Táto téma sa môže na prvý pohľad zdať komplikovaná kvôli mnohým nie príliš jednoduchým vzorcom. Nielenže samotné kvadratické rovnice majú dlhé zápisy, ale korene sa nachádzajú aj prostredníctvom diskriminantu. Celkovo sa získajú tri nové vzorce. Nie je veľmi ľahké si zapamätať. To je možné len po častom riešení takýchto rovníc. Potom si všetky vzorce zapamätajú samy.

Všeobecný pohľad na kvadratickú rovnicu

Tu navrhujeme ich explicitné zaznamenanie, keď sa najskôr zapíše najväčší stupeň a potom v zostupnom poradí. Často sa vyskytujú situácie, keď sú podmienky nekonzistentné. Potom je lepšie rovnicu prepísať v zostupnom poradí podľa stupňa premennej.

Predstavme si nejaký zápis. Sú uvedené v tabuľke nižšie.

Ak prijmeme tieto zápisy, všetky kvadratické rovnice sa zredukujú na nasledujúci zápis.

Navyše koeficient a ≠ 0. Nech je tento vzorec označený ako číslo jedna.

Keď je daná rovnica, nie je jasné, koľko koreňov bude v odpovedi. Pretože vždy je možná jedna z troch možností:

• riešenie bude mať dva korene;
• odpoveď bude jedno číslo;
• rovnica nebude mať vôbec žiadne korene.

A kým sa rozhodnutie nedokončí, je ťažké pochopiť, ktorá možnosť sa objaví v konkrétnom prípade.

Typy záznamov kvadratických rovníc

V úlohách môžu byť rôzne položky. Nie vždy budú vyzerať ako všeobecný vzorec kvadratickej rovnice. Niekedy v ňom budú chýbať niektoré výrazy. To, čo bolo napísané vyššie, je úplná rovnica. Ak v ňom odstránite druhý alebo tretí výraz, získate niečo iné. Tieto záznamy sa nazývajú aj kvadratické rovnice, len neúplné.

Okrem toho môžu zmiznúť iba pojmy s koeficientmi „b“ a „c“. Číslo "a" sa za žiadnych okolností nemôže rovnať nule. Pretože v tomto prípade sa vzorec zmení na lineárnu rovnicu. Vzorce pre neúplný tvar rovníc budú nasledovné:

Existujú teda iba dva typy; okrem úplných rovníc existujú aj neúplné kvadratické rovnice. Nech je prvý vzorec číslo dva a druhý - tri.

Diskriminácia a závislosť počtu koreňov od jej hodnoty

Toto číslo potrebujete poznať, aby ste mohli vypočítať korene rovnice. Vždy sa dá vypočítať, bez ohľadu na to, aký je vzorec kvadratickej rovnice. Aby ste mohli vypočítať diskriminant, musíte použiť rovnosť napísanú nižšie, ktorá bude mať číslo štyri.

Po nahradení hodnôt koeficientov do tohto vzorca môžete získať čísla s rôznymi znakmi. Ak je odpoveď áno, potom odpoveďou na rovnicu budú dva rôzne korene. Ak je číslo záporné, nebudú existovať žiadne korene kvadratickej rovnice. Ak sa rovná nule, odpoveď bude iba jedna.

Ako vyriešiť úplnú kvadratickú rovnicu?

V skutočnosti sa zvažovanie tejto otázky už začalo. Pretože najprv musíte nájsť diskriminanta. Keď sa zistí, že existujú korene kvadratickej rovnice a ich počet je známy, musíte pre premenné použiť vzorce. Ak existujú dva korene, musíte použiť nasledujúci vzorec.

Keďže obsahuje znamienko „±“, budú existovať dve hodnoty. Výraz pod odmocninou je diskriminant. Preto môže byť vzorec prepísaný inak.

Formula číslo päť. Z toho istého záznamu je zrejmé, že ak je diskriminant rovný nule, potom oba korene budú nadobúdať rovnaké hodnoty.

Ak riešenie kvadratických rovníc ešte nebolo vypracované, potom je lepšie zapísať hodnoty všetkých koeficientov pred použitím diskriminačných a premenných vzorcov. Neskôr tento moment nespôsobí ťažkosti. Hneď na začiatku je však zmätok.

Ako vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu?

Všetko je tu oveľa jednoduchšie. Nie sú ani potrebné ďalšie vzorce. A tie, ktoré už boli napísané pre diskriminujúcich a neznámych, nebudú potrebné.

Najprv sa pozrime na neúplnú rovnicu číslo dva. V tejto rovnosti je potrebné neznámu veličinu vyňať zo zátvoriek a vyriešiť lineárnu rovnicu, ktorá zostane v zátvorkách. Odpoveď bude mať dva korene. Prvý sa nevyhnutne rovná nule, pretože existuje multiplikátor pozostávajúci zo samotnej premennej. Druhý získame riešením lineárnej rovnice.

