Konstruisanje grafova funkcija koji sadrže module obično izaziva velike poteškoće kod školaraca. Međutim, nije sve tako loše. Dovoljno je zapamtiti nekoliko algoritama za rješavanje ovakvih problema i lako možete napraviti graf čak i naizgled najsloženije funkcije. Hajde da shvatimo kakvi su to algoritmi.
1. Iscrtavanje grafika funkcije y = |f(x)|
Imajte na umu da je skup vrijednosti funkcije y = |f(x)| : y ≥ 0. Dakle, grafovi takvih funkcija se uvijek nalaze u potpunosti u gornjoj poluravni.
Iscrtavanje grafika funkcije y = |f(x)| sastoji se od sljedeća jednostavna četiri koraka.
1) Pažljivo i pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(x).
2) Ostavite nepromijenjene sve tačke na grafikonu koje se nalaze iznad ili na osi 0x.
3) Prikažite dio grafikona koji leži ispod ose 0x simetrično u odnosu na osu 0x.
Primjer 1. Nacrtajte grafik funkcije y = |x 2 – 4x + 3|
1) Gradimo grafik funkcije y = x 2 – 4x + 3. Očigledno, grafik ove funkcije je parabola. Nađimo koordinate svih tačaka preseka parabole sa koordinatnim osa i koordinate vrha parabole.
x 2 – 4x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Dakle, parabola seče osu 0x u tačkama (3, 0) i (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Dakle, parabola siječe osu 0y u tački (0, 3).
Koordinate vrha parabole:
x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Dakle, tačka (2, -1) je vrh ove parabole.
Nacrtajte parabolu koristeći dobijene podatke (sl. 1)
2) Dio grafikona koji leži ispod ose 0x prikazuje se simetrično u odnosu na osu 0x.
3) Dobijamo graf originalne funkcije ( pirinač. 2, prikazano kao isprekidana linija).
2. Grafički prikaz funkcije y = f(|x|)
Imajte na umu da su funkcije oblika y = f(|x|) parne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znači da su grafovi takvih funkcija simetrični oko ose 0y.
Iscrtavanje grafa funkcije y = f(|x|) sastoji se od sljedećeg jednostavnog lanca radnji.
1) Grafikujte funkciju y = f(x).
2) Ostavite onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravni.
3) Prikažite dio grafikona naveden u tački (2) simetrično na os 0y.
4) Kao konačni grafik odaberite uniju krivulja dobijenih u tačkama (2) i (3).
Primjer 2. Nacrtajte grafik funkcije y = x 2 – 4 · |x| + 3
Budući da je x 2 = |x| 2, onda se originalna funkcija može prepisati u sljedećem obliku: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Sada možemo primijeniti gore predloženi algoritam.
1) Pažljivo i pažljivo gradimo graf funkcije y = x 2 – 4 x + 3 (vidi također pirinač. 1).
2) Ostavljamo onaj dio grafa za koji je x ≥ 0, odnosno dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravni.
3) Prikažite desnu stranu grafikona simetrično u odnosu na osu 0y.
(sl. 3).
Primjer 3. Nacrtajte graf funkcije y = log 2 |x|
Primjenjujemo gore datu shemu.
1) Napravi graf funkcije y = log 2 x (sl. 4).
3. Iscrtavanje funkcije y = |f(|x|)|
Imajte na umu da funkcije oblika y = |f(|x|)| su takođe čak. Zaista, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), pa su njihovi grafovi simetrični oko ose 0y. Skup vrijednosti takvih funkcija: y ≥ 0. To znači da se grafovi takvih funkcija nalaze u potpunosti u gornjoj poluravni.
Da biste nacrtali funkciju y = |f(|x|)|, trebate:
1) Pažljivo konstruirajte graf funkcije y = f(|x|).
2) Ostavite nepromijenjen dio grafikona koji je iznad ili na osi 0x.
