Таамаглал:Пирамидын хэлбэр төгс төгөлдөр болсон нь түүний хэлбэрт байдаг математикийн хуулиудтай холбоотой гэж бид үздэг.
Зорилтот:Пирамидыг геометрийн бие гэж судалсны дараа түүний хэлбэрийн төгс байдлыг тайлбарла.
Даалгаварууд:
1. Пирамидын математик тодорхойлолтыг өг.
2. Пирамидыг геометрийн биет байдлаар судал.
3. Египетчүүд ямар математикийн мэдлэгийг пирамиддаа шингээж байсныг ойлго.
Хувийн асуултууд:
1. Геометрийн биетийн хувьд пирамид гэж юу вэ?
2. Пирамидын өвөрмөц хэлбэрийг математикийн үүднээс хэрхэн тайлбарлах вэ?
3. Пирамидын геометрийн гайхамшгийг юу гэж тайлбарладаг вэ?
4. Пирамид хэлбэрийн төгс төгөлдөр байдлыг юу тайлбарладаг вэ?
Пирамидын тодорхойлолт.
ПИРАМИД (Грекийн пирамид, ген. пирамидос) - суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь нийтлэг оройтой гурвалжин (зураг) бүхий олон өнцөгт юм. Суурийн булангийн тоогоор пирамидуудыг гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт ангилдаг.
ПИРАМИД - пирамид геометрийн хэлбэртэй (заримдаа шаталсан эсвэл цамхаг хэлбэртэй) дурсгалт байгууламж. МЭӨ 3-2-р мянганы эртний Египетийн фараонуудын аварга булшнуудыг пирамид гэж нэрлэдэг. e., түүнчлэн эртний Америкийн сүм хийдийн суурин (Мексик, Гватемал, Гондурас, Перу) сансар судлалын шашин шүтлэгтэй холбоотой.
"Пирамид" гэсэн грек үг нь Египетийн per-em-us гэсэн үгнээс, өөрөөр хэлбэл пирамидын өндөр гэсэн үгнээс гаралтай байж магадгүй юм. Оросын нэрт египет судлаач В.Струве Грекийн “пурам...ж” нь эртний Египетийн “p”-mr”-аас гаралтай гэж үздэг.
Түүхээс. Атанасяны зохиолчдын "Геометр" сурах бичгийн материалыг судалж үзэв. Бутузов болон бусад хүмүүсээс бид мэдэж авсан: n-gon A1A2A3 ... An ба n гурвалжин PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1-ээс бүрдсэн олон өнцөгтийг пирамид гэж нэрлэдэг. Олон өнцөгт A1A2A3...An нь пирамидын суурь, гурвалжин PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 нь пирамидын хажуу талууд, P нь пирамидын дээд хэсэг, PA1, PA2,..., PAn сегментүүд юм. хажуугийн ирмэгүүд юм.
Гэсэн хэдий ч пирамидын ийм тодорхойлолт үргэлж байдаггүй. Жишээлбэл, эртний Грекийн математикч, математикийн тухай онолын зохиолуудын зохиогч Евклид пирамидыг нэг хавтгайгаас нэг цэгт нийлдэг хавтгайгаар хязгаарлагдсан хатуу дүрс гэж тодорхойлсон байдаг.
Гэхдээ энэ тодорхойлолтыг эрт дээр үеэс шүүмжилж байсан. Тиймээс Херон пирамидын тухай дараах тодорхойлолтыг санал болгов: "Энэ нь нэг цэгт нийлдэг гурвалжингаар хүрээлэгдсэн дүрс бөгөөд суурь нь олон өнцөгт юм."
Манай бүлэг эдгээр тодорхойлолтыг харьцуулж үзээд "суурь" гэсэн ойлголтын тодорхой томъёолол байхгүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Бид эдгээр тодорхойлолтуудыг судалж үзээд 1794 онд "Геометрийн элементүүд" бүтээлдээ пирамидыг дараах байдлаар тодорхойлсон Адриен Мари Лежендрегийн тодорхойлолтыг олсон: "Пирамид нь нэг цэгт нийлж, өөр өөр талуудаар төгсдөг гурвалжнуудаас үүссэн цул дүрс юм. хавтгай суурь."
Сүүлчийн тодорхойлолт нь пирамидын талаар тодорхой ойлголт өгч байгаа юм шиг санагдаж байна, учир нь суурь нь хавтгай гэсэн үг юм. 19-р зууны сурах бичигт пирамидын өөр нэг тодорхойлолт гарч ирэв: "Пирамид бол хавтгай огтлолцсон хатуу өнцөг юм."
Пирамид бол геометрийн бие юм.
Тэр. Пирамид нь олон өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд тэдгээрийн нэг нь (суурь) нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүрүүд (талууд) нь нэг нийтлэг оройтой (пирамидын орой) гурвалжин юм.
Пирамидын оройгоос суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр гэж нэрлэдэг өндөрhпирамидууд.
Дурын пирамидаас гадна байдаг зөв пирамидсуурь нь ердийн олон өнцөгт ба таслагдсан пирамид.
Зураг дээр PABCD пирамид, ABCD нь түүний суурь, PO нь өндөр юм.
Нийт гадаргуугийн талбай Пирамидын хэмжээ нь түүний бүх нүүрний талбайн нийлбэр юм.
Sfull = Sside + Smain,Хаана Хажуу тал– хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэр.
Пирамидын эзэлхүүн томъёогоор олно:
V=1/3Sbas. h, хаана Sbas. - суурь талбай, h- өндөр.
 |
|
Apothem ST нь ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр юм.
Ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний талбайг дараах байдлаар илэрхийлнэ: хажуу тал. =1/2P h, энд P нь суурийн периметр, h- хажуугийн нүүрний өндөр (ердийн пирамидын нэр томъёо). Хэрэв пирамид нь суурьтай параллель A'B'C'D' хавтгайтай огтлолцвол:
1) хажуугийн хавирга ба өндрийг энэ хавтгайгаар пропорциональ хэсгүүдэд хуваана;
2) хөндлөн огтлолд суурьтай төстэй A'B'C'D' олон өнцөгтийг авсан;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" өргөн "287" өндөр "151">
Таслагдсан пирамидын суурь– ижил төстэй олон өнцөгт ABCD ба A`B`C`D`, хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
Өндөртаслагдсан пирамид - суурийн хоорондох зай.
Тасалсан хэмжээпирамидыг дараах томъёогоор олно.
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="зүүн" өргөн="91" өндөр="96"> Энгийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ: Sside = ½(P+P'). h, энд P ба P’ нь суурийн периметр, h- хажуугийн нүүрний өндөр (энгийн тайрсан пирамигийн үг
Пирамидын хэсгүүд.
Пирамидын оройг нь дайран өнгөрөх онгоцнуудын хэсгүүд нь гурвалжин юм.
Пирамидын хоёр зэргэлдээгүй хажуугийн ирмэгийг дайран өнгөрөх хэсгийг гэнэ диагональ хэсэг.
Хэрэв хэсэг нь суурийн хажуу ба хажуугийн цэгийг дайран өнгөрвөл пирамидын суурийн хавтгайд хүрэх мөр нь энэ тал байх болно.
Пирамидын нүүрэн дээр байрлах цэгийг дайран өнгөрч буй хэсэг ба суурийн хавтгай дээрх өгөгдсөн хэсгийн ул мөр, дараа нь угсралтын ажлыг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ.