Neúplnú rovnicu číslo tri riešime posunutím čísla z ľavej strany rovnosti doprava. Potom musíte deliť koeficientom, ktorý čelí neznámemu. Zostáva len extrahovať druhú odmocninu a nezabudnite ju zapísať dvakrát s opačnými znamienkami.

Nižšie je uvedených niekoľko krokov, ktoré vám pomôžu naučiť sa riešiť všetky druhy rovnosti, ktoré sa menia na kvadratické rovnice. Pomôžu žiakovi vyhnúť sa chybám z nepozornosti. Tieto nedostatky môžu spôsobiť zlé známky pri štúdiu rozsiahlej témy „Kvadratické rovnice (8. ročník). Následne tieto akcie nebude potrebné vykonávať neustále. Pretože sa objaví stabilná zručnosť.

• Najprv musíte napísať rovnicu v štandardnom tvare. To znamená, že najprv výraz s najväčším stupňom premennej a potom - bez stupňa a posledný - len číslo.

• Ak sa pred koeficientom „a“ objaví mínus, začiatočníkovi pri štúdiu kvadratických rovníc to môže skomplikovať prácu. Je lepšie sa ho zbaviť. Na tento účel sa musí všetka rovnosť vynásobiť „-1“. To znamená, že všetky výrazy zmenia znamienko na opačné.

• Rovnakým spôsobom sa odporúča zbaviť sa zlomkov. Jednoducho vynásobte rovnicu príslušným faktorom tak, aby sa menovatelia vyrovnali.

Príklady

Je potrebné vyriešiť nasledujúce kvadratické rovnice:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2).

Prvá rovnica: x 2 − 7x = 0. Je neúplná, preto sa rieši tak, ako je popísané pre vzorec číslo dva.

Po vybratí zo zátvoriek sa ukáže: x (x - 7) = 0.

Prvý koreň nadobúda hodnotu: x 1 = 0. Druhý zistíme z lineárnej rovnice: x - 7 = 0. Je ľahké vidieť, že x 2 = 7.

Druhá rovnica: 5x 2 + 30 = 0. Opäť neúplná. Iba to je vyriešené tak, ako je opísané pre tretí vzorec.

Po presunutí 30 na pravú stranu rovnice: 5x 2 = 30. Teraz musíte deliť 5. Ukáže sa: x 2 = 6. Odpovede budú čísla: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Tretia rovnica: 15 − 2x − x 2 = 0. Ďalej začneme riešenie kvadratických rovníc ich prepísaním do štandardného tvaru: − x 2 − 2x + 15 = 0. Teraz je čas použiť druhý užitočný tip a všetko vynásobiť mínus jedna. Ukazuje sa x 2 + 2x - 15 = 0. Pomocou štvrtého vzorca musíte vypočítať diskriminant: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Je to kladné číslo. Z vyššie uvedeného vyplýva, že rovnica má dva korene. Je potrebné ich vypočítať pomocou piateho vzorca. Ukazuje sa, že x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Potom x 1 = 3, x 2 = - 5.

Štvrtá rovnica x 2 + 8 + 3x = 0 sa transformuje na túto: x 2 + 3x + 8 = 0. Jej diskriminant sa rovná tejto hodnote: -23. Keďže toto číslo je záporné, odpoveďou na túto úlohu bude nasledujúca položka: „Neexistujú žiadne korene“.

Piata rovnica 12x + x 2 + 36 = 0 by sa mala prepísať takto: x 2 + 12x + 36 = 0. Po použití vzorca pre diskriminant sa získa číslo nula. To znamená, že bude mať jeden koreň, a to: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Šiesta rovnica (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) vyžaduje transformácie, ktoré spočívajú v tom, že musíte priniesť podobné pojmy, najskôr otvorte zátvorky. Na mieste prvého bude tento výraz: x 2 + 2x + 1. Po rovnosti sa objaví tento záznam: x 2 + 3x + 2. Po spočítaní podobných členov bude mať rovnica tvar: x 2 - x = 0. Stalo sa neúplným . O niečom podobnom sa už diskutovalo trochu vyššie. Koreňmi toho budú čísla 0 a 1.

Poďme pracovať s kvadratické rovnice. Toto sú veľmi populárne rovnice! Vo svojej najvšeobecnejšej forme vyzerá kvadratická rovnica takto:

Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

Ako riešiť kvadratické rovnice? Ak máte pred sebou kvadratickú rovnicu v tomto tvare, potom je všetko jednoduché. Pamätajte na čarovné slovíčko diskriminačný . Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Jeho používanie je jednoduché a bezproblémové. Takže vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod znamienkom koreňa je ten diskriminačný. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Toto je vzorec, ktorý vypočítame. Poďme nahradiť s vlastnými znakmi! Napríklad pre prvú rovnicu A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

To je všetko.

Aké prípady sú možné pri použití tohto vzorca? Sú len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či sa koreň extrahuje dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale to hrá rolu pri nerovnostiach, kde si danú problematiku preštudujeme podrobnejšie.

3. Diskriminant je negatívny. Druhá odmocnina zo záporného čísla sa nedá vziať. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...
Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa zmiasť?), ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez diskriminant, ktorý sme si zapamätali. Alebo sa naučili, čo je tiež dobré. Viete, ako správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. Chápete, že tu je kľúčové slovo pozorne?

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Toto neúplné kvadratické rovnice . Dajú sa vyriešiť aj prostredníctvom diskriminátora. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu s, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akejkoľvek diskriminácie. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x = 0, alebo x = 4

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie diskriminantu.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x = +3 a x = -3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X mimo hranatých zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie. Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu. Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b s opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale skontrolujte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude čoraz menej.

Tretia recepcia. Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v predchádzajúcej časti. Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, jej koeficient sa rovná jednej, riešenie možno ľahko overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Zlomkové rovnice. ODZ.

Pokračujeme v zvládnutí rovníc. S lineárnymi a kvadratickými rovnicami už vieme pracovať. Zostáva posledný pohľad - zlomkové rovnice. Alebo sa tiež nazývajú oveľa slušnejšie - zlomkové racionálne rovnice. To je to isté.

Zlomkové rovnice.

Ako už názov napovedá, tieto rovnice nevyhnutne obsahujú zlomky. Ale nielen zlomky, ale zlomky, ktoré majú neznámy v menovateli. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, že ak sú menovatelia iba čísla, to sú lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť zlomkové rovnice? V prvom rade sa zbavte zlomkov! Potom sa rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú. A potom vieme, čo máme robiť... V niektorých prípadoch sa to môže zmeniť na identitu, napríklad 5=5 alebo nesprávny výraz, napríklad 7=2. Ale to sa stáva zriedka. Spomeniem to nižšie.

Ale ako sa zbaviť zlomkov!? Veľmi jednoduché. Použitie rovnakých identických transformácií.

Musíme vynásobiť celú rovnicu rovnakým výrazom. Aby sa znížili všetky menovatele! Všetko bude hneď jednoduchšie. Vysvetlím to na príklade. Musíme vyriešiť rovnicu:

Ako vás učili na základnej škole? Všetko presunieme na jednu stranu, privedieme k spoločnému menovateľovi atď. Zabudnite na to ako na zlý sen! To je to, čo musíte urobiť, keď sčítate alebo odčítate zlomky. Alebo pracujete s nerovnosťami. A v rovniciach hneď vynásobíme obe strany výrazom, ktorý nám dá možnosť zredukovať všetky menovatele (t.j. v podstate o spoločného menovateľa). A čo je toto za výraz?

Na ľavej strane zmenšenie menovateľa vyžaduje násobenie x+2. A vpravo je potrebné násobenie číslom 2. To znamená, že rovnicu treba vynásobiť číslom 2(x+2). Násobiť:

Toto je bežné násobenie zlomkov, ale popíšem to podrobne:

Upozorňujeme, že zatiaľ neotváram držiak (x + 2)! Takže to píšem celé:

Na ľavej strane sa úplne stiahne (x+2), a vpravo 2. Čo bolo požadované! Po redukcii dostaneme lineárne rovnica:

A túto rovnicu dokáže vyriešiť každý! x = 2.

Vyriešime ďalší príklad, trochu komplikovanejší:

Ak si pamätáme, že 3 = 3/1, a 2x = 2x/ 1, môžeme napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa nám v skutočnosti nepáči - zlomkov.

Vidíme, že na zmenšenie menovateľa s X musíme zlomok vynásobiť (x – 2). A zopár nám nie je prekážkou. Nuž, množme sa. Všetkyľavá strana a všetky pravá strana:

Opäť zátvorky (x – 2) neprezrádzam. Pracujem so zátvorkou ako celkom, ako keby to bolo jedno číslo! Toto sa musí robiť vždy, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti redukujeme (x – 2) a dostaneme rovnicu bez zlomkov, s pravítkom!

Teraz otvoríme zátvorky:

Prinášame podobné, všetko presunieme na ľavú stranu a získame:

Klasická kvadratická rovnica. Ale to mínus dopredu nie je dobré. Vždy sa ho môžete zbaviť vynásobením alebo delením -1. Ale ak sa pozriete pozorne na príklad, všimnete si, že je najlepšie rozdeliť túto rovnicu na -2! Jedným ťahom zmizne mínus a šance sa stanú atraktívnejšími! Deliť -2. Na ľavej strane - člen po člene a napravo - jednoducho vydeľte nulu -2, nulou a dostaneme:

Riešime cez diskriminant a kontrolujeme pomocou Vietovej vety. Dostaneme x = 1 a x = 3. Dva korene.

Ako vidíte, v prvom prípade sa rovnica po transformácii stala lineárnou, ale tu sa stáva kvadratickou. Stáva sa, že po zbavení sa zlomkov sa všetky X zmenšia. Niečo zostáva, napríklad 5=5. Znamená to, že x môže byť čokoľvek. Nech je to čokoľvek, stále sa to zníži. A ukázalo sa, že je to čistá pravda, 5=5. Ale po odstránení zlomkov sa to môže ukázať ako úplne nepravdivé, napríklad 2=7. A to znamená, že žiadne riešenia! Akékoľvek X sa ukáže ako nepravdivé.

