פותר קוזנצוב.
III תרשימים

משימה 7. ערכו מחקר מלא של הפונקציה ובנו את הגרף שלה.

        לפני שתתחיל להוריד את האפשרויות שלך, נסה לפתור את הבעיה לפי הדוגמה המופיעה למטה עבור אפשרות 3. חלק מהאפשרויות מאוחסנות בארכיון בפורמט rar.

          7.3 ערכו מחקר מלא של הפונקציה ושרטטו אותה

פִּתָרוֹן.

        1) היקף ההגדרה:         או        , כלומר        .
.
לפיכך:         .

        2) אין נקודות חיתוך עם ציר השור. אכן, למשוואה         אין פתרונות.
אין נקודות חיתוך עם ציר Oy, שכן          .

        3) הפונקציה אינה זוגית ואינה. אין סימטריה לגבי ציר הסמיטה. אין גם סימטריה לגבי המוצא. כי
.
אנו רואים ש-          ו-         .

        4) הפונקציה היא רציפה בתחום ההגדרה
.

; .

; .
כתוצאה מכך, הנקודה         היא נקודת אי רציפות מהסוג השני (אי רציפות אינסופית).

5) אסימפטוטות אנכיות:       

בואו נמצא את האסימפטוטה האלכסונית          . כאן

;
.
כתוצאה מכך, יש לנו אסימפטוטה אופקית: y=0. אין אסימפטוטות אלכסוניות.

        6) בואו נמצא את הנגזרת הראשונה. נגזרת ראשונה:
.
וזה למה
.
בוא נמצא נקודות נייחות שבהן הנגזרת שווה לאפס, כלומר
.

        7) בואו נמצא את הנגזרת השנייה. נגזרת שניה:
.
וזה קל לאמת, שכן

מזה זמן מה, מאגר התעודות המובנה של TheBat ל-SSL הפסיק לפעול כהלכה (לא ברור מאיזו סיבה).

בעת בדיקת הפוסט, מופיעה שגיאה:

אישור CA לא ידוע
השרת לא הציג אישור בסיס בהפעלה ואישור הבסיס המתאים לא נמצא בפנקס הכתובות.
הקשר הזה לא יכול להיות סודי. אנא
פנה למנהל השרת שלך.

ומציעים לך מבחר תשובות - כן / לא. וכך בכל פעם שאתה מסיר דואר.

פִּתָרוֹן

במקרה זה, עליך להחליף את תקן היישום S/MIME ו-TLS ב-Microsoft CryptoAPI בהגדרות TheBat!

מכיוון שהייתי צריך לשלב את כל הקבצים לאחד, המרתי תחילה את כל קבצי ה-doc לקובץ pdf בודד (באמצעות תוכנת Acrobat), ולאחר מכן העברתי אותו ל-fb2 באמצעות ממיר מקוון. אתה יכול גם להמיר קבצים בנפרד. הפורמטים יכולים להיות לחלוטין כל (מקור) - doc, jpg, ואפילו ארכיון zip!

שם האתר תואם את המהות :) פוטושופ מקוון.

עדכון מאי 2015

מצאתי עוד אתר מעולה! אפילו יותר נוח ופונקציונלי ליצירת קולאז' מותאם אישית לחלוטין! זה האתר http://www.fotor.com/ru/collage/. תהנה מזה בשביל הבריאות שלך. ואני אשתמש בזה בעצמי.

בחיי נתקלתי בבעיה של תיקון כיריים חשמליות. כבר עשיתי הרבה, למדתי הרבה, אבל איכשהו היה לי מעט לעשות עם אריחים. היה צורך להחליף את המגעים על הרגולטורים והמבערים. עלתה השאלה - כיצד לקבוע את קוטר המבער על כיריים חשמליות?

התשובה התבררה כפשוטה. אתה לא צריך למדוד שום דבר, אתה יכול בקלות לקבוע לפי העין איזה גודל אתה צריך.

המבער הקטן ביותר- זה 145 מילימטרים (14.5 סנטימטרים)

מבער אמצעי- זה 180 מילימטרים (18 סנטימטרים).

ולבסוף, הכי הרבה מבער גדול- זה 225 מילימטרים (22.5 סנטימטרים).

