FUNKCIJSKA GRAFIKA
Sinusna funkcija
- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment [-1; 1], tj. sinusna funkcija - ograničeno.
Neparna funkcija: sin(−x)=−sin x za sve x ∈ R.
Funkcija je periodična
sin(x+2π k) = sin x, gdje je k ∈ Z za sve x ∈ R.
sin x = 0 za x = π·k, k ∈ Z.
sin x > 0(pozitivno) za sve x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
sin x< 0 (negativno) za sve x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Kosinusna funkcija
Funkcija domena- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment [-1; 1], tj. kosinusna funkcija - ograničeno.
Ravnomjerna funkcija: cos(−x)=cos x za sve x ∈ R.
Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom 2π:
cos(x+2π k) = cos x, gdje k ∈ Z za sve x ∈ R.
| cos x = 0 at |  |
| cos x > 0 za sve |  |
| cos x< 0 za sve |  |
| Funkcija se povećava od −1 do 1 u intervalima: | |
| Funkcija se smanjuje od −1 do 1 u intervalima: | |
| Najveća vrijednost funkcije sin x = 1 u tačkama: |  |
| Najmanja vrijednost funkcije sin x = −1 u tačkama: |
Tangentna funkcija
Višestruke vrijednosti funkcija— cijela brojevna prava, tj. tangenta - funkcija neograničeno.
Neparna funkcija: tg(−x)=−tg x
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na OY os.
Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom π, tj. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z za sve x iz domena definicije.
Kotangens funkcija
Višestruke vrijednosti funkcija— cijela brojevna prava, tj. kotangens - funkcija neograničeno.
Neparna funkcija: ctg(−x)=−ctg x za sve x iz domena definicije.Grafikon funkcije je simetričan oko ose OY.
Funkcija je periodična sa najmanjim pozitivnim periodom π, tj. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z za sve x iz domena definicije.
Arksinus funkcija
Funkcija domena— segment [-1; 1]
Višestruke vrijednosti funkcija- segment -π /2 arcsin x π /2, tj. arcsinus - funkcija ograničeno.
Neparna funkcija: arcsin(−x)=−arcsin x za sve x ∈ R.
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Kroz cijelo područje definicije.
Arc kosinus funkcija
Funkcija domena— segment [-1; 1]
Višestruke vrijednosti funkcija— segment 0 arccos x π, tj. arkosinus - funkcija ograničeno.
Funkcija se povećava na cijelom području definicije.
Arktangentna funkcija
Funkcija domena- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment 0 π, tj. arktangent - funkcija ograničeno.
Neparna funkcija: arctg(−x)=−arctg x za sve x ∈ R.
Grafikon funkcije je simetričan u odnosu na ishodište.
Funkcija se povećava na cijelom području definicije.
Funkcija tangente luka
Funkcija domena- gomila R svi realni brojevi.
Višestruke vrijednosti funkcija— segment 0 π, tj. arkotangens - funkcija ograničeno.
Funkcija nije ni parna ni neparna.
Grafikon funkcije nije asimetričan ni u odnosu na ishodište koordinata, niti u odnosu na osu Oy.
Funkcija se smanjuje na cijelom području definicije.
Definicija i notacija
Arksinus (y = arcsin x) je inverzna funkcija sinusa (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 i skup vrijednosti -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arksinus se ponekad označava na sljedeći način:
.
Grafikon funkcije arcsinusa
Grafikon funkcije y = arcsin x
Arksusni graf se dobija iz sinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arcsinusa.
Arccosine, arccos
Definicija i notacija
Ark kosinus (y = arccos x) je inverzna funkcija kosinusa (x = cos y). Ima opseg -1 ≤ x ≤ 1 i mnoga značenja 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arkozin se ponekad označava na sljedeći način:
.
Graf arc kosinus funkcije
Grafikon funkcije y = arccos x
Lučni kosinusni graf se dobija iz kosinusnog grafa ako se apscisa i ordinatna osa zamijene. Da bi se uklonila dvosmislenost, raspon vrijednosti je ograničen na interval u kojem je funkcija monotona. Ova definicija se zove glavna vrijednost arc kosinusa.
Paritet
Arcsinusna funkcija je neparna:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funkcija arc kosinusa nije parna ili neparna:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Svojstva - ekstremi, povećanje, smanjenje
Funkcije arksinus i arkosinus su kontinuirane u svom domenu definicije (vidi dokaz kontinuiteta). Glavna svojstva arksinusa i arkosinusa prikazana su u tabeli.
| y= arcsin x | y= arccos x | |
| Obim i kontinuitet | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Raspon vrijednosti | ||
| Uzlazno, silazno | monotono raste | monotono opada |
| Highs | ||
| Minimum | ||
| Nule, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Točke preseka sa ordinatnom osom, x = 0 | y= 0 | y = π/ 2 |
Tablica arksinusa i arkkosinusa
Ova tabela prikazuje vrijednosti arksinusa i arkkosinusa, u stupnjevima i radijanima, za određene vrijednosti argumenta.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| hail | drago. | hail | drago. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vidi također: Izvođenje formula za inverzne trigonometrijske funkcijeFormule zbira i razlike
na ili
at and
at and
na ili
at and
at and
at
at
at
at
Izrazi kroz logaritme, kompleksni brojevi
Vidi također: Izvođenje formulaIzrazi kroz hiperboličke funkcije
Derivati
;
.
Vidi Derivacija arksinusa i arkkosinusnih derivata > > >
Derivati višeg reda:
,
gdje je polinom stepena . Određuje se formulama:
;
;
.
Vidi Derivacija derivacija višeg reda od arksinusa i arkosinusa > > >
Integrali
Napravimo supstituciju x = sin t. Integriramo po dijelovima, uzimajući u obzir da je -π/ 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Izrazimo arc kosinus kroz arc sinus:
.
Proširenje serije
Kada |x|< 1
odvija se sljedeća razgradnja:
;
.
Inverzne funkcije
Inverzi arksinusa i arkosinusa su sinus, odnosno kosinus.
Sljedeće formule vrijede u cijelom domenu definicije:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Sljedeće formule vrijede samo na skupu vrijednosti arksinusa i arkkosinusa:
arcsin(sin x) = x at
arccos(cos x) = x u .
Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.
Problemi vezani za inverzne trigonometrijske funkcije često se nude na školskim završnim ispitima i na prijemnim ispitima na nekim univerzitetima. Detaljno proučavanje ove teme može se postići samo u izbornoj nastavi ili izbornim predmetima. Predloženi kurs je osmišljen tako da što potpunije razvije sposobnosti svakog učenika i unapredi njegovu matematičku pripremu.
Kurs traje 10 sati:
1.Funkcije arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 sata).
2.Operacije na inverznim trigonometrijskim funkcijama (4 sata).
3. Inverzne trigonometrijske operacije nad trigonometrijskim funkcijama (2 sata).
Lekcija 1 (2 sata) Tema: Funkcije y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.
Cilj: potpuna pokrivenost ovog pitanja.
1. Funkcija y = arcsin x.
a) Za funkciju y = sin x na segmentu postoji inverzna (jednoznačna) funkcija, koju smo dogovorili nazvati arcsinus i označiti je na sljedeći način: y = arcsin x. Grafikon inverzne funkcije je simetričan sa grafikom glavne funkcije u odnosu na simetralu I - III koordinatnih uglova.
Svojstva funkcije y = arcsin x.
1) Domen definicije: segment [-1; 1];
2) Područje promjene: segment;
3) Funkcija y = arcsin x neparan: arcsin (-x) = - arcsin x;
4) Funkcija y = arcsin x je monotono rastuća;
5) Grafikon siječe ose Ox, Oy u početku.
Primjer 1. Pronađite a = arcsin. Ovaj primjer se može detaljno formulirati na sljedeći način: pronađite argument a, koji leži u rasponu od do, čiji je sinus jednak.
Rješenje. Postoji bezbroj argumenata čiji je sinus jednak , na primjer: 
itd. Ali nas zanima samo argument koji je u segmentu. Ovo bi bio argument. Dakle, .
Primjer 2. Pronađite 
.Rješenje. Argumentirajući na isti način kao u primjeru 1, dobijamo 
.
b) oralne vježbe. Pronađite: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Primjer odgovora: 
, jer 
. Da li izrazi imaju smisla: ; arcsin 1.5; 
?
c) Rasporedite u rastućem redosledu: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
II. Funkcije y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (slično).
Lekcija 2 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske funkcije, njihovi grafovi.
Svrha: u ovoj lekciji potrebno je razviti vještine u određivanju vrijednosti trigonometrijskih funkcija, u konstruiranju grafova inverznih trigonometrijskih funkcija pomoću D (y), E (y) i potrebnih transformacija.
U ovoj lekciji kompletne vježbe koje uključuju pronalaženje domena definicije, domena vrijednosti funkcija tipa: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.
Trebalo bi da konstruišete grafove funkcija: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;
d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .
Primjer. Nacrtajmo y = arccos
U svoj domaći zadatak možete uključiti sljedeće vježbe: izgraditi grafove funkcija: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Grafovi inverznih funkcija
Lekcija br. 3 (2 sata) Tema:
Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.Cilj: proširiti matematičko znanje (ovo je važno za one koji ulaze na specijalnosti sa povećanim zahtjevima za matematičkom obukom) uvođenjem osnovnih relacija za inverzne trigonometrijske funkcije.
Materijal za lekciju.
Neke jednostavne trigonometrijske operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arscos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Vježbe.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Neka je arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;
cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .
Napomena: uzimamo znak “+” ispred korijena jer a = arcsin x zadovoljava .
c) sin (1,5 + arcsin).
d) ctg ( + arctg 3) Odgovor: ;
e) tg ( – arcctg 4) Odgovor: .
e) cos (0,5 + arccos). Odgovor: .
Izračunati:
a) sin (2 arktan 5) .
Neka je arctan 5 = a, zatim sin 2 a = 
ili sin (2 arktan 5) = 
;
b) cos (+ 2 arcsin 0,8) Odgovor: 0,28.
c) arctg + arctg.
Neka je a = arktan, b = arktan,
onda je tg(a + b) = 
.
d) sin(arcsin + arcsin).
e) Dokazati da je za sve x I [-1; 1] true arcsin x + arccos x = .
dokaz:
arcsin x = – arccos x
sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
Da to riješite sami: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Za kućno rešenje: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.
Lekcija br. 4 (2 sata) Tema: Operacije nad inverznim trigonometrijskim funkcijama.
Cilj: U ovoj lekciji demonstrirati upotrebu omjera u transformaciji složenijih izraza.
Materijal za lekciju.
USMENI:
a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcctg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
PISMENO:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) = 
4) 
Samostalni rad će pomoći da se utvrdi nivo savladavanja materijala
| 1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arktan 3) 3) arcctg3 – arctg 2 |
Za domaći možete predložiti:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arktan); 5) tg ( (arcsin))
Lekcija br. 5 (2 sata) Tema: Inverzne trigonometrijske operacije nad trigonometrijskim funkcijama.
Cilj: formirati razumijevanje učenika o inverznim trigonometrijskim operacijama nad trigonometrijskim funkcijama, s naglaskom na povećanju razumijevanja teorije koja se proučava.
Prilikom proučavanja ove teme, pretpostavlja se da je obim teorijskog materijala koji se pamti ograničen.
Materijal za lekciju:
Možete početi učiti novi materijal proučavanjem funkcije y = arcsin (sin x) i crtanjem.
3. Svaki x I R je povezan sa y I, tj.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Funkcija je neparna: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Grafikon y = arcsin (sin x) na:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .
dakle, 
Nakon što smo konstruisali y = arcsin (sin x) na , nastavljamo simetrično u odnosu na ishodište koordinata na [- ; 0], s obzirom na neparnost ove funkcije. Koristeći periodičnost, nastavljamo duž cijele brojevne prave.
Zatim zapišite neke odnose: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos a ) = a ako je 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
I uradite sljedeće vježbe: a) arccos(sin 2). Odgovor: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6 odgovor: - 0,1); c) arctg (tg 2) Odgovor: 2 - ;
d) arcctg(tg 0,6). Odgovor: 0,9; e) arccos (cos ( - 2) ) ; e) arcsin (sin (-0,6)). Odgovor: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Odgovor: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Odgovor: - 0,6; - arktan x; e) arccos + arccos