ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ
Функция синус
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. синус функция — ограниченная .
Функция нечетная:
sin(−x)=−sin x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая
sin(x+2π· k) = sin x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
sin x = 0 при x = π·k , k ∈ Z .
sin x > 0 (положительная) для всех x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z .
sin x < 0 (отрицательная) для всех x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z .
Функция косинус
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок [-1; 1], т.е. косинус функция — ограниченная .
Функция четная:
cos(−x)=cos x для всех х ∈ R
.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2π :
cos(x+2π· k ) = cos x, где k ∈ Z для всех х ∈ R .
| cos x = 0 при |  |
| cos x > 0 для всех |  |
| cos x < 0 для всех |  |
| Функция возрастает от −1 до 1 на промежутках: | |
| Функция убывает от −1 до 1 на промежутках: | |
| Наибольшее значение функции sin x = 1 в точках: |  |
| Наименьшее значение функции sin x = −1 в точках: |
Функция тангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. тангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная:
tg(−x)=−tg x
График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. tg(x+π· k ) = tg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция котангенс
Множество значений функции — вся числовая прямая, т.е. котангенс — функция неограниченная .
Функция нечетная: ctg(−x)=−ctg x для всех х из области определения.График функции симметричен относительно оси OY.
Функция периодическая с наименьшим положительным периодом π , т.е. ctg(x+π· k )=ctg x, k ∈ Z для всех х из области определения.
Функция арксинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок -π /2 arcsin x π /2, т.е. арксинус — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arcsin(−x)=−arcsin x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
На всей области определения.
Функция арккосинус
Область определения функции
— отрезок [-1; 1]
Множество значений функции — отрезок 0 arccos x π , т.е. арккосинус — функция ограниченная .
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арктангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арктангенс — функция ограниченная .
Функция нечетная:
arctg(−x)=−arctg x для всех х ∈ R
.
График функции симметричен относительно начала координат.
Функция является возрастающей на всей области определения.
Функция арккотангенс
Область определения функции
— множество R
всех действительных чисел.
Множество значений функции — отрезок 0 π, т.е. арккотангенс — функция ограниченная .
Функция не является ни четной, ни нечетной.
График функции несимметричен ни относительно начала координат, ни относительно оси Оy.
Функция является убывающей на всей области определения.
Определение и обозначения
Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений -π/2 ≤ y ≤ π/2 .sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Арксинус иногда обозначают так:
.
График функции арксинус
График функции y = arcsin x
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccos
Определение и обозначения
Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ). Он имеет область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π .cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График функции арккосинус
График функции y = arccos x
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
Четность
Функция арксинус является нечетной:
arcsin(-
x)
=
arcsin(-sin arcsin
x)
=
arcsin(sin(-arcsin
x))
=
- arcsin
x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(-
x)
=
arccos(-cos arccos
x)
=
arccos(cos(π-arccos
x))
=
π - arccos
x ≠ ± arccos
x
Свойства - экстремумы, возрастание, убывание
Функции арксинус и арккосинус непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
| y = arcsin x | y = arccos x | |
| Область определения и непрерывность | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Область значений | ||
| Возрастание, убывание | монотонно возрастает | монотонно убывает |
| Максимумы | ||
| Минимумы | ||
| Нули, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 0 | y = π/2 |
Таблица арксинусов и арккосинусов
В данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| град. | рад. | град. | рад. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Формулы
См. также: Вывод формул обратных тригонометрических функцийФормулы суммы и разности
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
Выражения через логарифм, комплексные числа
См. также: Вывод формулВыражения через гиперболические функции
Производные
;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков
:
,
где - многочлен степени .
Он определяется по формулам:
;
;
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Интегралы
Делаем подстановку x = sin
t
.
Интегрируем по частям, учитывая что -π/2
≤ t ≤ π/2
,
cos
t ≥ 0
:
.
Выразим арккосинус через арксинус:
.
Разложение в ряд
При |x| < 1
имеет место следующее разложение:
;
.
Обратные функции
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус , соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin
x)
= x
cos(arccos
x)
= x
.
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin
x)
= x
при
arccos(cos
x)
= x
при .
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
Задания, связанные с обратными тригонометрическими функциями, часто предлагаются на школьных выпускных экзаменах и на вступительных экзаменах в некоторых ВУЗах. Подробное изучение этой темы может быть достигнуто только на факультативных занятиях или на элективных курсах. Предлагаемый курс призван как можно полнее развить способности каждого ученика, повысить его математическую подготовку.
Курс рассчитан на 10 часов:
1.Функции arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ч.).
2.Операции над обратными тригонометрическими функциями (4 ч.).
3.Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями (2 ч.).
Урок 1 (2 ч.) Тема: Функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Цель: полное освещение данного вопроса.
1.Функция y = arcsin х.
а) Для функции y = sin x на отрезке существует обратная (однозначная) функция, которую условились называть арксинусом и обозначать так: y = arcsin x. График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.
Свойства функции y = arcsin x .
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область изменения: отрезок ;
3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.
Пример 1. Найти a = arcsin . Данный пример подробно можно сформулировать так: найти такой аргумент a , лежащий в пределах от до , синус которого равен .
Решение. Существует бесчисленное
множество аргументов, синус которых равен ,
например: 
и т.д. Но нас интересует только тот
аргумент, который находится на отрезке . Таким
аргументом будет . Итак, .
Пример 2. Найти 
.Решение.
Рассуждая так же, как
и в примере 1, получим 
.
б) устные упражнения. Найти: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin , arcsin (), arcsin 0.
Образец ответа: 
, т.к. 
. Имеют ли смысл выражения: ; arcsin 1,5; 
?
в) Расположите в порядке возрастания: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.
II. Функции y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (аналогично).
Урок 2 (2 ч) Тема: Обратные тригонометрические функции, их графики.
Цель: на данном уроке необходимо отработать навыки в определении значений тригонометрических функций, в построении графиков обратных тригонометрических функций с использованием Д (у), Е (у) и необходимых преобразований.
На данном уроке выполнить упражнения, включающие нахождение области определения, области значения функций типа: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .
Следует построить графики функций: а) y = arcsin 2x; б) y = 2 arcsin 2x; в) y = arcsin ;
г) y = arcsin ; д) y = arcsin ; е) y = arcsin ; ж) y = | arcsin | .
Пример. Построим график y = arccos
В домашнее задание можно включить следующие упражнения: построить графики функций: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Графики обратных функций
Урок № 3 (2 ч.) Тема:
Операции над обратными тригонометрическими функциями.Цель: расширить математические познания (это важно для поступающих на специальности с повышенными требованиями к математической подготовке) путем введения основных соотношений для обратных тригонометрических функций.
Материал для урока.
Некоторые простейшие тригонометрические операции над обратными тригонометрическими функциями: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x , i xi ? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Упражнения.
а) tg (1,5
+ arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
б) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Пусть arcsin 0,6 = a , sin a = 0,6;
cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .
Замечание: берем перед корнем знак “+” потому, что a = arcsin x удовлетворяет .
в) sin (1,5 + arcsin ).Ответ: ;
г) ctg ( + arctg 3).Ответ: ;
д) tg ( – arcctg 4).Ответ: .
е) cos (0,5 + arccos ) . Ответ: .
Вычислить:
a) sin (2 arctg 5) .
Пусть arctg 5 = a , тогда sin 2 a = 
или sin (2 arctg 5) = 
;
б) cos ( + 2 arcsin 0,8).Ответ: 0,28.
в) arctg + arctg .
Пусть a = arctg , b = arctg ,
тогда tg (a + b) = 
.
г) sin (arcsin + arcsin ).
д) Доказать, что для всех x I [-1; 1] верно arcsin x + arccos x = .
Доказательство:
arcsin x = – arccos x
sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
Для самостоятельного решения: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).
Для домашнего решения: 1) sin (arcsin 0,6 + arctg 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.
Урок № 4 (2ч.) Тема: Операции над обратными тригонометрическими функциями.
Цель: на данном уроке показать использование соотношений в преобразовании более сложных выражений.
Материал для урока.
УСТНО:
а) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
в) sin (arctg -3), cos (arcсtg());
г) tg (arccos ), ctg (arccos()).
ПИСЬМЕННО:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin ).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
3) tg ( -
arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =
4) 
Самостоятельная работа поможет выявить уровень усвоения материала
| 1) tg (arctg 2 – arctg ) 2) cos( - arctg2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin ) 2) sin (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 – arctg 2 |
Для домашнего задания можно предложить:
1) ctg (arctg + arctg + arctg ); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tg ( arcsin )); 4) sin (2 arctg ); 5) tg ( (arcsin ))
Урок № 5 (2ч) Тема: Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями.
Цель: сформировать представление учащихся об обратных тригонометрических операциях над тригонометрическими функциями, основное внимание уделить повышению осмысленности изучаемой теории.
При изучении данной темы предполагается ограничение объема теоретического материала, подлежащего запоминанию.
Материал для урока:
Изучение нового материала можно начать с исследования функции y = arcsin (sin x) и построения ее графика.
3. Каждому x I R ставится в соответствие y I , т.е. <= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Функция нечетна: sin(-x) = - sin x ; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. График y = arcsin (sin x) на :
a) 0 <= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
б) <= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y = sin ( – x) = sinx , 0 <= - x <= .
Итак, 
Построив y = arcsin (sin x) на , продолжим симметрично относительно начала координат на [- ; 0], учитывая нечетность этой функции. Используя периодичность, продолжим на всю числовую ось.
Затем записать некоторые соотношения: arcsin (sin a) = a , если <= a <= ; arccos (cos a ) = a , если 0 <= a <= ; arctg (tg a) = a , если < a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
И выполнить следующие упражнения:a) arccos(sin 2).Ответ: 2 - ; б) arcsin (cos 0,6).Ответ: - 0,1 ; в) arctg (tg 2).Ответ: 2 - ;
г) arcctg(tg 0,6).Ответ: 0,9 ; д) arccos (cos ( - 2)).Ответ:2 - ; е) аrcsin (sin ( - 0,6)). Ответ: - 0,6; ж) аrctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Ответ:2 - ; з) аrcctg (tg 0,6). Ответ: - 0,6; - arctg x; д) arccos + arccos