנו מבצעים את החיסור ומקבלים את התוצאה הסופית:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

דוגמה 2: הערך של ביטוי מספרי

בואו לחשב: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

ראשית אנו מבצעים המרת שברים, חילוק וכפל:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

עכשיו בואו נעשה קצת חיבור וחיסור. בואו נקבץ את השברים ונביא אותם למכנה משותף:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

הערך הנדרש נמצא.

ביטויים עם סוגריים

אם ביטוי מכיל סוגריים, הם מגדירים את סדר הפעולות בביטוי זה. הפעולות בסוגריים מבוצעות תחילה, ולאחר מכן את כל האחרות. בואו נראה זאת עם דוגמה.

דוגמה 3: הערך של ביטוי מספרי

בוא נמצא את הערך של הביטוי 0.5 · (0.76 - 0.06).

הביטוי מכיל סוגריים, אז קודם כל מבצעים את פעולת החיסור בסוגריים, ורק אחר כך את הכפל.

0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.

המשמעות של ביטויים המכילים סוגריים בתוך סוגריים מצויה על פי אותו עיקרון.

דוגמה 4: הערך של ביטוי מספרי

בוא נחשב את הערך 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

נבצע פעולות החל מהסוגריים הפנימיים ביותר, עוברים אל החיצוניים.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

כאשר מוצאים את המשמעויות של ביטויים עם סוגריים, העיקר לעקוב אחר רצף הפעולות.

ביטויים עם שורשים

ביטויים מתמטיים שעלינו למצוא את ערכיהם עשויים להכיל סימני שורש. יתר על כן, הביטוי עצמו עשוי להיות תחת סימן השורש. מה לעשות במקרה זה? ראשית עליך למצוא את הערך של הביטוי מתחת לשורש, ולאחר מכן לחלץ את השורש מהמספר המתקבל כתוצאה מכך. אם אפשר, עדיף להיפטר משורשים בביטויים מספריים, ולהחליף אותם בערכים מספריים.

דוגמה 5: הערך של ביטוי מספרי

בוא נחשב את הערך של הביטוי עם שורשים - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

ראשית, אנו מחשבים את הביטויים הרדיקליים.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

עכשיו אתה יכול לחשב את הערך של הביטוי כולו.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

לעתים קרובות, מציאת המשמעות של ביטוי עם שורשים מצריכה לרוב המרת הביטוי המקורי. בואו נסביר זאת עם דוגמה נוספת.

דוגמה 6: הערך של ביטוי מספרי

מה זה 3 + 1 3 - 1 - 1

כפי שאתה יכול לראות, אין לנו אפשרות להחליף את השורש בערך מדויק, מה שמקשה על תהליך הספירה. עם זאת, במקרה זה, אתה יכול ליישם את נוסחת הכפל המקוצר.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

לכן:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

ביטויים עם כוחות

אם ביטוי מכיל כוחות, יש לחשב את הערכים שלהם לפני שתמשיך עם כל הפעולות האחרות. קורה שהמעריך או הבסיס של התואר עצמו הם ביטויים. במקרה זה, הערך של ביטויים אלה מחושב תחילה, ולאחר מכן את ערך התואר.

דוגמה 7: הערך של ביטוי מספרי

בואו נמצא את הערך של הביטוי 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

בואו נתחיל לחשב לפי הסדר.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

כל שנותר הוא לבצע את פעולת ההוספה ולברר את משמעות הביטוי:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

כמו כן, לעתים קרובות מומלץ לפשט ביטוי באמצעות מאפיינים של תואר.

דוגמה 8: הערך של ביטוי מספרי

בוא נחשב את הערך של הביטוי הבא: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

המעריכים הם שוב כאלה שלא ניתן לקבל את הערכים המספריים המדויקים שלהם. בואו נפשט את הביטוי המקורי כדי למצוא את ערכו.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

ביטויים עם שברים

אם ביטוי מכיל שברים, אז בעת חישוב ביטוי כזה, כל השברים בו חייבים להיות מיוצגים כשברים רגילים ולחשב את ערכם.

אם המונה והמכנה של השבר מכילים ביטויים, אז הערכים של ביטויים אלה מחושבים תחילה, והערך הסופי של השבר עצמו נרשם. פעולות אריתמטיות מתבצעות בסדר הסטנדרטי. בואו נסתכל על הפתרון לדוגמה.