3) Prikažite dio grafikona koji se nalazi ispod ose 0x simetrično u odnosu na osu 0x.
4) Kao konačni grafik odaberite uniju krivulja dobijenih u tačkama (2) i (3).
Primjer 4. Nacrtajte graf funkcije y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Imajte na umu da je x 2 = |x| 2. To znači da je umjesto originalne funkcije y = -x 2 + 2|x| - 1
možete koristiti funkciju y = -|x| 2 + 2|x| – 1, budući da im se grafovi poklapaju.
Gradimo graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Za ovo koristimo algoritam 2.
a) Grafikujte funkciju y = -x 2 + 2x – 1 (sl. 6).
b) Ostavljamo onaj dio grafa koji se nalazi u desnoj poluravni.
c) Rezultirajući dio grafa prikazujemo simetrično na os 0y.
d) Dobijeni graf je prikazan isprekidanom linijom na slici (sl. 7).
2) Nema tačaka iznad ose 0x ostavljamo nepromenjene tačke na osi 0x.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod ose 0x prikazuje se simetrično u odnosu na 0x.
4) Dobijeni graf je na slici prikazan isprekidanom linijom (sl. 8).
Primjer 5. Grafikujte funkciju y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Prvo morate nacrtati funkciju y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Da bismo to učinili, vraćamo se na algoritam 2.
a) Pažljivo nacrtajte funkciju y = (2x – 4) / (x + 3) (sl. 9).
Imajte na umu da je ova funkcija frakciono linearna i da je njen graf hiperbola. Da biste nacrtali krivu, prvo morate pronaći asimptote grafa. Horizontalno – y = 2/1 (odnos koeficijenata x u brojiocu i nazivniku razlomka), vertikalno – x = -3.
2) Taj dio grafika koji je iznad ose 0x ili na njemu ostavićemo nepromijenjen.
3) Dio grafikona koji se nalazi ispod ose 0x biće prikazan simetrično u odnosu na 0x.
4) Konačni grafikon je prikazan na slici (Sl. 11).
web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.
Prvo pokušajte pronaći domenu funkcije:
Jeste li uspjeli? Uporedimo odgovore:
Je li sve u redu? Dobro urađeno!
Pokušajmo sada pronaći raspon vrijednosti funkcije:
Pronađen? uporedimo:
Jasno? Dobro urađeno!
Ponovo radimo s grafovima, samo što će sada biti malo kompliciranije - pronađite i domenu definicije funkcije i raspon vrijednosti funkcije.
Kako pronaći i domenu i raspon funkcije (napredno)
Evo šta se dogodilo:
Mislim da ste shvatili grafikone. Pokušajmo sada pronaći domenu definicije funkcije u skladu s formulama (ako ne znate kako to učiniti, pročitajte odjeljak o):
Jeste li uspjeli? Hajde da proverimo odgovori:
- , budući da radikalni izraz mora biti veći ili jednak nuli.
- , budući da ne možete podijeliti sa nulom i radikalni izraz ne može biti negativan.
- , pošto, respektivno, za sve.
- , pošto ne možete podijeliti sa nulom.
Međutim, ostaje nam još jedno neodgovoreno pitanje...
Još jednom ću ponoviti definiciju i naglasiti je:
Jeste li primijetili? Riječ "singl" je vrlo, vrlo važan element naše definicije. Pokušaću da ti objasnim prstima.
Recimo da imamo funkciju definisanu pravom linijom. . At, ovu vrijednost zamjenjujemo u naše "pravilo" i dobijamo to. Jedna vrijednost odgovara jednoj vrijednosti. Možemo čak napraviti tablicu različitih vrijednosti i grafički prikazati ovu funkciju da bismo se sami uvjerili.
„Pogledaj! - kažete: "" se dešava dvaput!" Dakle, možda parabola nije funkcija? Ne, jeste!
Činjenica da se “ ” pojavljuje dvaput nije razlog da se parabola optužuje za dvosmislenost!
