Jeden z ważnych problemy gospodarcze jest określenie optymalnej strategii wymiany starych maszyn, aipcraTOB i maszyn na nowe. Starzenie się sprzętu oznacza jego fizyczne i moralne zużycie, w wyniku którego wzrastają koszty napraw i konserwacji, rosną koszty produkcji, a maleją

wydajność i wartość płynna. Przychodzi taki moment, że bardziej opłaca się sprzedać stary sprzęt i wymienić go na nowy, niż kosztownie go eksploatować wysokie koszty; Co więcej, można go zastąpić nowym sprzętem tego samego typu lub nowym, bardziej zaawansowanym. Optymalną strategią wymiany sprzętu jest określenie optymalnego czasu. Kryterium optymalności w tym przypadku może stanowić zysk z eksploatacji sprzętu, który należy optymalizować, lub całkowite koszty eksploatacji w rozpatrywanym okresie, które należy minimalizować.

Wprowadźmy następującą notację:

r(t)- roczne koszty utrzymania starego sprzętu T położyć;

g(t)- wartość rezydualna sprzętu wiekowego T położyć;

R 0 - cena zakupu sprzętu.

Weź pod uwagę okres N lat, w ciągu których należy określić optymalny cykl wymiany sprzętu.

Oznaczmy przez L*(/) koszty optymalne uzyskane z

wiek sprzętu T lat dla pozostałych N lat cyklu użytkowania sprzętu, z zastrzeżeniem optymalnej strategii.

Wiek sprzętu liczony jest w kierunku przebiegu procesu. Zatem / = 0 odpowiada przypadkowi użycia nowego sprzętu. Na każdym etapie procesu /etapu V należy podjąć decyzję o zatrzymaniu, wymianie lub naprawie sprzętu. Wybrana opcja musi zapewniać minimalizację całkowitych kosztów operacyjnych w rozważanym okresie.

Zakłada się, że przejście od pracy na sprzęcie wiekowym T Przygotowanie do pracy na nowym sprzęcie następuje błyskawicznie, czyli wymiana starego sprzętu i przejście do pracy na nowym sprzęcie zbiegają się w jeden okres.

Przykład 4.2

Sprzęt jest używany przez pięć lat, po czym jest sprzedawany. Na początku każdego roku możesz zdecydować, czy chcesz zatrzymać sprzęt, czy wymienić go na nowy. Koszt nowego sprzętu P 0= 4000 rubli. Po T lata eksploatacji (1 g(t) = Р 0 2~‘ rub. (wartość płynna). Koszty konserwacji w ciągu roku zależą od wieku sprzętu T i są równe r(t) = 600(/ + 1).

Określić optymalna strategia eksploatację sprzętu tak, aby koszty całkowite, biorąc pod uwagę początkowy zakup i końcową sprzedaż, były minimalne.

Rozwiązanie. Sposób podziału kontroli na etapy jest naturalny – jednak z biegiem lat N= 5. Parametr stanu - wiek maszyny lu= T,,v 0 = 0 - samochód jest nowy na początku pierwszego roku eksploatacji. Kontrola na każdym etapie zależy od dwóch zmiennych Jeśli I Jeśli.

Równania stanu zależą od sterowania:

Wskaźnik wydajności etapu A:

(Na Jeśli koszty tylko za eksploatację wieku maszyny T, Na Jeśli maszyna zostaje sprzedana (-4000 2~"), zostaje zakupiona nowa (4000) i eksploatowana przez pierwszy rok (600), całkowity koszt wynosi (-4000 2" + 4000 + 600)).

Niech l' (?) będzie warunkowym optymalnym kosztem eksploatacji maszyny, począwszy od A"tego kroku do końca, pod warunkiem, że na początku A"tego kroku maszyna jest stara. Zapiszmy równania Wellmana dla funkcji A(r), zastępując problem maksymalizacji problemem minimalizacji:

Wartość 4000 2 0+11 - koszt wieku samochodu T lat (zgodnie z warunkami samochód sprzedawany jest po pięciu latach eksploatacji):

Z definicji funkcji А* (/) wynika, że ​​A min = А*(0).

Wyobraźmy sobie rozwiązanie geometryczne to zadanie. Narysujmy numer kroku na osi x Do, i wzdłuż rzędnej - wiek maszyny /. Kropka (Do - 1, /) na płaszczyźnie odpowiada początkowi A - - roku eksploatacji maszyny, wiekowi/latom. Ruch na wykresie w zależności od przyjętej kontroli na / o-ty krok pokazany na ryc. 4.3.