זה מספיק כדי לקבוע את הגודל לפי העין ולהבין מה הקוטר שאתה צריך את המבער. כשלא ידעתי את זה, דאגתי לממדים האלה, לא ידעתי איך למדוד, באיזה קצה לנווט וכו'. עכשיו אני חכם :) מקווה שעזרתי גם לך!

בחיי התמודדתי עם בעיה כזו. אני חושב שאני לא היחיד.

כיצד ללמוד פונקציה ולבנות את הגרף שלה?

נדמה שאני מתחיל להבין את פניו מלאות התובנה הרוחנית של מנהיג הפרולטריון העולמי, מחברם של יצירות אסופות ב-55 כרכים... המסע הארוך התחיל עם מידע בסיסי על פונקציות וגרפים, ועכשיו העבודה על נושא עתיר עבודה מסתיימת בתוצאה הגיונית - מאמר על לימוד מלא של הפונקציה. המשימה המיוחלת מנוסחת באופן הבא:

למד פונקציה באמצעות שיטות חשבון דיפרנציאלי ובנה את הגרף שלה על סמך תוצאות המחקר

או בקיצור: בחנו את הפונקציה ובנו גרף.

למה לחקור?במקרים פשוטים, לא יהיה לנו קשה להבין את הפונקציות היסודיות ולצייר גרף המתקבל באמצעות טרנספורמציות גיאומטריות יסודיותוכולי. עם זאת, המאפיינים והייצוגים הגרפיים של פונקציות מורכבות יותר רחוקים מלהיות ברורים, וזו הסיבה שיש צורך במחקר שלם.

השלבים העיקריים של הפתרון מסוכמים בחומר העזר תכנית לימודי תפקוד, זה המדריך שלך למדור. בובות צריך הסבר שלב אחר שלב של נושא, חלק מהקוראים לא יודעים איפה להתחיל או איך לארגן את המחקר שלהם, וסטודנטים מתקדמים עשויים להתעניין רק בכמה נקודות. אבל מי שלא תהיה, מבקר יקר, הסיכום המוצע עם מצביעים לשיעורים שונים יכוון וידריך אותך במהירות לכיוון העניין. הרובוטים הזילו דמעות =) המדריך היה מונח בצורת קובץ pdf ותפס את מקומו הראוי בעמוד נוסחאות וטבלאות מתמטיות.

אני רגיל לחלק את המחקר של פונקציה ל-5-6 נקודות:

6) נקודות נוספות וגרף על סמך תוצאות המחקר.

לגבי הפעולה הסופית, אני חושב שהכל ברור לכולם - זה יהיה מאוד מאכזב אם תוך שניות זה ימחק והמשימה תוחזר לרוויזיה. ציור נכון ומדויק הוא התוצאה העיקרית של הפתרון! סביר להניח שהוא "יחפה" על טעויות אנליטיות, בעוד שתזמון שגוי ו/או רשלני יגרום לבעיות גם עם מחקר שנערך בצורה מושלמת.

יש לציין כי במקורות אחרים מספר נקודות המחקר, סדר ביצוען וסגנון העיצוב עשויים להיות שונים באופן משמעותי מהסכימה שהצעתי, אך ברוב המקרים זה מספיק בהחלט. הגרסה הפשוטה ביותר של הבעיה מורכבת מ-2-3 שלבים בלבד והיא מנוסחת בערך כך: "חקור את הפונקציה באמצעות הנגזרת ובנה גרף" או "חקור את הפונקציה באמצעות הנגזרת הראשונה והשנייה, בנה גרף."

באופן טבעי, אם המדריך שלך מתאר אלגוריתם אחר בפירוט או שהמורה שלך דורש ממך בקפדנות לדבוק בהרצאות שלו, אז תצטרך לבצע כמה התאמות לפתרון. לא יותר קשה מהחלפת מזלג מסור חשמלי בכפית.

בואו נבדוק את הפונקציה עבור זוגי/אי זוגי:

לאחר מכן תשובת תבנית:
, כלומר פונקציה זו אינה זוגית או אי זוגית.

מכיוון שהפונקציה רציפה ב- , אין אסימפטוטות אנכיות.

אין גם אסימפטוטות אלכסוניות.

הערה : אני מזכיר לך שהגבוה יותר סדר צמיחה, מאשר , לכן הגבול הסופי הוא בדיוק " ועודאינסוף."

