Określ optymalną strategię użytkowania sprzętu w długim okresie T lat i zysk dla każdego I lata, I= od wieku użytkowania sprzętu T lat powinno być maksymalne.

Znany

R(T) – przychody ze sprzedaży produktów wytwarzanych w ciągu roku przy użyciu wiekowego sprzętu T lata;

l(T) – koszty roczne w zależności od wieku sprzętu T;

Z(T) – wartość rezydualna sprzętu wiekowego T lata;

R - koszt nowego sprzętu.

Wiek sprzętu oznacza okres eksploatacji sprzętu od ostatniej wymiany, wyrażony w latach.

Skorzystajmy z powyższych etapów budowania modelu matematycznego problemu.

1. Wyznaczanie liczby kroków. Liczba stopni jest równa liczbie lat użytkowania sprzętu.

2. Wyznaczanie stanów systemu. Stan systemu charakteryzuje się wiekiem sprzętu T, t= .

3. Definicja równań. Najpierw I-ty krok I= można wybrać jedno z dwóch elementów sterujących: wymienić lub nie wymieniać sprzętu. Każdej opcji sterowania przypisany jest numer

4. Wyznaczenie funkcji wypłaty wł I-ty krok. Funkcja wygranej włączona I krok dziewiąty to końcowy zysk z użytkowania sprzętu I- rok działalności, t= , I= . Zatem jeśli sprzęt nie zostanie sprzedany, zysk z jego użytkowania stanowi różnicę między kosztem wytworzenia a kosztami operacyjnymi. Przy wymianie sprzętu zyskiem jest różnica między wartością końcową sprzętu a kosztem nowego sprzętu, do której dodaje się różnicę między kosztem produkcji i kosztami eksploatacji nowego sprzętu, którego wiek na początku I Krok szósty to 0 lat.

5. Definicja funkcji zmiany stanu

(9.7)

Tak więc, jeśli sprzęt się nie zmieni x ja=0, wówczas wiek sprzętu wzrasta o jeden rok T+1 w przypadku zmiany wyposażenia x ja=1, wtedy sprzęt będzie miał rok.

6. Ułożenie równania funkcjonalnego dla I=T

Górna linia równania funkcjonalnego odpowiada sytuacji, w której Ostatni rok wyposażenie nie ulega zmianie i spółka uzyskuje zysk w wysokości różnicy pomiędzy przychodami R(T) i koszty roczne l(T).

7. Układanie podstawowego równania funkcyjnego

Gdzie W ja(T T lat od I-ty krok (od końca I roku) do końca okresu operacyjnego;

W i + 1 (T) – zysk z użytkowania wiekowego sprzętu t+ 1 rok od ( I+1) stopień do końca okresu eksploatacji.

Skonstruowano model matematyczny problemu.

Przykład

T=12, p= 10, Z(T)=0, R(T) – l(T)=φ (T).

Wartości φ (T) podano w tabeli 9.1.

Tabela 9.1.

T

φ (T)

W tym przykładzie będą wyglądać równania funkcjonalne

Przyjrzyjmy się wypełnieniu tabeli w kilku krokach.

Optymalizacja warunkowa rozpoczyna się od ostatniego 12-tego kroku. Dla I= uwzględnionych jest 12 możliwych stanów systemu t= 0, 1, 2, …, 12. Równanie funkcjonalne w kroku 12 ma postać

1) t= 0 X 12 (0)=0.

2) t= 1 X 12 (1)=0.

10) t= 9 X 12 (9)=0.

11) t= 10 X 12 (10)=0; X 12 (10)=1.

13) t= 12 X 12 (12)=0; X 12 (12)=1.

Zatem na 12. etapie nie trzeba wymieniać sprzętu w wieku 0 – 9 lat. Sprzęt w wieku 10–12 lat można wymienić lub nadal używać, ponieważ dla t= 10, 11, 12 istnieją dwie kontrole optymalizacji warunkowej 1 i 0.

Na podstawie wyników obliczeń wypełnia się odpowiednio dwie kolumny tabeli 9.2 ja= 12.

Optymalizacja warunkowa kroku 11.

Dla I=11 brane są pod uwagę wszystkie możliwe stany systemu T=0, 1, 2, …, 12. Równanie funkcjonalne w 11. kroku ma postać

1) t= 0 X 11 (0)=0.

2) t= 1 X 11 (1)=0.

6) t= 5 X 11 (5)=0; X 11 (5)=1.

7) t= 6 X 11 (6)=1.

13) t= 12 X 11 (12)=1.

Dlatego w kroku 11 nie należy wymieniać sprzętu mającego 0 – 4 lata. W przypadku sprzętu mającego 5 lat możliwe są dwie strategie użytkowania: wymiana lub dalsze działanie.