Ryż. 4.3

Stan rozpoczęcia pracy maszyny odpowiada punktowi v’(0, 0), koniec – punktom 5(5,/). Każda trajektoria, która przenosi punkt DA-1, /) z punktu 5, składa się z odcinków - kroków odpowiadających latom eksploatacji. Konieczne jest wybranie trajektorii, przy której koszt obsługi maszyny będzie minimalny.

Nad każdym segmentem łączącym punkty (A’ - 1, /) i (A, / + 1) zapisane są odpowiednie elementy sterujące Jeśli koszty (600(/+1)), a powyżej odcinka łączącego punkty (Do- 1, /) i ( Do, /), - koszty odpowiadające zarządzaniu Jeśli(4600 - 4000 2"). W ten sposób umieszczane są wszystkie odcinki łączące punkty na 1rafix, odpowiadające przejściu z dowolnego stanu ld_| do stanu s k(patrz rys. 4.3).

Następnie na zaznaczonych faffach przeprowadzana jest optymalizacja warunkowa. W stanach (5, /) samochód jest sprzedawany, warunkowy optymalny dochód ze sprzedaży wynosi 4000 2~‘, ponieważ jednak funkcja celu jest związana z kosztami, wartość dochodu ze znakiem minus umieszcza się w kręgach punktów (5, /). Następnie w kolejnych etapach dokonują selekcji minimalne koszty pomiędzy dwoma możliwymi przejściami, wpisane są w okrąg danego punktu, a odpowiadające im kontrolki w tym kroku zaznaczone są przerywaną strzałką. W tym przypadku na każdym etapie równania Wellmana rozwiązywane są ruchowo (ryc. 4.4).

Po przeprowadzeniu optymalizacji warunkowej otrzymujemy w punkcie (0, 0) minimalny koszt eksploatacji maszyny przez około pięć lat z późniejszą sprzedażą: A min = 11 900. Następnie, wychodząc od punktu, konstruowana jest optymalna trajektoria Więc (0, 0) wzdłuż przerywanych strzałek w.?. Otrzymujemy zbiór punktów: ((0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)), co odpowiada optymalnemu kontrola U”(u c , U’, U U c , U c). Tryb optymalny

operacja polega na wymianie maszyny na nową na początku trzeciego roku.

Zatem oznaczony wykres (sieć) pozwala na jednoznaczną interpretację schemat projektu i rozwiązać problem za pomocą metody programowanie dynamiczne.

Dynamiczne modele programowania i procedury obliczeniowe są bardzo elastyczne pod względem możliwości uwzględniania różnych modyfikacji problemu. Można na przykład rozważyć podobny problem duża liczba opcje sterowania, „naprawa”, „ generalny remont" i itp. Wszystkie te czynniki można uwzględnić w schemacie obliczeniowym programowania dynamicznego.

Ta usługa jest przeznaczona dla Internetu rozwiązanie problemu optymalnej strategii modernizacji sprzętu. Zazwyczaj w danych źródłowych określone są następujące parametry:

• r(t) to koszt produktów wytworzonych w każdym roku okresu planowania przy użyciu tego sprzętu;
• u(t) - roczne koszty związane z eksploatacją sprzętu;
• s(t) - wartość rezydualna wyposażenia;
• p to koszt nowego sprzętu, który obejmuje koszty związane z instalacją, uruchomieniem i uruchomieniem sprzętu i nie ulega zmianie w danym okresie planistycznym.

Jeśli koszt sprzętu nie zostanie określony, problem funkcji kosztu i odtworzenia zostanie rozwiązany (problem planowania inwestycji kapitałowych).

Planowanie inwestycji kapitałowych.

Przykład nr 1. Znajdź optymalną strategię eksploatacji sprzętu przez okres 6 lat, jeśli w tabeli podano roczny dochód r(t) i wartość rezydualną S(t) w zależności od wieku, koszt nowego sprzętu wynosi P = 13, a wiek sprzętu na początku okresu eksploatacji wynosił 1 rok.