בואו לגלות איך הפונקציה מתנהגת באינסוף:

במילים אחרות, אם נלך ימינה, אז הגרף הולך עד לאין שיעור למעלה, אם נלך שמאלה, הוא יורד לאין ערוך. כן, יש גם שתי מגבלות תחת כניסה אחת. אם אתה מתקשה לפענח את הסימנים, אנא בקר בשיעור בנושא פונקציות אינסופיות.

אז הפונקציה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה. בהתחשב בכך שאין לנו נקודות שבירה, זה מתברר טווח פונקציות: – גם כל מספר ממשי.

טכניקה טכנית שימושית

כל שלב במשימה מביא מידע חדש על הגרף של הפונקציהלכן, במהלך הפתרון נוח להשתמש בסוג של LAYOUT. בואו נצייר מערכת קואורדינטות קרטזית על טיוטה. מה כבר ידוע בוודאות? ראשית, לגרף אין אסימפטוטות, ולכן אין צורך לצייר קווים ישרים. שנית, אנו יודעים כיצד הפונקציה מתנהגת באינסוף. על פי הניתוח, אנו מציירים קירוב ראשון:

שימו לב שבגלל הֶמשֵׁכִיוּתפונקציות על והעובדה שהגרף חייב לחצות את הציר לפחות פעם אחת. או אולי יש כמה נקודות צומת?

3) אפסים של הפונקציה והמרווחים של סימן קבוע.

ראשית, בואו נמצא את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר הסמין. זה פשוט. יש צורך לחשב את ערך הפונקציה ב:

אחד וחצי מעל פני הים.

כדי למצוא את נקודות החיתוך עם הציר (אפסים של הפונקציה), צריך לפתור את המשוואה, וכאן מחכה לנו הפתעה לא נעימה:

יש חבר חינם אורב בסוף, מה שהופך את המשימה להרבה יותר קשה.

למשוואה כזו יש לפחות שורש אמיתי אחד, ולרוב השורש הזה הוא לא רציונלי. באגדה הגרועה ביותר, שלושת החזירים הקטנים מחכים לנו. המשוואה ניתנת לפתרון באמצעות מה שנקרא נוסחאות קרדנו, אבל הנזק לנייר דומה כמעט לכל המחקר. בהקשר זה, חכם יותר לנסות לבחור לפחות אחד, או מילולית או בטיוטה. כֹּלשורש. בוא נבדוק אם המספרים האלה הם:
- לא מתאים;
- יש!

מזל כאן. במקרה של כישלון, אתה יכול גם לבדוק, ואם המספרים האלה לא מתאימים, אז אני חושש שיש סיכוי קטן מאוד לפתרון רווחי למשוואה. אז עדיף לדלג לגמרי על נקודת המחקר - אולי משהו יתבהר בשלב הסופי, כשנקודות נוספות יפרצו. ואם השורש(ים) הם בבירור "רעים", אז עדיף לשתוק בצניעות לגבי מרווחי הקביעות של הסימנים ולצייר בזהירות רבה יותר.

עם זאת, יש לנו שורש יפה, אז אנחנו מחלקים את הפולינום ללא שארית:

האלגוריתם לחלוקת פולינום בפולינום נדון בפירוט בדוגמה הראשונה של השיעור גבולות מורכבים.

כתוצאה מכך, הצד השמאלי של המשוואה המקורית מתפרק למוצר:

ועכשיו קצת על אורח חיים בריא. אני, כמובן, מבין את זה משוואות ריבועיותצריך לפתור כל יום, אבל היום נעשה חריג: המשוואה יש שני שורשים אמיתיים.

הבה נתווה את הערכים שנמצאו על קו המספרים ו שיטת מרווחיםבוא נגדיר את הסימנים של הפונקציה:


og לפיכך, על המרווחים לוח הזמנים נמצא
מתחת לציר ה-x, ובמרווחים - מעל הציר הזה.

הממצאים מאפשרים לנו לחדד את הפריסה שלנו, והקירוב השני של הגרף נראה כך:

שימו לב שלפונקציה חייבת להיות לפחות מקסימום אחד במרווח, ולפחות מינימום אחד במרווח. אבל אנחנו עדיין לא יודעים כמה פעמים, איפה ומתי לוח הזמנים יעבור בלולאה. אגב, לפונקציה יכולים להיות אינסוף רבים קיצוניות.