Od szóstego roku życia sprzęt należy wymienić. Na podstawie wyników obliczeń wypełnia się odpowiednio dwie kolumny tabeli 9.2 I=11.

1) t= 0 X 10 (0)=0.

2) t= 1 X 10 (1)=0.

3) t= 2 X 10 (2)=0.

4) t= 3 X 10 (3)=0.

5) t= 4 X 10 (4)=1.

13) t= 12 X 10 (12)=1.

W kroku 10 nie należy wymieniać sprzętu mającego 0 – 3 lata. Od roku 4 sprzęt należy wymienić, gdyż nowy sprzęt generuje większe zyski.

Na podstawie wyników obliczeń wypełnia się odpowiednio dwie kolumny w 9.2 I=10.

W ten sam sposób wypełnia się pozostałe dziewięć kolumn tabeli 9.2. Podczas obliczania W i + 1 (T) na każdym kroku wartości φ (T) dla każdego T=0, 1, 2, …, 12 wzięto z tabeli 9.1 danych początkowych podanych w opisie problemu, a wartości W ja(T) – z ostatniej kolumny wypełnionej w poprzednim kroku w 9.2.

Etap optymalizacji warunkowej kończy się po wypełnieniu tabeli 9.2.

Bezwarunkowa optymalizacja zaczyna się od pierwszego kroku.

Załóżmy to w pierwszym kroku I=1 jest nowy sprzęt, którego wiek wynosi 0 lat.

Dla t=t 1 = 0 to optymalna wypłata W 1 (0) = 82. Wartość ta odpowiada maksymalnemu zyskowi z użytkowania nowego sprzętu przez 12 lat.

W*=W 1 (0)=82.

Wygram W 1 (0) = 82 odpowiada X 1 (0)=0.

Dla I=2 zgodnie ze wzorem (9.7) T 2 = t 1 +1=1.

Bezwarunkowa optymalna kontrola X 2 (1)=0.

Dla I=3 zgodnie ze wzorem (9.7) T 3 = t 2 +1=2.

Bezwarunkowa optymalna kontrola X 3 (2)=0.

I=4	T 4 = t 3 +1=3	X 4 (3)=0
I=5	T 5 = t 4 +1=4	X 5 (4)=1
I=6	T 6 = 1	X 6 (1)=0
I=7	T 7 = t 6 +1=2	X 7 (2)=0
I=8	T 8 = t 7 +1=3	X 8 (3)=0
I=9	T 9 = t 8 +1=4	X 9 (4)=1
I=10	T 10 = 1	X 10 (1)=0
I=11	T 11 = t 10 +1=2	X 11 (2)=0
I=12	T 12 = t 11 +1=3	X 12 (3)=0

W tym celu optymalną strategią jest wymiana sprzętu, gdy osiągnie on wiek 4 lat. Podobnie można określić optymalną strategię wykorzystania sprzętu w każdym wieku.

Lewa kolumna Tabeli 9.2 przedstawia możliwe przypadki układu T= , w górnym wierszu – numery kroków I= . Dla każdego etapu określane są warunkowe optymalne kontrole x ja(T) i warunkowa optymalna wypłata W ja(T) C I-th krok i do końca dla wieku sprzętu T lata.

Kontrole składające się na optymalną strategię wykorzystania sprzętu zaznaczono pogrubioną czcionką w Tabeli 9.2.

Tabela 9.2.

T

I=12

I=11

I=10

I=9

I=8

I=7

I=6

I=5

I=4

I=3

I=2

I=1

X 12

W 12

X 11

W 11

X 10

W 10

X 9

W 9

X 8

W 8

X 7

W 7

X 6

W 6

X 5

W 5

X 4

W 4

X 3

W 3

X 2

W 2

X 1

W 1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

Optymalna strategia wymiany sprzętu

Jednym z ważnych problemów ekonomicznych jest determinacja optymalna strategia w wymianie starych maszyn, zespołów, maszyn na nowe.

Starzenie się sprzętu obejmuje jego fizyczne i moralne zużycie, w wyniku którego wzrastają koszty produkcji wyrobów na starym sprzęcie, wzrastają koszty jego naprawy i konserwacji, spada produktywność i wartość płynna.

Przychodzi taki moment, że bardziej opłaca się sprzedać stary sprzęt i wymienić go na nowy, niż kosztownie go eksploatować Wysokie koszty; Co więcej, można go zastąpić nowym sprzętem tego samego typu lub nowym, bardziej zaawansowanym.

Optymalną strategią wymiany sprzętu jest określenie optymalnego terminu wymiany. Kryterium optymalności w tym przypadku może stanowić zysk z eksploatacji sprzętu, który należy optymalizować, lub całkowite koszty eksploatacji w rozpatrywanym okresie, które należy minimalizować.

Wprowadźmy następujące oznaczenie: r(t) to koszt produktów wytworzonych w ciągu jednego roku na jednostkę sprzętu mającą t lat;

u(t) - roczne koszty utrzymania sprzętu mającego t lat;

s(t) - wartość rezydualna sprzętu mającego t lat;

P to cena zakupu sprzętu.

Rozważmy okres N lat, w ciągu którego konieczne jest określenie optymalnego cyklu wymiany sprzętu.

Oznaczmy przez fN(t) maksymalny dochód uzyskany ze sprzętu mającego t lat przez pozostałe N lat cyklu użytkowania sprzętu, przy założeniu optymalnej strategii.

Wiek sprzętu liczony jest w kierunku przebiegu procesu. Zatem t = 0 odpowiada przypadkowi użycia nowego sprzętu. Etapy czasowe procesu numerowane są w kierunku przeciwnym do postępu procesu. Zatem N = 1 odnosi się do jednego etapu czasowego pozostałego do zakończenia procesu, a N = N - do początku procesu.

Na każdym etapie procesu N-etapowego należy podjąć decyzję o zatrzymaniu lub wymianie sprzętu. Wybrana opcja powinna zapewnić maksymalny zysk.

Równania funkcjonalne oparte na zasadzie optymalności mają postać:

Pierwsze równanie opisuje proces N-etapowy, a drugie opisuje proces jednoetapowy. Obydwa równania składają się z dwóch części: górna linia określa dochód uzyskany z utrzymania sprzętu; niższy - dochód uzyskany przy wymianie sprzętu i kontynuowaniu procesu pracy nad nowym sprzętem.

W pierwszym równaniu funkcja r(t) - u(t) jest różnicą pomiędzy kosztem wytworzonych produktów a kosztami eksploatacyjnymi na N-tym etapie procesu.

Funkcja fN–1 (t + 1) charakteryzuje całkowity zysk z (N - 1) pozostałych etapów dla urządzeń, których wiek na początku tych etapów wynosi (t + 1) lat.

Konkluzję pierwszego równania scharakteryzowano następująco: funkcja s(t) – P oznacza koszt netto wymiany sprzętu mającego t lat.

Funkcja r(0) wyraża dochód uzyskany z nowego sprzętu w wieku 0 lat. Zakłada się, że przejście od pracy na sprzęcie mającym t lat do pracy na sprzęcie nowym następuje natychmiastowo, tj. okres wymiany starego sprzętu i przejścia do pracy na nowym sprzęcie wpisują się w ten sam etap.

Ostatnia funkcja fN–1 reprezentuje dochód z pozostałych N - 1 etapów, przed uruchomieniem którego sprzęt ma rok.

Podobną interpretację można nadać równaniu procesu jednoetapowego. Nie ma wyrazu w postaci f0(t + 1), gdyż N przyjmuje wartość 1, 2,..., N. Równość f0(t) = 0 wynika z definicji funkcji fN(t).

Równania są rekurencyjnymi relacjami, które pozwalają wyznaczyć wartość fN(t) w zależności od fN–1(t + 1). Ze struktury tych równań wynika, że ​​przy przejściu z jednego etapu procesu do drugiego wiek urządzenia wzrasta od t do (t + 1) lat, a liczba pozostałych etapów maleje od N do (N - 1) .

Obliczenia rozpoczynają się od pierwszego równania. Równania pozwalają ocenić opcje wymiany i konserwacji sprzętu, aby zaakceptować ten, który zapewnia największy dochód. Wskaźniki te pozwalają nie tylko wybrać sposób działania przy podejmowaniu decyzji o konserwacji lub wymianie sprzętu, ale także określić zysk uzyskany przy podejmowaniu każdej z tych decyzji.

Przykład. Wyznacz optymalny cykl wymiany sprzętu na podstawie następujących danych wyjściowych: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), przedstawionych w tabeli.

Rozwiązanie. Równania zapisujemy w następującej postaci:

Obliczenia kontynuujemy aż do spełnienia warunku f1(1) > f2(2), tj. V ten moment sprzęt należy wymienić, gdyż wielkość zysku uzyskanego w wyniku wymiany sprzętu jest większa niż w przypadku używania starego. Wyniki obliczeń umieszczamy w tabeli, moment zamiany zaznaczamy gwiazdką, po czym przerywamy dalsze obliczenia wzdłuż linii.

Nie musisz za każdym razem rozwiązywać równania, ale wykonaj obliczenia w tabeli. Na przykład obliczmy f4(t):

Dalsze obliczenia przerywamy dla f4(t), gdyż f4(4) = 23 Na podstawie wyników obliczeń i wzdłuż linii wyznaczającej obszary decyzyjne dotyczące konserwacji i wymiany sprzętu znajdujemy optymalny cykl wymiany sprzętu. Na to zadanie są to 4 lata.

Odpowiedź. Aby uzyskać maksymalny zysk z użytkowania sprzętu w dwunastoetapowym procesie, optymalnym cyklem jest wymiana sprzętu co 4 lata.

Optymalna alokacja zasobów

Niech będzie pewna ilość zasobów x, które należy rozdzielić pomiędzy n różnych przedsiębiorstw, obiektów, stanowisk pracy itp. tak, aby uzyskać maksymalną efektywność całkowitą z wybranego sposobu dystrybucji.

Wprowadźmy następującą notację: xi – ilość zasobów przydzielonych i-temu przedsiębiorstwu (i = );

gi(xi) jest funkcją użyteczności, w w tym przypadku jest to kwota dochodu z wykorzystania zasobu xi uzyskana przez i-te przedsiębiorstwo;

fk(x) to największy dochód, jaki można uzyskać wykorzystując zasoby x z pierwszych k różnych przedsiębiorstw.

Sformułowany problem można zapisać w postaci matematycznej:

z ograniczeniami:

Aby rozwiązać problem, należy otrzymać relację rekurencji łączącą fk(x) i fk–1(x).

Oznaczmy przez xk ilość zasobu zużytego przez k-tą metodę (0 ≤ xk ≤ x), to dla metod (k - 1) ilość pozostałych zasobów jest równa (x - xk). Największym dochodem jaki uzyskamy korzystając z zasobu (x – xk) z pierwszych (k – 1) metod będzie fk–1(x – xk).

Aby zmaksymalizować całkowity dochód z metody k–tej i pierwszej (k - 1), należy wybrać xk w taki sposób, aby spełnione były następujące zależności:

Rozważmy Szczególnym zadaniem w sprawie podziału inwestycji kapitałowych pomiędzy przedsiębiorstwami.

Dystrybucja inwestycji dla efektywne wykorzystanie potencjał przedsiębiorstwa

Zarząd spółki rozważa propozycje zwiększenia mocy produkcyjnych w celu zwiększenia produkcji jednorodnych produktów w czterech przedsiębiorstwach należących do spółki.

Aby rozszerzyć produkcję, zarząd przeznacza środki w wysokości 120 milionów rubli. z dyskretnością 20 milionów rubli. Wzrost produkcji w przedsiębiorstwach zależy od przydzielonej kwoty; jej wartości są prezentowane przez przedsiębiorstwa i zawarte w tabeli.

Znajdź taki podział środków pomiędzy przedsiębiorstwa, który zapewnia maksymalny wzrost produkcji, przy czym na przedsiębiorstwo nie można dokonać więcej niż jednej inwestycji.

Rozwiązanie. Rozwiązanie problemu podzielmy na cztery etapy w zależności od liczby przedsiębiorstw, w których planowane są inwestycje.

Relacje powtarzalności będą wyglądać następująco:

dla przedsiębiorstwa nr 1

dla wszystkich pozostałych przedsiębiorstw

Rozwiązanie zgodnie z relacjami powtarzalności przeprowadzimy w czterech etapach.

1. etap. Inwestycje realizujemy tylko dla pierwszego przedsiębiorstwa. Następnie

Drugi etap. Przydzielamy inwestycje do pierwszego i drugiego przedsiębiorstwa. Relacja powtarzalności dla drugiego etapu ma postać

przy x = 20 f2(20) = maks. (8 + 0,0 + 10) = maks. (8, 10) = 10,

przy x = 40 f2(40) = maks. (16,8 + 10,20) = maks. (16, 18, 20) =20,

przy x = 60 f2(60) = maks. (25,16 + 10, 8 + 20,28) = maks. (25,26, 28,28) = 28,

przy x = 80 f2(80) = maks. (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = maks. (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

przy x = 100 f2(100) = maks. (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = maks. (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

przy x = 120 f2(120) = maks. (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) ​​= maks. (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

Trzeci etap. Finansujemy II etap i III przedsięwzięcie. Obliczenia przeprowadzamy za pomocą wzoru

przy x = 20 f3(20) = max(10, 12) = 12,

przy x = 40 f3(40) = maks. (20,10 + 12,21) = maks. (20, 22, 21) = 22,

przy x = 60 f3(60) = maks. (28,20 + 12,10 + 21,27) = maks. (28, 32, 31, 27) = 32,

przy x = 80 f3(80) = maks. (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = maks. (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

przy x = 100 f3(100) = maks. (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = maks. (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

przy x = 120 f3(120) = maks. (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = maks. (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4. etap. Inwestycje na kwotę 120 milionów rubli. rozdzielone pomiędzy przedsiębiorstwo III i IV.

Przy x = 120 f4(120) = maks. (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = maks. (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Uzyskuje się warunki kontrolne od I do IV etapu. Wróćmy z etapu 4. do etapu 1. Maksymalny wzrost produkcji produktu wynosi 64 miliony rubli. uzyskano na etapie IV jako 41 + 23, tj. 23 miliony rubli. odpowiadają alokacji 40 milionów rubli. czwarte przedsiębiorstwo (patrz tabela 29.3). Według trzeciego etapu 41 milionów rubli. otrzymane jako 20 + 21, tj. 21 milionów rubli. odpowiada dedykowanej alokacji w wysokości 40 milionów rubli. do trzeciej firmy. Według etapu 2, 20 milionów rubli. otrzymany z alokacją 40 milionów rubli. do drugiego przedsiębiorstwa.

Zatem inwestycje w wysokości 120 milionów rubli. Wskazane jest przeznaczenie po 40 milionów rubli na drugie, trzecie i czwarte przedsiębiorstwo. każdy, natomiast wzrost produkcji będzie maksymalny i wyniesie 64 miliony rubli.

Minimalizacja kosztów budowy i funkcjonowania przedsiębiorstw

Problem z optymalnym umiejscowieniem przedsiębiorstw produkcyjnych można sprowadzić do problemu alokacji zasobów według kryterium minimalizacji, z uwzględnieniem warunków całkowitych nałożonych na zmienne.

Niech istnieje zapotrzebowanie na produkt na określonym terytorium. Znane są punkty, w których można budować przedsiębiorstwa produkujące ten produkt. Obliczono koszty budowy i funkcjonowania takich przedsiębiorstw.

Należy tak lokalizować przedsiębiorstwa, aby koszty ich budowy i eksploatacji były minimalne.

Wprowadźmy następującą notację:

x to ilość rozproszonego zasobu, który można wykorzystać na n różnych sposobów,

xi - ilość zasobu zużytego zgodnie z metodą i (i = );

gi(xi) jest funkcją kosztu równą np. wartości kosztów produkcji przy wykorzystaniu zasobu xi metodą i;

φk(x) - najniższy koszt, które należy wyprodukować, korzystając z zasobu x na k pierwszych sposobów.

Konieczne jest minimalizowanie całkowitego kosztu rozwoju zasobu x na wszystkie sposoby:

pod ograniczeniami

Znaczenie ekonomiczne zmiennych xi polega na znalezieniu liczby przedsiębiorstw rekomendowanych do budowy w i-tym punkcie. Dla wygody obliczeń założymy, że planowana jest budowa przedsiębiorstw o ​​tej samej mocy.

Rozważmy specyficzny problem lokalizacji przedsiębiorstw.

Przykład. W trzech dzielnicach miasta przedsiębiorca planuje wybudować pięć przedsiębiorstw o ​​jednakowej mocy produkcyjnej, które będą wytwarzały poszukiwane produkty piekarnicze.

Należy tak lokalizować przedsiębiorstwa, aby zapewnić minimalne koszty całkowite ich budowy i funkcjonowania. Wartości funkcji kosztu gi(x) podano w tabeli.

W w tym przykładzie gi(x) to funkcja wydatków w milionach rubli, charakteryzująca wysokość kosztów budowy i eksploatacji w zależności od liczby przedsiębiorstw zlokalizowanych w i-tym regionie;

φk(x) to najmniejsza kwota kosztów w milionach rubli, które należy ponieść podczas budowy i funkcjonowania przedsiębiorstw w pierwszych k regionach.

Rozwiązanie. Problem rozwiązujemy korzystając z relacji rekurencji: dla pierwszego regionu

dla innych obszarów

Rozwiążemy problem w trzech etapach.

1. etap. Jeśli wszystkie przedsiębiorstwa zostaną zbudowane tylko w pierwszej dzielnicy, to

minimalne możliwe koszty przy x = 5 wynoszą 76 milionów rubli.

Drugi etap. Wyznaczmy optymalną strategię lokowania przedsiębiorstw jedynie w dwóch pierwszych regionach korzystając ze wzoru

Znajdźmy φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

Obliczmy φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.

Znajdźmy φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.

Zdefiniujmy φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Obliczmy φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

Trzeci etap. Wyznaczmy optymalną strategię lokalizacji pięciu przedsiębiorstw w trzech powiatach, korzystając ze wzoru

φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).

Znajdźmy φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

Minimalne możliwe koszty przy x = 5 wynoszą 46 milionów rubli.

Określono koszty budowy przedsiębiorstw od I do III etapu. Wróćmy do etapu 1 trzeciego. Minimalne koszty za 46 milionów rubli. na trzecim etapie otrzymuje się jako 9 + 37, tj. 9 milionów rubli. odpowiadają budowie jednego przedsiębiorstwa w regionie trzecim (patrz tabela 29.4). Według drugiego etapu 37 milionów rubli. otrzymane jako 19 + 18, tj. 19 milionów rubli. odpowiadają budowie dwóch przedsiębiorstw w drugim regionie. Według pierwszego etapu 18 milionów rubli. odpowiadają budowie dwóch przedsiębiorstw w pierwszym regionie.

Odpowiedź. Optymalna strategia zakłada budowę jednego przedsiębiorstwa w regionie trzecim, po dwa przedsiębiorstwa w regionie drugim i pierwszym, przy czym minimalny koszt budowy i eksploatacji wyniesie 46 den. jednostki

Znalezienie kosztów racjonalnych w budowie rurociągów i arterii transportowych

Wymagane jest ułożenie ścieżki (rurociągu, autostrady) pomiędzy dwoma punktami A i B w taki sposób, aby całkowite koszty jej budowy były minimalne.

Rozwiązanie. Podzielmy odległość pomiędzy punktami A i B na kroki (odcinki). Na każdym kroku możemy poruszać się albo na wschód (wzdłuż osi X), albo na północ (wzdłuż osi Y). Następnie ścieżka od A do B przedstawia schodkową linię przerywaną, której odcinki są równoległe do jednej z osi współrzędnych. Koszty budowy każdej sekcji są znane (ryc. 29.2) w milionach rubli.

Podzielmy odległość od A do B w kierunku wschodnim na 4 części, na północy – na 3 części. Ścieżkę można uznać za układ sterowany, poruszający się pod wpływem sterowania ze stanu początkowego A do stanu końcowego B. Stan tego układu przed rozpoczęciem każdego etapu będzie scharakteryzowany przez dwie współrzędne całkowite x i y. Dla każdego stanu układu (punkt węzłowy) znajdujemy warunkową optymalną kontrolę. Jest tak dobrany, aby koszt wszystkich pozostałych kroków do końca procesu był minimalny. Procedurę optymalizacji warunkowej realizujemy w odwrotnym kierunku, tj. z punktu B do punktu A.

Znajdźmy optymalizację warunkową ostatniego kroku.

Programowanie dynamiczne. Problem z wymianą sprzętu

Znajdź optymalny moment na wymianę sprzętu. Początkowy koszt wyposażenia q 0 =6000 konwencjonalnego. jednostki, wartość likwidacyjna L(t)=q 0 2 -i, koszt utrzymania sprzętu wiekowego i lat przez 1 rok S(t)=0,1q 0 (t+1), żywotność sprzętu wynosi 5 lat. Po zakończeniu okresu użytkowania sprzęt zostaje sprzedany. Rozwiąż problem graficznie.

Aby zbudować wykres w programie Wolfram Mathematica 6.0, wpisz

g = Wykres[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

W rezultacie otrzymujemy wykres:

Z wykresu to widzimy optymalny czas wymiana sprzętu to drugi rok jego funkcjonowania.

Programowanie dynamiczne. Optymalna dystrybucja środków pomiędzy przedsiębiorstwami

Znajdź optymalny rozkład środków w ilości 9 jednostek konwencjonalnych. jednostki pomiędzy czterema firmami. Zysk każdego przedsiębiorstwa jest funkcją zainwestowanych w nie środków i przedstawia go tabela:

Inwestycje
ja przedsiębiorstwo
II przedsiębiorstwo
Przedsiębiorstwo III
Przedsiębiorstwo IV

Inwestycje w każdym przedsiębiorstwie są wielokrotnością 1 jednostki konwencjonalnej. jednostki

Podzielmy proces przyznawania środków przedsiębiorstwom na 4 etapy: w pierwszym etapie przyznawane jest y 1 środki przedsiębiorstwu P 1, w drugim – y 2 środki przedsiębiorstwu P 2, w trzecim – y 3 środki przedsiębiorstwu P 3, w czwartej trzeciej - 4 środki dla przedsiębiorstwa P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Należy zwrócić uwagę, że na czwartym etapie alokacji środków całe saldo x 3 inwestowane jest w przedsiębiorstwo P 4, zatem y 3 = x 4.

Użyjmy równań Bellmana dla N = 4.

