נושא זה עשוי להיראות מסובך בהתחלה בשל הנוסחאות הלא פשוטות הרבות. לא רק שלמשוואות הריבועיות עצמן יש סימונים ארוכים, אלא שהשורשים נמצאים גם דרך המבחין. בסך הכל מתקבלות שלוש נוסחאות חדשות. לא קל במיוחד לזכור. זה אפשרי רק לאחר פתרון משוואות כאלה לעתים קרובות. אז כל הנוסחאות ייזכרו מעצמן.

מבט כללי של משוואה ריבועית

כאן אנו מציעים את הרישום המפורש שלהם, כאשר התואר הגדול ביותר נכתב קודם, ולאחר מכן בסדר יורד. לעתים קרובות יש מצבים שבהם התנאים אינם עקביים. אז עדיף לשכתב את המשוואה בסדר יורד של דרגת המשתנה.

הבה נציג קצת סימון. הם מוצגים בטבלה שלהלן.

אם נקבל את הסימונים הללו, כל המשוואות הריבועיות מצטמצמות לסימון הבא.

יתר על כן, המקדם a ≠ 0. תן לנוסחה זו להיות מיועדת למספר אחד.

כאשר ניתנת משוואה, לא ברור כמה שורשים יהיו בתשובה. מכיוון שאחת משלוש אפשרויות תמיד אפשרית:

• לפתרון יהיו שני שורשים;
• התשובה תהיה מספר אחד;
• למשוואה לא יהיו שורשים כלל.

ועד להכרעה סופית, קשה להבין איזו אפשרות תופיע במקרה מסוים.

סוגי הקלטות של משוואות ריבועיות

יתכנו ערכים שונים במשימות. הם לא תמיד ייראו כמו נוסחת המשוואה הריבועית הכללית. לפעמים זה יחסר כמה מונחים. מה שנכתב למעלה הוא המשוואה השלמה. אם תסיר את המונח השני או השלישי בו, תקבל משהו אחר. רשומות אלו נקראות גם משוואות ריבועיות, רק לא שלמות.

יתר על כן, רק מונחים עם מקדמים "b" ו-"c" יכולים להיעלם. המספר "a" אינו יכול להיות שווה לאפס בשום מקרה. כי במקרה הזה הנוסחה הופכת למשוואה לינארית. הנוסחאות לצורה הלא שלמה של משוואות יהיו כדלקמן:

אז, יש רק שני סוגים בנוסף לשלמות, יש גם משוואות ריבועיות לא שלמות. תן לנוסחה הראשונה להיות מספר שתיים, והשנייה - שלוש.

מפלה ותלות של מספר השורשים בערכו

אתה צריך לדעת את המספר הזה כדי לחשב את שורשי המשוואה. תמיד אפשר לחשב אותו, לא משנה מהי הנוסחה של המשוואה הריבועית. על מנת לחשב את המבחין, צריך להשתמש בשוויון הכתוב למטה, שיהיה לו מספר ארבע.

לאחר החלפת ערכי המקדם בנוסחה זו, אתה יכול לקבל מספרים עם סימנים שונים. אם התשובה היא כן, אז התשובה למשוואה תהיה שני שורשים שונים. אם המספר שלילי, לא יהיו שורשים של המשוואה הריבועית. אם הוא שווה לאפס, תהיה רק ​​תשובה אחת.

איך פותרים משוואה ריבועית מלאה?

למעשה, הבחינה בנושא זה כבר החלה. כי קודם כל צריך למצוא מפלה. לאחר שנקבע שיש שורשים של המשוואה הריבועית, ומספרם ידוע, צריך להשתמש בנוסחאות למשתנים. אם יש שני שורשים, אז אתה צריך ליישם את הנוסחה הבאה.

מכיוון שהוא מכיל סימן "±", יהיו שני ערכים. הביטוי מתחת לסימן השורש הריבועי הוא המבחין. לכן, ניתן לשכתב את הנוסחה אחרת.

נוסחה מספר חמש. מאותו רשומה ברור שאם המבחין שווה לאפס, אז שני השורשים יקבלו את אותם ערכים.

אם פתרון משוואות ריבועיות עדיין לא עובד, אז עדיף לרשום את הערכים של כל המקדמים לפני יישום הנוסחאות המבדילות והמשתנות. מאוחר יותר הרגע הזה לא יגרום לקשיים. אבל ממש בהתחלה יש בלבול.

איך פותרים משוואה ריבועית לא שלמה?

הכל הרבה יותר פשוט כאן. אין אפילו צורך בנוסחאות נוספות. ואלה שכבר נכתבו למבדיל וללא נודע לא יצטרכו.

ראשית, בואו נסתכל על משוואה מספר שתיים לא שלמה. בשוויון זה יש צורך להוציא את הכמות הלא ידועה מסוגריים ולפתור את המשוואה הליניארית שתישאר בסוגריים. לתשובה יהיו שני שורשים. הראשון בהכרח שווה לאפס, כי יש מכפיל המורכב מהמשתנה עצמו. השני יתקבל על ידי פתרון משוואה לינארית.

משוואה לא שלמה מספר שלוש נפתרת על ידי הזזת המספר מהצד השמאלי של השוויון ימינה. אז אתה צריך לחלק במקדם הפונה אל הלא נודע. כל מה שנותר הוא לחלץ את השורש הריבועי ולזכור לרשום אותו פעמיים בסימנים הפוכים.

להלן כמה שלבים שיעזרו לך ללמוד כיצד לפתור כל מיני שוויונים שהופכים למשוואות ריבועיות. הם יעזרו לתלמיד להימנע מטעויות עקב חוסר תשומת לב. חסרונות אלו עלולים לגרום לציונים גרועים בעת לימוד הנושא הנרחב "משוואות ריבועיות (כיתה 8)." לאחר מכן, לא יהיה צורך לבצע פעולות אלו כל הזמן. כי תופיע מיומנות יציבה.

• ראשית עליך לכתוב את המשוואה בצורה סטנדרטית. כלומר, תחילה המונח בעל המידה הגדולה ביותר של המשתנה, ולאחר מכן - ללא תואר, ואחרון - רק מספר.

• אם מופיע מינוס לפני מקדם "a", זה יכול לסבך את העבודה למתחילים שלומד משוואות ריבועיות. עדיף להיפטר מזה. לשם כך, יש להכפיל את כל השוויון ב-"-1". זה אומר שכל המונחים ישנו סימן להפך.

• מומלץ להיפטר משברים באותו אופן. כל שעליך לעשות הוא להכפיל את המשוואה בגורם המתאים כך שהמכנים יתבטלו.

דוגמאות

נדרש לפתור את המשוואות הריבועיות הבאות:

x 2 - 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

המשוואה הראשונה: x 2 − 7x = 0. היא לא שלמה, ולכן היא נפתרת כמתואר לנוסחה מספר שתיים.

לאחר הוצאתו מהסוגריים, מתברר: x (x - 7) = 0.

השורש הראשון מקבל את הערך: x 1 = 0. השני יימצא מהמשוואה הליניארית: x - 7 = 0. קל לראות ש-x 2 = 7.

משוואה שנייה: 5x 2 + 30 = 0. שוב לא שלם. רק זה נפתר כמתואר עבור הנוסחה השלישית.

לאחר הזזת 30 לצד ימין של המשוואה: 5x 2 = 30. כעת צריך לחלק ב-5. מסתבר: x 2 = 6. התשובות יהיו המספרים: x 1 = √6, x 2 = - √6.

המשוואה השלישית: 15 − 2x − x 2 = 0. כאן ולמטה, פתרון משוואות ריבועיות יתחיל בשכתוב שלהן בצורה סטנדרטית: − x 2 − 2x + 15 = 0. כעת הגיע הזמן להשתמש בטיפ השימושי השני ולהכפיל הכל במינוס אחד. מתברר x 2 + 2x - 15 = 0. באמצעות הנוסחה הרביעית, אתה צריך לחשב את המבחין: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. זה מספר חיובי. מהאמור לעיל מסתבר שלמשוואה יש שני שורשים. יש לחשב אותם באמצעות הנוסחה החמישית. מסתבר ש-x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ואז x 1 = 3, x 2 = - 5.

המשוואה הרביעית x 2 + 8 + 3x = 0 הופכת לזו: x 2 + 3x + 8 = 0. המבחין שלה שווה לערך זה: -23. מכיוון שמספר זה שלילי, התשובה למשימה זו תהיה הערך הבא: "אין שורשים."

יש לשכתב את המשוואה החמישית 12x + x 2 + 36 = 0 באופן הבא: x 2 + 12x + 36 = 0. לאחר יישום הנוסחה של המבחין, מתקבל המספר אפס. זה אומר שיהיה לו שורש אחד, כלומר: x = -12/ (2 * 1) = -6.

המשוואה השישית (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) דורשת טרנספורמציות, המורכבות מהעובדה שאתה צריך להביא מונחים דומים, ראשית לפתוח את הסוגריים. במקום הראשון יופיע הביטוי הבא: x 2 + 2x + 1. לאחר השוויון, ערך זה יופיע: x 2 + 3x + 2. לאחר ספירת איברים דומים, המשוואה תקבל את הצורה: x 2 - x = 0. הוא הפך לחסר . משהו דומה לזה כבר נדון קצת יותר גבוה. השורשים של זה יהיו המספרים 0 ו-1.

בוא נעבוד עם משוואות ריבועיות. אלו משוואות פופולריות מאוד! בצורתה הכללית ביותר, משוואה ריבועית נראית כך:

לדוגמה:

כאן א =1; ב = 3; ג = -4

כאן א =2; ב = -0,5; ג = 2,2

כאן א =-3; ב = 6; ג = -18

טוב, אתה מבין...