דוגמה 9: הערך של ביטוי מספרי

בוא נמצא את הערך של הביטוי המכיל שברים: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

כפי שאתה יכול לראות, ישנם שלושה שברים בביטוי המקורי. תחילה נחשב את הערכים שלהם.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

הבה נשכתב את הביטוי שלנו ונחשב את ערכו:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

לעתים קרובות כשמוצאים את המשמעות של ביטויים, זה נוח להפחית שברים. יש כלל שלא נאמר: לפני מציאת הערך שלו, עדיף לפשט כל ביטוי למקסימום, לצמצם את כל החישובים למקרים הפשוטים ביותר.

דוגמה 10: הערך של ביטוי מספרי

בוא נחשב את הביטוי 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

אנחנו לא יכולים לחלץ לחלוטין את השורש של חמישה, אבל אנחנו יכולים לפשט את הביטוי המקורי באמצעות טרנספורמציות.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

הביטוי המקורי מקבל את הצורה:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

בואו נחשב את הערך של הביטוי הזה:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

ביטויים עם לוגריתמים

כאשר לוגריתמים קיימים בביטוי, ערכם מחושב מההתחלה, אם אפשר. לדוגמה, בביטוי log 2 4 + 2 · 4, אתה יכול מיד לרשום את הערך של לוגריתם זה במקום log 2 4, ולאחר מכן לבצע את כל הפעולות. נקבל: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

ניתן למצוא ביטויים מספריים גם מתחת לסימן הלוגריתם עצמו ובבסיסו. במקרה זה, הדבר הראשון שצריך לעשות הוא למצוא את המשמעויות שלהם. ניקח את הביטוי יומן 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. יש לנו:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

אם אי אפשר לחשב את הערך המדויק של הלוגריתם, פישוט הביטוי עוזר למצוא את ערכו.

דוגמה 11: הערך של ביטוי מספרי

בוא נמצא את הערך של הביטוי log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

לפי תכונת הלוגריתמים:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

אם נשתמש שוב במאפייני הלוגריתמים, עבור השבר האחרון בביטוי נקבל:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

כעת תוכל להמשיך לחישוב הערך של הביטוי המקורי.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

ביטויים עם פונקציות טריגונומטריות

קורה שהביטוי מכיל את הפונקציות הטריגונומטריות של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט, כמו גם את הפונקציות ההפוכות שלהם. הערך מחושב מלפני ביצוע כל שאר פעולות החשבון. אחרת, הביטוי מפושט.

דוגמה 12: הערך של ביטוי מספרי

מצא את הערך של הביטוי: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

ראשית, אנו מחשבים את ערכי הפונקציות הטריגונומטריות הכלולות בביטוי.

sin - 5 π 2 = - 1

אנו מחליפים את הערכים בביטוי ומחשבים את ערכו:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

נמצא ערך הביטוי.

לעתים קרובות, כדי למצוא את הערך של ביטוי עם פונקציות טריגונומטריות, תחילה יש להמיר אותו. בואו נסביר עם דוגמה.

דוגמה 13: הערך של ביטוי מספרי

עלינו למצוא את הערך של הביטוי cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

לצורך ההמרה נשתמש בנוסחאות הטריגונומטריות לקוסינוס של זווית כפולה ולקוסינוס של סכום.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 - π 1 1 - 1 = 0 .

מקרה כללי של ביטוי מספרי

באופן כללי, ביטוי טריגונומטרי יכול להכיל את כל האלמנטים שתוארו לעיל: סוגריים, חזקות, שורשים, לוגריתמים, פונקציות. הבה ננסח כלל כללי למציאת המשמעויות של ביטויים כאלה.

כיצד למצוא את הערך של ביטוי

1. שורשים, חזקות, לוגריתמים וכו'. מוחלפים בערכים שלהם.
2. הפעולות בסוגריים מבוצעות.
3. שאר הפעולות מתבצעות לפי הסדר משמאל לימין. ראשית - כפל וחילוק, אחר כך - חיבור וחיסור.

בואו נסתכל על דוגמה.

דוגמה 14: הערך של ביטוי מספרי

בוא נחשב את ערך הביטוי - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

הביטוי די מורכב ומסורבל. לא סתם בחרנו בדיוק בדוגמה כזו, לאחר שניסינו להתאים בה את כל המקרים שתוארו לעיל. איך למצוא את המשמעות של ביטוי כזה?

ידוע כי בעת חישוב הערך של צורת שבר מורכבת, ערכי המונה והמכנה של השבר נמצאים תחילה בנפרד, בהתאמה. ברציפות נשמר ונפשט את הביטוי הזה.

קודם כל, בואו נחשב את הערך של הביטוי הרדיקלי 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. כדי לעשות זאת, עליך למצוא את הערך של הסינוס ואת הביטוי שהוא הארגומנט של הפונקציה הטריגונומטרית.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

עכשיו אתה יכול לגלות את הערך של הסינוס:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.

אנו מחשבים את הערך של הביטוי הרדיקלי:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

עם המכנה של השבר הכל פשוט יותר:

כעת נוכל לכתוב את הערך של השבר השלם:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

בהתחשב בכך, אנו כותבים את הביטוי כולו:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

תוצאה סופית:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

במקרה זה, הצלחנו לחשב את הערכים המדויקים של שורשים, לוגריתמים, סינוסים וכו'. אם זה לא אפשרי, אתה יכול לנסות להיפטר מהם באמצעות טרנספורמציות מתמטיות.

חישוב ערכי ביטוי בשיטות רציונליות

יש לחשב ערכים מספריים באופן עקבי ומדויק. תהליך זה ניתן לרציונליזציה ולהאיץ באמצעות מאפיינים שונים של פעולות עם מספרים. למשל, ידוע שמכפלה שווה לאפס אם לפחות אחד מהגורמים שווה לאפס. אם ניקח בחשבון תכונה זו, נוכל לומר מיד שהביטוי 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 שווה לאפס. יחד עם זאת, אין כלל צורך לבצע את הפעולות לפי הסדר המתואר במאמר לעיל.

נוח גם להשתמש בתכונה של הפחתת מספרים שווים. מבלי לבצע פעולות כלשהן, ניתן להורות שהערך של הביטוי 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 גם הוא אפס.

טכניקה נוספת להאצת התהליך היא שימוש בתמורות זהות כגון קיבוץ מונחים וגורמים והצבת הגורם המשותף בין סוגריים. גישה רציונלית לחישוב ביטויים עם שברים היא לצמצם את אותם ביטויים במונה ובמכנה.

לדוגמה, קח את הביטוי 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. מבלי לבצע את הפעולות בסוגריים, אלא על ידי הפחתת השבר, נוכל לומר שערך הביטוי הוא 1 3 .

מציאת ערכי ביטויים עם משתנים

הערך של ביטוי מילולי וביטוי עם משתנים נמצא עבור ערכים נתונים ספציפיים של אותיות ומשתנים.

מציאת ערכי ביטויים עם משתנים

כדי למצוא את הערך של ביטוי מילולי וביטוי עם משתנים, עליך להחליף את הערכים הנתונים של אותיות ומשתנים בביטוי המקורי, ולאחר מכן לחשב את הערך של הביטוי המספרי המתקבל.

דוגמה 15: ערך של ביטוי עם משתנים

חשב את הערך של הביטוי 0, 5 x - y נתון x = 2, 4 ו- y = 5.

אנו מחליפים את ערכי המשתנים בביטוי ומחשבים:

0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.

לפעמים אתה יכול להפוך ביטוי כך שתקבל את הערך שלו ללא קשר לערכי האותיות והמשתנים הכלולים בו. כדי לעשות זאת, אתה צריך להיפטר מאותיות ומשתנים בביטוי, אם אפשר, באמצעות טרנספורמציות זהות, תכונות של פעולות אריתמטיות וכל השיטות האפשריות האחרות.

לדוגמה, לביטוי x + 3 - x יש כמובן את הערך 3, וכדי לחשב ערך זה אין צורך לדעת את הערך של המשתנה x. הערך של ביטוי זה שווה לשלושה עבור כל הערכים של המשתנה x מטווח הערכים המותרים שלו.

