פתרון גרפי של משוואות ואי-שוויון היסטוריית המקור. פתרון גרפי של אי שוויון. פתרון גרפי של אי שוויון מעורב

לתת f(x,y)ו g(x, y)- שני ביטויים עם משתנים איקסו בְּ-והיקף איקס. ואז אי שוויון של הצורה f(x, y) > g(x, y)אוֹ f(x, y) < g(x, y)שקוראים לו אי שוויון עם שני משתנים .

המשמעות של משתנים x, yמרבים איקס, שבו אי השוויון הופך לאי שוויון מספרי אמיתי, זה נקרא הַחְלָטָה והוא מיועד (x, y). לפתור אי שוויון - זה אומר למצוא הרבה זוגות כאלה.

אם כל זוג מספרים (x, y)ממכלול הפתרונות לאי השוויון, התאם את הנקודה M(x, y), נקבל את קבוצת הנקודות במישור המוגדרת על ידי אי שוויון זה. הוא נקרא גרף של אי השוויון הזה . הגרף של אי שוויון הוא בדרך כלל שטח במישור.

לתאר את מכלול הפתרונות לאי השוויון f(x, y) > g(x, y), בצע את הפעולות הבאות. ראשית, החלף את סימן אי השוויון בסימן שוויון ומצא קו שיש לו את המשוואה f(x,y) = g(x,y). קו זה מחלק את המטוס למספר חלקים. לאחר מכן, מספיק לקחת נקודה אחת בכל חלק ולבדוק האם אי השוויון מסופק בשלב זה f(x, y) > g(x, y). אם זה מבוצע בשלב זה, אז זה יבוצע בכל החלק שבו נמצאת הנקודה הזו. שילוב של חלקים כאלה, אנו מקבלים פתרונות רבים.

מְשִׁימָה. y > איקס.

פִּתָרוֹן.ראשית, נחליף את סימן אי השוויון בסימן שוויון ונבנה קו במערכת קואורדינטות מלבנית שיש לה את המשוואה y = איקס.

קו זה מחלק את המטוס לשני חלקים. לאחר מכן, קחו נקודה אחת בכל חלק ובדקו האם אי השוויון מסופק בשלב זה y > איקס.

מְשִׁימָה.פתור בצורה גרפית את אי השוויון
איקס 2 + בְּ- 2 פאונד 25.

אורז. 18.

פִּתָרוֹן.ראשית, החליפו את סימן אי השוויון בסימן שוויון ותציירו קו איקס 2 + בְּ- 2 = 25. זהו מעגל עם מרכז במקור ורדיוס של 5. המעגל המתקבל מחלק את המישור לשני חלקים. בדיקת שביעות הרצון של אי השוויון איקס 2 + בְּ- 2 £ 25 בכל חלק, אנו מוצאים שהגרף הוא קבוצה של נקודות על מעגל וחלקים של מישור בתוך המעגל.

תנו שני אי-שוויון ו 1(x, y) > ז 1(x, y)ו ו 2(x, y) > ז 2(x, y).

מערכות של קבוצות של אי-שוויון עם שני משתנים

מערכת אי שוויון הוא עַצמְךָ בשילוב אי השוויון הללו. פתרון מערכת היא כל משמעות (x, y), מה שהופך כל אחד מאי השוויון לאי שוויון מספרי אמיתי. פתרונות רבים מערכות אי-שוויון הוא הצטלבות של קבוצות של פתרונות לאי-שוויון היוצרים מערכת נתונה.

סט של אי שוויון הוא עַצמְךָ ניתוק של אלה אי שוויון הגדר פתרון היא כל משמעות (x, y), הממיר לפחות אחד ממכלול האי-שוויון לאי-שוויון מספרי אמיתי. פתרונות רבים מִכלוֹל הוא איחוד של קבוצות של פתרונות לאי-שוויון היוצרים קבוצה.

מְשִׁימָה.פתור בצורה גרפית את מערכת אי השוויון

פִּתָרוֹן. y = xו איקס 2 + בְּ- 2 = 25. אנו פותרים כל אי שוויון של המערכת.

הגרף של המערכת יהיה קבוצת הנקודות במישור שהן נקודת החיתוך (בקיעה כפולה) של קבוצות הפתרונות לאי השוויון הראשון והשני.

מְשִׁימָה.פתרו באופן גרפי קבוצה של אי-שוויון

פִּתָרוֹן.ראשית, אנו מחליפים את סימן אי השוויון בסימן שוויון ומשרטטים קווים באותה מערכת קואורדינטות y = x+ 4 ו איקס 2 + בְּ- 2 = 16. לפתור כל אי שוויון באוכלוסייה. גרף האוכלוסייה יהיה קבוצה של נקודות במישור, שהן האיחוד של קבוצות הפתרונות לאי השוויון הראשון והשני.

תרגילים לעבודה עצמאית

1. פתרו בצורה גרפית את אי השוויון: א) בְּ-> 2איקס; ב) בְּ-< 2איקס + 3;

V) איקס 2+ y 2 > 9; ז) איקס 2+ y 2 פאונד 4.

2. לפתור בצורה גרפית מערכות של אי-שוויון:

א) ב)

משימות רבות שאנו רגילים לחשב באופן אלגברי נטו ניתנות לפתרון הרבה יותר קל ומהיר באמצעות גרפי פונקציות יעזרו לנו בכך. אתה אומר "איך כן?" לצייר משהו, ומה לצייר? תאמין לי, לפעמים זה יותר נוח וקל יותר. שנתחיל? בואו נתחיל עם המשוואות!

פתרון גרפי של משוואות

פתרון גרפי של משוואות ליניאריות

כפי שאתה כבר יודע, הגרף של משוואה לינארית הוא קו ישר, ומכאן השם של הסוג הזה. די קל לפתור משוואות ליניאריות בצורה אלגברית - אנחנו מעבירים את כל הלא ידועים לצד אחד של המשוואה, כל מה שאנחנו יודעים לצד השני, והרי! מצאנו את השורש. עכשיו אני אראה לך איך לעשות את זה בְּצוּרָה גְרָפִית.

אז יש לך את המשוואה:

איך לפתור את זה?
אופציה 1, והנפוץ ביותר הוא להעביר את הלא ידועים לצד אחד ואת הידועים לצד השני, אנו מקבלים:

עכשיו בואו נבנה. מה קיבלת?

מה לדעתך השורש של המשוואה שלנו? זה נכון, הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של הגרפים היא:

התשובה שלנו היא

זו כל החוכמה של הפתרון הגרפי. כפי שאתה יכול לבדוק בקלות, השורש של המשוואה שלנו הוא מספר!

כפי שאמרתי לעיל, זו האפשרות הנפוצה ביותר, קרובה לפתרון אלגברי, אבל אתה יכול לפתור אותה בדרך אחרת. כדי לשקול פתרון חלופי, נחזור למשוואה שלנו:

הפעם לא נעביר שום דבר מצד לצד, אלא נבנה ישירות את הגרפים, כפי שהם כעת:

בנוי? בוא נראה!

מה הפתרון הפעם? זה נכון. אותו דבר - הקואורדינטה של ​​נקודת החיתוך של הגרפים:

ושוב, התשובה שלנו היא.

כפי שאתה יכול לראות, עם משוואות ליניאריות הכל פשוט ביותר. הגיע הזמן להסתכל על משהו מורכב יותר... למשל, פתרון גרפי של משוואות ריבועיות.

פתרון גרפי של משוואות ריבועיות

אז עכשיו בואו נתחיל לפתור את המשוואה הריבועית. נניח שאתה צריך למצוא את השורשים של המשוואה הזו:

כמובן שכעת אתה יכול להתחיל לספור דרך המבחין, או לפי משפט וייטה, אבל אנשים רבים, מתוך עצבים, עושים טעויות בעת הכפלה או ריבוע, במיוחד אם הדוגמה היא עם מספרים גדולים, וכידוע לך, זכית אין לי מחשבון לבחינה... לכן, בואו ננסה להירגע מעט ולצייר תוך כדי פתרון המשוואה הזו.