איך פותרים משוואות ריבועיות?אם יש לפניך משוואה ריבועית בצורה זו, אז הכל פשוט. זכור את מילת הקסם מפלה . לעתים רחוקות תלמיד תיכון לא שמע את המילה הזו! הביטוי "אנחנו פותרים באמצעות מפלה" מעורר ביטחון והרגעה. כי אין צורך לצפות לטריקים מהמבדיל! זה פשוט וללא בעיות לשימוש. אז, הנוסחה למציאת השורשים של משוואה ריבועית נראית כך:

הביטוי מתחת לסימן השורש הוא האחד מפלה. כפי שאתה יכול לראות, כדי למצוא X, אנו משתמשים רק a, b ו-c. הָהֵן. מקדמים ממשוואה ריבועית. רק תחליף בזהירות את הערכים א, ב ו-גזו הנוסחה שאנו מחשבים. בואו נחליף עם הסימנים שלך! לדוגמה, עבור המשוואה הראשונה א =1; ב = 3; ג= -4. כאן נכתוב את זה:

הדוגמה כמעט נפתרה:

זה הכל.

אילו מקרים אפשריים בעת שימוש בנוסחה זו? יש רק שלושה מקרים.

1. המפלה חיובית. זה אומר שאפשר לחלץ ממנו את השורש. האם השורש מופק טוב או גרוע זו שאלה אחרת. מה שחשוב זה מה שנשלף באופן עקרוני. אז למשוואה הריבועית שלך יש שני שורשים. שני פתרונות שונים.

2. המבחין הוא אפס. אז יש לך פתרון אחד. למהדרין, זה לא שורש אחד, אלא שניים זהים. אבל זה משחק תפקיד באי-שוויון, שם נלמד את הנושא ביתר פירוט.

3. המפלה היא שלילית. לא ניתן לקחת את השורש הריבועי של מספר שלילי. טוב בסדר. זה אומר שאין פתרונות.

הכל מאוד פשוט. ומה, אתה חושב שאי אפשר לטעות? ובכן, כן, איך...
הטעויות הנפוצות ביותר הן בלבול עם ערכי סימנים א, ב ו-ג. או ליתר דיוק, לא עם הסימנים שלהם (איפה להתבלבל?), אלא עם החלפת ערכים שליליים בנוסחה לחישוב השורשים. מה שעוזר כאן הוא רישום מפורט של הנוסחה עם מספרים ספציפיים. אם יש בעיות בחישובים, לעשות את זה!

נניח שעלינו לפתור את הדוגמה הבאה:

כאן a = -6; b = -5; c = -1

נניח שאתה יודע שאתה כמעט ולא מקבל תשובות בפעם הראשונה.

ובכן, אל תתעצלו. זה ייקח בערך 30 שניות לכתוב שורה נוספת ואת מספר השגיאות יקטן בחדות. אז אנחנו כותבים בפירוט, עם כל הסוגריים והסימנים:

זה נראה קשה להפליא לכתוב כל כך בזהירות. אבל זה רק נראה כך. תן לזה הזדמנות. ובכן, או לבחור. מה עדיף, מהיר או נכון? חוץ מזה, אני אעשה אותך מאושר. לאחר זמן מה, לא יהיה צורך לרשום הכל כל כך בקפידה. זה יסתדר מעצמו. במיוחד אם אתה משתמש בטכניקות מעשיות שמתוארות להלן. הדוגמה המרושעת הזו עם שלל מינוסים ניתנת לפתרון בקלות וללא שגיאות!

כך, איך לפתור משוואות ריבועיותדרך המאבחן שזכרנו. או שהם למדו, וזה גם טוב. אתה יודע איך לקבוע נכון א, ב ו-ג. אתה יודע איך? בתשומת לבהחליפו אותם בנוסחת השורש ו בתשומת לבלספור את התוצאה. אתה מבין שמילת המפתח כאן היא בתשומת לב?

עם זאת, לעתים קרובות משוואות ריבועיות נראות מעט שונות. לדוגמה, כך:

זֶה משוואות ריבועיות לא שלמות . ניתן לפתור אותם גם באמצעות מפלה. אתה רק צריך להבין נכון למה הם שווים כאן. א, ב ו-ג.

הבנת את זה? בדוגמה הראשונה a = 1; b = -4;א ג? זה בכלל לא שם! ובכן כן, זה נכון. במתמטיקה זה אומר את זה c = 0 ! זה הכל. החלף אפס בנוסחה במקום זאת ג,ונצליח. אותו דבר עם הדוגמה השנייה. רק שאין לנו כאן אפס עם, א ב !

אבל משוואות ריבועיות לא שלמות ניתנות לפתרון הרבה יותר פשוט. בלי שום אפליה. בואו ניקח בחשבון את המשוואה הלא מלאה הראשונה. מה אפשר לעשות בצד שמאל? אתה יכול להוציא X מהסוגריים! בוא נוציא את זה.

ומה מזה? והעובדה שהמכפלה שווה לאפס אם ורק אם כל אחד מהגורמים שווה לאפס! לא מאמין לי? אוקיי, אז תמציא שני מספרים שאינם אפס, שכאשר מכפילים אותם, יתנו אפס!
לא עובד? זהו זה...
לכן, אנו יכולים לכתוב בביטחון: x = 0, או x = 4

את כל. אלו יהיו שורשי המשוואה שלנו. שניהם מתאימים. כאשר מחליפים כל אחד מהם במשוואה המקורית, נקבל את הזהות הנכונה 0 = 0. כפי שאתה יכול לראות, הפתרון הוא הרבה יותר פשוט מאשר שימוש באבחון.

גם את המשוואה השנייה אפשר לפתור בפשטות. העבר את 9 לצד ימין. אנחנו מקבלים:

כל מה שנותר הוא לחלץ את השורש מ-9, וזהו. יתברר:

גם שני שורשים . x = +3 ו-x = -3.

כך נפתרות כל המשוואות הריבועיות הלא שלמות. או על ידי מיקום X מתוך סוגריים, או פשוט על ידי הזזת המספר ימינה ואז חילוץ השורש.
קשה מאוד לבלבל בין טכניקות אלו. פשוט כי במקרה הראשון תצטרכו לחלץ את השורש של X, שזה איכשהו לא מובן, ובמקרה השני אין מה להוציא מסוגריים...

כעת שימו לב לטכניקות מעשיות שמפחיתות באופן דרמטי את מספר השגיאות. אותם אלה שנובעים מחוסר תשומת לב... שעבורם זה הופך מאוחר יותר לכאוב ופוגע...

פגישה ראשונה. אל תתעצלו לפני שתפתרו משוואה ריבועית והביאו אותה לצורה סטנדרטית. מה זה אומר?
נניח שאחרי כל השינויים מקבלים את המשוואה הבאה:

אל תמהרו לכתוב את נוסחת השורש! כמעט בוודאות תערבבו את הסיכויים א, ב ו-ג.בנה את הדוגמה בצורה נכונה. ראשית, X בריבוע, אחר כך ללא ריבוע, ואז המונח החופשי. ככה:

ושוב, אל תמהר! מינוס מול X בריבוע יכול להרגיז אותך מאוד. קל לשכוח... היפטרו מהמינוס. אֵיך? כן, כפי שלימדו בנושא הקודם! עלינו להכפיל את המשוואה כולה ב-1. אנחנו מקבלים:

אבל עכשיו אתה יכול לכתוב בבטחה את הנוסחה לשורשים, לחשב את המבחין ולסיים לפתור את הדוגמה. תחליט בעצמך. כעת אמורים להיות לך שורשים 2 ו-1.

קבלת הפנים השנייה.בדוק את השורשים! לפי משפט וייטה. אל תפחד, אני אסביר הכל! בודק דבר אחרוןהמשוואה. הָהֵן. זו שהשתמשנו בה כדי לרשום את נוסחת השורש. אם (כמו בדוגמה זו) המקדם a = 1, קל לבדוק את השורשים. מספיק להכפיל אותם. התוצאה צריכה להיות חבר חינם, כלומר. במקרה שלנו -2. שימו לב, לא 2, אלא -2! חבר חינם עם השלט שלך . אם זה לא מסתדר, זה אומר שהם כבר פישלו איפשהו. חפש את השגיאה. אם זה עובד, אתה צריך להוסיף את השורשים. בדיקה אחרונה ואחרונה. המקדם צריך להיות בעם מול מוּכָּר. במקרה שלנו -1+2 = +1. מקדם ב, שהוא לפני ה-X, שווה ל-1. אז הכל נכון!
חבל שזה כל כך פשוט רק עבור דוגמאות שבהן x בריבוע הוא טהור, עם מקדם a = 1.אבל לפחות תבדוק במשוואות כאלה! יהיו פחות ופחות שגיאות.

קבלה שלישית. אם למשוואה שלך יש מקדמי שברים, היפטר מהשברים! הכפל את המשוואה במכנה משותף כמתואר בסעיף הקודם. כשעובדים עם שברים, שגיאות ממשיכות להתגנב מסיבה כלשהי...

אגב, הבטחתי לפשט את הדוגמה הרעה עם שלל מינוסים. אנא! הנה הוא.

כדי לא להתבלבל במינוסים, נכפיל את המשוואה ב-1. אנחנו מקבלים:

זה הכל! פתרון זה תענוג!

אז בואו נסכם את הנושא.

עצות מעשיות:

1. לפני הפתרון, אנו מביאים את המשוואה הריבועית לצורה סטנדרטית ובונים אותה ימין.

2. אם יש מקדם שלילי לפני ה-X בריבוע, נבטל אותו על ידי הכפלת המשוואה כולה ב-1.

3. אם המקדמים הם שברים, אנו מבטלים את השברים על ידי הכפלת המשוואה כולה בגורם המתאים.

4. אם x בריבוע הוא טהור, המקדם שלו שווה לאחד, ניתן לאמת את הפתרון בקלות באמצעות משפט Vieta. תעשה את זה!

משוואות שברים. ODZ.

אנו ממשיכים לשלוט במשוואות. אנחנו כבר יודעים לעבוד עם משוואות ליניאריות וריבועיות. התצוגה האחרונה שנותרה - משוואות שברים. או שהם גם נקראים הרבה יותר מכובדים - משוואות רציונליות שברים. זה אותו הדבר.

משוואות שברים.

