Solver Kuznetsov.
III grafikoni

Zadatak 7. Izvršiti potpunu studiju funkcije i konstruirati njen graf.

        Pre nego što počnete da preuzimate svoje opcije, pokušajte da rešite problem prema dole navedenom primeru za opciju 3. Neke od opcija su arhivirane u .rar formatu

        7.3 Provesti potpunu studiju funkcije i nacrtati je

Rješenje.

        1) Opseg definicije:         ili        , odnosno        .
.
Dakle:         .

        2) Nema tačaka preseka sa osom Ox. Zaista, jednačina         nema rješenja.
Ne postoje tačke preseka sa Oy osom, jer        .

        3) Funkcija nije ni parna ni neparna. Ne postoji simetrija oko ordinatne ose. Takođe nema simetrije oko porekla. Jer
.
Vidimo da         i        .

        4) Funkcija je kontinuirana u domeni definicije
.

; .

; .
Prema tome, tačka         je tačka diskontinuiteta druge vrste (beskonačni diskontinuitet).

5) Vertikalne asimptote:       

Nađimo kosu asimptotu        . Evo

;
.
Prema tome, imamo horizontalnu asimptotu: y=0. Nema kosih asimptota.

        6) Nađimo prvi izvod. Prva izvedenica:
.
I zato
.
Nađimo stacionarne tačke u kojima je derivacija jednaka nuli, tj
.

        7) Nađimo drugi izvod. Drugi derivat:
.
A to je lako provjeriti, jer

Već neko vrijeme, TheBat-ova ugrađena baza certifikata za SSL prestala je ispravno raditi (nije jasno iz kojeg razloga).

Prilikom provjere objave pojavljuje se greška:

Nepoznati CA certifikat
Server nije predstavio root certifikat u sesiji i odgovarajući root certifikat nije pronađen u adresaru.
Ova veza ne može biti tajna. Molim te
obratite se administratoru vašeg servera.

I nudi vam se izbor odgovora - DA/NE. I tako svaki put kada uklonite poštu.

Rješenje

U ovom slučaju, morate zamijeniti standard implementacije S/MIME i TLS sa Microsoft CryptoAPI u TheBat postavkama!

Pošto sam morao da spojim sve fajlove u jedan, prvo sam konvertovao sve doc fajlove u jedan pdf fajl (pomoću programa Acrobat), a zatim ga prebacio u fb2 preko onlajn konvertera. Također možete konvertirati datoteke pojedinačno. Formati mogu biti apsolutno bilo koji (izvorni) - doc, jpg, pa čak i zip arhiva!

Naziv sajta odgovara suštini :) Online Photoshop.

Ažuriranje maja 2015

Našao sam još jednu sjajnu stranicu! Još praktičniji i funkcionalniji za kreiranje potpuno prilagođenog kolaža! Ovo je stranica http://www.fotor.com/ru/collage/. Uživajte za svoje zdravlje. I sam ću ga koristiti.

U životu sam se susreo sa problemom popravke električne peći. Već sam dosta toga uradio, mnogo naučio, ali nekako nisam imao veze sa pločicama. Bilo je potrebno zamijeniti kontakte na regulatorima i gorionicima. Postavilo se pitanje - kako odrediti promjer plamenika na električnoj peći?

Ispostavilo se da je odgovor jednostavan. Ne morate ništa mjeriti, lako možete na oko odrediti koja vam je veličina potrebna.

Najmanji gorionik- ovo je 145 milimetara (14,5 centimetara)

Srednji gorionik- ovo je 180 milimetara (18 centimetara).

I na kraju, najviše veliki gorionik- ovo je 225 milimetara (22,5 centimetara).

Dovoljno je odrediti veličinu na oko i razumjeti koji promjer vam je potreban za plamenik. Kada ovo nisam znao, brinule su me ove dimenzije, nisam znao kako da izmjerim, kojom ivicom da se krećem itd. Sad sam mudar :) Nadam se da sam i tebi pomogao!

U životu sam se suočio sa takvim problemom. Mislim da nisam jedini.

Kako proučavati funkciju i izgraditi njen graf?

