Tačka presjeka pravih na ravni. Presjek dvije linije. Ugao i tačka preseka

Za rješavanje geometrijskog problema koordinatnom metodom potrebna je točka presjeka čije se koordinate koriste u rješenju. Situacija nastaje kada trebate tražiti koordinate presjeka dviju linija na ravni ili odrediti koordinate istih linija u prostoru. Ovaj članak razmatra slučajeve pronalaženja koordinata tačaka u kojima se date prave sijeku.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Potrebno je definisati tačke preseka dve prave.

Odjeljak o relativnom položaju pravih na ravni pokazuje da se one mogu poklapati, biti paralelne, sijeći u jednoj zajedničkoj tački ili seći. Dvije prave u prostoru nazivaju se ukrštanjem ako imaju jednu zajedničku tačku.

Definicija tačke presjeka linija zvuči ovako:

Definicija 1

Tačka u kojoj se dvije prave seku naziva se njihova tačka preseka. Drugim rečima, tačka preseka linija je tačka preseka.

Pogledajmo sliku ispod.

Prije pronalaženja koordinata točke presjeka dviju pravih, potrebno je razmotriti primjer u nastavku.

Ako ravan ima koordinatni sistem O x y, tada su navedene dvije prave a i b. Prava a odgovara opštoj jednačini oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, za pravu b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada je M 0 (x 0 , y 0) određena tačka ravni, potrebno je odrediti da li će tačka M 0 biti tačka preseka ovih pravih.

Da biste riješili problem, potrebno je pridržavati se definicije. Tada se prave moraju seći u tački čije su koordinate rješenje datih jednačina A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znači da se koordinate tačke preseka zamenjuju u sve date jednačine. Ako nakon zamjene daju ispravan identitet, tada se M 0 (x 0 , y 0) smatra njihovom presječnom tačkom.

Primjer 1

Date su dvije prave koje se seku 5 x - 2 y - 16 = 0 i 2 x - 5 y - 19 = 0. Da li će tačka M 0 sa koordinatama (2, - 3) biti tačka preseka.

Rješenje

Da bi presek pravih bio validan, potrebno je da koordinate tačke M 0 zadovoljavaju jednačine pravih. To se može provjeriti zamjenom. Shvatili smo to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe jednakosti su tačne, što znači da je M 0 (2, - 3) tačka preseka datih pravih.

Opišimo ovo rješenje na koordinatnoj liniji na slici ispod.

odgovor: data tačka sa koordinatama (2, - 3) biće tačka preseka datih pravih.

Primjer 2

Hoće li se prave 5 x + 3 y - 1 = 0 i 7 x - 2 y + 11 = 0 sjeći u tački M 0 (2, - 3)?

Rješenje

Da biste riješili problem, trebate zamijeniti koordinate tačke u sve jednačine. Shvatili smo to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druga jednakost nije tačna, znači da data tačka ne pripada pravoj 7 x - 2 y + 11 = 0. Iz ovoga proizlazi da tačka M 0 nije tačka preseka pravih.

Crtež jasno pokazuje da M 0 nije tačka preseka pravih. Imaju zajedničku tačku sa koordinatama (- 1, 2).

odgovor: tačka sa koordinatama (2, - 3) nije presečna tačka datih pravih.

Prelazimo na pronalaženje koordinata tačaka preseka dve prave koristeći date jednačine na ravni.

Dvije prave a i b koje se sijeku određene su jednadžbama oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, koje se nalaze na O x y. Prilikom označavanja točke presjeka M 0, nalazimo da treba nastaviti tražiti koordinate koristeći jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Iz definicije je očigledno da je M 0 zajednička tačka preseka pravih. U ovom slučaju, njegove koordinate moraju zadovoljiti jednačine A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Drugim riječima, ovo je rješenje rezultujućeg sistema A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znači da je za pronalaženje koordinata tačke presjeka potrebno sistemu dodati sve jednačine i riješiti ga.

Primjer 3

Date su dvije prave x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0 na ravni. potrebno je pronaći njihovu raskrsnicu.

Rješenje

Podaci o uslovima jednačine se moraju prikupiti u sistem, nakon čega dobijamo x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Da biste ga riješili, riješite prvu jednačinu za x i zamijenite izraz u drugi:

x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 5 9 y - 14 - 2 y - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Rezultirajući brojevi su koordinate koje je trebalo pronaći.

odgovor: M 0 (4, 2) je tačka preseka pravih x - 9 y + 14 = 0 i 5 x - 2 y - 16 = 0.

Pronalaženje koordinata svodi se na rješavanje sistema linearnih jednačina. Ako se pod uslovom daje drugačija vrsta jednadžbe, onda je treba svesti na normalni oblik.

Primjer 4

Odredite koordinate tačaka preseka pravih x - 5 = y - 4 - 3 i x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Rješenje

Prvo trebate dovesti jednačine u opći oblik. Tada dobijamo da se x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R transformira na sljedeći način:

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y - 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Zatim uzimamo jednačinu kanonskog oblika x - 5 = y - 4 - 3 i transformiramo je. Shvatili smo to

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 = 0

Odavde imamo da su koordinate tačka preseka

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Koristimo Cramerovu metodu da pronađemo koordinate:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y . = 22 22 = 1

odgovor: M 0 (- 5 , 1) .

Postoji i način da pronađete koordinate presečne tačke linija koje se nalaze na ravni. Primjenjivo je kada je jedna od linija data parametarskim jednačinama oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R . Tada umjesto vrijednosti x zamjenjujemo x = x 1 + a x · λ i y = y 1 + a y · λ, gdje dobijamo λ = λ 0, što odgovara tački presjeka koja ima koordinate x 1 + a x · λ 0 , y 1 + a y · λ 0 .

Primjer 5

Odredite koordinate tačke preseka prave x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3.

Rješenje

Potrebno je izvršiti zamjenu u x - 5 = y - 4 - 3 sa izrazom x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ, tada dobijamo:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Prilikom rješavanja nalazimo da je λ = - 1. Iz toga slijedi da postoji tačka presjeka između pravih x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R i x - 5 = y - 4 - 3. Da biste izračunali koordinate, trebate zamijeniti izraz λ = - 1 u parametarsku jednačinu. Tada dobijamo da je x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

odgovor: M 0 (- 5 , 1) .

Da biste u potpunosti razumjeli temu, morate znati neke nijanse.

Prvo morate razumjeti lokaciju linija. Kada se ukrste, naći ćemo koordinate, u drugim slučajevima neće biti rješenja. Da biste izbjegli ovu provjeru, možete kreirati sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ako postoji rješenje, zaključujemo da se prave sijeku. Ako nema rješenja, onda su paralelne. Kada sistem ima beskonačan broj rješenja, onda se kaže da se poklapaju.

Primjer 6

Date linije x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4. Odredite da li imaju zajedničku tačku.

Rješenje

Pojednostavljujući date jednačine, dobijamo 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 i 4 3 x - y - 4 = 0.

Jednačine treba sakupiti u sistem za naknadno rješavanje:

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Iz ovoga možemo vidjeti da su jednačine izražene jedna kroz drugu, tada dobijamo beskonačan broj rješenja. Tada jednačine x 3 + y - 4 = 1 i y = 4 3 x - 4 definiraju istu pravu. Dakle, nema tačaka preseka.

odgovor: date jednačine definišu istu pravu liniju.

Primjer 7

Nađite koordinate tačke preseka pravih 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 i 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Rješenje

U skladu sa uslovom, to je moguće, prave se neće ukrštati. Potrebno je napraviti sistem jednačina i riješiti. Za rješavanje potrebno je koristiti Gaussovu metodu, jer je uz njenu pomoć moguće provjeriti kompatibilnost jednadžbe. Dobijamo sistem oblika:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dobili smo netačnu jednakost, što znači da sistem nema rješenja. Zaključujemo da su prave paralelne. Ne postoje raskrsnice.

Drugo rješenje.

Prvo morate odrediti prisutnost presjeka linija.

n 1 → = (2, 2 - 3) je vektor normale prave 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, tada je vektor n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 vektor normale za pravu 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 .

Potrebno je provjeriti kolinearnost vektora n 1 → = (2, 2 - 3) i n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7). Dobijamo jednakost oblika 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Tačno je jer je 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Iz toga slijedi da su vektori kolinearni. To znači da su prave paralelne i da nemaju tačaka preseka.

odgovor: nema tačaka preseka, prave su paralelne.

Primjer 8

Pronađite koordinate presjeka zadatih pravih 2 x - 1 = 0 i y = 5 4 x - 2 .

Rješenje

Za rješavanje sastavljamo sistem jednačina. Dobijamo

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nađimo determinantu glavne matrice. Za ovo, 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Pošto nije jednako nuli, sistem ima 1 rješenje. Iz toga slijedi da se prave sijeku. Rešimo sistem za pronalaženje koordinata tačaka preseka:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Utvrdili smo da tačka preseka datih pravih ima koordinate M 0 (1 2, - 11 8).

odgovor: M 0 (1 2 , - 11 8) .

Pronalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru

Na isti način se nalaze tačke preseka pravih linija u prostoru.

Kada su prave a i b date u koordinatnoj ravni O x y z jednačinama ravnina koje se seku, onda postoji prava linija a, koja se može odrediti pomoću datog sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 i prava b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Kada je tačka M 0 tačka preseka pravih, tada njene koordinate moraju biti rešenja obe jednačine. Dobijamo linearne jednačine u sistemu:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Pogledajmo slične zadatke koristeći primjere.

Primjer 9

Pronađite koordinate presečne tačke datih pravih x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Rješenje

Sastavljamo sistem x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 i rješavamo ga. Da biste pronašli koordinate, morate riješiti kroz matricu. Tada dobijamo glavnu matricu oblika A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 i proširenu matricu T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 . Određujemo Gausov rang matrice.

Shvatili smo to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Iz toga slijedi da rang proširene matrice ima vrijednost 3. Tada sistem jednačina x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 rezultira samo jednim rješenjem.

Osnovni minor ima determinantu 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , tada posljednja jednačina ne vrijedi. Dobijamo da je x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Rješenje sistema x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3 .

To znači da tačka preseka x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 i 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ima koordinate (1, - 3, 0).

odgovor: (1 , - 3 , 0) .

Sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 ima samo jedno rješenje. To znači da se prave a i b sijeku.

U drugim slučajevima jednačina nema rješenja, odnosno nema ni zajedničkih tačaka. Odnosno, nemoguće je pronaći tačku sa koordinatama, jer ona ne postoji.

Dakle, sistem oblika A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 rješava se Gausovom metodom. Ako je nekompatibilan, linije se ne sijeku. Ako postoji beskonačan broj rješenja, onda se ona poklapaju.

Možete riješiti tako što ćete izračunati osnovni i prošireni rang matrice, a zatim primijeniti Kronecker-Capelli teorem. Dobijamo jedno, mnogo ili nikakvo rješenje.

Primjer 10

Date su jednadžbe pravih x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 i x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Pronađite tačku raskrsnice.

Rješenje

Prvo, napravimo sistem jednačina. Dobijamo da je x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. Rješavamo ga Gaussovom metodom:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Očigledno, sistem nema rješenja, što znači da se prave ne seku. Ne postoji raskrsnica.

odgovor: nema raskrsnice.

Ako su linije date pomoću konusnih ili parametarskih jednadžbi, potrebno ih je svesti na oblik jednadžbi ravnina koje se sijeku, a zatim pronaći koordinate.

