Jeden z dôležitých ekonomické problémy je určiť optimálnu stratégiu výmeny starých strojov, aipcraTOB a strojov za nové. Starnutím zariadenia sa rozumie jeho fyzické a morálne opotrebovanie, v dôsledku čoho sa zvyšujú náklady na opravy a údržbu, rastú a znižujú sa výrobné náklady na výrobu.
výkon a likvidná hodnota. Prichádza čas, keď je výhodnejšie predať staré zariadenie a nahradiť ho novým, ako ho prevádzkovať za náklady vysoké náklady; Navyše ho možno nahradiť novým zariadením rovnakého typu alebo novým, pokročilejším. Optimálna stratégia výmeny zariadenia je určiť jeho optimálne načasovanie. Kritériom optimálnosti v tomto prípade môže byť zisk z prevádzky zariadenia, ktorý by mal byť optimalizovaný, alebo celkové prevádzkové náklady v posudzovanom období, ktoré by mali byť minimalizované.
Predstavme si nasledujúci zápis:
r(t)- ročné náklady na údržbu starého zariadenia t položiť;
g(t)- zostatková hodnota vekovej výbavy t položiť;
R 0 - obstarávacia cena zariadenia.
Zvážte obdobie N rokov, v rámci ktorých je potrebné určiť optimálny cyklus výmeny zariadení.
Označme L*(/) optimálne náklady získané z
vek vybavenia t rokov pre zostávajúce N rokov cyklu používania zariadenia pri dodržaní optimálnej stratégie.
Vek zariadenia sa počíta v smere toku procesu. / = 0 teda zodpovedá prípadu použitia nového zariadenia. V každej fáze procesu /V-fáza sa musí prijať rozhodnutie o ponechaní, výmene alebo oprave zariadenia. Zvolená možnosť by mala zabezpečiť minimalizáciu celkových prevádzkových nákladov počas posudzovaného obdobia.
Predpokladá sa, že prechod od práce na veku zariadení t Príprava na prácu na novom zariadení nastáva okamžite, to znamená, že výmena starého zariadenia a prechod na prácu na novom zariadení zapadajú do jedného obdobia.
Príklad 4.2
Zariadenie sa používa päť rokov a potom sa predáva. Začiatkom každého roka sa môžete rozhodnúť, či si zariadenie ponecháte, alebo ho vymeníte za nové. Náklady na nové vybavenie P 0= 4000 rubľov. Po t rokov prevádzky (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (hodnota kvapaliny). Náklady na údržbu počas roka závisia od veku zariadenia t a sú si rovní r(t) = 600(/ + 1).
Definujte optimálna stratégia prevádzku zariadenia tak, aby celkové náklady s prihliadnutím na prvotný nákup a konečný predaj boli minimálne.
Riešenie. Metóda rozdelenia ovládania na kroky je prirodzená - ale v priebehu rokov, n= 5. Stavový parameter - vek stroja lu= t,,v 0 = 0 - auto je nové na začiatku prvého roku prevádzky. Kontrola v každom kroku závisí od dvoch premenných Ak A Ak.
Stavové rovnice závisia od riadenia:
Indikátor účinnosti kroku A:
(at Ak náklady len na prevádzku stroja vek t, pri Ak stroj sa predá (-4000 2~"), kúpi sa nový (4000) a prevádzkuje sa prvý rok (600), celkové náklady sú (-4000 2" + 4000 + 600)).
Nech l'(?) sú podmienené optimálne náklady na prevádzku stroja, počnúc od A“ kroku do konca, za predpokladu, že na začiatku A“-tého kroku je stroj starý. Napíšme Wellmanove rovnice pre funkcie A(r), pričom problém maximalizácie nahradíme problémom minimalizácie:
Hodnota 4000 2 0+11 - náklady na vek auta t rokov (podľa podmienok sa auto predáva po piatich rokoch prevádzky):
Z definície funkcií А* (/) vyplýva A min = А*(0).
Predstavme si geometrické riešenie túto úlohu. Vynesme číslo kroku na os x do, a pozdĺž ordináty - vek stroja /. Bodka (Komu - 1, /) na rovine zodpovedá začiatku A - - rok prevádzky stroja, vek / roky. Pohyb na grafe v závislosti od akceptovaného ovládacieho prvku na / o-tý krok znázornené na obr. 4.3.
