Zostrojovanie grafov funkcií obsahujúcich moduly zvyčajne spôsobuje školákom značné ťažkosti. Všetko však nie je také zlé. Stačí si zapamätať niekoľko algoritmov na riešenie takýchto problémov a môžete ľahko zostaviť graf aj tej najzložitejšie funkcie. Poďme zistiť, aké sú to algoritmy.
1. Zostrojenie grafu funkcie y = |f(x)|
Všimnite si, že množina funkčných hodnôt y = |f(x)| : y ≥ 0. Grafy takýchto funkcií sú teda vždy umiestnené celé v hornej polrovine.
Vykreslenie grafu funkcie y = |f(x)| pozostáva z nasledujúcich jednoduchých štyroch krokov.
1) Opatrne a starostlivo zostrojte graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte nezmenené všetky body na grafe, ktoré sú nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu, ktorá leží pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = |x 2 – 4x + 3|
1) Zostrojíme graf funkcie y = x 2 – 4x + 3. Je zrejmé, že grafom tejto funkcie je parabola. Nájdite súradnice všetkých priesečníkov paraboly so súradnicovými osami a súradnicami vrcholu paraboly.
x 2 – 4 x + 3 = 0.
x 1 = 3, x 2 = 1.
Preto parabola pretína os 0x v bodoch (3, 0) a (1, 0).
y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.
Preto parabola pretína os 0y v bode (0, 3).
Súradnice vrcholov paraboly:
x v = -(-4/2) = 2, y v = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.
Preto bod (2, -1) je vrcholom tejto paraboly.
Nakreslite parabolu pomocou získaných údajov (obr. 1)
2) Časť grafu ležiaca pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na os 0x.
3) Získame graf pôvodnej funkcie ( ryža. 2, zobrazené ako bodkovaná čiara).
2. Vytvorenie grafu funkcie y = f(|x|)
Všimnite si, že funkcie tvaru y = f(|x|) sú párne:
y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). To znamená, že grafy takýchto funkcií sú symetrické okolo osi 0y.
Vykreslenie grafu funkcie y = f(|x|) pozostáva z nasledujúceho jednoduchého reťazca akcií.
1) Nakreslite graf funkcie y = f(x).
2) Ponechajte tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte časť grafu špecifikovanú v bode (2) symetricky k osi 0y.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 2. Nakreslite graf funkcie y = x 2 – 4 · |x| + 3
Pretože x 2 = |x| 2, potom môže byť pôvodná funkcia prepísaná v nasledujúcom tvare: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Teraz môžeme použiť algoritmus navrhnutý vyššie.
1) Starostlivo a starostlivo zostavíme graf funkcie y = x 2 – 4 x + 3 (pozri aj ryža. 1).
2) Ponecháme tú časť grafu, pre ktorú x ≥ 0, teda tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
3) Zobrazte pravú stranu grafu symetricky k osi 0y.
(obr. 3).
Príklad 3. Nakreslite graf funkcie y = log 2 |x|
Aplikujeme schému uvedenú vyššie.
1) Nakreslite graf funkcie y = log 2 x (obr. 4).
3. Vykreslenie funkcie y = |f(|x|)|
Všimnite si, že funkcie tvaru y = |f(|x|)| sú tiež párne. Skutočne, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), a preto sú ich grafy symetrické okolo osi 0y. Súbor hodnôt takýchto funkcií: y ≥ 0. To znamená, že grafy takýchto funkcií sú umiestnené úplne v hornej polrovine.
Ak chcete vykresliť funkciu y = |f(|x|)|, musíte:
1) Opatrne zostrojte graf funkcie y = f(|x|).
2) Ponechajte nezmenenú časť grafu, ktorá je nad alebo na osi 0x.
3) Zobrazte časť grafu umiestnenú pod osou 0x symetricky vzhľadom na os 0x.
4) Ako konečný graf vyberte spojenie kriviek získaných v bodoch (2) a (3).