· өгөгдсөн нүүрний хавтгайн огтлолцох цэг ба пирамидын огтлолын ул мөрийг олж, түүнийг тодорхойлох;
· өгөгдсөн цэг болон үүссэн огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугам барих;
· Дараагийн нүүрэнд эдгээр алхмуудыг давт.
, энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн харьцаа 4:3-тай тохирч байна. Хөлний энэ харьцаа нь "төгс", "ариун" эсвэл "Египетийн" гурвалжин гэж нэрлэгддэг 3: 4: 5 талтай тэгш өнцөгт гурвалжинтай тохирч байна. Түүхчдийн үзэж байгаагаар "Египет" гурвалжин нь ид шидийн утгыг өгсөн. Египетчүүд орчлон ертөнцийн мөн чанарыг “ариун” гурвалжинтай зүйрлэсэн гэж Плутарх бичсэн; Тэд босоо хөлийг нөхөртэй, суурийг эхнэртэй, гипотенузыг хоёуланг нь төрүүлсэнтэй адилтган дүрсэлсэн.
3:4:5 гурвалжны хувьд тэгш байдал нь үнэн: 32 + 42 = 52, энэ нь Пифагорын теоремыг илэрхийлдэг. Египетийн тахилч нар 3:4:5 гурвалжин дээр тулгуурлан пирамид барихдаа энэ теоремыг мөнхжүүлэхийг хүссэн биш гэж үү? Пифагорын теоремыг Пифагор нээхээс өмнө Египетчүүдэд мэддэг байсан Пифагорын теоремыг харуулах илүү амжилттай жишээ олоход хэцүү байдаг.
Ийнхүү Египетийн пирамидуудыг бүтээсэн гайхалтай бүтээгчид алс холын хойч үеийнхэнийг мэдлэгийн гүнд нь гайхшруулахыг эрэлхийлж, "алтан" тэгш өнцөгт гурвалжинг Хеопс пирамидын "гол геометрийн санаа", "ариун" гэж сонгосноор амжилтанд хүрсэн. эсвэл Хафрийн гурвалжинд зориулсан "Египет".
Эрдэмтэд судалгаандаа Алтан харьцаатай пирамидын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг.
Математик нэвтэрхий толь бичигт Алтан хэсгийн дараах тодорхойлолтыг өгдөг - энэ бол гармоник хуваагдал, туйлын ба дундаж харьцаагаар хуваагдах - AB сегментийг хоёр хэсэгт хувааснаар түүний том хэсэг нь AC нь бүх сегментийн хоорондох дундаж пропорциональ байна. AB ба түүний жижиг хэсэг нь NE.
Сегментийн алтан хэсгийг алгебрийн аргаар тодорхойлох AB = a a: x = x: (a – x) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд бууруулна, үүнээс x нь ойролцоогоор 0.62a-тай тэнцүү байна. x харьцааг 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0.618 бутархайгаар илэрхийлж болох ба энд 2, 3, 5, 8, 13, 21 нь Фибоначчийн тоонууд юм.
АВ сегментийн Алтан огтлолын геометрийн бүтцийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: В цэг дээр AB-д перпендикуляр сэргээгдэж, BE = 1/2 AB сегментийг байрлуулж, A ба E холбосон, DE = BE-г халж, эцэст нь AC = AD, дараа нь AB тэгш байдал хангагдана: CB = 2:3.
Алтан харьцаа нь ихэвчлэн урлаг, архитектурын бүтээлүүдэд ашиглагддаг бөгөөд байгальд байдаг. Үүний тод жишээ бол Аполло Белведер ба Парфеноны баримал юм. Парфеноныг барих явцад барилгын өндрийг урттай харьцуулсан харьцааг ашигласан бөгөөд энэ харьцаа 0.618 байна. Бидний эргэн тойрон дахь объектууд Алтан харьцааны жишээг өгдөг, жишээлбэл, олон номын хавтаснууд нь 0.618-тай ойролцоо өргөн, уртын харьцаатай байдаг. Ургамлын нийтлэг ишний навчны байршлыг харгалзан үзвэл хоёр хос навч тутамд гурав дахь нь Алтан харьцаа (слайд) дээр байрладаг болохыг анзаарч болно. Бидний хүн нэг бүр Алтан харьцааг "гартаа" авч явдаг - энэ бол хурууны фалангуудын харьцаа юм.
Хэд хэдэн математикийн папирус олсны ачаар египет судлаачид эртний Египетийн тооцоо, хэмжилтийн системийн талаар ямар нэг зүйлийг олж мэдсэн. Тэдэнд агуулагдах даалгавруудыг бичээч нар шийддэг байв. Хамгийн алдартай нь Райндын математикийн папирус юм. Эдгээр асуудлуудыг судалснаар египет судлаачид эртний египетчүүд жин, урт, эзэлхүүний хэмжигдэхүүнийг тооцоолохдоо олон янзын хэмжигдэхүүнүүдтэй хэрхэн харьцдаг, үүнд ихэвчлэн бутархай хэсгүүд оролцдог, мөн өнцгийг хэрхэн зохицуулдаг болохыг олж мэдсэн.
Эртний египетчүүд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр ба суурийн харьцаанд үндэслэн өнцгийг тооцоолох аргыг ашигладаг байжээ. Тэд ямар ч өнцгийг градиент хэлээр илэрхийлсэн. Налуугийн налууг "seced" гэж нэрлэдэг бүхэл тооны харьцаагаар илэрхийлэв. Ричард Пиллинз “Фараонуудын эрин үеийн математик” номдоо: “Ердийн пирамидын секед нь дөрвөн гурвалжин нүүрний аль нэгнийх нь суурийн хавтгайд налуу өнцгийг босоо нэгжид ногдох хэвтээ нэгжийн n-р тоогоор хэмждэг. . Тиймээс энэ хэмжилтийн нэгж нь налуу өнцгийн орчин үеийн котангенстай тэнцүү юм. Тиймээс египет хэлний “секед” гэдэг нь манай орчин үеийн “градиент” гэдэг үгтэй холбоотой.
Пирамидын тоон түлхүүр нь тэдний өндрийг суурьтай харьцуулсан харьцаанд оршдог. Практикийн хувьд энэ нь пирамид барих явцад налуугийн зөв өнцгийг байнга шалгаж байх шаардлагатай загваруудыг гаргах хамгийн хялбар арга юм.
Египет судлаачид фараон бүр өөрийн хувийн шинж чанарыг илэрхийлэхийг хүсдэг тул пирамид бүрийн хазайлтын өнцгийн ялгааг илэрхийлэхийг хүсдэг гэдэгт итгүүлэхэд таатай байх болно. Гэхдээ өөр шалтгаан байж болно. Магадгүй тэд бүгд өөр өөр харьцаагаар нуугдаж, өөр өөр бэлгэдлийн холбоог нэгтгэхийг хүссэн байх. Гэсэн хэдий ч Khafre-ийн пирамидын өнцөг (гурвалжин (3:4:5) дээр үндэслэсэн) нь Ринд математикийн папирус дахь пирамидын танилцуулсан гурван бодлогод харагдана. Тиймээс энэ хандлагыг эртний египетчүүд сайн мэддэг байсан.
Эртний египетчүүд 3:4:5 гурвалжны талаар мэддэггүй байсан гэж үздэг египет судлаачдад шударга байхын тулд гипотенуз 5-ын уртыг огт дурдаагүй. Гэхдээ пирамидуудтай холбоотой математикийн асуудлыг үргэлж седа өнцөг буюу өндөр ба суурийн харьцаагаар шийддэг. Гипотенузын уртыг хэзээ ч дурдаагүй тул египетчүүд гурав дахь талын уртыг хэзээ ч тооцоогүй гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн.