ניתן למצוא פתרונות למשוואה זו בצורה גרפית בדרכים שונות. בואו נסתכל על האפשרויות השונות, ותוכלו לבחור איזו מהן אתם הכי אוהבים.

שיטה 1. ישירות

אנו פשוט בונים פרבולה באמצעות המשוואה הזו:

כדי לעשות זאת במהירות, אתן לך רמז קטן אחד: נוח להתחיל את הבנייה בקביעת קודקוד הפרבולה.הנוסחאות הבאות יעזרו לקבוע את הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה:

אתה תגיד "עצור! הנוסחה של דומה מאוד לנוסחה למציאת המבחין", כן, זה חיסרון עצום של בנייה "ישירות" של פרבולה כדי למצוא את שורשיה. עם זאת, בואו נספור עד הסוף, ואז אני אראה לכם איך לעשות את זה הרבה (הרבה!) יותר קל!

ספרת? אילו קואורדינטות קיבלת עבור קודקוד הפרבולה? בואו נבין את זה ביחד:

בדיוק אותה תשובה? כל הכבוד! ועכשיו אנחנו כבר יודעים את הקואורדינטות של הקודקוד, אבל כדי לבנות פרבולה אנחנו צריכים עוד... נקודות. כמה נקודות מינימום אתה חושב שאנחנו צריכים? ימין, .

אתה יודע שפרבולה היא סימטרית לגבי הקודקוד שלה, למשל:

בהתאם לכך, אנו זקוקים לשתי נקודות נוספות בענף השמאלי או הימני של הפרבולה, ובעתיד נשקף את הנקודות הללו באופן סימטרי בצד הנגדי:

נחזור לפרבולה שלנו. במקרה שלנו, נקודה. אנחנו צריכים עוד שתי נקודות, כדי שנוכל לקחת חיוביות, או שנוכל לקחת שליליות? אילו נקודות הכי נוחות לך? יותר נוח לי לעבוד עם חיוביים, אז אני אחשב ב-ו.

כעת יש לנו שלוש נקודות, אנו יכולים בקלות לבנות את הפרבולה שלנו על ידי שיקוף שתי הנקודות האחרונות ביחס לקודקוד שלה:

מה לדעתך הפתרון למשוואה? נכון, נקודות שבהן, כלומר, ו. כי.

ואם נאמר זאת, זה אומר שגם זה חייב להיות שווה, או.

רַק? סיימנו לפתור איתך את המשוואה בצורה גרפית מורכבת, או שיהיו עוד!

כמובן, אתה יכול לבדוק את התשובה שלנו באופן אלגברי - אתה יכול לחשב את השורשים באמצעות משפט Vieta או Discriminant. מה קיבלת? אותו הדבר? הנה אתה רואה! עכשיו בואו נסתכל על פתרון גרפי פשוט מאוד, אני בטוח שאתה ממש תאהב אותו!

שיטה 2. מחולקת למספר פונקציות

בואו ניקח את אותה המשוואה שלנו: , אבל נכתוב אותה קצת אחרת, כלומר:

אפשר לכתוב את זה ככה? אנחנו יכולים, מכיוון שהטרנספורמציה שווה ערך. בואו נסתכל הלאה.

בואו נבנה שתי פונקציות בנפרד:

1. - הגרף הוא פרבולה פשוטה, שניתן לבנות אותה בקלות גם בלי להגדיר את הקודקוד באמצעות נוסחאות ועריכת טבלה לקביעת נקודות אחרות.
2. - הגרף הוא קו ישר, שאתה יכול באותה קלות לבנות על ידי הערכת הערכים בראש שלך אפילו בלי להזדקק למחשבון.

בנוי? בוא נשווה למה שקיבלתי:

מהם לדעתך שורשי המשוואה במקרה זה? ימין! הקואורדינטות המתקבלות על ידי חיתוך של שני גרפים, כלומר:

לפיכך, הפתרון למשוואה זו הוא:

מה אתה אומר? מסכים, שיטת הפתרון הזו הרבה יותר קלה מהקודמת ואפילו קלה יותר מאשר לחפש שורשים דרך מבחנה! אם כן, נסה לפתור את המשוואה הבאה בשיטה זו:

מה קיבלת? בואו נשווה את הגרפים שלנו:

הגרפים מראים שהתשובות הן:

הסתדרת? כל הכבוד! עכשיו בואו נסתכל על המשוואות קצת יותר מסובכות, כלומר, פתרון משוואות מעורבות, כלומר, משוואות המכילות פונקציות מסוגים שונים.

פתרון גרפי של משוואות מעורבות

כעת ננסה לפתור את הדברים הבאים:

כמובן שניתן להביא הכל למכנה משותף, למצוא את שורשי המשוואה המתקבלת, מבלי לשכוח לקחת בחשבון את ה-ODZ, אבל שוב, ננסה לפתור זאת בצורה גרפית, כפי שעשינו בכל המקרים הקודמים.

הפעם בואו נבנה את 2 הגרפים הבאים:

1. - הגרף הוא היפרבולה
2. - הגרף הוא קו ישר, שאתה יכול בקלות לבנות על ידי הערכת הערכים בראש שלך אפילו בלי להזדקק למחשבון.

הבין את זה? עכשיו תתחיל לבנות.

הנה מה שקיבלתי:

כשמסתכלים על התמונה הזו, ספר לי מהם שורשי המשוואה שלנו?

זה נכון, וכן. הנה האישור:

נסה לחבר את השורשים שלנו למשוואה. קרה?

זה נכון! מסכים, לפתור משוואות כאלה בצורה גרפית זה תענוג!

נסה לפתור את המשוואה באופן גרפי בעצמך:

אני אתן לך רמז: העבר חלק מהמשוואה לצד ימין כך שבשני הצדדים יהיו לך הפונקציות הפשוטות ביותר לבנייה. הבנת את הרמז? לפעול!

עכשיו בוא נראה מה יש לך:

בהתאמה:

1. - פרבולה מעוקבת.
2. - קו ישר רגיל.

ובכן, בואו נבנה:

כפי שרשמת מזמן, השורש של המשוואה הזו הוא - .

לאחר שעבדתי על מספר כה גדול של דוגמאות, אני בטוח שהבנת כמה קל ומהיר זה לפתור משוואות בצורה גרפית. הגיע הזמן להבין איך לפתור מערכות בדרך זו.

פתרון גרפי של מערכות

פתרון גרפי של מערכות אינו שונה במהותו מפתרון גרפי של משוואות. נבנה גם שני גרפים, ונקודות החיתוך שלהם יהיו השורשים של מערכת זו. גרף אחד הוא משוואה אחת, הגרף השני הוא משוואה אחרת. הכל פשוט ביותר!

נתחיל בדבר הפשוט ביותר – פתרון מערכות של משוואות ליניאריות.

פתרון מערכות משוואות ליניאריות

נניח שיש לנו את המערכת הבאה:

ראשית, נהפוך אותו כך שבצד שמאל יש את כל מה שקשור אליו, ובימין - כל מה שקשור אליו. במילים אחרות, בואו נכתוב את המשוואות האלה כפונקציה בצורה הרגילה שלנו:

עכשיו אנחנו רק בונים שני קווים ישרים. מה הפתרון במקרה שלנו? ימין! נקודת הצומת שלהם! וכאן אתה צריך להיות מאוד מאוד זהיר! תחשוב על זה, למה? הרשו לי לתת לכם רמז: אנחנו עוסקים במערכת: במערכת יש גם וגם... הבנתם את הרמז?

זה נכון! כשפותרים מערכת, עלינו להסתכל על שתי הקואורדינטות, ולא רק כמו בפתרון משוואות! נקודה חשובה נוספת היא לרשום אותם נכון ולא לבלבל איפה יש לנו את המשמעות ואיפה המשמעות! רשמת את זה? עכשיו בואו נשווה הכל לפי הסדר:

והתשובות: ו. לעשות בדיקה - להחליף את השורשים שנמצאו לתוך המערכת ולוודא האם פתרנו את זה בצורה גרפית נכונה?

