Квадратичная и кубическая функции. Функция у = х2 и ее график — Гипермаркет знаний

Учебник:

• Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Р. Математика. 7 класс

Цели:

формировать графическую грамотность при построении графиков,

формировать навык исследовательской работы,

воспитывать четкость при ответе, аккуратность, ответственность.

I. Опрос учащихся

1. Что называется функцией?

(Функцией называется зависимость одной переменной от другой, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной )

2. Что называется областью определения функции?

(Все значения, которые принимает независимая переменная (аргумент), .образуют область определения функции)

3. Что называется областью значений функции?

(Все значения, которые принимает зависимая переменная, называются значениями функции)

4. С какими функциями мы с вами познакомились?

а) с линейной функцией вида у = кх + b ,

прямой пропорциональностью вида у = кх

б) с функциями вида у = х 2 , у = х 3

5. Что представляет из себя график линейной функции? (прямая ). Сколько точек необходимо для построения данного графика?

Не выполняя построения, определите взаимное расположение графиков функций, заданных следующими формулами:

а) у = Зх + 2; у = 1,2х + 5;

b) y = 1,5х + 4; у = -0,2х + 4; у = х + 4;

с) у = 2х + 5; у = 2х - 7; у = 2х

Рисунок 1

На рисунке изображены графики линейных функций (каждому ученику на парту выдается листок с построенными графиками ). Напишите формулу для каждого графика

С графиками каких функций мы с вами ещё знакомы? (у = х 2 ; у = х 3 )

1. Что является графиком функции у = х 2 (парабола ).
2. Сколько точек нам необходимо построить для изображения параболы? (7, одна из которых является вершиной параболы ).

Давайте построим параболу, заданную формулой у = х 2

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
у = х 2	9	4	1	0	1	4	9
у = х 2 + 2	11	6	3	2	3	6	11

Рисунок 2

Какими свойствами обладает график функции у = х 3 ?

1. Если х = 0 , то у = 0 - вершина параболы (0;0)
2. Область определения: х - любое число, Д(у) = (- ?; ?) Д(у) = R
3. Область значений у ? 0
4. E(y) =
5. Функция возрастает на промежутке

   Функция возрастает на промежутке и возрастает на промежутке

   Проиллюстрируем тот факт, что одно и то же значение функции может достигаться при нескольких значениях аргумента.

   Построение графиков функций, содержащих модули, обычно вызывает немалые затруднения у школьников. Однако, все не так плохо. Достаточно запомнить несколько алгоритмов решения таких задач, и вы сможете без труда построить график даже самой на вид сложной функции. Давайте разберемся, что же это за алгоритмы.

   1. Построение графика функции y = |f(x)|

   Заметим, что множество значений функций y = |f(x)| : y ≥ 0. Таким образом, графики таких функций всегда расположены полностью в верхней полуплоскости.

   Построение графика функции y = |f(x)| состоит из следующих простых четырех этапов.

   1) Построить аккуратно и внимательно график функции y = f(x).

   2) Оставить без изменения все точки графика, которые находятся выше оси 0x или на ней.

   3) Часть графика, которая лежит ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

   Пример 1. Изобразить график функции y = |x 2 – 4x + 3|

   1) Строим график функции y = x 2 – 4x + 3. Очевидно, что график данной функции – парабола. Найдем координаты всех точек пересечения параболы с осями координат и координаты вершины параболы.

   x 2 – 4x + 3 = 0.

   x 1 = 3, x 2 = 1.

   Следовательно, парабола пересекает ось 0x в точках (3, 0) и (1, 0).

   y = 0 2 – 4 · 0 + 3 = 3.

   Следовательно, парабола пересекает ось 0y в точке (0, 3).

   Координаты вершины параболы:

   x в = -(-4/2) = 2, y в = 2 2 – 4 · 2 + 3 = -1.

   Следовательно, точка (2, -1) является вершиной данной параболы.

   Рисуем параболу, используя полученные данные (рис. 1)

   2) Часть графика, лежащую ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно оси 0x.

   3) Получаем график исходной функции (рис. 2 , изображен пунктиром).

   

   2. Построение графика функции y = f(|x|)

   Заметим, что функции вида y = f(|x|) являются четными:

   y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Значит, графики таких функций симметричны относительно оси 0y.

   Построение графика функции y = f(|x|) состоит из следующей несложной цепочки действий.

   1) Построить график функции y = f(x).

   2) Оставить ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

   3) Отобразить указанную в пункте (2) часть графика симметрично оси 0y.

   4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

   Пример 2. Изобразить график функции y = x 2 – 4 · |x| + 3

   Так как x 2 = |x| 2 , то исходную функцию можно переписать в следующем виде: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. А теперь можем применять предложенный выше алгоритм.

   1) Строим аккуратно и внимательно график функции y = x 2 – 4 · x + 3 (см. также рис. 1 ).

   2) Оставляем ту часть графика, для которой x ≥ 0, то есть часть графика, расположенную в правой полуплоскости.

   3) Отображаем правую часть графика симметрично оси 0y.

   (рис. 3) .

   

   Пример 3. Изобразить график функции y = log 2 |x|

   Применяем схему, данную выше.

   1) Строим график функции y = log 2 x (рис. 4) .

   3. Построение графика функции y = |f(|x|)|

   Заметим, что функции вида y = |f(|x|)| тоже являются четными. Действительно, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), и поэтому, их графики симметричны относительно оси 0y. Множество значений таких функций: y ≥ 0. Значит, графики таких функций расположены полностью в верхней полуплоскости.

   Чтобы построить график функции y = |f(|x|)|, необходимо:

   1) Построить аккуратно график функции y = f(|x|).

   2) Оставить без изменений ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней.

   3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразить симметрично относительно оси 0x.

   4) В качестве окончательного графика выделить объединение кривых, полученных в пунктах (2) и (3).

   Пример 4. Изобразить график функции y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

   1) Заметим, что x 2 = |x| 2 . Значит, вместо исходной функции y = -x 2 + 2|x| – 1

   можно использовать функцию y = -|x| 2 + 2|x| – 1, так как их графики совпадают.

   Строим график y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Для этого применяем алгоритм 2.

   a) Строим график функции y = -x 2 + 2x – 1 (рис. 6) .

   

   b) Оставляем ту часть графика, которая расположена в правой полуплоскости.

   c) Отображаем полученную часть графика симметрично оси 0y.

   d) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 7) .

   

   2) Выше оси 0х точек нет, точки на оси 0х оставляем без изменения.

   3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отображаем симметрично относительно 0x.

   4) Полученный график изображен на рисунке пунктиром (рис. 8) .

   

   Пример 5. Построить график функции y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

   1) Сначала необходимо построить график функции y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Для этого возвращаемся к алгоритму 2.

   a) Аккуратно строим график функции y = (2x – 4) / (x + 3) (рис. 9) .

   

   Заметим, что данная функция является дробно-линейной и ее график есть гипербола. Для построения кривой сначала необходимо найти асимптоты графика. Горизонтальная – y = 2/1 (отношение коэффициентов при x в числителе и знаменателе дроби), вертикальная – x = -3.

   2) Ту часть графика, которая находится выше оси 0x или на ней, оставим без изменений.

   3) Часть графика, расположенную ниже оси 0x, отобразим симметрично относительно 0x.

   4) Окончательный график изображен на рисунке (рис. 11) .

   сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.