Борис Кац, руководитель проекта ООО «АйТиЭм» кандидат технических наук.
Как же добиться эффективного управления процессами ТОиР?
Перефразируя Питера Друкера:
«Эффективно управлять возможно лишь тем, что можно достоверно и оперативно измерить»
Сначала стратегия, а потом ремонт
Прежде чем развивать тему управления процессами ТОиР, надо сказать о возможных стратегиях проведения ремонтов.
Первая стратегия - это курс на применение «классической» системы ППР, характерными особенностями которой являются: «жесткий» ремонтный цикл (заранее заданная - как правило, изготовителем последовательность ремонтов определенного вида и времен между ними); «жесткое» задание объема работ при выполнении ремонта определенного вида.
В варианте «классической» системы ППР, называемом «планирование по наработке», при сохранении фиксированной последовательности ремонтов и их заданных объемах время между ремонтами определяется не по календарю, а в зависимости от некоторого показателя, характеризующего наработку оборудования (часы работы, литры горючего, километры пробега, число пусков и т. п.).
Другая достаточно распространенная стратегия - «ремонт по отказу». При этом оборудование ремонтируется (или заменяется) только тогда, когда его дальнейшее использование становится невозможным вследствие отказа. Ошибочно считать, что такая «примитивная» стратегия заведомо плоха. Для некоторых видов оборудования она и технически, и экономически оправдана. Технически - в том случае, если отказы элементов имеют «абсолютно случайный» характер, то есть практически не зависят от длительности их работы (такой тип отказа характерен, например, для электронных компонент КИП и А).
Экономическая оправданность появляется в тех случаях, когда последствия поломки незначительны, а меры профилактики стоят дороже, чем замена отказавшего узла или устройства.
Более «изощренный» вариант этой стратегии - «ремонт по мере возникновения дефектов». В этом случае ремонт или замена может проводиться не только в случае отказа, но и при появлении явных свидетельств приближения отказа (повышенная вибрация, течь масла, повышение температуры выше допустимой, явные признаки недопустимого износа).
Наконец, третья стратегия - «ремонт по состоянию». При этой стратегии объем ремонтов и время между ними не фиксированы заранее и определяются по результатам регулярных ревизий (обследований) оборудования, а также по результатам мониторинга состояния оборудования с помощью автоматизированных средств контроля (вибродиагностика и т. п.). Эта стратегия считается наиболее прогрессивной в применении к сложному и дорогостоящему оборудованию, так как позволяет существенно экономить ресурсы.
Не только экономия бумаги
При любой выбранной стратегии ремонтов планирование и учет выполненных работ являются весьма трудоемкими. Поэтому при использовании традиционных «бумажных» методов учета ни о прозрачности, ни об оперативности говорить не приходится. В лучшем случае планы доводятся до исполнителей раз в год, и даже простейший учет выполнния ведется крайне редко. Тем более невозможно переходить на ремонт по состоянию (или хотя бы «с учетом состояния») - ведь сначала это состояние необходимо измерить, учесть, сохранить его историю.
Только применение ЕАМ-систем (информационных систем управления ТОиР - ИСУ ТОиР) может придать новый импульс и получить принципиально новое качество управления процессами ППР. Получаемое новое качество состоит не только в безбумажных технологиях, повышении прозрачности процесса проведения ТОиР, точности и оперативности учета ресурсов. Появляются ранее отсутствовавшие возможности по анализу результатов ТОиР в целом по предприятию, по анализу тенденций и трендов - и тем самым закладывается возможность оптимального выбора стратегии ремонтов.
Реальный опыт использования EAM-систем на российских предприятиях не так уж велик - всего несколько сотен внедрений. При этом такие системы в настоящее время используются преимущественно как удобный инструмент планирования и оперативного управления процессами ТОиР. Поэтому наибольшей популярностью пользуются функции:
- календарного и ресурсного планирования,
- учета дефектов,
- учета расходования запчастей и материалов.
Примером автоматизации упомянутых функций может служить Северо-Западная ТЭЦ (г. Санкт-Петербург), на которой учет дефектов с 2002 года ведется в электронном виде. Дефекты регистрирует дежурная смена (круглосуточно). При этом дефект привязывается к оборудованию, заранее учтенному в базе данных. Затем - не сходя с рабочего места - начальник или заместитель начальника соответствующего цеха назначает мастера, ответственного за устранение дефекта, и указывает плановые сроки устранения. Мастер видит задание на своем компьютере. По окончании работы он делает отметку о выполнении, затем дефект принимает дежурная смена. При необходимости система «помогает» составить акт дефектации и акт выполненных работ.
Календарное планирование на Северо-Западной ТЭЦ также ведется в электронном виде. Годовой план ППР составляется автоматически, на основе заданной периодичности ремонтов. После согласования с цехами план поступает в работу. Исполнители ремонтов отмечают на компьютере их выполнение, вводя отчет по работе. ОППР (отдел подготовки и проведения ремонтов) оперативно отслеживает своевременность выполнения работ.
Однако на большинстве предприятий, использующих системы EAM, управление ТОиР ведется преимущественно на «микроуровне», то есть на уровне отдельной работы, дефекта и т. п. Значительно реже данные из EAM-систем используются для управления ТОиР на уровне предприятия. Богатейшие возможности контроля и анализа, которые могут дать EAM-системы, остаются невостребованными.
От информационной системы - к системе управления ТОиР
Для того чтобы обеспечить управление процессами ТОиР на верхнем уровне (цех, предприятие), а также для анализа эффективности управления на длительных временных интервалах, руководитель должен оперативно получать достоверные данные из ЕАМ-системы в агрегированном виде, то есть в виде системы показателей.
Важное условие успешности управления - выбор системы показателей для системы ТОиР конкретного предприятия.Зачастую разработчики EAM-системы заявляют, что могут выдать заказчику любые показатели. А когда дело доходит до внедрения, они предлагают заказчику самому назвать требуемые показатели, оставляя за собой только вопросы программной реализации. Но заказчик (за редкими исключениями) не может этого сделать, так как подобными вопросами не занимался и к тому же не знает досконально возможностей новой для него EAM-системы. В то же время типовую систему показателей вполне реально (путем диалога с заказчиком) адаптировать под нужды конкретного предприятия.
Какова же должна быть система показателей? Понятно, что она обязана ориентироваться, с одной стороны, на цели, которые ставит перед предприятием руководитель, с другой стороны - на достигнутый уровень управления и автоматизации. Кроме того, мы должны иметь достаточно удобные средства прослеживания, позволяющие «спускаться» по дереву показателей - от предприятия к цеху и участку, от технологической системы или агрегата к отдельной машине, от общих показателей к более частным (рис. 1), вплоть до микро-объектов, из которых этот показатель складывается. Такое прослеживание позволяет аналитику понять, какая из составляющих вносит наибольший вклад в итоговый показатель, и тем самым подсказать необходимое управляющее воздействие. Кроме того, для ряда показателей желательно назначить допустимые границы («тревожные» и аварийные). «Управление по отклонениям» позволяет сосредоточиться на показателях, выходящих за эти границы.
Рис. 1. График затрат на ТОиР - пример мониторинга общего показателя и его частных составляющих
Условно можно разделить совокупность показателей на несколько групп.
1. Первая группа
обеспечивает достижение и поддержание элементарного порядка в планировании ремонтов и отчетности по их проведению, контроль исполнительской дисциплины при календарном планировании. В набор показателей на этом уровне входит количество запланированных, выполненных в срок, просроченных и невыполненных работ, процент выполнения плана (рис. 2) и т. п. 
Рис. 2. Данные по выполнению плана ремонтов
2. Вторая группа - учет и контроль при ресурсном планировании (материалы и запчасти в натуральном и денежном выражении, трудовые ресурсы, расходы на поставщиков). Первые два слоя дают руководству предприятия и его подразделений средства учета и контроля, ориентированные, прежде всего, на оперативные («административные») средства управления. Они не направлены на изменение принятой системы проведения ТОиР или хотя бы на изменение параметров этой системы (например, периодичность проведения ТОиР).
3. Третья группа обеспечивает средства анализа для изменения (совершенствования) принятой на предприятии системы ТОиР (или параметров этой системы) и ориентирована на использование инженерно-техническими службами. В эту группу входят показатели, отражающие статистику повреждаемости оборудования (статистика дефектов и отказов по видам оборудования, по видам дефектов, а также по причинам и последствиям отказов и дефектов, а также параметры распределения времен между дефектами и времен устранения дефектов).
Анализ повреждаемости оборудования одного из предприятий показал, что большинство дефектов выявлено на относительно небольшом количестве оборудования (рис. 3). Предложено сосредоточить средства и ресурсы именно на этом, «больном» оборудовании, несколько уменьшив частоту проведения ППР на «здоровом» оборудовании. Ожидается, что это может дать значительную экономию средств без снижения работоспособности оборудования.
Использование показателей третьей группы наиболее перспективно для крупных предприятий, так как именно оптимизация системы проведения ТОиР может дать для них наибольший эффект.
В то же время именно показатели третьей группы наименее разработаны, а их применение наиболее редко встречается.
Рис. 3. Диаграмма распределения оборудования по числу дефектов
Регламент и еще раз регламент!
Мало разработать систему показателей и иметь соответствующие программные средства для ее поддержки. Для каждого из показателей необходим регламент его получения, который должен обеспечить полный и своевременный ввод необходимых исходных данных, постоянный анализ результатов мониторинга показателей. Так, например, для обеспечения анализа дефектов по видам, причинам, последствиям необходимо не только разработать многоаспектную классификацию дефектов, но и обеспечить описание всех дефектов в соответствии с разработанной классификацией.
Так, анализ причин дефектов с помощью информационной системы на предприятии электроэнергетики показал, что один из наиболее распространенных отказов связан с дефектом подшипников качения. Получив данные по количеству таких дефектов и подсчитав затраты на их устранение, руководство согласилось с предложением о выделении средств на модернизацию (замену типа подшипников).
Примеры обратного свойства - весьма многочисленны. Так, в большинстве случаев, даже внедрив электронный журнал дефектов, не удается заставить персонал «раскладывать по полочкам» все дефекты по мере их устранения. Это приводит к существенному ограничению возможностей автоматизированного анализа повреждаемости
К сожалению, в настоящее время на большинстве предприятий нет должностных лиц, в обязанности которых входил бы регулярный анализ данных, поступающих из EAM-систем. Отсутствуют навыки такого анализа, нет регламентов, которые бы определяли порядок использования аналитических данных. Поэтому очень важными являются определение правильной этапности внедрения системы управления ТОиР, выработка «стартового» состава показателей и последовательности его дальнейшего расширения - и одновременно разработка организационного обеспечения, гарантирующего как полный и своевременный ввод первичных данных, так и обязательную реакцию управленцев на выход итоговых показателей за установленные пределы. Только через обеспечение обратной связи в цепочке управления процессами ТОиР можно рассчитывать на эффективное воздействие управленцев на работу этой системы.
Необходимые условия
Для того чтобы полноценно использовать те возможности по анализу и управлению, которые могут предоставить EAM-системы, необходимо, по нашему мнению, выполнение следующих условий.
- Наличие на предприятии «узаконенной» системы показателей, которые бы описывали процессы ТОиР на макроуровне (укрупненным образом).
- Наличие программных средств, позволяющих обеспечить оперативное и объективное получение таких показателей, их хранение и удобное отображение.
- Введение в действие «узаконенного» и работающего регламента, обеспечивающего регулярный ввод в ИСУ ТОиР исходных данных, необходимых для расчета указанных показателей.
- Назначение людей, которые в силу своих должностных обязанностей должны использовать результаты анализа в своей работе и, что немаловажно, способны использовать эти данные, вырабатывая на их основе необходимые управляющие воздействия.
Все эти составляющие должны закладываться в проект внедрения ИСУ ТОиР уже на этапе проектирования. При этом разработчик информационно-управляющей системы предлагает заказчику номенклатуру готовых типовых решений (набор показателей, типовые регламенты, программное обеспечение для анализа), и далее, в диалоге с разработчиком заказчик, отталкиваясь от типовых решений, вырабатывает свою стартовую систему показателей, регламент ее поддержания и использования.
В дальнейшем, по мере накопления опыта использования ИСУ ТОиР на предприятии, система показателей может расширяться, обеспечивая решение более широкого круга задач по управлению процессами ТОиР.
В заключение следует подчеркнуть, что только работающая система мониторинга показателей качества процессов ТОиР в сочетании с системой выработки управляющих решений на основе анализа этих показателей способна превратить информационную систему EAM в полноценную систему управления ТОиР.
Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров и т. п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью N лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход R (T ) (T – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S (T ) , которая также зависит от возраста T , и купить новое оборудование за цену P . Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все N лет был максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял T 0 лет.
Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования T 0 .
Таблица 26
|
S (N ) |
При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как N -шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на N -шагов.
Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с K -го по N -й годы.
Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. K -го года.
Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (K = N ), то на K -м шаге неизвестно, в какие годы с первого по (K – 1 )-й должна осуществляться замена и соответственно неизвестен возраст оборудования к началу K -го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим T . На величину T накладывается следующее ограничение:
Выражение (*) свидетельствует о том, что T не может превышать возраст оборудования за (K – 1 )-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет T 0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу K -го года, если замена произошла в начале предыдущего (K – 1 )-го года).
Таким образом, переменная T в данной задаче является переменной состояния системы на K -м шаге.
Переменной управления на K -м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (C) или заменить (З) оборудование в начале K -го года:
Функцию Беллмана Fk (T ) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с K -го по N -й, если к началу K -го возраст оборудования составлял T лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале K -го года оборудование сохраняется, то к началу (K + 1 )-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет T +1 ), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (K + 1 )-го года возраста TI = 1 год.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых – непосредственного результата управления и его последствий.
Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого T лет, то доход за этот год составит R (T ) . К началу (K + 1 )-го года возраст оборудования достигнет (T + 1 ) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (K + 1 )-го по N -й) составит Fk +1 (T +1) . Если в начале K -го года принято о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста T лет по цене S (T ) , приобретается новое за P единиц, а его эксплуатация в течение K -го года нового оборудования принесет прибыль R (0) . К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (K + 1 )-го по N -й максимально возможный доход будет Fk +1 (1) . Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид
(31)
Функция Fk
(T
)
вычисляется на каждом шаге управления для всех 
. Управление, при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.
Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-й год:
(32)
Значения функции Fn (T ) , определяемые Fn -1 (T ), Fn -2 (T ) вплоть до F 1 (T ). F 1 (T 0 ) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по N -й и т. д. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.
Пример 74. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы табл. 27, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
Таблица 27
|
S (T ) |
. 1 этап. Условная оптимизация.
1-й шаг. K = 6 . Для первого шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6. Функциональное управление имеет вид (31).
2-й шаг. K = 5 . Для второго шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5. Функциональное уравнение имеет вид
3-й шаг. K = 4 .
4-й шаг. K = 3 .
5-й шаг. K = 2 .
6-й шаг. K = 1 .
Результаты вычислений Беллмана Fk (T ) приведены в следующей таблице, в которой K – год эксплуатации, T – возраст оборудования.
Таблица 28
В табл. 28 выделено серым значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
2-й этап. Безусловная оптимизация.
Безусловная оптимизация начинается с шага при K = 1 . Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F 1 (1) = 37 . Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: T 2 = T 1 + 1 = 1 + 1 = 2 . Безусловно, оптимальное управление при K =2 , Х2(2) = С , т. е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется.
К началу третьего года при k=3 возраст оборудования станет: T 3 = T 2 + 1 = 3. Безусловное оптимальное управление Х3(3) = З , т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо провести замену оборудования.
К началу четвертого года при K =4 возраст оборудования станет равен T 4 =1 . Безусловное оптимальное управление Х4(1) = С .
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.
Динамическое программирование
Динамическое программирование – один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия и управления может быть разбит на отдельные этапы.
Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием – управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года по обеспечению предприятия сырьём, замене оборудования, финансированию и т. д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально возможного объёма продукции или прибыли.
Одним из основных методов динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного американским математиком Беллманом. Принцип состоит в том, что, каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придёт система в конце данного шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, лучше с точки зрения процесса в целом.
В некоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процесс управления разбивается на шаги. При распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия шагом считается временной период; при распределении средств между предприятиями – номер очередного предприятия.
Одной из важнейших экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на новые.
Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость.
Вполне возможно, что старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать его; причём его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным.
Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.
Будем использовать обозначения:
r(t) – стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет;
u(t) – ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;
s(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;
Р – покупная цена оборудования.
Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный план замены оборудования.
Обозначим через f N (t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.
Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Например, N = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса.
На каждом этапе N -стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.
Уравнения, помогающие выбрать оптимальное решение, имеют вид:
Первое уравнение описывает N -стадийный процесс, а второе – одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя – доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.
В первом уравнении функция r(t) - u(t) есть разность между стоимостью произведённой продукции и эксплуатационными издержками на N – й стадии процесса.
Функция f N -1 (t+1) характеризует суммарную прибыль от (N - 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.
Нижняя строка уравнения 1 характеризуется следующим образом: функция s(t) – P представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.
Функция r (0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т. е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.
Последняя функция f N -1 (1) в первом уравнении представляет собой доход от оставшихся N – 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.
В уравнении для одностадийного процесса нет слагаемого вида f 0 (t + 1), так как N принимает значения 1, 2, …, N . Равенство f 0 (t ) = 0 следует из определения функции f N (t).
Рассмотренные уравнения являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину f N (t) в зависимости от f N -1 (t+1) . Данные уравнения показывают, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t +1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N – 1).
Уравнения позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем, чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения позволяют выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении и замене оборудования, а также определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.
Пример. Р = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t) , представленных в таблице.
| t | |||||||||||||
| f(t) |
РЕШЕНИЕ. Запишем уравнения в следующем виде:
.
…………………………………………………
…………………………………………………
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие f 1 (1) > f 2 (2), т. е. в данный момент оборудование необходимо заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены оборудования, больше, чем в случае использования старого. Результаты расчётов помещаются в таблицу, момент замены отмечается звёздочкой, после чего дальнейшие вычисления по строке прекращаются.
| t f N (t) | |||||||||||||
| N | N- 1 | ||||||||||||
| f 1 (t) | |||||||||||||
| f 2 (t) | 9* | ||||||||||||
| f 3 (t) | 17 * | ||||||||||||
| f 4 (t) | 24* | ||||||||||||
| f 5 (t) | 30* | ||||||||||||
| f 6 (t) | 35* | ||||||||||||
| f 7 (t) | 41* | ||||||||||||
| f 8 (t) | 48* | ||||||||||||
| f 9 (t) | 54* | ||||||||||||
| f 10 (t) | 60* | ||||||||||||
| f 11 (t) | 65* | ||||||||||||
| f 12 (t) | 72* |
По результатам вычислений и по линии, разграничивающей области решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года.
Ответ. Для получения максимальной прибыли от использования оборудования в двенадцатиэтапном процессе оптимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.
Задачи для групповой работы на занятии по теме «Динамическое программирование»
1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его работы, а также затраты на содержание и ремонт при различном времени его использования приведены в таблице.
Известно, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования составляют 40 млн. р., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общий доход за данный период времени максимален.
2. К началу анализируемого периода на предприятии установлено новое оборудование.
Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных:
покупная цена оборудования (Р ) составляет 12 ден. ед.;
остаточная стоимость оборудования S (t ) = 0;
f (t ) = r (t ) – u (t ) – максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за год при условии оптимальной стратегии, где r (t ) – стоимость продукции, выпускаемой за год на единице оборудования возраста t лет, u (t ) – ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;
N = 8 лет.
Зависимость f (t ) от t задана в таблице.
Найти оптимальную стратегию фирмы в распределении автолавок по населённым пунктам, максимизирующую общий товарооборот.
4. В таблице указан возможный прирост выпуска продукции четырьмя плодово-консервными заводами в области в млн. р. При осуществлении инвестиций на их модернизацию с дискретностью 50 млн. р., причём на один завод можно осуществить только одну инвестицию.
Составить план распределения инвестиций между заводами области, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.
5. В трёх областях необходимо построить 5 предприятий по переработке сельскохозяйственной продукции одинаковой мощности.
Разместить предприятия таким образом, чтобы осуществить минимальные суммарные затраты на их строительство и эксплуатацию.
Функция расходов g i (x ), характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от количества размещаемых предприятий в i -й области, приведена в таблице.
А Х (восток)
Ответы: 1. Оборудование заменить через 3 года.
2. Оборудование заменить через 4 года.
3. В первый населённый пункт направить 1 автолавку, во второй – 3, в третий – 1, при этом товарооборот будет максимальный, равный 64 тыс. р.
4. Инвестировать третьему заводу 50 млн. р., четвёртому заводу – 150 млн. р., максимальный прирост выпуска продукции составит 146 млн. р.
5. В первой области построить 2 предприятия, в третьей – 3, минимальные затраты составят 29 млн. р.
6. 
, минимальные затраты равны 35 млн. р.
Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 10 , а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
| T | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 |
| S(t) | 10 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 |
Решение
находим с помощью калькулятора .
I этап. Условная оптимизация
(k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З))
F 6 (1) = max(8 ; 7 - 10 + 8) = 8 (C)
F 6 (2) = max(7 ; 6 - 10 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = max(7 ; 5 - 10 + 8) = 7 (C)
F 6 (4) = max(6 ; 4 - 10 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max(6 ; 3 - 10 + 8) = 6 (C)
F 6 (6) = max(5 ; 2 - 10 + 8) = 5 (C)
2-й шаг: k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = max(8 + 7 ; 7 - 10 + 8 + 8) = 15 (C)
F 5 (2) = max(7 + 7 ; 6 - 10 + 8 + 8) = 14 (C)
F 5 (3) = max(7 + 6 ; 5 - 10 + 8 + 8) = 13 (C)
F 5 (4) = max(6 + 6 ; 4 - 10 + 8 + 8) = 12 (C)
F 5 (5) = max(6 + 5 ; 3 - 10 + 8 + 8) = 11 (C)
3-й шаг: k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = max(8 + 14 ; 7 - 10 + 8 + 15) = 22 (C)
F 4 (2) = max(7 + 13 ; 6 - 10 + 8 + 15) = 20 (C)
F 4 (3) = max(7 + 12 ; 5 - 10 + 8 + 15) = 19 (C)
F 4 (4) = max(6 + 11 ; 4 - 10 + 8 + 15) = 17 (C/ З)
4-й шаг: k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = max(8 + 20 ; 7 - 10 + 8 + 22) = 28 (C)
F 3 (2) = max(7 + 19 ; 6 - 10 + 8 + 22) = 26 (C/ З)
F 3 (3) = max(7 + 17 ; 5 - 10 + 8 + 22) = 25 (З)
5-й шаг: k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max(8 + 26 ; 7 - 10 + 8 + 28) = 34 (C)
F 2 (2) = max(7 + 25 ; 6 - 10 + 8 + 28) = 32 (C/ З)
6-й шаг: k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = max(8 + 32 ; 7 - 10 + 8 + 34) = 40 (C)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана F k (t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.
| k / t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 40 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 34 | 32 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 3 | 28 | 26 | 25 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 22 | 20 | 19 | 17 | 0 | 0 |
| 5 | 15 | 14 | 13 | 12 | 11 | 0 |
| 6 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 |
В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
II
этап. Безусловная оптимизация
(k = 6,5,4,3,2,1)
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 7-й составляет F 1 (1) = 40. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.
К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2.
Безусловное оптимальное управление при k = 2, x 2 (2) = (C/З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 3 = t 2 + 1 = 0 + 1 = 1.
Оптимальное управление при k = 3, x 3 (1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 4 = t 3 + 1 = 1 + 1 = 2.
Оптимальное управление при k = 4, x 4 (2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 5 = t 4 + 1 = 2 + 1 = 3.
Оптимальное управление при k = 5, x 5 (3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t 6 = t 5 + 1 = 3 + 1 = 4.
Оптимальное управление при k = 6, x 6 (4) = (C), т.е. максимум дохода за 6-ой год достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации.
В процессе эксплуатации оборудование подвергается физическому и моральному износу. Существует два способа восстановления оборудования - полное и частичное. При полном восстановлении оборудование меняется на новое, при частичном оборудование ремонтируется. Для оптимального использования оборудования нужно найти возраст, при котором его необходимо заменить, чтобы доход от машины был максимальным или, если доход подсчитать не удается, издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды были минимальными. Данный подход рассматривается с позиции экономических интересов потребителя.
Для оптимизации ремонта и замены оборудования требуется разработать на плановый период стратегию по замене машины. В качестве экономических интересов может быть использован один из двух подходов:
1. Максимум дохода от машины за определенный промежуток времени.
2. Минимум затрат на ремонтно-эксплуатационный нужды, если доход подсчитать не удается.
Данная задача решается методом динамического программирования. Основная идея этого метода заключается в замене одновременного выбора большего количества параметров поочередным их выбором. Этим методом могут быть решены самые различные задачи оптимизации. Общность подхода к решению самых различных задач является одним из достоинств этого метода.
Рассмотрим механизм оптимизации ремонта и замены оборудования. Для решения задачи введем следующие обозначения:
t - возраст оборудования;
d(t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;
U(t) - издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды машины возраста t;
С - цена нового оборудования.
Для решения этой задачи введем функцию f n (t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n - лет у нас была машина возраста t - лет.
Алгоритм решения задачи следующий:
1) f 1 (t) = max d(0) - С
2) f n (t) = max f n-1 (t+1) + d(t)
f n-1 (1) + d(0) - С
Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так:
d(t) = r(t) - u(t)
r(t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;
u(t) - годовые затраты на ремонтно - эксплуатационные нужды
оборудования возраста t.
Подход максимизации дохода
Для решения этой задачи введем функцию f n (t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет.
Если до конца периода остался 1 год
Если до конца периода осталось n лет
где t - возраст оборудования;
d (t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;
C - цена нового оборудования.
Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так
d(t) = r(t) - u(t)
где r (t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;
u(t) - годовые затраты на ремонтно-экплуатационные нужды оборудования возраста t.
Рассчитаем чистый доход по формуле, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт.
Таблица 2. Чистый доход от оборудования по годам
Рассчитаем оптимальную стратегию замены и сохранения оборудования, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт и цену нового изделия С=44 усл. ед.
Таблица 3. Стратегия замены оборудования
Поле сохранения Поле замены
Построим «оптимальную» стратегию замены оборудования на период 10 лет, которому в начале замены было 1 год. В таблице 3 она показана стрелками, а в сокращенной записи будет иметь следующий вид:
F 10 (2) = 34 + 30 + 26 + 24 - 2 + 38 + 34 + 30 + 26 + 24 = 264
Подход минимизации затрат
В случае, если доход подсчитать не удается, в качестве экономических интересов может быть использован подход минимума затрат на ремонтно-эксплуатационные нужды при разработке стратегии по замене оборудования на плановый период. В данном случае, формулы расчета примут следующий вид:
Если до конца периода остался 1 год:
Если до конца периода осталось n лет:
где f n (t) - функция, которая показывает величину минимальных издержек за последние n-лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет;
u(t) - издержки от оборудования возраста t-лет.
Таблица 4
Поле сохранения Поле замены
Построим «оптимальную» стратегию замены оборудования на период 10 лет, которому в начале замены было 1 год. В таблице 4 она показана стрелками, а в сокращенной записи будет иметь следующий вид:
С - С - С - С - З - С - С - С - С - С
Чистый доход за 10 лет от оборудования возраста 1 год при выборе этой стратегии замены составит:
F 10 (2) = 3 + 4 + 6 + 7 + 43 + 1 + 3 + 4 + 6 + 7 = 84