פתרון מערכות של משוואות לא ליניאריות

מה אם במקום קו ישר אחד תהיה לנו משוואה ריבועית? זה בסדר! אתה פשוט בונה פרבולה במקום קו ישר! לא מאמינים? נסה לפתור את המערכת הבאה:

מה הצעד הבא שלנו? נכון, רשום את זה כדי שיהיה לנו נוח לבנות גרפים:

ועכשיו הכל עניין של דברים קטנים - בנה את זה מהר והנה הפתרון שלך! אנחנו בונים:

האם הגרפים יצאו אותו הדבר? כעת סמן את פתרונות המערכת באיור ורשום נכון את התשובות שזוהו!

עשיתי הכל? השווה עם ההערות שלי:

הכל בסדר? כל הכבוד! אתה כבר מפצח משימות מסוג זה כמו אגוזים! אם כן, בואו ניתן לכם מערכת מסובכת יותר:

מה אנחנו עושים? ימין! אנו כותבים את המערכת כך שיהיה נוח לבנות:

אני אתן לך רמז קטן, מכיוון שהמערכת נראית מאוד מסובכת! בעת בניית גרפים, בנה אותם "יותר", והכי חשוב, אל תופתע ממספר נקודות ההצטלבות.

אז בוא נלך! בנשיפה? עכשיו תתחילו לבנות!

אז איך? יפה? כמה נקודות צומת קיבלת? יש לי שלוש! בואו נשווה את הגרפים שלנו:

גַם? כעת רשום בזהירות את כל הפתרונות של המערכת שלנו:

עכשיו תסתכל שוב על המערכת:

האם אתה יכול לדמיין שפתרת את זה ב-15 דקות בלבד? מסכים, מתמטיקה היא עדיין פשוטה, במיוחד כשמסתכלים על ביטוי אתה לא מפחד לטעות, אלא פשוט קח אותה ותפתור אותה! אתה בחור גדול!

פתרון גרפי של אי שוויון

פתרון גרפי של אי-שוויון ליניארי

אחרי הדוגמה האחרונה, אתה יכול לעשות הכל! עכשיו תנשמו - בהשוואה לסעיפים הקודמים, זה יהיה מאוד מאוד קל!

נתחיל, כרגיל, בפתרון גרפי לאי שוויון ליניארי. לדוגמה, זה:

ראשית, בואו נבצע את הטרנספורמציות הפשוטות ביותר - פתח את הסוגריים של ריבועים מושלמים ונציג מונחים דומים:

אי השוויון אינו קפדני, ולכן אינו נכלל במרווח, והפתרון יהיה כל הנקודות שנמצאות מימין, שכן עוד ועוד ועוד:

תשובה:

זה הכל! בְּקַלוּת? בואו נפתור אי שוויון פשוט עם שני משתנים:

נצייר פונקציה במערכת הקואורדינטות.

קיבלת לוח זמנים כזה? עכשיו בואו נסתכל היטב איזה אי שוויון יש לנו שם? פָּחוֹת? זה אומר שאנחנו מציירים מעל כל מה שנמצא משמאל לקו הישר שלנו. מה אם היו עוד? נכון, אז היינו מציירים מעל כל מה שנמצא מימין לקו הישר שלנו. זה פשוט.

כל הפתרונות לחוסר השוויון הזה מוצללים בכתום. זהו, אי השוויון עם שני משתנים נפתר. זה אומר שהקואורדינטות של כל נקודה מהאזור המוצל הן הפתרונות.

פתרון גרפי של אי שוויון ריבועי

כעת נבין כיצד לפתור באופן גרפי אי-שוויון ריבועי.

אבל לפני שנגיע לעניינים, בואו נסקור קצת חומר בנוגע לפונקציה הריבועית.

למה אחראי המפלה? זה נכון, לגבי המיקום של הגרף ביחס לציר (אם אתה לא זוכר את זה, אז בהחלט קרא את התיאוריה על פונקציות ריבועיות).

בכל מקרה, הנה תזכורת קטנה בשבילך:

כעת, לאחר שרעננו את כל החומר בזיכרון שלנו, בואו ניגש לעניינים – פותרים את אי השוויון בצורה גרפית.

אני אגיד לך מיד שיש שתי אפשרויות לפתור את זה.

אופציה 1

אנו כותבים את הפרבולה שלנו כפונקציה:

באמצעות הנוסחאות, אנו קובעים את הקואורדינטות של קודקוד הפרבולה (בדיוק כמו בעת פתרון משוואות ריבועיות):

ספרת? מה קיבלת?

כעת ניקח עוד שתי נקודות שונות ונחשב עבורן:

בואו נתחיל לבנות ענף אחד של הפרבולה:

אנו משקפים באופן סימטרי את הנקודות שלנו על ענף אחר של הפרבולה:

עכשיו נחזור לאי השוויון שלנו.

אנחנו צריכים שזה יהיה פחות מאפס, בהתאמה:

מכיוון שבאי-השוויון שלנו הסימן הוא בהחלט פחות מזה, אנו לא כוללים את נקודות הסיום - "לנקב החוצה".

תשובה:

דרך ארוכה, נכון? כעת אראה לכם גרסה פשוטה יותר של הפתרון הגרפי באמצעות הדוגמה של אותו אי שוויון:

אפשרות 2

אנו חוזרים לאי השוויון שלנו ומסמנים את המרווחים הדרושים לנו:

מסכים, זה הרבה יותר מהיר.

כעת נרשום את התשובה:

בואו נבחן פתרון אחר שמפשט את החלק האלגברי, אבל העיקר לא להתבלבל.

הכפל את הצד השמאלי והימני ב:

נסה לפתור את אי השוויון הריבועי הבא בעצמך בכל דרך שתרצה: .

הסתדרת?

תראה איך הגרף שלי יצא:

תשובה: .

פתרון גרפי של אי שוויון מעורב

עכשיו בואו נעבור לאי שוויון מורכבים יותר!

איך אתה אוהב את זה:

זה מפחיד, לא? בכנות, אין לי מושג איך לפתור את זה באופן אלגברי... אבל זה לא הכרחי. מבחינה גרפית אין בזה שום דבר מסובך! העיניים מפחדות, אבל הידיים עושות!

הדבר הראשון שנתחיל איתו הוא בבניית שני גרפים:

אני לא אכתוב טבלה לכל אחד - אני בטוח שאתה יכול לעשות את זה בצורה מושלמת בעצמך (וואו, יש כל כך הרבה דוגמאות לפתור!).

ציירת את זה? כעת בנה שני גרפים.

בואו נשווה את הציורים שלנו?

זה אותו דבר איתך? גדול! עכשיו בואו נסדר את נקודות החיתוך ונשתמש בצבע כדי לקבוע איזה גרף צריך להיות גדול יותר בתיאוריה, כלומר. תראה מה קרה בסוף:

עכשיו בואו רק נסתכל איפה הגרף שנבחר שלנו גבוה מהגרף? אתם מוזמנים לקחת עיפרון ולצבוע על האזור הזה! היא תהיה הפתרון לאי השוויון המורכב שלנו!

באילו מרווחים לאורך הציר אנחנו גבוהים מ? ימין, . זו התשובה!

ובכן, עכשיו אתה יכול להתמודד עם כל משוואה, כל מערכת, ועוד יותר מזה כל אי שוויון!

בקצרה על הדברים העיקריים

אלגוריתם לפתרון משוואות באמצעות גרפי פונקציות:

1. בואו נביע את זה דרך
2. בואו נגדיר את סוג הפונקציה
3. בואו נבנה גרפים של הפונקציות המתקבלות
4. בואו נמצא את נקודות החיתוך של הגרפים
5. בואו נכתוב את התשובה בצורה נכונה (בהתחשב בסימני ODZ ואי-שוויון)
6. בוא נבדוק את התשובה (נחליף את השורשים במשוואה או במערכת)

למידע נוסף על בניית גרפי פונקציות, עיין בנושא "".

