Мгновенная мощность переменного тока. Активная, реактивная и полная и мощность переменного тока. Сдвиг фаз

Всем доброго времени суток! В сегодняшней статье мы будем разбираться с понятиями работы и мощности электрического тока . Для начала рассмотрим , а затем проведем аналогичные «исследования» и для цепей 🙂 Тема довольно обширная, формул много, так что давайте приступать!

Работа и мощность постоянного тока.

Давайте вспомним первую статью курса «Электроника для начинающих» — . Там мы определили напряжение как работу, которую необходимо затратить для переноса единичного заряда из одной точки в другую. Обозначим эту величину — . Чтобы найти работу, которую совершат несколько зарядов, нам необходимо работу одного заряда умножить на количество зарядов:

По определению мощность — это работа за единицу времени. Таким образом, мы получаем формулу мощности:

Снова возвращаемся мысленно к уже упомянутой первой статье курса, в которой мы обсуждали понятия тока и напряжения и вспоминаем, что количество зарядов, проходящее через проводник в единицу времени () — это и есть ток по определению 😉 И в итоге мы приходим к следующему выражению для мощности электрического тока:

Здесь мы также учли, что работа — численно равна напряжению на данном участке цепи.

Собственно, мы получили одну из основных формул для нахождения мощности постоянного тока. А учитывая закон Ома получаем следующее:

Единицей измерения мощности является Ватт, а 1 Вт — мощность, при которой за 1 секунду совершается работа 1 Джоуль.

Тут необходимо остановиться на одном довольно интересном нюансе. Часто при обсуждении работы электрического тока можно услышать сочетание — киловатт-час. Например, электросчетчики в домах показывают работу именно в этих единицах измерения. Так вот несмотря на схожесть в названиях единиц измерения мощности (ватт) и работы (киловатт-час/ватт-час) не стоит забывать, что эти термины относятся к разным физическим величинам. Чтобы перевести КВт*ч в более привычные с точки зрения системы измерений Си джоули можно воспользоваться следующим математическим соотношением:

1 КВт*ч = 3600000 Дж

Давайте рассмотрим небольшой пример для иллюстрации вышесказанного 🙂 Итак, пусть у нас есть чайник, мощность которого составляет 1200 Вт (1.2 КВт). Мысленно включим его на 10 минут (1/6 часа). В итоге, работа электрического тока (а вместе с ней и потребленная чайником энергия) составит:

1200 Вт * 1 / 6 ч = 200 Вт*ч = 0.2 КВт*ч

С работой и мощностью постоянного тока все понятно, давайте перейдем к цепям .

Пусть у нас ток и напряжение изменяются по следующим законам:

Мы приняли, что ток и напряжение сдвинуты по фазе на величину .

Мгновенная мощность (мощность переменного тока в любой момент времени) будет равна:

Преобразуем формулу в соответствии с тригонометрической формулой произведения синусов:

Вот так будут выглядеть зависимости тока, напряжения и мощности переменного тока от времени:

На самом деле практический интерес представляет не мгновенное значение мощности (которое постоянно меняется), а среднее. Для среднего значения мощности переменного тока за период запишем следующее выражение:

Не буду особо нагружать математическими выкладками, давайте просто обратим внимание на то, что в формуле мгновенной мощности второе слагаемое () при интегрировании (суммировании) будет равно нулю. Это связано с тем, что если мы рассматриваем конкретный период, то значение косинуса в течение одного полу-периода сигнала будет иметь положительную величину, а в течение другого — отрицательное). Поэтому в финальной формуле средней мощности переменного тока останется только интеграл от первого слагаемого:

Вот мы и получили выражение для вычисления средней за период мощности в цепи переменного тока (ее также называют активной мощностью ) 🙂

Если сдвиг фаз между током и напряжением будет равен нулю, то значение средней мощности будет максимальным (поскольку ). В случае сдвига фаз часть мощности передается в нагрузку (активная мощность), а часть нет (реактивная мощность). Реактивная мощность приводит к потерям на излучение и на нагрев. Из формулы понятно, что чем больше , тем больше мощности попадет непосредственно в нагрузку, поэтому величину называют коэффициентом мощности. Активную мощность мы определили ранее, а вот для реактивной мощности справедлива немного другая формула:

Ну а полная мощность переменного тока равна:

На сегодня на этом все, мы разобрались с понятиями работы и мощности электрического тока, до скорых встреч на нашем сайте!

Пусть в заданной схемес последовательным соединением элементов R, L и C (рис. 47) протекает переменный ток

.

По 2-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получим уравнение в дифференциальной форме:

.

где  комплексное сопротивление,

 реак­тивное (эквивалентное) сопротивление,

 модуль ком­плексного или полное сопротивление,

 аргу­мент комплекс­ного сопротивления или угол сдвига фаз между напряжением и током на входе схемы. При

фазный уголφ >0, при этом цепь в целом носит ак­тивно-индуктивный характер, а при

иφ <0 – цепь в целом носит активно-емкостный характер.

Уравнение закона Ома для последовательной схемы будет иметь вид:

в комплексной форме,

в обычной форме для модулей.

Векторная диаграмма тока и напряжений при φ >0 показана на рис. 48.

В рассматриваемой цепи на переменном токе будут происходить одно­временно два физических процесса: преобразование энергии в другие виды в резисторе R (активный про­цесс) и взаимный обмен энергией между магнитным полем катушки, электрическим полем конденсатора и источником энергии (ре­активный процесс).

8. Электрическая цепь с параллельным соединением элементов r, l и с

Пусть на входе схемы рис. 49 действует переменное напряжение:

По 1-му закону Кирхгофа для мгновенных значений функций получаем уравнение в дифференциальной форме:

То же уравнение в комплексной форме получит вид:

где  комплексная проводимость,

 ак­тивная проводимость,

 реактивная индуктивная проводимость,

 реак­тивная емкостная проводимость,

 реактивная (эк­вивалентная) проводи­мость,

 модуль комплексной про­водимости или полная проводи­мость,

 аргумент комплекс­ной проводимости или угол сдвига фаз ме­жду напряжением и током на входе схемы. При

иφ >0 – цепь в целом носит активно-индуктивный ха­рактер, а при

иφ <0 – цепь в целом носит активно-ем­костный ха­рак­тер.

Уравнение закона Ома для параллельной схемы будет иметь вид:

в комплексной форме;

в обычной форме для модулей.

Векторная диаграмма токов и напряжения при φ >0 показана на рис. 50.

На переменном токе в рассматриваемой цепи будут происходить одно­временно два физических процесса: преобразование электрической энергии в другие виды (активный процесс) и взаимный обмен энергией между магнит­ным полем катушки, электрическим по­лем конденсатора и источником энергии (реактивный процесс).

9. Активные и реактивные составляющие токов и напряжений

При расчете электрических цепей переменного тока реальные элементы цепи (при­емники, источники) заменяются эквивалентными схемами замещения, состоящими из ком­бинации идеальных схемных элементов R, L и С .

Пусть некоторый приемник энергии носит в целом активно-индуктив­ный характер (например, электродвигатель). Такой приемник может быть пред­ставлен двумя простей­шими схемами замещения, состоящими из 2-х схемных элементов R и L : а) последовательной (рис. 51а) и б) параллельной (рис. 51б):

Обе схемы будут эквивалентны друг другу при условии равенства пара­метров ре­жима на входе:

,

.

Для последовательной схемы (рис. 51а) справедливы соотношения:

Для параллельной схемы (рис. 51б) справедливы соотношения:

Сравнивая правые части уравнений для U и I , получим соотношения между пара­метрами эквивалентных схем:

,

,

,

.

Из анализа полученных уравнений следует сделать вывод, что в общем случае

и

и соответственно

и

, как это имеет место для цепей постоян­ного тока.

Математически любой вектор можно представить состоящим из суммы нескольких векторов или составляющих.

Последовательной схеме замещения соответствует представление век­тора напряже­ния в виде суммы двух составляющих: активной составляющей U а, совпадающей с векто­ром тока I , и реактивной составляющей U р, перпенди­кулярной к вектору тока (рис. 52а):

Из геометрии рис. 52а следуют соотношения:

,

,

. Треугольник, составленный из векто­ров,

,получил назва­ние треугольника напряжений.

Если стороны треугольника напряжений разделить на ток I , то полу­чится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого явля­ются полное сопротивление Z , активное сопротивление R и реактивное сопро­тивление X . Треугольник со сторонами Z, R, X называется треугольником со­противлений (рис. 52б). Из треугольника сопротивлений следуют соотношения: R=Z cosφ, X=Z sinφ,

,

.

Параллельной схеме замещения соответствует представление вектора тока в виде суммы двух составляющих: активной составляющей I а , совпадаю­щей с вектором напряже­ния U , и реактивной составляющей I р , перпендикуляр­ной к вектору U (рис. 53а):

Из геометрии рисунка следуют соотношения:

,

,

.

Треугольник, составленный из векторов

получил название треугольника токов.