Primjer 11

Date su dvije linije x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R i x 2 = y - 3 0 = z 5 u O x y z. Pronađite tačku raskrsnice.

Rješenje

Prave linije definiramo jednadžbama dvije ravnine koje se sijeku. Shvatili smo to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nalazimo koordinate 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, za to izračunavamo rangove matrice. Rang matrice je 3, a bazni minor je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, što znači da posljednja jednačina mora biti isključena iz sistema. Shvatili smo to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Rešimo sistem koristeći Cramerovu metodu. Dobijamo da je x = - 2 y = 3 z = - 5. Odavde dobijamo da presek datih pravih daje tačku sa koordinatama (- 2, 3, - 5).

odgovor: (- 2 , 3 , - 5) .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Tačka raskrsnice

Neka nam daju dvije prave linije, definirane njihovim koeficijentima i . Morate pronaći njihovu točku presjeka ili saznati da su prave paralelne.

Rješenje

Ako dvije prave nisu paralelne, onda se sijeku. Da biste pronašli tačku preseka, dovoljno je kreirati sistem od dve pravolinijske jednačine i rešiti ga:

Koristeći Cramerovu formulu, odmah nalazimo rješenje za sistem, koje će biti željeno tačka preseka:

Ako je imenilac nula, tj.

tada sistem nema rješenja (direktno paralelno i ne poklapaju se) ili ih ima beskonačno mnogo (direktno match). Ako je potrebno razlikovati ova dva slučaja, potrebno je provjeriti da li su koeficijenti pravih proporcionalni sa istim koeficijentom proporcionalnosti kao i koeficijenti i , za što je dovoljno izračunati dvije determinante; ako su obje jednako nuli, tada se linije poklapaju:

Implementacija

struct pt (dvostruki x, y;); strukturna linija (double a, b, c;); constdouble EPS =1e-9; dupli det (double a, double b, double c, double d)(return a * d - b * c;) bool intersect (linija m, linija n, pt & res)(double zn = det (m.a, m.b, n.a) , n.b);if(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Lekcija iz serije “ Geometrijski algoritmi»

Zdravo dragi čitaoče.

Savjet 1: Kako pronaći koordinate tačke preseka dve linije

Napišimo još tri nove funkcije.

Funkcija LinesCross() će odrediti da li presecati da li dva segment. U njemu se relativni položaj segmenata određuje pomoću vektorskih proizvoda. Za izračunavanje vektorskih proizvoda napisaćemo funkciju – VektorMulti().

Funkcija RealLess() će se koristiti za implementaciju operacije poređenja “<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Zadatak 1. Dva segmenta su data svojim koordinatama. Napišite program koji određuje da li se ovi segmenti seku? bez pronalaženja tačke preseka.

Rješenje
. Druga je data tačkama.

Razmotrimo segment i točke i .

Tačka leži lijevo od prave, za nju je vektorski proizvod > 0, pošto su vektori pozitivno orijentisani.

Tačka se nalazi desno od prave za koju je vektorski proizvod < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Da bi tačke i ležale na suprotnim stranama prave, dovoljno je da je zadovoljen uslov< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Slično razmišljanje može se provesti za segment i točke i .

Sta ako , tada se segmenti sijeku.

Za provjeru ovog uvjeta koristi se funkcija LinesCross(), a funkcija VektorMulti() za izračunavanje vektorskih proizvoda.

ax, ay – koordinate prvog vektora,

bx, by – koordinate drugog vektora.

Program geometr4; (Da li se 2 segmenta seku?) Const _Eps: Real=1e-4; (preciznost proračuna) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;funkcija RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Strogo manje od) begin RealLess:= b-a> _Eps end; (RealLess)funkcija VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): real; (ax,ay - a koordinate bx,by - b koordinate) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; end;Funkcija LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (Da li se segmenti sijeku?) begin v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); ako RealLess(v1*v2,0) i RealLess(v3*v4,0) (v1v2<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Rezultati izvršenja programa:

Unesite koordinate segmenata: -1 1 2 2,52 2 1 -1 3
Da.