Гизагийн пирамидуудад ашигласан өндрийн суурийн харьцааг эртний Египетчүүд мэддэг байсан нь дамжиггүй. Пирамид бүрийн хувьд эдгээр харилцааг дур зоргоороо сонгосон байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь Египетийн дүрслэх урлагийн бүх төрөлд тооны бэлгэдлийн ач холбогдлыг зөрчиж байна. Шашны тодорхой санааг илэрхийлсэн учраас ийм харилцаа чухал байсан байх. Өөрөөр хэлбэл, Гизагийн цогцолбор бүхэлдээ тодорхой бурханлаг сэдвийг тусгах зорилготой уялдаа холбоотой загварт захирагдаж байв. Энэ нь дизайнерууд яагаад гурван пирамидын өөр өнцгийг сонгосон болохыг тайлбарлах болно.
"Орионы нууц" номонд Баувал, Гилберт нар Гизагийн пирамидуудыг Орион одны, ялангуяа Орионы бүсний ододтой холбосон итгэл үнэмшилтэй нотолгоог үзүүлсэн бөгөөд Исис, Осирисын домогт ч мөн адил од байдаг Пирамид бүр нь Осирис, Исис, Хорус гэсэн гурван гол бурхдын нэгний төлөөлөл юм.
"ГЕОМЕТРИЙН" ГАЙХАМШИГ.
Египетийн агуу пирамидуудын дунд энэ нь онцгой байр суурь эзэлдэг Фараон Хеопсийн агуу пирамид (Хуфу). Бид Cheops пирамидын хэлбэр, хэмжээг шинжилж эхлэхээсээ өмнө египетчүүд ямар хэмжүүр ашигладаг байсныг санах хэрэгтэй. Египетчүүд уртын гурван нэгжтэй байсан: "тохой" (466 мм) нь долоон "алга" (66.5 мм) -тэй тэнцэх бөгөөд энэ нь эргээд дөрвөн "хуруу" (16.6 мм) -тэй тэнцүү байв.
Украины эрдэмтэн Николай Васютинскийн "Алтан хувь" (1990) хэмээх гайхалтай номонд өгөгдсөн аргументуудын дагуу Cheops пирамидын хэмжээсийг шинжлэн үзье (Зураг 2).
Ихэнх судлаачид пирамидын суурийн хажуугийн уртыг жишээ нь: Г.Фтэнцүү Л= 233.16 м Энэ утга нь бараг 500 "тохой"-той тохирч байна. Хэрэв "тохой" уртыг 0.4663 м-тэй тэнцүү гэж үзвэл 500 "тохой" -ыг бүрэн дагаж мөрдөх болно.
Пирамидын өндөр ( Х) нь 146.6-аас 148.2 м-ийн хооронд янз бүрээр үнэлэгддэг бөгөөд пирамидын хүлээн зөвшөөрөгдсөн өндрөөс хамааран түүний геометрийн элементүүдийн бүх хамаарал өөрчлөгддөг. Пирамидын өндрийн тооцооны зөрүүгийн шалтгаан юу вэ? Үнэнийг хэлэхэд, Cheops пирамид нь таслагдсан байдаг. Өнөөдөр түүний дээд тавцан нь ойролцоогоор 10´ 10 м, гэхдээ зуун жилийн өмнө энэ нь 6´ 6 м байсан нь мэдээжийн хэрэг пирамидын дээд хэсгийг задалсан бөгөөд энэ нь анхныхтай тохирохгүй байна.
Пирамидын өндрийг үнэлэхдээ бүтцийн "ноорог" гэх мэт физик хүчин зүйлийг харгалзан үзэх шаардлагатай. Удаан хугацааны туршид асар их даралтын нөлөөн дор (доод гадаргуугийн 1 м2 тутамд 500 тонн хүрдэг) пирамидын өндөр нь анхны өндрөөсөө багассан.
Пирамидын анхны өндөр хэд байсан бэ? Пирамидын үндсэн "геометрийн санаа" -ыг олох замаар энэ өндрийг дахин бүтээж болно.
Зураг 2.
1837 онд Английн хурандаа Г.Уайз пирамидын нүүрний налуу өнцгийг хэмжсэн: энэ нь тэнцүү болж хувирав. а= 51°51". Энэ утгыг ихэнх судлаачид өнөөг хүртэл хүлээн зөвшөөрсөөр байна. Заасан өнцгийн утга нь шүргэгчтэй (tg) тохирч байна. а), 1.27306-тай тэнцүү. Энэ утга нь пирамидын өндрийн харьцаатай тохирч байна АСсуурийн хагас хүртэл C.B.(Зураг 2), өөрөөр хэлбэл А.С. / C.B. = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.
Энд судлаачдыг том гайхшрал хүлээж байна!.png" width="25" height="24">= 1.272. Энэ утгыг tg утгатай харьцуулах нь а= 1.27306, эдгээр утгууд хоорондоо маш ойрхон байгааг бид харж байна. Хэрэв бид өнцгийг авбал а= 51°50", өөрөөр хэлбэл үүнийг зөвхөн нэг нуман минутаар, дараа нь утгыг бууруулна а 1.272-той тэнцэх болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь утгатай давхцах болно. 1840 онд Г.Уайз хэмжилтээ давтан хийж, өнцгийн утгыг тодруулсныг дурдах хэрэгтэй. а=51°50".
Эдгээр хэмжилтүүд нь судлаачдыг дараах маш сонирхолтой таамаглалд хүргэв. Хеопс пирамидын ACB гурвалжин нь АС хамаарал дээр суурилагдсан / C.B. = = 1,272!
Одоо зөв гурвалжинг авч үзье ABC, аль нь хөлний харьцаа А.С. / C.B.= (Зураг 2). Хэрэв одоо тэгш өнцөгтийн талуудын урт ABC-аар томилно x, y, z, мөн түүнчлэн харьцааг харгалзан үзнэ y/x= , тэгвэл Пифагорын теоремын дагуу урт zтомъёог ашиглан тооцоолж болно:
Хэрэв бид хүлээн зөвшөөрвөл x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" өргөн "143" өндөр "27">
Зураг 3."Алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин.
Талууд нь хоорондоо холбогдсон тэгш өнцөгт гурвалжин т:алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин.
Хэрэв бид Cheops пирамидын гол "геометрийн санаа" нь "алтан" тэгш өнцөгт гурвалжин гэсэн таамаглалыг үндэс болгон авч үзвэл эндээс бид Cheops пирамидын "дизайн" өндрийг хялбархан тооцоолж болно. Энэ нь тэнцүү байна:
H = (L/2) ´ = 148.28 м.
Одоо "алтан" таамаглалаас үүдэлтэй Cheops пирамидын бусад хамаарлыг гаргаж авцгаая. Ялангуяа бид пирамидын гаднах талбайн суурийн талбайн харьцааг олох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид хөлний уртыг авдаг C.B.нэгж тутамд, өөрөөр хэлбэл: C.B.= 1. Харин дараа нь пирамидын суурийн хажуугийн урт Г.Ф= 2 ба суурийн талбай EFGHтэнцүү байх болно SEFGH = 4.