Príklad 4. Nakreslite graf funkcie y = |-x 2 + 2|x| – 1|.
1) Všimnite si, že x 2 = |x| 2. To znamená, že namiesto pôvodnej funkcie y = -x 2 + 2|x| - 1
môžete použiť funkciu y = -|x| 2 + 2|x| – 1, keďže ich grafy sa zhodujú.
Zostavíme graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Používame na to algoritmus 2.
a) Nakreslite graf funkcie y = -x 2 + 2x – 1 (obr. 6).
b) Ponecháme tú časť grafu, ktorá sa nachádza v pravej polrovine.
c) Výslednú časť grafu zobrazíme symetricky k osi 0y.
d) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 7).
2) Nad osou 0x nie sú žiadne body, body na osi 0x necháme nezmenené.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x je zobrazená symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je na obrázku znázornený bodkovanou čiarou (obr. 8).
Príklad 5. Nakreslite graf funkcie y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|
1) Najprv musíte nakresliť funkciu y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Aby sme to urobili, vrátime sa k algoritmu 2.
a) Opatrne nakreslite funkciu y = (2x – 4) / (x + 3) (obr. 9).
Všimnite si, že táto funkcia je zlomková lineárna a jej graf je hyperbola. Ak chcete nakresliť krivku, musíte najprv nájsť asymptoty grafu. Horizontálne – y = 2/1 (pomer koeficientov x v čitateli a menovateli zlomku), vertikálne – x = -3.
2) Časť grafu, ktorá je nad osou 0x alebo na nej, ponecháme nezmenenú.
3) Časť grafu umiestnená pod osou 0x sa zobrazí symetricky vzhľadom na 0x.
4) Výsledný graf je znázornený na obrázku (Obr. 11).
webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.
Najprv sa pokúste nájsť doménu funkcie:
Zvládli ste to? Porovnajme odpovede:
Je všetko v poriadku? Výborne!
Teraz sa pokúsme nájsť rozsah hodnôt funkcie:
Nájdené? Porovnajme:
Mám to? Výborne!
Opäť pracujme s grafmi, len teraz to bude trochu komplikovanejšie - nájdite ako doménu definície funkcie, tak aj rozsah hodnôt funkcie.
Ako nájsť doménu aj rozsah funkcie (pokročilé)
Tu je to, čo sa stalo:
Myslím, že ste pochopili grafy. Teraz sa pokúsme nájsť doménu definície funkcie v súlade so vzorcami (ak neviete, ako to urobiť, prečítajte si časť o):
Zvládli ste to? Skontrolujme to odpovede:
- , pretože výraz radikálu musí byť väčší alebo rovný nule.
- , pretože nemôžete deliť nulou a radikálny výraz nemôže byť záporný.
- , keďže, respektíve pre všetkých.
- , pretože nemôžete deliť nulou.
Stále však máme ešte jeden nezodpovedaný bod...
Ešte raz zopakujem definíciu a zdôrazním ju:
Všimli ste si? Slovo „single“ je veľmi, veľmi dôležitým prvkom našej definície. Skúsim ti to vysvetliť prstami.
Povedzme, že máme funkciu definovanú priamkou. . Túto hodnotu dosadíme do nášho „pravidla“ a získame ju. Jedna hodnota zodpovedá jednej hodnote. Môžeme dokonca vytvoriť tabuľku rôznych hodnôt a graf tejto funkcie, aby sme sa sami presvedčili.
„Pozri! - poviete: "" sa vyskytuje dvakrát!" Takže možno parabola nie je funkcia? Nie, je!
Skutočnosť, že sa „ “ objaví dvakrát, nie je dôvodom na obviňovanie paraboly z nejednoznačnosti!
Faktom je, že pri výpočte sme dostali jednu hru. A pri kalkulácii sme dostali jednu hru. Takže je to tak, parabola je funkcia. Pozrite sa na graf:
Mám to? Ak nie, tu je príklad zo života, ktorý má k matematike veľmi ďaleko!
