Ovaj članak govori o tome kako pronaći vrijednosti matematičkih izraza. Počnimo s jednostavnim numeričkim izrazima, a zatim razmotrimo slučajeve kako se njihova složenost povećava. Na kraju predstavljamo izraz koji sadrži slovne simbole, zagrade, korijene, posebne matematičke simbole, stupnjeve, funkcije itd. Po tradiciji, pružit ćemo cijelu teoriju s obiljem i detaljnim primjerima.
Kako pronaći vrijednost numeričkog izraza?
Numerički izrazi, između ostalog, pomažu da se matematičkim jezikom opiše stanje problema. Općenito, matematički izrazi mogu biti ili vrlo jednostavni, koji se sastoje od para brojeva i aritmetičkih simbola, ili vrlo složeni, koji sadrže funkcije, potencije, korijene, zagrade itd. Kao dio zadatka, često je potrebno pronaći značenje određenog izraza. Kako to učiniti bit će riječi u nastavku.
Najjednostavniji slučajevi
To su slučajevi u kojima izraz ne sadrži ništa osim brojeva i aritmetičkih operacija. Da biste uspješno pronašli vrijednosti takvih izraza, trebat će vam znanje o redoslijedu izvođenja aritmetičkih operacija bez zagrada, kao i sposobnost izvođenja operacija s različitim brojevima.
Ako izraz sadrži samo brojeve i aritmetičke znakove " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tada se radnje izvode s lijeva na desno sljedećim redoslijedom: prvo množenje i dijeljenje, zatim sabiranje i oduzimanje. Navedimo primjere.
Primjer 1: Vrijednost numeričkog izraza
Neka trebate pronaći vrijednosti izraza 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.
Uradimo prvo množenje i dijeljenje. Dobijamo:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Sada izvodimo oduzimanje i dobijamo konačni rezultat:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Primjer 2: Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Prvo vršimo konverziju razlomaka, dijeljenje i množenje:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Sada uradimo sabiranje i oduzimanje. Hajde da grupišemo razlomke i dovedemo ih do zajedničkog nazivnika:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Tražena vrijednost je pronađena.
Izrazi sa zagradama
Ako izraz sadrži zagrade, one definiraju redoslijed operacija u tom izrazu. Prvo se izvode radnje u zagradama, a zatim sve ostale. Pokažimo to na primjeru.
Primjer 3: Vrijednost numeričkog izraza
Nađimo vrijednost izraza 0,5 · (0,76 - 0,06).
Izraz sadrži zagrade, tako da prvo izvodimo operaciju oduzimanja u zagradi, a tek onda množenje.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Značenje izraza koji sadrže zagrade unutar zagrada nalazi se po istom principu.
Primjer 4: Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Radnje ćemo izvoditi počevši od najnutarnjih zagrada, prelazeći na vanjske.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Prilikom pronalaženja značenja izraza sa zagradama, glavna stvar je pratiti redoslijed radnji.
Izrazi s korijenima
Matematički izrazi čije vrijednosti trebamo pronaći mogu sadržavati znakove korijena. Štaviše, sam izraz može biti pod znakom korijena. Šta učiniti u ovom slučaju? Prvo morate pronaći vrijednost izraza ispod korijena, a zatim izdvojiti korijen iz broja dobivenog kao rezultat. Ako je moguće, bolje je riješiti se korijena u numeričkim izrazima, zamjenjujući ih numeričkim vrijednostima.
Primjer 5: Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost izraza s korijenima - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Prvo izračunavamo radikalne izraze.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Sada možete izračunati vrijednost cijelog izraza.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Često pronalaženje značenja izraza s korijenima često zahtijeva prvo transformaciju originalnog izraza. Objasnimo ovo još jednim primjerom.
Primjer 6: Vrijednost numeričkog izraza
Koliko je 3 + 1 3 - 1 - 1
Kao što vidite, nemamo priliku zamijeniti korijen točnom vrijednošću, što komplikuje proces brojanja. Međutim, u ovom slučaju možete primijeniti skraćenu formulu množenja.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
ovako:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Izrazi sa potencijama
Ako izraz sadrži ovlasti, njihove vrijednosti moraju se izračunati prije nego što se nastavi sa svim drugim radnjama. Dešava se da su eksponent ili baza samog stepena izrazi. U ovom slučaju se prvo izračunava vrijednost ovih izraza, a zatim vrijednost stepena.
Primjer 7: Vrijednost numeričkog izraza
Nađimo vrijednost izraza 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Počnimo s računanjem po redu.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Sve što ostaje je izvršiti operaciju sabiranja i saznati značenje izraza:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Takođe je često preporučljivo pojednostaviti izraz koristeći svojstva stepena.
Primjer 8: Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost sljedećeg izraza: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Eksponenti su opet takvi da se ne mogu dobiti njihove točne numeričke vrijednosti. Pojednostavimo originalni izraz da pronađemo njegovu vrijednost.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Izrazi sa razlomcima
Ako izraz sadrži razlomke, tada se prilikom izračunavanja takvog izraza svi razlomci u njemu moraju predstaviti kao obični razlomci i njihove vrijednosti izračunati.
Ako brojnik i nazivnik razlomka sadrže izraze, tada se prvo izračunavaju vrijednosti tih izraza, a konačna vrijednost samog razlomka se zapisuje. Aritmetičke operacije se izvode standardnim redoslijedom. Pogledajmo primjer rješenja.
Primjer 9: Vrijednost numeričkog izraza
Nađimo vrijednost izraza koji sadrži razlomke: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Kao što vidite, u originalnom izrazu postoje tri razlomka. Prvo izračunajmo njihove vrijednosti.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Prepišimo naš izraz i izračunajmo njegovu vrijednost:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Često je pri pronalaženju značenja izraza zgodno smanjiti razlomke. Postoji neizgovoreno pravilo: prije nego što se pronađe njegova vrijednost, najbolje je pojednostaviti bilo koji izraz do maksimuma, svodeći sve proračune na najjednostavnije slučajeve.
Primjer 10: Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo izraz 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Ne možemo u potpunosti izdvojiti korijen od pet, ali možemo pojednostaviti originalni izraz kroz transformacije.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Originalni izraz ima oblik:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Izračunajmo vrijednost ovog izraza:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Izrazi sa logaritmima
Kada su logaritmi prisutni u izrazu, njihova vrijednost se računa od početka, ako je moguće. Na primjer, u izrazu log 2 4 + 2 · 4, možete odmah zapisati vrijednost ovog logaritma umjesto log 2 4, a zatim izvršiti sve radnje. Dobijamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Brojčani izrazi se također mogu naći ispod samog znaka logaritma iu njegovoj osnovi. U ovom slučaju, prvo što treba učiniti je pronaći njihova značenja. Uzmimo izraz log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Imamo:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Ako je nemoguće izračunati tačnu vrijednost logaritma, pojednostavljivanje izraza pomaže da se pronađe njegova vrijednost.
Primjer 11: Vrijednost numeričkog izraza
Nađimo vrijednost izraza log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Po svojstvu logaritama:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Ponovo koristeći svojstva logaritama, za zadnji razlomak u izrazu dobijamo:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Sada možete nastaviti s izračunavanjem vrijednosti originalnog izraza.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Izrazi s trigonometrijskim funkcijama
Dešava se da izraz sadrži trigonometrijske funkcije sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, kao i njihove inverzne funkcije. Vrijednost se izračunava prije izvođenja svih ostalih aritmetičkih operacija. Inače, izraz je pojednostavljen.
Primjer 12: Vrijednost numeričkog izraza
Pronađite vrijednost izraza: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Prvo izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija uključenih u izraz.
sin - 5 π 2 = - 1
Zamjenjujemo vrijednosti u izraz i izračunavamo njegovu vrijednost:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Vrijednost izraza je pronađena.
Često, da bi se pronašla vrijednost izraza s trigonometrijskim funkcijama, mora se prvo pretvoriti. Objasnimo na primjeru.
Primjer 13: Vrijednost numeričkog izraza
Trebamo pronaći vrijednost izraza cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Za konverziju ćemo koristiti trigonometrijske formule za kosinus dvostrukog ugla i kosinus zbroja.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Opšti slučaj numeričkog izraza
Općenito, trigonometrijski izraz može sadržavati sve gore opisane elemente: zagrade, potencije, korijene, logaritme, funkcije. Hajde da formulišemo opšte pravilo za pronalaženje značenja takvih izraza.
Kako pronaći vrijednost izraza
- Korijeni, potenci, logaritmi, itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima.
- Radnje u zagradama se izvode.
- Preostale radnje se izvode redom s lijeva na desno. Prvo - množenje i dijeljenje, zatim - sabiranje i oduzimanje.
Pogledajmo primjer.
Primjer 14: Vrijednost numeričkog izraza
Izračunajmo vrijednost izraza - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Izraz je prilično složen i glomazan. Nismo slučajno odabrali baš takav primjer, pokušavajući u njega uklopiti sve gore opisane slučajeve. Kako pronaći značenje takvog izraza?
Poznato je da se prilikom izračunavanja vrijednosti složenog oblika razlomka vrijednosti brojnika i nazivnika razlomka prvo pronalaze odvojeno, respektivno. Ovaj izraz ćemo sekvencijalno transformisati i pojednostaviti.
Prije svega, izračunajmo vrijednost radikalnog izraza 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Da biste to učinili, morate pronaći vrijednost sinusa i izraz koji je argument trigonometrijske funkcije.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Sada možete saznati vrijednost sinusa:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
Izračunavamo vrijednost radikalnog izraza:
2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Sa nazivnikom razlomka sve je jednostavnije:
Sada možemo napisati vrijednost cijelog razlomka:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
Uzimajući to u obzir, pišemo cijeli izraz:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Konačan rezultat:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
U ovom slučaju, uspjeli smo izračunati točne vrijednosti korijena, logaritma, sinusa itd. Ako to nije moguće, možete pokušati da ih se riješite matematičkim transformacijama.
Izračunavanje vrijednosti izraza korištenjem racionalnih metoda
Numeričke vrijednosti moraju se izračunavati dosljedno i precizno. Ovaj proces se može racionalizirati i ubrzati korištenjem različitih svojstava operacija s brojevima. Na primjer, poznato je da je proizvod jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli. Uzimajući ovo svojstvo u obzir, odmah možemo reći da je izraz 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 jednak nuli. Istovremeno, uopće nije potrebno izvršiti radnje redoslijedom opisanim u gornjem članku.
Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva. Bez izvođenja ikakvih radnji, možete odrediti da vrijednost izraza 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 također bude nula.
Druga tehnika za ubrzavanje procesa je upotreba transformacija identiteta kao što je grupisanje pojmova i faktora i stavljanje zajedničkog faktora van zagrada. Racionalan pristup izračunavanju izraza sa razlomcima je smanjenje istih izraza u brojniku i nazivniku.
Na primjer, uzmite izraz 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Bez izvođenja operacija u zagradama, već smanjenjem razlomka, možemo reći da je vrijednost izraza 1 3 .
Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama
Vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene zadane vrijednosti slova i varijabli.
Pronalaženje vrijednosti izraza s varijablama
Da biste pronašli vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama, trebate zamijeniti date vrijednosti slova i varijabli u originalni izraz, a zatim izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza.
Primjer 15: Vrijednost izraza s varijablama
Izračunajte vrijednost izraza 0, 5 x - y s obzirom na x = 2, 4 i y = 5.
Zamjenjujemo vrijednosti varijabli u izraz i izračunavamo:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Ponekad možete transformirati izraz tako da dobijete njegovu vrijednost bez obzira na vrijednosti slova i varijabli uključenih u njega. Da biste to učinili, morate se riješiti slova i varijabli u izrazu, ako je moguće, koristeći identične transformacije, svojstva aritmetičkih operacija i sve moguće druge metode.
Na primjer, izraz x + 3 - x očigledno ima vrijednost 3, a za izračunavanje ove vrijednosti nije potrebno znati vrijednost varijable x. Vrijednost ovog izraza jednaka je tri za sve vrijednosti varijable x iz njenog raspona dozvoljenih vrijednosti.
Još jedan primjer. Vrijednost izraza x x jednaka je jedinici za sve pozitivne x.
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
Dakle, ako se numerički izraz sastoji od brojeva i znakova +, −, · i:, onda redom s lijeva na desno prvo morate izvršiti množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje, što će vam omogućiti da pronađete željenu vrijednost izraza.
Dajemo nekoliko primjera za pojašnjenje.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza 14−2·15:6−3.
Rješenje.
Da biste pronašli vrijednost izraza, morate izvršiti sve radnje navedene u njemu u skladu s prihvaćenim redoslijedom izvođenja ovih radnji. Prvo, redom s lijeva na desno, izvodimo množenje i dijeljenje, dobijamo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Sada izvodimo i preostale radnje redom s lijeva na desno: 14−5−3=9−3=6. Ovako smo pronašli vrijednost originalnog izraza, jednaka je 6.
odgovor:
14−2·15:6−3=6.
Primjer.
Pronađite značenje izraza.
Rješenje.
U ovom primjeru prvo trebamo izvršiti množenje 2·(−7) i dijeljenje s množenjem u izrazu . Sjećajući se kako , nalazimo 2·(−7)=−14. I da prvo izvršite radnje u izrazu 
, onda 
, i izvršite: 
.
Dobijene vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz: .
Ali šta ako postoji numerički izraz ispod predznaka korijena? Da biste dobili vrijednost takvog korijena, prvo morate pronaći vrijednost radikalnog izraza, pridržavajući se prihvaćenog redoslijeda izvođenja radnji. Na primjer, .
U numeričkim izrazima korijene treba shvatiti kao neke brojeve, te je preporučljivo odmah zamijeniti korijene njihovim vrijednostima, a zatim pronaći vrijednost rezultirajućeg izraza bez korijena, izvodeći radnje u prihvaćenom nizu.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s korijenima.
Rješenje.
Prvo pronađimo vrijednost korijena 
. Da bismo to učinili, prvo izračunamo vrijednost radikalnog izraza, koju imamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. I drugo, nalazimo vrijednost korijena.
Sada izračunajmo vrijednost drugog korijena iz originalnog izraza: .
Konačno, značenje originalnog izraza možemo pronaći zamjenom korijena njihovim vrijednostima: .
odgovor:
Vrlo često, da bi se pronašlo značenje izraza s korijenima, prvo ga je potrebno transformirati. Pokažimo rješenje primjera.
Primjer.
Šta je značenje izraza 
.
Rješenje.
Nismo u mogućnosti zamijeniti korijen od tri njegovom tačnom vrijednošću, što nam ne dozvoljava da izračunamo vrijednost ovog izraza na gore opisan način. Međutim, možemo izračunati vrijednost ovog izraza izvođenjem jednostavnih transformacija. Primjenjivo formula kvadratne razlike: . Uzimajući u obzir, dobijamo 
. Dakle, vrijednost originalnog izraza je 1.
odgovor:
.
Sa diplomama
Ako su baza i eksponent brojevi, onda se njihova vrijednost izračunava određivanjem stepena, na primjer, 3 2 =3·3=9 ili 8 −1 =1/8. Postoje i unosi gdje su baza i/ili eksponent neki izrazi. U tim slučajevima potrebno je pronaći vrijednost izraza u bazi, vrijednost izraza u eksponentu, a zatim izračunati vrijednost samog stepena.