Uvedomil si hlavné riešenie zlomkové rovnice? Je to jednoduché a logické. Pôvodný výraz zmeníme tak, aby zmizlo všetko, čo sa nám nepáči. Alebo to prekáža. V tomto prípade ide o zlomky. To isté urobíme so všetkými druhmi zložitých príkladov s logaritmami, sínusmi a inými hrôzami. my Vždy Poďme sa toho všetkého zbaviť.

Musíme však zmeniť pôvodný výraz v smere, ktorý potrebujeme podľa pravidiel, áno... ktorej zvládnutím je príprava na Jednotnú štátnu skúšku z matematiky. Takže to zvládame.

Teraz sa naučíme, ako obísť jeden z hlavné zálohy na jednotnú štátnu skúšku! Najprv sa však pozrime, či do toho spadnete alebo nie?

Pozrime sa na jednoduchý príklad:

Vec je už známa, obe strany vynásobíme (x – 2), dostaneme:

Pripomínam, so zátvorkami (x – 2) Pracujeme akoby s jedným, celistvým výrazom!

Tu som už do menovateľov nenapísal ani jeden, je to nedôstojné... A do menovateľov som nekreslil zátvorky, okrem x – 2 nie je nič, nemusíte kresliť. Skrátime:

Otvorte zátvorky, posuňte všetko doľava a zadajte podobné:

Riešime, kontrolujeme, dostaneme dva korene. x = 2 A x = 3. Skvelé.

Predpokladajme, že zadanie hovorí, že treba zapísať odmocninu alebo ich súčet, ak existuje viac ako jeden odmocninec. čo budeme písať?

Ak sa rozhodnete, že odpoveď je 5, vy boli prepadnutí. A úloha vám nebude pripísaná. Pracovali márne... Správna odpoveď je 3.

Čo sa deje?! A skús to skontrolovať. Dosaďte hodnoty neznámeho do originálny príklad. A ak pri x = 3 všetko spolu úžasne porastie, dostaneme 9 = 9, potom kedy x = 2 Bude to delenie nulou! Čo absolútne nemôžete urobiť. Prostriedky x = 2 nie je riešením a v odpovedi sa nezohľadňuje. Toto je takzvaný cudzí alebo extra koreň. Jednoducho to zahodíme. Konečný koreň je jeden. x = 3.

Ako to?! – Počujem rozhorčené výkriky. Učili nás, že rovnicu možno vynásobiť výrazom! Toto je identická premena!

Áno, identické. Pod malou podmienkou - výraz, ktorým násobíme (delíme) - odlišný od nuly. A x – 2 pri x = 2 rovná sa nule! Všetko je teda spravodlivé.

A čo teraz môžem urobiť?! Nemnožiť výrazom? Mám to zakaždým skontrolovať? Opäť je to nejasné!

Pokojne! Nerobte paniku!

V tejto ťažkej situácii nás zachránia tri čarovné písmená. Viem, čo si myslíš. Správny! Toto ODZ . Oblasť prijateľných hodnôt.

V modernej spoločnosti môže byť schopnosť vykonávať operácie s rovnicami obsahujúcimi druhú mocninu premennej užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaná v praxi vo vedeckom a technickom vývoji. Dôkazom toho môžu byť návrhy námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou takýchto výpočtov sa určujú trajektórie pohybu širokej škály telies vrátane vesmírnych objektov. Príklady s riešením kvadratických rovníc sa využívajú nielen v ekonomických prognózach, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť potrebné na peších výletoch, na športových podujatiach, v obchodoch pri nákupoch a v iných veľmi bežných situáciách.

Rozložme výraz na jednotlivé faktory

Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa premennej, ktorú výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, potom sa takáto rovnica nazýva kvadratická.

Ak hovoríme jazykom vzorcov, potom uvedené výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy uvedené do podoby, keď ľavú stranu výrazu tvoria tri výrazy. Medzi nimi: ax 2 (to znamená premenná na druhú so svojím koeficientom), bx (neznáma bez druhej mocniny s koeficientom) a c (voľná zložka, teda obyčajné číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že takémuto polynómu chýba jeden zo svojich členov, s výnimkou osi 2, nazýva sa neúplná kvadratická rovnica. Najprv by sa mali zvážiť príklady s riešením takýchto problémov, hodnoty premenných, v ktorých sa dajú ľahko nájsť.

Ak výraz vyzerá, že má na pravej strane dva členy, presnejšie ax 2 a bx, najjednoduchší spôsob, ako nájsť x, je dať premennú zo zátvoriek. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x(ax+b). Ďalej je zrejmé, že buď x=0, alebo problém spočíva v nájdení premennej z nasledujúceho výrazu: ax+b=0. Je to dané jednou z vlastností násobenia. Pravidlo hovorí, že súčin dvoch faktorov má za následok 0 iba vtedy, ak je jeden z nich nula.