Činjenica je da smo, računajući za, dobili jednu utakmicu. I kada se računa sa, dobili smo jednu utakmicu. Tako je, parabola je funkcija. Pogledajte grafikon:
Jasno? Ako ne, evo jednog životnog primjera koji je jako daleko od matematike!
Recimo da imamo grupu aplikanata koji su se upoznali prilikom podnošenja dokumenata, od kojih je svaki u razgovoru rekao gdje živi:
Slažem se, sasvim je moguće da nekoliko momaka živi u jednom gradu, ali je nemoguće da jedna osoba živi u nekoliko gradova istovremeno. Ovo je kao logičan prikaz naše "parabole" - Nekoliko različitih X-ova odgovara istoj igri.
Hajde sada da smislimo primjer gdje ovisnost nije funkcija. Recimo da su nam ti isti momci rekli za koje su se specijalnosti prijavili:
Ovdje imamo potpuno drugačiju situaciju: jedna osoba može lako podnijeti dokumentaciju za jedan ili više smjerova. To je jedan element setovi se stavljaju u korespondenciju nekoliko elemenata mnoštvo. odnosno ovo nije funkcija.
Provjerimo svoje znanje u praksi.
Odredite iz slika što je funkcija, a što nije:
Jasno? I evo ga odgovori:
- Funkcija je - B, E.
- Funkcija nije - A, B, D, D.
Pitate zašto? Da, evo zašto:
Na svim slikama osim IN) I E) ima nekoliko za jednog!
Siguran sam da sada možete lako razlikovati funkciju od ne-funkcije, reći šta je argument, a šta zavisna varijabla, te također odrediti raspon dopuštenih vrijednosti argumenta i raspon definicije funkcije . Pređimo na sljedeći odjeljak - kako postaviti funkciju?
Metode za određivanje funkcije
Šta mislite šta znače riječi? "postavi funkciju"? Tako je, to znači objasniti svima o kojoj funkciji je riječ u ovom slučaju. Štoviše, objasnite to na način da vas svi ispravno razumiju i da su grafovi funkcija koje su ljudi nacrtali na osnovu vašeg objašnjenja isti.
Kako to mogu učiniti? Kako postaviti funkciju? Najjednostavnija metoda, koja je već korištena više puta u ovom članku, je koristeći formulu. Pišemo formulu i zamjenom vrijednosti u nju izračunavamo vrijednost. I kao što se sjećate, formula je zakon, pravilo po kojem nama i drugoj osobi postaje jasno kako se X pretvara u Y.
Obično upravo to rade - u zadacima vidimo gotove funkcije specificirane formulama, međutim, postoje i drugi načini postavljanja funkcije na koje svi zaboravljaju, pa se stoga postavlja pitanje "kako drugačije možete postaviti funkciju?" pregrade. Hajde da shvatimo sve po redu i počnimo sa analitičkom metodom.
Analitička metoda specificiranja funkcije
Analitička metoda je specificiranje funkcije pomoću formule. Ovo je najuniverzalnija, sveobuhvatnija i nedvosmislena metoda. Ako imate formulu, onda znate apsolutno sve o funkciji - možete napraviti tablicu vrijednosti iz nje, možete izgraditi graf, odrediti gdje se funkcija povećava, a gdje smanjuje, općenito, proučite je u cijelosti.
Razmotrimo funkciju. Koja je razlika?
"Šta to znači?" - pitate. Sad ću objasniti.
Da vas podsjetim da se u notaciji izraz u zagradama naziva argumentom. A ovaj argument može biti bilo koji izraz, ne nužno jednostavan. Prema tome, kakav god da je argument (izraz u zagradama), umjesto toga ćemo ga napisati u izrazu.
U našem primjeru to će izgledati ovako:
Razmotrimo još jedan zadatak koji se odnosi na analitičku metodu specificiranja funkcije, koju ćete imati na ispitu.
Pronađite vrijednost izraza at.