T	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

Rozwiązanie.
Etap I. Optymalizacja warunkowa(k = 6,5,4,3,2,1).
Zmienna sterująca włączona k-ty krok jest zmienną logiczną, która może przyjmować jedną z dwóch wartości: zachować (C) lub wymienić (R) sprzęt na początku k-tego roku.
Krok 1: k = 6. Dla kroku 1 możliwe stany układu to t = 1,2,3,4,5,6, a równania funkcyjne mają postać:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = maks. (7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = maks. (7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = maks. (6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = maks. (6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = maks. (5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = maks. (5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
Krok 2: k = 5. Dla kroku 2 możliwe stany układu to t = 1,2,3,4,5, a równania funkcyjne mają postać:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = maks. (7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = maks. (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = maks. (6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = maks. (6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = maks. (5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
Krok 3: k = 4. Dla kroku 3 możliwe stany układu to t = 1,2,3,4, a równania funkcyjne mają postać:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = maks. (7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = maks. (7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = maks. (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
Krok 4: k = 3. Dla kroku 4 możliwe stany układu to t = 1,2,3, a równania funkcyjne mają postać:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = maks. (7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = maks. (7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = maks. (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = maks. (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = maks. (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
Krok 5: k = 2. Dla kroku 5 możliwe stany układu wynoszą t = 1,2, a równania funkcyjne mają postać:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = maks. (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = maks. (7 + 23 ; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = maks. (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = maks. (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = maks. (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. krok: k = 1. Dla 6. kroku możliwe stany układu wynoszą t = 1, a równania funkcyjne mają postać:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = maks. (7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = maks. (7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = maks. (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = maks. (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = maks. (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Wyniki obliczeń z wykorzystaniem równań Bellmana F k (t) podano w tabeli, w której k jest rokiem eksploatacji, a t jest wiekiem urządzenia.
Tabela – Macierz Maksymalnego Zysku

k/t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

W tabeli zaznaczono wartość funkcji odpowiadającej stanowi (3) – wymiana sprzętu.
Rozwiązując ten problem w niektórych tabelach, oceniając wybór wymagana kontrola uzyskaliśmy te same wartości F dla obu opcji sterowania. W takim przypadku, zgodnie z algorytmem rozwiązywania takich problemów, należy wybrać kontrolę konserwacji sprzętu.
Etap II. Bezwarunkowa optymalizacja(k = 6,5,4,3,2,1).
Zgodnie z warunkami problemu wiek sprzętu wynosi t 1 = 1 rok. Planowany okres N=6 lat.
Na początku pierwszego roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Zysk wyniesie F 1 (1) = 37.
Optymalna kontrola dla k = 1, x 1 (1) = (C), tj. maksymalny dochód za lata od 1 do 6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
Na początku drugiego roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Zysk wyniesie F 2 (2) = 30.
Optymalna kontrola dla k = 2, x 2 (2) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 2–6 osiąga się w przypadku konserwacji sprzętu, tj. nie zastąpiony.
Na początku trzeciego roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Zysk wyniesie F 3 (3) = 23.
Bezwarunkowe sterowanie optymalne dla k = 3, x 3 (3)=(3), tj. Aby uzyskać maksymalny zysk na pozostałe lata, konieczna jest wymiana sprzętu w tym roku.
Na początku 4. roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Zysk wyniesie F 4 (1) = 20.
Optymalna kontrola dla k = 4, x 4 (1) = (C), tj. maksymalny dochód za lata od 1 do 6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
Na początku 5. roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Zysk wyniesie F 5 (2) = 13.
Optymalna kontrola dla k = 5, x 5 (2) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 2–6 osiąga się w przypadku konserwacji sprzętu, tj. nie zastąpiony.
Na początku 6. roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Zysk wyniesie F 6 (3) = 6.
Optymalna kontrola dla k = 6, x 6 (3) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 3–6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (W)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Zatem po 6 latach eksploatacji sprzętu wymianę należy przeprowadzić na początku 3 roku eksploatacji

Przykład nr 2. Problem planowania inwestycji kapitałowych. Przedział planowania T=5 lat. Funkcja kosztu napraw i dalszej eksploatacji K(t)=t+2t 2 (r.); funkcja zastępcza P(t)=10+0,05t 2 (p.). Określ optymalną strategię wymiany i naprawy sprzętu nowego (t=0) oraz sprzętu starszego t=1, t=2, t=3.
Określ optymalne koszty planowane na lata planu pięcioletniego, jeżeli ilość sprzętu w podziale na grupy wiekowe jest następująca: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5

Programowanie dynamiczne. Problem z wymianą sprzętu

Znajdź optymalny moment na wymianę sprzętu. Początkowy koszt wyposażenia q 0 =6000 konwencjonalnego. jednostki, wartość ratunkowa L(t)=q 0 2 -i, koszt utrzymania sprzętu wiekowego i lat przez 1 rok S(t)=0,1q 0 (t+1), żywotność sprzętu wynosi 5 lat. Po zakończeniu okresu użytkowania sprzęt zostaje sprzedany. Rozwiąż problem graficznie.

Aby zbudować wykres w programie Wolfram Mathematica 6.0, wpisz

g = Wykres[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

W rezultacie otrzymujemy wykres:

Z wykresu to widzimy optymalny czas wymiana sprzętu to drugi rok jego funkcjonowania.

Programowanie dynamiczne. Optymalna dystrybucja środków pomiędzy przedsiębiorstwami

Znajdź optymalny rozkład środków w ilości 9 jednostek konwencjonalnych. jednostki pomiędzy czterema firmami. Zysk każdego przedsiębiorstwa jest funkcją zainwestowanych w nie środków i przedstawia go tabela:

Inwestycje
ja przedsiębiorstwo
II przedsiębiorstwo
Przedsiębiorstwo III
Przedsiębiorstwo IV

Inwestycje w każdym przedsiębiorstwie są wielokrotnością 1 jednostki konwencjonalnej. jednostki

Podzielmy proces przyznawania środków przedsiębiorstwom na 4 etapy: w pierwszym etapie przyznawane jest y 1 środki przedsiębiorstwu P 1, w drugim – y 2 środki przedsiębiorstwu P 2, w trzecim – y 3 środki przedsiębiorstwu P 3, w czwartej trzeciej - 4 środki dla przedsiębiorstwa P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Należy zwrócić uwagę, że na czwartym etapie alokacji środków całe saldo x 3 inwestowane jest w przedsiębiorstwo P 4, zatem y 3 = x 4.

Użyjmy równań Bellmana dla N = 4.

W rezultacie otrzymujemy następujące tabele:

Tabela 1

Tabela 2

Tabela 3

Tabela 4

Z tabeli 4 wynika, że ​​optymalna kontrola będzie wynosić y 1 * = 3, natomiast optymalny zysk wynosi 42. Następnie otrzymujemy

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Zatem najbardziej optymalną inwestycją są przedsiębiorstwa P1, P2, P3 i P4 gotówka w ilości odpowiednio 4, 1,1 i 3 jednostek konwencjonalnych. W tym przypadku zysk będzie maksymalny i wyniesie 42 jednostki konwencjonalne. jednostki

Wiadomo, że sprzęt z czasem się zużywa, starzeje się fizycznie i psychicznie. Podczas pracy z reguły jego wydajność spada, a koszty operacyjne rosną. naprawy bieżące. Z biegiem czasu konieczna staje się wymiana sprzętu, ponieważ jego dalsza eksploatacja jest droższa niż naprawy. Stąd Problem zastępowania można sformułować w następujący sposób. W procesie eksploatacji sprzęt generuje roczny zysk, wymaga kosztów operacyjnych i ma wartość rezydualną. Cechy te zależą od wieku sprzętu. W każdym roku sprzęt można uratować, sprzedać po cenie rezydualnej i kupić nowy. Jeśli sprzęt zostanie zatrzymany, koszty operacyjne wzrosną, a produktywność spadnie. Wymiana wymaga znacznych dodatkowych inwestycji kapitałowych. Zadanie polega na ustaleniu optymalnej strategii wymiany w okresie planowania, tak aby łączny zysk za ten okres był maksymalny.

Aby sformułować problem ilościowo, wprowadzamy następującą notację: r(t) to koszt produktów wytworzonych w ciągu roku na jednostkę sprzętu mającego t lat; u(t) – koszty związane z eksploatacją tego sprzętu; s(t) - wartość rezydualna sprzętu mającego t lat; p - cena zakupu sprzętu; T - czas trwania okresu planowania; t = 0,1, 2,... , T jest numerem bieżącego roku.

Rozwiązanie. Aby rozwiązać problem, stosujemy zasadę optymalności R. Bellmana. Rozważmy odstępy (lata) okresu planowania w kolejności od końca do początku. Wprowadźmy funkcję warunkowo optymalnych wartości funkcji celu Fk(t). Funkcja ta pokazuje maksymalny zysk uzyskany ze sprzętu mającego t lat w ciągu ostatnich k lat okresu planowania. Tutaj wiek sprzętu rozpatrywany jest w kierunku naturalnego upływu czasu. Przykładowo t = 0 odpowiada wykorzystaniu zupełnie nowego sprzętu. Etapy czasowe procesu numerowane są w odwrotnej kolejności. Przykładowo, przy k = 1 uwzględnia się ostatni rok okresu planistycznego, przy k = 2 - ostatnie dwa lata itd., przy k = T - ostatnie T lat, czyli cały okres planistyczny. Kierunki zmian t i k pokazano na rysunku.

W tym zadaniu system składa się ze sprzętu. Jej stan charakteryzuje się wiekiem. Wektor sterujący jest decyzją w chwili t = = 0,1, 2,... , T o konserwacji lub wymianie sprzętu. Aby znaleźć optymalną politykę zastępczą, należy zgodnie z zasadą optymalności przeanalizować proces od końca do początku. W tym celu przyjmiemy założenie dotyczące stanu sprzętu na początku ostatniego roku (k = 1). Niech sprzęt ma lat. Na początku roku T są dwie możliwości: 1) oszczędzić sprzęt na T-ty rok, wtedy zysk za ostatni rok wyniesie r(t) - u(t); 2) sprzedać sprzęt po wartości rezydualnej i kupić nowy, wówczas zysk za ostatni rok będzie równy s(t) - p + r(0) - u(0), gdzie r(0) to koszt produkty wyprodukowane na nowym sprzęcie w pierwszym roku jego wprowadzenia; u(0) to koszty operacyjne w tym roku. W tym przypadku wskazane jest rozwinięcie procesu od końca do początku. Dla ostatniego roku (k = 1) optymalną polityką z punktu widzenia całego procesu będzie polityka zapewniająca maksymalny zysk tylko przez ostatni rok. Biorąc pod uwagę wartość zysku dla różnych kierunków działań (wymiana - konserwacja) dochodzimy do wniosku, że decyzję o wymianie sprzętu mającego t lat należy podjąć w przypadku, gdy zysk z nowego sprzętu w ostatnim okresie będzie większy niż ze starego sprzętu, tj. jeśli się uwzględni

Tak więc w ostatnim roku z warunku wynika optymalna polityka i maksymalny zysk F 1 (t).

Niech k = 2, czyli rozważmy zysk dla dwóch osób w ubiegłym roku. Przyjmujemy założenie o możliwym stanie t sprzętu na początku przedostatniego roku. Jeśli na początku tego roku zdecydujesz się zatrzymać sprzęt, to do końca roku uzyskany zostanie zysk r(t) - u(t). Na początku ubiegłego roku sprzęt przejdzie do stanu t + 1 i przy optymalnej polityce w ostatnim roku będzie generował zysk równy F 1 (t + 1). Zatem całkowity zysk za dwa lata wyniesie r(t) - u(t) + F 1 (t + 1). Jeżeli na początku przedostatniego roku zostanie podjęta decyzja o wymianie sprzętu, to zysk za przedostatni rok wyniesie s(t)-p+r(0)-u(0). Ponieważ zakupiono nowy sprzęt, na początku ubiegłego roku będzie on w stanie t = 1. Zatem łączny zysk za ostatnie dwa lata w ramach polityki optymalnej w ostatnim roku wyniesie

Polityką warunkowo optymalną w ciągu ostatnich dwóch lat będzie ta, która zapewni maksymalny zysk:

Podobnie znajdujemy wyrażenia na warunkowo optymalny zysk za ostatnie trzy, cztery lata itd. Ogólne równanie funkcjonalne będzie miało postać

Zatem rozwijając cały proces od końca do początku, stwierdzamy, że maksymalny zysk w okresie planowania T wyniesie F T (t 0). Ponieważ stan początkowy do jest znany, z wyrażenia na F T (t 0) znajdujemy optymalne rozwiązanie na początku pierwszego roku, następnie powstałe optymalne rozwiązanie na drugi rok itd. Spójrzmy na przykład numeryczny.

Opracuj optymalną politykę wymiany sprzętu na następujących warunkach:

1) w tabeli podano roczny koszt r(t) produktów wytworzonych przy użyciu urządzenia oraz koszty u(t) związane z eksploatacją urządzenia;

2) wartość ratownicza samochodu nie zależy od jego wieku i wynosi 2;

3) cena nowego sprzętu nie zmienia się w czasie i wynosi 15;

4) okres planowania wynosi 12 lat.

Zatem s(t) = 2, p = 15, T = 12.

Zapiszmy równania funkcjonalne dla F 1 (t) i F do (t) z wartościami liczbowymi z naszego przykładu:

Za pomocą wyrażeń (8.9), (8.10) obliczymy kolejno wartości maksymalnego zysku F do (t) i zapiszemy je w specjalnej tabeli (tabela 8.4). Pierwszą linię uzyskujemy podając parametrowi t w równości (8.9) wartości 0,1,...,12 i korzystając z danych początkowych z tabeli. 8.3. Na przykład w t = 0

Pamiętaj, że jeśli zysk z nowego sprzętu jest równy zyskowi ze starego sprzętu, to lepiej zatrzymać stary na kolejny rok:

Ze stołu 8.3 widać, że r(t) – u(t) maleje wraz ze wzrostem t. Dlatego też, gdy t > 9, polityka wymiany sprzętu będzie optymalna. Aby rozróżnić, która polityka skutkuje warunkowo optymalną wartością zysku, wartości te (do t = 9 włącznie, polityka ochrony jest optymalna) będziemy wyznaczać grubą linią. Aby wypełnić drugą linię tabeli. 8.4 używamy wzoru (8.10). Dla k = 2 otrzymujemy

Nadajmy parametrowi t wartości 0,1,2,...,12, pobierzmy z tabeli wartości r(t) i u(t). 8.3, a wartości F 1 (t + 1) pochodzą z pierwszego wiersza tabeli. 8.4. Dla trzeciej linii wzór obliczeniowy z równości (8.10) otrzymujemy dla k = 3:

itp. Wypełnianie tabeli. 8.4, używamy jego danych do rozwiązania problemu. Tabela ta zawiera wiele cennych informacji i pozwala nam rozwiązać całą rodzinę problemów, w których zanurzyliśmy pierwotne zadanie.

Załóżmy, że na początku okresu planowania mamy sprzęt, który ma 6 lat. Opracujemy „politykę odtworzeniową” na okres dwunastu lat, która zapewni maksymalny zysk. Informacje na ten temat znajdują się w tabeli. 8.4. Maksymalny zysk, jaki można uzyskać w ciągu 12 lat, pod warunkiem, że na początku był sprzęt mający 6 lat, podano w tabeli. 8.4 na przecięciu kolumny t = 6 i wiersza F12(t); jest to 180 jednostek.

Maksymalna wartość zysku F12(6) = 180 jest zapisywana po prawej stronie linii przerywanej, tj. w zakresie „polityki zastępczej”. Oznacza to, że aby osiągnąć maksymalny zysk w ciągu 12 lat, sprzęt należy wymienić już na początku pierwszego roku. W pierwszym roku nowy sprzęt zestarzeje się o rok, tj. po wymianie sprzętu i pracy nad nim przez 1 rok, będziemy mieli sprzęt roczny na 11 lat przed końcem okresu planistycznego. Ze stołu 8.4 przyjmujemy F11(l) = 173. Wartość ta mieści się w obszarze „polityki konserwatorskiej”, tj. w drugim roku okresu planistycznego należy konserwować sprzęt mający 1 rok i po przepracowaniu go za rok, 10 lat przed końcem okresu planistycznego będziemy mieli sprzęt mający 2 lata.

Dowiadujemy się, że w obszarze przechowywania umieszczona jest wartość F10(2) = 153. Nad sprzętem pracowaliśmy już kolejny rok. Teraz do końca okresu planistycznego pozostało 9 lat, a wiek sprzętu wynosi 3 lata. Znajdujemy F9(3) = 136. To jest obszar chroniony. Nad sprzętem pracowaliśmy już kolejny rok. Jego wiek wynosi 4 lata. Do końca okresu planowania pozostało 8 lat. Definiujemy F8(4) = 120. Jest to obszar podstawienia. Wymieniamy sprzęt na nowy. Będziemy nad tym pracować już czwarty rok. Starzeje się o rok. Do końca okresu planowania pozostanie 7 lat. Znajdujemy F7(l) = 113. To jest obszar chroniony. Kontynuując podobne rozumowanie ustalamy, że F6(2) = 93, F5(3) = 76 znajdują się w obszarze chronionym, F4(4) = 60 - w obszarze zastępczym, F3(l) = 53, F2(2) = 33, F1(3) = 16 - w obszarze zapisywania. Opracowaną politykę przedstawiamy w następującym łańcuchu:

Zamiast więc szukać optymalnej „polityki zastępczej” na okres planistyczny wynoszący 12 lat, zanurzyliśmy pierwotny problem w rodzinie podobnych, gdy okres waha się od 1 do 12. Rozwiązanie odbywa się zgodnie z zasadą optymalności dla dowolnego stanu systemu, niezależnie od jego historii. Optymalna „polityka odtworzeniowa” jest optymalna na pozostałą liczbę lat. Tabela 8.4 zawiera informacje dotyczące rozwiązywania innych problemów. Można na jego podstawie znaleźć optymalną strategię wymiany sprzętu na dowolny stan początkowy od 0 do 12 lat i na dowolny planowany okres nie przekraczający 12 lat. Na przykład znajdźmy „politykę wymiany” na okres planowania wynoszący 10 lat, jeśli początkowo istniał sprzęt pięcioletni:

Uprościliśmy zadanie wymiany sprzętu. W praktyce nie zaniedbuje się szczegółów. Łatwo jest uwzględnić na przykład przypadek, gdy wartość rezydualna wyposażenia s(t) zależy od czasu. Może zostać podjęta decyzja o wymianie sprzętu nie na nowy, ale na sprzęt, który jest już w użyciu od jakiegoś czasu. Nietrudno również uwzględnić możliwość remontu starego sprzętu. W takim przypadku pojęcie „stanu” systemu musi uwzględniać czas ostatniej naprawy sprzętu. Funkcja Fk(ti,t2) wyraża zysk za ostatnie k lat okresu planistycznego, pod warunkiem, że początkowo istniał sprzęt w wieku t1, który po t2 latach eksploatacji przeszedł remont kapitalny. Charakterystyki r, s i będą także funkcjami dwóch zmiennych t1 i t2.

optymalna strategia programowania dynamicznego

W widok ogólny Problem postawiono następująco: określ optymalną strategię użytkowania sprzętu w okresie m lat, a zysk za każde I lat i= z użytkowania sprzętu mającego t lat powinien być maksymalny.

Znane są: r(t) – przychody ze sprzedaży produktów wytworzonych w ciągu roku na sprzęcie mającym t lat, l(t) – koszty roczne w zależności od wieku sprzętu t, c(t) – wartość rezydualna sprzętu mającego t lat lata, P - koszt nowego sprzętu. Wiek sprzętu oznacza okres eksploatacji sprzętu od ostatniej wymiany, wyrażony w latach.

Aby zbudować model matematyczny, należy wykonać sekwencyjnie poniższe kroki.

1. Wyznaczanie liczby kroków. Liczba kroków jest równa liczbie lat użytkowania sprzętu.

2. Wyznaczanie stanów systemu. Stan systemu charakteryzuje się wiekiem sprzętu t; t=.

3. Definicja kontroli. Na początku i-tego kroku i= można wybrać jedno z dwóch elementów sterujących: wymienić lub nie wymieniać sprzętu. Każdej opcji sterowania przypisany jest numer

uс - jeśli sprzęt nie zostanie wymieniony;

uз - jeśli sprzęt zostanie wymieniony.

4. Wyznaczenie funkcji wypłaty w i-tym kroku. Funkcja wypłaty w i-tym kroku to zysk z użytkowania sprzętu do końca i-tego roku eksploatacji, t=, i=.

u1= uс – jeśli sprzęt nie zostanie wymieniony na początku i-tego roku;

u2= uз - w przypadku wymiany sprzętu.

Zatem jeśli sprzęt nie zostanie sprzedany, zysk z jego użytkowania stanowi różnicę między kosztem wytworzenia a kosztami operacyjnymi. Przy wymianie sprzętu zysk stanowi różnicę między wartością końcową sprzętu a kosztem nowego sprzętu, do której dodaje się różnicę między kosztem produkcji i kosztami eksploatacji nowego sprzętu, którego wiek na początku i -ty krok to 0 lat.

5. Definicja funkcji zmiany stanu

u1 uс - jeśli Xi=0

u2= uз - jeśli Xi=1

6. Ułożenie równania funkcjonalnego dla i=m.

7. Układanie podstawowego równania funkcyjnego

Gdzie Wi(t) to zysk z użytkowania sprzętu mającego t lat od i-tego kroku (od końca i-tego roku) do końca okresu eksploatacji.

Wi+1(t+1) - zysk z eksploatacji sprzętu mającego t+1 rok od (i+1) stopnia do końca okresu eksploatacji;

W ten sposób skonstruowano matematyczny model problemu.

Algorytm rozwiązania problemu

Wprowadźmy następującą notację:

t to wiek sprzętu.

L(t) - produkcja wyrobów na sprzęcie, którego wiek wynosi t lat.

R(t) - koszty utrzymania sprzętu.

P(t) - wartość rezydualna wyposażenia.

P - koszt nowego sprzętu

Fn(t) - zysk ze starego sprzętu, którego wiek wynosi t lat.

n-w zeszłym roku.

na starym sprzęcie (1)

To jest równanie funkcjonalne

Formularz dokumentu wejściowego

Dane można wprowadzać za pomocą tabeli:

Tabela nr 1. Informacje o wprowadzaniu danych.

Według formuły

Opis oprogramowania i sprzętu

Program został napisany w języku programowania Borland

Używam Delphi 7.0 system operacyjny Microsoft Windows XP Professional

Przy opracowywaniu programu wykorzystano komponenty Delphi:

String Grid - do wypełniania katalogów i wyświetlania wyników

Edytuj – aby wprowadzić wartości

Przycisk - aby utworzyć przycisk

Etykieta - tworzenie etykiet dla łatwości użytkowania

Obraz - obrazy

MainMenu – menu programu

OpenDialog - otwórz dialog

Podczas rozwoju oprogramowanie Wykorzystano także następujące narzędzia systemowe:

Program antywirusowy (Dr.Web 4.44)

Archiwizacja programów (WinRar v3.45).

Narzędzia pakietu Microsoft Office ( Microsoft Word, Excelu).

edytory graficzne (PhotoShop v CS3)

Podczas opracowywania oprogramowania wykorzystano komputer PC o następujących parametrach:

Procesor: Intel Pentium(R) 3,00 GHz

RAM: 1 GB DDR2 PC 533

Karta graficzna: NVIDIA Gee Force FX 6600 128Mb

Dysk twardy: 200 GB

Monitor: 17 cali 1280 x 1025 przy 75 Hz

Przykład debugowania

Znajdźmy maksymalny zysk przy wymianie sprzętu po 2 latach:

Według formuły

Wniosek: Maksymalny zysk w wysokości 215 jednostek uzyskamy, jeśli po 2 latach zmienimy sprzęt na trzeci.

Opis programu

Program „Rozwiązywanie problemów związanych z wymianą sprzętu” przeznaczony jest dla przedsiębiorstw prowadzących wszelkiego rodzaju działalność wymagającą użycia określonego sprzętu. Z wielu powodów sprzęt zużywa się fizycznie, tj. zepsuje się i nie da się go naprawić, lub zdarzają się takie awarie, w których łatwiej jest kupić nowy sprzęt niż naprawiać stary, lub zużywa się moralnie, tj. Tempo rozwoju gospodarczego przemysłu do produkcji tego sprzętu jest bardzo wysokie. Zatem, aby osiągnąć „produkcję produktu” na takim sprzęcie maksymalny efekt, należy go okresowo zmieniać. Program ten oblicza liczbę lat, po upływie których należy wymienić sprzęt, aby uzyskać maksymalny zysk.

Do opracowania programu „Rozwiązywanie problemów z wymianą sprzętu” wykorzystano język programowania Delphi 6. Obecnie bardzo popularne jest to obiektowe środowisko programowania, oparte na języku Object Pascal. Pozwala na tworzenie aplikacji o różnym stopniu złożoności - od prostych programów po profesjonalne, przeznaczone do pracy z bazami danych. Dodatkowo pomoc programu prezentowana jest na stronach HTML wykorzystujących program Arachnophilia.

Cała praca z programem opiera się na pracy z menu, jego opis znajdziesz w punkcie menu Pomoc/Spis treści/Praca z menu.

Ten program został stworzony poprzez wykonanie projekt kursu na ten temat” Metody matematyczne", w tym temacie.