Príklad

x = 0 alebo 8x - 3 = 0

Výsledkom je, že dostaneme dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohto druhu môžu opísať pohyb telies pod vplyvom gravitácie, ktoré sa začali pohybovať od určitého bodu braného ako počiatok súradníc. Tu má matematický zápis nasledujúci tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosadením potrebných hodnôt, prirovnaním pravej strany k 0 a nájdením možných neznámych môžete zistiť čas, ktorý uplynie od momentu, kedy sa telo zdvihne do momentu jeho pádu, ako aj mnohé ďalšie veličiny. Ale o tom si povieme neskôr.

Faktorizácia výrazu

Vyššie popísané pravidlo umožňuje riešiť tieto problémy v zložitejších prípadoch. Pozrime sa na príklady riešenia kvadratických rovníc tohto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Táto kvadratická trojčlenka je úplná. Najprv transformujme výraz a rozložme ho. Sú dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.

Príklady s riešením kvadratických rovníc v 9. ročníku umožňujú touto metódou nájsť premennú vo výrazoch nielen druhého, ale dokonca aj tretieho a štvrtého rádu.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri rozkladaní pravej strany na faktory s premennou sú tri z nich, teda (x+1), (x-3) a (x+ 3).

V dôsledku toho je zrejmé, že táto rovnica má tri korene: -3; -1; 3.

Odmocnina

Ďalším prípadom neúplnej rovnice druhého rádu je výraz reprezentovaný v reči písmen tak, že pravá strana je zostrojená zo zložiek ax 2 a c. Tu, aby sa získala hodnota premennej, sa voľný člen prenesie na pravú stranu a potom sa z oboch strán rovnosti extrahuje druhá odmocnina. Treba poznamenať, že v tomto prípade sú zvyčajne dva korene rovnice. Výnimkou môžu byť len rovnosti, ktoré vôbec neobsahujú člen s, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade neexistujú žiadne riešenia, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Mali by sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.

V tomto prípade budú koreňmi rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet plochy pozemku

Potreba tohto druhu výpočtov sa objavila v staroveku, pretože vývoj matematiky v týchto vzdialených časoch bol do značnej miery určený potrebou určiť s najväčšou presnosťou plochy a obvody pozemkov.

Mali by sme tiež zvážiť príklady riešenia kvadratických rovníc založených na problémoch tohto druhu.

Povedzme teda, že ide o obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Dĺžku, šírku a obvod pozemku by ste mali zistiť, ak viete, že jeho plocha je 612 m2.

Ak chcete začať, najprv vytvorte potrebnú rovnicu. Označme x šírku oblasti, potom jej dĺžka bude (x+16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom x(x+16), ktorý je podľa podmienok našej úlohy 612. To znamená, že x(x+16) = 612.

Riešenie úplných kvadratických rovníc a tento výraz je presne taký, sa nedá urobiť rovnakým spôsobom. prečo? Hoci ľavá strana stále obsahuje dva faktory, ich súčin sa vôbec nerovná 0, preto sa tu používajú rôzne metódy.

Diskriminačný

Najprv urobíme potrebné transformácie, potom bude vzhľad tohto výrazu vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že sme výraz dostali vo forme zodpovedajúcej predtým špecifikovanej norme, kde a = 1, b = 16, c = -612.

Toto by mohol byť príklad riešenia kvadratických rovníc pomocou diskriminantu. Tu sa vykonávajú potrebné výpočty podľa schémy: D = b 2 - 4ac. Táto pomocná veličina nielenže umožňuje nájsť požadované veličiny v rovnici druhého rádu, ale určuje aj počet možných možností. Ak D>0, sú dve; pre D=0 je jeden koreň. V prípade D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorci

V našom prípade je diskriminant rovný: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpoveď. Ak poznáte k, riešenie kvadratických rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. Umožňuje vám vypočítať korene.

To znamená, že v prezentovanom prípade: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnosť v tejto dileme nemôže byť riešením, pretože rozmery pozemku nemožno merať v záporných veličinách, čiže x (čiže šírka pozemku) je 18 m. Odtiaľ vypočítame dĺžku: 18 +16=34 a obvod 2(34+18)=104(m2).

Príklady a úlohy

Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenia niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Presuňme všetko na ľavú stranu rovnosti, vykonajte transformáciu, to znamená, že dostaneme typ rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandardná, a prirovnáme ju k nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sčítaním podobných určíme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naša rovnica bude mať dva korene. Vypočítajme ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich sa bude rovnať 4/3 a druhý 1.

2) Teraz poďme riešiť záhady iného druhu.