Siguran sam da ste se u početku uplašili kada ste vidjeli takav izraz lica, ali u tome nema apsolutno ništa strašno!
Sve je isto kao u prethodnom primjeru: kakav god da je argument (izraz u zagradama), upisaćemo ga umjesto njega u izraz. Na primjer, za funkciju.
Šta treba učiniti u našem primjeru? Umjesto toga trebate napisati, i umjesto toga -:
skratiti rezultirajući izraz:
To je sve!
Samostalan rad
Sada pokušajte sami pronaći značenje sljedećih izraza:
- , Ako
- , Ako
Jeste li uspjeli? Uporedimo naše odgovore: Navikli smo na činjenicu da funkcija ima oblik
Čak iu našim primjerima funkciju definiramo upravo na ovaj način, ali je analitički moguće navesti funkciju u implicitnom obliku, na primjer.
Pokušajte sami izgraditi ovu funkciju.
Jeste li uspjeli?
Ovako sam ga napravio.
Koju smo jednačinu na kraju izveli?
Tačno! Linearno, što znači da će graf biti prava linija. Napravimo tabelu da odredimo koje tačke pripadaju našoj liniji:
Upravo o tome smo pričali... Jedan odgovara nekoliko.
Pokušajmo nacrtati šta se dogodilo:
Je li ono što imamo funkcija?
Tako je, ne! Zašto? Pokušajte odgovoriti na ovo pitanje uz pomoć crteža. šta si dobio?
“Zato što jedna vrijednost odgovara nekoliko vrijednosti!”
Kakav zaključak možemo izvući iz ovoga?
Tako je, funkcija se ne može uvijek eksplicitno izraziti, a ono što je “prikriveno” u funkciju nije uvijek funkcija!
Tabelarni metod specificiranja funkcije
Kao što ime govori, ova metoda je jednostavan znak. Da da. Kao onaj koji smo ti i ja već napravili. Na primjer:
Ovdje ste odmah primijetili uzorak - Y je tri puta veći od X. A sada zadatak da “vrlo pažljivo razmislite”: mislite li da je funkcija data u obliku tabele ekvivalentna funkciji?
Hajde da ne pričamo dugo, nego da crtamo!
Dakle. Funkciju specificiranu pozadinom crtamo na sljedeće načine:
Vidite li razliku? Nije sve u označenim tačkama! Pogledajte izbliza:
Jeste li ga sada vidjeli? Kada definišemo funkciju na tabelarni način, na grafu prikazujemo samo one tačke koje imamo u tabeli i linija (kao u našem slučaju) prolazi samo kroz njih. Kada analitički definiramo funkciju, možemo uzeti bilo koje točke, a naša funkcija nije ograničena na njih. Ovo je posebnost. Zapamtite!
Grafička metoda konstruisanja funkcije
Grafička metoda konstruisanja funkcije nije ništa manje zgodna. Nacrtamo našu funkciju, a druga zainteresirana osoba može pronaći koliko je y jednako pri određenom x i tako dalje. Grafičke i analitičke metode su među najčešćim.
Međutim, ovdje se morate sjetiti o čemu smo pričali na samom početku - nije svaka „švrgola“ nacrtana u koordinatnom sistemu funkcija! Sjećaš li se? Za svaki slučaj, kopirat ću ovdje definiciju što je funkcija:
U pravilu ljudi obično nazivaju upravo tri načina definiranja funkcije o kojima smo raspravljali - analitički (pomoću formule), tabelarni i grafički, potpuno zaboravljajući da se funkcija može opisati verbalno. Volim ovo? Da, vrlo jednostavno!