עוד דוגמה אחת. הערך של הביטוי x x שווה לאחד עבור כל ה-x החיוביים.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter

לכן, אם ביטוי מספרי מורכב ממספרים ומהסימנים +, −, · ו:, אז לפי סדר משמאל לימין עליך לבצע תחילה כפל וחילוק, ולאחר מכן חיבור וחיסור, שיאפשרו לך למצוא את הערך הרצוי של הביטוי.

בוא ניתן כמה דוגמאות להבהרה.

דוגמא.

חשב את הערך של הביטוי 14−2·15:6−3.

פִּתָרוֹן.

כדי למצוא את הערך של ביטוי, עליך לבצע את כל הפעולות המצוינות בו בהתאם לסדר המקובל של ביצוע פעולות אלו. ראשית, על מנת משמאל לימין, אנו מבצעים כפל וחילוק, אנו מקבלים 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. כעת אנו מבצעים גם את הפעולות הנותרות בסדר משמאל לימין: 14−5−3=9−3=6. כך מצאנו את הערך של הביטוי המקורי, הוא שווה ל-6.

תשובה:

14−2·15:6−3=6.

דוגמא.

מצא את משמעות הביטוי.

פִּתָרוֹן.

בדוגמה זו, עלינו לבצע תחילה את הכפל 2·(−7) ואת החלוקה עם הכפל בביטוי . נזכור איך , אנו מוצאים 2·(−7)=−14. ולבצע תחילה את הפעולות בביטוי , לאחר מכן , ובצע: .

אנו מחליפים את הערכים שהתקבלו בביטוי המקורי: .

אבל מה אם יש ביטוי מספרי מתחת לסימן השורש? כדי לקבל את הערך של שורש כזה, תחילה עליך למצוא את הערך של הביטוי הרדיקלי, תוך הקפדה על הסדר המקובל של ביצוע הפעולות. לדוגמה, .

בביטויים מספריים יש לתפוס שורשים כמספרים מסוימים, ורצוי להחליף מיד את השורשים בערכים שלהם, ולאחר מכן למצוא את הערך של הביטוי המתקבל ללא שורשים, תוך ביצוע פעולות ברצף המקובל.

דוגמא.

מצא את משמעות הביטוי עם שורשים.

פִּתָרוֹן.

ראשית בואו נמצא את הערך של השורש . לשם כך, ראשית, אנו מחשבים את הערך של הביטוי הרדיקלי, יש לנו −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. ושנית, אנו מוצאים את ערכו של השורש.

כעת נחשב את הערך של השורש השני מהביטוי המקורי: .

לבסוף, נוכל למצוא את משמעות הביטוי המקורי על ידי החלפת השורשים בערכיהם: .

תשובה:

לעתים קרובות למדי, כדי למצוא את המשמעות של ביטוי עם שורשים, תחילה יש צורך לשנות אותו. בואו נראה את הפתרון של הדוגמה.

דוגמא.

מה משמעות הביטוי .

פִּתָרוֹן.

אין באפשרותנו להחליף את שורש שלוש בערכו המדויק, מה שלא מאפשר לנו לחשב את ערכו של ביטוי זה באופן שתואר לעיל. עם זאת, אנו יכולים לחשב את הערך של ביטוי זה על ידי ביצוע טרנספורמציות פשוטות. יָשִׂים נוסחת הבדל ריבועי: . אם לוקחים בחשבון, אנחנו מקבלים . לפיכך, הערך של הביטוי המקורי הוא 1.

תשובה:

.

עם תארים

אם הבסיס והמעריך הם מספרים, ערכם מחושב על ידי קביעת המידה, למשל 3 2 =3·3=9 או 8 −1 =1/8. ישנם גם ערכים שבהם הבסיס ו/או המעריך הם כמה ביטויים. במקרים אלו, עליך למצוא את ערך הביטוי בבסיס, את ערך הביטוי במעריך, ולאחר מכן לחשב את ערך התואר עצמו.

דוגמא.

מצא את הערך של ביטוי בעל כוחות הצורה 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4.

פִּתָרוֹן.

בביטוי המקורי ישנן שתי חזקות 2 3·4−10 ו-(1−1/2) 3.5−2·1/4. יש לחשב את הערכים שלהם לפני ביצוע פעולות אחרות.

נתחיל בחזקת 2 3·4−10. המחוון שלו מכיל ביטוי מספרי, בואו נחשב את ערכו: 3·4−10=12−10=2. כעת ניתן למצוא את הערך של התואר עצמו: 2 3·4−10 =2 2 =4.

