Векторы мощный инструмент математики и физики. На языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики. Чтобы понимать физику, нужно научиться работать с векторами.
Данная глава содержит подробное изложение материала, необходимого для того, чтобы приступить к изучению механики:
! Сложение векторов
! Умножение скаляра на вектор
! Угол между векторами
! Проекция вектора на ось
! Векторы и координаты на плоскости
! Векторы и координаты в пространстве
! Скалярное произведение векторов
К тексту данного приложения полезно будет вернуться на первом курсе при изучении аналитической геометрии и линейной алгебры чтобы осознать, например, откуда берутся аксиомы линейного и евклидова пространства.
7.1 Скалярные и векторные величины
В процессе изучения физики мы встречаем два типа величин скалярные и векторные.
Определение. Скалярная величина, или скаляр это физическая величина, для задания которой (в подходящих единицах измерения) достаточно одного числа.
Скаляров очень много в физике. Масса тела равна 3 кг, температура воздуха равна 10 С, напряжение в сети равно 220 В. . . Во всех этих случаях интересующая нас величина задаётся одним-единственным числом. Следовательно, масса, температура и электрическое напряжение являются скалярами.
Но скаляр в физике это не просто число. Скаляр есть число, снабжённое размерностью1 . Так, задавая массу, мы не можем написать m = 3; надо указать единицу измерения например, m = 3 кг. И если в математике мы можем сложить числа 3 и 220, то в физике сложить 3 килограмма и 220 вольт не получится: мы имеем право складывать лишь те скаляры, которые обладают одинаковой размерностью (массу с массой, напряжение с напряжением и т. д.).
Определение. Векторная величина, или вектор это физическая величина, характеризуемая: 1) неотрицательным скаляром; 2) направлением в пространстве. При этом скаляр называется модулем вектора, или его абсолютной величиной.
Предположим, что автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Но ведь это неполная информация о движении, не так ли? Может оказаться важным и то, куда едет автомобиль, в каком именно направлении. Поэтому важно знать не только модуль (абсолютную величину) скорости автомобиля в данном случае это 60 км/ч но и её направление в пространстве. Значит, скорость является вектором.
Другой пример. Допустим, на полу лежит кирпич массой 1 кг. На кирпич действует сила 100 Н (это модуль силы, или её абсолютная величина). Как будет двигаться кирпич? Вопрос лишён смысла до тех пор, пока не указано направление действия силы. Если сила действует вверх, то и кирпич будет двигаться вверх. Если сила действует горизонтально, то и кирпич поедет горизонтально. А если сила действует вертикально вниз, то кирпич вообще не сдвинется с места он будет только вжиматься в пол. Мы видим, таким образом, что сила также является вектором.
Векторная величина в физике также обладает размерностью. Размерность вектора это размерность его модуля.
Мы будем обозначать векторы буквами со стрелкой. Так, вектор скорости можно обозначить
через ~v, а вектор силы через F . Собственно, вектор это и есть стрелка или, как ещё говорят, направленный отрезок (рис. 7.1 ).
Рис. 7.1. Вектор ~v
Начальная точка стрелки называется началом вектора, а конечная точка (остриё) стрелки
концом вектора. В математике вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается
также AB; нам такое обозначение тоже иногда понадобится.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором (или нулём) и
обозначается ~ . Нулевой вектор есть попросту точка; он не имеет определённого направления.
Длина нулевого вектора, разумеется, равна нулю.
1 Попадаются и безразмерные скаляры: коэффициент трения, коэффициент полезного действия, показатель преломления среды. . . Так, показатель преломления воды равен 1;33 это исчерпывающая информация, никакой размерностью данное число не обладает.
Рисование стрелок полностью решает задачу графического представления векторных величин. Направление стрелки указывает направление данного вектора, а длина стрелки в подходящем масштабе есть модуль этого вектора.
Предположим, например, что два автомобиля двигаются навстречу друг другу со скоростями u = 30 км/ч и v = 60 км/ч. Тогда векторы ~u и ~v скоростей автомобилей будут иметь противоположные направления, причём длина вектора ~v в два раза больше (рис. 7.2 ).