Napisali smo program koji određuje da li se segmenti određeni njihovim koordinatama sijeku.

U sljedećoj lekciji ćemo kreirati algoritam koji se može koristiti za određivanje da li se tačka nalazi unutar trougla.

Dragi čitaoče.

Već ste se upoznali sa nekoliko lekcija iz serije Geometrijski algoritmi. Da li je sve napisano na pristupačan način? Bit ću vam jako zahvalan ako ostavite povratne informacije o ovim lekcijama. Možda još nešto treba poboljšati.

S poštovanjem, Vera Gospodarets.

Neka su data dva segmenta. Prvi je dat tačkama P 1 (x 1 ;y 1) I P 2 (x 2 ;y 2). Drugi je dat bodovima P 3 (x 3 ;y 3) I P 4 (x 4 ;y 4).

Relativni položaj segmenata može se provjeriti pomoću vektorskih proizvoda:

Razmotrite segment P 3 P 4 i tačke P 1 I P2.

Dot P 1 leži lijevo od linije P 3 P 4, za nju vektorski proizvod v 1 > 0, pošto su vektori pozitivno orijentisani.
Dot P2 koji se nalazi desno od linije, za nju vektorski proizvod v 2< 0 , pošto su vektori negativno orijentisani.

Da poentiram P 1 I P2 ležati na suprotnim stranama prave linije P 3 P 4, dovoljno je da uslov bude zadovoljen v 1 v 2< 0 (vektorski proizvodi su imali suprotne predznake).

Slično razmišljanje se može izvesti za segment P 1 P 2 i bodova P 3 I P 4.

Sta ako v 1 v 2< 0 I v 3 v 4< 0 , tada se segmenti sijeku.

Unakrsni proizvod dva vektora izračunava se pomoću formule:

gdje:
sjekira, ay— koordinate prvog vektora,
bx, by— koordinate drugog vektora.

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije različite tačke određene njihovim koordinatama.

Neka su na pravoj liniji date dvije nepodudarne tačke: P 1 sa koordinatama ( x 1 ;y 1) I P2 sa koordinatama (x 2 ; y 2).

Presjek linija

Prema tome, vektor sa ishodištem u tački P 1 i završiti u jednom trenutku P2 ima koordinate (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Ako P(x, y) je proizvoljna tačka na pravoj, zatim koordinate vektora P 1 P jednaka (x - x 1, y - y 1).

Koristeći vektorski proizvod, uslov kolinearnosti vektora P 1 P I P 1 P 2 može se napisati ovako:
|P 1 P, P 1 P 2 |=0, tj. (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
ili
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

Posljednja jednačina se prepisuje na sljedeći način:
ax + by + c = 0, (1)
Gdje
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Dakle, prava linija se može specificirati jednačinom oblika (1).

Kako pronaći tačku preseka linija?
Očigledno rješenje je riješiti sistem jednadžbi linija:

ax 1 +by 1 =-c 1
ax 2 +by 2 =-c 2 (2)

Unesite simbole:

Evo D je determinanta sistema, i Dx, Dy— determinante koje proizlaze iz zamjene stupca koeficijenata s odgovarajućom nepoznatom kolonom slobodnih pojmova. Ako D ≠ 0, tada je sistem (2) određen, odnosno ima jedinstveno rješenje. Ovo rješenje se može pronaći pomoću sljedećih formula: x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, koje se nazivaju Cramerove formule. Brzi podsjetnik kako se izračunava determinanta drugog reda. Odrednica razlikuje dvije dijagonale: glavnu i sekundarnu. Glavna dijagonala se sastoji od elemenata uzetih u smjeru od gornjeg lijevog ugla determinante prema donjem desnom kutu. Bočna dijagonala - od gornjeg desnog do donjeg lijevog. Determinanta drugog reda jednaka je umnošku elemenata glavne dijagonale minus proizvod elemenata sekundarne dijagonale.