Одоо Cheops пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайг тооцоолъё SD. Учир нь өндөр ABгурвалжин AEFтэнцүү т, дараа нь хажуугийн нүүрний талбай тэнцүү байх болно SD = т. Дараа нь пирамидын бүх дөрвөн хажуугийн нийт талбай 4-тэй тэнцүү болно т, мөн пирамидын нийт гадна талбайн суурийн талбайн харьцаа нь алтан харьцаатай тэнцүү байх болно! Ийм л юм - Cheops пирамидын гол геометрийн нууц!
Cheops пирамидын "геометрийн гайхамшгуудын" бүлэгт пирамид дахь янз бүрийн хэмжээсүүдийн хоорондын хамаарлын бодит болон алс холын шинж чанарууд багтдаг.
Дүрмээр бол тэдгээрийг тодорхой "тогтмол" хайхад олж авдаг, тухайлбал "пи" тоо (Людольфогийн тоо), 3.14159...; натурал логарифмын суурь "e" (Неперово тоо), 2.71828...-тай тэнцүү; "F" тоо, "алтан хэсгийн тоо", жишээлбэл, 0.618... гэх мэт.
Та нэрлэж болно, жишээлбэл: 1) Геродотын өмч: (Өндөр)2 = 0.5 урлаг. үндсэн x Апотем; 2) V.-ийн өмч үнэ: Өндөр: 0.5 арт. суурь = "F"-ийн квадрат язгуур; 3) M. Eist-ийн өмч: Суурийн периметр: 2 Өндөр = "Пи"; өөр тайлбараар - 2 tbsp. үндсэн : Өндөр = "Pi"; 4) G. Ирмэгийн өмч: Бичсэн тойргийн радиус: 0.5 арт. үндсэн = "F"; 5) К.Клеппишийн өмч: (Үндсэн зүйл.)2: 2(Үндсэн зүйл. x Апотема) = (Үндсэн урлаг. В. Апотема) = 2(Үндсэн зүйл. x Апотема) : ((2 урлаг) үндсэн X Apothem) + (v. Үндсэн)2). гэх мэт. Ялангуяа хоёр зэргэлдээх пирамидыг холбосон тохиолдолд та ийм олон шинж чанарыг гаргаж чадна. Тухайлбал, “А.Арефьевын шинж чанарууд” гэж Хеопсийн пирамид ба Хафрегийн пирамидын эзэлхүүний зөрүү нь Микериний пирамидын эзэлхүүнээс хоёр дахин их хэмжээтэй тэнцэж байгааг дурьдаж болно...
Д.Хэмбижийн “Архитектур дахь динамик тэгш хэм”, М.Гикийн “Байгаль ба урлаг дахь пропорцын гоо зүй” номуудад “алтан харьцаа”-ны дагуу пирамид барих тухай олон сонирхолтой санааг тусгасан байдаг. “Алтан харьцаа” гэдэг нь хэрчмийг А хэсэг нь В хэсгээс хэд дахин их, А хэсэг нь А+В хэсгээс хэдэн дахин бага байхаар хуваагдахыг хэлнэ гэдгийг санацгаая. A/B харьцаа нь “F” == 1.618 тоотой тэнцүү байна .. “Алтан харьцаа”-г ашиглах нь зөвхөн пирамидуудад төдийгүй Гизагийн бүхэл бүтэн пирамидуудад тусгагдсан байдаг.
Гэхдээ хамгийн сонин зүйл бол нэг л Cheops пирамид нь маш олон гайхалтай шинж чанарыг агуулж чаддаггүй явдал юм. Тодорхой эд хөрөнгийг нэг нэгээр нь аваад "тогуулж" болох боловч бүгд нэг дор таарахгүй - давхцдаггүй, хоорондоо зөрчилддөг. Тиймээс, жишээлбэл, бүх шинж чанарыг шалгахдаа бид пирамидын суурийн ижил талыг (233 м) авбал өөр өөр шинж чанартай пирамидын өндөр нь бас өөр байх болно. Өөрөөр хэлбэл, Cheops-тай гаднаасаа төстэй боловч өөр өөр шинж чанартай пирамидуудын тодорхой "гэр бүл" байдаг. "Геометрийн" шинж чанарт онцгой гайхамшигтай зүйл байхгүй гэдгийг анхаарна уу - ихэнх нь тухайн зургийн шинж чанараас автоматаар үүсдэг. "Гайхамшиг" нь зөвхөн эртний Египетчүүдийн хувьд боломжгүй зүйл байсан гэж үзэх ёстой. Үүнд, ялангуяа Гиза дахь Хеопс пирамид эсвэл пирамидын цогцолборын хэмжилтийг зарим одон орны хэмжилтүүдтэй харьцуулж, "тэгш" тоонуудыг зааж өгсөн "сансрын" гайхамшгууд орно: сая дахин бага, тэрбум дахин бага, мөн. гэх мэт. Зарим "сансрын" харилцааг авч үзье.
Эдгээрийн нэг нь: "Хэрэв та пирамидын суурийн талыг жилийн тодорхой уртаар хуваах юм бол дэлхийн тэнхлэгийн яг 10 сая хувийг авна." Тооцоол: 233-ыг 365-д хуваавал 0.638 болно. Дэлхийн радиус нь 6378 км.
Өөр нэг мэдэгдэл нь өмнөхөөсөө эсрэгээрээ юм. Хэрэв бид түүний зохион бүтээсэн “Египетийн тохой”-г ашиглавал пирамидын тал нь “Нарны жилийн хамгийн зөв үргэлжлэх хугацаа буюу өдрийн тэрбумын нэгтэй тэнцэх тоо”-той тохирно гэж Ф.Ноэтлинг онцолжээ. 903.777.
П.Смитийн хэлсэн үг: "Пирамидын өндөр нь дэлхийгээс нар хүртэлх зайны яг тэрбумын нэгтэй тэнцэнэ". Хэдийгээр ихэвчлэн авдаг өндөр нь 146.6 м боловч Смит орчин үеийн радарын хэмжилтээр дэлхийн тойрог замын хагас гол тэнхлэг нь 149.597.870 + 1.6 км юм. Энэ нь Дэлхийгээс Нар хүртэлх дундаж зай боловч перигелийн үед афелионоос 5,000,000 километрээр бага байна.
Сүүлийн нэг сонирхолтой мэдэгдэл:
"Хеопс, Хафре, Микеринус пирамидуудын масс нь Дэлхий, Сугар, Ангараг гаригуудын масстай адил бие биетэйгээ холбоотой гэдгийг бид хэрхэн тайлбарлах вэ?" Тооцоолъё. Гурван пирамидын масс нь: Khafre - 0.835; Хеопс - 1000; Микерин - 0.0915. Гурван гаригийн массын харьцаа: Сугар - 0.815; Дэлхий - 1000; Ангараг - 0.108.
Тиймээс эргэлзэж байгаа хэдий ч бид мэдэгдлийн барилгын сайн зохицлыг тэмдэглэж байна: 1) пирамидын өндөр нь "сансарт гарах" шугам шиг Дэлхийгээс Нар хүртэлх зайтай тохирч байна; 2) пирамидын суурийн тал нь "субстрат" -тай хамгийн ойрхон, өөрөөр хэлбэл Дэлхийд хамгийн ойрхон, дэлхийн радиус ба дэлхийн эргэлтийг хариуцдаг; 3) пирамидын эзэлхүүн (унших - масс) нь дэлхийд хамгийн ойр байгаа гаригуудын массын харьцаатай тохирч байна. Үүнтэй төстэй "шифр" -ийг жишээлбэл, Карл фон Фришийн дүн шинжилгээ хийсэн зөгий хэлнээс олж болно. Гэсэн хэдий ч бид одоохондоо энэ асуудлаар тайлбар хийхээс татгалзах болно.
ПИРАМИД ХЭЛБЭР
Пирамидуудын алдартай тетраэдр хэлбэр нь тэр даруй үүссэнгүй. Скифчүүд шороон толгод - толгод хэлбэрээр оршуулга хийдэг байв. Египетчүүд чулуун "толгод" - пирамидуудыг барьсан. Энэ нь дээд ба доод Египетийг нэгтгэсний дараа буюу МЭӨ 28-р зуунд Гуравдугаар гүрнийг үндэслэгч Фараон Жосер (Зосер) улс орны эв нэгдлийг бэхжүүлэх үүрэг даалгавартай тулгарах үед болсон юм.
Энд түүхчдийн үзэж байгаагаар хааныг бурханчлах шинэ үзэл баримтлал нь төвийн хүчийг бэхжүүлэхэд чухал үүрэг гүйцэтгэсэн. Хааны оршуулга нь илүү сүр жавхлангаараа ялгардаг байсан ч тэд зарчмын хувьд ордны язгууртнуудын булшнаас ялгаатай байсангүй, тэдгээр нь ижил бүтэцтэй байв. Муми агуулсан саркофаг бүхий танхимын дээгүүр жижиг чулуун тэгш өнцөгт толгод цутгаж, дараа нь том чулуун блокоор хийсэн жижиг барилга - "мастаба" (арабаар - "вандан") байрлуулсан байв. Фараон Жозер анхны пирамидыг өөрийн өмнөх Санахтын мастабагийн суурин дээр босгожээ. Энэ нь шаталсан бөгөөд нэг архитектурын хэлбэрээс нөгөөд, мастабагаас пирамид хүртэлх харагдах шилжилтийн үе шат байв.
Ийнхүү Грекчүүдэд хожим нь шидтэн гэж тооцогдож, Асклепиус бурхантай адилтгасан мэргэн, архитектор Имхотеп фараоныг “өсгөжээ”. Зургаан мастаба дараалан босгосон юм шиг. Түүгээр ч барахгүй анхны пирамид нь 1125 х 115 метр талбайг эзэлсэн бөгөөд тооцоолсон өндөр нь 66 метр байв (Египетийн стандартын дагуу - 1000 "алга"). Эхлээд архитектор мастаба барихаар төлөвлөж байсан ч гонзгой биш, харин дөрвөлжин төлөвлөгөөтэй байсан. Дараа нь өргөтгөсөн ч өргөтгөл нь доогуур хийгдсэн болохоор хоёр шаттай юм шиг санагдсан.
Энэ байдал нь архитекторын сэтгэлд нийцээгүй бөгөөд асар том хавтгай мастабагийн дээд тавцан дээр Имхотеп дахин гурвыг байрлуулж, орой руу аажмаар буурчээ. Булш нь пирамидын доор байрладаг байв.
Өөр хэд хэдэн шаттай пирамидууд мэдэгдэж байгаа боловч хожим нь барилгачид бидэнд илүү танил болсон тетраэдр пирамидуудыг барих ажилд шилжсэн. Гэхдээ яагаад гурвалжин эсвэл найман өнцөгт биш гэж? Шууд бус хариултыг бараг бүх пирамидууд дөрвөн үндсэн чиглэлийн дагуу төгс чиглүүлдэг тул дөрвөн талтай байдаг. Нэмж дурдахад пирамид нь дөрвөн өнцөгт булшны тасалгааны бүрхүүл болох "байшин" байв.
Гэхдээ нүүрний налуу өнцгийг юу тодорхойлсон бэ? "Пропорцын зарчим" номонд "Пирамидын налуу өнцгийг юу тодорхойлж болох вэ" гэсэн бүхэл бүтэн бүлгийг багтаасан болно. Тодруулбал, “Хуучин хаант улсын агуу пирамидуудын таталцаж буй дүрс нь орой дээрээ тэгш өнцөгтэй гурвалжин юм.
Сансар огторгуйд энэ нь хагас октаэдр юм: суурийн ирмэг ба талууд нь тэнцүү, ирмэгүүд нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм." Хэмбидж, Гик болон бусад хүмүүсийн номонд энэ сэдвээр тодорхой анхаарал хандуулсан болно.
Хагас октаэдр өнцгийн давуу тал нь юу вэ? Археологичид, түүхчдийн тайлбарласнаар зарим пирамидууд өөрсдийн жингийн дор нурсан. "Тэсвэртэй байдлын өнцөг" хэрэгтэй байсан бөгөөд энэ нь хамгийн эрчим хүчний найдвартай өнцөг байв. Цэвэр эмпирик байдлаар энэ өнцгийг овоолж буй хуурай элсний оройн өнцгөөс авч болно. Гэхдээ үнэн зөв мэдээлэл авахын тулд та загвар ашиглах хэрэгтэй. Дөрвөн хатуу бэхлэгдсэн бөмбөгийг авсны дараа та тав дахь бөмбөгийг байрлуулж, налуу өнцгийг хэмжих хэрэгтэй. Гэсэн хэдий ч та энд алдаа гаргаж магадгүй тул онолын тооцоолол нь тусалдаг: та бөмбөгний төвүүдийг шугамаар (сэтгэцийн хувьд) холбох хэрэгтэй. Суурь нь радиусаас хоёр дахин их талтай дөрвөлжин байх болно. Квадрат нь зөвхөн пирамидын суурь байх бөгөөд ирмэгийн урт нь радиусаас хоёр дахин их байх болно.
Тиймээс 1: 4-ийн харьцаатай бөмбөгийг сайтар боох нь бидэнд ердийн хагас октаэдрийг өгөх болно.
Гэсэн хэдий ч яагаад ижил төстэй хэлбэр рүү татагддаг олон пирамидууд үүнийг хадгалдаггүй вэ? Пирамидууд хөгширч байгаа байх. Алдарт үгийн эсрэгээр:
"Дэлхийн бүх зүйл цаг хугацаанаас айдаг, цаг хугацаа пирамидуудаас айдаг" пирамидын барилгууд нь хөгшрөх ёстой бөгөөд тэдгээрт зөвхөн гадны өгөршлийн үйл явц тохиолдох төдийгүй, мөн дотоод "агшилтын" үйл явц үүсч болно. пирамидуудыг доошлуулахад хүргэдэг. Д.Дэвидовицын бүтээлээр эртний египетчүүд шохойн үртэс, өөрөөр хэлбэл "бетон"-оос блок хийх технологийг ашигласан тул агшилт нь бас боломжтой юм. Каираас өмнө зүгт 50 км-ийн зайд орших Медум пирамид сүйрсэн шалтгааныг тайлбарлаж болох яг ижил төстэй үйл явц юм. Энэ нь 4600 жилийн настай, суурийн хэмжээ нь 146 х 146 м, өндөр нь 118 м. "Яагаад ийм гажигтай байна вэ?" гэж В.Замаровский "Цаг хугацааны сүйрлийн үр дагавар, "бусад барилгад чулуу ашиглах" гэсэн ердийн ишлэлүүд тохирохгүй байна.
Эцсийн эцэст түүний ихэнх блокууд болон нүүрэн талын хавтангууд нь өнөөг хүртэл байрандаа, хөлд нь балгас болон үлджээ." Бидний харж байгаачлан, хэд хэдэн заалтууд нь алдарт Хеопс пирамид мөн "хорчийсон" гэж бодоход хүргэдэг. ямар ч байсан, бүх эртний зургуудад пирамидууд үзүүртэй байдаг ...
Пирамидын хэлбэрийг дуурайлган хийсэн байж болох юм: зарим байгалийн дээж, "гайхамшигт төгс байдал" гэх мэт октаэдр хэлбэртэй зарим талстууд.
Ийм талстууд нь алмааз, алтны талст байж болно. Фараон, Нар, Алт, Алмаз зэрэг ойлголтуудад олон тооны "давхцсан" шинж чанарууд байдаг. Хаа сайгүй - эрхэмсэг, гайхалтай (гайхалтай), агуу, өө сэвгүй гэх мэт. Ижил төстэй байдал нь санамсаргүй биш юм.
Нарны шүтлэг нь эртний Египетийн шашны чухал хэсэг байсан гэдгийг мэддэг. "Хамгийн агуу пирамидуудын нэрийг бид хэрхэн орчуулсан ч гэсэн" орчин үеийн гарын авлагуудын нэг болох "Хуфугийн тэнгэр" эсвэл "Тэнгэрийн хуфу"-д тэмдэглэснээр энэ нь хаан бол нар мөн гэсэн үг юм." Хэрэв Хуфу хүч чадлынхаа хувьд өөрийгөө хоёр дахь нар гэж төсөөлж байсан бол түүний хүү Жедеф-Ра Египетийн хаадын дунд өөрийгөө "Рагийн хүү" буюу Нарны хүү гэж нэрлэсэн анхны хүн болжээ. Бараг бүх үндэстэнд нарыг "нарны металл" алтаар бэлгэддэг байв. "Тод алтны том диск" - үүнийг египетчүүд бидний өдрийн гэрэл гэж нэрлэдэг. Египетчүүд алтыг маш сайн мэддэг байсан бөгөөд алтны талстууд октаэдрон хэлбэрээр гарч ирдэг уугуул хэлбэрийг мэддэг байв.
"Нарны чулуу" буюу алмаз нь "хэлбэрийн дээж" гэдгээрээ бас сонирхолтой юм. Алмазны нэр нь Арабын ертөнцөөс гаралтай бөгөөд "алмас" - хамгийн хатуу, хамгийн хатуу, эвдэшгүй. Эртний Египетчүүд алмаз болон түүний шинж чанарыг маш сайн мэддэг байсан. Зарим зохиогчдын үзэж байгаагаар тэд өрөмдлөгийн ажилд алмазан зүсэгч бүхий хүрэл хоолойг хүртэл ашигладаг байжээ.
Өнөө үед алмаазын гол нийлүүлэгч нь Өмнөд Африк боловч Баруун Африк нь алмаазаар баялаг юм. Бүгд Найрамдах Мали улсын нутаг дэвсгэрийг бүр "Очир алмаазын газар" гэж нэрлэдэг. Үүний зэрэгцээ, Мали улсын нутаг дэвсгэр дээр палео айлчлалын таамаглалыг дэмжигчид олон найдвар төрүүлдэг Догонууд амьдардаг (доороос үзнэ үү). Эртний египетчүүдийн энэ бүс нутагтай харилцах шалтгаан нь алмаз байж болохгүй. Гэсэн хэдий ч эртний Египетчүүд алмаз, алтны талстуудын октаэдрүүдийг хуулбарлах замаар яг л алмаз шиг "усгаршгүй", алт шиг "гоц" Фараонуудыг бурханлиг болгож, нарны хөвгүүдийг зөвхөн харьцуулж болох юм. байгалийн хамгийн гайхамшигтай бүтээлүүд рүү.
Дүгнэлт:
Пирамидыг геометрийн бие гэж судалж, түүний элементүүд, шинж чанаруудтай танилцсаны дараа бид пирамидын хэлбэрийн гоо үзэсгэлэнгийн талаархи үзэл бодлын үнэн зөв гэдэгт итгэлтэй байсан.
Судалгааны үр дүнд бид Египетчүүд математикийн хамгийн үнэ цэнэтэй мэдлэгийг цуглуулж, түүнийг пирамид хэлбэрээр шингээсэн гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Тиймээс пирамид бол үнэхээр байгаль, хүний хамгийн төгс бүтээл юм.
НОМ ЗҮЙ
"Геометр: Сурах бичиг. 7-9 ангийн хувьд. Ерөнхий боловсрол байгууллагууд\ гэх мэт - 9-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 1999
Сургуулийн математикийн түүх, М: "Просвещение", 1982 он.
Геометр 10-11 анги, М: “Гэгээрэл”, 2000 он
Питер Томпкинс "Хеопсийн агуу пирамидын нууц", М: "Центрополиграф", 2005 он.
Интернет нөөц
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Бид математикийн улсын нэгдсэн шалгалтад багтсан даалгавруудыг үргэлжлүүлэн авч үзэж байна. Нөхцөл өгөгдсөн бөгөөд өгөгдсөн хоёр цэг эсвэл өнцгийн хоорондох зайг олох шаардлагатай асуудлуудыг бид аль хэдийн судалж үзсэн.
Пирамид нь олон өнцөгт, суурь нь олон өнцөгт, үлдсэн нүүр нь гурвалжин бөгөөд тэдгээр нь нийтлэг оройтой байдаг.
Энгийн пирамид нь суурь нь ердийн олон өнцөгт байрладаг пирамид бөгөөд түүний орой нь суурийн төв рүү чиглэсэн байдаг.
Ердийн дөрвөлжин пирамид - суурь нь дөрвөлжин юм.
ML - үг хэллэг
∠MLO - пирамидын суурь дахь хоёр талт өнцөг
∠MCO - пирамидын суурийн хажуугийн ирмэг ба хавтгай хоорондын өнцөг
Энэ нийтлэлд бид ердийн пирамидыг шийдэх асуудлыг авч үзэх болно. Та зарим элемент, хажуугийн гадаргуугийн талбай, эзэлхүүн, өндрийг олох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг та Пифагорын теорем, пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбайн томъёо, пирамидын эзэлхүүнийг олох томъёог мэдэх хэрэгтэй.
Нийтлэлд "" Стереометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай томьёог танилцуулж байна. Тиймээс, даалгаварууд:
SABCDцэг О- суурийн төв,Сорой, SO = 51, А.С.= 136. Хажуугийн ирмэгийг олС.С..
Энэ тохиолдолд суурь нь дөрвөлжин хэлбэртэй байна. Энэ нь AC ба BD диагональууд тэнцүү, тэдгээр нь огтлолцож, огтлолцох цэгээр хуваагддаг гэсэн үг юм. Ердийн пирамид дээр дээрээс нь унасан өндөр нь пирамидын суурийн төвөөр дамждаг гэдгийг анхаарна уу. Тэгэхээр SO нь өндөр ба гурвалжин юмSOCтэгш өнцөгт. Дараа нь Пифагорын теоремын дагуу:
Олон тооны үндсийг хэрхэн гаргаж авах вэ.
Хариулт: 85
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Ердийн дөрвөлжин пирамид SABCDцэг О- суурийн төв, Сорой, SO = 4, А.С.= 6. Хажуугийн ирмэгийг ол С.С..
Ердийн дөрвөлжин пирамид SABCDцэг О- суурийн төв, Сорой, С.С. = 5, А.С.= 6. Хэсгийн уртыг ол SO.
Ердийн дөрвөлжин пирамид SABCDцэг О- суурийн төв, Сорой, SO = 4, С.С.= 5. Хэсгийн уртыг ол А.С..
SABC Р- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна AB= 7, a С.Р.= 16. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна (апотем гэдэг нь ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн оройгоос нь татсан өндөр юм):
Эсвэл бид үүнийг хэлж болно: пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь гурван хажуугийн нүүрний талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Ердийн гурвалжин пирамидын хажуугийн нүүр нь ижил талбайтай гурвалжин юм. Энэ тохиолдолд:
Хариулт: 168
Өөрийнхөө төлөө шийд:
Ердийн гурвалжин пирамид SABC Р- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна AB= 1, a С.Р.= 2. Хажуугийн гадаргуугийн талбайг ол.
Ердийн гурвалжин пирамид SABC Р- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна AB= 1, хажуугийн гадаргуугийн талбай 3. Хэсгийн уртыг ол С.Р..
Ердийн гурвалжин пирамид SABC Л- хавирганы дунд хэсэг МЭӨ, С- дээд. Энэ нь мэдэгдэж байна SL= 2, хажуугийн гадаргуугийн талбай нь 3. Хэсгийн уртыг ол AB.
Ердийн гурвалжин пирамид SABC М. Гурвалжны талбай ABC 25, пирамидын эзэлхүүн 100. Хэсгийн уртыг ол MS.
Пирамидын суурь нь тэгш талт гурвалжин юм. Тийм ч учраас Мсуурийн төв нь баMS- ердийн пирамидын өндөрSABC. Пирамидын эзэлхүүн SABCтэнцүү: шийдлийг харах
Ердийн гурвалжин пирамид SABCсуурийн медианууд цэг дээр огтлолцоно М. Гурвалжны талбай ABCтэнцүү 3, MS= 1. Пирамидын эзэлхүүнийг ол.
Ердийн гурвалжин пирамид SABCсуурийн медианууд цэг дээр огтлолцоно М. Пирамидын эзэлхүүн 1, MS= 1. Гурвалжны талбайг ол ABC.
Энд дуусгая. Таны харж байгаагаар асуудлыг нэг эсвэл хоёр алхамаар шийддэг. Ирээдүйд бид хувьсгалын биеийг өгдөг энэ хэсгээс бусад асуудлыг авч үзэх болно, бүү алдаарай!
Чамд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр Крутицких.
P.S: Хэрэв та нийгмийн сүлжээн дэх сайтын талаар надад хэлвэл би талархах болно.
Тодорхойлолт
Пирамиднь нийтлэг оройтой \(P\) (олон өнцөгтийн хавтгайд хэвтэхгүй) олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(n\) гурвалжнуудаас бүрдэх олон өнцөгт бөгөөд түүний эсрэг талуудтай давхцаж байгаа олон өнцөгт юм. олон өнцөгтийн талууд.
Тэмдэглэл: \(PA_1A_2...A_n\) .
Жишээ нь: таван өнцөгт пирамид \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Гурвалжин \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) гэх мэт. гэж нэрлэдэг хажуугийн нүүрнүүдпирамид, сегмент \(PA_1, PA_2\) гэх мэт. – хажуугийн хавирга, олон өнцөгт \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – суурь, цэг \(P\) – дээд.
ӨндөрПирамидууд нь пирамидын оройноос суурийн хавтгайд буусан перпендикуляр юм.
Суурьдаа гурвалжинтай пирамид гэж нэрлэдэг тетраэдр.
Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан бол:
\((a)\) пирамидын хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү байна;
\((b)\) пирамидын өндөр нь суурийн ойролцоо хүрээлэгдсэн тойргийн төвөөр дамжин өнгөрдөг;
\(c)\) хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
\((d)\) хажуугийн нүүрүүд нь суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна.
Ердийн тетраэдрнь гурвалжин пирамид бөгөөд бүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин юм.
Теорем
\((a), (b), (c), (d)\) нөхцөлүүд тэнцүү байна.
Баталгаа
Пирамидын өндрийг олцгооё \(PH\) . Пирамидын суурийн хавтгайг \(\альфа\) гэж үзье.
1) \((a)\)-аас \((b)\) дагана гэдгийг баталцгаая. \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) байг.
Учир нь \(PH\perp \alpha\), тэгвэл \(PH\) нь энэ хавтгайд байрлах дурын шулуунд перпендикуляр байх бөгөөд энэ нь гурвалжингууд тэгш өнцөгт байна гэсэн үг юм. Энэ нь эдгээр гурвалжин нь нийтлэг хөл \(PH\) ба гипотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) тэнцүү байна гэсэн үг юм. Тэгэхээр, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Энэ нь \(A_1, A_2, ..., A_n\) цэгүүд \(H\) цэгээс ижил зайд байгаа тул \(A_1H\) радиустай нэг тойрог дээр байрладаг гэсэн үг юм. Тодорхойлолтоор энэ тойрог \(A_1A_2...A_n\) олон өнцөгтийг тойрон хүрээлэгдсэн байна.
2) \((b)\) нь \((c)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)тэгш өнцөгт, хоёр хөл дээр тэнцүү. Энэ нь тэдний өнцөг нь тэнцүү гэсэн үг, тиймээс \(\ өнцөг PA_1H=\ өнцөг PA_2H=...=\ өнцөг PA_nH\).
3) \((c)\) нь \((a)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Эхний цэгтэй төстэй гурвалжин \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)хөлний дагуу тэгш өнцөгт, хурц өнцөг. Энэ нь тэдний гипотенузууд мөн тэнцүү байна гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) \((b)\) нь \((d)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Учир нь жирийн олон өнцөгт дотор хүрээлэгдсэн ба бичээстэй тойргийн төвүүд давхцдаг (ерөнхийдөө энэ цэгийг ердийн олон өнцөгтийн төв гэж нэрлэдэг), тэгвэл \(H\) нь бичээстэй тойргийн төв болно. \(H\) цэгээс суурийн талууд руу перпендикуляр зуръя: \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. Эдгээр нь бичээстэй тойргийн радиус юм (тодорхойлолтоор). Дараа нь TTP-ийн дагуу (\(PH\) нь хавтгайд перпендикуляр, \(HK_1, HK_2\) гэх мэт. талуудын перпендикуляр проекцууд) налуу \(PK_1, PK_2\) гэх мэт. талуудтай перпендикуляр \(A_1A_2, A_2A_3\) гэх мэт. тус тус. Тиймээс, тодорхойлолтоор \(\ өнцөг PK_1H, \ өнцөг PK_2H\)хажуугийн нүүр ба суурийн хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байна. Учир нь гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү (хоёр талдаа тэгш өнцөгт хэлбэртэй), дараа нь өнцөг \(\ өнцөг PK_1H, \өнцөг PK_2H, ...\)тэнцүү байна.
5) \((d)\) нь \((b)\) гэсэн утгатай болохыг баталцгаая.
Дөрөв дэх цэгтэй адил гурвалжин \(PK_1H, PK_2H, ...\) тэнцүү байна (хөлний дагуу тэгш өнцөгт ба хурц өнцөг) нь \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) сегментүүд гэсэн үг юм. тэнцүү. Энэ нь тодорхойлолтоор \(H\) нь сууринд бичигдсэн тойргийн төв гэсэн үг юм. Гэхдээ учир нь Тогтмол олон өнцөгтүүдийн хувьд бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн төвүүд давхцаж байгаа бол \(H\) нь хүрээлэгдсэн тойргийн төв болно. Chtd.
