Metode za dobijanje procjena, primjeri. Kako procijeniti značenje izraza? Metode za dobivanje procjena, primjeri Kako naučiti procijeniti vrijednosti izraza

sažetak ostalih prezentacija

“Sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka” - Algebarski razlomci. 4a?b. Proučavanje nove teme. Ciljevi: Podsjetimo se! Kravchenko G. M. Primjeri:

„Stepeni sa celobrojnim indikatorom“ - Feoktistov Ilja Jevgenijevič Moskva. 3. Stepen sa cjelobrojnim indikatorom (5 sati) str.43. Nastava algebre za 8. razred sa naprednom matematikom. Kasno uvođenje stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom... Znati definiciju stepena sa negativnim celobrojnim eksponentom. 2.

“Vrste kvadratnih jednačina” - Nepotpune kvadratne jednačine. Pitanja... Potpune kvadratne jednadžbe. Kvadratne jednadžbe. Definicija kvadratne jednadžbe Vrste kvadratnih jednadžbi Rješavanje kvadratnih jednadžbi. Metode rješavanja kvadratnih jednačina. Grupa “Diskriminant”: Mironov A., Migunov D., Zaitsev D., Sidorov E, Ivanov N., Petrov G. Redukovana kvadratna jednačina. Ispunili: učenici 8. razreda. Metoda za odabir cijelog kvadrata. Vrste kvadratnih jednadžbi. Neka bude. Grafička metoda.

“Numeričke nejednakosti 8. razred” - A-c>0. Nejednakosti. A<0 означает, что а – отрицательное число. >= "Veće ili jednako." b>c. Napišite a>b ili a 0. B-s>0. Numeričke nejednakosti. Nije strogo. Svojstva numeričkih nejednačina. Primjeri: Ako a b, zatim a-5>b-5. A>0 znači da je a pozitivan broj;

“Rješavanje kvadratnih jednadžbi, Vietin teorem” - Jedan od korijena jednadžbe je 5. Zadatak br. 1. Općinska obrazovna ustanova "Srednja škola Kislovskaya". Rukovodilac: nastavnica matematike Barannikova E. A. Kislovka - 2008 (Prezentacija za čas algebre u 8. razredu). Naći x2 i k Rad je završio: učenik 8. razreda V. Slinko. Rješavanje kvadratnih jednadžbi pomoću Vietine

Naš "Rešebnik" sadrži odgovore na sve zadatke i vježbe iz "Didaktičkog materijala iz algebre 8. razred"; Detaljno se razmatraju metode i načini njihovog rješavanja. „Rešebnik“ je namenjen isključivo roditeljima učenika za proveru domaćih zadataka i pomoć u rešavanju problema.
Za kratko vrijeme roditelji mogu postati prilično efikasni kućni učitelji.

Opcija 1 4

na polinom (ponavljanje) 4

S-2. Faktorizacija (ponavljanje) 5

S-3. Cjelobrojni i razlomci 6

S-4. Glavno svojstvo razlomka. Smanjenje frakcija. 7

S-5; Smanjenje razlomaka (nastavak) 9

sa istim imeniocima 10

sa različitim nazivnicima 12

imenioci (nastavak) 14

S-9. Množenje razlomaka 16

S-10. Dijeljenje razlomaka 17

S-11. Sve operacije sa razlomcima 18

S-12. Funkcija 19

S-13. Racionalni i iracionalni brojevi 22

S-14. Aritmetički kvadratni korijen 23

S-15. Rješavanje jednadžbi oblika x2=a 27

S-16. Pronalaženje približnih vrijednosti

kvadratni korijen 29

S-17. Funkcija y=d/x 30

Proizvod korijena 31

Kvocijent korijena 33

S-20. Kvadratni korijen snage 34

S-21. Uklanjanje množitelja ispod korijenskog znaka Umetanje množitelja ispod korijenskog znaka 37