U dvodimenzionalnom prostoru, dvije prave se seku samo u jednoj tački, definisanoj koordinatama (x,y). Pošto obe prave prolaze kroz svoju tačku preseka, koordinate (x,y) moraju zadovoljiti obe jednačine koje opisuju ove prave. Uz neke dodatne vještine, možete pronaći točke presjeka parabola i drugih kvadratnih krivulja.

Koraci

Tačka preseka dve prave

Napišite jednačinu svake linije, izolujući varijablu “y” na lijevoj strani jednačine. Ostale članove jednačine treba staviti na desnu stranu jednačine. Možda će jednačina koja vam je data sadržavati varijablu f(x) ili g(x) umjesto “y”; u ovom slučaju, izolujte takvu varijablu. Da biste izolovali varijablu, izvršite odgovarajuću matematiku na obje strane jednačine.

• Ako vam jednačine linija nisu date, na osnovu informacija koje znate.
• Primjer. Date prave linije opisane jednadžbama i y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Da biste izolovali "y" u drugoj jednačini, dodajte broj 12 na obje strane jednačine:

1. Tražite tačku preseka obe prave, odnosno tačku čije koordinate (x, y) zadovoljavaju obe jednačine. Pošto je varijabla “y” na lijevoj strani svake jednačine, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednačine mogu se izjednačiti. Zapišite novu jednačinu.

   • Primjer. Jer y = x + 3 (\displaystyle y=x+3) I y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), tada možemo napisati sljedeću jednakost: .

2. Pronađite vrijednost varijable "x". Nova jednačina sadrži samo jednu varijablu, "x". Da biste pronašli "x", izolirajte tu varijablu na lijevoj strani jednačine tako što ćete izvršiti odgovarajuću matematiku na obje strane jednačine. Trebali biste dobiti jednačinu oblika x = __ (ako to ne možete učiniti, pogledajte ovaj odjeljak).

   • Primjer. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Dodati 2 x (\displaystyle 2x) na svaku stranu jednačine:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Oduzmi 3 sa svake strane jednačine:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Podijelite svaku stranu jednačine sa 3:
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. Koristite pronađenu vrijednost varijable "x" da izračunate vrijednost varijable "y". Da biste to učinili, zamijenite pronađenu vrijednost "x" u jednadžbu (bilo koju) prave linije.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) I y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Provjerite odgovor. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost "x" u drugu jednačinu linije i pronađite vrijednost "y". Ako dobijete različite y vrijednosti, provjerite da li su vaši proračuni tačni.

   • primjer: x = 3 (\displaystyle x=3) I y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dobili ste istu vrijednost za y, tako da nema grešaka u vašim proračunima.

5. Zapišite koordinate (x,y). Nakon što ste izračunali vrijednosti "x" i "y", pronašli ste koordinate tačke presjeka dvije linije. Zapišite koordinate točke presjeka u (x,y) obliku.

   • Primjer. x = 3 (\displaystyle x=3) I y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Dakle, dvije prave se sijeku u tački s koordinatama (3,6).

6. Proračuni u posebnim slučajevima. U nekim slučajevima, vrijednost varijable "x" se ne može pronaći. Ali to ne znači da ste pogriješili. Poseban slučaj se javlja kada je ispunjen jedan od sljedećih uslova:

   • Ako su dvije prave paralelne, one se ne sijeku. U ovom slučaju, varijabla “x” će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u besmislenu jednakost (na primjer, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). U tom slučaju u odgovoru zapišite da se prave ne sijeku ili da nema rješenja.
   • Ako obje jednačine opisuju jednu pravu liniju, tada će postojati beskonačan broj presječnih tačaka. U ovom slučaju, varijabla “x” će se jednostavno smanjiti, a vaša jednadžba će se pretvoriti u strogu jednakost (na primjer, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). U tom slučaju napišite u svom odgovoru da se te dvije linije poklapaju.