Poďme zistiť, či sú tu nejaké korene x 2 - 4x + 5 = 1? Aby sme získali komplexnú odpoveď, zredukujme polynóm na zodpovedajúcu zvyčajnú formu a vypočítajme diskriminant. Vo vyššie uvedenom príklade nie je potrebné riešiť kvadratickú rovnicu, pretože to vôbec nie je podstata problému. V tomto prípade D = 16 - 20 = -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Je vhodné riešiť kvadratické rovnice pomocou vyššie uvedených vzorcov a diskriminantu, keď sa druhá odmocnina berie z jeho hodnoty. Ale nie vždy sa to stane. V tomto prípade však existuje veľa spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety. Je pomenovaná po tom, kto žil v 16. storočí vo Francúzsku a vďaka svojmu matematickému talentu a konexiám na dvore urobil skvelú kariéru. Jeho portrét si môžete pozrieť v článku.

Vzor, ktorý si slávny Francúz všimol, bol nasledovný. Dokázal, že korene rovnice sa numericky sčítavajú na -p=b/a a ich súčin zodpovedá q=c/a.

Teraz sa pozrime na konkrétne úlohy.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pre jednoduchosť transformujme výraz:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Použime Vietovu vetu, to nám dá nasledovné: súčet koreňov je -7 a ich súčin je -18. Odtiaľto dostaneme, že korene rovnice sú čísla -9 a 2. Po kontrole sa presvedčíme, že tieto hodnoty premenných skutočne zapadajú do výrazu.

Parabolový graf a rovnica

Pojmy kvadratická funkcia a kvadratické rovnice spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené skôr. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky trochu podrobnejšie. Každá rovnica opísaného typu môže byť znázornená vizuálne. Takýto vzťah, nakreslený ako graf, sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú znázornené na obrázku nižšie.

Každá parabola má vrchol, teda bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a>0, idú vysoko do nekonečna a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne reprezentácie funkcií pomáhajú riešiť akékoľvek rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica x v bodoch, kde sa čiara grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu sa dajú nájsť pomocou práve daného vzorca x 0 = -b/2a. A dosadením výslednej hodnoty do pôvodnej rovnice funkcie môžete zistiť y 0, teda druhú súradnicu vrcholu paraboly, ktorá patrí k osi y.

Priesečník vetiev paraboly s osou x

Existuje veľa príkladov riešenia kvadratických rovníc, ale existujú aj všeobecné vzorce. Pozrime sa na ne. Je jasné, že priesečník grafu s osou 0x pre a>0 je možný len vtedy, ak 0 nadobúda záporné hodnoty. A pre a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly môžete určiť aj korene. Platí to aj naopak. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálnu reprezentáciu kvadratickej funkcie, môžete prirovnať pravú stranu výrazu k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu. A ak poznáme priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie zostaviť graf.

Z histórie

Pomocou rovníc obsahujúcich druhú mocninu premennej za starých čias nielen matematicky počítali a určovali plochy geometrických útvarov. Starovekí potrebovali takéto výpočty na veľké objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na vytváranie astrologických predpovedí.

Ako naznačujú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí riešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred naším letopočtom. Samozrejme, ich výpočty boli radikálne odlišné od tých, ktoré sú v súčasnosti akceptované a ukázali sa ako oveľa primitívnejšie. Mezopotámski matematici napríklad netušili o existencii záporných čísel. Nepoznali ani ďalšie jemnosti, ktoré pozná každý moderný školák.

Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu začal mudrc z Indie Baudhayama riešiť kvadratické rovnice. Stalo sa to asi osem storočí pred Kristovým obdobím. Je pravda, že rovnice druhého rádu, metódy riešenia, ktoré dal, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa o podobné otázky za starých čias zaujímali aj čínski matematici. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až začiatkom 13. storočia, no neskôr ich vo svojich prácach začali používať takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnohí ďalší.

Pokračujeme v štúdiu témy „ riešenie rovníc" S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a pokračujeme v zoznamovaní kvadratické rovnice.

Najprv sa pozrieme na to, čo je kvadratická rovnica, ako sa píše vo všeobecnom tvare a uvedieme súvisiace definície. Potom pomocou príkladov podrobne preskúmame, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame koreňový vzorec, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec vystopujme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať konverzáciu o kvadratických rovniciach definíciou kvadratickej rovnice, ako aj príbuzných definícií. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je nenulové.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to spôsobené tým, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Uvedená definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia.

čísla a, b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen .

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x −3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient sa rovná −2 a voľný člen sa rovná −3. Upozorňujeme, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, skrátená forma kvadratickej rovnice je 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2 ) ·x+(-3)=0.

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a/alebo b rovnajú 1 alebo −1, zvyčajne nie sú explicitne prítomné v kvadratickej rovnici, čo je spôsobené zvláštnosťami písania takýchto . Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient y sa rovná −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 daná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica nedotknuté.

Podľa tejto definície kvadratické rovnice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 atď. – daný, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch strán vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Pozrime sa na príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Potrebujeme len vydeliť obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, je nenulový, aby sme mohli vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, čo je rovnaké, (3x2):3+(12 x):3−7:3=0 a potom (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Takto sme získali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a≠0. Táto podmienka je potrebná, aby rovnica a x 2 + b x + c = 0 bola kvadratická, pretože keď a = 0, stáva sa vlastne lineárnou rovnicou v tvare b x + c = 0.

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, jednotlivo aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

Vo svojom poradí

Definícia.

Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.

Takéto mená neboli dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcich diskusií.

Ak je koeficient b nula, potom má kvadratická rovnica tvar a·x 2 +0·x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a·x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a·x 2 +b·x+0=0, potom ju možno prepísať ako a·x 2 +b·x=0. A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom odseku vyplýva, že existuje tri typy neúplných kvadratických rovníc:

• a·x 2 =0, tomu zodpovedajú koeficienty b=0 a c=0;
• ax2+c=0, keď b=0;
• a ax2+bx=0, keď c=0.

Pozrime sa v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 = 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa vysvetľuje tým, že pre akékoľvek nenulové číslo p platí nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 =0 má teda jeden koreň x=0.

Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4 x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 =0, jej jediným koreňom je x=0, preto má pôvodná rovnica jeden koreň nula.

Krátke riešenie v tomto prípade možno napísať takto:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 + c = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že presun člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 +c=0:

• presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
• a obe strany vydelíme a, dostaneme .

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6, potom ), nerovná sa nule, pretože podľa podmienky c≠0. Pozrime sa na prípady samostatne.

Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si pamätáme asi , potom sa koreň rovnice okamžite stane zrejmým; je to číslo, pretože . Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice, skutočne, . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.

Označme korene práve oznámenej rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má ešte jeden koreň x 2, odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že dosadením jej koreňov do rovnice namiesto x sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie správnych numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 −x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Z výslednej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0, čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 =−x 1. Došli sme teda k rozporu, keďže na začiatku sme povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .

Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

• nemá korene, ak,
• má dva korene a ak .

Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0.

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0. Po presunutí voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k . Keďže pravá strana má záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7 = 0 nemá korene.

Vyriešme ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Presunieme deviatku na pravú stranu: −x 2 =−9. Teraz vydelíme obe strany −1, dostaneme x 2 =9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že alebo . Potom zapíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 + b x = 0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0. A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a·x+b=0, z ktorých druhá je lineárna a má koreň x=−b/a.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 +b·x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie na konkrétnom príklade.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Vybratím x zo zátvoriek dostaneme rovnicu . Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a delením zmiešaného čísla obyčajným zlomkom nájdeme . Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .

Po získaní potrebnej praxe môžu byť riešenia takýchto rovníc stručne napísané:

odpoveď:

x=0,.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si to zapísať vzorec pre korene kvadratickej rovnice: , Kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .

Je užitočné vedieť, ako bol odvodený koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme na to.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• Obe strany tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je nasledujúca kvadratická rovnica.
• Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
• V tejto fáze je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
• A tiež transformujme výraz na pravej strane: .

Výsledkom je, že dospejeme k rovnici, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0.

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme skúmali. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
• if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
• if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4·a 2 je vždy kladný, teda znamienkom výrazu b 2 −4·a·c. Tento výraz b 2 −4 a c bol nazvaný diskriminant kvadratickej rovnice a označený listom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aké je ich číslo - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici a prepíšme ju pomocou diskriminačného zápisu: . A vyvodíme závery:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• nakoniec, ak D>0, tak rovnica má dva korene alebo, ktoré môžeme prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a privedení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme.

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú takto , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4·a·c.

S ich pomocou, s kladným diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď sa diskriminant rovná nule, oba vzorce dávajú rovnakú hodnotu koreňa, čo zodpovedá jedinečnému riešeniu kvadratickej rovnice. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii druhej odmocniny zo záporného čísla, čo nás posúva mimo rámec školských osnov. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec na výpočet ich hodnôt. Ale to súvisí skôr s hľadaním zložitých koreňov.

V kurze školskej algebry však zvyčajne nehovoríme o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv nájsť diskriminant, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá skutočné korene), a až potom vypočítajte hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 potrebujete:

• pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4·a·c vypočítajte jeho hodnotu;
• dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
• vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu len poznamenávame, že ak je diskriminant rovný nule, môžete použiť aj vzorec; dá rovnakú hodnotu ako .

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uvažujme riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Poďme začať.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 +2·x−6=0.

Riešenie.

V tomto prípade máme tieto koeficienty kvadratickej rovnice: a=1, b=2 a c=−6. Podľa algoritmu musíte najskôr vypočítať diskriminant, na to dosadíme označené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Keďže 28>0, teda diskriminant je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva reálne korene. Poďme ich nájsť pomocou koreňového vzorca, dostaneme , tu môžete zjednodušiť výsledné výrazy tým, že urobíte posunutie násobiteľa za koreňový znak nasleduje redukcia frakcie:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Riešte rovnicu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5, b=6 a c=2. Tieto hodnoty dosadíme do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak potrebujete uviesť zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú skutočné korene, zložité korene sú: .