Рис. 7.2. Вектор ~v вдвое длиннее
Как вы уже поняли, буква без стрелки (например, u или v в предыдущем абзаце) обозначает модуль соответствующего вектора. В математике модуль вектора ~v обычно обозначается j~vj, но физики, если ситуация позволяет, предпочтут именно v букву без стрелки.
Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых.
Пусть имеются два коллинеарных вектора. Если их направления совпадают, то векторы называются сонаправленными; если же их направления различны, то векторы называются противоположно направленными. Так, выше на рис. 7.2 векторы ~u и ~v являются противоположно направленными.
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и имеют равные модули (рис. 7.3 ).
Рис. 7.3. Векторы ~a и b равны: ~a = b
Таким образом, равенство векторов отнюдь не означает непременного совпадения их начал и концов: мы можем переносить вектор параллельно самому себе, и при этом получится вектор, равный исходному. Такой перенос постоянно применяется в тех случаях, когда желательно свести начала векторов в одну точку например, при нахождении суммы или разности векторов. К рассмотрению операций над векторами мы и переходим.
Пугающие школьника два слова - вектор и скаляр - на самом деле не являются страшными. Если подойти к теме с интересом, то все можно понять. В данной статье рассмотрим, какая величина является векторной, а какая скалярной. Точнее, приведем примеры. Каждый ученик, наверное, обращал внимание, что в физике некоторые величины обозначаются не только символом, но и стрелкой сверху. Что они обозначают? Об этом будет сказано ниже. Постараемся разобраться, чем отличается от скалярной.
Примеры векторов. Как они обозначаются
Что подразумевается под вектором? То, что характеризует движение. Не важно, в пространстве или на плоскости. Какая величина является векторной вообще? Например, летит самолет с определенной скоростью на какой-то высоте, имеет конкретную массу, начал движение из аэропорта с нужным ускорением. Что относится к движению самолета? Что заставило его лететь? Конечно, ускорение, скорость. Векторные величины из курса физики являются наглядными примерами. Говоря прямо, векторная величина связана с движением, перемещением.
Вода тоже движется с определенной скоростью с высоты горы. Видите? Движение осуществляется за счет не объема или массы, а именно скорости. Теннисист дает возможность мячику двигаться при помощи ракетки. Он задает ускорение. К слову сказать, приложенная в данном случае сила также является векторной величиной. Потому что она получается вследствие заданных скоростей и ускорений. Сила способна также меняться, осуществлять конкретные действия. Ветер, который колышет листья на деревьях, тоже можно считать примером. Так как имеется скорость.
Положительные и отрицательные величины
Векторной величиной называется величина, которая имеет направление в окружающем пространстве и модуль. Снова появилось пугающее слово, на этот раз модуль. Представьте, что нужно решить задачку, где будет фиксироваться отрицательное значение ускорения. В природе отрицательных значений, казалось бы, не существует. Как скорость может быть отрицательной?
У вектора есть такое понятие. Это касается, например, сил, которые приложены к телу, но имеют разные направления. Вспомните третий где действие равно противодействию. Ребята перетягивают канат. Одна команда в синих футболках, вторая - в желтых. Вторые оказываются сильнее. Допустим, что вектор их силы направлен положительно. В то же время у первых не получается натянуть канат, но пытаются. Возникает противодействующая сила.
Векторная или скалярная величина?
Поговорим о том, чем отличается векторная величина от скалярной. Какой параметр не имеет никакого направления, но имеет свое значение? Перечислим некоторые скалярные величины ниже:
Имеют ли все они направление? Нет. Какая величина является векторной, а какая скалярной, можно показать только наглядными примерами. В физике есть такие понятия не только в разделе "Механика, динамика и кинематика", а так же в параграфе "Электричество и магнетизм". Сила Лоренца, - все это так же векторные величины.