   Problemi s kvadratnim funkcijama

   1. Definicija kvadratne funkcije. U kvadratnoj funkciji, jedna ili više varijabli imaju drugi stepen (ali ne viši), na primjer, x 2 (\displaystyle x^(2)) ili y 2 (\displaystyle y^(2)). Grafovi kvadratnih funkcija su krive koje se možda ne sijeku ili se mogu sjeći u jednoj ili dvije točke. U ovom dijelu ćemo vam reći kako pronaći presječnu točku ili tačke kvadratnih krivulja.

   2. Prepišite svaku jednačinu tako što ćete izolirati varijablu “y” na lijevoj strani jednačine. Ostale članove jednačine treba staviti na desnu stranu jednačine.

      • Primjer. Pronađite tačku(e) preseka grafova x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1) I
      • Izolirajte varijablu "y" na lijevoj strani jednadžbe:
      • I y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • U ovom primjeru, data vam je jedna kvadratna funkcija i jedna linearna funkcija. Zapamtite da ako su vam date dvije kvadratne funkcije, proračuni su slični koracima navedenim u nastavku.

   3. Izjednačite izraze na desnoj strani svake jednačine. Pošto je varijabla “y” na lijevoj strani svake jednačine, izrazi koji se nalaze na desnoj strani svake jednačine mogu se izjednačiti.

      • Primjer. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1) I y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Prenesite sve članove rezultirajuće jednačine na njenu lijevu stranu, a na desnu upišite 0. Da biste to učinili, uradite osnovnu matematiku. Ovo će vam omogućiti da riješite rezultirajuću jednačinu.

      • Primjer. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Oduzmi "x" sa obe strane jednačine:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Oduzmi 7 sa obe strane jednačine:

   5. Riješite kvadratnu jednačinu. Pomeranjem svih članova jednačine na njenu levu stranu, dobijate kvadratnu jednačinu. Može se riješiti na tri načina: pomoću posebne formule i.

      • Primjer. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Kada jednačinu rastavite na faktore, dobijate dva binoma, koji, kada se pomnože, daju vam originalnu jednačinu. U našem primjeru, prvi pojam x 2 (\displaystyle x^(2)) može se dekomponovati na x * x. Zapišite ovo: (x)(x) = 0
      • U našem primjeru, slobodni termin -6 može se razložiti na sljedeće faktore: − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • U našem primjeru, drugi član je x (ili 1x). Dodajte svaki par faktora lažnog člana (u našem primjeru -6) dok ne dobijete 1. U našem primjeru, odgovarajući par faktora lažnog člana su brojevi -2 i 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), jer − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Popunite prazna polja pronađenim parom brojeva: .

   6. Ne zaboravite na drugu tačku preseka dva grafikona. Ako problem riješite brzo i ne baš pažljivo, možete zaboraviti na drugu tačku raskrsnice. Evo kako pronaći x koordinate dvije točke ukrštanja:

      • Primjer (faktorizacija). Ako u jednadžbi (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0) jedan od izraza u zagradama će biti jednak 0, tada će cijela jednačina biti jednaka 0. Dakle, možemo je napisati ovako: x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) I x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (to jest, pronašli ste dva korijena jednačine).
      • Primjer (koristeći formulu ili popunjavanje savršenog kvadrata). Kada koristite jednu od ovih metoda, kvadratni korijen će se pojaviti u procesu rješenja. Na primjer, jednadžba iz našeg primjera će poprimiti oblik x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)))/2). Zapamtite da ćete kada uzmete kvadratni korijen dobiti dva rješenja. u našem slučaju: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), I 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Dakle, napišite dvije jednačine i pronađite dvije vrijednosti x.