Čini se da počinjem da shvatam duhovno pronicljivo lice vođe svetskog proletarijata, autora sabranih dela u 55 tomova... Dugo putovanje počelo je sa osnovnim informacijama o funkcije i grafovi, a sada se rad na radno intenzivnoj temi završava logičnim rezultatom - člankom o potpunom proučavanju funkcije. Dugo očekivani zadatak formuliran je na sljedeći način:

Proučite funkciju koristeći metode diferencijalnog računa i izgradite njen graf na osnovu rezultata studije

Ili ukratko: ispitajte funkciju i napravite graf.

Zašto istraživati? U jednostavnim slučajevima, neće nam biti teško razumjeti elementarne funkcije i nacrtati graf dobiven korištenjem elementarne geometrijske transformacije i tako dalje. Međutim, svojstva i grafički prikazi složenijih funkcija daleko su od očiglednih, zbog čega je potrebna cijela studija.

Glavni koraci rješenja su sažeti u referentnom materijalu Shema proučavanja funkcija, ovo je vaš vodič za sekciju. Dumkama je potrebno objašnjenje teme korak po korak, neki čitaoci ne znaju odakle da počnu ili kako da organizuju svoje istraživanje, a napredne studente može zanimati samo nekoliko tačaka. Ali ko god da ste, dragi posjetitelju, predloženi sažetak sa uputama za razne lekcije brzo će vas orijentirati i voditi u smjeru interesovanja. Roboti su lili suze =) Priručnik je izložen u obliku pdf fajla i zauzeo je zasluženo mjesto na stranici Matematičke formule i tabele.

Navikao sam da raščlanim istraživanje funkcije na 5-6 tačaka:

6) Dodatne tačke i grafikon na osnovu rezultata istraživanja.

Što se tiče završne akcije, mislim da je svima sve jasno - bit će jako razočaravajuće ako se za nekoliko sekundi precrta i zadatak vrati na doradu. ISPRAVAN I TAČAN CRTEŽ je glavni rezultat rješenja! Vjerovatno će “prikriti” analitičke greške, dok će netačan i/ili nemaran raspored uzrokovati probleme čak i sa savršeno provedenom studijom.

Treba napomenuti da se u drugim izvorima broj istraživačkih točaka, redoslijed njihove implementacije i stil dizajna mogu značajno razlikovati od sheme koju sam predložio, ali je u većini slučajeva sasvim dovoljan. Najjednostavnija verzija problema sastoji se od samo 2-3 faze i formulisana je otprilike ovako: “istraži funkciju koristeći derivaciju i napravi graf” ili “istraži funkciju koristeći 1. i 2. izvode, napravi graf”.

Naravno, ako vaš priručnik detaljno opisuje neki drugi algoritam ili vaš nastavnik striktno zahtijeva da se pridržavate njegovih predavanja, tada ćete morati izvršiti neke prilagodbe rješenja. Ništa teže nego zamijeniti viljušku motorne pile kašikom.

Provjerimo funkciju parno/neparno:

Nakon toga slijedi obrazac odgovora:
, što znači da ova funkcija nije parna ili neparna.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote.

Nema ni kosih asimptota.

Bilješka : Podsjećam da je viši redosled rasta, nego , stoga je konačna granica tačno “ plus beskonačnost."

Hajde da saznamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti:

Drugim riječima, ako idemo desno, onda graf ide beskonačno daleko gore, ako idemo lijevo, ide beskonačno daleko dolje. Da, postoje i dva ograničenja pod jednim unosom. Ako imate poteškoća s dešifriranjem znakova, posjetite lekciju o infinitezimalne funkcije.

Dakle, funkcija nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo. S obzirom da nemamo graničnih tačaka, postaje jasno opseg funkcija: – također bilo koji realni broj.

KORISNA TEHNIČKA TEHNIKA

Svaka faza zadatka donosi nove informacije o grafu funkcije, stoga je tokom rješavanja zgodno koristiti neku vrstu LAYOUT-a. Nacrtajmo kartezijanski koordinatni sistem na nacrtu. Šta se već sigurno zna? Prvo, graf nema asimptote, stoga nema potrebe za crtanjem pravih linija. Drugo, znamo kako se funkcija ponaša u beskonačnosti. Prema analizi, pravimo prvu aproksimaciju:

Imajte na umu da zbog kontinuitet funkcije uključene i činjenica da graf mora prijeći os barem jednom. Ili možda postoji nekoliko tačaka ukrštanja?

3) Nule funkcije i intervali predznaka konstante.