Povedzme, že máme skupinu žiadateľov, ktorí sa stretli pri predkladaní dokumentov, pričom každý z nich v rozhovore povedal, kde žije:
Súhlasíte, je celkom možné, že v jednom meste žije niekoľko ľudí, ale je nemožné, aby jeden človek žil vo viacerých mestách súčasne. Je to ako logické znázornenie našej „paraboly“ - Niekoľko rôznych X zodpovedá tej istej hre.
Teraz si predstavme príklad, kde závislosť nie je funkciou. Povedzme, že tí istí chlapci nám povedali, o aké špeciality sa uchádzali:
Tu máme úplne inú situáciu: jedna osoba môže ľahko predložiť dokumenty pre jeden alebo niekoľko smerov. Teda jeden prvok sady sú uvedené do korešpondencie niekoľko prvkov zástupy. resp. toto nie je funkcia.
Otestujme si svoje vedomosti v praxi.
Určte z obrázkov, čo je funkcia a čo nie:
Mám to? A je to tu odpovede:
- Funkcia je - B, E.
- Funkcia nie je - A, B, D, D.
Pýtate sa prečo? Áno, tu je dôvod:
Na všetkých obrázkoch okrem IN) A E) Je ich niekoľko na jedného!
Som si istý, že teraz môžete ľahko rozlíšiť funkciu od nefunkcie, povedať, čo je argument a čo je závislá premenná, a tiež určiť rozsah prípustných hodnôt argumentu a rozsah definície funkcie . Prejdime k ďalšej časti – ako nastaviť funkciu?
Metódy určenia funkcie
Čo si myslíš, že tie slová znamenajú? "nastaviť funkciu"? Presne tak, to znamená každému vysvetliť, o akú funkciu v tomto prípade ide. Navyše to vysvetlite tak, aby vám každý správne rozumel a grafy funkcií nakreslené ľuďmi na základe vášho vysvetlenia boli rovnaké.
Ako to môžem spraviť? Ako nastaviť funkciu? Najjednoduchšia metóda, ktorá už bola v tomto článku použitá viackrát, je pomocou vzorca. Napíšeme vzorec a dosadením hodnoty do neho vypočítame hodnotu. A ako si pamätáte, vzorec je zákon, pravidlo, podľa ktorého je nám a inej osobe jasné, ako sa X zmení na Y.
Zvyčajne je to presne to, čo robia - v úlohách vidíme hotové funkcie špecifikované vzorcami, existujú však aj iné spôsoby, ako nastaviť funkciu, na ktorú každý zabudne, a preto je otázka „ako inak môžete nastaviť funkciu?“ prepážky. Poďme pochopiť všetko v poriadku a začnime s analytickou metódou.
Analytická metóda špecifikácie funkcie
Analytická metóda je špecifikovať funkciu pomocou vzorca. Ide o najuniverzálnejšiu, najkomplexnejšiu a jednoznačnú metódu. Ak máte vzorec, potom viete úplne všetko o funkcii - môžete z nej vytvoriť tabuľku hodnôt, môžete zostaviť graf, určiť, kde funkcia rastie a kde klesá, vo všeobecnosti ju študujte plne.
Zoberme si funkciu. Aký je rozdiel?
"Čo to znamená?" - pýtaš sa. Teraz vysvetlím.
Pripomínam, že v zápise sa výraz v zátvorkách nazýva argument. A tento argument môže byť akýkoľvek výraz, nie nevyhnutne jednoduchý. Podľa toho, nech je argument (výraz v zátvorkách) akýkoľvek, napíšeme ho do výrazu.
V našom príklade to bude vyzerať takto:
Pozrime sa na ďalšiu úlohu súvisiacu s analytickou metódou špecifikácie funkcie, ktorú budete mať na skúške.
Nájdite hodnotu výrazu na.
Som si istý, že ste sa najprv zľakli, keď ste videli takýto výraz, ale nie je na tom absolútne nič strašidelné!