Вектор и скаляр в формулах
В учебниках по физике часто встречаются формулы, в которых есть стрелочка сверху. Вспомните второй закон Ньютона. Сила ("F" со стрелочкой сверху) равна произведению массы ("m") и ускорения ("a" со стрелочкой сверху). Как говорилось выше, сила и ускорение являются величинами векторными, а вот масса - скалярной.
К сожалению, не во всех изданиях есть обозначение этих величин. Наверное, сделано это для упрощения, чтобы школьников не вводить в заблуждение. Лучше всего покупать те книги и справочники, в которых обозначены векторы в формулах.
То, какая величина является векторной, покажет иллюстрация. Рекомендуется обращать внимание на картинки и схемы на уроках физики. Векторные величины имеют направление. Куда направлена Конечно же, вниз. Значит, стрелочка будет показана в том же направлении.
В технических вузах изучают физику углубленно. В рамках многих дисциплин преподаватели рассказывают о том, какие величины являются скалярными и векторными. Такие знания требуются в сферах: строительство, транспорт, естественные науки.
Физика и математика не обходятся без понятия «векторная величина». Ее необходимо знать и узнавать, а также уметь с нею оперировать. Этому обязательно стоит научиться, чтобы не путаться и не допускать глупых ошибок.
Как отличить скалярную величину от векторной?
Первая всегда имеет только одну характеристику. Это ее числовое значение. Большинство скалярных величин могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Их примерами может служить электрический заряд, работа или температура. Но есть такие скаляры, которые не могут быть отрицательными, например, длина и масса.
Векторная величина, кроме числовой величины, которая всегда берется по модулю, характеризуется еще и направлением. Поэтому она может быть изображена графически, то есть в виде стрелки, длина которой равна модулю величины, направленной в определенную сторону.
При письме каждая векторная величина обозначается знаком стрелки на буквой. Если идет речь о числовом значении, то стрелка не пишется или ее берут по модулю.
Какие действия чаще всего выполняются с векторами?
Сначала — сравнение. Они могут быть равными или нет. В первом случае их модули одинаковые. Но это не единственное условие. У них должны быть еще одинаковые или противоположные направления. В первом случае их следует называть равными векторами. Во втором они оказываются противоположными. Если не выполняется хотя бы одно из указанных условий, то векторы не равны.
Потом идет сложение. Его можно сделать по двум правилам: треугольника или параллелограмма. Первое предписывает откладывать сначала один вектор, потом от его конца второй. Результатом сложения будет тот, который нужно провести от начала первого к концу второго.
Правило параллелограмма можно использовать, когда нужно сложить векторные величины в физике. В отличие от первого правила, здесь их следует откладывать от одной точки. Потом достроить их до параллелограмма. Результатом действия следует считать диагональ параллелограмма, проведенную из той же точки.
Если векторная величина вычитается из другой, то они снова откладываются из одной точки. Только результатом будет вектор, который совпадает с тем, что отложен от конца второго к концу первого.
Какие векторы изучают в физике?
Их так же много, как скаляров. Можно просто запомнить то, какие векторные величины в физике существуют. Или знать признаки, по которым их можно вычислить. Тем, кто предпочитает первый вариант, пригодится такая таблица. В ней приведены основные векторные
Теперь немного подробнее о некоторых из этих величин.
Первая величина — скорость
С нее стоит начать приводить примеры векторных величин. Это обусловлено тем, что ее изучают в числе первых.
Скорость определяется как характеристика движения тела в пространстве. Ею задается числовое значение и направление. Поэтому скорость является векторной величиной. К тому же ее принято разделять на виды. Первый является линейной скоростью. Ее вводят при рассмотрении прямолинейного равномерного движения. При этом она оказывается равной отношению пути, пройденного телом, ко времени движения.
Эту же формулу допустимо использовать при неравномерном движении. Только тогда она будет являться средней. Причем интервал времени, который необходимо выбирать, обязательно должен быть как можно меньше. При стремлении промежутка времени к нулю значение скорости уже является мгновенным.
Если рассматривается произвольное движение, то здесь всегда скорость — векторная величина. Ведь ее приходится раскладывать на составляющие, направленные вдоль каждого вектора, направляющего координатные прямые. К тому же определяется он как производная радиус-вектора, взятая по времени.
Вторая величина — сила
Она определяет меру интенсивности воздействия, которое оказывается на тело со стороны других тел или полей. Поскольку сила — векторная величина, то она обязательно имеет свое значение по модулю и направление. Так как она действует на тело, то важным является еще и точка, к которой приложена сила. Чтобы получить наглядное представление о векторах сил, можно обратиться к следующей таблице.
Также еще векторной величиной является равнодействующая сила. Она определяется как сумма всех действующих на тело механических сил. Для ее определения необходимо выполнить сложение по принципу правила треугольника. Только откладывать векторы нужно по очереди от конца предыдущего. Результатом окажется тот, который соединяет начало первого с концом последнего.
Третья величина — перемещение
Во время движения тело описывает некоторую линию. Она называется траекторией. Эта линия может быть совершенно разной. Важнее оказывается не ее внешний вид, а точки начала и конца движения. Они соединяются отрезком, который называется перемещением. Это тоже векторная величина. Причем оно всегда направлено от начала перемещения к точке, где движение было прекращено. Обозначать его принято латинской буквой r.
Здесь может появиться такой вопрос: «Путь — векторная величина?». В общем случае это утверждение не является верным. Путь равен длине траектории и не имеет определенного направления. Исключением считается ситуация, когда рассматривается в одном направлении. Тогда модуль вектора перемещения совпадает по значению с путем, и направление у них оказывается одинаковым. Поэтому при рассмотрении движения вдоль прямой без изменения направления перемещения путь можно включить в примеры векторных величин.
Четвертая величина — ускорение
Оно является характеристикой быстроты изменения скорости. Причем ускорение может иметь как положительное, так и отрицательное значение. При прямолинейном движении оно направлено в сторону большей скорости. Если перемещение происходит по криволинейной траектории, то вектор его ускорения раскладывается на две составляющие, одна из которых направлена к центру кривизны по радиусу.
Выделяют среднее и мгновенное значение ускорения. Первое следует рассчитывать как отношение изменения скорости за некоторый промежуток времени к этому времени. При стремлении рассматриваемого интервала времени к нулю говорят о мгновенном ускорении.
Пятая величина — импульс
По-другому его еще называют количеством движения. Импульс векторной величиной является из-за того, что напрямую связан со скоростью и силой, приложенной к телу. Обе они имеют направление и задают его импульсу.
По определению последний равен произведению массы тела на скорость. Используя понятие импульса тела, можно по-другому записать известный закон Ньютона. Получается, что изменение импульса равно произведению силы на промежуток времени.
В физике важную роль имеет закон сохранения импульса, который утверждает, что в замкнутой системе тел ее суммарный импульс является постоянным.
Мы очень кратко перечислили, какие величины (векторные) изучаются в курсе физики.
Задача о неупругом ударе
Условие. На рельсах стоит неподвижная платформа. К ней приближается вагон со скоростью 4 м/с. и вагона - 10 и 40 тонн соответственно. Вагон ударяется о платформу, происходит автосцеп. Необходимо вычислить скорость системы "вагон-платформа" после удара.
Решение. Сначала требуется ввести обозначения: скорость вагона до удара — v 1 , вагона с платформой после сцепки — v, масса вагона m 1 , платформы — m 2 . По условию задачи необходимо узнать значение скорости v.
Правила решения подобных заданий требуют схематичного изображения системы до и после взаимодействия. Ось OX разумно направить вдоль рельсов в ту сторону, куда движется вагон.
В данных условиях систему вагонов можно считать замкнутой. Это определяется тем, что внешними силами можно пренебречь. Сила тяжести и уравновешены, а трение о рельсы не учитывается.
Согласно закону сохранения импульса, их векторная сумма до взаимодействия вагона и платформы равна общему для сцепки после удара. Сначала платформа не двигалась, поэтому ее импульс был равен нулю. Перемещался только вагон, его импульс — произведение m 1 и v 1 .
Так как удар был неупругий, то есть вагон сцепился с платформой, и дальше он стали катиться вместе в ту же сторону, то импульс системы не изменил направления. Но его значение стало другим. А именно произведением суммы массы вагона с платформой и искомой скорости.
Можно записать такое равенство: m 1 * v 1 = (m 1 + m 2) * v. Оно будет верно для проекции векторов импульсов на выбранную ось. Из него легко вывести равенство, которое потребуется для вычисления искомой скорости: v = m 1 * v 1 / (m 1 + m 2).
По правилам следует перевести значения для массы из тонн в килограммы. Поэтому при подстановке их в формулу следует сначала умножить известные величины на тысячу. Простые расчеты дают число 0,75 м/с.
Ответ. Скорость вагона с платформой равна 0,75 м/с.
Задача с разделением тела на части
Условие . Скорость летящей гранаты 20 м/с. Она разрывается на два осколка. Масса первого 1,8 кг. Он продолжает двигаться в направлении, в котором летела граната, со скоростью 50 м/с. Второй осколок имеет массу 1,2 кг. Какова его скорость?
Решение. Пусть массы осколков обозначены буквами m 1 и m 2 . Их скорости соответственно будут v 1 и v 2 . Начальная скорость гранаты — v. В задаче нужно вычислить значение v 2 .
Для того чтобы больший осколок продолжал двигаться в том же направлении, что и вся граната, второй должен полететь в обратную сторону. Если выбрать за направление оси то, которое было у начального импульса, то после разрыва большой осколок летит по оси, а маленький — против оси.
В этой задаче разрешено пользоваться законом сохранения импульса из-за того, что разрыв гранаты происходит мгновенно. Поэтому, несмотря на то что на гранату и ее части действует сила тяжести, она не успевает подействовать и изменить направление вектора импульса с его значением по модулю.
Сумма векторных величин импульса после разрыва гранаты равна тому, который был до него. Если записать закон сохранения в проекции на ось OX, то он будет выглядеть так: (m 1 + m 2) * v = m 1 * v 1 — m 2 * v 2 . Из него просто выразить искомую скорость. Она определится по формуле: v 2 = ((m 1 + m 2) * v — m 1 * v 1) / m 2 . После подстановки числовых значений и расчетов получается 25 м/с.
Ответ. Скорость маленького осколка равна 25 м/с.
Задача про выстрел под углом
Условие. На платформе массой M установлено орудие. Из него производится выстрел снарядом массой m. Он вылетает под углом α к горизонту со скоростью v (данной относительно земли). Требуется узнать значение скорости платформы после выстрела.
Решение. В этой задаче можно использовать закон сохранения импульса в проекции на ось OX. Но только в том случае, когда проекции внешних равнодействующих сил равна нулю.
За направление оси OX нужно выбрать ту сторону, куда полетит снаряд, и параллельно горизонтальной линии. В этом случае проекции сил тяжести и реакции опоры на OX будут равны нулю.
Задача будет решена в общем виде, так как нет конкретных данных для известных величин. Ответом в ней является формула.
Импульс системы до выстрела был равен нулю, поскольку платформа и снаряд были неподвижны. Пусть искомая скорость платформы будет обозначена латинской буквой u. Тогда ее импульс после выстрела определится как произведение массы на проекцию скорости. Так как платформа откатится назад (против направления оси OX), то значение импульса будет со знаком минус.
Импульс снаряда — произведение его массы на проекцию скорости на ось OX. Из-за того, что скорость направлена под углом к горизонту, ее проекция равна скорости, умноженной на косинус угла. В буквенном равенстве это будет выглядеть так: 0 = - Mu + mv * cos α. Из нее путем несложных преобразований получается формула-ответ: u = (mv * cos α) / M.
Ответ. Скорость платформы определяется по формуле u = (mv * cos α) / M.
Задача о переправе через реку
Условие. Ширина реки по всей ее длине одинакова и равна l, ее берега параллельны. Известна скорость течения воды в реке v 1 и собственная скорость катера v 2 . 1). При переправе нос катера направлен строго к противоположному берегу. На какое расстояние s его снесет вниз по течению? 2). Под каким углом α нужно направить нос катера, чтобы он достиг противоположного берега строго перпендикулярно к точке отправления? Сколько времени t потребуется на такую переправу?
Решение. 1). Полная скорость катера является векторной суммой двух величин. Первая из них течение реки, которое направлено вдоль берегов. Вторая — собственная скорость катера, перпендикулярная берегам. На чертеже получается два подобных треугольника. Первый образован шириной реки и расстоянием, на которое сносит катер. Второй — векторами скоростей.
Из них следует такая запись: s / l = v 1 / v 2 . После преобразования получается формула для искомой величины: s = l * (v 1 / v 2).
2). В этом варианте задачи вектор полной скорости перпендикулярен берегам. Он равен векторной сумме v 1 и v 2 . Синус угла, на который должен отклоняться вектор собственной скорости, равен отношению модулей v 1 и v 2 . Для расчета времени движения потребуется разделить ширину реки на сосчитанную полную скорость. Значение последней вычисляется по теореме Пифагора.
v = √(v 2 2 - v 1 2), тогда t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).
Ответ. 1). s = l * (v 1 / v 2), 2). sin α = v 1 / v 2 , t = l / (√(v 2 2 - v 1 2)).
Векторная величина (вектор) – это физическая величина, которая имеет две характеристики – модуль и направление в пространстве.
Примеры векторных величин: скорость (), сила (), ускорение () и т.д.
Геометрически вектор изображается как направленный отрезок прямой линии, длина которого в масштабе – модуль вектора.
Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается или просто ) - вектор, задающий положения точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.
Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор - это вектор, идущий из начала координат в эту точку.
Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находится от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.
На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.
линия, вдоль которой движется тело, называется траекторией движения. В зависимости от формы траектории все движения можно разделить на прямолинейные и криволинейные.
Описание движения начинается с ответа на вопрос: как изменилось положение тела в пространстве за некоторый промежуток времени? Как же определяют изменение положения тела в пространстве?
Перемещение - направленный отрезок (вектор), соединяющий начальное и конечное положение тела.
Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр. vitesse ) - векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения и направление движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта (например угловая скорость). Этим же словом может называться скалярная величина, точнее модуль производной радиус-вектора.
В науке используется также скорость в широком смысле, как быстрота изменения какой-либо величины (не обязательно радиус-вектора) в зависимости от другой (чаще изменения во времени, но также в пространстве или любой другой). Так, например, говорят о скорости изменения температуры, скорости химической реакции, групповой скорости, скорости соединения, угловой скорости и т. д. Математически характеризуется производной функции.
Ускоре́ние (обычно обозначается , в теоретической механике ), производная скорости по времени - векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).
Например, вблизи Земли падающее на Землю тело, в случае, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха, увеличивает свою скорость примерно на 9,8 м/с каждую секунду, то есть, его ускорение равно 9,8 м/с².
Раздел механики, изучающий движение в трёхмерном евклидовом пространстве, его запись, а также запись скоростей и ускорений в различных системах отсчёта, называется кинематикой.
Единицей ускорения служит метр в секунду за секунду (m/s 2 , м/с 2 ), существует также внесистемная единица Гал (Gal), применяемая в гравиметрии и равная 1 см/с 2 .
Производная ускорения по времени т.е. величина, характеризующая быстроту изменения ускорения по времени называется рывок.
Наиболее простое движение тела - такое, при котором все точки тела движутся одинаково, описывая одинаковые траектории. Такое движение называется поступательным
. Мы получим этот тип движения, двигая лучинку так, чтобы она все время оставалась параллельной самой себе. При поступательном движении траектории могут быть как прямыми (рис. 7, а), так и кривыми (рис. 7, б) линиями.
