Lekcia na tému: "Graf a vlastnosti funkcie $y=x^3$. Príklady vykresľovania grafov"
Dodatočné materiály
Vážení používatelia, nezabudnite zanechať svoje komentáre, recenzie, želania. Všetky materiály boli skontrolované antivírusovým programom.
Učebné pomôcky a simulátory v internetovom obchode Integral pre 7. ročník
Elektronická učebnica pre 7. ročník "Algebra za 10 minút"
Vzdelávací komplex 1C "Algebra, ročníky 7-9"
Vlastnosti funkcie $y=x^3$
Poďme si popísať vlastnosti tejto funkcie:
1. x je nezávislá premenná, y je závislá premenná.
2. Definičná oblasť: je zrejmé, že pre akúkoľvek hodnotu argumentu (x) možno vypočítať hodnotu funkcie (y). V súlade s tým je doménou definície tejto funkcie celý číselný rad.
3. Rozsah hodnôt: y môže byť čokoľvek. Rozsah hodnôt je teda aj celý číselný rad.
4. Ak x= 0, potom y= 0.
Graf funkcie $y=x^3$
1. Vytvorme si tabuľku hodnôt:
2. Pre kladné hodnoty x je graf funkcie $y=x^3$ veľmi podobný parabole, ktorej vetvy sú viac „pritlačené“ k osi OY.
3. Keďže pre záporné hodnoty x má funkcia $y=x^3$ opačné hodnoty, graf funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok.
Teraz si označme body na súradnicovej rovine a zostavme graf (pozri obr. 1).
Táto krivka sa nazýva kubická parabola.
Príklady
I. Malá loď úplne vyčerpala sladkú vodu. Z mesta je potrebné priviesť dostatočné množstvo vody. Voda sa objednáva vopred a platí sa za plnú kocku, aj keď jej napustíte o niečo menej. Koľko kociek si mám objednať, aby som nepreplatil kocku navyše a úplne naplnil nádrž? Je známe, že nádrž má rovnakú dĺžku, šírku a výšku, ktoré sa rovnajú 1,5 m, vyriešme tento problém bez vykonania výpočtov.
Riešenie:
1. Nakreslíme funkciu $y=x^3$.
2. Nájdite bod A, súradnicu x, ktorá sa rovná 1,5. Vidíme, že súradnica funkcie je medzi hodnotami 3 a 4 (pozri obr. 2). Treba si teda objednať 4 kocky.
Zostrojovanie grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko zostaviť graf aj tej najzložitejšie funkcie. Poďme zistiť, aké sú to algoritmy.
1. Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)|
Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené celé v hornej polrovine.
Vykreslenie grafu funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.
1) Opatrne a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte nezmenené všetky body na grafe, ktoré sú nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu, ktorá leží pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 – 4x + 3|
1) Zostrojíme graf funkcie y = x 2 – 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.
x 2 – 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).
Súradnice vrcholov paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.
Nakreslite parabolu pomocou získaných údajov (obr. 1)
2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, zobrazené ako bodkovaná čiara).
2. Vytvorenie grafu funkcie y = f(|x|)
Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.
Vykreslenie grafu funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.
1) Nakreslite graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v bode (2) symetricky k osi 0y.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pretože x 2 = |x| 2, potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná v nasledujúcom tvare: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.
1) Starostlivo a starostlivo zostavíme graf funkcie y = x 2 – 4 x + 3 (pozri aj ryža. 1).
2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte pravú stranu grafu symetricky k osi 0y.
(obr. 3).
Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|
Aplikujeme schému uvedenú vyššie.
1) Zostrojte graf funkcie y = log 2 x (obr. 4).
3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|
Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. To znamená, že grafy takýchto funkcií sú umiestnené úplne v hornej polrovine.
Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:
1) Opatrne zostrojte graf funkcie y = f(|x|).
2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu umiestnenú pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - 1
môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sa zhodujú.
Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.
a) Nakreslite graf funkcie y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Necháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
c) Výslednú časť grafu zobrazíme symetricky k osi 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).
Príklad 5. Nakreslite graf funkcie y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.
a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimnite si, že táto funkcia je zlomková lineárna a jej graf je hyperbola. Ak chcete nakresliť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne – y = 2/1 (pomer koeficientov x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne – x = -3.
2) Časť grafu, ktorá je nad osou 0x alebo na nej, ponecháme nezmenenú.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.
"Prirodzený logaritmus" - 0,1. Prirodzené logaritmy. 4. Logaritmické šípky. 0,04. 7.121.
"Stupeň výkonovej funkcie 9" - U. Kubická parabola. Y = x3. Učiteľka 9. ročníka Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kde n je dané prirodzené číslo. X. Exponent je párne prirodzené číslo (2n).
„Kvadratická funkcia“ - 1 Definícia kvadratickej funkcie 2 Vlastnosti funkcie 3 Grafy funkcie 4 Kvadratické nerovnice 5 Záver. Vlastnosti: Nerovnosti: Pripravil žiak 8.A triedy Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotónnosti pre a > 0 pre a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratická funkcia a jej graf” - Riešenie.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patrí. Keď a=1, vzorec y=ax nadobudne tvar.
„Kvadratická funkcia ôsmeho stupňa“ - 1) Zostrojte vrchol paraboly. Vykreslenie grafu kvadratickej funkcie. X. -7. Zostrojte graf funkcie. Algebra 8. ročník Učiteľ 496 Bovina škola T.V. -1. Stavebný plán. 2) Zostrojte os súmernosti x=-1. r.
Žiaľ, nie všetci študenti a školáci poznajú a milujú algebru, ale každý si musí pripravovať domáce úlohy, riešiť testy a robiť skúšky. Pre mnohých ľudí je obzvlášť ťažké zostaviť grafy funkcií: ak niekde niečomu nerozumiete, nedokončíte sa to alebo to vynecháte, chyby sú nevyhnutné. Ale kto chce mať zlé známky?
Chceli by ste sa pridať do kohorty študentov s chvostom a chudobných študentov? Máte na to 2 spôsoby: sadnúť si k učebniciam a doplniť medzery vo vedomostiach, alebo využiť virtuálnu asistentku – službu na automatické vykresľovanie grafov funkcií podľa daných podmienok. S riešením alebo bez neho. Dnes vám predstavíme niekoľko z nich.
Najlepšia vec na Desmos.com je jeho vysoko prispôsobiteľné rozhranie, interaktivita, schopnosť organizovať výsledky do tabuliek a ukladať vašu prácu v databáze zdrojov zadarmo bez časového obmedzenia. Nevýhodou je, že služba nie je úplne preložená do ruštiny.
Grafikus.ru
Grafikus.ru je ďalšia grafická kalkulačka v ruskom jazyku, ktorá si zaslúži pozornosť. Navyše ich stavia nielen v dvojrozmernom, ale aj trojrozmernom priestore.
Tu je neúplný zoznam úloh, s ktorými sa táto služba úspešne vyrovná:
- Kreslenie 2D grafov jednoduchých funkcií: priamky, paraboly, hyperboly, trigonometrické, logaritmické atď.
- Kreslenie 2D grafov parametrických funkcií: kružnice, špirály, Lissajousove obrazce a iné.
- Kreslenie 2D grafov v polárnych súradniciach.
- Konštrukcia 3D plôch jednoduchých funkcií.
- Konštrukcia 3D plôch parametrických funkcií.
Hotový výsledok sa otvorí v samostatnom okne. Používateľ má možnosti stiahnuť, vytlačiť a skopírovať odkaz naň. V druhom prípade sa budete musieť prihlásiť do služby pomocou tlačidiel sociálnych sietí.
Súradnicová rovina Grafikus.ru podporuje zmenu hraníc osí, ich označení, rozstupov mriežky, ako aj šírky a výšky samotnej roviny a veľkosti písma.
Najväčšou silou Grafikus.ru je schopnosť vytvárať 3D grafiku. V opačnom prípade to nefunguje horšie a nie lepšie ako analógové zdroje.
Onlinecharts.ru
Online asistent Onlinecharts.ru nevytvára grafy, ale diagramy takmer všetkých existujúcich typov. Počítajúc do toho:
- Lineárne.
- Stĺpcový.
- Kruhový.
- S regiónmi.
- Radiálne.
- XY-grafov.
- Bublina.
- Spot.
- Polárne bubliny.
- Pyramídy.
- Rýchlomery.
- Stĺpcovo-lineárne.
Použitie zdroja je veľmi jednoduché. Vzhľad diagramu (farba pozadia, mriežka, čiary, ukazovatele, tvary rohov, fonty, priehľadnosť, špeciálne efekty atď.) je úplne určený používateľom. Údaje pre stavbu je možné zadávať buď ručne, alebo importovať z tabuľky v súbore CSV uloženom v počítači. Hotový výsledok je k dispozícii na stiahnutie do počítača vo forme obrázka, súboru PDF, CSV alebo SVG, ako aj na uloženie online na webhostingu fotografií ImageShack.Us alebo na váš osobný účet Onlinecharts.ru. Prvú možnosť môžu využiť všetci, druhú len registrovaní.