Všetko je rovnaké ako v predchádzajúcom príklade: akýkoľvek argument (výraz v zátvorkách) je, napíšeme ho do výrazu. Napríklad pre funkciu.
Čo je potrebné urobiť v našom príklade? Namiesto toho musíte napísať a namiesto toho -:
skrátiť výsledný výraz:
To je všetko!
Samostatná práca
Teraz sa pokúste sami nájsť význam nasledujúcich výrazov:
- , Ak
- , Ak
Zvládli ste to? Porovnajme naše odpovede: Sme zvyknutí, že funkcia má tvar
Aj v našich príkladoch definujeme funkciu presne takto, ale analyticky je možné funkciu špecifikovať napríklad v implicitnej forme.
Skúste si vytvoriť túto funkciu sami.
Zvládli ste to?
Takto som to postavil.
Akú rovnicu sme nakoniec odvodili?
Správny! Lineárne, čo znamená, že graf bude priamka. Urobme tabuľku, aby sme určili, ktoré body patria do našej čiary:
Presne o tomto sme hovorili... Jedno zodpovedá viacerým.
Skúsme nakresliť, čo sa stalo:
Je to, čo máme, funkciou?
Presne tak, nie! prečo? Skúste si na túto otázku odpovedať pomocou kresby. Čo si dostal?
"Pretože jedna hodnota zodpovedá viacerým hodnotám!"
Aký záver z toho môžeme vyvodiť?
Správne, funkcia nemôže byť vždy vyjadrená explicitne a to, čo je „prezlečené“ za funkciu, nie je vždy funkciou!
Tabuľkový spôsob určenia funkcie
Ako už názov napovedá, táto metóda je jednoduchým znakom. Áno áno. Takú, akú sme už vytvorili vy a ja. Napríklad:
Tu ste si okamžite všimli vzor - Y je trikrát väčšie ako X. A teraz úloha „veľmi pozorne premýšľať“: myslíte si, že funkcia zadaná vo forme tabuľky je ekvivalentná funkcii?
Nehovorme dlho, ale kreslíme!
Takže. Funkciu určenú tapetou nakreslíme nasledujúcimi spôsobmi:
Vidíš ten rozdiel? Nie je to všetko o označených bodoch! Pozrieť sa na to bližšie:
Videli ste to teraz? Keď definujeme funkciu tabuľkovým spôsobom, zobrazíme na grafe len tie body, ktoré máme v tabuľke a priamka (ako v našom prípade) prechádza len nimi. Keď definujeme funkciu analyticky, môžeme vziať ľubovoľné body a naša funkcia nie je na ne obmedzená. Toto je zvláštnosť. Pamätajte!
Grafická metóda konštrukcie funkcie
Nemenej pohodlný je aj grafický spôsob konštrukcie funkcie. Nakreslíme si svoju funkciu a ďalší záujemca môže nájsť, čomu sa rovná y pri určitom x a podobne. Medzi najbežnejšie patria grafické a analytické metódy.
Tu si však musíte pamätať, o čom sme hovorili na úplnom začiatku - nie každá „krivka“ nakreslená v súradnicovom systéme je funkcia! Pamätáš si? Pre každý prípad tu skopírujem definíciu funkcie:
Ľudia spravidla presne vymenúvajú tri spôsoby špecifikácie funkcie, o ktorých sme hovorili - analytický (pomocou vzorca), tabuľkový a grafický, pričom úplne zabúdajú, že funkciu možno opísať slovne. Páči sa ti to? Áno, veľmi jednoduché!