   7. Grafovi se sijeku u jednoj tački ili se uopće ne sijeku. Takve situacije nastaju ako su ispunjeni sljedeći uvjeti:

      • Ako se grafovi sijeku u jednoj tački, tada se kvadratna jednačina razlaže na identične faktore, na primjer, (x-1) (x-1) = 0, a kvadratni korijen iz 0 pojavljuje se u formuli ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). U ovom slučaju jednačina ima samo jedno rješenje.
      • Ako se grafovi uopće ne sijeku, tada se jednadžba ne čini faktorima, a kvadratni korijen negativnog broja pojavljuje se u formuli (na primjer, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). U tom slučaju napišite u svom odgovoru da nema rješenja.

1. Da biste pronašli koordinate presječne točke grafova funkcija, trebate izjednačiti obje funkcije jednu s drugom, premjestiti sve članove koji sadrže $ x $ na lijevu stranu, a ostatak na desnu stranu i pronaći korijene rezultirajuća jednačina.
2. Drugi metod je kreiranje sistema jednačina i njegovo rješavanje zamjenom jedne funkcije u drugu
3. Treći metod uključuje grafičko konstruisanje funkcija i vizuelno određivanje tačke preseka.

Slučaj dvije linearne funkcije

Razmotrimo dvije linearne funkcije $ f(x) = k_1 x+m_1 $ i $ g(x) = k_2 x + m_2 $. Ove funkcije se nazivaju direktne. Prilično ih je lako konstruirati; potrebno je uzeti bilo koje dvije vrijednosti $ x_1 $ i $ x_2 $ i pronaći $ f(x_1) $ i $ (x_2) $. Zatim ponovite isto sa funkcijom $ g(x) $. Zatim vizualno pronađite koordinate presječne točke grafova funkcija.

Trebali biste znati da linearne funkcije imaju samo jednu točku presjeka i to samo kada je $ k_1 \neq k_2 $. Inače, u slučaju $ k_1=k_2 $ funkcije su paralelne jedna s drugom, pošto je $ k $ koeficijent nagiba. Ako je $ k_1 \neq k_2 $ ali $ m_1=m_2 $, tada će tačka preseka biti $ M(0;m) $. Preporučljivo je zapamtiti ovo pravilo kako biste brzo riješili probleme.

Primjer 1

Neka su $ f(x) = 2x-5 $ i $ g(x)=x+3 $. Pronađite koordinate presječne točke grafova funkcija.

Rješenje

Kako uraditi? Pošto su predstavljene dvije linearne funkcije, prvo što gledamo je koeficijent nagiba obje funkcije $ k_1 = 2 $ i $ k_2 = 1 $. Primećujemo da je $ k_1 \neq k_2 $, tako da postoji jedna tačka preseka. Nađimo ga pomoću jednačine $ f(x)=g(x) $: $$ 2x-5 = x+3 $$ Pomičemo pojmove sa $ x $ na lijevu stranu, a ostatak na desnu: $$ 2x - x = 3+5 $$ Dobili smo $ x=8 $ apscisu presečne tačke grafova, a sada pronađimo ordinatu. Da bismo to učinili, zamijenimo $ x = 8 $ u bilo koju od jednačina, bilo u $ f(x) $ ili u $ g(x) $: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Dakle, $ M (8;11) $ je tačka preseka grafova dve linearne funkcije. Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika!

Odgovori

$$ M (8;11) $$

Slučaj dvije nelinearne funkcije

Primjer 3

Pronađite koordinate presečne tačke grafova funkcija: $ f(x)=x^2-2x+1 $ i $ g(x)=x^2+1 $

Rješenje

Što je s dvije nelinearne funkcije? Algoritam je jednostavan: izjednačavamo jednadžbe jedne s drugima i nalazimo korijene: $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Raspoređujemo članove sa i bez $ x $ na različite strane jednačine: $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Apscisa željene tačke je pronađena, ali to nije dovoljno. Ordinata $y$ još uvijek nedostaje. Zamjenjujemo $ x = 0 $ u bilo koju od dvije jednačine uvjeta problema. Na primjer: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - presečna tačka grafova funkcija

Odgovori

$$ M (0;1) $$