Можно доказать, что при поступательном движении любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной самой себе. Этим характерным признаком удобно пользоваться, чтобы ответить на вопрос, является ли данное движение тела поступательным. Например, при качении цилиндра по плоскости прямые, пересекающие ось, не остаются параллельными самим себе: качение - это не поступательное движение. При движении рейсшины и угольника по чертежной доске любая прямая, проведенная в них, остается параллельной самой себе, значит, они движутся поступательно (рис. 8). Поступательно движется игла швейной машины, поршень в цилиндре паровой машины или двигателя внутреннего сгорания, кузов автомашины (но не колеса!) при езде по прямой дороге и т. д.
Другой простой тип движения - это вращательное движение тела, или вращение. При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на прямой. Эту прямую называют осью вращения (прямая 00" на рис.9). Окружности лежат в парал-лельных плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Вращение не является поступательным движением: при вращении оси OO". Показаны траектории остаются параллельными только прямые, параллельные оси вращения.
Абсолю́тно твёрдое те́ло - второй опорный объект механики наряду с материальной точкой.
Существует несколько определений:
1. Абсолютно твердое тело - модельное понятие классической механики, обозначающее совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений, совершаемых этим телом. Иначе говоря, абсолютно твердое тело не только не изменяет свою форму, но и сохраняет неизменным распределение массы внутри.
2. Абсолютно твердое тело - механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. «Твёрдость» означает, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.
3. Абсолютно твёрдое тело - тело (система), взаимное положение любых точек которого не изменяется, в каких бы процессах оно ни участвовало.
В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных. Исключение составляет двухатомная молекула или, на языке классической механики, твёрдый стержень нулевой толщины. Такая система имеет только две вращательных степени свободы.
Конец работы -
Эта тема принадлежит разделу:
Недоказанная и неопровергнутая гипотеза называется открытой проблемой
Физика тесно связана с математикой математика предоставляет аппарат с помощью которого физические законы могут быть точно сформулированы.. тео рия греч рассмотрение.. стандартный метод проверки теорий прямая экспериментальная проверка эксперимент критерий истины однако часто..
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
| Твитнуть |
Все темы данного раздела:
Принцип относительности в механике
Инерциальные системы отсчета и принцип относительности.
Преобразования Галилея. Инварианты преобразования. Абсолютные и
относительные скорости и ускорения. Постулаты специальной т
Вращательное движение материальной точки.
Вращательное движение материальной точки - движение материальной точки по окружности.
Враща́тельное движе́ние - вид механического движения. При
Связь между векторами линейной и угловой скоростей, линейного и углового ускорений.
Мера вращательного движения: угол φ, на который поверн.тся радиус-вектор точки в плоскости, нормальной к оси вращения.
Равномерное вращательное движен
Скорость и ускорение при криволинейном движении.
Криволинейное движение более сложный вид движения, чем прямолинейное, поскольку даже если движение происходит на плоскости, то изменяются две координаты, характеризующие положение тела. Скорость и
Ускорение при криволинейном движении.
Рассматривая криволинейное движение тела, мы видим, что его скорость в разные моменты различна. Даже в том случае, когда величина скорости не меняется, все же имеет место изменение направления скор
Уравнение движения Ньютона
(1)
где сила F в общем случа
Центр масс
центр инерции, геометрическая точка, положение которой характеризует распределение масс в теле или механической системе. Координаты Ц. м. определяются формулами
Закон движения центра масс.
Воспользовавшись законом изменения импульса, получим закон движения центра масс:
dP/dt = M∙dVc/dt = ΣFi
Центр масс системы движется так же, как дв
Галилея принцип относительности
· Инерциальная система отсчёта
Инерциальная система отсчёта
Галилея
Пластическая деформация
Согнем немного стальную пластинку (например, ножовку), а затем через некоторое время отпустим ее. Мы увидим, что ножовка полностью (во всяком случае на взгляд) восстановит свою форму. Если возьмем
ВНЕШНИЕ И ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
. В механике внешними силами по отношению к данной системе материальных точек (т. е. такой совокупности материальных точек, в которой движение каждой точки зависит от положений или движений всех ос
Кинетическая энергия
энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. К. э. Т материальной точки измеряется половиной произведения массы m этой точки на квадрат её скорости
Кинетическая энергия.