2/3 המאמרים הנותרים זמינים רק לתלמידים שלכם!

הפוך לתלמיד YouClever,

התכוננו לבחינת המדינה המאוחדת או הבחינה המאוחדת במתמטיקה במחיר של "כוס קפה לחודש",

וקבל גם גישה בלתי מוגבלת לספר הלימוד "YouClever", תוכנית ההכנה "100gia" (ספר פותר), ניסיון ללא הגבלה של Unified State Exam ו-Uniified State Exam, 6000 בעיות בניתוח פתרונות ושירותי YouClever ו-100gia אחרים.

ייצוג גרפי של פונקציות מאפשר בְּעֵרֶךלפתור אי שוויון עם אחד לא ידוע ומערכות של אי שוויון עם אחד ושני לא ידועים. לפתור בצורה גרפית אי שוויון עם אחד לא ידוע, יש צורך להעביר את כל חבריו לחלק אחד, כלומר. מוביל ל:

ו(איקס) > 0 ,

ושרטטו את הפונקציה y = f(איקס). לאחר מכן, באמצעות הגרף הבנוי, אתה יכול למצוא אפסים פונקציה, שיחלק את הציר איקסלמספר מרווחים. כעת, על סמך זה, אנו קובעים את המרווחים איקס, שבתוכו סימן הפונקציה מתאים לסימן אי השוויון. לדוגמה, האפסים של הפונקציה שלנו: או ב(איור 30). אז ברור מהגרף שהמרווחים שבתוכם ו(איקס) > 0: איקס < או איקס> ב(הם מסומנים בחצים מודגשים). ברור שהסימן > כאן הוא מותנה; במקום זה יכול להיות כל אחר:< , .

כדי לפתור בצורה גרפית מערכת של אי-שוויון עם אחד לא ידוע, צריך להעביר את כל האיברים בכל אחד מהם לחלק אחד, כלומר. להביא את אי השוויון לצורה:

ושרטטו את הפונקציות y = f(איקס), y = ז(איקס) , ... , y = ח(איקס). כל אחד מאי השוויון הללו נפתר בשיטה הגרפית שתוארה לעיל. אחרי זה אתה צריך למצוא צומת פתרונותכל אי השוויון, כלומר. החלק המשותף שלהם.

דוגמא פתרו בצורה גרפית את מערכת אי השוויון:

פתרון ראשית, בואו נתווה את הפונקציות y = - 2 / 3 איקס+ 2 ו

y = איקס 2 -1 (איור 31):

הפתרון לאי השוויון הראשון הוא המרווח איקס> 3, מצויין באיור 31 בחץ שחור; הפתרון לאי השוויון השני מורכב משני מרווחים: איקס < -1 и איקס> 1, מצויין באיור 31 בחצים אפורים.

הגרף מראה שהצומת של שני הפתרונות הללו הוא המרווח איקס> 3. זהו הפתרון למערכת האי-שוויון הנתונה.

כדי לפתור באופן גרפי מערכת של שני אי-שוויון עם שני לא ידועים, עליך:

1) בכל אחד מהם, העבר את כל המונחים לחלק אחד, כלומר. לְהָבִיא

אי שוויון לצורה:

2) בניית גרפים של פונקציות שצוינו במרומז: ו(x, y) = 0 ו ז(x, y) = 0;

3) כל אחד מהגרפים הללו מחלק את מישור הקואורדינטות לשני חלקים:

באחד מהם אי שוויון הוגן, באחר - לא;לפתור

מבחינה גרפית כל אחד מאי השוויון הללו, מספיק לבדוק

תוקף אי השוויון בנקודה שרירותית אחת בתוך כל אחד

חלקי המטוס; אם אי שוויון מתרחש בשלב זה, אז

חלק זה של מישור הקואורדינטות הוא הפתרון שלו, אם לא, אז

הפתרון הוא החלק הנגדי של המטוס;

4) הפתרון למערכת נתונה של אי-שוויון הוא הצומת

(אזור כללי) חלקים של מישור הקואורדינטות.

דוגמא פתור את מערכת אי השוויון:

פתרון ראשית, אנו בונים גרפים של פונקציות ליניאריות: 5 איקס - 7y= -11 ו

2איקס + 3y= 10 (איור 32). לכל אחד מהם אנו מוצאים חצי מטוס,

שבתוכו אי השוויון הנתון המקביל

יריד. אנחנו יודעים שמספיק לבדוק את ההגינות

אי שוויון בנקודה שרירותית אחת באזור; בזה

הדרך הקלה ביותר לעשות זאת היא להשתמש במקור הקואורדינטות O (0, 0).

החלפת הקואורדינטות שלו באי-השוויון שלנו במקום זאת איקסו y,

נקבל: 5 0 - 7 0 = 0 > -11, לכן, ככל הנמוך יותר

חצי המישור (צהוב) הוא פתרון לראשון

אי שוויון; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе неравенство

לפתרון שלו יש גם את חצי המישור התחתון (כחול

צבעים). ההצטלבות של חצאי המישורים הללו (אזור בצבע טורקיז)

האם הפתרון למערכת אי השוויון שלנו.

אחת השיטות הנוחות ביותר לפתרון אי-שוויון ריבועי היא השיטה הגרפית. במאמר זה נבחן כיצד אי-שוויון ריבועי נפתרים בצורה גרפית. ראשית, בואו נדון במהותה של שיטה זו. לאחר מכן, נציג את האלגוריתם ונשקול דוגמאות לפתרון אי-שוויון ריבועי בצורה גרפית.

ניווט בדף.

מהות השיטה הגרפית

בכלל שיטה גרפית לפתרון אי שוויוןעם משתנה אחד משמש לא רק לפתרון אי-שוויון ריבועי, אלא גם סוגים אחרים של אי-שוויון. מהות השיטה הגרפית לפתרון אי שוויוןהבא: שקול את הפונקציות y=f(x) ו-y=g(x), המתאימות לצד שמאל וימין של אי השוויון, בנה את הגרפים שלהן במערכת קואורדינטות מלבנית אחת וגלה באילו מרווחים הגרף של אחד מה הם נמוכים או גבוהים מהשני. המרווחים האלה איפה

• הגרף של הפונקציה f מעל הגרף של הפונקציה g הם פתרונות לאי השוויון f(x)>g(x) ;
• הגרף של הפונקציה f אינו נמוך מהגרף של הפונקציה g הם פתרונות לאי השוויון f(x)≥g(x) ;
• הגרף של f מתחת לגרף של g הם פתרונות לאי השוויון f(x)
• הגרף של פונקציה f אינו גבוה מהגרף של פונקציה g הם פתרונות לאי השוויון f(x)≤g(x) .

נניח גם שהאבססיס של נקודות החיתוך של הגרפים של הפונקציות f ו-g הן פתרונות למשוואה f(x)=g(x) .

הבה נעביר את התוצאות הללו למקרה שלנו - כדי לפתור את אי השוויון הריבועי a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

אנו מציגים שתי פונקציות: הראשונה y=a x 2 +b x+c (עם f(x)=a x 2 +b x+c) המקבילה לצד השמאלי של אי השוויון הריבועי, השנייה y=0 (עם g ( x)=0 ) מתאים לצד הימני של אי השוויון. לוח זמנים פונקציה ריבועית f היא פרבולה והגרף תפקוד קבוע g – קו ישר החופף לציר האבשיסה Ox.

לאחר מכן, על פי השיטה הגרפית של פתרון אי-שוויון, יש צורך לנתח באילו מרווחים גרף של פונקציה אחת נמצא מעל או מתחת לאחרת, מה שיאפשר לנו לרשום את הפתרון הרצוי לאי-השוויון הריבועי. במקרה שלנו, עלינו לנתח את מיקום הפרבולה ביחס לציר השור.