W rezultacie otrzymujemy następujące tabele:

Tabela 1

Tabela 2

Tabela 3

Tabela 4

Z tabeli 4 wynika, że ​​optymalna kontrola będzie wynosić y 1 * = 3, natomiast optymalny zysk wynosi 42. Następnie otrzymujemy

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Zatem najbardziej optymalną inwestycją są przedsiębiorstwa P1, P2, P3 i P4 Pieniądze w ilości odpowiednio 4, 1,1 i 3 jednostek konwencjonalnych. W tym przypadku zysk będzie maksymalny i wyniesie 42 jednostki konwencjonalne. jednostki

Podczas pracy sprzęt ulega fizycznemu i moralnemu zużyciu. Istnieją dwa sposoby przywrócenia sprzętu - całkowite i częściowe. W przypadku całkowitej renowacji sprzęt zostaje wymieniony na nowy, w przypadku częściowej renowacji sprzęt zostaje naprawiony. Aby optymalnie wykorzystać sprzęt, należy określić wiek, w którym należy go wymienić, aby dochód z maszyny był maksymalny lub, jeśli nie można obliczyć dochodu, koszty napraw i konserwacji były minimalne. Podejście to rozpatrywane jest z punktu widzenia interesów ekonomicznych konsumenta.

Aby zoptymalizować naprawę i wymianę sprzętu, konieczne jest opracowanie strategii wymiany maszyn na okres planowania. Ze względu na interesy ekonomiczne można zastosować jedno z dwóch podejść:

1. Maksymalny dochód z samochodu w określonym czasie.

2. Minimalne koszty napraw i konserwacji, jeżeli nie można obliczyć dochodu.

Problem ten rozwiązuje się za pomocą metody Programowanie dynamiczne. Główną ideą tej metody jest zastąpienie jednoczesnej selekcji więcej parametrów, wybierając je jeden po drugim. Metoda ta może rozwiązać wiele różnych problemów optymalizacyjnych. Jedną z zalet tej metody jest ogólność podejścia do rozwiązywania szerokiej gamy problemów.

Rozważmy mechanizm optymalizacji naprawy i wymiany sprzętu. Aby rozwiązać problem, wprowadzamy następującą notację:

t to wiek sprzętu;

d(t) - roczny dochód netto ze sprzętu w wieku t;

U(t) – koszty napraw i konserwacji maszyny w wieku t;

C to cena nowego sprzętu.

Aby rozwiązać ten problem, wprowadzamy funkcję fn(t), która pokazuje wartość maksymalnego dochodu w ciągu ostatnich n - lat, pod warunkiem, że na początku okresu n - lat mieliśmy samochód w wieku t - lat.

Algorytm rozwiązania problemu jest następujący:

1) f1(t) = maks. d(0) - C

) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)

fn-1(1) + d(0) - C

Wzrost kosztów spowoduje zmniejszenie zysku netto, który oblicza się w następujący sposób:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - roczny dochód ze sprzętu w wieku t;

u(t) - roczne koszty napraw i konserwacji

wiek sprzętu t.

Podejście maksymalizacji przychodów

Aby rozwiązać ten problem wprowadzamy funkcję fn(t), która pokazuje wartość maksymalnego dochodu w ciągu ostatnich n-lat, pod warunkiem, że na początku okresu n-lat mieliśmy sprzęt w wieku t-lat.

Jeżeli do końca okresu pozostał 1 rok

Jeżeli do końca okresu pozostało n lat

(t) = maks

gdzie t to wiek sprzętu;

d (t) - roczny dochód netto ze sprzętu w wieku t;

C to cena nowego sprzętu.

Wzrost kosztów spowoduje zmniejszenie zysku netto, który oblicza się w następujący sposób:

(t) = r(t) - u(t)

gdzie r (t) jest rocznym dochodem ze sprzętu w wieku t;

u(t) - roczne koszty napraw i potrzeb eksploatacyjnych sprzętu w wieku t.

Obliczmy dochód netto korzystając ze wzoru, znając dynamikę przychodów i wzrost kosztów napraw.

Tabela 2. Przychody netto ze sprzętu według roku

Ta usługa jest przeznaczona dla Internetu rozwiązanie problemu optymalnej strategii modernizacji sprzętu. Zazwyczaj w danych źródłowych określone są następujące parametry:

• r(t) to koszt produktów wytworzonych w każdym roku okresu planowania przy użyciu tego sprzętu;
• u(t) - roczne koszty związane z eksploatacją sprzętu;
• s(t) - wartość rezydualna wyposażenia;
• p to koszt nowego sprzętu, który obejmuje koszty związane z instalacją, uruchomieniem i uruchomieniem sprzętu i nie ulega zmianie w danym okresie planistycznym.

Jeśli koszt sprzętu nie zostanie określony, problem funkcji kosztu i odtworzenia zostanie rozwiązany (problem planowania inwestycji kapitałowych).

Planowanie inwestycji kapitałowych.

Przykład nr 1. Znajdź optymalną strategię eksploatacji sprzętu przez okres 6 lat, jeśli w tabeli podano roczny dochód r(t) i wartość rezydualną S(t) w zależności od wieku, koszt nowego sprzętu wynosi P = 13, a wiek sprzętu na początku okresu eksploatacji wynosił 1 rok.

T	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

Rozwiązanie.
Etap I. Optymalizacja warunkowa(k = 6,5,4,3,2,1).
Zmienna sterująca włączona k-ty krok jest zmienną logiczną, która może przyjmować jedną z dwóch wartości: zachować (C) lub wymienić (R) sprzęt na początku k-tego roku.
Krok 1: k = 6. Dla kroku 1 możliwe stany układu to t = 1,2,3,4,5,6, a równania funkcyjne mają postać:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = maks. (7 ; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = maks. (7 ; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = maks. (6 ; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = maks. (6 ; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = maks. (5 ; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = maks. (5 ; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
Krok 2: k = 5. Dla kroku 2 możliwe stany układu to t = 1,2,3,4,5, a równania funkcyjne mają postać:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = maks. (7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = maks. (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = maks. (6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = maks. (6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = maks. (5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
Krok 3: k = 4. Dla kroku 3 możliwe stany układu to t = 1,2,3,4, a równania funkcyjne mają postać:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = maks. (7 + 13 ; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = maks. (7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = maks. (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
Krok 4: k = 3. Dla kroku 4 możliwe stany układu to t = 1,2,3, a równania funkcyjne mają postać:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = maks. (7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = maks. (7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = maks. (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = maks. (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = maks. (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
Krok 5: k = 2. Dla kroku 5 możliwe stany układu wynoszą t = 1,2, a równania funkcyjne mają postać:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = maks. (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = maks. (7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = maks. (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = maks. (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = maks. (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. krok: k = 1. Dla 6. kroku możliwe stany układu wynoszą t = 1, a równania funkcyjne mają postać:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = maks. (7 + 30 ; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = maks. (7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = maks. (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = maks. (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = maks. (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = maks. (5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Wyniki obliczeń z wykorzystaniem równań Bellmana F k (t) podano w tabeli, w której k jest rokiem eksploatacji, a t jest wiekiem urządzenia.
Tabela – Macierz Maksymalnego Zysku

k/t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

W tabeli zaznaczono wartość funkcji odpowiadającej stanowi (3) – wymiana sprzętu.
Rozwiązując ten problem w niektórych tabelach, oceniając wybór wymagana kontrola uzyskaliśmy te same wartości F dla obu opcji sterowania. W takim przypadku, zgodnie z algorytmem rozwiązywania takich problemów, należy wybrać kontrolę konserwacji sprzętu.
Etap II. Bezwarunkowa optymalizacja(k = 6,5,4,3,2,1).
Zgodnie z warunkami problemu wiek sprzętu wynosi t 1 = 1 rok. Planowany okres N=6 lat.
Na początku pierwszego roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Zysk wyniesie F 1 (1) = 37.
Optymalna kontrola dla k = 1, x 1 (1) = (C), tj. maksymalny dochód za lata od 1 do 6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
Na początku drugiego roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Zysk wyniesie F 2 (2) = 30.
Optymalna kontrola dla k = 2, x 2 (2) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 2–6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
Na początku trzeciego roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Zysk wyniesie F 3 (3) = 23.
Bezwarunkowe sterowanie optymalne dla k = 3, x 3 (3)=(3), tj. Aby uzyskać maksymalny zysk na pozostałe lata, konieczna jest wymiana sprzętu w tym roku.
Na początku 4. roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Zysk wyniesie F 4 (1) = 20.
Optymalna kontrola dla k = 4, x 4 (1) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 1–6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
Na początku 5. roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Zysk wyniesie F 5 (2) = 13.
Optymalna kontrola dla k = 5, x 5 (2) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 2–6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
Na początku 6. roku eksploatacji wiek sprzętu wzrośnie o jeden i wyniesie: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Zysk wyniesie F 6 (3) = 6.
Optymalna kontrola dla k = 6, x 6 (3) = (C), tj. maksymalny dochód za lata 3–6 osiąga się, jeśli sprzęt zostanie zachowany, tj. nie zastąpiony.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (3)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Zatem po 6 latach eksploatacji sprzętu wymianę należy przeprowadzić na początku 3 roku eksploatacji

Przykład nr 2. Problem planowania inwestycji kapitałowych. Przedział planowania T=5 lat. Funkcja kosztu napraw i dalszej eksploatacji K(t)=t+2t 2 (r.); funkcja zastępcza P(t)=10+0,05t 2 (p.). Określ optymalną strategię wymiany i naprawy sprzętu nowego (t=0) oraz sprzętu starszego t=1, t=2, t=3.
Określ optymalne koszty planowane na lata planu pięcioletniego, jeżeli ilość sprzętu w podziale na grupy wiekowe jest następująca: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5