Үр дагавар
Ердийн пирамидын хажуу талууд нь ижил тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Тодорхойлолт
Тогтмол пирамидын хажуугийн нүүрний өндрийг оройноос нь татсан гэж нэрлэдэг апотем.
Ердийн пирамидын бүх хажуугийн нүүрний тэмдэгтүүд нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд мөн медиан ба биссектрис юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Тогтмол гурвалжин пирамидын өндөр нь суурийн өндрийн (эсвэл биссектриса эсвэл медиануудын) огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн гурвалжин юм).
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь дөрвөлжин).
3. Тогтмол зургаан өнцөгт пирамидын өндөр нь суурийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр унадаг (суурь нь ердийн зургаан өнцөгт).
4. Пирамидын өндөр нь сууринд байрлах дурын шулуун шугамд перпендикуляр байна.
Тодорхойлолт
Пирамид гэж нэрлэдэг тэгш өнцөгт, хэрэв түүний хажуугийн нэг ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал.
Чухал тэмдэглэл
1. Тэгш өнцөгт пирамидын суурьтай перпендикуляр ирмэг нь пирамидын өндөр юм. Энэ нь \(SR\) нь өндөр юм.
2. Учир нь \(SR\) нь суурийн аль ч шулуунд перпендикуляр байна \(\гурвалжин SRM, \гурвалжин SRP\)- тэгш өнцөгт гурвалжин.
3. Гурвалжин \(\гурвалжин SRN, \гурвалжин SRK\)- бас тэгш өнцөгт.
Өөрөөр хэлбэл, энэ ирмэгээс үүссэн аливаа гурвалжин ба суурь дээр байрлах энэ ирмэгийн оройноос гарч буй диагональ нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
\[(\Том(\текст(Пирамидын эзэлхүүн ба гадаргуугийн талбай)))\]
Теорем
Пирамидын эзэлхүүн нь суурийн талбай ба пирамидын өндрийн бүтээгдэхүүний гуравны нэгтэй тэнцүү байна. \
Үр дагавар
\(a\) нь суурийн тал, \(h\)-ийг пирамидын өндөр гэж үзье.
1. Энгийн гурвалжин пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун гурвалжин.пир.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Энгийн дөрвөлжин пирамидын эзэлхүүн \(V_(\текст(баруун.дөрвөн.пир.))=\dfrac13a^2h\).
3. Энгийн зургаан өнцөгт пирамидын эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун. зургаан пир.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Энгийн тетраэдрийн эзэлхүүн нь \(V_(\текст(баруун тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорем
Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметр ба апотемийн хагас үржвэртэй тэнцүү байна.
\[(\Том(\текст(Frustum)))\]
Тодорхойлолт
Дурын пирамидыг авч үзье \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Пирамидын хажуугийн ирмэг дээр байрлах тодорхой цэгээр дамжуулан пирамидын суурьтай параллель хавтгай зурцгаая. Энэ хавтгай нь пирамидыг хоёр олон талт хэлбэрт хуваах бөгөөд тэдгээрийн нэг нь пирамид (\(PB_1B_2...B_n\)), нөгөөг нь нэрлэдэг. таслагдсан пирамид(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Таслагдсан пирамид нь хоорондоо төстэй олон өнцөгт \(A_1A_2...A_n\) ба \(B_1B_2...B_n\) гэсэн хоёр суурьтай.
Таслагдсан пирамидын өндөр нь дээд суурийн зарим цэгээс доод суурийн хавтгай руу татсан перпендикуляр юм.
Чухал тэмдэглэл
1. Таслагдсан пирамидын бүх хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байна.
2. Энгийн таслагдсан пирамидын (өөрөөр хэлбэл ердийн пирамидын хөндлөн огтлолоор олж авсан пирамид) суурийн төвүүдийг холбосон сегмент нь өндөр юм.
- апотем- ердийн пирамидын хажуугийн нүүрний өндөр, оройгоос нь зурсан (үүнээс гадна апотем гэдэг нь ердийн олон өнцөгтийн дундаас аль нэг тал руу нь доошлуулсан перпендикулярын урт юм);
- хажуугийн нүүрнүүд (ASB, BSC, CSD, DSA) - орой дээр нийлдэг гурвалжин;
- хажуугийн хавирга ( AS , Б.С. , C.S. , Д.С. ) - хажуугийн нүүрний нийтлэг талууд;
- пирамидын дээд хэсэг (t. S) - хажуугийн хавиргыг холбосон, суурийн хавтгайд ороогүй цэг;
- өндөр ( SO ) - пирамидын оройгоос түүний суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр сегмент (ийм сегментийн төгсгөлүүд нь пирамидын орой ба перпендикулярын суурь байх болно);
- пирамидын диагональ хэсэг- пирамидын дээд ба суурийн диагональ дундуур дамждаг хэсэг;
- суурь (A B C D) - пирамидын оройд хамаарахгүй олон өнцөгт.
Пирамидын шинж чанарууд.
1. Хажуугийн бүх ирмэг нь ижил хэмжээтэй байвал:
- пирамидын суурийн ойролцоох тойргийг дүрслэхэд хялбар бөгөөд пирамидын орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглэсэн байх болно;
- хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг;
- Түүнээс гадна, эсрэгээр нь бас үнэн юм, i.e. Хажуугийн хавирга нь суурийн хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэх эсвэл пирамидын суурийн эргэн тойронд тойрог дүрсэлж, пирамидын оройг энэ тойргийн төв рүү тусгах үед энэ нь бүх хажуугийн ирмэгүүд болно гэсэн үг юм. пирамидын хэмжээ ижил байна.
2. Хажуугийн гадаргуу нь ижил утгатай суурийн хавтгайд налуу өнцөгтэй байвал:
- пирамидын суурийн ойролцоох тойргийг дүрслэхэд хялбар бөгөөд пирамидын орой нь энэ тойргийн төв рүү чиглэсэн байх болно;
- хажуугийн нүүрний өндөр нь ижил урттай;
- хажуугийн гадаргуугийн талбай нь суурийн периметрийн бүтээгдэхүүн ба хажуугийн нүүрний өндрийн ½-тэй тэнцүү байна.
3. Пирамидын сууринд тойргийг дүрсэлж болох олон өнцөгт байвал пирамидын эргэн тойронд бөмбөрцгийг дүрсэлж болно (зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Бөмбөрцгийн төв нь тэдгээрт перпендикуляр пирамидын ирмэгүүдийн дундыг дайран өнгөрөх хавтгайн огтлолцох цэг байх болно. Энэ теоремоос бид бөмбөрцгийг дурын гурвалжин болон ердийн пирамидын эргэн тойронд хоёуланг нь дүрсэлж болно гэж дүгнэж байна.
4. Хэрэв пирамидын дотоод хоёр өнцөгт өнцгүүдийн биссектрисын хавтгайнууд 1-р цэгт огтлолцвол бөмбөрцгийг пирамид дотор бичиж болно (шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл). Энэ цэг нь бөмбөрцгийн төв болно.
Хамгийн энгийн пирамид.
Өнцгийн тоогоор пирамидын суурийг гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэтээр хуваадаг.
Пирамид байх болно гурвалжин, дөрвөлжин, гэх мэт, пирамидын суурь нь гурвалжин, дөрвөлжин гэх мэт. Гурвалжин пирамид нь тетраэдр - тетраэдр юм. Дөрвөн өнцөгт - таван өнцөгт гэх мэт.