בהתאם לערכי המקדמים a, b ו-c, אפשריות שש האפשרויות הבאות (לצורך שלנו, ייצוג סכמטי מספיק, ואין צורך לתאר את ציר Oy, שכן מיקומו אינו משפיע על פתרונות לאי-שוויון):

בשרטוט זה אנו רואים פרבולה, שענפיה מופנים כלפי מעלה, ואשר חותכת את ציר השור בשתי נקודות, שהאבססיס שלה הן x 1 ו- x 2. ציור זה מתאים לאפשרות כאשר מקדם a חיובי (הוא אחראי לכיוון כלפי מעלה של ענפי הפרבולה), וכאשר הערך חיובי מבחנה של טרינום ריבועי a x 2 +b x+c (במקרה זה, לטרינום יש שני שורשים, אותם ציינו כ-x 1 ו-x 2, והנחנו ש-x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

למען הבהירות, הבה נצייר באדום את חלקי הפרבולה הממוקמים מעל ציר ה-x, ובכחול - אלה הממוקמים מתחת לציר ה-X.


עכשיו בואו לגלות אילו מרווחים מתאימים לחלקים אלה. הציור הבא יעזור לך לזהות אותם (בעתיד נעשה בחירות דומות בצורה של מלבנים מבחינה נפשית):


אז על ציר האבססיס הודגשו באדום שני מרווחים (−∞, x 1) ו-(x 2, +∞), עליהם הפרבולה נמצאת מעל ציר השור, הם מהווים פתרון לאי השוויון הריבועי a x 2 +b x +c>0, והמרווח (x 1, x 2) מסומן בכחול, יש פרבולה מתחת לציר השור, היא מייצגת את הפתרון לאי השוויון a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

ועכשיו בקצרה: עבור a>0 ו-D=b 2 −4 a c>0 (או D"=D/4>0 עבור מקדם זוגי b)

• הפתרון לאי השוויון הריבועי a x 2 +b x+c>0 הוא (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) או בסימון אחר x x2;
• הפתרון לאי השוויון הריבועי a x 2 +b x+c≥0 הוא (−∞, x 1 ]∪ או בסימון אחר x 1 ≤x≤x 2,

כאשר x 1 ו-x 2 הם השורשים של הטרינום הריבועי a x 2 +b x+c, ו-x 1


כאן אנו רואים פרבולה, שענפיה מכוונים כלפי מעלה, ואשר נוגעת בציר האבשיסה, כלומר יש לה נקודה משותפת אחת איתה נסמן את האבשיסה של נקודה זו כ- x 0. המקרה המוצג מתאים ל-a>0 (הענפים מכוונים כלפי מעלה) ו-D=0 (לטרינום הריבועי יש שורש אחד x 0). לדוגמה, אתה יכול לקחת את הפונקציה הריבועית y=x 2 −4·x+4, כאן a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 ו-x 0 =2.

הציור מראה בבירור שהפרבולה ממוקמת מעל ציר השור בכל מקום מלבד נקודת המגע, כלומר במרווחים (-∞, x 0), (x 0, ∞). למען הבהירות, הבה נדגיש אזורים בציור על ידי אנלוגיה לפסקה הקודמת.


אנו מסיקים מסקנות: עבור a>0 ו-D=0

• הפתרון לאי השוויון הריבועי a·x 2 +b·x+c>0 הוא (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) או בסימון אחר x≠x 0;
• הפתרון לאי השוויון הריבועי a·x 2 +b·x+c≥0 הוא (−∞, +∞) או בסימון אחר x∈R ;
• אי שוויון ריבועי a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• לאי השוויון הריבועי a x 2 +b x+c≤0 יש פתרון ייחודי x=x 0 (הוא ניתן על ידי נקודת המשיכה),

כאשר x 0 הוא השורש של הטרינום הריבועי a x 2 + b x + c.


במקרה זה, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה, ואין לה נקודות משותפות עם ציר האבשיסה. כאן יש לנו את התנאים a>0 (הענפים מכוונים כלפי מעלה) ו-D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

ברור שהפרבולה ממוקמת מעל ציר השור לכל אורכה (אין מרווחים שבהם היא מתחת לציר השור, אין נקודת מישוש).


לפיכך, עבור a>0 ו-D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 ו-a x 2 +b x+c≥0 הוא קבוצת כל המספרים הממשיים, ואי השוויון a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

ונשארו שלוש אפשרויות למיקום הפרבולה עם ענפים מכוונים כלפי מטה, לא כלפי מעלה, ביחס לציר השור. באופן עקרוני, אין צורך להתייחס אליהם, שכן הכפלת שני הצדדים של אי השוויון ב-1 מאפשרת לנו ללכת לאי שוויון שווה ערך עם מקדם חיובי עבור x 2. אבל עדיין לא מזיק לקבל מושג על המקרים האלה. הנימוק כאן דומה, ולכן נכתוב רק את התוצאות העיקריות.

אלגוריתם פתרון

התוצאה של כל החישובים הקודמים היא אלגוריתם לפתרון אי שוויון ריבועי בצורה גרפית:

במישור הקואורדינטות נעשה ציור סכמטי, המתאר את ציר השור (אין צורך לתאר את ציר Oy) ושרטוט של פרבולה המקבילה לפונקציה הריבועית y=a·x 2 +b·x+c. כדי לצייר סקיצה של פרבולה, מספיק לגלות שני דברים:

• ראשית, לפי ערך המקדם a נקבע לאן מכוונים הענפים שלו (עבור a>0 - כלפי מעלה, עבור a<0 – вниз).
• ושנית, לפי ערך המבחין של הטרינום הריבועי a x 2 + b x + c נקבע אם הפרבולה חותכת את ציר האבשיסה בשתי נקודות (עבור D>0), נוגעת בו בנקודה אחת (עבור D=0) , או שאין לו נקודות משותפות עם ציר השור (ב-D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• כשהציור מוכן, השתמש בו בשלב השני של האלגוריתם

  • כאשר פותרים את אי השוויון הריבועי a·x 2 +b·x+c>0, נקבעים המרווחים שבהם הפרבולה ממוקמת מעל האבשיסה;
  • כאשר פותרים את אי השוויון a·x 2 +b·x+c≥0, נקבעים המרווחים שבהם הפרבולה ממוקמת מעל ציר האבשיסה ומתווספים ל-absciss של נקודות החיתוך (או האבססיס של נקודת המשיק). אוֹתָם;
  • כאשר פותרים את אי השוויון a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • לבסוף, כאשר פותרים אי שוויון ריבועי בצורה a·x 2 +b·x+c≤0, מוצאים מרווחים שבהם הפרבולה נמצאת מתחת לציר השור והאבססיס של נקודות החיתוך (או האבשסיס של נקודת המשיק ) מתווסף אליהם;

  הם מהווים את הפתרון הרצוי לאי-השוויון הריבועי, ואם אין מרווחים כאלה ואין נקודות משיכה, אזי לאי-השוויון הריבועי המקורי אין פתרונות.

כל מה שנותר הוא לפתור כמה אי-שוויון ריבועי באמצעות האלגוריתם הזה.

דוגמאות עם פתרונות

דוגמא.

לפתור את אי השוויון .

פִּתָרוֹן.

אנחנו צריכים לפתור אי שוויון ריבועי, בואו נשתמש באלגוריתם מהפסקה הקודמת. בשלב הראשון עלינו לצייר שרטוט של הגרף של הפונקציה הריבועית . המקדם של x 2 שווה ל-2, הוא חיובי, לכן, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. בואו נגלה גם אם לפרבולה יש נקודות משותפות עם ציר ה-x כדי לעשות זאת, נחשב את המבחין של הטרינום הריבועי . יש לנו . התברר שהמבחן גדול מאפס, לכן לטרינום יש שני שורשים ממשיים: ו , כלומר, x 1 =−3 ו-x 2 =1/3.