Кинетическая энергия - энергия движущегося тела.(От греческого слова kinema - движение). По определению кинетическая энергия покоящегося в данной системе отсчета
Величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости.
=Дж.
Кинетическая энергия - величина относительная, зависящая от выбора СО, т.к. скорость тела зависит от выбора СО.
Т.о.
Момент силы
· Момент силы. Рис.
Момент силы. Рис.
Момент силы, величин
Кинетическая энергия вращающегося тела
Кинетическая энергия – величина аддитивная. Поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материаль
Работа и мощность при вращении твердого тела.
Работа и мощность при вращении твердого тела.
Найдем выражение для работы при вра
Основное уравнение динамики вращательного движения
Согласно уравнению (5.8) второй закон Ньютона для вращательного движения
П
В физике существует несколько категорий величин: векторные и скалярные.
Что такое векторная величина?
Векторная величина имеет две основные характеристики: направление и модуль . Два вектора будут одинаковыми, если их значение по модулю и направление совпадают. Для обозначения векторной величины чаще всего используют буквы, над которыми отображается стрелочка. В качестве примера векторной величины можно привести силу, скорость или ускорение.
Для того, чтобы понять сущность векторной величины, следует рассмотреть ее с геометрической точки зрения. Вектор представляет собой отрезок, имеющий направление. Длина такого отрезка соотносится со значением его модуля. Физическим примером векторной величины является смещение материальной точки, перемещающейся в пространстве. Такие параметры, как ускорение этой точки, скорость и действующие на нее силы, электромагнитного поля тоже будут отображаться векторными величинами.
Если рассматривать векторную величину независимо от направления, то такой отрезок можно измерить. Но, полученный результат будет отображать только лишь частичные характеристики величины. Для ее полного измерения следует дополнить величину другими параметрами направленного отрезка.
В векторной алгебре существует понятие нулевого вектора . Под этим понятием подразумевается точка. Что касается направления нулевого вектора, то оно считается неопределенным. Для обозначения нулевого вектора используется арифметический нуль, набранный полужирным шрифтом.
Если проанализировать все вышесказанное, то можно сделать вывод, что все направленные отрезки определяют вектора. Два отрезка будут определять один вектор только в том случае, если они являются равными. При сравнении векторов действует тоже правило, что и при сравнении скалярных величин. Равенство означает полное совпадение по всем параметрам.
Что такое скалярная величина?
В отличие от вектора, скалярная величина обладает только лишь одним параметром – это ее численное значение . Стоит отметить, что анализируемая величина может иметь как положительное численное значение, так и отрицательное.
В качестве примера можно привести массу, напряжение, частоту или температуру. С такими величинами можно выполнять различные арифметические действия: сложение, деление, вычитание, умножение. Для скалярной величины такая характеристика, как направление, не свойственна.
Скалярная величина измеряется числовым значением, поэтому ее можно отображать на координатной оси. Например, очень часто строят ось пройденного пути, температуры или времени.
Основные отличия между скалярными и векторными величинами
Из описаний, приведенных выше, видно, что главное отличие векторных величин от скалярных заключается в их характеристиках . У векторной величины есть направление и модуль, а у скалярной только численное значение. Безусловно, векторную величину, как и скалярную, можно измерить, но такая характеристика не будет полной, так как отсутствует направление.
Для того, чтобы более четко представить отличие скалярной величины от векторной, следует привести пример. Для этого возьмем такую область знаний, как климатология . Если сказать, что ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то будет введена скалярная величина. Но, если сказать, что северный ветер дует со скоростью 8 метров в секунду, то речь пойдет о векторном значении.
Векторы играют огромную роль в современной математике, а также во многих сферах механики и физики. Большинство физических величин может быть представлено в виде векторов. Это позволяет обобщить и существенно упростить используемые формулы и результаты. Часто векторные значения и векторы отождествляются друг с другом. Например, в физике можно услышать, что скорость или сила является вектором.