הבסיס והמעריך (1−1/2) 3.5−2 1/4 מכילים ביטויים שאנו מחשבים את ערכם כדי למצוא את הערך של המעריך. יש לנו (1–1/2) 3.5–2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

כעת נחזור לביטוי המקורי, נחליף את המעלות בו בערכיהן, ונמצא את ערך הביטוי שאנו צריכים: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

תשובה:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.

ראוי לציין כי ישנם מקרים נפוצים יותר כאשר מומלץ לערוך בדיקה מקדימה פישוט ביטוי עם כוחותעל הבסיס.

דוגמא.

מצא את משמעות הביטוי .

פִּתָרוֹן.

אם לשפוט לפי המעריכים בביטוי זה, לא ניתן יהיה לקבל ערכים מדויקים של המעריכים. בואו ננסה לפשט את הביטוי המקורי, אולי זה יעזור למצוא את המשמעות שלו. יש לנו

תשובה:

.

כוחות בביטויים הולכים לעתים קרובות יד ביד עם לוגריתמים, אבל נדבר על מציאת המשמעות של ביטויים עם לוגריתמים באחד מה.

מציאת הערך של ביטוי עם שברים

ביטויים מספריים עשויים להכיל שברים בסימון שלהם. כאשר אתה צריך למצוא את המשמעות של ביטוי כזה, יש להחליף שברים שאינם שברים בערכים שלהם לפני שתמשיך עם שאר השלבים.

המונה והמכנה של השברים (ששונים משברים רגילים) יכולים להכיל גם כמה מספרים וגם ביטויים. כדי לחשב את הערך של שבר כזה, צריך לחשב את ערך הביטוי במונה, לחשב את ערך הביטוי במכנה, ואז לחשב את ערך השבר עצמו. סדר זה מוסבר על ידי העובדה שהשבר a/b, שבו a ו-b הם כמה ביטויים, מייצג בעצם מנה של הצורה (a):(b), שכן .

בואו נסתכל על הפתרון לדוגמה.

דוגמא.

מצא את המשמעות של ביטוי עם שברים .

פִּתָרוֹן.

ישנם שלושה שברים בביטוי המספרי המקורי ו. כדי למצוא את הערך של הביטוי המקורי, ראשית עלינו להחליף את השברים האלה בערכים שלהם. בוא נעשה את זה.

המונה והמכנה של שבר מכילים מספרים. כדי למצוא את הערך של שבר כזה, החלף את סרגל השברים בסימן חלוקה ובצע את הפעולה הזו: .

במונה השבר יש ביטוי 7−2·3, קל למצוא את ערכו: 7−2·3=7−6=1. לכן, . אתה יכול להמשיך למציאת הערך של השבר השלישי.

השבר השלישי במונה ובמכנה מכיל ביטויים מספריים, לכן תחילה עליך לחשב את ערכם, וזה יאפשר לך למצוא את הערך של השבר עצמו. יש לנו .

נותר להחליף את הערכים שנמצאו בביטוי המקורי ולבצע את הפעולות הנותרות: .

תשובה:

.

לעתים קרובות, כאשר מוצאים את הערכים של ביטויים עם שברים, אתה צריך לבצע פישוט ביטויים שברים, מבוסס על ביצוע פעולות עם שברים והקטנת שברים.

דוגמא.

מצא את משמעות הביטוי .

פִּתָרוֹן.

לא ניתן לחלץ את השורש של חמש לחלוטין, אז כדי למצוא את הערך של הביטוי המקורי, בואו נפשט אותו תחילה. לזה בואו נפטר מחוסר ההיגיון במכנהשבר ראשון: . לאחר מכן, הביטוי המקורי יקבל את הצורה . לאחר הפחתת השברים, השורשים ייעלמו, מה שיאפשר לנו למצוא את ערכו של הביטוי שניתן בתחילה: .

תשובה:

.

עם לוגריתמים

אם ביטוי מספרי מכיל , ואם אפשר להיפטר מהם, אז זה נעשה לפני ביצוע פעולות אחרות. לדוגמה, בעת מציאת הערך של הביטוי log 2 4+2·3, הלוגריתם log 2 4 מוחלף בערכו 2, ולאחר מכן מבצעים את שאר הפעולות בסדר הרגיל, כלומר, log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

כאשר ישנם ביטויים מספריים מתחת לסימן הלוגריתם ו/או בבסיסו, תחילה מוצאים את ערכם, ולאחר מכן מחושב ערך הלוגריתם. לדוגמה, שקול ביטוי עם לוגריתם של הצורה . בבסיס הלוגריתם ותחת הסימן שלו יש ביטויים מספריים אנו מוצאים את ערכיהם: . כעת אנו מוצאים את הלוגריתם, ולאחר מכן נשלים את החישובים: .

אם הלוגריתמים אינם מחושבים במדויק, אז פישוט ראשוני שלו באמצעות . יחד עם זאת, עליך לשלוט היטב בחומר שבכתבה. המרת ביטויים לוגריתמיים.

דוגמא.

מצא את הערך של ביטוי באמצעות לוגריתמים .

פִּתָרוֹן.

נתחיל בחישוב יומן 2 (לוג 2 256) . מאז 256=2 8, אז יומן 2 256=8, לכן, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

ניתן לקבץ את הלוגריתמים יומן 6 2 ויומן 6 3. סכום הלוגריתמים log 6 2+log 6 3 שווה ללוגריתם של יומן המוצר 6 (2 3), לפיכך, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

עכשיו בואו נסתכל על השבר. מלכתחילה נכתוב מחדש את בסיס הלוגריתם במכנה בצורת שבר רגיל כ-1/5, ולאחר מכן נשתמש בתכונות הלוגריתמים שיאפשרו לנו לקבל את ערך השבר:
.

כל מה שנותר הוא להחליף את התוצאות שהתקבלו בביטוי המקורי ולסיים למצוא את ערכו:

תשובה:

איך למצוא את הערך של ביטוי טריגונומטרי?

כאשר ביטוי מספרי מכיל או וכו', הערכים שלהם מחושבים לפני ביצוע פעולות אחרות. אם יש ביטויים מספריים תחת הסימן של פונקציות טריגונומטריות, הערכים שלהם מחושבים תחילה, ולאחר מכן נמצאים ערכי הפונקציות הטריגונומטריות.

דוגמא.

מצא את משמעות הביטוי .

פִּתָרוֹן.

אם נפנה למאמר, אנו מבינים ו cosπ=−1 . אנו מחליפים את הערכים הללו בביטוי המקורי, הוא מקבל את הצורה . כדי למצוא את הערך שלו, תחילה עליך לבצע אקספוננציציה, ולאחר מכן לסיים את החישובים: .

תשובה:

.

ראוי לציין כי חישוב ערכי הביטויים עם סינוסים, קוסינוסים וכו'. לעתים קרובות דורש קודם המרת ביטוי טריגונומטרי.

דוגמא.

מה הערך של הביטוי הטריגונומטרי .

פִּתָרוֹן.

הבה נמיר את הביטוי המקורי באמצעות , במקרה זה נצטרך את נוסחת הקוסינוס הכפול של הזווית ואת נוסחת הקוסינוס הסכום:

השינויים שעשינו עזרו לנו למצוא את משמעות הביטוי.

תשובה:

.

מקרה כללי

באופן כללי, ביטוי מספרי יכול להכיל שורשים, חזקות, שברים, כמה פונקציות וסוגריים. מציאת הערכים של ביטויים כאלה מורכבת מביצוע הפעולות הבאות:

• שורשים ראשונים, כוחות, שברים וכו'. מוחלפים בערכים שלהם,
• פעולות נוספות בסוגריים,
• ובסדר משמאל לימין, מבצעים את הפעולות הנותרות - כפל וחילוק ולאחר מכן חיבור וחיסור.

הפעולות המפורטות מבוצעות עד לקבלת התוצאה הסופית.

דוגמא.

מצא את משמעות הביטוי .

פִּתָרוֹן.

צורת הביטוי הזה מורכבת למדי. בביטוי זה אנו רואים שברים, שורשים, חזקות, סינוס ולוגריתמים. איך למצוא את ערכו?

עוברים ברשומה משמאל לימין, אנו נתקלים בחלק מהטופס . אנו יודעים שכאשר עובדים עם שברים מורכבים, עלינו לחשב בנפרד את ערך המונה, בנפרד את המכנה ולבסוף למצוא את ערך השבר.

במונה יש לנו את שורש הצורה . כדי לקבוע את ערכו, תחילה עליך לחשב את הערך של הביטוי הרדיקלי . יש כאן סינוס. נוכל למצוא את ערכו רק לאחר חישוב ערכו של הביטוי . זה אנחנו יכולים לעשות: . ואז מאיפה ומאיפה .

המכנה הוא פשוט: .

לכן, .

לאחר החלפת תוצאה זו בביטוי המקורי, היא תקבל את הצורה . הביטוי המתקבל מכיל את התואר. כדי למצוא את הערך שלו, ראשית עלינו למצוא את הערך של המחוון, יש לנו .

כך, .

תשובה:

.

אם לא ניתן לחשב את הערכים המדויקים של שורשים, כוחות וכו', אז אתה יכול לנסות להיפטר מהם באמצעות כמה טרנספורמציות, ואז לחזור לחישוב הערך לפי הסכימה שצוינה.

דרכים רציונליות לחישוב ערכי ביטויים

חישוב הערכים של ביטויים מספריים דורש עקביות ודיוק. כן, יש צורך להקפיד על רצף הפעולות שנרשם בפסקאות הקודמות, אך אין צורך לעשות זאת בצורה עיוורת ומכנית. כוונתנו בכך היא שלעתים קרובות ניתן לבצע רציונליזציה בתהליך מציאת המשמעות של ביטוי. לדוגמה, מאפיינים מסוימים של פעולות עם מספרים יכולים להאיץ ולפשט משמעותית את מציאת הערך של ביטוי.

לדוגמה, אנו מכירים את תכונת הכפל הזה: אם אחד הגורמים במכפלה שווה לאפס, אז ערך המכפלה שווה לאפס. באמצעות מאפיין זה, אנו יכולים מיד לומר כי הערך של הביטוי 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) שווה לאפס. אם היינו פועלים לפי הסדר הסטנדרטי של הפעולות, נצטרך קודם כל לחשב את ערכי הביטויים המסורבלים בסוגריים, מה שייקח הרבה זמן, והתוצאה עדיין תהיה אפס.

נוח גם להשתמש בתכונה של הפחתת מספרים שווים: אם מחסירים מספר שווה ממספר, התוצאה היא אפס. ניתן להתייחס למאפיין זה בצורה רחבה יותר: ההבדל בין שני ביטויים מספריים זהים הוא אפס. לדוגמה, מבלי לחשב את ערך הביטויים בסוגריים, ניתן למצוא את ערך הביטוי (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), הוא שווה לאפס, שכן הביטוי המקורי הוא ההבדל של ביטויים זהים.

טרנספורמציות של זהות יכולות להקל על חישוב רציונלי של ערכי ביטוי. לדוגמה, קיבוץ של מונחים וגורמים יכול להיות שימושי הצבת הגורם המשותף בין סוגריים לא פחות משמש. אז קל מאוד למצוא את הערך של הביטוי 53·5+53·7−53·11+5 לאחר הוצאת הפקטור 53 מתוך סוגריים: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. חישוב ישיר ייקח הרבה יותר זמן.

לסיום נקודה זו, הבה נשים לב לגישה רציונלית לחישוב ערכי ביטויים עם שברים - גורמים זהים במונה ובמכנה של השבר מתבטלים. למשל, צמצום אותם ביטויים במונה ובמכנה של שבר מאפשר לך למצוא מיד את הערך שלו, ששווה ל-1/2.

מציאת הערך של ביטוי מילולי וביטוי עם משתנים

הערך של ביטוי מילולי וביטוי עם משתנים נמצא עבור ערכים נתונים ספציפיים של אותיות ומשתנים. כלומר, אנחנו מדברים על מציאת הערך של ביטוי מילולי עבור ערכי אותיות נתונים, או על מציאת ערך של ביטוי עם משתנים עבור ערכי משתנים נבחרים.

כְּלָלמציאת הערך של ביטוי מילולי או ביטוי עם משתנים עבור ערכים נתונים של אותיות או ערכים נבחרים של משתנים הוא כדלקמן: עליך להחליף את הערכים הנתונים של אותיות או משתנים בביטוי המקורי, ולחשב הערך של הביטוי המספרי המתקבל הוא הערך הרצוי.