מכאן ברור שהפרבולה חותכת את ציר השור בשתי נקודות עם אבססיס −3 ו-1/3. אנו נצייר את הנקודות הללו בשרטוט כנקודות רגילות, מכיוון שאנו פותרים אי שוויון לא קפדני. בהתבסס על הנתונים המובהרים, אנו משיגים את הציור הבא (הוא מתאים לתבנית הראשונה מהפסקה הראשונה של המאמר):

נעבור לשלב השני של האלגוריתם. מכיוון שאנו פותרים אי שוויון ריבועי לא קפדני עם הסימן ≤, עלינו לקבוע את המרווחים שבהם הפרבולה ממוקמת מתחת לאבשיסה ולהוסיף להם את האבשסיס של נקודות החיתוך.

מהציור ברור שהפרבולה נמצאת מתחת לציר ה-x במרווח (-3, 1/3) ואליו נוסיף את האבססיס של נקודות החיתוך, כלומר את המספרים −3 ו-1/3. כתוצאה מכך, אנו מגיעים למרווח המספרי [-3, 1/3] . זה הפתרון שאנחנו מחפשים. ניתן לכתוב אותו כאי שוויון כפול −3≤x≤1/3.

תשובה:

[−3, 1/3] או −3≤x≤1/3 .

דוגמא.

מצא את הפתרון לאי השוויון הריבועי −x 2 +16 x−63<0 .

פִּתָרוֹן.

כרגיל, אנחנו מתחילים עם ציור. המקדם המספרי לריבוע של המשתנה הוא שלילי, −1, לכן, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מטה. בואו נחשב את המבחין, או יותר טוב, החלק הרביעי שלו: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. הערך שלו חיובי, בואו נחשב את שורשי הטרינום הריבועי: ו , x 1 =7 ו-x 2 =9. אז הפרבולה חותכת את ציר השור בשתי נקודות עם אבשסיס 7 ו-9 (אי השוויון המקורי הוא קפדני, אז נציג את הנקודות האלה עם מרכז ריק עכשיו אנחנו יכולים לעשות ציור סכמטי).

מכיוון שאנו פותרים אי שוויון ריבועי קפדני עם סימן<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

השרטוט מראה שהפתרונות לאי השוויון הריבועי המקורי הם שני מרווחים (-∞, 7), (9, +∞) .

תשובה:

(−∞, 7)∪(9, +∞) או בסימון אחר x<7 , x>9 .

בעת פתרון אי-שוויון ריבועי, כאשר המבחין של טרינום ריבועי בצדו השמאלי הוא אפס, עליך להקפיד על הכללה או אי הכללה של האבשסיס של נקודת המשיק מהתשובה. זה תלוי בסימן של אי השוויון: אם אי השוויון הוא קפדני, אז זה לא פתרון לאי השוויון, אבל אם הוא לא מחמיר, אז זה כן.

דוגמא.

האם לאי השוויון הריבועי 10 x 2 −14 x+4.9≤0 יש לפחות פתרון אחד?

פִּתָרוֹן.

נשרטט את הפונקציה y=10 x 2 −14 x+4.9. הענפים שלו מכוונים כלפי מעלה, שכן מקדם x 2 חיובי, והוא נוגע בציר האבשיסה בנקודה עם האבשיסה 0.7, שכן D"=(−7) 2 −10 4.9=0, משם או 0.7 בצורה בשבר עשרוני זה נראה כך:

מכיוון שאנו פותרים אי שוויון ריבועי עם הסימן ≤, הפתרון שלו יהיה המרווחים שבהם הפרבולה נמצאת מתחת לציר השור, וכן האבשסיס של נקודת המשיק. מהציור ברור שאין פער אחד שבו הפרבולה תהיה מתחת לציר השור, ולכן הפתרון שלה יהיה רק ​​האבססיס של נקודת המשיק, כלומר 0.7.

תשובה:

לחוסר השוויון הזה יש פתרון ייחודי 0.7.

דוגמא.

פתור את אי השוויון הריבועי -x 2 +8 x−16<0 .

פִּתָרוֹן.

אנו עוקבים אחר האלגוריתם לפתרון אי-שוויון ריבועי ומתחילים בבניית גרף. הענפים של הפרבולה מכוונים כלפי מטה, שכן מקדם x 2 הוא שלילי, −1. הבה נמצא את המבחין של הטרינום הריבועי –x 2 +8 x−16, יש לנו D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0ואז x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . אז, הפרבולה נוגעת בציר השור בנקודת האבססיס 4. בואו נעשה את הציור:

אנחנו מסתכלים על הסימן של אי השוויון המקורי, הוא קיים<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

במקרה שלנו, אלו הן קרניים פתוחות (-∞, 4), (4, +∞) . בנפרד נציין ש-4 - האבססיס של נקודת המגע - אינו פתרון, שכן בנקודת המגע הפרבולה אינה נמוכה מציר השור.

תשובה:

(−∞, 4)∪(4, +∞) או בסימון אחר x≠4 .

שימו לב במיוחד למקרים שבהם המבחין של הטרינום הריבועי בצד שמאל של אי השוויון הריבועי קטן מאפס. אין צורך למהר כאן ולומר שלאי השוויון אין פתרונות (אנחנו רגילים לעשות מסקנה כזו למשוואות ריבועיות עם מבחן שלילי). הנקודה היא שהאי-שוויון הריבועי עבור D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

דוגמא.

מצא את הפתרון לאי השוויון הריבועי 3 x 2 +1>0.

פִּתָרוֹן.

כרגיל, אנחנו מתחילים עם ציור. המקדם a הוא 3, הוא חיובי, לכן, ענפי הפרבולה מכוונים כלפי מעלה. אנו מחשבים את המבחין: D=0 2 −4·3·1=−12 . מכיוון שהמבחן הוא שלילי, לפרבולה אין נקודות משותפות עם ציר השור. המידע המתקבל מספיק עבור גרף סכמטי:

אנו פותרים אי שוויון ריבועי קפדני עם סימן >. הפתרון שלו יהיה כל המרווחים שבהם הפרבולה נמצאת מעל ציר השור. במקרה שלנו, הפרבולה נמצאת מעל ציר ה-x לכל אורכה, ולכן הפתרון הרצוי יהיה קבוצת כל המספרים הממשיים.

שור , וצריך להוסיף להן גם את האבשיסה של נקודות החיתוך או את האבשיסה של הטנגנטיות. אבל מהציור נראה בבירור שאין מרווחים כאלה (שכן הפרבולה נמצאת בכל מקום מתחת לציר האבססיס), כשם שאין נקודות חיתוך, כשם שאין נקודות מישוש. לכן, לאי השוויון הריבועי המקורי אין פתרונות.

תשובה:

אין פתרונות או בערך אחר ∅.

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ח'. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• אַלגֶבּרָה:כיתה ט': חינוכית. לחינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2009. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ח'. בעוד שעתיים חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי / א.ג. מורדקוביץ. - מהדורה 11, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ט'. בעוד שעתיים חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה 13, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• מורדקוביץ' א.ג.אלגברה ותחילת ניתוח מתמטי. כיתה יא. בעוד שעתיים חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי (רמת פרופיל) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - מהדורה שנייה, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 עמ': ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

תלמיד כיתה י' יורי קוטובצ'יקין

תלמידים מתחילים ללמוד משוואות עם מודולים כבר בכיתה ו' הם לומדים את שיטת הפתרון הסטנדרטית תוך שימוש בהרחבת מודולים על מרווחים של סימן קבוע של ביטויים תת-מודוליים. בחרתי בנושא הספציפי הזה כי אני מאמין שהוא מצריך לימוד מעמיק ויסודי יותר הבעיות במודול גורמות לקשיים גדולים לסטודנטים. בתכנית הלימודים בבית הספר ישנן משימות המכילות מודול כמשימות בעלות מורכבות מוגברת ובבחינות, לכן עלינו להיות מוכנים להיתקל במשימה כזו.