כפי שהשם מרמז, משוואות אלה מכילות בהכרח שברים. אבל לא רק שברים, אלא שברים שיש להם לא ידוע במכנה. לפחות באחד. לדוגמה:

תן לי להזכיר לך שאם המכנים הם רק מספרים, אלו משוואות ליניאריות.

איך להחליט משוואות שברים? קודם כל, להיפטר משברים! לאחר מכן, המשוואה הופכת לרוב ללינארית או ריבועית. ואז אנחנו יודעים מה לעשות... במקרים מסוימים זה יכול להפוך לזהות, כמו 5=5 או ביטוי לא נכון, כמו 7=2. אבל זה קורה לעתים רחוקות. אציין זאת להלן.

אבל איך להיפטר משברים!? פשוט מאוד. החלת אותן טרנספורמציות זהות.

עלינו להכפיל את המשוואה כולה באותו ביטוי. כדי שכל המכנים יצטמצמו! הכל יהפוך מיד לקל יותר. תן לי להסביר עם דוגמה. הבה נצטרך לפתור את המשוואה:

איך לימדו אותך בבית הספר היסודי? אנחנו מזיזים הכל לצד אחד, מביאים אותו למכנה משותף וכו'. תשכח מזה כמו חלום רע! זה מה שאתה צריך לעשות כאשר אתה מחבר או מפחית שברים. או שאתה עובד עם אי שוויון. ובמשוואות, אנו מיד מכפילים את שני הצדדים בביטוי שייתן לנו אפשרות לצמצם את כל המכנים (כלומר, בעצם, במכנה משותף). ומה זה הביטוי הזה?

בצד שמאל, הפחתת המכנה דורשת הכפלה x+2. ובצד ימין נדרש הכפל ב-2 זה אומר שיש להכפיל את המשוואה 2(x+2). לְהַכפִּיל:

זהו כפל נפוץ של שברים, אבל אני אתאר אותו בפירוט:

שים לב שאני עדיין לא פותח את הסוגר (x + 2)! אז, במלואו, אני כותב את זה:

בצד שמאל זה מתכווץ לגמרי (x+2), ומימין 2. וזה מה שנדרש! לאחר צמצום נקבל ליניאריהמשוואה:

וכל אחד יכול לפתור את המשוואה הזו! x = 2.

בואו נפתור דוגמה נוספת, קצת יותר מסובכת:

אם נזכור ש-3 = 3/1, ו 2x = 2x/ 1, נוכל לכתוב:

ושוב אנחנו נפטרים ממה שאנחנו לא באמת אוהבים - שברים.

אנו רואים שכדי להקטין את המכנה עם X, עלינו להכפיל את השבר ב (x - 2). ומעטים אינם מפריעים לנו. ובכן, בואו נכפיל. את כלצד שמאל ו את כלצד ימין:

שוב סוגריים (x - 2)אני לא מגלה. אני עובד עם התושבת כולה כאילו זה מספר אחד! זה חייב להיעשות תמיד, אחרת שום דבר לא יצטמצם.

בתחושת סיפוק עמוק אנו מפחיתים (x - 2)ונקבל משוואה ללא כל שברים, עם סרגל!

עכשיו בואו נפתח את הסוגריים:

אנחנו מביאים דומים, מזיזים הכל לצד שמאל ומקבלים:

משוואה ריבועית קלאסית. אבל המינוס קדימה לא טוב. אתה תמיד יכול להיפטר ממנו על ידי הכפלה או חלוקה ב-1. אבל אם תסתכלו היטב על הדוגמה, תבחינו שעדיף לחלק את המשוואה הזו ב-2! במכה אחת, המינוס ייעלם, והסיכויים יהפכו לאטרקטיביים יותר! מחלקים ב-2. בצד שמאל - איבר אחר איבר, ובצד ימין - פשוט מחלקים אפס ב-2, אפס ונקבל:

אנו פותרים דרך המבחין ובודקים באמצעות המשפט של Vieta. אנחנו מקבלים x = 1 ו-x = 3. שני שורשים.

כפי שניתן לראות, במקרה הראשון המשוואה לאחר הטרנספורמציה הפכה ללינארית, אך כאן היא הופכת לריבועית. קורה שאחרי שנפטרים משברים, כל ה-X מצטמצמים. נשאר משהו כמו 5=5. זה אומר ש x יכול להיות כל דבר. מה שזה לא יהיה, זה עדיין יצטמצם. ומסתבר שזו אמת צרופה, 5=5. אבל, לאחר היפטרות משברים, זה עלול להתברר כלא נכון, כמו 2=7. וזה אומר את זה אין פתרונות! כל X מתגלה כלא נכון.

הבינו את הפתרון העיקרי משוואות שברים? זה פשוט והגיוני. אנחנו משנים את הביטוי המקורי כך שכל מה שאנחנו לא אוהבים ייעלם. או שזה מפריע. במקרה זה מדובר בשברים. אנחנו נעשה את אותו הדבר עם כל מיני דוגמאות מורכבות עם לוגריתמים, סינוסים ושאר זוועות. אָנוּ תמידבואו ניפטר מכל זה.

עם זאת, עלינו לשנות את הביטוי המקורי בכיוון שאנו צריכים לפי הכללים, כן... השליטה בה היא הכנה למבחן המדינה המאוחדת במתמטיקה. אז אנחנו שולטים בזה.

כעת נלמד כיצד לעקוף אחד מהם המארב העיקרי בבחינת המדינה המאוחדת! אבל קודם, בוא נראה אם ​​אתה נופל לזה או לא?

בואו נסתכל על דוגמה פשוטה:

העניין כבר מוכר, אנחנו מכפילים את שני הצדדים בפי (x - 2), אנחנו מקבלים:

אני מזכיר לך, עם סוגריים (x - 2)אנחנו עובדים כאילו עם ביטוי אחד, אינטגרלי!

כאן כבר לא כתבתי אחד במכנים, זה לא מכובד... ולא ציירתי סוגריים במכנים, חוץ מזה x – 2אין כלום, אתה לא צריך לצייר. נקצר:

פתח את הסוגריים, הזז הכל שמאלה ותן דומים:

אנחנו פותרים, בודקים, מקבלים שני שורשים. x = 2ו x = 3. גדול.

נניח שהמשימה אומרת לרשום את השורש, או את הסכום שלהם אם יש יותר משורש אחד. מה אנחנו הולכים לכתוב?

אם תחליט שהתשובה היא 5, אתה ארבו. והמשימה לא תיזקף לזכותך. הם עבדו לשווא... התשובה הנכונה היא 3.

מה הבעיה?! ואתה מנסה לעשות בדיקה. החלף את ערכי הלא נודע מְקוֹרִידוגמא. ואם ב x = 3הכל יגדל ביחד בצורה נפלאה, נקבל 9 = 9, ואז מתי x = 2זה יהיה חלוקה באפס! מה שאתה בהחלט לא יכול לעשות. אומר x = 2אינו פתרון, ואינו נלקח בחשבון בתשובה. זהו מה שנקרא שורש חוץ או נוסף. אנחנו פשוט פוסלים את זה. השורש הסופי הוא אחד. x = 3.

איך זה?! – אני שומע קריאות ממורמרות. לימדו אותנו שאפשר להכפיל משוואה בביטוי! זהו מהפך זהה!

כן, זהה. בתנאי קטן - הביטוי שבו אנו מכפילים (מחלקים) - שונה מאפס. א x – 2בְּ- x = 2שווה לאפס! אז הכל הוגן.

ועכשיו מה אני יכול לעשות?! לא להכפיל בביטוי? האם עלי לבדוק כל פעם? שוב זה לא ברור!

בשקט! לא להיבהל!

במצב קשה זה, שלוש אותיות קסם יצילו אותנו. אני יודע מה אתה חושב. ימין! זֶה ODZ . אזור של ערכים מקובלים.

בחברה המודרנית, היכולת לבצע פעולות עם משוואות המכילות משתנה בריבוע יכולה להיות שימושית בתחומי פעילות רבים ונמצאת בשימוש נרחב בפועל בפיתוחים מדעיים וטכניים. עדות לכך ניתן למצוא בתכנון של כלי ים ונהר, מטוסים וטילים. באמצעות חישובים כאלה, נקבעים מסלולי התנועה של מגוון רחב של גופים, כולל עצמים בחלל. דוגמאות לפתרון של משוואות ריבועיות משמשות לא רק בחיזוי כלכלי, בתכנון ובנייה של מבנים, אלא גם בנסיבות היומיומיות הרגילות ביותר. הם עשויים להיות נחוצים בטיולי הליכה, באירועי ספורט, בחנויות בעת ביצוע רכישות ובמצבים נפוצים אחרים.

בואו נחלק את הביטוי לגורמים המרכיבים אותו

דרגת המשוואה נקבעת לפי הערך המקסימלי של דרגת המשתנה שהביטוי מכיל. אם הוא שווה ל-2, אז משוואה כזו נקראת ריבועית.

אם אנו מדברים בשפה של נוסחאות, אז את הביטויים המצוינים, איך שהם נראים, תמיד אפשר להביא לצורה כאשר הצד השמאלי של הביטוי מורכב משלושה איברים. ביניהם: ציר 2 (כלומר משתנה בריבוע עם המקדם שלו), bx (לא ידוע ללא ריבוע עם המקדם שלו) ו-c (מרכיב חופשי, כלומר מספר רגיל). כל זה בצד ימין שווה ל-0. במקרה שבו לפולינום כזה חסר אחד מהאיברים המרכיבים שלו, למעט ציר 2, הוא נקרא משוואה ריבועית לא שלמה. יש לשקול תחילה דוגמאות לפתרון בעיות כאלה, את ערכי המשתנים שבהם קל למצוא.

אם הביטוי נראה כאילו יש לו שני איברים בצד ימין, ליתר דיוק ax 2 ו-bx, הדרך הקלה ביותר למצוא את x היא על ידי הוצאת המשתנה בין סוגריים. כעת המשוואה שלנו תיראה כך: x(ax+b). לאחר מכן, ברור שאו x=0, או שהבעיה מסתכמת במציאת משתנה מהביטוי הבא: ax+b=0. זה מוכתב על ידי אחת מתכונות הכפל. הכלל קובע שהמכפלה של שני גורמים מביאה ל-0 רק אם אחד מהם הוא אפס.