4) עלייה, ירידה וקיצוניות של הפונקציה.

בואו נמצא נקודות קריטיות:

למשוואה זו יש שני שורשים אמיתיים. נניח אותם על קו המספרים ונקבע את הסימנים של הנגזרת:


לכן, הפונקציה גדלה ב- ויורד ב .
בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה: .
בשלב שבו הפונקציה מגיעה למינימום: .

העובדות שנקבעו מאלצות את התבנית שלנו למסגרת נוקשה למדי:

מיותר לציין שחשבון דיפרנציאלי הוא דבר חזק. בואו נבין סוף סוף את צורת הגרף:

5) נקודות קמור, קיעור והטיה.

בואו נמצא את הנקודות הקריטיות של הנגזרת השנייה:

בוא נגדיר את הסימנים:


הגרף של הפונקציה קמור על וקעור על . בוא נחשב את האורדינאטה של ​​נקודת הפיתול: .

כמעט הכל התברר.

6) נותר למצוא נקודות נוספות שיעזרו לכם לבנות גרף בצורה מדויקת יותר ולבצע בדיקה עצמית. במקרה זה יש מעט מהם, אך לא נזניח אותם:

בואו נעשה את הציור:

נקודת הפיתול מסומנת בירוק, נקודות נוספות מסומנות בצלבים. הגרף של פונקציה מעוקבת הוא סימטרי לגבי נקודת הפיתול שלה, הממוקמת תמיד רק באמצע בין המקסימום למינימום.

ככל שהמשימה התקדמה, סיפקתי שלושה ציורי ביניים היפותטיים. בפועל, מספיק לצייר מערכת קואורדינטות, לסמן את הנקודות שנמצאו, ולאחר כל נקודת מחקר להעריך מחשבתית כיצד עשוי להיראות גרף הפונקציה. לא יהיה קשה לתלמידים עם רמת הכנה טובה לבצע ניתוח כזה אך ורק בראשם מבלי להשתמש בטיוטה.

כדי לפתור את זה בעצמך:

דוגמה 2

חקור את הפונקציה ובנה גרף.

הכל מהיר ומהנה יותר כאן, דוגמה משוערת לעיצוב הסופי בסוף השיעור.

חקר הפונקציות הרציונליות השבריות חושף סודות רבים:

דוגמה 3

השתמש בשיטות חשבון דיפרנציאלי כדי ללמוד פונקציה, ועל סמך תוצאות המחקר לבנות את הגרף שלה.

פִּתָרוֹן: השלב הראשון של המחקר אינו נבדל בשום דבר יוצא דופן, למעט חור באזור ההגדרה:

1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל קו המספרים מלבד הנקודה, תְחוּם: .

, כלומר פונקציה זו אינה זוגית או אי זוגית.

ברור שהפונקציה אינה מחזורית.

הגרף של הפונקציה מייצג שני ענפים רציפים הממוקמים בחצי המישור השמאלי והימני - זו אולי המסקנה החשובה ביותר של נקודה 1.

2) אסימפטוטים, התנהגות של פונקציה באינסוף.

א) באמצעות מגבלות חד-צדדיות, אנו בוחנים את התנהגות הפונקציה ליד נקודה חשודה, שבה בבירור אמורה להיות אסימפטוטה אנכית:

אכן, הפונקציות נמשכות פער אינסופיבנקודה
והקו הישר (ציר) הוא אסימפטוטה אנכיתאומנות גרפית.

ב) בואו נבדוק האם קיימות אסימפטוטות אלכסוניות:

כן, זה ישר אסימפטוטה אלכסוניתגרפיקה , אם .

אין טעם לנתח את הגבולות, שכן כבר ברור שהפונקציה חובקת את האסימפטוטה האלכסונית שלה לא מוגבל מלמעלהו לא מוגבל מלמטה.