דוגמא.

חשב את הערך של הביטוי 0.5·x−y ב-x=2.4 ו-y=5.

פִּתָרוֹן.

כדי למצוא את הערך הנדרש של הביטוי, תחילה עליך להחליף את הערכים הנתונים של המשתנים בביטוי המקורי, ולאחר מכן לבצע את השלבים הבאים: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

תשובה:

−3,8 .

כהערה אחרונה, לפעמים ביצוע המרות על ביטויים מילוליים ומשתנים יניב את הערכים שלהם, ללא קשר לערכי האותיות והמשתנים. לדוגמה, ניתן לפשט את הביטוי x+3−x, ולאחר מכן הוא יקבל את הצורה 3. מכאן נוכל להסיק שהערך של הביטוי x+3−x שווה ל-3 עבור כל ערכים של המשתנה x מטווח הערכים המותרים שלו (APV). דוגמה נוספת: ערך הביטוי שווה ל-1 עבור כל הערכים החיוביים של x, כך שטווח הערכים המותרים של המשתנה x בביטוי המקורי הוא קבוצת המספרים החיוביים, ובטווח זה השוויון מחזיק.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• מָתֵימָטִיקָה: ספר לימוד לכיתה ה'. חינוך כללי מוסדות / N. Ya Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - מהדורה 21, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 עמ': ill. ISBN 5-346-00699-0.
• מָתֵימָטִיקָה.כיתה ו': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [נ. יא וילנקין ואחרים]. - מהדורה 22, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 עמ': ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ז'. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 17. - מ.: חינוך, 2008. - 240 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ח'. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• אַלגֶבּרָה:כיתה ט': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2009. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• אַלגֶבּרָהותחילת הניתוח: פרוק. לכיתות י'-י"א. חינוך כללי מוסדות / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn ואחרים; אד. א.נ. קולמוגורוב - מהדורה 14 - מ.: חינוך, 2004. - 384 עמ' - ISBN 5-09-013651-3.

בקורס אלגברה בכיתה ז' עסקנו בטרנספורמציות של ביטויים שלמים, כלומר ביטויים המורכבים ממספרים ומשתנים באמצעות פעולות חיבור, חיסור וכפל, וכן בחילוק במספר שאינו אפס. אז, הביטויים הם מספרים שלמים

לעומת זאת, הביטויים

בנוסף לפעולות של חיבור, חיסור וכפל, הם מכילים חלוקה לביטוי עם משתנים. ביטויים כאלה נקראים ביטויים שברים.

ביטויים שלמים ושברים נקראים ביטויים רציונליים.

ביטוי שלם הגיוני לכל ערכים של המשתנים הכלולים בו, שכן כדי למצוא את הערך של ביטוי שלם אתה צריך לבצע פעולות שתמיד אפשריות.

ביטוי שבר עשוי להיות לא הגיוני עבור כמה ערכי משתנים. לדוגמה, הביטוי - אינו הגיוני כאשר a = 0. עבור כל שאר הערכים של a, הביטוי הזה הגיוני. הביטוי הגיוני עבור אותם ערכים של x ו-y כאשר x ≠ y.

הערכים של המשתנים שעבורם הביטוי הגיוני נקראים ערכים חוקיים של המשתנים.

ביטוי של הצורה ידוע כשבר.

שבר שהמונה והמכנה שלו הם פולינומים נקרא שבר רציונלי.

דוגמאות לשברים רציונליים הם השברים

בשבר רציונלי, הערכים המקובלים של המשתנים הם אלה שעבורם המכנה של השבר אינו נעלם.

דוגמה 1.בואו נמצא את הערכים המקובלים של המשתנה בשבר

פִּתָרוֹןכדי למצוא באילו ערכים של a המכנה של השבר הופך לאפס, עליך לפתור את המשוואה a(a - 9) = 0. למשוואה זו יש שני שורשים: 0 ו-9. לכן, כל המספרים מלבד 0 ו-9 הם ערכים חוקיים עבור המשתנה a.

דוגמה 2.באיזה ערך של x הוא ערך השבר שווה לאפס?

פִּתָרוֹןשבר הוא אפס אם ורק אם a - 0 ו-b ≠ 0.