דוגמא

x=0 או 8x - 3 = 0

כתוצאה מכך, נקבל שני שורשים של המשוואה: 0 ו-0.375.

משוואות מסוג זה יכולות לתאר את תנועתם של גופים בהשפעת כוח הכבידה, שהחלו לנוע מנקודה מסוימת שנלקחה כמקור הקואורדינטות. כאן הסימון המתמטי מקבל את הצורה הבאה: y = v 0 t + gt 2 /2. על ידי החלפת הערכים הדרושים, השוואת הצד הימני ל-0 ומציאת אלמונים אפשריים, ניתן לגלות את הזמן שעובר מרגע שהגוף עולה לרגע נופלו, כמו גם כמויות רבות אחרות. אבל נדבר על זה מאוחר יותר.

פקטורינג לביטוי

הכלל המתואר לעיל מאפשר לפתור בעיות אלו במקרים מורכבים יותר. בואו נסתכל על דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות מסוג זה.

X 2 - 33x + 200 = 0

הטרינום הריבועי הזה הושלם. ראשית, בואו נשנה את הביטוי ונפעל אותו. יש שניים מהם: (x-8) ו-(x-25) = 0. כתוצאה מכך, יש לנו שני שורשים 8 ו-25.

דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות בכיתה ט' מאפשרות לשיטה זו למצוא משתנה בביטויים לא רק מהסדר השני, אלא אפילו מהסדר השלישי והרביעי.

לדוגמה: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. כאשר מפרקים את הצד הימני לגורמים עם משתנה, יש שלושה מהם, כלומר (x+1), (x-3) ו-(x+ 3).

כתוצאה מכך, ברור שלמשוואה זו יש שלושה שורשים: -3; -1; 3.

שורש ריבועי

מקרה נוסף של משוואה מסדר שני לא שלמה הוא ביטוי המיוצג בשפת האותיות באופן שהצד הימני בנוי מהרכיבים ax 2 ו-c. כאן, כדי לקבל את הערך של המשתנה, המונח החופשי מועבר לצד ימין, ולאחר מכן מוצאים את השורש הריבועי משני צידי השוויון. יש לציין שבמקרה זה יש בדרך כלל שני שורשים של המשוואה. היוצאים מן הכלל היחידים יכולים להיות שיוויונים שאינם מכילים מונח עם כלל, כאשר המשתנה שווה לאפס, וכן גרסאות של ביטויים כאשר הצד הימני שלילי. במקרה האחרון, אין פתרונות כלל, מכיוון שלא ניתן לבצע את הפעולות לעיל עם שורשים. יש לשקול דוגמאות לפתרונות למשוואות ריבועיות מסוג זה.

במקרה זה, שורשי המשוואה יהיו המספרים -4 ו-4.

חישוב שטח קרקע

הצורך בחישובים מסוג זה הופיע בימי קדם, משום שהתפתחות המתמטיקה באותם זמנים רחוקים נקבעה במידה רבה על ידי הצורך לקבוע בדיוק רב את השטחים וההיקפים של חלקות קרקע.

עלינו לשקול גם דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות המבוססות על בעיות מסוג זה.

אז נניח שיש חלקת אדמה מלבנית שאורכה גדול מהרוחב ב-16 מטרים. כדאי למצוא את האורך, הרוחב וההיקף של האתר אם אתה יודע ששטחו הוא 612 מ"ר.

כדי להתחיל, בואו ניצור תחילה את המשוואה הדרושה. הבה נסמן ב-x את רוחב השטח, ואז אורכו יהיה (x+16). ממה שנכתב עולה שהשטח נקבע על ידי הביטוי x(x+16), שלפי תנאי הבעיה שלנו הוא 612. זה אומר ש-x(x+16) = 612.

פתרון משוואות ריבועיות שלמות, והביטוי הזה הוא בדיוק זה, לא יכול להיעשות באותו אופן. למה? למרות שהצד השמאלי עדיין מכיל שני גורמים, התוצר שלהם אינו שווה כלל ל-0, לכן משתמשים כאן בשיטות שונות.

מפלה

קודם כל, נבצע את הטרנספורמציות הדרושות, ואז המראה של ביטוי זה ייראה כך: x 2 + 16x - 612 = 0. זה אומר שקיבלנו את הביטוי בצורה התואמת לתקן שצוין קודם לכן, שבו a=1, b=16, c= -612.

זו יכולה להיות דוגמה לפתרון משוואות ריבועיות באמצעות אבחנה. כאן מתבצעים החישובים הדרושים על פי הסכימה: D = b 2 - 4ac. כמות עזר זו לא רק מאפשרת למצוא את הכמויות הנדרשות במשוואה מסדר שני, היא קובעת את מספר האפשרויות האפשריות. אם D>0, יש שניים מהם; עבור D=0 יש שורש אחד. במקרה ד<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

על שורשים והנוסחה שלהם

במקרה שלנו, המבחין שווה ל: 256 - 4(-612) = 2704. זה מרמז שלבעיה שלנו יש תשובה. אם אתה יודע k, יש להמשיך את פתרון המשוואות הריבועיות באמצעות הנוסחה שלהלן. זה מאפשר לך לחשב את השורשים.

המשמעות היא שבמקרה המוצג: x 1 =18, x 2 =-34. האפשרות השנייה בדילמה זו לא יכולה להוות פתרון, כי לא ניתן למדוד את מידות חלקת הקרקע בכמויות שליליות, כלומר x (כלומר רוחב החלקה) הוא 18 מ' מכאן אנו מחשבים את האורך: 18 +16=34, וההיקף 2(34+ 18)=104(m2).

דוגמאות ומשימות

אנו ממשיכים במחקר שלנו על משוואות ריבועיות. דוגמאות ופתרונות מפורטים של כמה מהם יובאו להלן.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

בוא נעביר הכל לצד השמאלי של השוויון, נעשה טרנספורמציה, כלומר, נקבל את סוג המשוואה שנקרא בדרך כלל סטנדרטית, ונשווה אותה לאפס.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

בהוספת דומים, אנו קובעים את המבחין: D = 49 - 48 = 1. זה אומר שלמשוואה שלנו יהיו שני שורשים. הבה נחשב אותם לפי הנוסחה לעיל, כלומר, הראשון שבהם יהיה שווה ל-4/3, והשני ל-1.

2) עכשיו בואו נפתור תעלומות מסוג אחר.

בואו לגלות אם יש כאן שורשים x 2 - 4x + 5 = 1? כדי לקבל תשובה מקיפה, נצמצם את הפולינום לצורה הרגילה המתאימה ונחשב את המבחין. בדוגמה לעיל, אין צורך לפתור את המשוואה הריבועית, כי זו בכלל לא מהות הבעיה. במקרה זה, D = 16 - 20 = -4, כלומר אין באמת שורשים.

משפט וייטה

נוח לפתור משוואות ריבועיות באמצעות הנוסחאות שלעיל והדיסקנצינט, כאשר השורש הריבועי נלקח מהערך של האחרון. אבל זה לא תמיד קורה. עם זאת, ישנן דרכים רבות להשיג את ערכי המשתנים במקרה זה. דוגמה: פתרון משוואות ריבועיות באמצעות משפט וייטה. היא קרויה על שם מי שחי במאה ה-16 בצרפת ועשה קריירה מזהירה הודות לכשרונו המתמטי ולקשריו בבית המשפט. את דיוקנו ניתן לראות בכתבה.

הדפוס שבו הבחין הצרפתי המפורסם היה כדלקמן. הוא הוכיח ששורשי המשוואה מסתכמים מספרית ל-p=b/a, והמכפלה שלהם תואמת q=c/a.

עכשיו בואו נסתכל על משימות ספציפיות.

3x 2 + 21x - 54 = 0

לשם הפשטות, בואו נשנה את הביטוי:

x 2 + 7x - 18 = 0

הבה נשתמש במשפט של Vieta, זה ייתן לנו את הדברים הבאים: סכום השורשים הוא -7, והמכפלה שלהם היא -18. מכאן נקבל ששורשי המשוואה הם המספרים -9 ו-2. לאחר בדיקה, נוודא שערכי המשתנים הללו באמת מתאימים לביטוי.

גרף פרבולה ומשוואה

המושגים של פונקציה ריבועית ומשוואות ריבועיות קשורים קשר הדוק. דוגמאות לכך כבר ניתנו קודם לכן. עכשיו בואו נסתכל על כמה חידות מתמטיות בפירוט קטן יותר. כל משוואה מהסוג המתואר יכולה להיות מיוצגת ויזואלית. קשר כזה, שצויר כגרף, נקרא פרבולה. הסוגים השונים שלו מוצגים באיור שלהלן.

לכל פרבולה יש קודקוד, כלומר נקודה שממנה יוצאים הענפים שלה. אם a>0, הם מגיעים גבוה עד אינסוף, וכאשר א<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

ייצוגים חזותיים של פונקציות עוזרים לפתור כל משוואות, כולל ריבועיות. שיטה זו נקראת גרפית. והערך של משתנה x הוא קואורדינטת האבשיסה בנקודות שבהן קו הגרף נחתך עם 0x. ניתן למצוא את הקואורדינטות של הקודקוד באמצעות הנוסחה שניתנה זה עתה x 0 = -b/2a. ועל ידי החלפת הערך המתקבל במשוואה המקורית של הפונקציה, ניתן לגלות את y 0, כלומר, הקואורדינטה השנייה של קודקוד הפרבולה, השייכת לציר הסמטה.

מפגש הענפים של פרבולה עם ציר האבשיסה

יש הרבה דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות, אבל יש גם תבניות כלליות. בואו נסתכל עליהם. ברור שהחתך של הגרף עם ציר 0x עבור a>0 אפשרי רק אם 0 לוקח ערכים שליליים. ובשביל א<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. אחרת ד<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

מהגרף של הפרבולה ניתן לקבוע גם את השורשים. גם ההפך הוא הנכון. כלומר, אם לא קל להשיג ייצוג חזותי של פונקציה ריבועית, ניתן להשוות את הצד הימני של הביטוי ל-0 ולפתור את המשוואה המתקבלת. ולדעת את נקודות החיתוך עם ציר 0x, קל יותר לבנות גרף.