Primjer.
Nađi vrijednost izraza sa stepenom forme 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
Rješenje.
U originalnom izrazu postoje dva stepena 2 3·4−10 i (1−1/2) 3,5−2·1/4. Njihove vrijednosti moraju se izračunati prije izvođenja drugih radnji.
Počnimo sa stepenom 2 3·4−10. Njegov indikator sadrži numerički izraz, izračunajmo njegovu vrijednost: 3·4−10=12−10=2. Sada možete pronaći vrijednost samog stepena: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Osnova i eksponent (1−1/2) 3,5−2 1/4 sadrže izraze, izračunavamo njihove vrijednosti da bismo zatim pronašli vrijednost eksponenta. Imamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Sada se vraćamo na originalni izraz, zamjenjujemo stupnjeve u njemu njihovim vrijednostima i pronalazimo vrijednost izraza koji nam je potreban: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
odgovor:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.
Vrijedi napomenuti da su češći slučajevi kada je preporučljivo provesti preliminarni pregled pojednostavljenje izraza sa ovlastima na bazi.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Sudeći po eksponentima u ovom izrazu, neće biti moguće dobiti tačne vrijednosti eksponenata. Pokušajmo pojednostaviti izvorni izraz, možda će to pomoći da pronađemo njegovo značenje. Imamo 
odgovor:
.
Potencije u izrazima često idu ruku pod ruku s logaritmima, ali ćemo govoriti o pronalaženju značenja izraza sa logaritmima u jednom od.
Pronalaženje vrijednosti izraza s razlomcima
Numerički izrazi mogu sadržavati razlomke u svojim zapisima. Kada trebate pronaći značenje ovakvog izraza, razlomke osim razlomaka treba zamijeniti njihovim vrijednostima prije nego što nastavite s ostatkom koraka.
Brojilac i nazivnik razlomaka (koji se razlikuju od običnih razlomaka) mogu sadržavati i neke brojeve i izraze. Da biste izračunali vrijednost takvog razlomka, potrebno je izračunati vrijednost izraza u brojniku, izračunati vrijednost izraza u nazivniku, a zatim izračunati vrijednost samog razlomka. Ovaj redoslijed se objašnjava činjenicom da razlomak a/b, gdje su a i b neki izrazi, u suštini predstavlja količnik oblika (a):(b), budući da .
Pogledajmo primjer rješenja.
Primjer.
Pronađite značenje izraza s razlomcima 
.
Rješenje.
U originalnom numeričkom izrazu postoje tri razlomka 
i . Da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, prvo trebamo zamijeniti ove razlomke njihovim vrijednostima. Hajde da to uradimo.
Brojilac i nazivnik razlomka sadrže brojeve. Da biste pronašli vrijednost takvog razlomka, zamijenite traku razlomaka znakom dijeljenja i izvršite ovu radnju: 
.
U brojiocu razlomka nalazi se izraz 7−2·3, njegovu vrijednost je lako pronaći: 7−2·3=7−6=1. Dakle, . Možete nastaviti s pronalaženjem vrijednosti trećeg razlomka.
Treći razlomak u brojniku i nazivniku sadrži numeričke izraze, stoga prvo morate izračunati njihove vrijednosti, a to će vam omogućiti da pronađete vrijednost samog razlomka. Imamo 
.
Ostaje zamijeniti pronađene vrijednosti u originalni izraz i izvršiti preostale radnje: .
odgovor:
.
Često, kada pronađete vrijednosti izraza s razlomcima, morate izvršiti pojednostavljivanje frakcijskih izraza, baziran na izvođenju operacija s razlomcima i redukcijskim razlomcima.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Korijen od pet se ne može u potpunosti izdvojiti, pa da bismo pronašli vrijednost originalnog izraza, najprije ga pojednostavimo. Za ovo oslobodimo se iracionalnosti u nazivniku prvi razlomak: 
. Nakon toga, originalni izraz će poprimiti oblik 
. Nakon oduzimanja razlomaka, korijeni će nestati, što će nam omogućiti da pronađemo vrijednost početno zadanog izraza: .
odgovor:
.