Slovný popis funkcie
Ako opísať funkciu slovne? Vezmime si náš nedávny príklad – . Túto funkciu možno opísať ako „každá skutočná hodnota x zodpovedá jej trojitej hodnote“. To je všetko. Nič zložité. Samozrejme budete namietať - „existujú také zložité funkcie, že je jednoducho nemožné špecifikovať verbálne! Áno, existujú, ale sú funkcie, ktoré je jednoduchšie opísať slovne ako definovať pomocou vzorca. Napríklad: „každá prirodzená hodnota x zodpovedá rozdielu medzi číslicami, z ktorých pozostáva, zatiaľ čo minuend sa považuje za najväčšiu číslicu obsiahnutú v zápise čísla.“ Teraz sa pozrime, ako je náš slovný popis funkcie implementovaný v praxi:
Najväčšia číslica v danom čísle je mínus, potom:
Hlavné typy funkcií
Teraz prejdime k tomu najzaujímavejšiemu – pozrime sa na hlavné typy funkcií, s ktorými ste v rámci školskej a vysokoškolskej matematiky pracovali/pracujete a budete pracovať, teda poďme sa s nimi takpovediac zoznámiť a uveďte ich krátky popis. Prečítajte si viac o každej funkcii v príslušnej časti.
Lineárna funkcia
Funkcia tvaru kde, sú reálne čísla.
Graf tejto funkcie je priamka, takže zostrojenie lineárnej funkcie spočíva v nájdení súradníc dvoch bodov.
Poloha priamky v rovine súradníc závisí od uhlového koeficientu.
Rozsah funkcie (známy aj ako rozsah platných hodnôt argumentov) je .
Rozsah hodnôt - .
Kvadratická funkcia
Funkcia formulára, kde
Grafom funkcie je parabola, keď vetvy paraboly smerujú nadol, keď vetvy smerujú nahor.
Mnohé vlastnosti kvadratickej funkcie závisia od hodnoty diskriminantu. Diskriminant sa vypočíta pomocou vzorca
Poloha paraboly na súradnicovej rovine vzhľadom na hodnotu a koeficient je znázornená na obrázku:
doména
Rozsah hodnôt závisí od extrému danej funkcie (vrcholový bod paraboly) a koeficientu (smer vetiev paraboly)
Inverzná úmernosť
Funkcia daná vzorcom, kde
Číslo sa nazýva koeficient nepriamej úmernosti. V závislosti od hodnoty sú vetvy hyperboly v rôznych štvorcoch:
Doména - .
Rozsah hodnôt - .
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
1. Funkcia je pravidlo, podľa ktorého je každý prvok množiny spojený s jedným prvkom množiny.
- - ide o vzorec označujúci funkciu, teda závislosť jednej premennej od druhej;
- - premenná hodnota alebo argument;
- - závislá veličina - mení sa pri zmene argumentu, teda podľa akéhokoľvek špecifického vzorca odrážajúceho závislosť jednej veličiny od druhej.
2. Platné hodnoty argumentov, alebo definičný obor funkcie, je to, čo je spojené s možnosťami, v ktorých má funkcia zmysel.
3. Rozsah funkcií- to je to, aké hodnoty to má vzhľadom na prijateľné hodnoty.
4. Existujú 4 spôsoby nastavenia funkcie:
- analytické (pomocou vzorcov);
- tabuľkový;
- grafický
- slovný popis.
5. Hlavné typy funkcií:
- : , kde, sú reálne čísla;
- : , Kde;
- : , Kde.
"Prirodzený logaritmus" - 0,1. Prirodzené logaritmy. 4. Logaritmické šípky. 0,04. 7.121.
"Stupeň výkonovej funkcie 9" - U. Kubická parabola. Y = x3. Učiteľka 9. ročníka Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbola. 0. Y = xn, y = x-n kde n je dané prirodzené číslo. X. Exponent je párne prirodzené číslo (2n).
„Kvadratická funkcia“ - 1 Definícia kvadratickej funkcie 2 Vlastnosti funkcie 3 Grafy funkcie 4 Kvadratické nerovnice 5 Záver. Vlastnosti: Nerovnosti: Pripravil žiak 8.A triedy Andrey Gerlitz. Plán: Graf: -Intervaly monotónnosti pre a > 0 pre a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.
“Kvadratická funkcia a jej graf” - Riešenie.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-patrí. Keď a=1, vzorec y=ax nadobúda tvar.