מההיסטוריה

באמצעות משוואות המכילות משתנה בריבוע, בימים עברו לא רק עשו חישובים מתמטיים וקבעו את השטחים של דמויות גיאומטריות. הקדמונים נזקקו לחישובים כאלה עבור תגליות גדולות בתחומי הפיזיקה והאסטרונומיה, כמו גם לצורך ביצוע תחזיות אסטרולוגיות.

כפי שמציעים מדענים מודרניים, תושבי בבל היו בין הראשונים לפתור משוואות ריבועיות. זה קרה ארבע מאות שנה לפני תקופתנו. כמובן, החישובים שלהם היו שונים בתכלית מאלה המקובלים כיום והתבררו כפרימיטיביים הרבה יותר. לדוגמה, למתמטיקאים מסופוטמים לא היה מושג על קיומם של מספרים שליליים. הם גם לא הכירו דקויות אחרות שכל תלמיד בית ספר מודרני מכיר.

אולי אפילו מוקדם יותר מהמדענים של בבל, החל החכם מהודו בודהיאמה לפתור משוואות ריבועיות. זה קרה כשמונה מאות שנים לפני עידן ישו. נכון, המשוואות מסדר שני, שיטות הפתרון שהוא נתן, היו הפשוטות ביותר. מלבדו, גם מתמטיקאים סינים התעניינו בשאלות דומות בימים עברו. באירופה החלו לפתור משוואות ריבועיות רק בתחילת המאה ה-13, אך מאוחר יותר השתמשו בהן בעבודותיהם על ידי מדענים גדולים כמו ניוטון, דקארט ורבים אחרים.

אנו ממשיכים ללמוד את הנושא " פתרון משוואות" כבר התוודענו למשוואות ליניאריות וממשיכים להתוודע אליהן משוואות ריבועיות.

ראשית, נבחן מהי משוואה ריבועית, כיצד היא כתובה בצורה כללית, וניתן הגדרות קשורות. לאחר מכן, נשתמש בדוגמאות כדי לבחון בפירוט כיצד נפתרות משוואות ריבועיות לא שלמות. לאחר מכן, נעבור לפתרון משוואות שלמות, נקבל את נוסחת השורש, נכיר את המבחין של משוואה ריבועית ונבחן פתרונות לדוגמאות טיפוסיות. לבסוף, נתחקה אחר הקשרים בין השורשים והמקדמים.

ניווט בדף.

מהי משוואה ריבועית? הטיפוסים שלהם

ראשית עליך להבין בבירור מהי משוואה ריבועית. לכן, זה הגיוני להתחיל שיחה על משוואות ריבועיות עם הגדרה של משוואה ריבועית, כמו גם הגדרות קשורות. לאחר מכן, אתה יכול לשקול את הסוגים העיקריים של משוואות ריבועיות: מופחתות ולא מוקטנות, כמו גם משוואות שלמות ולא שלמות.

הגדרה ודוגמאות של משוואות ריבועיות

הַגדָרָה.

משוואה ריבועיתהוא משוואה של הצורה a x 2 +b x+c=0, כאשר x הוא משתנה, a, b ו-c הם כמה מספרים, ו-a אינו אפס.

בוא נגיד מיד שמשוואות ריבועיות נקראות לעתים קרובות משוואות מהמעלה השנייה. זה נובע מהעובדה שהמשוואה הריבועית היא משוואה אלגבריתתואר שני.

ההגדרה המוצהרת מאפשרת לנו לתת דוגמאות למשוואות ריבועיות. אז 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0 וכו'. אלו משוואות ריבועיות.

הַגדָרָה.

מספרים a, b ו-c נקראים מקדמים של המשוואה הריבועית a·x 2 +b·x+c=0, ומקדם a נקרא הראשון, או הגבוה ביותר, או המקדם של x 2, b הוא המקדם השני, או המקדם של x, ו-c הוא האיבר החופשי .

לדוגמה, ניקח משוואה ריבועית בצורה 5 x 2 −2 x −3=0, כאן המקדם המוביל הוא 5, המקדם השני שווה ל-2, והאיבר החופשי שווה ל-3. שימו לב שכאשר המקדמים b ו/או c הם שליליים, כמו בדוגמה שניתנה זה עתה, הצורה הקצרה של המשוואה הריבועית היא 5 x 2 −2 x−3=0 , במקום 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

ראוי לציין שכאשר המקדמים a ו/או b שווים ל-1 או −1, הם בדרך כלל אינם נוכחים במפורש במשוואה הריבועית, וזה נובע מהמוזרויות של כתיבת כזו. לדוגמה, במשוואה הריבועית y 2 −y+3=0 המקדם המוביל הוא אחד, והמקדם של y שווה ל-1.

משוואות ריבועיות מוקטנות ולא מוקטנות

בהתאם לערך של המקדם המוביל, מבדילות משוואות ריבועיות מופחתות ולא מופחתות. הבה ניתן את ההגדרות המתאימות.

הַגדָרָה.

נקראת משוואה ריבועית שבה המקדם המוביל הוא 1 נתונה משוואה ריבועית. אחרת המשוואה הריבועית היא ללא נגיעה.

לפי הגדרה זו, משוואות ריבועיות x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 וכו'. – נתון, בכל אחד מהם שווה המקדם הראשון לאחד. A 5 x 2 −x−1=0 וכו'. - משוואות ריבועיות לא מופחתות, המקדמים המובילים שלהן שונים מ-1.

מכל משוואה ריבועית לא מופחתת, על ידי חלוקת שני הצדדים במקדם המוביל, אתה יכול ללכת למשוואה המוקטנת. פעולה זו היא טרנספורמציה שווה ערך, כלומר, למשוואה הריבועית המוקטנת המתקבלת בדרך זו יש את אותם שורשים כמו המשוואה הריבועית הבלתי מופחתת המקורית, או, כמוה, אין לה שורשים.

הבה נסתכל על דוגמה כיצד מתבצע המעבר ממשוואה ריבועית לא מופחתת למשוואה מוקטנת.

דוגמא.

מהמשוואה 3 x 2 +12 x−7=0, עבור אל המשוואה הריבועית המופחתת המתאימה.

פִּתָרוֹן.

אנחנו רק צריכים לחלק את שני הצדדים של המשוואה המקורית במקדם המוביל 3, הוא אינו אפס, אז נוכל לבצע את הפעולה הזו. יש לנו (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, שהוא זהה, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, ולאחר מכן (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, מאיפה . כך קיבלנו את המשוואה הריבועית המוקטנת, המקבילה למקורית.

תשובה:

משוואות ריבועיות שלמות ולא שלמות

ההגדרה של משוואה ריבועית מכילה את התנאי a≠0. תנאי זה הכרחי כדי שהמשוואה a x 2 + b x + c = 0 תהיה ריבועית, שכן כאשר a = 0 היא הופכת למעשה למשוואה לינארית בצורה b x + c = 0.

לגבי המקדמים b ו-c, הם יכולים להיות שווים לאפס, גם בנפרד וגם ביחד. במקרים אלה, המשוואה הריבועית נקראת לא שלמה.

הַגדָרָה.

המשוואה הריבועית a x 2 +b x+c=0 נקראת לא שלם, אם לפחות אחד מהמקדמים b, c שווה לאפס.

בתורו

הַגדָרָה.

שלם משוואה ריבועיתהיא משוואה שבה כל המקדמים שונים מאפס.

שמות כאלה לא ניתנו במקרה. זה יתברר מהדיונים הבאים.

אם המקדם b הוא אפס, אז המשוואה הריבועית מקבלת את הצורה a·x 2 +0·x+c=0, והיא שווה ערך למשוואה a·x 2 +c=0. אם c=0, כלומר, למשוואה הריבועית יש את הצורה a·x 2 +b·x+0=0, אז ניתן לשכתב אותה כ-a·x 2 +b·x=0. ועם b=0 ו-c=0 נקבל את המשוואה הריבועית a·x 2 =0. המשוואות המתקבלות שונות מהמשוואה הריבועית השלמה בכך שהצד השמאלי שלהן אינו מכיל איבר עם המשתנה x, או איבר חופשי, או שניהם. מכאן שמם - משוואות ריבועיות לא שלמות.

אז המשוואות x 2 +x+1=0 ו-2 x 2 −5 x+0.2=0 הן דוגמאות למשוואות ריבועיות שלמות, ו-x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 הן משוואות ריבועיות לא שלמות.

פתרון משוואות ריבועיות לא שלמות

מהמידע בפסקה הקודמת עולה שיש שלושה סוגים של משוואות ריבועיות לא שלמות:

• a·x 2 =0, המקדמים b=0 ו-c=0 תואמים לו;
• a x 2 +c=0 כאשר b=0 ;
• ו- a·x 2 +b·x=0 כאשר c=0.

הבה נבחן לפי הסדר כיצד נפתרות משוואות ריבועיות לא שלמות של כל אחד מהסוגים הללו.

a x 2 =0

נתחיל בפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות שבהן המקדמים b ו-c שווים לאפס, כלומר במשוואות בצורה a x 2 =0. המשוואה a·x 2 =0 שווה ערך למשוואה x 2 =0, המתקבלת מהמקור על ידי חלוקת שני החלקים במספר לא אפס. ברור שהשורש של המשוואה x 2 =0 הוא אפס, שכן 0 2 =0. למשוואה זו אין שורשים אחרים, מה שמוסבר על ידי העובדה שעבור כל מספר שאינו אפס p מתקיים אי השוויון p 2 >0, כלומר עבור p≠0 השוויון p 2 =0 לעולם לא מושג.

אז, למשוואה הריבועית הלא שלמה a·x 2 =0 יש שורש בודד x=0.

