Решебник Кузнецова.
III Графики
Задание 7. Провести полное исследование функции и построить её график.
        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 3. Часть вариантов заархивированы в формате.rar
        7.3 Провести полное исследование функции и построить её график
Решение.
        1) Область определения:         или        , то есть        .
.
Таким образом:         .
        2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение         не имеет решений.
Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .
        3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
.
Видим, что         и        .
        4) Функция непрерывна в области определения
.
; .
; .
Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).
5) Вертикальные асимптоты:        
Найдём наклонную асимптоту        . Здесь
;
.
Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0
. Наклонных асимптот нет.
        6) Найдём первую производную. Первая производная:
.
И вот почему
.
Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть
.
        7) Найдём вторую производную.
Вторая производная:
.
И в этом легко убедится, так как
С некоторых пор в TheBat (непонятно по какой причине) перестает корректно работать встроенная база сертификатов для SSL.
При проверке посты выскакивает ошибка:
Неизвестный сертификат СА
Сервер не представил корневой сертификат в сессии и соответствующий корневой сертификат не найден в адресной книге.
Это соедининение не может быть секретным. Пожалуйста
свяжитесь с администратором вашего сервера.
И предлагается на выбор ответы - ДА / НЕТ. И так каждый раз когда снимаешь почту.
Решение
В этом случае случае нужно заменить стандарт реализации S/MIME и TLS на Microsoft CryptoAPI в настройках TheBat!
Так как мне надо было все файлы объединить в один, то я сначала преобразовал все doc файлы в единый pdf файл (с помощью программы Acrobat), а затем уже через онлайн-конвертер перевёл в fb2. Можно же конвертировать файлы и по отдельности. Форматы могут быть совершенно любые (исходные) и doc, и jpg, и даже zip архив!
Название сайта соответствующее сути:) Онлайн Фотошоп.
Апдейт май 2015
Я нашел еще один замечательный сайт! Еще удобнее и функциональнее для создания абсолютно произвольного коллажа! Это сайт http://www.fotor.com/ru/collage/ . Пользуйтесь на здоровье. И сам буду пользоваться.
Столкнулся в жизни с ремонтом электроплиты. Уже много что делал, много чему научился, но как-то с плитками дела имел мало. Нужна была замена контактов на регуляторах и конфорок. Возник вопрос - как определить диаметр конфорки у электроплиты?
Ответ оказался прост. Не надо ничего мерить, можно спокойной на глаз определить какой вам нужен размер.
Самая маленькая конфорка - это 145 миллиметров (14,5 сантиметров)
Средняя конфорка - это 180 миллиметров (18 сантиметров).
И, наконец, самая большая конфорка - это 225 миллиметров (22,5 сантиметров).
Достаточно на глаз определить размер и понять какого диаметра вам нужна конфорка. Я когда этого не знал - парился с этими размерами, не знал как измерять, по какому краю ориентироваться и т.д. Теперь я мудр:) Надеюсь и вам помог!
В жизни столкнулся с такой задачей. Думаю, что не я один такой.
Как исследовать функцию и построить её график?
Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график
Или короче: исследовать функцию и построить график.
Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.
Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .
Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:
6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.
На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.
Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».
Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.
Проверим функцию на чётность/нечётность:
После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.
Нет и наклонных асимптот.
Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».
Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:
Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях
.
Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.
ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ
Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции
, поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:
Заметьте, что в силу непрерывности
функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?
3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.
Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :
Полтора над уровнем моря.
Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:
В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.
Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано
, но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый
корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!
Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.
Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:
Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .
В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:
А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .
На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов
определим знаки функции:
ог Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .
Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:
Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов
.
4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.
Найдём критические точки:
Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .
Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:
Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:
5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.
Найдём критические точки второй производной:
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .
Практически всё прояснилось.
6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:
Выполним чертёж:
Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.
По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.
Для самостоятельного решения:
Пример 2
Исследовать функцию и построить график.
Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.
Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:
Пример 3
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.
Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .
, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Очевидно, что функция непериодическая.
График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:
Действительно, функции терпит бесконечный разрыв
в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой
графика .
б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:
Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .
Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .
Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:
Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.
Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.
Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.
Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График функции не пересекает ось .
Методом интервалов определим знаки :
, если ;
, если .
Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.
В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:
Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.
– критическая точка.
Определим знаки :
возрастает на и убывает на
В точке функция достигает минимума: .
Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.
Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.
Отлично – и чертить ничего не надо.
Точки перегиба отсутствуют.
Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.
6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.
И картинка, которую, наверное, многие давно представили:
В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).
Пример 4
Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.
Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.
Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:
Пример 5
Провести полное исследование функции и построить её график.
Решение : понеслась нелёгкая:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .
Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.
Очевидно, что функция непериодическая.
2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют
Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное
исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя
:
Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .
Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».
Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .
3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.
Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.
Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .
4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.
– критические точки.
Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.
Определим знаки производной:
Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах
В точке функция достигает максимума: .
В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:
Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.
Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».
После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:
Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.
5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.
– критические точки.
Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.
Определим знаки :
График функции является выпуклым на и вогнутым на .
Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.
Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции: