Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Найбільше та найменше значення функції

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .

2. Визначаємо всі стаціонарні точки, які у відрізок . Для цього, знаходимо похідну функції, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння.

3. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, то переходимо до наступного пункту.

4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо є), і навіть при x = a і x = b.

5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими.

10) Достатня умова опуклості (увігнутості).Якщо друга похідна функції, що двічі диференціюється, позитивна (негативна) на множині X, то функція випукла вниз (вгору) на цій множині.

11) Необхідна умова точок перегину. Друга похідна f""(x) двічі безперервно диференційованої функції точці перегину x0 дорівнює нулю, тобто. f""(x0) = 0.

12) Достатня умова точок перегину.Якщо друга похідна функції, що двічі диференціюється при переході через точку x0, в якій f""(x0) = 0 змінює свій знак, то x0 є точка перегину її графіка.

6.Диференціальне обчислення функцій кількох змінних.

Приватні похідні функції z = f(x,у) називаються межі відношення прирощень функції z = z(х,у)до збільшення відповідного аргументу за напрямами охабо оупри Δх → 0і Δу → 0відповідно:

Приватна похідна з х:

при обчисленні рахують у = const.

Приватна похідна по:

при обчисленні рахують x = const.

Безліч G всіх пар значень аргументів даної функції двох змінних називається областю визначення цієї функції.

Функція z = f(x, y) називається безперервнийу точці M0(x0,y0), якщо вона визначена в цій точці та її околиці та виконується

Число A називається межею функції z = f(x,y) у точці M0(x0,y0):

Лінійна (щодо дельта ікс і дельта іграк) частина повного збільшення функції називається повним диференціаломі позначається dz:

де деікс і деігрік – диференціали незалежних змінних, які, за визначенням, дорівнюють відповідним приростам

Крапка (х 0; у 0)називається точкою максимуму функції z = f(x; y) (х 0; у 0)для

= <δ f(x; y)≤ f(х 0; у 0).

Крапка (х 0; у 0)називається точкою мінімуму функції z = f(x; y) , якщо всюди в околиці точки (х 0; у 0)для

= <δ f(x; y) ≥ f(х 0; у 0).

Нехай є поверхня, задана рівнянням . Площина, в якій розташовані всі дотичні до ліній на поверхні, що проходять через дану точку , називається дотичною площиноюдо поверхні у точці М0.

Пряма, проведена через точку поверхні , перпендикулярно до дотичної площини називається нормаллю до поверхні.

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння дотичної площини до цієї поверхні в точці записується у вигляді: , а рівняння нормалі до поверхні цієї ж точці – як:

Необхідні умови диференційності:якщо функція f диференційована в точці х0, то в неї в цій точці існують приватні похідні по всіх змінних.

Достатні умови диференційності:Нехай функція f() визначена в околиці точки х0. Нехай у функції цієї околиці існують безперервні похідні по всіх змінних, тоді функція f диференційована в цій точці.

Необхідні умовиіснування екстремуму : або хоча б одна приватна похідна не існує

Достатні умовиіснування екстремуму функції двох змінних:Якщо>0

то при а) > 0 функція має мінімум ( min)

в) < 0 функція має максимум ( max)

Якщо<0 то екстремуму немає.

Якщо= 0, необхідно додаткове дослідження з допомогою похідних вищих порядків.

Комплексні числа

Визначення:

1) Комплексне число- Розширення безлічі дійсних чисел, зазвичай позначається . Будь-яке комплексне число може бути представлене як формальна сума , де і - речові числа, - уявна одиниця.

2) Запис комплексного числа у вигляді , , називається алгебраїчною формоюкомплексного числа.

3) Кут (у радіанах) радіус-вектора точки, що відповідає числу , називається аргументомчисла і позначається.

4) Модулемкомплексного числа називається довжина радіус-вектора відповідної точки комплексної площини (або, що те саме, відстань між точкою комплексної площини, що відповідає цьому числу, та початком координат).