כדוגמה, אנו נותנים את הפתרון למשוואה הריבועית הלא שלמה −4 x 2 =0. זה שווה ערך למשוואה x 2 =0, השורש היחיד שלו הוא x=0, לכן, למשוואה המקורית יש שורש אפס בודד.

פתרון קצר במקרה זה יכול להיכתב כך:
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

כעת נסתכל כיצד נפתרות משוואות ריבועיות לא שלמות שבהן מקדם b הוא אפס ו-c≠0, כלומר, משוואות בצורה a x 2 +c=0. אנו יודעים שהעברת איבר מצד אחד של המשוואה לצד השני עם הסימן ההפוך, כמו גם חלוקת שני הצדדים של המשוואה במספר שאינו אפס, נותן משוואה שווה. לכן, אנו יכולים לבצע את התמורות השקולות הבאות של המשוואה הריבועית הבלתי שלמה a x 2 +c=0:

• הזז את c לצד ימין, מה שנותן את המשוואה a x 2 =−c,
• ונחלק את שני הצדדים ב-a, נקבל .

המשוואה המתקבלת מאפשרת לנו להסיק מסקנות לגבי שורשיה. בהתאם לערכים של a ו-c, הערך של הביטוי יכול להיות שלילי (לדוגמה, אם a=1 ו-c=2, אז ) או חיובי (לדוגמה, אם a=−2 ו-c=6, אז ), הוא אינו אפס, שכן לפי תנאי c≠0. בואו נסתכל על המקרים בנפרד.

אם , אז למשוואה אין שורשים. משפט זה נובע מהעובדה שהריבוע של כל מספר הוא מספר לא שלילי. מכאן נובע שכאשר , אז עבור כל מספר p השוויון לא יכול להיות נכון.

אם , אז המצב עם שורשי המשוואה שונה. במקרה זה, אם נזכור בערך , אז השורש של המשוואה הופך מיד לברור הוא המספר, שכן . קל לנחש שהמספר הוא גם השורש של המשוואה, אכן,. למשוואה זו אין שורשים אחרים, אותם ניתן להראות, למשל, בסתירה. בוא נעשה את זה.

הבה נסמן את שורשי המשוואה שזה עתה הוכרזה כ-x 1 ו-x 1. נניח שלמשוואה יש עוד שורש אחד x 2, שונה מהשורשים המצוינים x 1 ו-x 1. ידוע שהחלפת השורשים שלו במשוואה במקום x הופכת את המשוואה לשוויון מספרי נכון. עבור x 1 ו -x 1 יש לנו , ועבור x 2 יש לנו . המאפיינים של השוויון המספרי מאפשרים לנו לבצע חיסור מונח אחר מונח של שווים מספריים נכונים, כך שחיסור החלקים המתאימים של השוויון נותן x 1 2 -x 2 2 =0. המאפיינים של פעולות עם מספרים מאפשרות לנו לשכתב את השוויון המתקבל כ-(x 1 -x 2)·(x 1 +x 2)=0. אנו יודעים שהמכפלה של שני מספרים שווה לאפס אם ורק אם לפחות אחד מהם שווה לאפס. לכן, מהשוויון המתקבל עולה כי x 1 −x 2 =0 ו/או x 1 +x 2 =0, שזה זהה, x 2 =x 1 ו/או x 2 =−x 1. אז הגענו לסתירה, שכן בהתחלה אמרנו ששורש המשוואה x 2 שונה מ-x 1 ו-x 1. זה מוכיח שלמשוואה אין שורשים מלבד ו.

הבה נסכם את המידע בפסקה זו. המשוואה הריבועית הבלתי שלמה a x 2 +c=0 שווה ערך למשוואה ש

• אין לו שורשים אם ,
• יש שני שורשים ו , אם .

הבה נבחן דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות לא שלמות בצורה a·x 2 +c=0.

נתחיל עם המשוואה הריבועית 9 x 2 +7=0. לאחר הזזת האיבר החופשי לצד ימין של המשוואה, הוא יקבל את הצורה 9 x 2 =-7. מחלקים את שני הצדדים של המשוואה המתקבלת ב-9, אנו מגיעים ל. מכיוון שלצד ימין יש מספר שלילי, למשוואה הזו אין שורשים, לכן, למשוואה הריבועית המקורית הלא שלמה 9 x 2 +7 = 0 אין שורשים.

בואו נפתור משוואה ריבועית לא שלמה נוספת −x 2 +9=0. נעביר את התשע לצד ימין: −x 2 =−9. כעת נחלק את שני הצדדים ב-1, נקבל x 2 =9. בצד ימין יש מספר חיובי, שממנו אנו מסיקים כי או . לאחר מכן נכתוב את התשובה הסופית: למשוואה הריבועית הלא שלמה −x 2 +9=0 יש שני שורשים x=3 או x=−3.

a x 2 +b x=0

נותר לעסוק בפתרון של הסוג האחרון של משוואות ריבועיות לא שלמות עבור c=0. משוואות ריבועיות לא שלמות בצורה a x 2 + b x = 0 מאפשרות לך לפתור שיטת הפירוק לגורמים. ברור, אנחנו יכולים, ממוקם בצד שמאל של המשוואה, שעבורו זה מספיק כדי להוציא את הגורם המשותף x מתוך סוגריים. זה מאפשר לנו לעבור מהמשוואה הריבועית הבלתי שלמה המקורית למשוואה מקבילה בצורה x·(a·x+b)=0. והמשוואה הזו מקבילה לקבוצה של שתי משוואות x=0 ו-a·x+b=0, שהאחרונה שבהן היא ליניארית ויש לה שורש x=−b/a.

אז, למשוואה הריבועית הלא שלמה a·x 2 +b·x=0 יש שני שורשים x=0 ו-x=−b/a.

כדי לגבש את החומר, ננתח את הפתרון לדוגמא ספציפית.

דוגמא.

פתור את המשוואה.

פִּתָרוֹן.

הוצאת x מתוך סוגריים נותן את המשוואה. זה שווה ערך לשתי משוואות x=0 ו. אנו פותרים את המשוואה הליניארית המתקבלת: , ועל ידי חלוקת המספר המעורב בשבר רגיל, נמצא . לכן, השורשים של המשוואה המקורית הם x=0 ו-.

לאחר השגת התרגול הדרוש, ניתן לכתוב בקצרה פתרונות למשוואות כאלה:

תשובה:

x=0 , .

מאבחן, נוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

כדי לפתור משוואות ריבועיות, יש נוסחת שורש. בוא נכתוב את זה נוסחה לשורשים של משוואה ריבועית: , איפה D=b 2 −4 a c- מה שנקרא אבחנה של משוואה ריבועית. הערך אומר בעצם את זה.

כדאי לדעת כיצד נגזרה נוסחת השורש וכיצד משתמשים בה במציאת השורשים של משוואות ריבועיות. בואו נבין את זה.

גזירת הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

הבה נצטרך לפתור את המשוואה הריבועית a·x 2 +b·x+c=0. בואו נבצע כמה טרנספורמציות שוות:

• אנו יכולים לחלק את שני הצדדים של המשוואה הזו במספר לא אפס a, וכתוצאה מכך המשוואה הריבועית הבאה.
• עַכשָׁיו בחר ריבוע שלםבצדו השמאלי:. לאחר מכן, המשוואה תקבל את הצורה .
• בשלב זה אפשר להעביר את שני האיברים האחרונים לצד ימין עם הסימן ההפוך, יש לנו .
• ובואו נשנה גם את הביטוי בצד ימין: .

כתוצאה מכך, אנו מגיעים למשוואה המקבילה למשוואה הריבועית המקורית a·x 2 +b·x+c=0.

כבר פתרנו משוואות דומות בצורתן בפסקאות הקודמות, כשבדקנו. זה מאפשר לנו להסיק את המסקנות הבאות לגבי שורשי המשוואה:

• אם , אז למשוואה אין פתרונות אמיתיים;
• אם , אז למשוואה יש את הצורה , לכן, , שממנה נראה השורש היחיד שלה;
• אם , אז או , שזהה ל- או , כלומר, למשוואה יש שני שורשים.

לפיכך, נוכחות או היעדר שורשי המשוואה, ולפיכך המשוואה הריבועית המקורית, תלויה בסימן הביטוי בצד ימין. בתורו, הסימן של ביטוי זה נקבע לפי סימן המונה, שכן המכנה 4·a 2 הוא תמיד חיובי, כלומר לפי הסימן של הביטוי b 2 −4·a·c. הביטוי הזה b 2 −4 a c נקרא אבחנה של משוואה ריבועיתומיועד במכתב ד. מכאן ברורה מהותו של המבחין - על פי ערכו וסימנו מסיקים האם למשוואה הריבועית יש שורשים ממשיים, ואם כן מה המספר שלהם - אחד או שניים.

נחזור למשוואה ונכתוב אותה מחדש באמצעות הסימון המבחין: . ואנחנו מסיקים מסקנות:

• אם ד<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• אם D=0, אז למשוואה זו יש שורש בודד;
• לבסוף, אם D>0, אז למשוואה יש שני שורשים או, שניתן לכתוב מחדש בצורה או, ולאחר הרחבה והבאת השברים למכנה משותף נקבל.

אז הפקנו את הנוסחאות לשורשי המשוואה הריבועית, הן נראות כמו , כאשר המבחין D מחושב על ידי הנוסחה D=b 2 −4·a·c.

בעזרתם, עם אבחנה חיובית, אתה יכול לחשב את שני השורשים האמיתיים של משוואה ריבועית. כאשר המבחין שווה לאפס, שתי הנוסחאות נותנות את אותו הערך של השורש, המתאים לפתרון ייחודי למשוואה הריבועית. ועם אבחנה שלילית, כאשר מנסים להשתמש בנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית, אנו עומדים בפני חילוץ השורש הריבועי של מספר שלילי, מה שמוציא אותנו מעבר למסגרת תכנית הלימודים בבית הספר. עם אבחנה שלילית, למשוואה הריבועית אין שורשים אמיתיים, אלא יש לה זוג מצומד מורכבשורשים, אותם ניתן למצוא באמצעות אותן נוסחאות שורש שהשגנו.

אלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות באמצעות נוסחאות שורש

בפועל, בעת פתרון משוואות ריבועיות, ניתן להשתמש מיד בנוסחת השורש כדי לחשב את הערכים שלהן. אבל זה קשור יותר למציאת שורשים מורכבים.

עם זאת, בקורס אלגברה בבית ספר אנחנו בדרך כלל מדברים לא על מורכבות, אלא על שורשים אמיתיים של משוואה ריבועית. במקרה זה, רצוי, לפני השימוש בנוסחאות לשורשים של משוואה ריבועית, למצוא תחילה את המבחין, לוודא שהוא לא שלילי (אחרת, נוכל להסיק שלמשוואה אין שורשים אמיתיים), ורק אז לחשב את ערכי השורשים.

הנימוק לעיל מאפשר לנו לכתוב אלגוריתם לפתרון משוואה ריבועית. כדי לפתור את המשוואה הריבועית a x 2 +b x+c=0, עליך:

• באמצעות נוסחת ההבחנה D=b 2 −4·a·c, חשב את ערכה;
• מסיקים שלמשוואה ריבועית אין שורשים אמיתיים אם המבחין שלילי;
• חשב את השורש היחיד של המשוואה באמצעות הנוסחה אם D=0;
• מצא שני שורשים אמיתיים של משוואה ריבועית באמצעות נוסחת השורש אם המבחין חיובי.

כאן רק נציין שאם המבחין שווה לאפס, אתה יכול גם להשתמש בנוסחה זה ייתן את אותו ערך כמו .

ניתן לעבור לדוגמאות לשימוש באלגוריתם לפתרון משוואות ריבועיות.

דוגמאות לפתרון משוואות ריבועיות

הבה נבחן פתרונות לשלוש משוואות ריבועיות עם מבחין חיובי, שלילי ואפס. לאחר שעסקנו בפתרון שלהם, באנלוגיה ניתן יהיה לפתור כל משוואה ריבועית אחרת. בואו נתחיל.

דוגמא.

מצא את השורשים של המשוואה x 2 +2·x−6=0.

פִּתָרוֹן.

במקרה זה, יש לנו את המקדמים הבאים של המשוואה הריבועית: a=1, b=2 ו-c=−6. לפי האלגוריתם, תחילה עליך לחשב את המבחין כדי לעשות זאת, אנו מחליפים את ה-a, b ו-c המצוינים בנוסחה המבדילה, יש לנו D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. מכיוון ש-28>0, כלומר, המבחין גדול מאפס, למשוואה הריבועית יש שני שורשים ממשיים. בוא נמצא אותם באמצעות נוסחת השורש, אנחנו מקבלים , כאן אתה יכול לפשט את הביטויים המתקבלים על ידי ביצוע הזזת המכפיל מעבר לסימן השורשואחריו הפחתת השבר:

תשובה:

נעבור לדוגמא האופיינית הבאה.

דוגמא.

פתרו את המשוואה הריבועית −4 x 2 +28 x−49=0 .

פִּתָרוֹן.

נתחיל במציאת המבחין: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. לכן, למשוואה הריבועית הזו יש שורש בודד, שאנו מוצאים אותו כ-, כלומר,

תשובה:

x=3.5.

נותר לשקול פתרון משוואות ריבועיות עם אבחנה שלילית.

דוגמא.

פתרו את המשוואה 5·y 2 +6·y+2=0.

פִּתָרוֹן.

להלן המקדמים של המשוואה הריבועית: a=5, b=6 ו-c=2. אנחנו מחליפים את הערכים האלה בנוסחה המבדילה, יש לנו D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. המבחין הוא שלילי, לכן, למשוואה הריבועית הזו אין שורשים אמיתיים.

אם אתה צריך לציין שורשים מורכבים, אז אנחנו מיישמים את הנוסחה הידועה לשורשים של משוואה ריבועית, ומבצעים פעולות עם מספרים מרוכבים:

תשובה:

אין שורשים אמיתיים, שורשים מורכבים הם:.

נציין שוב שאם המבחין של משוואה ריבועית הוא שלילי, אז בבית הספר הם בדרך כלל רושמים מיד תשובה שבה הם מציינים שאין שורשים אמיתיים, ולא נמצאים שורשים מורכבים.

נוסחת שורש למקדמים שנייה אפילו

הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית, שבה D=b 2 −4·a·c מאפשרת לך לקבל נוסחה של צורה קומפקטית יותר, המאפשרת לך לפתור משוואות ריבועיות עם מקדם שווה עבור x (או פשוט עם a מקדם בעל הצורה 2·n, למשל, או 14· ln5=2·7·ln5 ). בוא נוציא אותה.

נניח שעלינו לפתור משוואה ריבועית בצורה a x 2 +2 n x+c=0. בואו נמצא את שורשיו באמצעות הנוסחה המוכרת לנו. לשם כך, אנו מחשבים את המבחין D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), ולאחר מכן אנו משתמשים בנוסחת השורש:

הבה נסמן את הביטוי n 2 −a c כ-D 1 (לעיתים הוא מסומן D "). אז הנוסחה של שורשי המשוואה הריבועית הנבדקת עם המקדם השני 2 n תקבל את הצורה , כאשר D 1 =n 2 −a·c.

קל לראות ש-D=4·D 1, או D 1 =D/4. במילים אחרות, D 1 הוא החלק הרביעי של המבחין. ברור שהסימן של D 1 זהה לסימן D. כלומר, הסימן D 1 הוא גם אינדיקטור לנוכחות או היעדר שורשים של משוואה ריבועית.

אז כדי לפתור משוואה ריבועית עם מקדם שני 2·n, אתה צריך

• חשב D 1 =n 2 −a·c ;
• אם D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• אם D 1 =0, אז חשב את השורש היחיד של המשוואה באמצעות הנוסחה;
• אם D 1 >0, אז מצא שני שורשים אמיתיים באמצעות הנוסחה.

הבה נשקול לפתור את הדוגמה באמצעות נוסחת השורש המתקבלת בפסקה זו.

דוגמא.

פתרו את המשוואה הריבועית 5 x 2 −6 x −32=0 .

פִּתָרוֹן.

ניתן לייצג את המקדם השני של משוואה זו כ-2·(−3) . כלומר, אתה יכול לכתוב מחדש את המשוואה הריבועית המקורית בצורה 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, כאן a=5, n=-3 ו-c=-32, ולחשב את החלק הרביעי של מפלה: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. מכיוון שהערך שלה חיובי, למשוואה יש שני שורשים אמיתיים. בואו נמצא אותם באמצעות נוסחת השורש המתאימה:

שימו לב שניתן היה להשתמש בנוסחה הרגילה לשורשים של משוואה ריבועית, אך במקרה זה היה צורך לבצע יותר עבודה חישובית.

תשובה:

פישוט הצורה של משוואות ריבועיות

לפעמים, לפני שמתחילים לחשב את השורשים של משוואה ריבועית באמצעות נוסחאות, לא מזיק לשאול את השאלה: "האם ניתן לפשט את הצורה של המשוואה הזו?" מסכים שמבחינת חישובים יהיה קל יותר לפתור את המשוואה הריבועית 11 x 2 −4 x−6=0 מאשר 1100 x 2 −400 x−600=0.

בדרך כלל, פישוט הצורה של משוואה ריבועית מושגת על ידי הכפלה או חלוקה של שני הצדדים במספר מסוים. לדוגמה, בפסקה הקודמת ניתן היה לפשט את המשוואה 1100 x 2 −400 x −600=0 על ידי חלוקת שני הצדדים ב-100.

טרנספורמציה דומה מתבצעת עם משוואות ריבועיות, שהמקדמים שלהן אינם . במקרה זה, שני הצדדים של המשוואה מחולקים בדרך כלל בערכים האבסולוטיים של המקדמים שלה. לדוגמה, ניקח את המשוואה הריבועית 12 x 2 −42 x+48=0. ערכים מוחלטים של המקדמים שלו: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. מחלקים את שני הצדדים של המשוואה הריבועית המקורית ב-6, נגיע למשוואה הריבועית המקבילה 2 x 2 −7 x+8=0.

וכפל שני הצדדים של משוואה ריבועית נעשה בדרך כלל כדי להיפטר ממקדמי שבר. במקרה זה, הכפל מתבצע על ידי המכנים של המקדמים שלו. לדוגמה, אם שני הצדדים של המשוואה הריבועית מוכפלים ב-LCM(6, 3, 1)=6, היא תתקבל בצורה הפשוטה יותר x 2 +4·x−18=0.

לסיכום נקודה זו, נציין שכמעט תמיד הם נפטרים מהמינוס במקדם הגבוה ביותר של משוואה ריבועית על ידי שינוי הסימנים של כל האיברים, המתאים להכפלה (או חלוקה) של שני הצדדים ב-1. לדוגמה, בדרך כלל עוברים מהמשוואה הריבועית −2 x 2 −3 x+7=0 לפתרון 2 x 2 +3 x−7=0 .

קשר בין שורשים ומקדמים של משוואה ריבועית

הנוסחה לשורשים של משוואה ריבועית מבטאת את שורשי המשוואה באמצעות המקדמים שלה. בהתבסס על נוסחת השורש, ניתן לקבל קשרים אחרים בין שורשים ומקדמים.

הנוסחאות הידועות והישימות ביותר ממשפט וייטה הן בצורת ו. בפרט, עבור המשוואה הריבועית הנתונה, סכום השורשים שווה למקדם השני עם הסימן ההפוך, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי. לדוגמה, בהסתכלות על צורת המשוואה הריבועית 3 x 2 −7 x + 22 = 0, נוכל לומר מיד שסכום השורשים שלה שווה ל-7/3, ומכפלת השורשים שווה ל-22 /3.

באמצעות הנוסחאות שכבר נכתבו, ניתן להשיג מספר קשרים נוספים בין השורשים והמקדמים של המשוואה הריבועית. לדוגמה, ניתן לבטא את סכום ריבועי השורשים של משוואה ריבועית באמצעות המקדמים שלה: .