נקודת המחקר השנייה הניבה הרבה מידע חשוב על הפונקציה. בואו נעשה סקיצה גסה:

מסקנה מס' 1 נוגעת למרווחים של סימן קבוע. ב"מינוס אינסוף" גרף הפונקציה ממוקם בבירור מתחת לציר ה-x, וב"פלוס אינסוף" הוא נמצא מעל ציר זה. בנוסף, הגבולות החד-צדדיים אמרו לנו שגם משמאל וגם מימין לנקודה הפונקציה גדולה מאפס. שימו לב שבחצי המישור השמאלי על הגרף לחצות את ציר ה-x לפחות פעם אחת. ייתכן שלא יהיו אפסים של הפונקציה בחצי המישור הימני.

מסקנה מס' 2 היא שהפונקציה גדלה משמאל לנקודה (הולכת "מלמטה למעלה"). מימין לנקודה זו, הפונקציה יורדת (הולכת "מלמעלה למטה"). הענף הימני של הגרף חייב להיות לפחות מינימום אחד. בשמאל, קיצוניות לא מובטחת.

מסקנה מס' 3 מספקת מידע מהימן לגבי קעירות הגרף בקרבת הנקודה. איננו יכולים עדיין לומר דבר על קמורות/קיעור באינסוף, מכיוון שניתן ללחוץ קו לעבר האסימפטוטה שלו הן מלמעלה והן מלמטה. באופן כללי, ישנה דרך אנליטית להבין זאת כעת, אך צורת הגרף תתבהר בשלב מאוחר יותר.

למה כל כך הרבה מילים? לשלוט בנקודות המחקר הבאות ולהימנע מטעויות! חישובים נוספים לא צריכים לסתור את המסקנות שהושקו.

3) נקודות חיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות, מרווחים של סימן קבוע של הפונקציה.

הגרף של הפונקציה אינו חוצה את הציר.

בשיטת המרווח אנו קובעים את הסימנים:

, אם ;
, אם .

התוצאות של נקודה זו עולות בקנה אחד עם מסקנה מס' 1. לאחר כל שלב, הסתכלו על הטיוטה, בדקו מחשבתית את המחקר והשלימו את הגרף של הפונקציה.

בדוגמה הנבדקת, המונה מחולק מונח אחר מונח על ידי המכנה, מה שמועיל מאוד להבחנה:

למעשה, זה כבר נעשה בעת מציאת אסימפטוטות.

- נקודה קריטית.

בוא נגדיר את הסימנים:

גדל ב ויורד ב

בשלב שבו הפונקציה מגיעה למינימום: .

לא היו גם סתירות עם מסקנה מס' 2, וסביר להניח שאנחנו בדרך הנכונה.

המשמעות היא שהגרף של הפונקציה קעור על כל תחום ההגדרה.

נהדר - ואתה לא צריך לצייר שום דבר.

אין נקודות פיתול.

הקיעור עולה בקנה אחד עם מסקנה מס' 3, יתרה מכך, היא מציינת שבאינסוף (גם שם וגם שם) נמצא גרף הפונקציה גבוה יותרהאסימפטוטה האלכסונית שלו.

6) אנו נצמיד את המשימה עם נקודות נוספות. זה המקום שבו נצטרך לעבוד קשה, כי אנחנו יודעים רק שתי נקודות מהמחקר.

ותמונה שאנשים רבים כנראה דמיינו לפני זמן רב:

במהלך ביצוע המשימה, עליך לוודא היטב שאין סתירות בין שלבי המחקר, אך לפעמים המצב דחוף או אפילו מבוי סתום נואש. האנליטיקה "לא מסתכמת" - זה הכל. במקרה זה, אני ממליץ על טכניקת חירום: אנחנו מוצאים כמה שיותר נקודות ששייכות לגרף (כמה שיש לנו סבלנות), וסמנו אותן במישור הקואורדינטות. ניתוח גרפי של הערכים שנמצאו יגיד לך ברוב המקרים היכן האמת ואיפה היא שקרית. בנוסף, ניתן לבנות את הגרף מראש באמצעות תוכנה כלשהי, למשל, באקסל (כמובן, זה דורש מיומנויות).

דוגמה 4

השתמש בשיטות חשבון דיפרנציאלי כדי ללמוד פונקציה ולבנות את הגרף שלה.

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. בו, השליטה העצמית מתעצמת על ידי השוויון של הפונקציה - הגרף סימטרי על הציר, ואם יש משהו במחקר שלך שסותר את העובדה הזו, חפש שגיאה.