Модуль комплексного числа позначається та визначається виразом . Часто позначається літерами або . Якщо є речовим числом, то збігається з абсолютною величиною цього речового числа.

5) Якщо комплексне число , то число називається пов'язаним(або комплексно сполученим) до (позначається також). На комплексній площині сполучені числа виходять дзеркальним відображенням одне одного щодо речової осі. Модуль сполученого числа такий самий, як у вихідного, а їх аргументи відрізняються знаком.

6) Якщо речову та уявну частини комплексного числа виразити через модуль і аргумент ( , ), то всяке комплексне число , крім нуля, можна записати в тригонометричних форме

7) Визначення твори комплексних чиселвстановлюється з таким розрахунком, щоб числа a + b i і a + b i можна було перемножувати як алгебраїчні двочлени, і щоб число i володіло властивістю i 2 =-1.

8) Нехай – довільне натуральне число . Коренем n-ого ступеня з комплексного числа z називається комплексне число , що .

9) Показова форма запису комплексних чисел

Де - розширення експонентів для випадку комплексного показника ступеня.

Властивості та теореми:

1) Добутком двох комплексних чисел в алгебраїчній форміназивається таке комплексне число, модуль якого дорівнює добутку модулів співмножників, а аргумент - сумі аргументів співмножників.

2) Для того, щоб перемножити два комплексні числа в тригонометричній формізаписи потрібно перемножити їх модулі, а аргументи скласти. Нехай , де і , де - два довільні комплексні числа записаних у тригонометричній формі. Тоді.

3) Формула Муаврадля комплексних чисел стверджує, що для будь-якого

4) Для того, щоб розділити комплексне число (a 1 + b 1 i) на інше комплексне число ( a 2 + b 2 i), тобто знайти , Потрібно і чисельник, і знаменник помножити на число, пов'язане знаменнику.

5)

8.Інтегральне обчислення функцій однієї змінної.

1) Первісна

Функція F(x), що диференціюється на деякому інтервалі (а,b) називається першорядною для функції f(x) на цьому інтервалі, якщо для кожного x (a,b) справедлива рівність

2) Невизначений інтеграл

Якщо F(x) є первісною для функції f(x) на деякому інтервалі, то вираз F(x)+C називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається

3) Певний інтеграл

Під певним інтегралом від цієї функції f(x) цьому відрізку розуміється відповідне збільшення її первісної, тобто.

4) Невласний інтеграл від розривної функції

Нехай функція f(x) безперервна a ≤x≤b та має точку розриву при x=b. Тоді відповідний невласний інтеграл від розривної функції визначається формулою

і називається схожим або розбіжним залежно від того, існує чи не існує межа правої частини рівності

5) Невласний інтеграл із нескінченним проміжком інтегрування

Нехай функція f(x) безперервна при a≤x≤b+∞. Тоді за визначенням

Якщо межа існує, то інтеграл, що стоїть у лівій частині рівності, називається схожим і його значення визначається формулою; в іншому випадку рівність втрачає сенс, інтеграл стоїть зліва, називається розбіжним і йому не приписується жодного числового значення

Властивості та теореми

6) Формула інтегрування частинами невизначеному інтегралі

7) Сформулювати правила інтегрування дрібно-раціональних функцій

1. Ділимо чисельник на знаменник

2. Q(x) = (x-) (x-) ...

3. Розкладаємо дріб на суму простих дробів; ; ; ;

Інтеграл від дробів 1 і типу 2 обчислюється внесенням функції під знак диференціала, 3 і 4 спочатку в знаменнику виділяється повний квадрат.

8) Сформулюйте правило інтегрування тригонометричних функцій

9) З формулювати властивості певного інтегралу

1. Розмір певного інтеграла залежить від позначення змінної інтегрування, тобто.

2. Певний інтеграл з однаковими межами дорівнює нулю

3. При перестановці меж інтегрування певний інтеграл змінює свій знак зворотний

4. Якщо проміжок інтегрування розбитий на кінцеве число часткових проміжків, то певний інтеграл, взятий по проміжку, дорівнює сумі певних інтегралів, взятих по всіх його часткових проміжках

5. Постійний множник можна виносити за знак певного інтегралу

6. Певний інтеграл від суми алгебри кінцевого числа безперервних функцій дорівнює такій же сумі алгебри певних інтегралів від цих функцій

10) Формула Ньютона-Лейбніца

Якщо f безперервна на відрізку і F - її будь-яка первісна на цьому відрізку, то має місце рівність

11) Формула інтегрування частинами у певному інтегралі

Для стислості використовується позначення

2) Сформулювати властивості невизначеного інтегралу

1. Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції

2. Невизначений інтеграл від диференціалу безперервно диференційованої функції дорівнює самій цій функції з точністю до постійного доданку

3. Відмінний від нуля постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтегралу

4. Невизначений інтеграл від суми алгебри кінцевого числа безперервних функцій дорівнює такій же сумі алгебри невизначених інтегралів від цих функцій

5) Заміна змінної у невизначеному інтегралі

Нехай потрібно знайти інтеграл. Введемо нову змінну t, поклавши x=(t), де (t)- безперервна функція з безперервною похідною, що має зворотну функцію t=Ψ(t). Тоді причому у правій частині після інтегрування слід зробити підстановку t=Ψ(x)

3) Таблиця інтегралів

Логарифми

Експонентні функції

Ірраціональні функції

Тригонометричні функції

12) Заміна змінної у певному інтегралі

Функція f(x) безперервна на відрізку , функція x= (t) має на відрізку [ безперервну похідну, при цьому a≤(t)≤b та =а, =b

13) Обчислення площі плоскої фігури

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку. Якщо при цьому f(x)≥0 на , то площа криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), y=0, x=a, x=b, виразиться за допомогою інтегралу:

Якщо ж f(x)≤0 на , то –f(x)≥0 на . Тому площа S відповідної криволінійної трапеції знаходиться за формулою

У полярних координатах

З практичної точки зору найбільший інтерес представляє використання похідної для знаходження найбільшого та найменшого значення функції. З чим це пов'язано? Максимізація прибутку, мінімізація витрат, визначення оптимального завантаження устаткування... Інакше кажучи, у багатьох сферах життя доводиться вирішувати завдання оптимізації будь-яких параметрів. А це і є завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції.

Слід зазначити, що найбільше і найменше значення функції зазвичай шукається на деякому інтервалі X , який є всією областю визначення функції або частиною області визначення. Сам інтервал X може бути відрізком, відкритим інтервалом , нескінченним проміжком.

У цій статті ми говоритимемо про знаходження найбільшого та найменшого значень явно заданої функції однієї змінної y=f(x) .

Навігація на сторінці.

Найбільше та найменше значення функції – визначення, ілюстрації.

Стисло зупинимося на основних визначеннях.

Найбільшим значенням функції , що для будь-кого справедлива нерівність.

Найменшим значенням функції y=f(x) на проміжку X називають таке значення , що для будь-кого справедлива нерівність.

Ці визначення інтуїтивно зрозумілі: найбільше (найменше) значення функції - це найбільше (маленьке) значення, що приймається на аналізованому інтервалі при абсцисі.

Стаціонарні точки– це значення аргументу, у яких похідна функції перетворюється на нуль.

Для чого нам стаціонарні точки при знаходженні найбільшого та найменшого значень? Відповідь це питання дає теорема Ферма. З цієї теореми випливає, що якщо функція, що диференціюється, має екстремум (локальний мінімум або локальний максимум) в деякій точці, то ця точка є стаціонарною. Таким чином, функція часто приймає своє найбільше (найменше) значення на проміжку X в одній зі стаціонарних точок цього проміжку.

Також часто найбільше та найменше значення функція може приймати в точках, в яких не існує перша похідна цієї функції, а функція визначена.

Відразу відповімо на одне з найпоширеніших питань на цю тему: "Чи завжди можна визначити найбільше (найменше) значення функції"? Ні не завжди. Іноді межі проміжку X збігаються з межами області визначення функції або інтервал X нескінченний. А деякі функції на нескінченності та на межах області визначення можуть набувати як нескінченно великих так і нескінченно малих значень. У цих випадках нічого не можна сказати про найбільше та найменше значення функції.

Для наочності дамо графічну ілюстрацію. Подивіться малюнки – і багато проясниться.

На відрізку

На першому малюнку функція приймає найбільше (max y) та найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відрізка [-6;6].

Розглянемо випадок, зображений другого малюнку. Змінимо відрізок на . У цьому прикладі найменше значення функції досягається в стаціонарній точці, а найбільше - у точці з абсцисою, що відповідає правій межі інтервалу.

На малюнку №3 граничні точки відрізка [-3;2] є абсцисами точок, що відповідають найбільшому та найменшому значенню функції.

На відкритому інтервалі

На четвертому малюнку функція приймає найбільше (max y) і найменше (min y) значення в стаціонарних точках, що знаходяться всередині відкритого інтервалу (-6; 6).

На інтервалі про найбільше значення ніяких висновків зробити не можна.

На нескінченності

У прикладі, представленому на сьомому малюнку, функція приймає найбільше значення (max y) у стаціонарній точці з абсцисою x = 1, а найменше значення (min y) досягається на правій межі інтервалу. На мінус нескінченності значення функції асимптотично наближаються до y=3.

На інтервалі функція не досягає найменшого, ні найбільшого значення. При прагненні до x=2 праворуч значення функції прагнуть мінус нескінченності (пряма x=2 є вертикальною асимптотою), а при прагненні абсциси до плюс нескінченності, значення функції асимптотично наближаються до y=3 . Графічна ілюстрація цього прикладу наведено малюнку №8.

Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значення безперервної функції на відрізку.

Запишемо алгоритм, що дозволяє знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

1. Знаходимо область визначення функції та перевіряємо, чи міститься у ній весь відрізок .
2. Знаходимо всі точки, в яких не існує перша похідна і які містяться у відрізку (зазвичай такі точки збігаються у функцій з аргументом під знаком модуля і у статечних функцій з дрібно-раціональним показником). Якщо таких точок немає, переходимо до наступного пункту.
3. Визначаємо всі стаціонарні точки, що потрапляють у відрізок. Для цього, прирівнюємо її до нуля, вирішуємо отримане рівняння і вибираємо відповідне коріння. Якщо стаціонарних точок немає або жодна з них не потрапляє у відрізок, переходимо до наступного пункту.
4. Обчислюємо значення функції у відібраних стаціонарних точках (якщо такі є), у точках, у яких не існує перша похідна (якщо такі є), а також при x=a та x=b .
5. З отриманих значень функції вибираємо найбільше та найменше - вони і будуть шуканими найбільшим та найменшим значеннями функції відповідно.

Розберемо алгоритм при вирішенні прикладу на знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

приклад.

Знайти найбільше та найменше значення функції

• на відрізку;
• на відрізку [-4;-1].

Рішення.

Областью визначення функції є безліч дійсних чисел, крім нуля, тобто . Обидва відрізки потрапляють у область визначення.

Знаходимо похідну функції по:

Очевидно, похідна функції існує у всіх точках відрізків та [-4;-1] .

Стаціонарні точки визначимо з рівняння. Єдиним дійсним коренем є x=2. Ця стаціонарна точка потрапляє у перший відрізок.

Для першого випадку обчислюємо значення функції на кінцях відрізка і в стаціонарній точці, тобто при x = 1 x = 2 і x = 4 :

Отже, найбільше значення функції досягається при x=1 , а найменше значення - При x = 2 .

Для другого випадку обчислюємо значення функції лише на кінцях відрізка [-4;-1] (оскільки він не містить жодної стаціонарної точки):

Функції з логарифмами (найбільше та найменше значення). У цій статті йдеться про завдання на знаходження найбільшого та найменшого значення функції. Є група завдань, що входять до ЄДІ – це завдання з логарифмами. Завдання пов'язані з дослідженням функції різноманітні. Крім логарифмічних функцій можуть бути: функції з тригонометричними функціями, дробно-раціональні функції та інші.

У будь-якому випадку рекомендую ще раз переглянути теорію, викладену в статті «». Якщо ви цей матеріал зрозуміли і маєте хорошу навичку знаходження похідних, то будь-яке завдання в цій темі вирішите легко.

Нагадаю алгоритм знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на заданому відрізку:

1. Обчислюємо похідну.

2. Прирівнюємо її до нуля і розв'язуємо рівняння.

3. Визначаємо чи належать отримане коріння (нулі похідної) даному відрізку. Зазначаємо ті, що належать.

4. Обчислюємо значення функції на межах відрізка та в точках (отриманих у попередньому пункті), що належать даному відрізку.

Розглянемо завдання:

Знайдіть найменше значення функції у=5х–ln (х+5) 5 на відрізку [-4,5; 0].

Необхідно обчислити значення функції на кінцях інтервалу, і в точках екстремуму, якщо такі є на даному інтервалі, і вибрати найменше.

Обчислюємо похідну, прирівнюємо до нуля, вирішуємо рівняння.

Знайдемо похідну заданої функції:

Знайдемо нулі похідної на заданому відрізку:

*Дроб дорівнює нулю тоді, коли чисельник дорівнює нулю.

Крапка х= – 4 належить заданому інтервалу.

Таким чином, обчислюємо значення функції у точках: - 4,5; - 4; 0.

Значення з логарифмами, які ми отримали, можна обчислити (або проаналізувати). І ви переконаєтеся, що найменшим значенням функції на даному відрізку є "-20".

Але обчислювати їх необов'язково. Чому? Ми знаємо, що відповіддю має бути або ціле число або кінцевий десятковий дріб (це умова ЄДІ в частині В). А значення з логарифмами: – 22,5 – ln 0,5 5 та – ln3125 такої відповіді не дадуть.

х=–4 функція набуває мінімального значення, можна визначивши знаки похідної на інтервалах від (– 5: – 4) та (– 4; + ∞ ).

Тепер інформація для тих, у кого з похідною та розумінням того, як вирішувати подібні завдання, немає труднощів. Як можна обійтися без обчислення похідної та без зайвих розрахунків?

Отже, якщо врахувати, що відповіддю має бути ціле число, або кінцевий десятковий дріб, то таке значення ми можемо отримати тільки тоді, коли х буде цілим числом, або цілим з кінцевим десятковим дробом і при цьому під знаком логарифму в дужках у нас буде одиниця чи число е. Інакше, ми зможемо отримати обумовлене значення. І це можливо лише за х = – 4.

Значить, у цій точці значення функції буде найменшим, обчислимо його:

Відповідь: – 20

Вирішити самостійно:

Знайдіть найменше значення функції у = 3х - ln (х + 3) 3 на відрізку [-2,5; 0].

Знайдіть найбільше значення функції у = ln (х +5) 5 - 5х на відрізку [-4,5; 0].

Знайдіть найбільше значення функції у=х 2 –13х+11∙lnх+12 на відрізку .

Щоб знайти найменше значення функції на відрізку, необхідно обчислити значення функції з його кінцях, й у точках екстремуму, якщо такі є цьому інтервалі.

Обчислимо похідну, прирівнюємо її до нуля, вирішимо отримане рівняння:

Вирішивши квадратне рівняння, отримаємо

Точка х = 1 належить заданому інтервалу.

Крапка х = 22/4 йому не належить.

Таким чином, обчислюємо значення функції у точках:

Ми знаємо, що відповіддю є ціле число або кінцевий десятковий дріб, отже, найбільше значення функції дорівнює 0. У першому та третьому випадку таке значення ми не отримаємо, тому що натуральний логарифм даних дробів такого результату не дасть.

Крім того, переконається в тому, що в точціх = 1 функція набуває максимального значення, можна визначивши знаки похідної на інтервалах від (0:1) та (1; + ∞ ).

Як вирішити такий тип завдань без обчислення похідної?

Якщо врахувати, що відповіддю має бути ціле число, або кінцевий десятковий дріб, то ця умова забезпечується тільки тоді, коли х буде цілим числом або цілим з кінцевим десятковим дробом і при цьому під знаком логарифму у нас буде одиниця або число е.

Це можливо лише за х = 1.

Значить у точці х = 1 (або 14/14) значення функції буде найбільшим, обчислимо його:

Відповідь: 0

Вирішіть самостійно:

Знайдіть найбільше значення функції у = 2х 2 –13х+9∙lnх+8 ​​на відрізку .

Зазначу, що спосіб вирішення таких завдань без знаходження похідних можна використовувати тільки для економії часу при обчисленні завдання на самому ЄДІ. І тільки в тому випадку, коли ви добре розумієте, як вирішувати такі завдання через знаходження похідної (за алгоритмом) і добре вмієте це робити. Безперечно, що при вирішенні без похідної має бути певний досвід аналітики.

«Хитрих» прийомів, які часом допомагають у конкретних завданнях безліч, і їх не запам'ятати. Важливо розуміти принципи розв'язання, якості. Якщо ж ви покладете свої надії на якийсь прийом, то він може просто не спрацювати з простої причини: ви його просто забудете або вам потрапить такий тип завдання на ЄДІ, яке бачите вперше.

У цій рубриці продовжимо розглядати завдання, не пропустіть!

На цьому все. Успіхів вам!

З повагою Олександр Крутицьких.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Значення функції у точці max явл найбільшим лише у деякій околиці цієї точки і не обов'язково явл. найбільшим значенням у всій галузі визначення ф-ії. Те саме можна сказати і про мінімум. І тут їхній назва часто локальними (місцевими) max і min на відміну абсолютних, тобто. - найбільше та найменше знач. у всій області визначення. Якщо функція f(x) задана на а,в і безперервна на ньому, то вона досягає на ньому в будь-яких точках свого найбільшого та найменшого значень. Як їх знайти? Якщо а,в є кілька max, то наиб. значення всередині (якщо воно досягається) збігається з одним із них. У той самий час найбільше значення для а,в функція може й на одному з кінців.

Правило.

Потрібно порівняти між собою всі min і граничні значення f(а) та f(в). Найменше значення буде найменшим значенням функції на а,в. Зазвичай надходять під час перебування наиб. та найм. значень простіше:

Знаходять всі критичні точки всередині сегмента ,в, обчислюють значення функції в них (не визначаючи чи є в них екстремум); 2) обчислюють значення функції на кінцях f(а) та f(в); 3)порівняють отримані значення між собою: найменше значення цих значень і буде найменшим значенням функції, найбільше- найбільшим на а,в.

Приклад:

Наїти наиб. та найменше значення функції у=на-1,2,

1. шукаємо критичні точки на (-1,2).

У"=
= 0, 2х + 2х 3 -2х 3 = 0, 2х = 0, =0. Інших немає.

2. f(-1)=1/2, f(2)=4/5.

f(0)=0, найменше значення, f(2)=4/5.- найбільше на

Слід зазначити таке. У прикладних задачах найчастіше зустрічається випадок, коли між а і функція у = f (x) ім. лише одну критичну точку. І тут без порівняння з граничними значеннями ясно, що у т.ч. max, це і є найбільше значення функції на а,в, якщо це min, то це і є найменше значення на ,в. Це важливо у випадках, як у вираз функції входять буквені висловлювання і виявляється простіше досліджувати на екстремум, ніж порівнювати значення кінцях.

Важливо відзначити, що все сказане про знаходження найбільших значень застосовно і до (а, в) і до нескінченного проміжку , тільки в цьому випадку не беруть до уваги значення на кінцях.

§4.Напруження увігнутості кривої і точки перегину

Нехай функція у = f (x) ім. у т.ч. кінцеву похідну. Тоді вона їм. у цій точці дотичну, рівняння якої є у- =f "( )(х- ) або у = f ( )+(х- )
.

У деякій околиці ( - графік функції може розташовуватися по-різному: або вище за дотичну, або нижче, або з обох сторін.

Визначення.

Кажуть, що у т.м( ,) крива у=f(x) увігнута вниз або просто увігнута (увігнута вгору або опукла), якщо для всіх х з деякої околиці ( - точки всі точки кривої розташовані вище за дотичну (нижче за дотичну).

Якщо т.м крива перетворюється з одного боку дотичної на іншу, то т.м звані. точкою перегину кривою.

У т.м1-крива увігнута, М2-опукла, М3-перегин.

У точці перегину крива змінює опуклість на увігнутість чи навпаки. Точка перегину-прикордонна між ділянками опуклості та увігнутості кривої.

Визначення точки перегину залишається чинним і у разі, коли дотична до кривої у=f(x) перпенд. осі ох, ті в т.ч. похідна f "( )=, і т.д. не явл. точкою повернення кривою. На відміну від випадків (зазначених на кресленні),

x x

де Т. і їх точками перегину не явл-ся.

Знайдемо умови, за яких їм. місце певний напрямок увігнутості або перегин кривої. у=f(x) у довільній т.х= .

Нехай, наприклад, крива т.м( ,) опукла. Тоді вона розташовується в деякій околиці ( - цієї точки нижче за дотичну у=f( )+f "( )(х- ). Розглянемо допоміжну ф-ію(х)= f(х)-f( )-f "( )(х- ). У т.ч. ()=0, в-околиці т.
. Звідси випливає, що у точці функція
має max. Значить у точці ""(). Але ""( )=f ""(х) і тому в т.ч. f ""( ).

Таким чином, щоб у т.х0 крива у=f(x) була опуклою необхідно, щоб f ""( ). Якщо ж у т.х0 f ""( ), то в т.ч. -max і крива, отже, опукла. Умова f ""( ) достатня для опуклості в т.ч. .

Розмірковуючи абсолютно аналогічно, отримаємо, що умова f ""( ) необхідне для увігнутості в т.х0, а умова f ""( ) достатня для увігнутості.

Висновок:

якщо т.ін. друга похідна позитивнаf ""( ), то крива вигнута в цій точці, якщо в т.ч. друга похідна негативнаf ""( ), то крива опукла у цій точці.

Зручне правило "чашечки":

У точках перегину немає певної увігнутості чи опуклості, тому вони можуть бути лише в точках, де f " "( ) = 0. Але умоваf ""( ) ще не забезпечує точно, що - Точка перегину. Наприклад, для кривих у=х 4 і у=-х 4 у т.ч. f ""( )=0, проте в ній перша крива увігнута, друга опукла.

Висновок: умова f""( ) = 0 явл. необхідною умовою існування перегину у т.ч. . Але, як бачили, т. перегину можуть бути і там, де друга похідна ""( )= мул не існує зовсім.

Достатньою умовою перегину кривої у т.ч. явл. зміна знака другої похідної f "" ( ) під час переходу через т. . У цьому, якщо друга похідна змінює під час переходу через т.п. знак з + на -, то в т.ч. перегин зі зміною увігнутості на опуклість, Якщоf ""( ) змінює знак з - на + під час переходу через т. , то в т.ч. перегин зі зміною опуклості на увігнутість.

Визначення . Якщо крива увігнута (опукла) у кожній точці деякого проміжку, то вона називається. увігнутою (опуклою) на цьому проміжку.