Ryža. 4.3
Stav začiatku prevádzky stroja zodpovedá bodu,v‘(0, 0), koniec - bodom.5(5,/). Akákoľvek trajektória, ktorá prenáša bod DA-1, /) z bodu 5, pozostáva zo segmentov - krokov zodpovedajúcich rokom prevádzky. Je potrebné zvoliť trajektóriu, pri ktorej budú náklady na prevádzku stroja minimálne.
Nad každým segmentom spájajúcim body (A' - 1, /) a (A, / + 1) sú napísané zodpovedajúce ovládacie prvky Ak náklady (600(/ + 1)) a nad úsekom spájajúcim body (Komu- 1, /) a ( Komu, /), - náklady zodpovedajúce hospodáreniu Ak(4600 - 4000 2 "). Týmto spôsobom sú umiestnené všetky segmenty spájajúce body na 1rafixe, zodpovedajúce prechodom z ľubovoľného stavu ld_| do stavu s k(pozri obr. 4.3).
Ďalej sa na označenom fafa vykoná podmienená optimalizácia. V štátoch (5, /) je auto predané, podmienený optimálny príjem z predaja je 4000 2~‘, ale keďže účelová funkcia súvisí s nákladmi, hodnota príjmu so znamienkom mínus je umiestnená v kruhoch bodov (5, /). Potom v ďalších fázach vyberajú minimálne náklady medzi dvoma možnými prechodmi sú napísané v kruhu daného bodu a príslušné ovládacie prvky v tomto kroku sú označené bodkovanou šípkou. V tomto prípade sa v každom kroku Wellmanove rovnice riešia dopravne (obr. 4.4).
Po vykonaní podmienenej optimalizácie získame v bode (0, 0) minimálne náklady na prevádzku stroja po dobu približne piatich rokov s následným predajom: A min = 11 900 Ďalej je zostrojená optimálna trajektória pohybujúc sa od bodu Takže (0, 0) pozdĺž bodkovaných šípok v.?. Získame množinu bodov: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), ktorá zodpovedá optimálnemu ovládanie U"(uc, U‘, U Uc, Uc). Optimálny režim
prevádzky je výmena stroja za nový začiatkom tretieho roku.
Takto označený graf (sieť) vám umožňuje vizuálne interpretovať dizajnová schéma a vyriešiť problém pomocou metódy dynamické programovanie.
Dynamické programovacie modely a výpočtové postupy sú veľmi flexibilné z hľadiska schopnosti začleniť rôzne modifikácie problému. Napríklad o podobnom probléme možno uvažovať veľké množstvo možnosti ovládania, „oprava“, „ veľká renovácia"a atď. Všetky tieto faktory môže vziať do úvahy výpočtová schéma dynamického programovania.
Táto služba je určená pre online riešenie problému optimálnej stratégie modernizácie zariadení. V zdrojových údajoch sú zvyčajne špecifikované nasledujúce parametre:
- r(t) sú náklady na produkty vyrobené počas každého roka plánovacieho obdobia s použitím tohto zariadenia;
- u(t) - ročné náklady spojené s prevádzkou zariadení;
- s(t) - zostatková hodnota zariadenia;
- p sú náklady na nové zariadenie, ktoré zahŕňajú náklady spojené s inštaláciou, uvedením do prevádzky a spustením zariadenia a nemenia sa v danom plánovacom období.
Plánovanie kapitálových investícií.
Príklad č.1. Nájdite optimálnu stratégiu prevádzky zariadenia na obdobie 6 rokov, ak je v tabuľke uvedený ročný príjem r(t) a zostatková hodnota S(t) v závislosti od veku, náklady na nové zariadenie sú P = 13, a vek zariadenia na začiatku prevádzkového obdobia bol 1 rok.| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
| s(t) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
Etapa I. Podmienená optimalizácia(k = 6,5,4,3,2,1).
Riadiaca premenná zapnutá k-tý krok je logická premenná, ktorá môže nadobudnúť jednu z dvoch hodnôt: ponechať (C) alebo vymeniť (R) zariadenie na začiatku k-tého roku.
1. krok: k = 6. Pre 1. krok sú možné stavy systému t = 1,2,3,4,5,6 a funkcionálne rovnice majú tvar:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F6 (1) = max(7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F6 (2) = max(7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F6 (3) = max(6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F6 (4) = max(6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F6 (5) = max(5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F6 (6) = max(5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2. krok: k = 5. Pre 2. krok sú možné stavy systému t = 1,2,3,4,5 a funkcionálne rovnice majú tvar:
F5(t) = max(r(t) + F6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6 (1))
F5 (1) = max (7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F5 (2) = max (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F5 (3) = max (6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F5 (4) = max (6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = max (5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3. krok: k = 4. Pre 3. krok sú možné stavy systému t = 1,2,3,4 a funkcionálne rovnice majú tvar:
F4(t) = max(r(t) + F5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5 (1))
F4 (1) = max (7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F4 (2) = max (7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F4 (3) = max (6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F4 (4) = max (6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = max (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4. krok: k = 3. Pre 4. krok sú možné stavy systému t = 1,2,3 a funkcionálne rovnice majú tvar:
F3 (t) = max(r(t) + F4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4 (1))
F3 (1) = max (7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F3 (2) = max (7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = max (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = max (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5. krok: k = 2. Pre 5. krok sú možné stavy systému t = 1,2 a funkcionálne rovnice majú tvar:
F2(t) = max(r(t) + F3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3 (1))
F2 (1) = max (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F2 (2) = max (7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = max (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = max (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. krok: k = 1. Pre 6. krok sú možné stavy systému t = 1 a funkcionálne rovnice majú tvar:
F1(t) = max(r(t) + F2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2 (1))
F1 (1) = max (7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F1 (2) = max (7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F1 (3) = max (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F1 (4) = max (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = max (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F1 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Výsledky výpočtov pomocou Bellmanových rovníc F k (t) sú uvedené v tabuľke, kde k je rok prevádzky a t je vek zariadenia.
Tabuľka – Matica maximálneho zisku
| k/t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
| 2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
| 3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
| 4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
| 5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
V tabuľke je zvýraznená hodnota funkcie zodpovedajúca stavu (3) - výmena zariadenia.
Pri riešení tohto problému v niektorých tabuľkách pri hodnotení výberu požadovaná kontrola získali sme rovnaké hodnoty F pre obe možnosti ovládania. V tomto prípade je v súlade s algoritmom na riešenie takýchto problémov potrebné zvoliť kontrolu zachovania zariadenia.
Etapa II. Bezpodmienečná optimalizácia(k = 6,5,4,3,2,1).
Podľa podmienok problému je vek zariadenia t 1 =1 rok. Plánované obdobie N=6 rokov.
Do začiatku 1. roku prevádzky sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Zisk bude F 1 (1) = 37.
Optimálna kontrola pre k = 1, x 1 (1) = (C), t.j. maximálny príjem za 1. až 6. rok dosiahne, ak je zariadenie zachované, t.j. nenahradený.
Do začiatku 2. roku prevádzky sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Zisk bude F 2 (2) = 30.
Optimálna kontrola pre k = 2, x 2 (2) = (C), t.j. maximálny príjem za 2. až 6. rok dosiahne, ak je zariadenie zachované, t.j. nenahradený.
Do začiatku 3. roku prevádzky sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Zisk bude F 3 (3) = 23.
Bezpodmienečné optimálne riadenie pre k = 3, x 3 (3)=(3), t.j. Na získanie maximálneho zisku počas zostávajúcich rokov je potrebné v tomto roku vymeniť zariadenie.
Do začiatku 4. roku prevádzky sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Zisk bude F 4 (1) = 20.
Optimálna kontrola pre k = 4, x 4 (1) = (C), t.j. maximálny príjem za 1. až 6. rok dosiahne, ak je zariadenie zachované, t.j. nenahradený.
Do začiatku 5. roku prevádzky sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Zisk bude F 5 (2) = 13.
Optimálna kontrola pre k = 5, x 5 (2) = (C), t.j. maximálny príjem za 2. až 6. rok dosiahne, ak je zariadenie zachované, t.j. nenahradený.
Do začiatku 6. roku prevádzky sa vek zariadenia zvýši o jeden a bude: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Zisk bude F 6 (3) = 6.
Optimálna kontrola pre k = 6, x 6 (3) = (C), t.j. maximálny príjem za 3. až 6. rok dosiahne, ak sa zariadenie udržiava, t.j. nenahradený.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (3)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Po 6 rokoch prevádzky zariadenia je teda potrebné vykonať výmenu na začiatku 3. roku prevádzky
Príklad č.2. Problém plánovania kapitálových investícií. Interval plánovania T=5 rokov. Nákladová funkcia na opravy a ďalšiu prevádzku K(t)=t+2t 2 (r.); náhradná funkcia P(t)=10+0,05t 2 (p.). Stanovte optimálnu stratégiu výmeny a opravy pre nové zariadenia (t=0) a zariadenia s vekom t=1, t=2, t=3.
Stanovte optimálne plánované náklady na roky päťročného plánu, ak je množstvo vybavenia podľa vekových skupín nasledovné: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5
Dynamické programovanie. Problém s výmenou zariadenia
Nájdite optimálne načasovanie výmeny zariadenia. Počiatočné náklady na zariadenie q 0 = 6000 konvenčné. jednotky, zostatkovú hodnotu L(t)=q 0 2 -i, náklady na údržbu zariadenia vo veku i rokov po dobu 1 roka S(t)=0,1q 0 (t+1), životnosť zariadenia 5 rokov. Po skončení životnosti sa zariadenie predáva. Vyriešte problém graficky.
Ak chcete vytvoriť graf v softvéri Wolfram Mathematica 6.0, zadajte
g = graf[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]
V dôsledku toho dostaneme graf:
Z grafu to vidíme optimálny čas výmena zariadenia je druhým rokom jej prevádzky.
Dynamické programovanie. Optimálne rozdelenie finančných prostriedkov medzi podniky
Nájdite optimálne rozdelenie finančných prostriedkov vo výške 9 konvenčných jednotiek. jednotiek medzi štyrmi spoločnosťami. Zisk z každého podniku je funkciou prostriedkov investovaných do neho a je uvedený v tabuľke:
|
Investície |
|||||||||
|
I podnik |
|||||||||
|
II podnik |
|||||||||
|
III podnik |
|||||||||
|
IV podnik |
Investície v každom podniku sú násobky 1 konvenčnej jednotky. jednotiek
Rozdeľme proces prideľovania finančných prostriedkov podnikom do 4 etáp: v prvej fáze je y 1 finančných prostriedkov pridelených podniku P 1, v druhej - y 2 finančné prostriedky podniku P 2, v tretej - y 3 finančné prostriedky podniku. P 3, v štvrtej tretine - r 4 finančné prostriedky podniku P 4
x n = x n - 1 - y n, n = 1, 2, 3, 4.
Všimnite si, že v štvrtej fáze prideľovania prostriedkov sa celý zostatok x 3 investuje do podniku P 4, teda y 3 = x 4.
Použime Bellmanove rovnice pre N = 4.
V dôsledku toho získame nasledujúce tabuľky:
Tabuľka 1
 |
||||||||||||
Tabuľka 2
Tabuľka 3
Tabuľka 4
Z tabuľky 4 vyplýva, že optimálna kontrola bude y 1 * = 3, pričom optimálny zisk je 42. Ďalej dostaneme
x 1 = x 0 - y 1 * = 9-3 = 6, 2 (x 1) = 2 (6) = 30, y 2 * = 1
x 2 = x 1 - y 2 * = 6-1 = 5, 3 (x 2) = 3 (5) = 23, y 3 * = 1
x 3 = x 2 - y 3 * = 5-1 = 4, 4 (x 3) = 4 (4) = 15, y 3 * = 4
Najoptimálnejšie je teda investovanie do podnikov P1, P2, P3 a P4 hotovosť vo výške 4, 1,1 a 3 konvenčných jednotiek, resp. V tomto prípade bude zisk maximálny a bude predstavovať 42 konvenčných jednotiek. jednotiek
Je známe, že vybavenie sa časom opotrebuje, starne fyzicky aj psychicky. Počas prevádzky spravidla klesá jeho produktivita a zvyšujú sa prevádzkové náklady. aktuálne opravy. Postupom času je potrebné vymeniť zariadenie, pretože jeho ďalšia prevádzka je drahšia ako opravy. Odtiaľto Problém výmeny možno formulovať nasledovne. Zariadenie v procese prevádzky produkuje ročný zisk, vyžaduje prevádzkové náklady a má zostatkovú hodnotu. Tieto vlastnosti závisia od veku zariadenia. V ktoromkoľvek roku je možné zariadenie uložiť, predať za zostatkovú cenu a kúpiť nové. Ak sa zariadenie ponechá, prevádzkové náklady sa zvýšia a produktivita sa zníži. Výmena si vyžaduje značné dodatočné kapitálové investície. Úlohou je určiť optimálnu stratégiu obmeny v plánovacom období tak, aby celkový zisk za toto obdobie bol maximálny.
Aby sme problém formulovali kvantitatívne, zavedieme nasledujúcu notáciu: r(t) sú náklady na produkty vyrobené za rok na jednotke zariadenia vo veku t rokov; u(t) - náklady spojené s prevádzkou tohto zariadenia; s(t) - zostatková hodnota zariadenia vo veku t rokov; p - obstarávacia cena zariadenia; T - trvanie plánovacieho obdobia; t = 0,1, 2,... , T je číslo aktuálneho roku.
Riešenie. Na vyriešenie problému použijeme princíp optimality R. Bellmana. Uvažujme intervaly (roky) plánovacieho obdobia v poradí od konca po začiatok. Predstavme si funkciu podmienene optimálnych hodnôt cieľovej funkcie Fk(t). Táto funkcia zobrazuje maximálny zisk získaný zo zariadení vo veku t rokov za posledných k rokov plánovacieho obdobia. Tu sa vek zariadenia zvažuje v smere prirodzeného vývoja času. Napríklad t = 0 zodpovedá použitiu úplne nového zariadenia. Časové kroky procesu sú očíslované v opačnom poradí. Napríklad pri k = 1 sa berie do úvahy posledný rok plánovacieho obdobia, pri k = 2 - posledné dva roky atď., pri k = T - posledných T rokov, t. j. celé plánovacie obdobie. Smery zmeny t a k sú znázornené na obrázku.
V tomto probléme je systém tvorený zariadením. Jej stav charakterizuje vek. Riadiacim vektorom je rozhodnutie v momente t = = 0,1, 2,... , T o údržbe alebo výmene zariadenia. Na nájdenie optimálnej náhradnej politiky je potrebné analyzovať proces od konca po začiatok podľa princípu optimality. Na tento účel urobíme predpoklad o stave vybavenia na začiatku minulého roka (k = 1). Zariadenie nech má t rokov. Na začiatku T-roka sú dve možnosti: 1) uložiť zariadenie na T-rok, potom zisk za posledný rok bude r(t) - u(t); 2) predajte zariadenie za zostatkovú cenu a kúpte si nové, potom zisk za posledný rok bude rovný s(t) - p + r(0) - u(0), kde r(0) sú náklady na výrobky vyrobené na novom zariadení počas prvého roku jeho uvedenia na trh; u(0) sú prevádzkové náklady v tomto roku. Tu je vhodné rozvinúť proces od konca po začiatok. Za posledný rok (k = 1) bude z pohľadu celého procesu optimálna politika, ktorá poskytuje maximálny zisk len za posledný rok. Berúc do úvahy hodnotu zisku pri rôznych postupoch (výmena - konzervácia), dospievame k záveru, že rozhodnutie o výmene zariadenia vo veku t rokov je potrebné urobiť v prípade, keď je zisk z nového zariadenia v poslednom období väčší. než zo starého zariadenia, t.j. vzhľadom na to
Takže za posledný rok sa z podmienky zistí optimálna politika a maximálny zisk F 1 (t).
Nech k = 2, t.j. uvažujme zisk pre dvoch minulý rok. Robíme predpoklad o možnom stave t zariadení na začiatku predposledného roka. Ak sa na začiatku tohto roka rozhodnete ponechať si zariadenie, potom do konca roka dostanete zisk r(t) - u(t). Začiatkom minulého roka sa zariadenie dostane do stavu t + 1 a pri optimálnej politike bude v minulom roku generovať zisk rovný F 1 (t + 1). Celkový zisk za dva roky teda bude r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Ak sa na začiatku predposledného roka rozhodne o výmene zariadenia, tak zisk za predposledný rok bude s(t)-p+r(0)-u(0). Keďže bola zakúpená nová technika, na začiatku minulého roka bude v stave t = 1. Celkový zisk za posledné dva roky pri optimálnej politike v minulom roku teda bude
Podmienečne optimálna politika v posledných dvoch rokoch bude tá, ktorá prinesie maximálny zisk:
Podobne nájdeme výrazy pre podmienečne optimálny zisk za posledné tri roky, štyri, atď. Všeobecná funkčná rovnica bude mať tvar
Ak teda rozvinieme celý proces od konca po začiatok, zistíme, že maximálny zisk za plánovacie obdobie T bude F T (t 0). Keďže počiatočný stav to je známy, z výrazu pre F T (t 0) nájdeme optimálne riešenie na začiatku prvého ročníka, následne výsledné optimálne riešenie pre druhý ročník atď. Pozrime sa na číselný príklad.
Vypracujte optimálnu politiku výmeny zariadenia za nasledujúcich podmienok:
1) náklady r(t) produktov vyrobených pomocou zariadenia za rok a náklady u(t) spojené s prevádzkou zariadenia sú uvedené v tabuľke;
2) zostatková hodnota auta nezávisí od jeho veku a rovná sa 2;
3) cena nového zariadenia sa časom nemení a rovná sa 15;
4) dĺžka plánovacieho obdobia je 12 rokov.
Takže s(t) = 2, p = 15, T = 12.
Napíšme funkčné rovnice pre F 1 (t) a F až (t) s číselnými hodnotami nášho príkladu:
Pomocou výrazov (8.9), (8.10) postupne vypočítame hodnoty maximálneho zisku F až (t) a zapíšeme ich do špeciálnej tabuľky (tabuľka 8.4). Prvý riadok získame tak, že parametru t v rovnosti (8.9) dáme hodnoty 0,1,... ,12 a použijeme počiatočné údaje z tabuľky. 8.3. Napríklad pri t = 0
Všimnite si, že ak sa zisk z nového zariadenia rovná zisku zo starého zariadenia, potom je lepšie ponechať si staré na ďalší rok:
Od stola 8.3 je zrejmé, že r(t) – u(t) s rastúcim t klesá. Preto, keď t > 9, politika výmeny zariadenia bude optimálna. Aby sme rozlíšili, ktorá politika vedie k podmienečne optimálnej hodnote zisku, ohraničíme tieto hodnoty (do t = 9 vrátane, politika ochrany je optimálna) hrubou čiarou. Na vyplnenie druhého riadku tabuľky. 8.4 použijeme vzorec (8.10). Pre k = 2 dostaneme
Dajme parametru t hodnoty 0,1,2,... ,12, hodnoty r(t) a u(t) zoberme z tabuľky. 8.3 a hodnoty F 1 (t + 1) sú z prvého riadku tabuľky. 8.4. Pre tretí riadok kalkulačný vzorec z rovnosti (8.10) pre k = 3 dostaneme:
atď. Vyplnenie tabuľky. 8.4 používame jeho údaje na vyriešenie problému. Táto tabuľka obsahuje množstvo cenných informácií a umožňuje nám vyriešiť celú rodinu problémov, do ktorých sme ponorili pôvodný problém.
Nech máme napríklad na začiatku plánovacieho obdobia vybavenie staré 6 rokov. Na dvanásťročné obdobie vyvinieme „politiku výmeny“, ktorá prinesie maximálny zisk. Informácie k tomu nájdete v tabuľke. 8.4. Maximálny zisk, ktorý je možné dosiahnuť za 12 rokov, za predpokladu, že na začiatku bolo zariadenie staré 6 rokov, nájdete v tabuľke. 8.4 v priesečníku stĺpca t = 6 a riadku F12(t); je to 180 jednotiek.
Napravo od prerušovanej čiary sa píše maximálna hodnota zisku F12(6) = 180, t.j. v oblasti „politiky nahradenia“. To znamená, že na dosiahnutie maximálneho zisku počas 12 rokov je potrebné zariadenie vymeniť na začiatku prvého roka. Počas prvého roka nové zariadenie zostarne o rok, t. j. po výmene zariadenia a práci na ňom 1 rok budeme mať zariadenie staré 1 rok 11 rokov pred koncom plánovacieho obdobia. Od stola 8.4 berieme F11(l) = 173. Táto hodnota sa nachádza v oblasti „politiky ochrany“, t.j. v druhom roku plánovacieho obdobia je potrebné zachovať zariadenie staré 1 rok a po práci na ňom o rok, 10 rokov pred koncom plánovacieho obdobia budeme mať vybavenie staré 2 roky.
Zistíme, že v úložnom priestore je umiestnená hodnota F10(2) = 153. Na zariadení pracujeme ďalší rok. Teraz do konca plánovacieho obdobia zostáva 9 rokov a vek zariadenia je 3 roky. Nájdeme F9(3) = 136. Toto je chránená oblasť. Na zariadení pracujeme ďalší rok. Jeho vek bude 4 roky. Do konca plánovacieho obdobia zostáva 8 rokov. Definujeme F8(4) = 120. Toto je substitučná oblasť. Vymieňame zariadenia za nové. Budeme na tom pracovať štvrtý rok. Zostarne o rok. Do konca plánovacieho obdobia zostáva 7 rokov. Nájdeme F7(l) = 113. Toto je chránená oblasť. Pokračovaním v podobných úvahách sme zistili, že F6(2) = 93, F5(3) = 76 sa nachádza v chránenej oblasti, F4(4) = 60 - v náhradnej oblasti, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - v ukladacej oblasti. Vyvinutá politika bude reprezentovaná týmto reťazcom:
Namiesto hľadania optimálnej „náhradnej politiky“ na plánovacie obdobie 12 rokov sme teda pôvodný problém ponorili do rodiny podobných, kedy sa obdobie pohybuje od 1 do 12. Riešenie prebieha podľa princípu optimálnosti pre akýkoľvek stav systému, bez ohľadu na jeho históriu. Optimálna „náhradná politika“ je optimálna pre zostávajúci počet rokov. Tabuľka 8.4 obsahuje informácie na riešenie iných problémov. Z nej môžete nájsť optimálnu stratégiu výmeny zariadení s akýmkoľvek počiatočným stavom od 0 do 12 rokov a na akékoľvek plánované obdobie nepresahujúce 12 rokov. Napríklad, nájdime „zásadu výmeny“ na plánovacie obdobie 10 rokov, ak pôvodne existovalo zariadenie staré päť rokov:
Zjednodušili sme úlohu výmeny zariadení. V praxi sa nezanedbávajú detaily. Je ľahké vziať do úvahy napríklad prípad, keď zostatková hodnota zariadenia s(t) závisí od času. Môže sa prijať rozhodnutie nahradiť zariadenie nie novým zariadením, ale zariadením, ktoré sa už nejaký čas používa. Taktiež nie je ťažké počítať s možnosťou generálnej opravy starého zariadenia. V tomto prípade musí pojem „stav“ systému zahŕňať čas poslednej opravy zariadenia. Funkcia Fk(ti,t2) vyjadruje zisk za posledných k rokov plánovacieho obdobia za predpokladu, že pôvodne existovalo zariadenie veku t1, ktoré prešlo väčšími opravami po t2 rokoch prevádzky. Charakteristiky r, s a a budú tiež funkciami dvoch premenných t1 a t2.
optimálna stratégia dynamického programovania
IN celkový pohľad Problém je nastolený nasledovne: určiť optimálnu stratégiu používania zariadení na časové obdobie trvajúce m rokov a zisk za každých I rokov, i= z používania zariadenia vo veku t rokov, by mal byť maximálny.
Známe sú: r(t) - tržby z predaja výrobkov vyrobených za rok na zariadeniach vo veku t rokov, l(t) - ročné náklady v závislosti od veku zariadenia t, c(t) - zostatková hodnota zariadenia vo veku t rokov, P - náklady na nové zariadenie. Vek zariadenia sa vzťahuje na obdobie prevádzky zariadenia po poslednej výmene, vyjadrené v rokoch.
Na zostavenie matematického modelu sa kroky formulované nižšie vykonávajú postupne.
1. Určenie počtu krokov. Počet krokov sa rovná počtu rokov, počas ktorých sa zariadenie používa.
2. Určenie stavov systému. Stav systému charakterizuje vek zariadenia t; t=.
3. Definícia ovládacích prvkov. Na začiatku i-tého kroku, i=, je možné zvoliť jeden z dvoch ovládacích prvkov: vymeniť alebo nevymeniť zariadenie. Každá možnosť ovládania má priradené číslo
uс - ak nie je vymenené zariadenie;
uз - ak je zariadenie vymenené.
4. Určenie výplatnej funkcie v i-tom kroku. Výplatná funkcia zapnutá v i-tom kroku je zisk z používania zariadenia do konca i-teho roku prevádzky, t=, i=.
u1= uс - ak zariadenie nie je vymenené na začiatku i-tého roku;
u2= uз - ak je zariadenie vymenené.
Ak sa teda zariadenie nepredá, potom zisk z jeho používania predstavuje rozdiel medzi výrobnými nákladmi a prevádzkovými nákladmi. Pri výmene zariadenia je ziskom rozdiel medzi zostatkovou hodnotou zariadenia a nákladmi na nové zariadenie, ku ktorému sa pripočíta rozdiel medzi nákladmi na výrobu a prevádzkovými nákladmi na nové zariadenie, ktorého vek na začiatku i. - krok je 0 rokov.
5. Definícia funkcie zmeny stavu
u1 uс - ak Xi=0
u2= uз - ak Xi=1
6. Zostavenie funkcionálnej rovnice pre i=m.
7. Zostavenie základnej funkcionálnej rovnice
Kde Wi(t) je zisk z používania zariadenia vo veku t rokov od i-tého kroku (od konca i-teho roku) do konca prevádzkového obdobia.
Wi+1(t+1) - zisk z používania zariadení vo veku t+1 rok od (i+1) kroku do konca prevádzkového obdobia;
Tak bol skonštruovaný matematický model problému.
Algoritmus na riešenie problému
Uveďme si nasledujúci zápis:
t je vek zariadenia.
L(t) - výroba výrobkov na zariadeniach, ktorých vek je t rokov.
R(t) - náklady na údržbu zariadenia.
P(t) - zostatková hodnota zariadenia.
P - náklady na nové vybavenie
Fn(t) - zisk zo starého zariadenia, ktorého vek je t rokov.
n-minulý rok.
na starom zariadení (1)
Toto je funkčná rovnica
Formulár vstupného dokumentu
Údaje je možné zadať pomocou tabuľky:
Tabuľka č.1. Informácie o vstupe údajov.
Podľa vzorca
Popis softvéru a hardvéru
Program bol vyvinutý v programovacom jazyku Borland
pomocou Delphi 7.0 operačný systém Microsoft Windows XP Professional
Pri vývoji programu boli použité komponenty Delphi:
String Grid – na vyplnenie adresárov a zobrazenie výsledkov
Upraviť - na zadanie hodnôt
Tlačidlo - na vytvorenie tlačidla
Štítok - vytváranie štítkov pre jednoduché použitie
Obrázok - obrázky
MainMenu - Programové menu
OpenDialog - otvorenie dialógu
Počas vývoja softvér Boli tiež použité nasledujúce systémové nástroje:
Antivírusový program (Dr.Web 4.44)
Archivačné programy (WinRar v3.45).
Pomôcky balíka Microsoft Office ( Microsoft Word, Excel).
grafické editory (PhotoShop v CS3)
Pri vývoji softvéru bol použitý počítač s nasledujúcimi vlastnosťami:
Procesor: Intel Pentium(R) 3,00 GHz
RAM: 1 GB DDR2 PC 533
Grafická karta: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb
Pevný disk: 200 Gb
Monitor: 17" 1280 x 1025 pri 75 Hz
Príklad ladenia
Nájdite maximálny zisk pri výmene zariadenia po 2 rokoch:
Podľa vzorca
Záver: Maximálny zisk 215 jednotiek získame, ak zmeníme zariadenie po 2 rokoch na tretie.
Popis programu
Program „Riešenie problémov výmeny zariadení“ je určený pre podniky zaoberajúce sa akýmkoľvek typom činnosti, ktorá si vyžaduje použitie určitého zariadenia. Z viacerých dôvodov sa vybavenie fyzicky opotrebováva, t.j. sa pokazí a nedá sa opraviť, alebo sa vyskytnú také poruchy, pri ktorých je jednoduchšie kúpiť nové zariadenie ako opraviť staré, alebo sa morálne opotrebuje, t.j. Tempo rastu ekonomického rozvoja priemyslu na výrobu tohto zariadenia je veľmi vysoké. Aby teda „výroba produktu“ na takomto zariadení dosiahla maximálny účinok, musí sa pravidelne meniť. Tento program vypočíta počet rokov, po ktorých musíte vymeniť zariadenie, aby ste dosiahli maximálny zisk.
Na vývoj programu „Riešenie problémov s výmenou zariadení“ bol použitý programovací jazyk Delphi 6 V súčasnosti je toto objektovo orientované programovacie prostredie veľmi populárne, jeho základom je jazyk Object Pascal. Umožňuje vytvárať aplikácie rôzneho stupňa zložitosti – od jednoduchých programov až po profesionálne určené na prácu s databázami. Okrem toho je pomoc programu prezentovaná na stránkach HTML pomocou programu Arachnophilia.
Celá práca s programom je založená na práci s menu, jeho popis nájdete v položke menu Pomoc/Obsah/Práca s menu.
Tento program bol vytvorený spustením projekt kurzu k téme" Matematické metódy“, na túto tému.