Если стороны треугольника токов разделить на напряжение U , то полу­чится новый треугольник, подобный исходному, но сторонами которого явля­ются проводимости: пол­ная – Y , активная - G , реактивная – B (рис. 53б). Тре­угольник со сторонами Y, G, B называется треугольником проводимостей. Из треугольника проводимостей следуют соотношения:

,

,

,

.

Разложение напряжений и токов на активные и реактивные составляющие является математическим приемом и применяется на практике для расчета не­сложных цепей пере­менного тока.

Для этого, скажем так, почти идеального случая, формула мощности будет такой же как и в случае с постоянным током

На рисунке ниже нарисована кривая изменения мгновенных значений мощности для данного случая (т.е направление тока и напряжения одинаковые). Таким образом, фазы тока и напряжения совпадают .

Мощность переменного тока. Сдвиг фаз I и U

Если в цепи переменного тока стоит конденсатор или катушки индуктивности, фазы тока и напряжения совпадать не будут.

Предположим, что в начальный момент радиусы-векторы тока и напряжения имеют различные направления. Так как оба вектора вращаются с постоянной скоростью, то угол между ними будет одинаковым во все время их вращения. На рисунке ниже изображен случай отставания вектора тока I m от вектора напряжения U m на угол в 45° .

Как будут меняться при этом ток и напряжение. Из рисунка видно, что когда напряжение проходит через точку нуля, ток имеет отрицательное значение. когда напряжение достигает своего максимального значения и начинает уже убывать, а ток хоть и становится положительным, но еще не набирает максимального уровня и продолжает увеличиваться. Напряжение меняет свое направление, а ток все еще идет в прежнем и т. д. Фаза тока все время отстает от фазы напряжения, т.е между ними имеется существует постоянный сдвиг, который получил название сдвиг фаз .

Вследствие отставания фазы тока от фазы напряжения их направления в некоторые моменты не будут одинаковыми. В эти моменты мощность тока будет отрицательной. Это означает, что внешняя цепь в эти самые моменты становится источником электрической энергии и даже возвращает обратно некоторое количество энергии.

Чем сильне сдвиг фаз , тем длинее периоды, в течение которых мощность отрицательная, тем ниже будет средняя мощность переменного тока.

При сдвиге фаз в 90° мощность в течение первой четверти периода будет положительной, а в течение второй четверти периода - отрицательной. поэтому, средняя мощность переменного тока будет равна нулю, и ток не будет совершать никакой работы

Мощность переменного тока

Предположим, что мы тянем тележку с грузом, по рельсам. Но мы тянем ее не вдоль рельсов, а под определенным углом к ним. Угол между направлением движения и направлением наших усилий обозначим буквой φ (фи).

Если мы знаем сколько полезной силы, потратили протащив определенный путь, то достаточно легко можно посчитать и работу

Теперь вернемся к нашим ба.., радиусам-векторам тока и напряжения. И применим этот же способ. Мощность переменного тока при разности фаз φ = 0° равняется половине произведения вектора напряжения U m и вектора тока I m .

В случае, если мощность переменного тока, при разности фаз φ≠ 0 , будет равна половине произведения вектора напряжения U m и проекции вектора тока I m , проектируемого на вектор напряжения. Как нетрудно заметить, величина проекции зависит, от длины проектируемого вектора и от угла между ним и направлением, на которое он проектируется.

Если обозначить этот угол буквой φ , то длина проекции определяется длиной проектируемого вектора, умноженного на некоторый коэффициент, характеризующий этот угол, называемый косинусом угла (cos φ ). Значения косинусов различных углов даны в таблице.

Тоесть, проекция радиуса-вектора равна длине радиуса-вектора, умноженной на cos φ .
Тогда мощность переменного тока рассчитывается по следующей формуле:

Мгновенной мощностью p(t) принято считать произведение приложенного к цепи мгновенного значения тока i(t) на мгновенное напряжения u(t) .

p(t)=u(t)×i(t)=U m ×I m ×sin(wt)×sin(wt+φ)

График мгновенной мощности для этого случая показан на рисунке чуть ниже:

График - А

На рисунке мощность изображена заштрихованной областью. Знак мощности зависит толька от сдвига фаз между напряжением и током. Т.к в идеальном случае в цепи имеются только активные сопротивления, сдвиг фаз отсутствует, поэтому мощность со знаком поюс. Рассмотрим другой график, имеющий реактивную состовляющую.

График - В

На этои рисунке хороши видны области p(t) с минусовым знаком. Такой график соответствует схеме, в которой имется конденсатор или индуктивность, причем положительные участки - это мощность, которая ушла в цепь и рассеялась на сопротивлении, либо запаслась емкости или индуктивности, а отрицательные участки - был возврат обратно источнику питания.