בִּיבּלִיוֹגְרָפִיָה.

• אַלגֶבּרָה:ספר לימוד לכיתה ח'. חינוך כללי מוסדות / [יו. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; נערך על ידי ש"א טליקובסקי. - מהדורה 16. - מ.: חינוך, 2008. - 271 עמ'. : חולה. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• מורדקוביץ' א.ג.אַלגֶבּרָה. כיתה ח'. בעוד שעתיים חלק 1. ספר לימוד לתלמידי מוסדות חינוך כללי / א.ג. מורדקוביץ. - מהדורה 11, נמחקה. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

עם תוכנית מתמטיקה זו אתה יכול לפתור משוואה ריבועית.

התוכנית לא רק נותנת את התשובה לבעיה, אלא גם מציגה את תהליך הפתרון בשתי דרכים:
- שימוש בגורם מפלה
- שימוש במשפט וייטה (אם אפשר).

יתרה מכך, התשובה מוצגת כמדויקת, לא כמקורבת.
לדוגמה, עבור המשוואה \(81x^2-16x-1=0\) התשובה מוצגת בצורה הבאה:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ ולא כך: \(x_1 = 0.247; \quad x_2 = -0.05\)

תוכנית זו יכולה להיות שימושית עבור תלמידי תיכון בבתי ספר לחינוך כללי בעת הכנה למבחנים ומבחנים, בעת בדיקת ידע לפני בחינת המדינה המאוחדת, ולהורים לשלוט בפתרון בעיות רבות במתמטיקה ובאלגברה. או שאולי זה יקר מדי בשבילך לשכור מורה או לקנות ספרי לימוד חדשים? או שאתה פשוט רוצה לעשות את שיעורי הבית שלך במתמטיקה או אלגברה כמה שיותר מהר? במקרה זה, תוכל גם להשתמש בתוכנות שלנו עם פתרונות מפורטים.

כך תוכלו לערוך בעצמכם הכשרה ו/או הכשרה של אחיכם או אחיותיכם הצעירים, תוך עלייה ברמת ההשכלה בתחום פתרון הבעיות.

אם אינך מכיר את הכללים להזנת פולינום ריבועי, אנו ממליצים לך להכיר אותם.

כללים להזנת פולינום ריבועי

כל אות לטינית יכולה לפעול כמשתנה.
לדוגמה: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) וכו'.

ניתן להזין מספרים כמספרים שלמים או שברים.
יתר על כן, ניתן להזין מספרים שברים לא רק בצורת שבר עשרוני, אלא גם בצורה של שבר רגיל.

כללים להזנת שברים עשרוניים.
בשברים עשרוניים, ניתן להפריד את החלק השבר מהחלק כולו באמצעות נקודה או פסיק.
לדוגמה, אתה יכול להזין שברים עשרוניים כך: 2.5x - 3.5x^2

כללים להזנת שברים רגילים.
רק מספר שלם יכול לשמש כחלק המונה, המכנה והמספר השלם של שבר.

המכנה לא יכול להיות שלילי.

בעת הזנת שבר מספרי, המונה מופרד מהמכנה בסימן חלוקה: /
החלק כולו מופרד מהשבר על ידי סימן אמפרסנד: &
קלט: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
תוצאה: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

בעת הזנת ביטוי אתה יכול להשתמש בסוגריים. במקרה זה, בעת פתרון משוואה ריבועית, הביטוי המובא מפושט תחילה.
לדוגמה: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

לְהַחלִיט

התגלה שחלק מהסקריפטים הדרושים לפתרון בעיה זו לא נטענו, וייתכן שהתוכנית לא תעבוד.
ייתכן שהפעלת את AdBlock.
במקרה זה, השבת אותו ורענן את הדף.

JavaScript מושבת בדפדפן שלך.
כדי שהפתרון יופיע, עליך להפעיל JavaScript.
להלן הוראות כיצד להפעיל JavaScript בדפדפן שלך.

כי יש הרבה אנשים שמוכנים לפתור את הבעיה, הבקשה שלך הועמדה בתור.
תוך מספר שניות הפתרון יופיע למטה.
המתן בבקשה שניה...

אם אתה הבחין בשגיאה בפתרון, אז תוכל לכתוב על כך בטופס המשוב.
אל תשכח לציין איזו משימהאתה מחליט מה הזן בשדות.

המשחקים, הפאזלים, האמולטורים שלנו:

קצת תיאוריה.

משוואה ריבועית ושורשיה. משוואות ריבועיות לא שלמות

כל אחת מהמשוואות
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
נראה כמו
\(ax^2+bx+c=0, \)
כאשר x הוא משתנה, a, b ו-c הם מספרים.
במשוואה הראשונה a = -1, b = 6 ו-c = 1.4, בשניה a = 8, b = -7 ו-c = 0, בשלישית a = 1, b = 0 ו-c = 4/9. משוואות כאלה נקראות משוואות ריבועיות.

הַגדָרָה.
משוואה ריבועיתנקרא משוואה בצורה ax 2 +bx+c=0, כאשר x הוא משתנה, a, b ו-c הם כמה מספרים ו-\(a \neq 0 \).

המספרים a, b ו-c הם המקדמים של המשוואה הריבועית. המספר a נקרא המקדם הראשון, המספר b הוא המקדם השני והמספר c הוא האיבר החופשי.

בכל אחת מהמשוואות של הצורה ax 2 +bx+c=0, כאשר \(a\neq 0\), החזקה הגדולה ביותר של המשתנה x היא ריבוע. מכאן השם: משוואה ריבועית.

שימו לב שמשוואה ריבועית נקראת גם משוואה מהמעלה השנייה, מכיוון שצידה השמאלי הוא פולינום מהמעלה השנייה.

נקראת משוואה ריבועית שבה מקדם x 2 שווה ל-1 נתונה משוואה ריבועית. לדוגמה, המשוואות הריבועיות שניתנו הן המשוואות
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

אם במשוואה ריבועית ax 2 +bx+c=0 לפחות אחד מהמקדמים b או c שווה לאפס, אז משוואה כזו נקראת משוואה ריבועית לא שלמה. לפיכך, המשוואות -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 הן משוואות ריבועיות לא שלמות. בראשון שבהם b=0, בשני c=0, בשלישי b=0 ו-c=0.

ישנם שלושה סוגים של משוואות ריבועיות לא שלמות:
1) ax 2 +c=0, כאשר \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, כאשר \(b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

הבה נשקול לפתור משוואות של כל אחד מהסוגים הללו.

כדי לפתור משוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 +c=0 עבור \(c \neq 0 \), הזיזו את האיבר החופשי שלו לצד ימין וחלקו את שני הצדדים של המשוואה ב-a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

מאז \(c \neq 0 \), אז \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

אם \(-\frac(c)(a)>0\), אז למשוואה יש שני שורשים.

אם \(-\frac(c)(a) כדי לפתור משוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 +bx=0 עם \(b \neq 0 \) גורם לצידה השמאלי ולקבל את המשוואה
\(x(ax+b)=0 \rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \rightarrow \left\( \begin (מערך)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(מערך) \right.

משמעות הדבר היא שלמשוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 +bx=0 עבור \(b \neq 0 \) יש תמיד שני שורשים.

משוואה ריבועית לא שלמה בצורה ax 2 =0 שווה ערך למשוואה x 2 =0 ולכן יש לה שורש בודד 0.

נוסחה לשורשים של משוואה ריבועית

הבה נבחן כעת כיצד לפתור משוואות ריבועיות שבהן גם המקדמים של הלא ידועים וגם האיבר החופשי אינם אפס.

הבה נפתור את המשוואה הריבועית בצורה כללית וכתוצאה מכך נקבל את הנוסחה לשורשים. לאחר מכן ניתן להשתמש בנוסחה זו כדי לפתור כל משוואה ריבועית.

פתרו את המשוואה הריבועית ax 2 +bx+c=0

מחלקים את שני הצדדים ב-a, נקבל את המשוואה הריבועית המופחתת המקבילה
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

בואו נשנה את המשוואה הזו על ידי בחירת הריבוע של הבינומי:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \ חץ ימינה \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

הביטוי הרדיקלי נקרא אבחנה של משוואה ריבועית ax 2 +bx+c=0 ("מבחנה" בלטינית - מפלה). זה מסומן באות D, כלומר.
\(D = b^2-4ac\)

כעת, תוך שימוש בסימון המבחין, נכתוב מחדש את הנוסחה לשורשי המשוואה הריבועית:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), כאשר \(D= b^2-4ac \)

זה ברור ש:
1) אם D>0, אז למשוואה הריבועית יש שני שורשים.
2) אם D=0, אז למשוואה הריבועית יש שורש אחד \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) אם D לפיכך, בהתאם לערך המבחין, משוואה ריבועית יכולה להיות בעלת שני שורשים (עבור D > 0), שורש אחד (עבור D = 0) או ללא שורשים (עבור D כאשר פותרים משוואה ריבועית באמצעות זה נוסחה, מומלץ לעשות את הדרך הבאה:
1) לחשב את המבחין ולהשוות אותו לאפס;
2) אם המבחין חיובי או שווה לאפס, השתמש בנוסחת השורש אם המבחין שלילי, אז רשום שאין שורשים.

משפט וייטה

במשוואה הריבועית הנתונה ax 2 -7x+10=0 יש שורשים 2 ו-5. סכום השורשים הוא 7, והמכפלה היא 10. אנו רואים שסכום השורשים שווה למקדם השני שנלקח עם ההפך סימן, ומכפלת השורשים שווה למונח החופשי. לכל משוואה ריבועית מופחתת שיש לה שורשים יש תכונה זו.

סכום השורשים של המשוואה הריבועית הנתונה שווה למקדם השני שנלקח עם הסימן הנגדי, ומכפלת השורשים שווה לאיבר החופשי.

הָהֵן. משפט וייטה קובע שלשורשים x 1 ו- x 2 של המשוואה הריבועית המופחתת x 2 +px+q=0 יש את המאפיין:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)