Verbalni opis funkcije
Kako verbalno opisati funkciju? Uzmimo naš nedavni primjer - . Ova funkcija se može opisati kao "svaka realna vrijednost x odgovara njegovoj trostrukoj vrijednosti." To je sve. Ništa komplikovano. Vi ćete, naravno, prigovoriti - "postoje tako složene funkcije da je jednostavno nemoguće verbalno odrediti!" Da, ima takvih, ali postoje funkcije koje je lakše opisati verbalno nego definirati formulom. Na primjer: „svaka prirodna vrijednost x odgovara razlici između cifara od kojih se sastoji, dok se minus uzima kao najveća znamenka sadržana u zapisu broja." Pogledajmo sada kako se naš verbalni opis funkcije implementira u praksi:
Najveća cifra u datom broju je, respektivno, minus, a zatim:
Glavne vrste funkcija
Pređimo sada na najzanimljiviji dio – pogledajmo glavne vrste funkcija s kojima ste radili/radite i koje ćete raditi u toku školske i fakultetske matematike, odnosno upoznajmo ih, da tako kažem , i dajte im kratak opis. Pročitajte više o svakoj funkciji u odgovarajućem odjeljku.
Linearna funkcija
Funkcija oblika gdje su realni brojevi.
Grafikon ove funkcije je prava linija, pa se konstruisanje linearne funkcije svodi na pronalaženje koordinata dvije tačke.
Položaj prave linije na koordinatnoj ravni zavisi od ugaonog koeficijenta.
Opseg funkcije (poznat i kao opseg valjanih vrijednosti argumenata) je .
Raspon vrijednosti - .
Kvadratna funkcija
Funkcija forme, gdje
Graf funkcije je parabola kada su grane parabole usmjerene prema dolje, kada su grane usmjerene prema gore.
Mnoga svojstva kvadratne funkcije zavise od vrijednosti diskriminanta. Diskriminanta se izračunava pomoću formule
Položaj parabole na koordinatnoj ravni u odnosu na vrijednost i koeficijent prikazan je na slici:
Domain
Raspon vrijednosti ovisi o ekstremumu date funkcije (vrhna točka parabole) i koeficijentu (smjer grana parabole)
Inverzna proporcionalnost
Funkcija data formulom, gdje
Broj se naziva koeficijent inverzne proporcionalnosti. Ovisno o vrijednosti, grane hiperbole su u različitim kvadratima:
Domena - .
Raspon vrijednosti - .
SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
1. Funkcija je pravilo prema kojem je svaki element skupa povezan s jednim elementom skupa.
- - ovo je formula koja označava funkciju, odnosno zavisnost jedne varijable od druge;
- - vrijednost varijable, ili argument;
- - zavisna količina - mijenja se kada se argument promijeni, odnosno prema bilo kojoj specifičnoj formuli koja odražava ovisnost jedne količine od druge.
2. Važeće vrijednosti argumenata, ili domena funkcije, je ono što je povezano s mogućnostima u kojima funkcija ima smisla.
3. Raspon funkcija- to su koje vrijednosti uzima, s obzirom na prihvatljive vrijednosti.
4. Postoje 4 načina za postavljanje funkcije:
- analitički (koristeći formule);
- tabelarni;
- grafički
- verbalni opis.
5. Glavne vrste funkcija:
- : , gdje su realni brojevi;
- : , Gdje;
- : , Gdje.
“Prirodni logaritam” - 0,1. Prirodni logaritmi. 4. Logaritamske strelice. 0.04. 7.121.
“Funkcija snage 9” - U. Kubična parabola. Y = x3. Učiteljica 9. razreda Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y = xn, y = x-n gdje je n dati prirodni broj. X. Eksponent je paran prirodan broj (2n).
“Kvadratna funkcija” - 1 Definicija kvadratne funkcije 2 Osobine funkcije 3 Grafovi funkcije 4 Kvadratne nejednakosti 5 Zaključak. Osobine: Nejednakosti: Pripremio učenik 8A razreda Andrey Gerlitz. Plan: Grafikon: -Intervali monotonosti za a > 0 za a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratna funkcija i njen graf” - Rješenje.y=4x A(0.5:1) 1=1 A-pripada. Kada je a=1, formula y=ax poprima oblik.
“Kvadratna funkcija 8. razreda” - 1) Konstruirajte vrh parabole. Iscrtavanje grafa kvadratne funkcije. x. -7. Konstruirajte graf funkcije. Algebra 8. razred Učitelj 496 Bovina škola T.V. -1. Plan izgradnje. 2) Konstruisati osu simetrije x=-1. y.
Nažalost, ne poznaju i vole algebru svi studenti i školarci, ali svi moraju pripremati domaće zadatke, rješavati testove i polagati ispite. Mnogima je posebno teško konstruirati grafove funkcija: ako negdje nešto ne razumijete, ne dovršite učenje ili propustite, greške su neizbježne. Ali ko želi da dobije loše ocene?
Želite li se pridružiti kohorti tragača za repom i gubitnika? Da biste to učinili, imate 2 načina: sjesti uz udžbenike i popuniti praznine u znanju ili koristiti virtuelnog asistenta - servis za automatsko iscrtavanje grafova funkcija prema zadatim uvjetima. Sa ili bez rješenja. Danas ćemo vas upoznati sa nekoliko njih.
Najbolja stvar kod Desmos.com je njegov veoma prilagodljiv interfejs, interaktivnost, mogućnost organizovanja rezultata u tabele i pohranjivanja vašeg rada u bazu podataka resursa besplatno bez vremenskih ograničenja. Nedostatak je što usluga nije u potpunosti prevedena na ruski.
Grafikus.ru
Grafikus.ru je još jedan grafički kalkulator na ruskom jeziku vrijedan pažnje. Štaviše, on ih gradi ne samo u dvodimenzionalnom, već iu trodimenzionalnom prostoru.
Evo nepotpune liste zadataka s kojima se ova usluga uspješno nosi:
- Crtanje 2D grafova jednostavnih funkcija: prave linije, parabole, hiperbole, trigonometrijske, logaritamske itd.
- Crtanje 2D grafova parametarskih funkcija: krugova, spirala, Lissajousovih figura i drugih.
- Crtanje 2D grafikona u polarnim koordinatama.
- Konstrukcija 3D površina jednostavnih funkcija.
- Konstrukcija 3D površina parametarskih funkcija.
Gotov rezultat se otvara u posebnom prozoru. Korisnik ima mogućnost preuzimanja, štampanja i kopiranja linka do njega. Za ovo drugo, morat ćete se prijaviti na uslugu putem dugmadi društvenih mreža.
Koordinatna ravan Grafikus.ru podržava promjenu granica osi, njihovih oznaka, razmaka mreže, kao i širine i visine same ravni i veličine fonta.
Najveća snaga Grafikus.ru je mogućnost kreiranja 3D grafike. Inače, ne radi ni gore ni bolje od analognih resursa.
Onlinecharts.ru
Online pomoćnik Onlinecharts.ru ne gradi grafikone, već dijagrame gotovo svih postojećih tipova. Uključujući:
- Linearno.
- Kolumnar.
- Circular.
- Sa površinama.
- Radijalno.
- XY-grafovi.
- Bubble.
- Tacka.
- Polarni mehurići.
- Piramide.
- Brzinomjeri.
- Stupasto-linearno.
Korištenje resursa je vrlo jednostavno. Izgled dijagrama (boja pozadine, mreža, linije, pokazivači, oblici uglova, fontovi, transparentnost, specijalni efekti, itd.) u potpunosti određuje korisnik. Podaci za konstrukciju se mogu uneti ručno ili uvesti iz tabele u CSV fajl pohranjen na računaru. Gotov rezultat je dostupan za preuzimanje na PC u obliku slike, PDF, CSV ili SVG datoteke, kao i za spremanje na mreži na web lokaciji za hosting fotografija ImageShack.Us ili na vašem osobnom računu Onlinecharts.ru. Prvu opciju mogu koristiti svi, drugu - samo registrirani.