Prvo, pronađimo tačku preseka grafa sa ordinatnom osom. To je jednostavno. Potrebno je izračunati vrijednost funkcije na:

Jedan i pol iznad nivoa mora.

Da bismo pronašli točke presjeka s osom (nule funkcije), moramo riješiti jednačinu i tu nas čeka neugodno iznenađenje:

Na kraju vreba slobodan član, što znatno otežava zadatak.

Takva jednadžba ima barem jedan pravi korijen, a najčešće je iracionalan. U najgoroj bajci čekaju nas tri praščića. Jednačina je rješiva ​​pomoću tzv Cardano formule, ali šteta na papiru je uporediva sa gotovo cijelom studijom. U tom smislu, mudrije je pokušati odabrati barem jedan, bilo usmeno ili u nacrtu. cijeli root. Provjerimo da li su ovi brojevi:
– nije prikladno;
- Tu je!

Lucky here. U slučaju neuspjeha, možete i testirati, a ako se ovi brojevi ne uklapaju, bojim se da su vrlo male šanse za isplativo rješenje jednadžbe. Tada je bolje potpuno preskočiti tačku istraživanja - možda će nešto postati jasnije u završnom koraku, kada će se probiti dodatne točke. A ako su korijen(i) očito "loši", onda je bolje skromno šutjeti o intervalima postojanosti znakova i pažljivije crtati.

Međutim, imamo lijep korijen, pa dijelimo polinom bez ostatka:

Algoritam za dijeljenje polinoma polinomom detaljno je razmotren u prvom primjeru lekcije Complex Limits.

Kao rezultat, lijeva strana originalne jednadžbe razgrađuje se u proizvod:

A sada malo o zdravom načinu života. Ja to, naravno, razumem kvadratne jednačine treba rješavati svaki dan, ali danas ćemo napraviti izuzetak: jednadžbu ima dva prava korena.

Iscrtajmo pronađene vrijednosti na brojevnoj liniji I intervalna metoda Definirajmo znakove funkcije:


og Dakle, na intervalima raspored se nalazi
ispod x-ose i u intervalima – iznad ove ose.

Nalazi nam omogućavaju da preciziramo naš izgled, a druga aproksimacija grafa izgleda ovako:

Imajte na umu da funkcija mora imati najmanje jedan maksimum u intervalu i najmanje jedan minimum u intervalu. Ali još ne znamo koliko puta, gdje i kada će se raspored petljati. Usput, funkcija može imati beskonačno mnogo ekstremi.

4) Povećanje, smanjenje i ekstremi funkcije.

Nađimo kritične tačke:

Ova jednadžba ima dva realna korijena. Stavimo ih na brojevnu pravu i odredimo predznake derivacije:


Stoga se funkcija povećava za i smanjuje se za .
U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .
U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Utvrđene činjenice tjeraju naš šablon u prilično krut okvir:

Nepotrebno je reći da je diferencijalni račun moćna stvar. Hajde da konačno shvatimo oblik grafa:

5) Konveksnost, konkavnost i pregibne tačke.

Nađimo kritične tačke druge derivacije:

Hajde da definišemo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavan na . Izračunajmo ordinatu prevojne tačke: .

Gotovo sve je postalo jasno.

6) Ostaje pronaći dodatne točke koje će vam pomoći da preciznije konstruirate graf i izvršite samotestiranje. U ovom slučaju ih je malo, ali ih nećemo zanemariti:

Napravimo crtež:

Prevojna tačka je označena zelenom bojom, dodatne tačke su označene krstićima. Graf kubične funkcije je simetričan u odnosu na njenu prevojnu tačku, koja se uvijek nalazi striktno u sredini između maksimuma i minimuma.

Kako je zadatak napredovao, dao sam tri hipotetička privremena crteža. U praksi je dovoljno nacrtati koordinatni sistem, označiti pronađene tačke i nakon svake tačke istraživanja mentalno procijeniti kako bi grafik funkcije mogao izgledati. Studentima sa dobrim nivoom pripremljenosti neće biti teško izvršiti takvu analizu samo u svojim glavama bez upotrebe nacrta.

Da to riješite sami:

Primjer 2

Istražite funkciju i napravite graf.

Ovdje je sve brže i zabavnije, približan primjer konačnog dizajna na kraju lekcije.

Proučavanje frakcionih racionalnih funkcija otkriva mnoge tajne:

Primjer 3

Koristite metode diferencijalnog računa za proučavanje funkcije i, na osnovu rezultata studije, konstruirajte njen graf.

Rješenje: prva faza studije se ne odlikuje ničim značajnim, osim rupe u području definicije:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj osim tačke, domena: .

, što znači da ova funkcija nije parna ili neparna.

Očigledno, funkcija je neperiodična.

Graf funkcije predstavlja dvije kontinuirane grane koje se nalaze u lijevoj i desnoj poluravni - ovo je možda najvažniji zaključak točke 1.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

a) Koristeći jednostrane granice, ispitujemo ponašanje funkcije u blizini sumnjive tačke, gdje jasno treba postojati vertikalna asimptota:

Zaista, funkcije traju beskrajni jaz u tački
a prava linija (osa) je vertikalna asimptota grafike.

b) Provjerimo da li postoje kose asimptote:

Da, pravo je kosa asimptota grafika , ako .

Nema smisla analizirati granice, jer je već jasno da funkcija obuhvata svoju kosu asimptotu nije ograničeno odozgo I nije ograničeno odozdo.

Druga tačka istraživanja dala je mnogo važnih informacija o funkciji. Hajde da napravimo grubu skicu:

Zaključak br. 1 odnosi se na intervale konstantnog predznaka. Na “minus beskonačnosti” graf funkcije se jasno nalazi ispod x-ose, a na “plus beskonačnosti” je iznad ove ose. Osim toga, jednostrane granice nam govore da je i lijevo i desno od tačke funkcija također veća od nule. Imajte na umu da u lijevoj poluravni graf mora barem jednom prijeći x-osu. Ne može biti nula funkcije u desnoj poluravni.

Zaključak broj 2 je da se funkcija povećava na i lijevo od tačke (ide “odozdo prema gore”). Desno od ove tačke, funkcija se smanjuje (ide „od vrha do dna“). Desna grana grafa svakako mora imati barem jedan minimum. Na lijevoj strani, ekstremi nisu zagarantovani.

Zaključak br. 3 daje pouzdane informacije o konkavnosti grafa u blizini tačke. Još ne možemo ništa reći o konveksnosti/konkavnosti u beskonačnosti, jer se prava može pritisnuti prema svojoj asimptoti i odozgo i odozdo. Uopšteno govoreći, postoji analitički način da se ovo otkrije upravo sada, ali će oblik grafikona postati jasniji u kasnijoj fazi.

Zašto toliko riječi? Za kontrolu narednih tačaka istraživanja i izbjegavanje grešaka! Dalji proračuni ne bi trebali biti u suprotnosti sa izvedenim zaključcima.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka funkcije.

Grafikon funkcije ne siječe os.

Metodom intervala određujemo znakove:

, Ako ;
, Ako .

Rezultati ove tačke su u potpunosti u skladu sa Zaključkom br. 1. Nakon svake faze pogledajte nacrt, mentalno provjerite istraživanje i dovršite graf funkcije.

U primjeru koji se razmatra, brojilac je pojam po član podijeljen nazivnikom, što je vrlo korisno za diferencijaciju:

Zapravo, to je već učinjeno prilikom pronalaženja asimptota.

- kritična tačka.

Hajde da definišemo znakove:

povećava za i smanjuje se za

U trenutku kada funkcija dosegne minimum: .

Takođe nije bilo odstupanja sa Zaključkom br. 2 i, najvjerovatnije, na dobrom smo putu.

To znači da je graf funkcije konkavan u cijeloj domeni definicije.

Odlično - i ne morate ništa crtati.

Nema pregibnih tačaka.

Konkavnost je u skladu sa Zaključkom br. 3, štoviše, ukazuje da se u beskonačnosti (i tamo i tamo) nalazi graf funkcije viši njena kosa asimptota.

6) Zadatak ćemo savjesno zakačiti dodatnim bodovima. Tu ćemo se morati potruditi, jer znamo samo dvije tačke iz istraživanja.

I slika koju su mnogi ljudi vjerovatno davno zamislili:

Tokom provedbe zadatka, morate pažljivo osigurati da nema kontradikcija između faza istraživanja, ali ponekad je situacija hitna ili čak očajna slijepa ulica. Analitika se „ne sabira“ – to je sve. U ovom slučaju preporučujem hitnu tehniku: pronađemo što više tačaka koje pripadaju grafu (koliko imamo strpljenja) i označimo ih na koordinatnoj ravni. Grafička analiza pronađenih vrijednosti će vam u većini slučajeva reći gdje je istina, a gdje laž. Osim toga, graf se može unaprijed izraditi pomoću nekog programa, na primjer, u Excelu (naravno, to zahtijeva vještine).

Primjer 4

Koristite metode diferencijalnog računa da proučavate funkciju i konstruišete njen graf.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. U njemu je samokontrola pojačana paritetom funkcije - graf je simetričan u odnosu na os, a ako postoji nešto u vašem istraživanju što je u suprotnosti sa ovom činjenicom, potražite grešku.

Parna ili neparna funkcija se može proučavati samo na , a zatim koristiti simetriju grafa. Ovo rješenje je optimalno, ali, po mom mišljenju, izgleda vrlo neobično. Lično gledam cijelu brojevnu osu, ali još uvijek nalazim dodatne točke samo na desnoj strani:

Primjer 5

Izvršite potpunu studiju funkcije i konstruirajte njen graf.

Rješenje: stvari su postale teške:

1) Funkcija je definirana i kontinuirana na cijeloj brojevnoj pravoj: .

To znači da je ova funkcija neparna, njen graf je simetričan u odnosu na ishodište.

Očigledno, funkcija je neperiodična.

2) Asimptote, ponašanje funkcije u beskonačnosti.

Budući da je funkcija kontinuirana na , ne postoje vertikalne asimptote

Za funkciju koja sadrži eksponent, to je tipično odvojeno proučavanje "plusa" i "minusa beskonačnosti", međutim, naš život olakšava simetrija grafa - ili postoji asimptota i lijevo i desno, ili je nema. Dakle, oba beskonačna ograničenja mogu biti zapisana pod jednim unosom. Tokom rastvora koje koristimo L'Hopitalovo pravilo:

Prava linija (osa) je horizontalna asimptota grafa na .

Imajte na umu kako sam lukavo izbjegao cijeli algoritam za pronalaženje kose asimptote: granica je potpuno legalna i pojašnjava ponašanje funkcije u beskonačnosti, a horizontalna asimptota je otkrivena „kao u isto vrijeme“.

Iz kontinuiteta pa nadalje i postojanja horizontalne asimptote slijedi da je funkcija ograničen iznad I ograničen ispod.

3) Tačke preseka grafika sa koordinatnim osama, intervali konstantnog predznaka.

Ovdje također skraćujemo rješenje:
Graf prolazi kroz ishodište.

Nema drugih tačaka preseka sa koordinatnim osama. Štaviše, intervali konstantnosti predznaka su očigledni, a os ne treba crtati: , što znači da predznak funkcije zavisi samo od “x”:
, Ako ;
, Ako .

4) Povećanje, smanjenje, ekstremi funkcije.


– kritične tačke.

Tačke su simetrične oko nule, kako i treba da bude.

Odredimo predznake derivacije:


Funkcija se povećava u intervalu i smanjuje na intervalima

U trenutku kada funkcija dostigne svoj maksimum: .

Zbog imovine (neobičnost funkcije) minimum ne treba izračunati:

Pošto funkcija opada u intervalu, onda se, očito, graf nalazi na "minus beskonačnost" ispod njegova asimptota. Tokom intervala, funkcija se također smanjuje, ali ovdje je obrnuto - nakon što prođe kroz maksimalnu tačku, prava se približava osi odozgo.

Iz gore navedenog također slijedi da je graf funkcije konveksan na “minus beskonačnost” i konkavan na “plus beskonačnost”.

Nakon ove tačke proučavanja, nacrtan je raspon vrijednosti funkcije:

Ako imate bilo kakvo nesporazume u bilo kojoj tački, još jednom vas pozivam da nacrtate koordinatne ose u svojoj svesci i sa olovkom u rukama ponovo analizirate svaki zaključak zadatka.

5) Konveksnost, konkavnost, nagibi grafa.

– kritične tačke.

Simetrija tačaka je očuvana i, najvjerovatnije, ne griješimo.

Hajde da definišemo znakove:


Graf funkcije je konveksan na i konkavno na .

Potvrđena je konveksnost/konkavnost u ekstremnim intervalima.

Na svim kritičnim tačkama na grafikonu postoje pregibi. Nađimo ordinate prevojnih tačaka i opet smanjimo broj izračuna koristeći neparnost funkcije: