Федеральное государственное образовательное
Учреждение высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
Кафедра «Прикладная математика»
В.Ю.Попов В.И.Троицкий
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТЕСТОВЫХ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
Москва 2011
Введение
В последнее время для проверки текущих знаний учащихся, проведения промежуточных зачетов, а также при сдаче экзаменов и оценке остаточных знаний студентов все чаще используются различные формы тестирования. Пособие предназначено для эффективной подготовки студентов бакалавриата направлений «Прикладная математика и информатика» и «Прикладная информатика» к тестированию по дисциплине «Физика».
Матрицы вращения используются для поворота вектора в новое направление. При преобразовании векторов в трехмерном пространстве часто встречаются матрицы вращения. Матрицы вращения используются в двух смыслах: их можно использовать для поворота вектора в новое положение или их можно использовать для поворота базы координат в новую. В этом случае вектор остается один, но его компоненты в новом базисе будут отличаться от компонентов в исходной базе. Каждое вращение задается углом поворота. Угол поворота определяется как положительный для вращения, против часовой стрелки, когда наблюдатель смотрит вдоль оси вращения в направлении начала координат.
1. Механика
- кинематика точки и поступательного движения твердого тела;
- динамика точки и поступательного движения твердого тела;
- динамические параметры вращательного движения твердого тела;
- динамика вращательного движения;
- законы сохранения в механике;
- элементы специальной теории относительности.
Любое произвольное вращение может состоять из комбинации этих трех. Следующие три цифры показывают, какие позитивные вращения выглядят для каждой оси вращения. Для любого вращения существует обратное вращение, удовлетворяющее А - 1 А = 1. Например, обратная матрица вращения оси х получается путем изменения знака угла.
Этот пример иллюстрирует основное свойство: обратная матрица вращения равна транспонированию оригинала. При вращениях сохраняются длины векторов, а также углы между векторами. Мы можем думать о поворотах по-другому. Новые базисные векторы можно записать в виде линейных комбинаций старых и включить транспонирование.
Задача 1.Материальная точкаM движется по окружности со скоростью. На рис.1 показан график зависимости проекции скоростиот времени (– единичный вектор положительного направления,– проекцияна это направление). При этом какое направление имеет вектор
полного ускорения на рис.2 (1, 3, 4, 2)?
Теперь любой вектор может быть записан как линейная комбинация любого набора базисных векторов. Круговая платформа вращается вокруг оси, перпендикулярной ей, которая проходит через ее центр с равномерной угловой скоростью ω. Найдите выражение скорости автомобиля, видимого с платформы, и от наблюдателя при абсолютном покое.
Опишите траектории, которые автомобиль описывает для каждого из этих наблюдателей. Он определяет кинематические величины и в момент, представленный на рисунке. Что должно произойти, чтобы мгновенная ось вращения и минимальное скольжение проходили через центр диска? Вычислить в этом случае временную производную кинематической редукции. . Следовательно, всегда есть прямой участок боковой поверхности конуса, контактирующий с радиусом диска. Когда конус перемещается, он переворачивается без скольжения по диску.
В задаче 1 показано, что скорость материальной точки М со временем уменьшается. Мы знаем, что при уменьшении величины скорости вектор тангенциального ускорения направлен противоположно скорости, (т.е противоположно вектору τ), а вектор нормального ускорениявсегда к центру траектории (центру окружности). Следовательно направление полного ускорения-4.
Укажите положение мгновенных осей различных движений, существующих в этой системе. Примечание. 
- Кинематические сокращения относительных движений.
- Оси вращения и характер движений.
- Поля ускорения.
Задача 2. Если и– тангенциальная и нормальная составляющие ускорения, то для какого вида движения (равномерного движения по окружности, равномерного криволинейного, прямолинейного равноускоренного, прямолинейного равномерного) справедливы соотношения:a τ = 0 ,a τ = 0 ?
0 справедливо лишь для прямолинейного равномерного движения.
Кроме того, конусы перемещаются так, что их точки в контакте не имеют относительного проскальзывания. Разумно получить кинематическую пару, которая описывает в общем случае мгновенное движение, разрешенное твердому 2 относительно полосы. Каково количество степеней свободы системы? . Диск вращается с постоянной угловой скоростью ω, ось вращения которой совпадает со стержнем. На двух перпендикулярных стенках были установлены плоские вентиляторы с фиксированной ориентацией, как на одной высоте, так и с их соответствующими центрами, расположенными на равном расстоянии от угла.
Задача 3. Твердое тело из состояния покоя начинает вращаться вокруг оси Z с угловым ускорением, проекция которого изменяется во времени, как показано на графике.
В какой момент времени угловая скорость вращения тела достигнет максимальной величины?
В этой задаче по зависимости углового ускорения ε Ζ от скорости нужно найти момент времени,
когда угловая скорость достигает максимальной величины. Известно, что ε Z = | Откуда d ω | ||
ε Z dt иω (t ) =∫ 0 t ε Ζ (t ) dt . То есть значениеугловой скоростиω (t ) определяется площадью | |||
под кривой ε Ζ (t ) с учетом того, что площадь выше оси t положительна, ниже оси - | |||
отрицательна. Исходя из этого видно, что наибольшая суммарная площадь (с учетом знака) соответствует t = 10c.
Задача 4. В каких ситуациях второй закон Ньютона применяется в форме где- силы, действующие на тело со стороны других тел?
а)пригоден для описания движения микрообъектов;б)справедлив только при скоростях движения тела, много меньших скорости света в вакууме;в) справедлив при скоростях движения тела как малых, так и сопоставимых со скоростью света в вакууме;г) справедлив в любой системе отсчета.
Второй закон Ньютона вформе m a = ∑ F : справедлив только при скоростях движения тела, меньших скорости света в вакууме. При скоростях соизмеримых со скоростью света справедливо
релятивиcтское уравнение динамики d dt p = ∑ F , гдеp - релятивистский импульс. Описание движения микрообъектов осуществляется в квантовой
механике. Законы Ньютона справедливы только в инерциональных системах отсчета.
Задача 5. Точка М движется по спирали с постоянной по величине скоростью в направлении, указанном стрелкой. Приэтом как себя ведет величина полного ускорения (не изменяется, увеличивается, уменьшается)
Из рисунка видно, что радиус кривизны траектории точки М уменьшается и хотя
скорость не меняется, а следовательно тангенциальное ускорение (a T =d dt ν ) равно нулю,
Система состоит из трех шаров c массами m1 =1 кг, m2 =2кг, m3 =3 кг, которые движутся так, как показано на рисунке.
Если скорости шаров равны v1 =3м/с, v2 =2м/с, v3 =1м/с, то чему равна величина скоростицентра масс этой системы в м/c ?
Суммарный импульс механической систем (в данном случае системы трех шаров) равен сумме
импульсов элементов системы, т.е | (∑ m i) V c= ∑ m l | ν l или скорость центра масс системы |
|||||||||||||||||||||
равна V c = | ∑ mj υ j | ||||||||||||||||||||||
∑ mj | |||||||||||||||||||||||
Соответственно, проекции | на оси х и у равны υ | ∑ m jυ xj | |||||||||||||||||||||
∑ mj | |||||||||||||||||||||||
m 10 + m 22 2+ m 30 | ; υ ce | ∑ mj υ j | 3 м | M 2 0 | M 3 (1 м | 1 3 − 3 1 | |||||||||||||||||
∑ mj | |||||||||||||||||||||||
То есть υ с = υ cx = 2 м | |||||||||||||||||||||||
Импульс тела изменился под действием кратковременного удара и стал равным, как показано на рисунке.
В каком направлении действовала сила в момент удара?
Мы знаем, что второй закон Ньютона можно представить в виде | ∆p = | ∆ t, |
||||||||
∆ p = p 2 − p 1 . Видно, что направление силы | ||||||||||
F cp совпадает с направлением изменения |
||||||||||
импульса ∆ p , которое можно найти по правилу сложения векторов:p 2 | P 1 + ∆ p , то есть в |
|||||||||
момент удара сила действует в направлении 3. | ||||||||||
Задача 8. Теннисный мячлетел с импульсом в горизонтальном направлении, когда теннисист произвел по мячу резкий удар длительностью0,1 с. Изменившийся импульсмяча стал равным(масштаб указан на рисунке). Чему равна средняя сила удара?
Подобно предыдущей задаче F cp ∆ t = p 2 − p 1 . Найдя величину и направление∆ p = p 2 − p 1
и разделив на ∆ t | ||||||||||||||
Из рисунка видно, как найти | ∆ p (p | + ∆p =p | ) . В масштабе клеток | ∆ p 2= 3 2кл + 4 2кл = 5 2кл |
||||||||||
∆ p= 5 кл= 5 1 кгм с=5кг/c | ||||||||||||||
F cp= | ∆p | 5 кг | 50 H . | |||||||||||
∆t | ||||||||||||||
0,1с | ||||||||||||||
Задача 9.Материальная точка M движется по окружности со скоростью. На рис. 1 показан график зависимостиот времени (– единичный вектор положительного направления,–
проекция на это направление). На рис.2 укажите направление силы, действующей на т.М в момент времениt 1 .
t 1 соответствует участку, где скорость увеличивается.С учетом того, что нормальное ускорение направлено к центру окружности, полное ускорениеa (a = a T + a n )
На участке t 2 скорость не меняется,a T = 0 ,а тангенциальное при увеличении скорости полное ускорениеa = a H и направлено как 2. На участкеt 3 , где скорость уменьшается, полное
ускорение направлено как 4 (тангенциальное ускорение противоположно скорости)Направление силы, как мы знаем совпадает с направлением ускорения a
Задача 10 В потенциальном поле сила пропорциональна градиенту потенциальной энергии
Если график зависимости потенциальной энергииот координаты x имеет вид, представленный на рисунке,
Проекции силы на направления x, y, z
равны F = −
∂W p
∂W p
; F = −
∂W p
Учитывая,
∂X
∂y
∂z
что зависимость W
(x ) похоже на
= α x 2 , то
F = − (α x2 ) "
= − 2 dx , то зависимость
проекции силы на ось X имеет вид 2.
Задача 11. Тело массой 2 кг поднято над Землей. Его потенциальная энергия 400 Дж. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, то какой должна быть скорость, с которой оно упадет на Землю?
(40 м/с, 20 м/с,10 м/,14 м/с)
Тело массой m=2m поднято над землей. Его потенциальная энергия равна 400Дж. Считая, что на поверхности Земли потенциальная энергия = 0 и отсутствует сопротивление воздуха,
кинетическую энергию тела у поверхности земли найдем по формуле | m ν2 | Mgh= 400 Дж. |
|||||||
V 2 = 400м 2 | и V = 20 | ||||||||
Задача 12. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной
энергии шайбы от координатых изображена на графике
Чему равно отношение кинетической энергии шайбы в точках С и В?
в 2 раза меньше, чем в точке В; в 1,75 раза больше, чем в точке В; в 1,75 раза меньше, чем в точке В; в 2 раза больше, чем вточке В.
Если сопротивление движения шайбы не учитывать, то полная механическая энергия шайбы не меняется, т.е в любой точке с координатами X онаравна энергии в точке А.
Если в точке А движение без начальной скорости (кинетическая энергия равна 0), то полная энергия равна потенциальной энергии Е=100Дж.
Если в точке В потенциальная энергия 70Дж,то кинетическая энергия = 30Дж,а в точка С потенциальная энергия равна 40 Дж и кинетическая энергия 60 Дж.Тогда кинетическая энергия в точке С в 2 раза больше, чем в точке С.
Задача 13. Обруч массой m=0,3 кг и радиусом R=0,5 м привели во вращение, сообщив ему энергию вращательного движения 1200 Дж, и опустили на пол так, что его ось вращения оказалась параллельной плоскостипола. Если обруч начал двигаться без проскальзывания, имея кинетическую энергию поступательного движения 200 Дж, то какую работу совершила сила трения?
Вариант 5
5.1. На рисунке стрелками показаны направления углового ускорения вращающихся дисков, а также указано, как изменяется их угловая скорость по модулю с течением времени. Какие диски вращаются по часовой стрелке (если смотреть снизу на диск)?
5.2. Диск вращается с постоянным угловым ускорением ε = 5рад/с . Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от n 1 = 240 мин -1 до n 2 = 90 мин -1 ? Найдите время, в течение которого это произойдет.
5.3. 
Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется во времени, как показано на графике. На какой угол (в рад
) окажется повернутым тело относительно начального положения через 10 с
?
5.4. Рассматриваются три тела: диск, тонкостенная труба и сплошной шар; причем массы m и радиусы оснований диска и трубы одинаковы. Верным для моментов инерции рассматриваемых тел относительно указанных осей является соотношение …
1) J 3 < J 2 < J 1 2) J 3 < J 1 < J 2 3) J 1 < J 2 < J 3 4) J 3 < J 1 = J 2
5.5. Диски вращаются вокруг неподвижных вертикальных осей. На рисунке указаны стрелкой направления вращения диска и как изменяется угловая скорость вращения с течением времени. Укажите номера дисков, моменты импульса которых направлены вдоль оси вращения вниз.
5.6. По ободу шкива, насаженного на общую ось с маховым колесом, намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m = 4,0 кг . На какое расстояние должен опуститься груз, чтобы колесо со шкивом получило скорость, соответствующую частоте n = 60 об/мин ? Момент инерции колеса со шкивом J = 0,42 кг м 2 , радиус шкива r = 10 cм. Это задача №2
5.7. На рисунке приведен график зависимости от времени проекции угловой скорости вращающегося тела на ось вращения. Момент действующих на тело сил был постоянным не равным нулю на участке …
5.8. Человек стоит на скамье Жуковского, вращающейся с пренебрежимо малым трением, и ловит ручной мяч массой m = 0,4 кг , летящий в горизонтальном направлении со скоростью v = 20 м/с . Траектория мяча проходит на расстоянии r = 0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью ω начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч? Считать, что суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кг∙м 2 .
5.9. Маховик вращается вокруг по закону, выраженному уравнением φ = 2+16t- 2t 2 , рад . Найдите среднюю мощность, развиваемую силами действующими на маховикпри его движении до остановки, если его момент инерции J = 100 кг∙м 2 Чему равна мощность в момент времени t = 3с.
5.10. Мальчик катит обруч по горизонтальной поверхности со скоростью v=7.2 км/ч., Найдите высоту (в метрах), на которую может вкатиться обруч в горку за счет своей кинетической энергии, если пренебречь силой трения качения. Угол наклона горки составляет .