הורד:

תצוגה מקדימה:

מוסד חינוך עירוני

בית ספר תיכון מס' 5

עבודת מחקר בנושא:

« פתרון אלגברי וגרפי של משוואות ואי-שוויון המכילות מודולוס»

עשיתי את העבודה:

תלמיד כיתה י'

קוטובצ'יקין יורי

מְפַקֵחַ:

מורה למתמטיקה

שנטה נ.פ.

אוריופינסק

1. מבוא……………………………………………………………….3

2. מושגים והגדרות………………………………………………….5

3. הוכחת משפטים…………………………………………………..6

4. שיטות לפתרון משוואות המכילות את המודול…………………7

4.1 פתרון באמצעות תלות בין המספרים a ו-b, המודולים והריבועים שלהם………………………………………………………………………………………….

4.2. שימוש בפירוש גיאומטרי של המודול לפתרון משוואות……………………………………………………………………..14

4.3.גרפים של הפונקציות הפשוטות ביותר המכילות את הסימן של הערך המוחלט.

………………………………………………………………………15

4.4.פתרון משוואות לא סטנדרטיות המכילות מודול....16

5. מסקנה……………………………………………………………….17

6. רשימת הפניות…………………………………18

מטרת העבודה: התלמידים מתחילים ללמוד משוואות עם מודולים מכיתה ו' הם לומדים את שיטת הפתרון הסטנדרטי תוך שימוש בהרחבת מודולים במרווחים של סימן קבוע של ביטויים תת-מודוליים. בחרתי בנושא הספציפי הזה כי אני מאמין שהוא מצריך לימוד מעמיק ויסודי יותר הבעיות במודול גורמות לקשיים גדולים לסטודנטים. בתכנית הלימודים הבית ספרית ישנן משימות המכילות מודול כמשימות בעלות מורכבות מוגברת ובבחינות, לכן עלינו להיות מוכנים להיתקל במשימה כזו.

1. הקדמה:

המילה "מודול" מגיעה מהמילה הלטינית "מודול", שפירושה "מידה". זוהי מילה פוליסמנטית (הומוניה), בעלת משמעויות רבות והיא משמשת לא רק במתמטיקה, אלא גם בארכיטקטורה, פיזיקה, טכנולוגיה, תכנות ומדעים מדויקים אחרים.

באדריכלות, זוהי יחידת המדידה הראשונית שנקבעה עבור מבנה אדריכלי נתון ומשמשת לבטא יחסים מרובים של המרכיבים המרכיבים אותו.

בטכנולוגיה זהו מונח המשמש בתחומי טכנולוגיה שונים, שאין לו משמעות אוניברסלית ומשמש לייעוד מקדמים וכמויות שונות, למשל מודול התקשרות, מודול אלסטי וכו'.

מודול נפח (בפיזיקה) הוא היחס בין מתח נורמלי בחומר להתארכות יחסית.

2. מושגים והגדרות

המודולוס - הערך המוחלט - של מספר ממשי A מסומן ב- |A|.

כדי ללמוד את הנושא הזה לעומק, יש צורך להכיר את ההגדרות הפשוטות ביותר שאצטרך:

משוואה היא שוויון המכיל משתנים.

משוואה עם מודול היא משוואה המכילה משתנה תחת סימן הערך המוחלט (תחת סימן המודולוס).

פתרון משוואה פירושו למצוא את כל השורשים שלה, או להוכיח שאין שורשים.

3.הוכחת משפטים

משפט 1. הערך המוחלט של מספר ממשי שווה למספר הגדול מבין שני מספרים, a או -a.

הוכחה

1. אם המספר a חיובי, אז -a הוא שלילי, כלומר -a

לדוגמה, המספר 5 הוא חיובי, ואז -5 הוא שלילי ו-5

במקרה זה |a| = a, כלומר |a| מתאים למספר הגדול מבין שניים a ו- a.

2. אם a הוא שלילי, אז -a הוא חיובי ו-a

תוֹצָאָה. מהמשפט עולה כי |-א| = |a|.

למעשה, שניהם וגם שווים לגדול מבין המספרים -a ו-a, כלומר הם שווים זה לזה.

משפט 2. הערך המוחלט של כל מספר ממשי a שווה לשורש הריבועי האריתמטי של A 2 .

למעשה, אם אז, לפי הגדרת המודולוס של מספר, יהיה לנו lАl>0. מצד שני, עבור A>0 זה אומר |a| = √ א 2

אם 2

משפט זה מאפשר להחליף |a| בעת פתרון בעיות מסוימות. עַל

מבחינה גיאומטרית |a| פירושו המרחק על קו הקואורדינטות מהנקודה המייצגת את המספר a למקור.

אם אז על קו הקואורדינטות יש שתי נקודות a ו-a, במרחק שווה מאפס, שהמודולים שלהן שווים.

אם a = 0, אז על קו הקואורדינטות |a| מיוצג על ידי נקודה 0

4. שיטות לפתרון משוואות המכילות מודולוס.

כדי לפתור משוואות המכילות את סימן הערך המוחלט, נסתמך על ההגדרה של מודולוס של מספר ותכונות הערך המוחלט של מספר. נפתור מספר דוגמאות בדרכים שונות ונראה איזו שיטה קלה יותר לפתרון משוואות המכילות מודולוס.

דוגמה 1. הבה נפתור בצורה אנליטית וגרפית את המשוואה |x + 2| = 1.

פִּתָרוֹן

פתרון אנליטי

שיטה 1

ננמק על סמך ההגדרה של מודול. אם הביטוי מתחת למודולוס אינו שלילי, כלומר x + 2 ≥0, אז הוא "יצא" מתחת לסימן המודולוס עם סימן פלוס והמשוואה תקבל את הצורה: x + 2 = 1. אם הערך של הביטוי תחת סימן המודול הוא שלילי, אז, בהגדרה, הוא יהיה שווה ל: או x + 2=-1

לפיכך, נקבל או x + 2 = 1 או x + 2 = -1. פתרון המשוואות המתקבלות נמצא: X+2=1 או X+2+-1

X=-1 X=3

תשובה: -3;-1.

כעת אנו יכולים להסיק: אם המודולוס של ביטוי כלשהו שווה למספר ממשי חיובי a, אז הביטוי תחת המודולוס הוא או a או -a.

פתרון גרפי

אחת הדרכים לפתור משוואות המכילות מודול היא השיטה הגרפית. המהות של שיטה זו היא בניית גרפים של פונקציות אלו. אם הגרפים מצטלבים, נקודות החיתוך של הגרפים הללו יהיו שורשי המשוואה שלנו. אם הגרפים אינם מצטלבים, נוכל להסיק שלמשוואה אין שורשים. שיטה זו משמשת כנראה לעתים רחוקות יותר מאחרות לפתרון משוואות המכילות מודולוס, שכן, ראשית, היא לוקחת זמן רב ואינה תמיד רציונלית, ושנית, התוצאות המתקבלות כאשר מתווים גרפים אינן תמיד מדויקות.

דרך נוספת לפתור משוואות המכילות מודולוס היא לפצל את קו המספרים למרווחים. במקרה זה, עלינו לפצל את קו המספרים כך שבהגדרת המודולוס ניתן להסיר את הסימן של הערך המוחלט במרווחים הללו. לאחר מכן, עבור כל אחד מהמרווחים, נצטרך לפתור את המשוואה הזו ולהסיק מסקנה לגבי השורשים המתקבלים (בין אם הם עומדים במרווח שלנו או לא). השורשים שיספקו את הפערים יתנו את התשובה הסופית.

שיטה 2

הבה נקבע באילו ערכים של x המודול שווה לאפס: |X+2|=0 , X=2

נקבל שני מרווחים, שעל כל אחד מהם נפתור את המשוואה:

אנו מקבלים שתי מערכות מעורבות:

(1) X+2 0

X-2=1 X+2=1

בואו נפתור כל מערכת:

X=-3 X=-1

תשובה: -3;-1.

פתרון גרפי

y= |X+2|, y= 1.