Ešte raz si všimnime, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom v škole zvyčajne okamžite zapíšu odpoveď, v ktorej naznačujú, že neexistujú žiadne skutočné korene a komplexné korene sa nenachádzajú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, kde D=b 2 −4·a·c vám umožňuje získať vzorec kompaktnejšieho tvaru, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pre x (alebo jednoducho s a koeficient, ktorý má napríklad tvar 2·n alebo 14·ln5=2·7·ln5). Poďme ju dostať von.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x+c=0. Poďme nájsť jeho korene pomocou vzorca, ktorý poznáme. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

Označme výraz n 2 −a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar , kde D 1 = n 2 −a·c.

Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2·n potrebujete

• Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
• Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Uvažujme o riešení príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tu a=5, n=−3 a c=−32, a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Poďme ich nájsť pomocou príslušného koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy predtým, ako začnete počítať korene kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x−6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typicky sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo delením oboch strán určitým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku bolo možné zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100.

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . V tomto prípade sú obe strany rovnice zvyčajne rozdelené absolútnymi hodnotami jej koeficientov. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Vydelením oboch strán pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0.

A násobenie oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6, potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4·x−18=0.

Na záver tohto bodu poznamenávame, že takmer vždy sa zbavia mínusu pri najvyššom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch strán −1. Napríklad zvyčajne sa prejde od kvadratickej rovnice −2 x 2 −3 x+7=0 k riešeniu 2 x 2 +3 x−7=0 .

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej koeficientov. Na základe koreňového vzorca môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety sú tvaru a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad, keď sa pozrieme na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x + 22 = 0, môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov sa rovná 7/3 a súčin koreňov sa rovná 22. /3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších spojení medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice môžete vyjadriť prostredníctvom jej koeficientov: .

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež zobrazuje proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje ako presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \(81x^2-16x-1=0\) sa odpoveď zobrazí v nasledujúcom tvare:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a nie takto: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Tento program môže byť užitočný pre stredoškolákov na všeobecnovzdelávacích školách pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou a rodičom pri ovládaní riešenia mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo len chcete mať čo najrýchlejšie domácu úlohu z matematiky či algebry? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Ak nepoznáte pravidlá zadávania kvadratického polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie kvadratického polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď.

Čísla je možné zadať ako celé alebo zlomkové čísla.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch môže byť zlomková časť oddelená od celej časti bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky takto: 2,5x – 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení kvadratickej rovnice najskôr zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Rozhodnite sa

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
vyzerá ako
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
Kvadratická rovnica sa nazýva rovnica v tvare ax 2 +bx+c=0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je voľný člen.

V každej z rovníc tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a\neq 0\) je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Kvadratická rovnica, v ktorej sa koeficient x 2 rovná 1, sa nazýva daná kvadratická rovnica. Napríklad uvedené kvadratické rovnice sú rovnice
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ak v kvadratickej rovnici ax 2 +bx+c=0 je aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovný nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica. Teda rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b=0, v druhom c=0, v treťom b=0 a c=0.

Existujú tri typy neúplných kvadratických rovníc:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Uvažujme o riešení rovníc každého z týchto typov.

Ak chcete vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 +c=0 pre \(c \neq 0 \), presuňte jej voľný člen na pravú stranu a vydeľte obe strany rovnice a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šípka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pretože \(c \neq 0 \), potom \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ak \(-\frac(c)(a)>0\), potom má rovnica dva korene.

Ak \(-\frac(c)(a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice tvaru ax 2 +bx=0 s \(b \neq 0 \) vynásobíme jej ľavú stranu a získame rovnicu
\(x(ax+b)=0 \šípka doprava \vľavo\( \začiatok(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \koniec(pole) \vpravo. \šípka doprava \vľavo\( \začiatok (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo. \)

To znamená, že neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) má vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, a preto má jeden koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako vyriešiť kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Vyriešme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare a ako výsledok získame vzorec pre korene. Tento vzorec potom možno použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 +bx+c=0

Delením oboch strán a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformujme túto rovnicu výberom štvorca binomu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šípka doprava \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \šípka doprava \) \(\vľavo(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \šípka doprava \left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \šípka doprava \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Šípka doprava x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \šípka doprava \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikálny výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminačný“ v latinčine - diskriminátor). Označuje sa písmenom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz pomocou diskriminačného zápisu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D > 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo nemá žiadne korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca, je vhodné postupovať nasledovne:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, použite koreňový vzorec; ak je diskriminant záporný, zapíšte, že neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x+10=0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu prijatému s opačným znak a súčin koreňov sa rovná voľnému termínu. Túto vlastnosť má každá redukovaná kvadratická rovnica, ktorá má korene.

Súčet koreňov vyššie uvedenej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 majú vlastnosť:
\(\vľavo\( \začiatok(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \koniec(pole) \vpravo. \)