Дослідження функції у = f (x) на опуклість, увігнутість, точки перегину проводять за наступним планом:

1.Знаходять всі точки підозрілі на перегин, для чого:

а) знаходять другу похідну, прирівнюють її до нуля і знаходять дійсне коріння отриманого рівняння,

б) знаходять точки, де кінцева похідна f "" (x) не існує,

2. Досліджують f " " (х) зміну знака під час переходу через кожну підозрілу на перегин точку. Якщо знак змінюється - перегин є, якщо ні.

Для тих точок, де f " " (х0)  крива увігнута, де навпаки - опукла. Так само як і у випадку екстремумів, якщо точок підозрілих на перегин кінцеве число, користуються методом інтервалів.

Визначення.

Якщо крива опукла (увігнута) у кожній точці деякого проміжку, вона називається. опуклою (увігнутою) на цьому проміжку.

приклад

Дослідити на вип., Увігнутість, т. перегину ф-ію у = х 4 -6х 2 +5. Обл. визна. Х=.

1. знайдемо у "=4х 3 -12х, у"" = 12х 2 -12 = 12 (х 2 -1), у "" = 0, х 2 -1 = 0, х 1,2 = -т підозрілі на перегин, інших немає.

вся обл. визна. розбивається на інтервали (--1),(-1,1),(1, , у кожній з них f ""(х) ім. постійний знак, тому що безперервна в них. Легко бачити , що у (--1) +, у (-1,1) -, і у (1,  +. Звідси ясно, що у т. -1 і 1 перегин, причому у ( -1) графік функції увігнутий, (-1,1) опуклий, в (1,  - увігнутий.

За допомогою цього сервісу можна знайти найбільше та найменше значення функціїоднієї змінної f(x) з оформленням рішення Word . Якщо задана функція f(x,y) , отже, необхідно знайти екстремум функції двох змінних . Також можна знайти інтервали зростання та зменшення функції.

Знайти найбільше та найменше значення функції

y =

на відрізку [ ;]

Включати теорію

Правила введення функцій:

Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Рівняння f" 0 (x *) = 0 - це необхідна умова екстремуму функції однієї змінної, тобто в точці x * перша похідна функції повинна звертатися в нуль. Воно виділяє стаціонарні точки x с, в яких функція не зростає і не зменшується .

Достатня умова екстремуму функції однієї змінної

Нехай f 0 (x) двічі диференційована по x , що належить множині D . Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * є точкою локального (глобального) мінімуму функції.

Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

То точка x * – локальний (глобальний) максимум.

Приклад №1. Знайти найбільше та найменше значення функції: на відрізку .
Рішення.

Критична точка одна x 1 = 2 (f'(x) = 0). Ця точка належить відрізку. (Точка x=0 перестав бути критичної, оскільки 0∉).
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка та у критичній точці.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Відповідь: f min = 5/2 при x=2; f max =9 при x=1

Приклад №2. За допомогою похідних вищих порядків знайти екстремум функції y = x-2 sin (x).
Рішення.
Знаходимо похідну функції: y'=1-2cos(x). Знайдемо критичні точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Знаходимо y’’=2sin(x), обчислюємо , отже x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки мінімуму функції; , Отже x = - π / 3 +2πk, k∈Z - точки максимуму функції.

Приклад №3. Дослідити на екстремум функцію на околицях точки x=0.
Рішення. Тут потрібно знайти екстремуми функції. Якщо екстремум x = 0, то з'ясувати його тип (мінімум або максимум). Якщо знайдених точок немає x = 0, то обчислити значення функції f(x=0).
Слід звернути увагу, що коли похідна з кожної сторони від цієї точки не змінює свого знака, не вичерпуються можливі ситуації навіть для функцій, що диференціюються: може статися, що для будь-якої малої околиці по одну зі сторін від точки x 0 або по обидва боки похідна змінює знак. У цих точках доводиться застосовувати інші методи дослідження функцій на екстремум.