S-23. Jednačine i njihovi korijeni 42

Nepotpune kvadratne jednadžbe 43

S-25. Rješavanje kvadratnih jednadžbi 45

(nastavak) 47

S-27. Vietina teorema 49

S-28. Rješavanje problema korištenjem

kvadratne jednadžbe 50

množitelji Bikvadratne jednadžbe 51

S-30. Frakcionalne racionalne jednadžbe 53

S-31. Rješavanje problema korištenjem

racionalne jednačine 58

S-32. Upoređivanje brojeva (ponavljanje) 59

S-33. Svojstva numeričkih nejednačina 60

S-34. Sabiranje i množenje nejednačina 62

S-35. Dokaz nejednakosti 63

S-36. Procjena vrijednosti izraza 65

S-37. Procjena greške aproksimacije 66

S-38. Zaokruživanje brojeva 67

S-39. Relativna greška 68

S-40. Presjek i unija skupova 68

S-41. Brojčani intervali 69

S-42. Rješavanje nejednačina 74

S-43. Rješavanje nejednačina (nastavak) 76

S-44. Rješavanje sistema nejednačina 78

S-45. Rješavanje nejednačina 81

varijabla pod znakom modula 83

S-47. Stepen sa eksponentom cijelog broja 87

stepeni sa celobrojnim eksponentom 88

S-49. Standardni pogled na broj 91

S-50. Snimanje približnih vrijednosti 92

S-51. Elementi statistike 93

(ponavljanje) 95

S-53. Definicija kvadratne funkcije 99

S-54. Funkcija y=ax2 100

S-55. Grafikon funkcije y=ax2+bx+c 101

S-56. Rješavanje kvadratnih nejednačina 102

S-57. Intervalna metoda 105

Opcija 2 108

S-1. Pretvaranje cijelog izraza

na polinom (ponavljanje) 108

S-2. Faktoring (ponavljanje) 109

S-3. Cjelobrojni i razlomci 110

S-4. Glavno svojstvo razlomka.

Smanjenje razlomaka 111

S-5. Smanjenje razlomaka (nastavak) 112

S-6. Sabiranje i oduzimanje razlomaka

sa istim imeniocima 114

S-7. Sabiranje i oduzimanje razlomaka

Različiti imenioci 116

S-8. Sabiranje i oduzimanje razlomaka s različitim

imenioci (nastavak) 117

S-9. Množenje razlomaka, 118

S-10. Dijeljenje razlomaka 119

S-11. Sve operacije sa razlomcima 120

S-12. Funkcija 121

S-13. Racionalni i iracionalni brojevi 123

S-14. Aritmetički kvadratni korijen 124

S-15. Rješavanje jednadžbi oblika x2-a 127

S-16. Pronalaženje približnih vrijednosti kvadratnog korijena 129
S-17. Funkcija y=\/x " 130

S-18. Kvadratni korijen proizvoda.

Proizvod korijena 131

S-19. Kvadratni korijen iz razlomka.

Kvocijent korijena 133

S-20. Kvadratni korijen stepena 134

S-21. Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena

Unos množitelja ispod predznaka korijena 137

S-22. Pretvaranje izraza

S-23. Jednačine i njihovi korijeni 141

S-24. Definicija kvadratne jednadžbe.

Nepotpune kvadratne jednadžbe 142

S-25. Rješavanje kvadratnih jednadžbi 144

S-26. Rješavanje kvadratnih jednadžbi

(nastavak) 146

S-27. Vietina teorema 148

S-28. Rješavanje problema korištenjem

kvadratne jednadžbe 149

S-29. Dekompozicija kvadratnog trinoma na

množitelji Bikvadratne jednadžbe 150

S-30. Razlomačke racionalne jednadžbe 152

S-31. Rješavanje problema korištenjem

racionalne jednačine 157

S-32. Upoređivanje brojeva (ponavljanje) 158

S-33. Svojstva numeričkih nejednačina 160

S-34. Sabiranje i množenje nejednačina 161

S-35. Dokaz nejednakosti 162

S-36. Procjena vrijednosti izraza 163

S-37. Procjena greške aproksimacije 165

S-38. Zaokruživanje brojeva 165

S-39. Relativna greška 166

S-40. Presjek i unija skupova 166

S-41. Brojčani intervali 167
S-42. Rješavanje nejednačina 172

S-43. Rješavanje nejednačina (nastavak) 174

S-44. Rješavanje sistema nejednačina 176

S-45. Rješavanje nejednačina 179

S-46. Jednačine i nejednačine koje sadrže

varijabla pod znakom modula 181

S-47. Stepen sa cijelim indeksom 185

S-48. Pretvaranje izraza koji sadrže

stepeni sa celobrojnim eksponentom 187

S-49. Standardni oblik broja 189

S-50. Snimanje približnih vrijednosti 190

S-51. Elementi statistike 192

S-52. Koncept funkcije. Grafikon funkcije

(ponavljanje) 193

S-53. Definicija kvadratne funkcije 197

S-54. Funkcija y=ax2 199

S-55. Grafikon funkcije y=ax24-bx+c 200

S-56. Rješavanje kvadratnih nejednačina 201

S-57. Intervalna metoda 203

Testovi 206

Opcija 1 206

K-10 (završno) 232

Opcija 2 236

K-2A 238
K-ZA 242

K-9A (ukupno) 257

Završni osvrt po temi 263

Jesenje Olimpijske igre 274

Proljetne olimpijske igre 275

M.: 2014 - 288 str. M.: 2012 - 256 str.

“Rešebnik” sadrži odgovore na sve zadatke i vježbe iz “Didaktičkog materijala iz algebre 8. razred”; Detaljno se razmatraju metode i načini njihovog rješavanja. „Rešebnik“ je namenjen isključivo roditeljima učenika radi provere domaćih zadataka i pomoći u rešavanju problema. Za kratko vrijeme roditelji mogu postati prilično efikasni kućni učitelji.

Format: pdf (201 4 , 28 8s., Erin V.K.)

veličina: 3,5 MB

Pogledajte, preuzmite: drive.google

Format: pdf (2012 , 256 str., Morozov A.V.)

veličina: 2.1 MB

Pogledajte, preuzmite: linkovi su uklonjeni (vidi napomenu!!)

Format: pdf(2005 , 224 str., Fedoskina N.S.)

veličina: 1.7 MB

Pogledajte, preuzmite: drive.google

Sadržaj
Samostalni rad 4
Opcija 1 4

na polinom (ponavljanje) 4
S-2. Faktorizacija (ponavljanje) 5
S-3. Cjelobrojni i razlomci 6
S-4. Glavno svojstvo razlomka. Smanjenje razlomaka 7
S-5. Smanjenje razlomaka (nastavak) 9

sa istim imeniocima 10

sa različitim nazivnicima 12

imenioci (nastavak) 14
S-9. Množenje razlomaka 16
S-10. Dijeljenje razlomaka 17
S-11. Sve operacije sa razlomcima 18
S-12. Funkcija 19
S-13. Racionalni i iracionalni brojevi 22
S-14. Aritmetički kvadratni korijen 23
S-15. Rješavanje jednadžbi oblika x2=a 27

kvadratni korijen 29
S-17. Funkcija y=\/x 30

Proizvod korijena 31

Kvocijent korijena 33
S-20. Kvadratni korijen snage 34

Unos množitelja ispod predznaka korijena 37

koji sadrži kvadratne korijene 39
S-23. Jednačine i njihovi korijeni 42

Nepotpune kvadratne jednadžbe 43
S-25. Rješavanje kvadratnih jednadžbi 45

(nastavak) 47
S-27. Vietina teorema 49

kvadratne jednadžbe 50

množitelji Bikvadratne jednadžbe 51
S-30. Frakcionalne racionalne jednadžbe 53

racionalne jednačine 58
S-32. Upoređivanje brojeva (ponavljanje) 59
S-33. Svojstva numeričkih nejednačina 60
S-34. Sabiranje i množenje nejednačina 62
S-35. Dokaz nejednakosti 63
S-36. Procjena vrijednosti izraza 65
S-37. Procjena greške aproksimacije 66
S-38. Zaokruživanje brojeva 67
S-39. Relativna greška 68
S-40. Presjek i unija skupova 68
S-41. Brojčani intervali 69
S-42. Rješavanje nejednačina 74
S-43. Rješavanje nejednačina (nastavak) 76
S-44. Rješavanje sistema nejednačina 78
S-45. Rješavanje nejednačina 81

varijabla pod znakom modula 83
S-47. Stepen sa eksponentom cijelog broja 87

stepeni sa celobrojnim eksponentom 88
S-49. Standardni pogled na broj 91
S-50. Snimanje približnih vrijednosti 92
S-51. Elementi statistike 93

(ponavljanje) 95
S-53. Definicija kvadratne funkcije 99
S-54. Funkcija y=ax2 100
S-55. Grafikon funkcije y=ax2+bx+c 101
S-56. Rješavanje kvadratnih nejednačina 102
S-57. Intervalna metoda 105
Opcija 2 108
S-1. Pretvaranje cijelog izraza
na polinom (ponavljanje) 108
S-2. Faktoring (ponavljanje) 109
S-3. Cjelobrojni i razlomci softverskih izraza
S-4. Glavno svojstvo razlomka.
Smanjenje razlomaka 111
S-5. Smanjenje razlomaka (nastavak) 112
S-6. Sabiranje i oduzimanje razlomaka
sa istim imeniocima 114
S-7. Sabiranje i oduzimanje razlomaka
sa različitim nazivnicima 116
S-8. Sabiranje i oduzimanje razlomaka s različitim
imenioci (nastavak) 117
S-9. Množenje razlomaka 118
S-10. Dijeljenje razlomaka 119
S-11. Sve operacije sa razlomcima 120
S-12. Funkcija 121
S-13. Racionalni i iracionalni brojevi 123
S-14. Aritmetički kvadratni korijen 124
S-15. Rješavanje jednadžbi oblika x2=a 127
S-16. Pronalaženje približnih vrijednosti
kvadratni korijen 129
S-17. Funkcija y=Vx 130
S-18. Kvadratni korijen proizvoda.
Proizvod korijena 131
S-19. Kvadratni korijen iz razlomka.
Kvocijent korijena 133
S-20. Kvadratni korijen stepena 134
S-21. Uklanjanje množitelja ispod znaka korijena
Unos množitelja ispod predznaka korijena 137
S-22. Pretvaranje izraza
koji sadrži kvadratne korijene 138
S-23. Jednačine i njihovi korijeni 141
S-24. Definicija kvadratne jednadžbe.
Nepotpune kvadratne jednadžbe 142
S-25. Rješavanje kvadratnih jednadžbi 144
S-26. Rješavanje kvadratnih jednadžbi
(nastavak) 146
S-27. Vietina teorema 148
S-28. Rješavanje problema korištenjem
kvadratne jednadžbe 149
S-29. Dekompozicija kvadratnog trinoma na
množitelji Bikvadratne jednadžbe 150
S-30. Razlomačke racionalne jednadžbe 152
S-31. Rješavanje problema korištenjem
racionalne jednačine 157
S-32. Upoređivanje brojeva (ponavljanje) 158
S-33. Svojstva numeričkih nejednačina 160
S-34. Sabiranje i množenje nejednačina 161
S-35. Dokaz nejednakosti 162
S-36. Procjena vrijednosti izraza 163
S-37. Procjena greške aproksimacije 165
S-38. Zaokruživanje brojeva 165
S-39. Relativna greška 166
S-40. Presjek i unija skupova 166
S-41. Brojčani intervali 167
S-42. Rješavanje nejednačina 172
S-43. Rješavanje nejednačina (nastavak) 174
S-44. Rješavanje sistema nejednačina 176
S-45. Rješavanje nejednačina 179
S-46. Jednačine i nejednačine koje sadrže
varijabla pod znakom modula 181
S-47. Stepen sa cijelim indeksom 185
S-48. Pretvaranje izraza koji sadrže
stepeni sa celobrojnim eksponentom 187
S-49. Standardni oblik broja 189
S-50. Snimanje približnih vrijednosti 190
S-51. Elementi statistike 192
S-52. Koncept funkcije. Grafikon funkcije
(ponavljanje) 193
S-53. Definicija kvadratne funkcije 197
S-54. Funkcija y=ax2 199
S-55. Grafikon funkcije y=ax2+txr+c 200
S-56. Rješavanje kvadratnih nejednačina 201
S-57. Intervalna metoda 203
Testovi 206
Opcija 1 206
K-1 206
K-2 208
K-3 212
K-4 215
K-5 218
K-6 221
K-7 223
K-8 226
K-9 229
K-10 (završno) 232
Opcija 2 236
K-1A 236
K-2A 238
K-ZA 242
K-4A 243
K-5A 246
K-6A 249
K-7A 252
K-8A 255
K-9A (ukupno) 257
Završni osvrt po temi 263
Jesenje Olimpijske igre 274
Proljetne olimpijske igre 275

U ovom članku ćemo ispitati, prvo, što se podrazumijeva pod evaluacijom vrijednosti izraza ili funkcije, i, drugo, kako se procjenjuju vrijednosti izraza i funkcija. Prvo uvodimo potrebne definicije i koncepte. Nakon toga ćemo detaljno opisati glavne metode za dobivanje procjena. Usput ćemo dati rješenja tipičnih primjera.

Šta znači procijeniti značenje izraza?

U školskim udžbenicima nismo uspjeli pronaći eksplicitan odgovor na pitanje šta se podrazumijeva pod vrednovanjem značenja izraza. Pokušajmo to sami shvatiti, počevši od onih dijelova informacija o ovoj temi koje se još uvijek nalaze u udžbenicima i zbirkama zadataka za pripremu za Jedinstveni državni ispit i upis na univerzitete.

Hajde da vidimo šta sve možemo pronaći o temi koja nas zanima u knjigama. Evo nekoliko citata:

Prva dva primjera uključuju evaluacije brojeva i numeričkih izraza. Tu imamo posla sa evaluacijom jedne jedine vrednosti izraza. Preostali primjeri uključuju evaluacije koje se odnose na izraze s varijablama. Svaka vrijednost varijable iz ODZ-a za izraz ili iz nekog skupa X koji nas zanima (koji je, naravno, podskup raspona dozvoljenih vrijednosti) odgovara vlastitoj vrijednosti izraza. Odnosno, ako se ODZ (ili skup X) ne sastoji od jednog broja, tada izraz sa varijablom odgovara skupu vrijednosti izraza. U ovom slučaju moramo govoriti o evaluaciji ne samo jedne vrijednosti, već o evaluaciji svih vrijednosti izraza na ODZ-u (ili skupu X). Takva procjena se odvija za bilo koju vrijednost izraza koja odgovara nekoj vrijednosti varijable iz ODZ-a (ili skupa X).

Tokom naše diskusije, napravili smo malu pauzu od traženja odgovora na pitanje šta znači procijeniti značenje izraza. Gore navedeni primjeri napreduju u ovom pitanju i omogućavaju nam da prihvatimo sljedeće dvije definicije:

Definicija

Procijenite vrijednost numeričkog izraza- to znači označavanje numeričkog skupa koji sadrži vrijednost koja se procjenjuje. U ovom slučaju, navedeni numerički skup će biti procjena vrijednosti numeričkog izraza.

Definicija

Procijenite vrijednosti izraza pomoću varijable na ODZ-u (ili na skupu X) - to znači označavanje numeričkog skupa koji sadrži sve vrijednosti koje izraz na ODZ-u (ili na skupu X) zauzima. U ovom slučaju, navedeni skup će biti procjena vrijednosti izraza.

Lako je vidjeti da se za jedan izraz može specificirati više od jedne procjene. Na primjer, numerički izraz se može ocijeniti kao , ili , ili , ili , itd. Isto važi i za izraze sa varijablama. Na primjer, izraz na ODZ se može procijeniti kao , ili , ili , itd. S tim u vezi, valja pisanim definicijama dodati i pojašnjenje u vezi sa naznačenim numeričkim skupom, a to je procjena: procjena ne bi trebala biti bilo kakva, trebala bi odgovarati svrhama za koje je pronađena. Na primjer, za rješavanje jednačine odgovarajuća procjena . Ali ova procjena više nije prikladna za rješavanje jednadžbe , evo značenja izraza morate to drugačije procijeniti, na primjer ovako: .

Vrijedi posebno napomenuti da jedna od procjena vrijednosti izraza f(x) je raspon vrijednosti odgovarajuće funkcije y=f(x).

Da zaključimo ovo, obratimo pažnju na obrazac za evidentiranje ocjena. Obično se procjene pišu korištenjem nejednakosti. Ovo ste vjerovatno već primijetili.

Procjena vrijednosti izraza i evaluacija vrijednosti funkcije

Po analogiji s procjenom vrijednosti izraza, možemo govoriti o procjeni vrijednosti funkcije. Ovo izgleda sasvim prirodno, pogotovo ako imamo na umu funkcije definirane formulama, jer su procjenjivanje vrijednosti izraza f(x) i procjenjivanje vrijednosti funkcije y=f(x) u suštini ista stvar, što je očigledno. Štoviše, često je zgodno opisati proces dobivanja procjena u smislu procjene vrijednosti funkcije. Konkretno, u određenim slučajevima, dobivanje procjene izraza provodi se pronalaženjem najveće i najmanje vrijednosti odgovarajuće funkcije.

O tačnosti procjena

U prvom pasusu ovog članka rekli smo da izraz može imati višestruke ocjene svog značenja. Jesu li neki od njih bolji od drugih? Zavisi od problema koji se rješava. Objasnimo na primjeru.

Na primjer, koristeći metode za procjenu vrijednosti izraza, koje su opisane u sljedećim paragrafima, možete dobiti dvije procjene vrijednosti izraza : prvi je , drugi je . Napor potreban za dobijanje ovih procjena značajno varira. Prvi od njih je praktično očigledan, a dobivanje druge procjene uključuje pronalaženje najmanje vrijednosti radikalnog izraza i dalje korištenje svojstva monotonosti funkcije kvadratnog korijena. U nekim slučajevima, bilo koja od procjena može riješiti problem. Na primjer, bilo koja od naših procjena omogućava nam da riješimo jednačinu . Jasno je da bismo se u ovom slučaju ograničili na pronalaženje prve očigledne procjene i, naravno, ne bismo se trudili pronaći drugu procjenu. Ali u drugim slučajevima može se pokazati da jedna od procjena nije prikladna za rješavanje problema. Na primjer, naša prva procjena ne dozvoljava rješavanje jednačine , i procjena vam to omogućava. Odnosno, u ovom slučaju nam prva očigledna procjena ne bi bila dovoljna, već bismo morali pronaći drugu procjenu.

Ovo nas dovodi do pitanja tačnosti procjena. Moguće je detaljno definisati šta se podrazumeva pod tačnošću procene. Ali za naše potrebe nema posebne potrebe za to; Hajde da se dogovorimo da tačnost procene doživljavamo kao neki analog tačnost aproksimacije. Odnosno, razmotrimo onu koja je „bliža“ rasponu vrijednosti funkcije y=f(x) tačnijom od dvije procjene vrijednosti nekog izraza f(x). U tom smislu, procjena je najtačnija od svih mogućih procjena vrijednosti izraza , budući da se poklapa s rasponom vrijednosti odgovarajuće funkcije . Jasno je da je procjena tačnije procjene . Drugim riječima, rezultat grublje procjene .

Ima li smisla uvijek tražiti najtačnije procjene? br. A poenta je ovdje da su relativno grube procjene često dovoljne za rješavanje problema. A glavna prednost takvih procjena u odnosu na tačne procjene je da ih je često mnogo lakše dobiti.

Osnovne metode za dobijanje procjena

Procjene vrijednosti osnovnih elementarnih funkcija

Procjena vrijednosti funkcije y=|x|

Pored osnovnih elementarnih funkcija, dobro proučen i koristan u smislu dobijanja procjena je funkcija y=|x|. Znamo raspon vrijednosti ove funkcije: ; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Algebra i početak matematičke analize. 10. razred: udžbenik. za opšte obrazovanje institucije: osnovne i profilne. nivoa / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkačeva, N. E. Fedorova, M. I. Šabunjin]; uređeno od A. B. Zhizhchenko. - 3. izd. - M.: Prosveta, 2010.- 368 str.: ilustr.-ISBN 978-5-09-022771-1.

Matematika. Povećani nivo Jedinstvenog državnog ispita-2012 (C1, C3). Tematski testovi. Jednačine, nejednakosti, sistemi / priredili F. F. Lysenko, S. Yu. - Rostov-na-Donu: Legion-M, 2011. - 112 str. - (Priprema za Jedinstveni državni ispit) ISBN 978-5-91724-094-7

Kolekcija problemi iz matematike za studente (sa rješenjima). U 2 knjige. Book 1. Algebra: Udžbenik. priručnik / V.K. Egerev, V.V. Zaitsev, B.A. uređeno od M. I. Scanavi. - 8. izdanje, rev. - M.: Više. škola, 1998. - 528 str.: ilustr. ISBN 5-06-003524-7

ALGEBRA
Nastava za 9. razred

LEKCIJA #5

Predmet. Poslovno sabiranje i množenje nejednačina. Korištenje svojstava numeričkih nejednakosti za procjenu vrijednosti izraza

Svrha časa: osigurati da učenici ovladaju sadržajem pojmova „sabiranje nejednačina pojam po član“ i „množenje nejednačina pojam po član“, kao i sadržaj svojstava brojevnih nejednačina izraženih teoremama o pojmu- zbrajanje po članu i množenje brojčanih nejednakosti po članu i posljedice iz njih. Razviti sposobnost reproduciranja imenovanih svojstava numeričkih nejednačina i korištenje tih svojstava za procjenu vrijednosti izraza, kao i nastaviti raditi na razvijanju vještina dokazivanja nejednakosti, poređenja izraza koristeći definiciju i svojstva numeričkih nejednačina

Tip časa: sticanje znanja, razvoj primarnih vještina.

Vizualizacija i oprema: potpora br. 5.

Tokom nastave

I. Organizaciona faza

Nastavnik provjerava spremnost učenika za čas i priprema ih za rad.

II. Provjera domaćeg

Učenici ispunjavaju testne zadatke nakon čega slijedi verifikacija.

III. Formulisanje svrhe i ciljeva časa.
Motivacija za učeničke aktivnosti

Za svjesno sudjelovanje učenika u formuliranju svrhe lekcije, možete im ponuditi praktične probleme geometrijskog sadržaja (na primjer, procjenu perimetra i površine pravokutnika, čije se dužine susjednih stranica procjenjuju u obliku dvostruke nejednakosti). U toku razgovora nastavnik treba da usmjeri misli učenika na činjenicu da iako su problemi slični onima koji su riješeni na prethodnom času (vidjeti lekciju br. 4, procijeniti značenje izraza), ipak, za razliku od navedenih, ne mogu se riješiti istim sredstvima, jer je potrebno procijeniti značenja izraza koji sadrže dva (a u budućnosti i više) slova. Na taj način učenici uviđaju da postoji kontradikcija između znanja koje su do sada stekli i potrebe za rješavanjem određenog problema.

Rezultat obavljenog rada je formulacija svrhe lekcije: proučavanje pitanja takvih svojstava nejednakosti koja se mogu primijeniti u slučajevima sličnim onima opisanim u predloženom zadatku za učenike; za koje je potrebno jasno formulisati matematičkim jezikom i rečima, a zatim objasniti odgovarajuća svojstva numeričkih nejednačina i naučiti ih koristiti u kombinaciji sa prethodno proučavanim svojstvima numeričkih nejednačina za rešavanje standardnih zadataka.

IV. Ažuriranje osnovnih znanja i vještina učenika

Oralne vježbe

1. Uporedite brojeve a i bif:

1) a - b = -0,2;

2) a - b = 0,002;

3) a = b - 3;

4) a - b = m 2;

5) a = b - m 2.

3. Uporedite vrijednosti izraza a + b i ab, ako je a = 3, b = 2. Obrazložite svoj odgovor. Rezultirajuća relacija će biti zadovoljena ako:

1) a = -3, b = -2;

2) a = -3, b = 2?

V. Generisanje znanja

Planirajte učenje novog gradiva

1. Svojstvo sabiranja numeričkih nejednačina (sa finim podešavanjem).

2. Svojstvo o množenju brojčanih nejednakosti po članu (sa finim podešavanjem).

3. Posljedica. Svojstvo o množenju brojčanih nejednakosti po članu (sa prilagođavanjem).

4. Primjeri primjene dokazanih svojstava.

Prateća beleška br. 5

Teorema (osobina) o sabiranju brojčanih nejednačina po članu
Ako su a b i c d, onda a + c b + d.
Finishing .
Teorema (osobina) o množenju brojčanih nejednačina po članu
Ako je 0 a b i 0 c d, onda je ac bd. Finishing . Posljedica. Ako je 0 a b, onda je bn, gdje je n prirodan broj.
Finishing
			(prema teoremi pojam po član, množenje numeričkih nejednačina).
Primjer 1. Poznato je da je 3 a 4; 2 b 3. Procijenimo vrijednost izraza: 1) a + b; 2) a - b; 3) b ; 4) .
		2) a - b = a + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3				(0) 2 b 3
Primjer 2. Dokažemo nejednakost (m + n)(mn + 1) > 4mn, ako je m > 0, n > 0.
Finishing Koristeći nejednakost (gdje je a ≥ 0, b ≥ 0) i rezultirajuća nejednakost a + b ≥ 2 (a ≥ 0, b ≥ 0), za m ≥ 0 i n ≥ 0 imamo:
m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2)
Koristeći teoremu o množenju nejednačina po članu, množimo nejednačine (1) i (2) po članu. tada imamo: (m + n )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n )(mn + 1) ≥ 4, dakle, (m + n)(mn + 1) ≥ 4mn, gdje je m ≥ 0, n ≥ 0.

Metodički komentar

Za svjesnu percepciju novog gradiva, nastavnik može, u fazi ažuriranja osnovnih znanja i vještina učenika, ponuditi rješenja usmenih vježbi uz reprodukciju, odnosno definicije poređenja brojeva i svojstava brojevnih nejednačina koje se proučavaju u prethodne lekcije (vidi gore), kao i razmatranje pitanja odgovarajućih svojstava numeričkih nejednačina.

Studenti obično dobro savladavaju sadržaj teorema o sabiranju pojam i množenju brojčanih nejednakosti, ali radno iskustvo pokazuje da su učenici skloni određenim lažnim generalizacijama. Stoga, kako bi se spriječile greške u razvijanju znanja učenika o ovoj temi demonstriranjem primjera i protuprimjera, nastavnik treba da naglasi sljedeće:

· svjesna primjena svojstava numeričkih nejednakosti je nemoguća bez sposobnosti da se ta svojstva zapišu kako matematičkim jezikom tako i u verbalnom obliku;

· teoreme o sabiranju i množenju brojčanih nejednačina po članu su zadovoljene samo za nepravilnosti istih predznaka;

· zbrajanje brojčanih nejednakosti po članu je zadovoljeno pod određenim uslovom (vidi gore) za bilo koje brojeve, a teorema množenja po član (kao što je navedeno u referentnoj napomeni br. 5) samo za pozitivne brojeve;

· ne proučavaju se teoreme o oduzimanju po član i po članu numeričkih nejednačina, pa se u slučajevima kada je potrebno procijeniti razliku ili proporciju izraza, ovi izrazi predstavljaju kao zbir ili proizvod, odnosno, a zatim se, pod određenim uslovima, koriste svojstva počlana sabiranja i množenja numeričkih nejednačina.

VI. Formiranje vještina

Oralne vježbe

1. Dodajte pojam nejednakosti:

1) a > 2, b > 3;

2) c -2, d 4.

Ili se iste nejednakosti mogu pomnožiti pojam? Obrazložite svoj odgovor.

2. Pomnožite nejednakosti po članu:

1) a > 2, b > 0,3;

2) c > 2, d > 4.

Ili se mogu dodati iste nepravilnosti? Obrazložite svoj odgovor.

3. Odredite i obrazložite da li je tačna tvrdnja da ako je 2 a 3, 1 b 2, onda:

1) 3 a + b 5;

2) 2 ab 6;

3) 2 - 1 a - b 3 - 2;

Vježbe pisanja

Da biste ostvarili didaktički cilj lekcije, potrebno je riješiti vježbe sljedećeg sadržaja:

1) ove numeričke nejednakosti sabrati i pomnožiti po članu;

2) proceniti vrednost zbira, razlike, proizvoda i količnika dva izraza na osnovu datih procena svakog od ovih brojeva;

3) proceni značenje izraza koji sadrže ova slova, prema datim ocenama svakog od ovih slova;

4) dokazati nejednakost korišćenjem teorema o sabiranju i množenju brojčanih nejednačina po članu i upotrebom klasičnih nejednačina;

5) ponoviti svojstva numeričkih nejednačina proučavana u prethodnim lekcijama.

Metodički komentar

Pisane vježbe koje se predlažu za rješavanje u ovoj fazi časa treba da doprinesu razvoju stabilnih vještina uz sabiranje i množenje nejednačina u jednostavnim slučajevima. (Istovremeno se razrađuje vrlo važna tačka: provjera korespondencije zapisa nejednačina u uslovima teoreme i ispravnog zapisivanja zbira i proizvoda lijeve i desne strane nejednačina. Pripremni rad izvodi se tokom usmenih vježbi.) Za bolju asimilaciju gradiva od učenika treba tražiti da reproduciraju proučavane teoreme prilikom komentarisanja radnji.

Nakon što su učenici uspješno odradili teoreme u jednostavnim slučajevima, mogu postepeno preći na složenije slučajeve (procjena razlike i količnika dva izraza i složenijih izraza). U ovoj fazi rada, nastavnik treba pažljivo osigurati da učenici ne prave uobičajene greške kada pokušavaju da naprave razliku i procijene proporciju koja stoji iza vlastitih lažnih pravila.

I tokom časa (naravno, ako vrijeme i nivo savladanosti gradiva učenika dozvoljavaju), pažnju treba posvetiti vježbama primjene proučavanih teorema za dokazivanje složenijih nejednakosti.

VII. Sažetak lekcije
Test zadatak

Poznato je da je 4 a 5; 6 b 8. Pronađite netačne nejednakosti i ispravite greške. Obrazložite svoj odgovor.

1) 10 a + b 13;

2) -4 a - b -1;

3) 24 ab 13;

4) ;

5) ;

7) 100 a2 + b 2 169?

VIII. Zadaća

1. Proučavanje teorema o sabiranju i množenju brojčanih nejednakosti po članu (sa preciziranjem).

2. Izvodite reproduktivne vježbe slične vježbama u učionici.

3. Za ponavljanje: vježbe za primjenu definicije poređenja brojeva (za doradu nepravilnosti i za upoređivanje izraza).