Sa logaritmima
Ako numerički izraz sadrži , i ako ih je moguće riješiti, onda se to radi prije izvođenja drugih radnji. Na primjer, kada se pronađe vrijednost izraza log 2 4+2·3, logaritam log 2 4 zamjenjuje se njegovom vrijednošću 2, nakon čega se preostale radnje izvode uobičajenim redoslijedom, odnosno log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.
Kada se pod znakom logaritma i/ili u njegovoj osnovi nalaze numerički izrazi, prvo se pronalaze njihove vrijednosti, nakon čega se izračunava vrijednost logaritma. Na primjer, razmotrite izraz s logaritmom oblika 
. U osnovi logaritma i pod njegovim predznakom nalaze se numerički izrazi: . Sada nalazimo logaritam, nakon čega završavamo proračune: .
Ako logaritmi nisu precizno izračunati, onda se vrši preliminarno pojednostavljenje pomoću . Istovremeno, morate dobro vladati materijalom u članku. pretvaranje logaritamskih izraza.
Primjer.
Pronađite vrijednost izraza s logaritmima 
.
Rješenje.
Počnimo s izračunavanjem log 2 (log 2 256) . Pošto je 256=2 8, onda je log 2 256=8, dakle, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Logaritmi log 6 2 i log 6 3 mogu se grupisati. Zbir logaritama log 6 2+log 6 3 jednak je logaritmu proizvoda log 6 (2 3), dakle, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Pogledajmo sada razlomak. Za početak ćemo prepisati bazu logaritma u nazivniku u obliku običnog razlomka kao 1/5, nakon čega ćemo koristiti svojstva logaritma, što će nam omogućiti da dobijemo vrijednost razlomka: 
.
Sve što preostaje je zamijeniti dobivene rezultate u originalni izraz i završiti pronalaženje njegove vrijednosti: 
odgovor:
Kako pronaći vrijednost trigonometrijskog izraza?
Kada numerički izraz sadrži ili, itd., njihove vrijednosti se izračunavaju prije izvođenja drugih radnji. Ako postoje numerički izrazi pod znakom trigonometrijskih funkcija, tada se prvo izračunavaju njihove vrijednosti, nakon čega se pronalaze vrijednosti trigonometrijskih funkcija.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Ako se okrenemo članku, dobijamo 
i cosπ=−1 . Ove vrijednosti zamjenjujemo u originalni izraz, on poprima oblik 
. Da biste pronašli njegovu vrijednost, prvo morate izvesti eksponencijaciju, a zatim završiti proračune: .
odgovor:
.
Vrijedi napomenuti da izračunavanje vrijednosti izraza sa sinusima, kosinusima itd. često zahteva prethodno pretvaranje trigonometrijskog izraza.
Primjer.
Kolika je vrijednost trigonometrijskog izraza 
.
Rješenje.
Transformirajmo originalni izraz koristeći , u ovom slučaju će nam trebati formula kosinusa dvostrukog kuta i formula kosinusa sume: 
Transformacije koje smo napravili pomogle su nam da pronađemo značenje izraza.
odgovor:
.
Opšti slučaj
Općenito, numerički izraz može sadržavati korijene, potencije, razlomke, neke funkcije i zagrade. Pronalaženje vrijednosti takvih izraza sastoji se od izvođenja sljedećih radnji:
- prvi korijeni, potenci, razlomci itd. zamjenjuju se njihovim vrijednostima,
- dalje radnje u zagradama,
- a redom s lijeva na desno izvode se preostale operacije - množenje i dijeljenje, a zatim sabiranje i oduzimanje.
Navedene radnje se izvode dok se ne dobije konačni rezultat.
Primjer.
Pronađite značenje izraza 
.
Rješenje.
Forma ovog izraza je prilično složena. U ovom izrazu vidimo razlomke, korijene, stepene, sinus i logaritme. Kako pronaći njegovu vrijednost?
Krećući se kroz zapis s lijeva na desno, nailazimo na djelić forme 
. Znamo da kada radimo sa složenim razlomcima moramo posebno izračunati vrijednost brojnika, posebno nazivnika i na kraju pronaći vrijednost razlomka.
U brojiocu imamo korijen forme 
. Da biste odredili njegovu vrijednost, prvo morate izračunati vrijednost radikalnog izraza 
. Ovdje postoji sinus. Njegovu vrijednost možemo pronaći tek nakon što izračunamo vrijednost izraza 
. Ovo možemo učiniti: . Onda odakle i odakle 
.
Imenilac je jednostavan: .
dakle, 
.
Nakon zamjene ovog rezultata u originalni izraz, on će poprimiti oblik . Rezultirajući izraz sadrži stepen . Da bismo pronašli njegovu vrijednost, prvo moramo pronaći vrijednost indikatora, koju imamo 
.
Dakle, .
odgovor:
.
Ako nije moguće izračunati točne vrijednosti korijena, snaga itd., Tada ih se možete pokušati riješiti pomoću nekih transformacija, a zatim se vratiti na izračunavanje vrijednosti prema navedenoj shemi.
Racionalni načini izračunavanja vrijednosti izraza
Izračunavanje vrijednosti numeričkih izraza zahtijeva dosljednost i tačnost. Da, potrebno je pridržavati se redoslijeda radnji zabilježenih u prethodnim paragrafima, ali nema potrebe to raditi slijepo i mehanički. Pod ovim mislimo da je često moguće racionalizirati proces pronalaženja značenja izraza. Na primjer, određena svojstva operacija s brojevima mogu značajno ubrzati i pojednostaviti pronalaženje vrijednosti izraza.
Na primjer, znamo ovo svojstvo množenja: ako je jedan od faktora u proizvodu jednak nuli, tada je vrijednost proizvoda jednaka nuli. Koristeći ovo svojstvo, možemo odmah reći da je vrijednost izraza 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) jednako je nuli. Ako bismo slijedili standardni redoslijed operacija, prvo bismo morali izračunati vrijednosti glomaznih izraza u zagradama, što bi oduzelo dosta vremena, a rezultat bi i dalje bio nula.
Takođe je zgodno koristiti svojstvo oduzimanja jednakih brojeva: ako od broja oduzmete jednak broj, rezultat je nula. Ovo svojstvo se može posmatrati šire: razlika između dva identična numerička izraza je nula. Na primjer, bez izračunavanja vrijednosti izraza u zagradama, možete pronaći vrijednost izraza (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), jednak je nuli, pošto je originalni izraz razlika identičnih izraza.
Transformacije identiteta mogu olakšati racionalno izračunavanje vrijednosti izraza. Na primjer, grupiranje pojmova i faktora može biti korisno stavljanje zajedničkog faktora izvan zagrada nije manje često korišteno. Dakle, vrijednost izraza 53·5+53·7−53·11+5 je vrlo lako pronaći nakon što se faktor 53 izvuče iz zagrada: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Direktno izračunavanje bi potrajalo mnogo duže.
Da zaključimo ovu stvar, obratimo pažnju na racionalan pristup izračunavanju vrijednosti izraza s razlomcima - identični faktori u brojniku i nazivniku razlomka se poništavaju. Na primjer, smanjivanje istih izraza u brojniku i nazivniku razlomka 
omogućava vam da odmah pronađete njegovu vrijednost, koja je jednaka 1/2.
Pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza i izraza s varijablama
Vrijednost doslovnog izraza i izraza s varijablama nalazi se za određene zadane vrijednosti slova i varijabli. Odnosno, govorimo o pronalaženju vrijednosti literalnog izraza za date vrijednosti slova, ili o pronalaženju vrijednosti izraza sa varijablama za odabrane vrijednosti varijabli.
Pravilo pronalaženje vrijednosti doslovnog izraza ili izraza sa varijablama za date vrijednosti slova ili odabrane vrijednosti varijabli je kako slijedi: trebate zamijeniti date vrijednosti slova ili varijabli u originalni izraz i izračunati vrijednost rezultirajućeg numeričkog izraza je željena vrijednost.
Primjer.
Izračunajte vrijednost izraza 0,5·x−y pri x=2,4 i y=5.
Rješenje.
Da biste pronašli traženu vrijednost izraza, prvo morate zamijeniti date vrijednosti varijabli u originalni izraz, a zatim izvršiti sljedeće korake: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
odgovor:
−3,8 .
Kao konačna napomena, ponekad izvođenje transformacija na literalnim i varijabilnim izrazima će dati njihove vrijednosti, bez obzira na vrijednosti slova i varijabli. Na primjer, izraz x+3−x se može pojednostaviti, nakon čega će poprimiti oblik 3. Iz ovoga možemo zaključiti da je vrijednost izraza x+3−x jednaka 3 za bilo koju vrijednost varijable x iz njenog raspona dozvoljenih vrijednosti (APV). Drugi primjer: vrijednost izraza je jednaka 1 za sve pozitivne vrijednosti x, tako da je raspon dozvoljenih vrijednosti varijable x u originalnom izrazu skup pozitivnih brojeva, au ovom rasponu jednakost drži.
Bibliografija.
- Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izdanje, izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- Matematika. 6. razred: vaspitni. za opšte obrazovanje institucije / [N. Ya Vilenkin i drugi]. - 22. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra: udžbenik za 7. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- algebra: 9. razred: obrazovni. za opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2009. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 razred. opšte obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. izd. - M.: Obrazovanje, 2004. - 384 str. - ISBN 5-09-013651-3.
U predmetu algebra 7. razreda bavili smo se transformacijama cjelobrojnih izraza, odnosno izraza sastavljenih od brojeva i varijabli pomoću operacija sabiranja, oduzimanja i množenja, kao i dijeljenja drugim brojem od nule. Dakle, izrazi su cijeli brojevi
Nasuprot tome, izrazi
pored radnji sabiranja, oduzimanja i množenja, sadrže dijeljenje u izraz s varijablama. Takvi izrazi se nazivaju frakcijskim izrazima.
Cjelobrojni i razlomci nazivaju se racionalni izrazi.
Čitav izraz ima smisla za sve vrijednosti varijabli koje su u njemu uključene, jer da biste pronašli vrijednost cijelog izraza morate izvršiti radnje koje su uvijek moguće.
Frakcijski izraz možda nema smisla za neke vrijednosti varijabli. Na primjer, izraz - nema smisla kada je a = 0. Za sve ostale vrijednosti a, ovaj izraz ima smisla. Izraz ima smisla za one vrijednosti x i y kada je x ≠ y.
Vrijednosti varijabli za koje izraz ima smisla nazivaju se važećim vrijednostima varijabli.
Izraz oblika poznat je kao razlomak.
Razlomak čiji su brojilac i imenilac polinomi naziva se racionalni razlomak.
Primjeri racionalnih razlomaka su razlomci
U racionalnom razlomku, prihvatljive vrijednosti varijabli su one za koje nazivnik razlomka ne nestaje.
Primjer 1. Pronađimo prihvatljive vrijednosti varijable u razlomku
Rješenje Da biste pronašli pri kojim vrijednostima a nazivnik razlomka postaje nula, morate riješiti jednadžbu a(a - 9) = 0. Ova jednadžba ima dva korijena: 0 i 9. Dakle, svi brojevi osim 0 i 9 su važeće vrijednosti za varijablu a.
Primjer 2. Pri kojoj vrijednosti x je vrijednost razlomka 
jednako nuli?
Rješenje Razlomak je nula ako i samo ako je a - 0 i b ≠ 0.