„Kvadratická funkcia ôsmeho stupňa“ - 1) Zostrojte vrchol paraboly. Vykreslenie grafu kvadratickej funkcie. X. -7. Zostrojte graf funkcie. Algebra 8. ročník Učiteľ 496 Bovina škola T.V. -1. Stavebný plán. 2) Zostrojte os súmernosti x=-1. r.
Žiaľ, nie všetci študenti a školáci poznajú a milujú algebru, ale každý si musí pripravovať domáce úlohy, riešiť testy a robiť skúšky. Pre mnohých ľudí je obzvlášť ťažké zostaviť grafy funkcií: ak niečomu nerozumiete, nedokončíte učenie alebo to vynecháte, chyby sú nevyhnutné. Ale kto chce mať zlé známky?
Chceli by ste sa pridať ku kohorte hľadačov a porazených? Máte na to 2 spôsoby: sadnúť si k učebniciam a doplniť medzery vo vedomostiach, alebo využiť virtuálnu asistentku – službu na automatické vykresľovanie grafov funkcií podľa daných podmienok. S riešením alebo bez neho. Dnes vám predstavíme niekoľko z nich.
Najlepšia vec na Desmos.com je jeho vysoko prispôsobiteľné rozhranie, interaktivita, schopnosť organizovať výsledky do tabuliek a ukladať vašu prácu v databáze zdrojov zadarmo bez časového obmedzenia. Nevýhodou je, že služba nie je úplne preložená do ruštiny.
Grafikus.ru
Grafikus.ru je ďalšia grafická kalkulačka v ruskom jazyku, ktorá si zaslúži pozornosť. Navyše ich stavia nielen v dvojrozmernom, ale aj trojrozmernom priestore.
Tu je neúplný zoznam úloh, s ktorými sa táto služba úspešne vyrovná:
- Kreslenie 2D grafov jednoduchých funkcií: priamky, paraboly, hyperboly, trigonometrické, logaritmické atď.
- Kreslenie 2D grafov parametrických funkcií: kružnice, špirály, Lissajousove obrazce a iné.
- Kreslenie 2D grafov v polárnych súradniciach.
- Konštrukcia 3D plôch jednoduchých funkcií.
- Konštrukcia 3D plôch parametrických funkcií.
Hotový výsledok sa otvorí v samostatnom okne. Používateľ má možnosti stiahnuť, vytlačiť a skopírovať odkaz naň. V druhom prípade sa budete musieť prihlásiť do služby pomocou tlačidiel sociálnych sietí.
Súradnicová rovina Grafikus.ru podporuje zmenu hraníc osí, ich označení, rozstupov mriežky, ako aj šírky a výšky samotnej roviny a veľkosti písma.
Najväčšou silou Grafikus.ru je schopnosť vytvárať 3D grafiku. V opačnom prípade to nefunguje horšie a nie lepšie ako analógové zdroje.
Onlinecharts.ru
Online asistent Onlinecharts.ru nevytvára grafy, ale diagramy takmer všetkých existujúcich typov. Počítajúc do toho:
- Lineárne.
- Stĺpcový.
- Kruhový.
- S plochami.
- Radiálny.
- XY-grafov.
- Bublina.
- Spot.
- Polárne bubliny.
- Pyramídy.
- Rýchlomery.
- Stĺpcovo-lineárne.
Použitie zdroja je veľmi jednoduché. Vzhľad diagramu (farba pozadia, mriežka, čiary, ukazovatele, tvary rohov, fonty, priehľadnosť, špeciálne efekty atď.) je úplne určený používateľom. Údaje pre stavbu je možné zadávať buď ručne, alebo importovať z tabuľky v CSV súbore uloženom v počítači. Hotový výsledok je k dispozícii na stiahnutie do počítača vo forme obrázka, súboru PDF, CSV alebo SVG, ako aj na uloženie online na webhostingu fotografií ImageShack.Us alebo na váš osobný účet Onlinecharts.ru. Prvú možnosť môžu využiť všetci, druhú len registrovaní.