פתרון גרפי

כדי לפתור את המשוואה בצורה גרפית, צריך לבנות גרפים של פונקציות ו

כדי לבנות גרף של פונקציה, בואו נבנה גרף של פונקציה - זו פונקציה שחותכת בנקודות את ציר OX וציר OY.

האבססיס של נקודות החיתוך של גרפי הפונקציות ייתן פתרונות למשוואה.

הגרף הישר של הפונקציה y=1 נחתך עם הגרף של הפונקציה y=|x + 2| בנקודות עם קואורדינטות (-3; 1) ו-(-1; 1), לכן הפתרונות למשוואה יהיו האבססיס של הנקודות:

x=-3, x=-1

תשובה: -3;-1

דוגמה 2. פתרו בצורה אנליטית וגרפית את המשוואה 1 + |x| = 0.5.

פִּתָרוֹן:

פתרון אנליטי

בואו נשנה את המשוואה: 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

ברור שבמקרה הזה למשוואה אין פתרונות, שכן, בהגדרה, המודולוס תמיד לא שלילי.

תשובה: אין פתרונות.

פתרון גרפי

בואו נשנה את המשוואה: : 1 + |x| = 0.5

|x| =0.5-1

|x|=-0.5

הגרף של הפונקציה הוא קרניים - חצויים של זוויות הקואורדינטות 1 ו-2. הגרף של הפונקציה הוא קו ישר המקביל לציר OX ועובר דרך הנקודה -0.5 בציר OY.

הגרפים אינם מצטלבים, מה שאומר שלמשוואה אין פתרונות.

תשובה: אין פתרונות.

דוגמה 3. פתרו בצורה אנליטית וגרפית את המשוואה |-x + 2| = 2x + 1.

פִּתָרוֹן:

פתרון אנליטי

שיטה 1

ראשית עליך להגדיר את טווח הערכים המקובלים עבור המשתנה. מתעוררת שאלה טבעית: מדוע בדוגמאות הקודמות לא היה צורך לעשות זאת, אבל עכשיו זה עלה.

העובדה היא שבדוגמה זו, בצד שמאל של המשוואה נמצא המודולוס של ביטוי כלשהו, ​​ובצד ימין הוא לא מספר, אלא ביטוי עם משתנה - הנסיבות החשובות הזו מבדילות את הדוגמה הזו מה- הקודמים.

מכיוון שבצד שמאל יש מודולוס, ובצד ימין, ביטוי המכיל משתנה, יש צורך לדרוש שביטוי זה יהיה לא שלילי, כלומר, טווח התקף.

ערכי מודולוס

כעת אנו יכולים לנמק באותה דרך כמו בדוגמה 1, כאשר היה מספר חיובי בצד ימין של השוויון. אנו מקבלים שתי מערכות מעורבות:

(1) -X+2≥0 ו-(2) -X+2

X+2=2X+1; X-2=2X+1

בואו נפתור כל מערכת:

(1) נכלל במרווח והוא שורש המשוואה.

X≤2

X=⅓

(2) X>2

X=-3

X = -3 אינו כלול במרווח ואינו שורש של המשוואה.

תשובה: ⅓.

4.1 פתרון באמצעות תלות בין המספרים a ו-b, המודולים שלהם והריבועים של המספרים הללו.

בנוסף לשיטות שנתתי לעיל, קיימת שוויון מסוים בין מספרים למודולים של מספרים נתונים, וכן בין ריבועים ומודולים של מספרים נתונים:

|a|=|b| a=b או a=-b

A2=b2 a=b או a=-b

מכאן אנו מצידנו משיגים זאת

|a|=|b| a 2 =b 2

דוגמה 4. פתרו את המשוואה |x + 1|=|2x - 5| בשתי דרכים שונות.

1. בהתחשב ביחס (1), אנו מקבלים:

X + 1=2x - 5 או x + 1=-2x + 5

x - 2x=-5 - 1 x + 2x=5 - 1

X=-6|(:1) 3x=4

X=6 x=11/3

שורש המשוואה הראשונה x=6, שורש המשוואה השנייה x=11/3

לפיכך, השורשים של המשוואה המקורית x 1 = 6, x 2 = 11/3

2. מכוח יחס (2), אנו משיגים

(x + 1)2=(2x - 5)2, או x2 + 2x + 1=4x2 - 20x + 25

X2 - 4x2 +2x+1 + 20x - 25=0

3x2 + 22x - 24=0|(:-1)

3x2 - 22x + 24=0

D/4=121-3 24=121 - 72=49>0 ==>למשוואה יש 2 שורשים שונים.

x 1 =(11 - 7)/3=11/3

x 2 =(11 + 7)/3=6

כפי שהפתרון מראה, השורשים של משוואה זו הם גם המספרים 11/3 ו-6

תשובה: x 1 =6, x 2 =11/3

דוגמה 5. פתרו את המשוואה (2x + 3) 2 =(x - 1) 2 .

בהתחשב ביחס (2), נקבל את זה |2x + 3|=|x - 1|, שממנו, לפי הדוגמה של הדוגמה הקודמת (ולפי הקשר (1)):

2x + 3=x - 1 או 2x + 3=-x + 1

2x - x=-1 - 3 2x+ x=1 - 3

X=-4 x=-0,(6)

לפיכך, שורשי המשוואה הם x1 = -4, ו-x2 = -0, (6)

תשובה: x1=-4, x2 =0,(6)

דוגמה 6. פתרו את המשוואה |x - 6|=|x2 - 5x + 9|

באמצעות מערכת היחסים, אנו מקבלים:

x - 6=x2 - 5x + 9 או x - 6 = -(x2 - 5x + 9)

X2 + 5x + x - 6 - 9=0 |(-1) x - 6=-x2 + 5x - 9

x2 - 6x + 15=0 x2 - 4x + 3=0

ד=36 - 4 15=36 - 60= -24 ד=16 - 4 3=4 >0==>2 ר.ק.

==> ללא שורשים.

X 1 =(4- 2) /2=1

X 2 =(4 + 2) /2=3

בדוק: |1 - 6|=|12 - 5 1 + 9| |3 - 6|=|32 - 5 3 + 9|

5 = 5(I) 3 = |9 - 15 + 9|

3 = 3(I)

תשובה: x 1 =1; x 2 =3

4.2. שימוש בפרשנות גיאומטרית של המודול לפתרון משוואות.

המשמעות הגיאומטרית של מודול ההפרש בין הכמויות היא המרחק ביניהן. לדוגמה, המשמעות הגיאומטרית של הביטוי |x - a | - אורך הקטע של ציר הקואורדינטות המחבר את הנקודות עם האבססיס a ו-x. תרגום בעיה אלגברית לשפה גיאומטרית מאפשר לרוב להימנע מפתרונות מסורבלים.

דוגמה 7. בואו נפתור את המשוואה |x - 1| + |x - 2|=1 תוך שימוש בפירוש הגיאומטרי של המודולוס.

ננמק כך: בהתבסס על הפרשנות הגיאומטרית של המודול, הצד השמאלי של המשוואה הוא סכום המרחקים מנקודת אבשיסה כלשהי לשתי נקודות קבועות עם אבשסיס 1 ו-2. אז ברור שכל הנקודות עם אבשסיס מהמקטע יש את המאפיין הנדרש, ונקודות הממוקמות מחוץ למקטע זה - לא. מכאן התשובה: קבוצת הפתרונות למשוואה היא הקטע.

תשובה:

דוגמה8. בואו נפתור את המשוואה |x - 1| - |x - 2|=1 1 תוך שימוש בפירוש הגיאומטרי של המודולוס.

ננמק בדומה לדוגמא הקודמת, ונגלה שהפרש המרחקים לנקודות עם אבשסיס 1 ו-2 שווה לאחד רק עבור נקודות הממוקמות על ציר הקואורדינטות מימין למספר 2. לכן, הפתרון ל- משוואה זו לא תהיה הקטע הכלוא בין נקודות 1 ל-2, והקרן היוצאת מנקודה 2 ומכוונת לכיוון החיובי של ציר ה-OX.

תשובה: )