ניתן ללמוד פונקציה זוגית או אי-זוגית רק ב-, ולאחר מכן להשתמש בסימטריה של הגרף. פתרון זה הוא אופטימלי, אבל, לדעתי, הוא נראה מאוד יוצא דופן. באופן אישי, אני מסתכל על כל ציר המספרים, אבל אני עדיין מוצא נקודות נוספות רק בצד ימין:

דוגמה 5

ערכו מחקר מלא של הפונקציה ובנו את הגרף שלה.

פִּתָרוֹן: דברים נעשו קשים:

1) הפונקציה מוגדרת ורציפה על כל שורת המספרים: .

זה אומר שהפונקציה הזו מוזרה, הגרף שלה סימטרי לגבי המקור.

ברור שהפונקציה אינה מחזורית.

2) אסימפטוטים, התנהגות של פונקציה באינסוף.

מכיוון שהפונקציה רציפה ב- , אין אסימפטוטות אנכיות

עבור פונקציה המכילה מעריך, היא אופיינית נפרדמחקר של "פלוס" ו"מינוס של אינסוף", עם זאת, החיים שלנו מקלים על הסימטריה של הגרף - או שיש אסימפטוטה גם משמאל וגם מימין, או שאין כזו. לכן, שני הגבולות האינסופיים יכולים להיכתב תחת ערך בודד. במהלך הפתרון שאנו משתמשים בו שלטון L'Hopital:

הקו הישר (ציר) הוא האסימפטוטה האופקית של הגרף ב .

שימו לב כיצד נמנעתי בערמומיות מהאלגוריתם המלא למציאת האסימפטוטה האלכסונית: הגבול הוא חוקי לחלוטין ומבהיר את התנהגות הפונקציה באינסוף, והאסימפטוטה האופקית התגלתה "כאילו באותו הזמן".

מההמשכיות והלאה ומקיומה של אסימפטוטה אופקית נובע שהפונקציה מוגבל למעלהו מוגבל למטה.

3) נקודות חיתוך של הגרף עם צירי הקואורדינטות, מרווחים של סימן קבוע.

כאן גם אנחנו מקצרים את הפתרון:
הגרף עובר דרך המקור.

אין נקודות חיתוך אחרות עם צירי הקואורדינטות. יתר על כן, מרווחי הקביעות של הסימן ברורים, ואין צורך לצייר את הציר: , כלומר סימן הפונקציה תלוי רק ב- "x":
, אם ;
, אם .

4) עלייה, ירידה, קיצוניות של הפונקציה.


- נקודות קריטיות.

הנקודות סימטריות בערך אפס, כמו שצריך.

הבה נקבע את הסימנים של הנגזרת:


הפונקציה גדלה במרווח ופוחתת במרווחים

בנקודה שבה הפונקציה מגיעה למקסימום שלה: .

בשל הנכס (המוזרות של הפונקציה) אין צורך לחשב את המינימום:

מכיוון שהפונקציה יורדת לאורך המרווח, אז ברור שהגרף ממוקם ב"מינוס אינסוף" תַחַתהאסימפטוטה שלו. במהלך המרווח גם הפונקציה יורדת, אבל כאן ההפך הוא הנכון - לאחר מעבר בנקודת המקסימום, הקו מתקרב לציר מלמעלה.

מהאמור לעיל עולה גם שגרף הפונקציה קמור ב"מינוס אינסוף" וקעור ב"פלוס אינסוף".

לאחר נקודת מחקר זו, טווח ערכי הפונקציות צויר:

אם יש לך אי הבנה של נקודות כלשהן, אני שוב קורא לך לצייר צירי קואורדינטות במחברת שלך, ובעזרת עיפרון בידיים שלך, לנתח מחדש כל מסקנה של המשימה.

5) קמורות, קיעור, קיפולים של הגרף.

- נקודות קריטיות.

הסימטריה של הנקודות נשמרת, וסביר להניח שאנחנו לא טועים.

בוא נגדיר את הסימנים:


הגרף של הפונקציה קמור על וקעור על .

אושרה הקמור/הקיעור במרווחים הקיצוניים.

בכל הנקודות הקריטיות יש קימטים בגרף. בוא נמצא את האורדינאטות של נקודות הפיתול, ונפחית שוב את מספר החישובים באמצעות האי-זוגיות של הפונקציה: