Хавтгай дээрх шугамуудын огтлолцлын цэг. Хоёр шугамын огтлолцол. Өнцөг ба огтлолцлын цэг

Координатын аргыг ашиглан геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд шийдэлд координатыг ашигладаг огтлолцлын цэг хэрэгтэй. Хавтгай дээрх хоёр шугамын огтлолцлын координатыг хайх эсвэл орон зайд ижил шугамын координатыг тодорхойлох шаардлагатай үед нөхцөл байдал үүсдэг. Энэ нийтлэлд өгөгдсөн шугамууд огтлолцох цэгүүдийн координатыг олох тохиолдлуудыг авч үзнэ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хоёр шугамын огтлолцох цэгүүдийг тодорхойлох шаардлагатай.

Хавтгай дээрх шулуунуудын харьцангуй байрлалын хэсэг нь тэдгээр нь давхцаж, параллель, нэг нийтлэг цэг дээр огтлолцох, огтлолцох боломжтойг харуулж байна. Орон зайн хоёр шулуун нэг нийтлэг цэгтэй бол огтлолцсон гэж нэрлэдэг.

Шугамануудын огтлолцлын цэгийн тодорхойлолт дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт 1

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийг тэдгээрийн огтлолцох цэг гэнэ. Өөрөөр хэлбэл шугамын огтлолцох цэг нь огтлолцох цэг юм.

Доорх зургийг харцгаая.

Хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг олохын өмнө доорх жишээг авч үзэх шаардлагатай.

Хэрэв хавтгай нь координатын систем O x y байвал a ба b хоёр шулуун шугамыг зааж өгнө. А мөр нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 хэлбэрийн ерөнхий тэгшитгэлтэй тохирч, b мөрөнд - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 байна. Дараа нь M 0 (x 0 , y 0) нь хавтгайн тодорхой цэг юм M 0 цэг нь эдгээр шулуунуудын огтлолцлын цэг байх эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай.

Асуудлыг шийдэхийн тулд тодорхойлолтыг дагаж мөрдөх шаардлагатай. Дараа нь шугамууд нь өгөгдсөн A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийн шийдэл болох цэг дээр огтлолцох ёстой. Энэ нь огтлолцлын цэгийн координатыг бүх өгөгдсөн тэгшитгэлд орлуулсан гэсэн үг юм. Хэрэв орлуулсны дараа тэдгээр нь зөв таних тэмдэг өгвөл M 0 (x 0, y 0) нь тэдний огтлолцох цэг гэж тооцогддог.

Жишээ 1

5 x - 2 y - 16 = 0 ба 2 x - 5 y - 19 = 0 гэсэн хоёр огтлолцсон шугам өгөгдсөн. (2, - 3) координаттай M 0 цэг нь огтлолцох цэг байх уу.

Шийдэл

Шугамын огтлолцол хүчинтэй байхын тулд M 0 цэгийн координатууд нь шугамын тэгшитгэлийг хангасан байх шаардлагатай. Үүнийг тэдгээрийг орлуулах замаар шалгаж болно. Бид үүнийг ойлгодог

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Хоёр тэгш байдал хоёулаа үнэн бөгөөд энэ нь M 0 (2, - 3) нь өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэг гэсэн үг юм.

Энэ шийдлийг доорх зургийн координатын шугам дээр дүрсэлцгээе.

Хариулт:(2, - 3) координаттай өгөгдсөн цэг нь өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцох цэг болно.

Жишээ 2

5 x + 3 y - 1 = 0 ба 7 x - 2 y + 11 = 0 шугамууд M 0 (2, - 3) цэг дээр огтлолцох уу?

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд цэгийн координатыг бүх тэгшитгэлд орлуулах хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Хоёр дахь тэгшитгэл нь үнэн биш, энэ нь өгөгдсөн цэг нь 7 x - 2 y + 11 = 0 шулуунд хамаарахгүй гэсэн үг юм. Эндээс бид M 0 цэг нь шугамуудын огтлолцох цэг биш гэдгийг олж мэднэ.

Зураг нь M 0 нь шугамын огтлолцлын цэг биш гэдгийг тодорхой харуулж байна. Тэд координаттай (- 1, 2) нийтлэг цэгтэй байдаг.

Хариулт:(2, - 3) координаттай цэг нь өгөгдсөн шулуунуудын огтлолцох цэг биш юм.

Хавтгай дээрх өгөгдсөн тэгшитгэлийг ашиглан бид хоёр шулууны огтлолцох цэгүүдийн координатыг хайж байна.

Хоёр огтлолцсон a ба b шугамыг A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж, Oxy дээр байрладаг. M 0 огтлолцлын цэгийг тодорхойлохдоо бид A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан координатыг үргэлжлүүлэн хайх хэрэгтэйг олж мэдэв.

Тодорхойлолтоос харахад M 0 нь шугамын огтлолцлын нийтлэг цэг юм. Энэ тохиолдолд түүний координатууд нь A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ба A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 тэгшитгэлийг хангасан байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь үүссэн системийн A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 шийдэл юм.

Энэ нь огтлолцлын цэгийн координатыг олохын тулд бүх тэгшитгэлийг системд нэмж, шийдвэрлэх шаардлагатай гэсэн үг юм.

Жишээ 3

Хавтгай дээр x - 9 y + 14 = 0 ба 5 x - 2 у - 16 = 0 гэсэн хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. тэдгээрийн огтлолцлыг олох шаардлагатай.

Шийдэл

Тэгшитгэлийн нөхцлийн талаархи мэдээллийг системд цуглуулах ёстой бөгөөд үүний дараа бид x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0-ийг авна. Үүнийг шийдэхийн тулд эхний тэгшитгэлийг x-ээр шийдэж, илэрхийлэлийг хоёр дахь хэлбэрээр орлуулна.

x - 9 у + 14 = 0 5 x - 2 у - 16 = 0 ⇔ x = 9 у - 14 5 x - 2 у - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 у - 14 5 9 у - 14 - 2 у - 16 = 0 ⇔ x = 9 y - 14 43 y - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 y - 14 y = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 y = 2 ⇔ x = 4 y = 2

Үүссэн тоонууд нь олох шаардлагатай координатууд юм.

Хариулт: M 0 (4, 2) нь x - 9 y + 14 = 0 ба 5 x - 2 y - 16 = 0 шугамуудын огтлолцох цэг юм.

Координатыг олох нь шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдэхэд хүргэдэг. Хэрэв нөхцөлөөр өөр төрлийн тэгшитгэл өгөгдсөн бол түүнийг хэвийн хэлбэрт оруулах хэрэгтэй.

Жишээ 4

x - 5 = y - 4 - 3 ба x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R шулуунуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг тодорхойл.

Шийдэл

Эхлээд та тэгшитгэлүүдийг ерөнхий хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Дараа нь бид x = 4 + 9 λ y = 2 + λ , λ ∈ R нь дараах байдлаар өөрчлөгдөнө.

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) = 9 · (y -) 2) ⇔ x - 9 y + 14 = 0

Дараа нь бид x - 5 = y - 4 - 3 гэсэн каноник хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч, хувиргана. Бид үүнийг ойлгодог

x - 5 = y - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 у - 4 ⇔ 3 x - 5 у + 20 = 0

Эндээс бид координатууд нь огтлолцох цэг юм

x - 9 y + 14 = 0 3 x - 5 y + 20 = 0 ⇔ x - 9 y = - 14 3 x - 5 y = - 20

Координатыг олохын тулд Крамерын аргыг ашиглая:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 · (- 5) - (- 9) · 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 · (- 20) - (- 14) · 3 = 22 ⇒ y = ∆ y = 22 22 = 1

Хариулт: M 0 (- 5, 1) .

Хавтгай дээр байрлах шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг олох арга бас бий. Энэ нь шугамын аль нэгийг x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , λ ∈ R хэлбэрийн параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн тохиолдолд хамаарна. Дараа нь x утгын оронд x = x 1 + a x · λ ба y = y 1 + a y · λ-ийг орлуулж, x 1 + a x · λ 0 координаттай огтлолцох цэгт харгалзах λ = λ 0-ийг авна. , y 1 + a y · λ 0 .

Жишээ 5

x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ба x - 5 = y - 4 - 3 шугамын огтлолцох цэгийн координатыг тодорхойл.

Шийдэл

x - 5 = y - 4 - 3-д x = 4 + 9 · λ, y = 2 + λ илэрхийллээр орлуулалтыг хийх шаардлагатай бөгөөд дараа нь бид дараахь зүйлийг авна.

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Шийдвэрлэхдээ бид λ = - 1 болохыг олж мэднэ. Үүнээс үзэхэд x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R ба x - 5 = y - 4 - 3 шугамуудын хооронд огтлолцох цэг байна. Координатыг тооцоолохын тулд параметрийн тэгшитгэлд λ = - 1 илэрхийллийг орлуулах шаардлагатай. Дараа нь бид x = 4 + 9 · (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1 болно.

Хариулт: M 0 (- 5, 1) .

Сэдвийг бүрэн ойлгохын тулд та зарим нарийн ширийн зүйлийг мэдэх хэрэгтэй.

Эхлээд та шугамын байршлыг ойлгох хэрэгтэй. Тэд огтлолцох үед бид координатыг олох болно, бусад тохиолдолд шийдэл байхгүй болно. Энэ шалгалтаас зайлсхийхийн тулд та A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 хэлбэрийн системийг үүсгэж болно Хэрэв шийдэл байгаа бол бид шугамууд огтлолцдог гэж дүгнэж болно. Хэрэв шийдэл байхгүй бол тэдгээр нь зэрэгцээ байна. Хэрэв систем хязгааргүй олон шийдэлтэй бол тэдгээр нь давхцдаг гэж хэлдэг.

Жишээ 6

Өгөгдсөн мөрүүд x 3 + y - 4 = 1 ба y = 4 3 x - 4. Тэдэнд нийтлэг санаа байгаа эсэхийг тодорхойлох.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлийг хялбарчлан бид 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 ба 4 3 x - y - 4 = 0 болно.

Дараах шийдлийн системд тэгшитгэлүүдийг цуглуулах ёстой.

1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 1 3 x - y - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y = 1 4 3 x - y = 4

Эндээс бид тэгшитгэлүүд бие биенээсээ илэрхийлэгдэж байгааг харж болно, тэгвэл бид хязгааргүй тооны шийдлийг олж авна. Дараа нь x 3 + y - 4 = 1 ба y = 4 3 x - 4 тэгшитгэлүүд нь ижил шугамыг тодорхойлно. Тиймээс огтлолцох цэг байхгүй.

Хариулт:Өгөгдсөн тэгшитгэлүүд нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно.

Жишээ 7

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 ба 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 огтлолцох шулуунуудын цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлийн дагуу энэ нь боломжтой, шугамууд огтлолцохгүй. Тэгшитгэлийн системийг бий болгож, шийдвэрлэх шаардлагатай. Шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглах шаардлагатай, учир нь түүний тусламжтайгаар тэгшитгэлийн нийцтэй байдлыг шалгах боломжтой. Бид маягтын системийг авдаг:

2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) у = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y = - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) = 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Бид буруу тэгш байдлыг хүлээн авсан бөгөөд энэ нь системд шийдэл байхгүй гэсэн үг юм. Шугамууд зэрэгцээ байна гэж бид дүгнэж байна. Ямар ч уулзвар цэг байхгүй.

Хоёр дахь шийдэл.

Эхлээд та шугамын огтлолцол байгаа эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй.

n 1 → = (2, 2 - 3) нь 2 шугамын хэвийн вектор x + (2 - 3) y + 7 = 0, тэгвэл вектор n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7 байна. 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0 шугамын хэвийн вектор.

n 1 → = (2, 2 - 3) ба n 2 → = (2 (3 + 2) , - 7) векторуудын уялдаа холбоог шалгах шаардлагатай. Бид 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7 хэлбэрийн тэгш байдлыг олж авна. Энэ нь зөв, учир нь 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Үүнээс үзэхэд векторууд нь коллинеар байна. Энэ нь шугамууд параллель, огтлолцох цэггүй гэсэн үг юм.

Хариулт:огтлолцох цэг байхгүй, шугамууд зэрэгцээ байна.

Жишээ 8

Өгөгдсөн 2 x - 1 = 0 ба у = 5 4 x - 2 шулуунуудын огтлолцлын координатыг ол.

Шийдэл

Шийдвэрлэхийн тулд бид тэгшитгэлийн системийг зохиодог. Бид авдаг

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Үндсэн матрицын тодорхойлогчийг олъё. Үүний тулд 2 0 5 4 - 1 = 2 · (- 1) - 0 · 5 4 = - 2. Энэ нь тэгтэй тэнцүү биш тул систем нь 1 шийдэлтэй байна. Үүнээс үзэхэд шугамууд огтлолцдог. Уулзвар цэгүүдийн координатыг олох системийг шийдье.

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Өгөгдсөн шугамуудын огтлолцлын цэг нь M 0 (1 2, - 11 8) координаттай болохыг олж мэдсэн.

Хариулт:М 0 (1 2 , - 11 8) .

Орон зайн хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг олох

Үүнтэй адил орон зайд шулуун шугамын огтлолцох цэгүүд олддог.

О x y z координатын хавтгайд огтлолцсон хавтгайн тэгшитгэлээр a ба b шулуун шугамуудыг өгвөл өгөгдсөн A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 системийг ашиглан тодорхойлж болох шулуун a шулуун байна. = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 ба шулуун шулуун b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

М 0 цэг нь шугамуудын огтлолцлын цэг бол түүний координатууд нь хоёр тэгшитгэлийн шийдэл байх ёстой. Бид систем дэх шугаман тэгшитгэлийг олж авдаг.

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Жишээ ашиглан ижил төстэй даалгавруудыг авч үзье.

Жишээ 9

Өгөгдсөн x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ба 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 шулуунуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Бид x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 системийг зохиож, үүнийг шийднэ. Координатыг олохын тулд та матрицаар дамжуулан шийдэх хэрэгтэй. Дараа нь бид A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 хэлбэрийн үндсэн матрицыг, T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4 өргөтгөсөн матрицыг олж авна. Бид матрицын Гауссын зэрэглэлийг тодорхойлно.

Бид үүнийг ойлгодог

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь 3 гэсэн утгатай байна. Тэгвэл x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 тэгшитгэлийн систем нь зөвхөн нэг шийд гарна.

Суурь минор нь тодорхойлогч 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 байвал сүүлийн тэгшитгэл хамаарахгүй. Бид x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y болохыг олж авна. - 3. Системийн шийдэл x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3.

Энэ нь x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 ба 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 огтлолцох цэг (1, - 3, 0) координаттай байна гэсэн үг юм.

Хариулт: (1 , - 3 , 0) .

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 хэлбэрийн систем = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 нь зөвхөн нэг шийдтэй байна. Энэ нь a ба b шугамууд огтлолцдог гэсэн үг юм.

Бусад тохиолдолд тэгшитгэл нь шийдэлгүй, өөрөөр хэлбэл нийтлэг цэгүүд байдаггүй. Энэ нь байхгүй тул координаттай цэгийг олох боломжгүй юм.

Иймд A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z хэлбэрийн систем. + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0-ийг Гауссын аргаар шийднэ. Хэрэв энэ нь таарахгүй бол шугамууд огтлолцохгүй байна. Хязгааргүй олон тооны шийдэл байгаа бол тэдгээр нь давхцдаг.

Та матрицын үндсэн ба өргөтгөсөн зэрэглэлийг тооцоолох замаар шийдэж, дараа нь Кронекер-Капелли теоремыг ашиглаж болно. Бид нэг, олон эсвэл огт шийддэггүй.

Жишээ 10

x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 ба x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 шулуунуудын тэгшитгэлийг өгөв. Уулзвар цэгийг ол.

Шийдэл

Эхлээд тэгшитгэлийн системийг бий болгоё. Бид x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 гэдгийг олж авна. Бид үүнийг Гауссын аргыг ашиглан шийддэг.

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Мэдээжийн хэрэг, системд ямар ч шийдэл байхгүй, энэ нь шугамууд огтлолцохгүй гэсэн үг юм. Ямар ч уулзвар байхгүй.

Хариулт:огтлолцох цэг байхгүй.

Хэрэв шугамуудыг конон эсвэл параметрийн тэгшитгэл ашиглан өгөгдсөн бол тэдгээрийг огтлолцох хавтгайн тэгшитгэл болгон бууруулж, координатыг олох хэрэгтэй.

Жишээ 11

O x y z-д x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R ба x 2 = y - 3 0 = z 5 гэсэн хоёр шугам өгөгдсөн. Уулзвар цэгийг ол.

Шийдэл

Бид шулуун шугамыг огтлолцсон хоёр хавтгайн тэгшитгэлээр тодорхойлно. Бид үүнийг ойлгодог

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Бид 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 координатуудыг олж, үүний тулд бид матрицын зэрэглэлийг тооцоолно. Матрицын зэрэглэл нь 3, суурь минор нь 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0 бөгөөд энэ нь сүүлийн тэгшитгэлийг системээс хасах ёстой гэсэн үг юм. Бид үүнийг ойлгодог

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 у - 3 = 0

Крамерын аргыг ашиглан системийг шийдье. Бид x = - 2 y = 3 z = - 5 гэдгийг олж авна. Эндээс бид өгөгдсөн шугамуудын огтлолцол нь координаттай (- 2, 3, - 5) цэгийг өгдөг болохыг олж мэднэ.

Хариулт: (- 2 , 3 , - 5) .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Уулзвар цэг

Коэффициент болон -ээр тодорхойлогдсон хоёр шулуун шугам өгье. Та тэдгээрийн огтлолцох цэгийг олох эсвэл шугамууд параллель байгааг олж мэдэх хэрэгтэй.

Шийдэл

Хэрэв хоёр шугам зэрэгцээ биш бол огтлолцоно. Уулзалтын цэгийг олохын тулд хоёр шулуун шугамын тэгшитгэлийн системийг үүсгэж, үүнийг шийдвэрлэхэд хангалттай.

Крамерын томъёог ашиглан бид системийн шийдлийг нэн даруй олдог бөгөөд энэ нь хүссэн шийдэл байх болно уулзвар цэг:

Хэрэв хуваагч нь тэг бол, i.e.

Дараа нь системд ямар ч шийдэл байхгүй (шууд Зэрэгцээба давхцахгүй) эсвэл хязгааргүй олон (шууд таарах). Хэрэв эдгээр хоёр тохиолдлыг ялгах шаардлагатай бол шугамын коэффициентүүд нь коэффициентүүдтэй ижил пропорциональ коэффициенттэй пропорциональ байгаа эсэхийг шалгах шаардлагатай бөгөөд хэрэв тэдгээр нь хоёулаа байвал хоёр тодорхойлогчийг тооцоолоход хангалттай тэгтэй тэнцүү бол мөрүүд давхцана:

Хэрэгжилт

struct pt(давхар х, у;); бүтцийн шугам(давхар a, b, c;); constdouble EPS =1e-9; давхар дет (давхар a, давхар б, давхар в, давхар г)(а * d - b * c буцах;) bool огтлолцох (м шугам, n шугам, pt & res)(давхар zn = det (m.a, m.b, n.a) , n.b); хэрэв(abs(zn)< EPS)returnfalse; res.x=- det (m.c, m.b, n.c, n.b)/ zn; res.y=- det (m.a, m.c, n.a, n.c)/ zn;returntrue;} bool parallel (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS;} bool equivalent (line m, line n){returnabs(det (m.a, m.b, n.a, n.b))< EPS &&abs(det (m.a, m.c, n.a, n.c))< EPS &&abs(det (m.b, m.c, n.b, n.c))< EPS;}

Цувралын сургамж " Геометрийн алгоритмууд»

Сайн байна уу эрхэм уншигч.

Зөвлөгөө 1: Хоёр шулууны огтлолцох цэгийн координатыг хэрхэн олох вэ

Дахиад гурван шинэ функц бичье.

эсэхийг LinesCross() функц тодорхойлно огтлолцоххоёр ч бай сегмент. Үүнд сегментүүдийн харьцангуй байрлалыг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан тодорхойлно. Вектор бүтээгдэхүүнийг тооцоолохын тулд бид VektorMulti() функцийг бичнэ.

Харьцуулах үйлдлийг хэрэгжүүлэхийн тулд RealLess() функцийг ашиглана.<” (строго меньше) для вещественных чисел.

Даалгавар 1. Хоёр сегментийг координатаар нь өгөв. тодорхойлох програм бичнэ үү Эдгээр сегментүүд огтлолцдог уу?огтлолцох цэгийг олохгүйгээр.

Шийдэл
. Хоёр дахь нь цэгээр өгөгдсөн.

Хэсэг ба цэгийг авч үзээд .

Цэг нь шугамын зүүн талд байрладаг бөгөөд энэ нь вектор бүтээгдэхүүн юм > 0, учир нь векторууд эерэг чиглэлтэй байна.

Энэ цэг нь векторын үржвэр болох шугамын баруун талд байрладаг < 0, так как векторы отрицательно ориентированы.

Цэгүүд шулуун шугамын эсрэг талд байхын тулд нөхцөл хангагдсан байхад хангалттай.< 0 (векторные произведения имели противоположные знаки).

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг сегмент болон цэгүүдэд хийж болно.

Тэгэхээр хэрэв , дараа нь сегментүүд огтлолцоно.

Энэ нөхцөлийг шалгахын тулд LinesCross() функцийг, вектор бүтээгдэхүүнийг тооцоолоход VektorMulti() функцийг ашиглана.

сүх, ай - эхний векторын координат,

bx, by – хоёр дахь векторын координат.

Програм геометр4; (2 сегмент огтлолцдог уу?) Const _Eps: Real=1e-4; (тооцооллын нарийвчлал) var x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4: real; var v1,v2,v3,v4: real;function RealLess(Const a, b: Real): Boolean; (Хатуу бага) эхлэх RealLess:= b-a> _Eps төгсгөл; (RealLess)функц VektorMulti(ax,ay,bx,by:real): бодит; (ax,ay - a координат bx,by - b координат) begin vektormulti:= ax*by-bx*ay; төгсгөл;Функцийн шугамуудЗагалмай(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4:real): boolean; (Хэсгүүд огтлолцдог уу?) эхэлнэ v1:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x1-x3,y1-y3); v2:=vektormulti(x4-x3,y4-y3,x2-x3,y2-y3); v3:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x3-x1,y3-y1); v4:=vektormulti(x2-x1,y2-y1,x4-x1,y4-y1); Хэрэв RealLess(v1*v2,0) болон RealLess(v3*v4,0) (v1v2) бол<0 и v3v4<0, отрезки пересекаются} then LinesCross:= true else LinesCross:= false end; {LinesCross}begin {main} writeln(‘Введите координаты отрезков: x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4’); readln(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4); if LinesCross(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4) then writeln (‘Да’) else writeln (‘Нет’) end.

Хөтөлбөрийн гүйцэтгэлийн үр дүн:

Сегментүүдийн координатыг оруулна уу: -1 1 2 2.52 2 1 -1 3
Тиймээ.

Бид координатаар нь тодорхойлсон сегментүүд огтлолцох эсэхийг тодорхойлох программ бичсэн.

Дараагийн хичээлээр бид гурвалжин дотор цэг байгаа эсэхийг тодорхойлох алгоритмыг бүтээх болно.

Эрхэм уншигч.

Та "Геометрийн алгоритм" цувралын хэд хэдэн хичээлтэй аль хэдийн танилцсан байна. Бүх зүйл хүртээмжтэй байдлаар бичигдсэн үү? Хэрэв та эдгээр хичээлүүдийн талаар санал хүсэлтээ үлдээвэл би маш их талархах болно. Магадгүй ямар нэг зүйлийг сайжруулах шаардлагатай хэвээр байна.

Хүндэтгэсэн, Вера Господарец.

Хоёр сегментийг өгье. Эхнийх нь цэгээр өгөгдсөн P 1 (x 1 ;y 1)Тэгээд P 2 (x 2 ;y 2). Хоёр дахь нь оноогоор өгөгддөг P 3 (x 3 ;y 3)Тэгээд P 4 (x 4 ;y 4).

Сегментүүдийн харьцангуй байрлалыг вектор бүтээгдэхүүн ашиглан шалгаж болно.

Сегментийг анхаарч үзээрэй P 3 P 4болон цэгүүд P 1Тэгээд P2.

Цэг P 1шугамын зүүн талд байрладаг P 3 P 4, түүний хувьд вектор бүтээгдэхүүн v 1 > 0, векторууд эерэг чиглэсэн тул.
Цэг P2шугамын баруун талд байрлах бөгөөд энэ нь вектор бүтээгдэхүүн юм v 2< 0 , векторууд сөрөг хандлагатай байдаг тул.

Үзэл бодлоо илэрхийлэхийн тулд P 1Тэгээд P2шулуун шугамын эсрэг талд хэвтэнэ P 3 P 4, нөхцөл хангагдахад хангалттай v 1 v 2< 0 (вектор бүтээгдэхүүнүүд эсрэг тэмдэгтэй байсан).

Үүнтэй төстэй үндэслэлийг сегментийн хувьд хийж болно P 1 P 2болон оноо P 3Тэгээд P 4.

Тэгэхээр хэрэв v 1 v 2< 0 Тэгээд v 3 v 4< 0 , дараа нь сегментүүд огтлолцоно.

Хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Хаана:
сүх, ай- эхний векторын координат,
bx, by- хоёр дахь векторын координатууд.

Координатаар нь тодорхойлсон хоёр өөр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл.

Шулуун дээр давхцахгүй хоёр цэг өгье. P 1координаттай ( x 1 ;y 1)Тэгээд P2координатуудтай (x 2 ; y 2).

Шугамануудын огтлолцол

Үүний дагуу цэг дээр гарал үүсэлтэй вектор P 1мөн цэг дээр төгсдөг P2координаттай (x 2 -x 1 , y 2 -y 1). Хэрэв P(x, y)нь шулуун дээрх дурын цэг, дараа нь векторын координат P 1 Pтэнцүү (x - x 1, y - y 1).

Вектор үржвэрийг ашиглах, векторуудын коллинеар байх нөхцөл P 1 PТэгээд P 1 P 2ингэж бичиж болно:
|P 1 P,P 1 P 2 |=0, өөрөөр хэлбэл (x-x 1)(y 2 -y 1)-(y-y 1)(x 2 -x 1)=0
эсвэл
(y 2 -y 1)x + (x 1 -x 2)y + x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1) = 0

Сүүлийн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичнэ.
ax + by + c = 0, (1)
Хаана
a = (y 2 -y 1),
b = (x 1 -x 2),
c = x 1 (y 1 -y 2) + y 1 (x 2 -x 1)

Тиймээс шулуун шугамыг (1) хэлбэрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

Шугамын огтлолцлын цэгийг хэрхэн олох вэ?
Тодорхой шийдэл бол шугамын тэгшитгэлийн системийг шийдэх явдал юм.

сүх 1 +1-ээр =-c 1
сүх 2 + 2-оор =-c 2 (2)

Тэмдэгтүүдийг оруулна уу:

Энд Днь системийн тодорхойлогч бөгөөд Dx, Dy- коэффициентийн баганыг харгалзах үл мэдэгдэх баганыг чөлөөт нэр томъёоны баганагаар сольж олж авсан тодорхойлогч. Хэрэв D ≠ 0, тэгвэл (2) систем нь тодорхой, өөрөөр хэлбэл өвөрмөц шийдэлтэй байна. Энэ шийдлийг дараах томъёог ашиглан олж болно. x 1 =D x /D, y 1 =D y /D, тэдгээрийг Крамерын томъёо гэж нэрлэдэг. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг хэрхэн тооцдог тухай хурдан сануулга. Тодорхойлогч нь үндсэн ба хоёрдогч гэсэн хоёр диагональыг ялгадаг. Үндсэн диагональ нь тодорхойлогчийн зүүн дээд булангаас баруун доод булан хүртэлх чиглэлд авсан элементүүдээс бүрдэнэ. Хажуугийн диагональ - баруун дээд хэсгээс зүүн доод хүртэл. Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогч нь үндсэн диагональын элементүүдийн үржвэрээс хоёрдогч диагональын элементүүдийн үржвэрийг хассантай тэнцүү байна.

Хоёр хэмжээст орон зайд хоёр шулуун координатаар (x,y) тодорхойлогдсон зөвхөн нэг цэг дээр огтлолцдог. Хоёр шугам хоёулаа огтлолцох цэгийг дайран өнгөрдөг тул координатууд (x,y) нь эдгээр шугамыг тодорхойлсон тэгшитгэлийг хоёуланг нь хангах ёстой. Зарим нэмэлт ур чадварын тусламжтайгаар та парабол болон бусад квадрат муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийг олох боломжтой.

Алхам

Хоёр шугамын огтлолцох цэг

Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа “y” хувьсагчийг тусгаарлан мөр бүрийн тэгшитгэлийг бич.Тэгшитгэлийн бусад нөхцөлийг тэгшитгэлийн баруун талд байрлуулах ёстой. Магадгүй танд өгөгдсөн тэгшитгэл нь “y”-ийн оронд f(x) эсвэл g(x) хувьсагчийг агуулсан байх; энэ тохиолдолд ийм хувьсагчийг тусгаарлана. Хувьсагчийг тусгаарлахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талд тохирох математикийг гүйцэтгэнэ.

• Хэрэв таны мэддэг мэдээлэлд үндэслэн шугамуудын тэгшитгэлийг танд өгөөгүй бол.
• Жишээ. Тэгшитгэлээр дүрсэлсэн шулуун шугамууд ба y − 12 = − 2 x (\displaystyle y-12=-2x). Хоёр дахь тэгшитгэлийн "y" -ийг тусгаарлахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талд 12 тоог нэмнэ.

1. Та хоёр шулууны огтлолцох цэгийг хайж байна, өөрөөр хэлбэл координатууд нь (x, y) хоёр тэгшитгэлийг хангадаг цэгийг хайж байна. “y” хувьсагч нь тэгшитгэл бүрийн зүүн талд байгаа тул тэгшитгэл бүрийн баруун талд байрлах илэрхийлэлүүдийг тэнцүүлж болно. Шинэ тэгшитгэл бичнэ үү.

   • Жишээ. Учир нь y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)Тэгээд y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x), тэгвэл бид дараах тэгш байдлыг бичиж болно: .

2. "x" хувьсагчийн утгыг ол.Шинэ тэгшитгэл нь зөвхөн нэг хувьсагчийг агуулсан "x". "X"-ийг олохын тулд тэгшитгэлийн хоёр талд тохирох математикийг хийж тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа хувьсагчийг тусгаарла. Та x = __ хэлбэрийн тэгшитгэлийг авах хэрэгтэй (хэрэв та үүнийг хийж чадахгүй бол энэ хэсгийг үзнэ үү).

   • Жишээ. x + 3 = 12 − 2 x (\displaystyle x+3=12-2x)
   • Нэмэх 2 x (\displaystyle 2x)тэгшитгэлийн тал бүрт:
   • 3 x + 3 = 12 (\displaystyle 3x+3=12)
   • Тэгшитгэлийн тал бүрээс 3-ыг хас:
   • 3 x = 9 (\displaystyle 3x=9)
   • Тэгшитгэлийн тал бүрийг 3-т хуваа.
   • x = 3 (\displaystyle x=3).

3. "x" хувьсагчийн олсон утгыг ашиглан "y" хувьсагчийн утгыг тооцоолно.Үүнийг хийхийн тулд олсон "x" утгыг шулуун шугамын тэгшитгэлд (аль ч) орлуулна.

   • Жишээ. x = 3 (\displaystyle x=3)Тэгээд y = x + 3 (\displaystyle y=x+3)
   • y = 3 + 3 (\displaystyle y=3+3)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)

4. Хариултыг шалгана уу.Үүнийг хийхийн тулд шугамын нөгөө тэгшитгэлд "x"-ийн утгыг орлуулж, "y"-ийн утгыг ол. Хэрэв та өөр y утгыг авсан бол тооцоолол зөв эсэхийг шалгана уу.

   • Жишээ: x = 3 (\displaystyle x=3)Тэгээд y = 12 − 2 x (\displaystyle y=12-2x)
   • y = 12 − 2 (3) (\displaystyle y=12-2(3))
   • y = 12 − 6 (\displaystyle y=12-6)
   • y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Та y-д ижил утгыг авсан тул таны тооцоололд алдаа байхгүй.

5. Координатуудыг (x,y) бичнэ үү."x" ба "y" утгуудыг тооцоолсны дараа та хоёр шугамын огтлолцох цэгийн координатыг оллоо. Уулзвар цэгийн координатыг (x,y) хэлбэрээр бич.

   • Жишээ. x = 3 (\displaystyle x=3)Тэгээд y = 6 (\displaystyle y=6)
   • Ийнхүү хоёр шулуун шугам координаттай (3,6) цэг дээр огтлолцоно.

6. Онцгой тохиолдолд тооцоо хийх.Зарим тохиолдолд "x" хувьсагчийн утгыг олох боломжгүй байдаг. Гэхдээ энэ нь та алдаа гаргасан гэсэн үг биш юм. Дараах нөхцлүүдийн аль нэгийг хангасан тохиолдолд онцгой тохиолдол гардаг.

   • Хэрэв хоёр шулуун зэрэгцээ байвал огтлолцохгүй. Энэ тохиолдолд "x" хувьсагч зүгээр л буурч, таны тэгшитгэл утгагүй тэгшитгэл болж хувирна (жишээлбэл, 0 = 1 (\displaystyle 0=1)). Энэ тохиолдолд шугамууд огтлолцохгүй эсвэл шийдэл байхгүй гэдгийг хариултдаа бичнэ үү.
   • Хэрэв хоёр тэгшитгэл нь нэг шулуун шугамыг дүрсэлсэн бол төгсгөлгүй тооны огтлолцлын цэгүүд байх болно. Энэ тохиолдолд "x" хувьсагч зүгээр л цуцлагдах бөгөөд таны тэгшитгэл хатуу тэгшитгэл болж хувирна (жишээлбэл, 3 = 3 (\displaystyle 3=3)). Энэ тохиолдолд хоёр мөр давхцаж байгааг хариултдаа бичнэ үү.

   Квадрат функцтэй холбоотой асуудлууд

   1. Квадрат функцийн тодорхойлолт.Квадрат функцэд нэг буюу хэд хэдэн хувьсагч хоёр дахь зэрэгтэй (гэхдээ түүнээс дээш биш), жишээлбэл, x 2 (\displaystyle x^(2))эсвэл y 2 (\displaystyle y^(2)). Квадрат функцүүдийн графикууд нь огтлолцохгүй эсвэл нэг эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болох муруй юм. Энэ хэсэгт бид квадрат муруйнуудын огтлолцлын цэг буюу цэгүүдийг хэрхэн олохыг танд хэлэх болно.

   2. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа “y” хувьсагчийг тусгаарлан тэгшитгэл бүрийг дахин бич.Тэгшитгэлийн бусад нөхцөлийг тэгшитгэлийн баруун талд байрлуулах ёстой.

      • Жишээ. Графикуудын огтлолцлын цэгийг ол x 2 + 2 x − y = − 1 (\displaystyle x^(2)+2x-y=-1)Тэгээд
      • Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа "y" хувьсагчийг тусгаарла.
      • Тэгээд y = x + 7 (\displaystyle y=x+7) .
      • Энэ жишээнд танд нэг квадрат функц, нэг шугаман функц өгөгдсөн. Хэрэв танд хоёр квадрат функц өгөгдсөн бол тооцоолол нь доор дурдсан алхмуудтай төстэй гэдгийг санаарай.

   3. Тэгшитгэл бүрийн баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг тэнцүүл.“y” хувьсагч нь тэгшитгэл бүрийн зүүн талд байгаа тул тэгшитгэл бүрийн баруун талд байрлах илэрхийлэлүүдийг тэнцүүлж болно.

      • Жишээ. y = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle y=x^(2)+2x+1)Тэгээд y = x + 7 (\displaystyle y=x+7)

   4. Үүссэн тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тал руу нь шилжүүлж, баруун талд 0 гэж бичнэ.Үүнийг хийхийн тулд хэд хэдэн үндсэн математикийг хий. Энэ нь танд үүссэн тэгшитгэлийг шийдэх боломжийг олгоно.

      • Жишээ. x 2 + 2 x + 1 = x + 7 (\displaystyle x^(2)+2x+1=x+7)
      • Тэгшитгэлийн хоёр талаас "x"-ийг хасах:
      • x 2 + x + 1 = 7 (\displaystyle x^(2)+x+1=7)
      • Тэгшитгэлийн хоёр талаас 7-г хас:

   5. Квадрат тэгшитгэлийг шийд.Тэгшитгэлийн бүх гишүүнийг зүүн тал руу нь шилжүүлснээр квадрат тэгшитгэл гарна. Үүнийг гурван аргаар шийдэж болно: тусгай томъёог ашиглах, ба.

      • Жишээ. x 2 + x − 6 = 0 (\displaystyle x^(2)+x-6=0)
      • Тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооцохдоо хоёр хоёр гишүүн авах бөгөөд үржүүлснээр анхны тэгшитгэлийг өгнө. Бидний жишээнд эхний нэр томъёо x 2 (\displaystyle x^(2)) x * x болгон задалж болно. Үүнийг бичнэ үү: (x)(x) = 0
      • Бидний жишээн дээр чөлөөт нэр томъёо -6-г дараах хүчин зүйлүүдэд хувааж болно. − 6 ∗ 1 (\displaystyle -6*1), − 3 ∗ 2 (\displaystyle -3*2), − 2 ∗ 3 (\displaystyle -2*3), − 1 ∗ 6 (\displaystyle -1*6).
      • Бидний жишээн дээр хоёр дахь гишүүн нь x (эсвэл 1x) юм. 1-ийг авах хүртлээ дамми гишүүний хос хүчин зүйл бүрийг (бидний жишээнд -6) нэмнэ. Манай жишээнд хуурамч гишүүний тохирох хос хүчин зүйлүүд нь -2 ба 3 ( − 2 ∗ 3 = − 6 (\displaystyle -2*3=-6)), учир нь − 2 + 3 = 1 (\displaystyle -2+3=1).
      • Олдсон хос тоогоор хоосон зайг бөглөнө үү: .

   6. Хоёр графикийн огтлолцлын хоёр дахь цэгийн талаар бүү мартаарай.Хэрэв та асуудлыг хурдан шийдэж, маш болгоомжтой биш бол хоёр дахь уулзварын цэгийг мартаж болно. Хоёр огтлолцох цэгийн х координатыг хэрхэн олохыг эндээс үзнэ үү.

      • Жишээ (факторжуулалт). Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. (x − 2) (x + 3) = 0 (\displaystyle (x-2)(x+3)=0)Хаалтанд байгаа илэрхийллүүдийн аль нэг нь 0-тэй тэнцүү байх ба тэгшитгэл бүхэлдээ 0-тэй тэнцүү байх болно. Тиймээс бид үүнийг дараах байдлаар бичиж болно. x − 2 = 0 (\displaystyle x-2=0) → x = 2 (\displaystyle x=2) Тэгээд x + 3 = 0 (\displaystyle x+3=0) → x = − 3 (\displaystyle x=-3) (өөрөөр хэлбэл та тэгшитгэлийн хоёр үндсийг олсон).
      • Жишээ (томьёог ашиглах эсвэл төгс квадратыг бөглөх). Эдгээр аргуудын аль нэгийг ашиглах үед шийдлийн процесст квадрат язгуур гарч ирнэ. Жишээлбэл, бидний жишээн дээрх тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна x = (− 1 + 25) / 2 (\displaystyle x=(-1+(\sqrt (25)/2). Квадрат язгуурыг авахдаа та хоёр шийдлийг авах болно гэдгийг санаарай. Манай тохиолдолд: 25 = 5 ∗ 5 (\displaystyle (\sqrt (25))=5*5), Тэгээд 25 = (− 5) ∗ (− 5) (\displaystyle (\sqrt (25))=(-5)*(-5)). Тиймээс хоёр тэгшитгэл бичээд x-ийн хоёр утгыг олоорой.

   7. Графикууд нэг цэг дээр огтлолцдог эсвэл огт огтлолцдоггүй.Дараах нөхцөл хангагдсан тохиолдолд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.

      • Хэрэв графикууд нэг цэг дээр огтлолцсон бол квадрат тэгшитгэлийг ижил хүчин зүйл болгон задалж, жишээлбэл, (x-1) (x-1) = 0, 0-ийн квадрат язгуур нь томьёонд гарч ирнэ ( 0 (\displaystyle (\sqrt (0)))). Энэ тохиолдолд тэгшитгэл нь зөвхөн нэг шийдэлтэй байна.
      • Хэрэв графикууд огт огтлолцохгүй бол тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлээгүй бөгөөд сөрөг тооны квадрат язгуур нь томъёонд гарч ирнэ (жишээлбэл, − 2 (\displaystyle (\sqrt (-2)))). Энэ тохиолдолд ямар ч шийдэл байхгүй гэж хариултдаа бичээрэй.

1. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг олохын тулд функцийг хоёуланг нь тэнцүүлж, $ x $ агуулсан бүх гишүүнийг зүүн тал руу, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлж, язгуурыг олох хэрэгтэй. үр дүнгийн тэгшитгэл.
2. Хоёр дахь арга нь тэгшитгэлийн системийг бий болгож, нэг функцийг нөгөөд орлуулах замаар шийдвэрлэх явдал юм
3. Гурав дахь арга нь функцийг графикаар бүтээх, уулзварын цэгийг нүдээр тодорхойлох явдал юм.

Хоёр шугаман функцийн тохиолдол

$ f(x) = k_1 x+m_1 $ ба $ g(x) = k_2 x + m_2 $ гэсэн хоёр шугаман функцийг авч үзье. Эдгээр функцийг шууд гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг бүтээх нь маш хялбар бөгөөд та $ x_1 $ ба $ x_2 $ гэсэн хоёр утгыг авч, $ f(x_1) $ ба $ (x_2) $-ийг олох хэрэгтэй. Дараа нь $ g(x) $ функцтэй ижил зүйлийг давтана. Дараа нь функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг нүдээр ол.

Шугаман функцууд нь зөвхөн нэг огтлолцох цэгтэй бөгөөд зөвхөн $ k_1 \neq k_2 $ үед л мэдэх ёстой. Үгүй бол $ k_1=k_2 $ тохиолдолд функцууд хоорондоо параллель байна, учир нь $ k $ нь налуугийн коэффициент юм. Хэрэв $ k_1 \neq k_2 $ харин $ m_1=m_2 $ байвал огтлолцох цэг нь $ M(0;m) $ болно. Асуудлыг хурдан шийдвэрлэхийн тулд энэ дүрмийг санах нь зүйтэй.

Жишээ 1

$ f(x) = 2x-5 $ ба $ g(x)=x+3 $ өгье. Функцийн графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Үүнийг хэрхэн хийх вэ? Хоёр шугаман функцийг танилцуулсан тул хамгийн түрүүнд $ k_1 = 2 $ ба $ k_2 = 1 $ функцүүдийн налуугийн коэффициентийг авч үзэх болно. $ k_1 \neq k_2 $ тул нэг огтлолцох цэг байгааг бид тэмдэглэж байна. Үүнийг $ f(x)=g(x) $ тэгшитгэлийг ашиглан олъё: $$ 2x-5 = x+3 $$ Бид $ x $ бүхий нөхцлүүдийг зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ. $$ 2x - x = 3+5 $$ Графикуудын огтлолцох цэгийн абсциссыг $ x=8 $ олж авсан бөгөөд одоо ординатыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд $ f(x) $ эсвэл $ g(x) $ гэсэн аль нэг тэгшитгэлд $ x = 8 $-г орлъё: $$ f(8) = 2\cdot 8 - 5 = 16 - 5 = 11 $$ Тэгэхээр $ M (8;11) $ нь хоёр шугаман функцийн графикуудын огтлолцох цэг юм. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулах

$$ М (8;11) $$

Хоёр шугаман бус функцийн тохиолдол

Жишээ 3

$ f(x)=x^2-2x+1 $ ба $ g(x)=x^2+1 $ функцын графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

Шийдэл

Хоёр шугаман бус функцийг яах вэ? Алгоритм нь энгийн: бид тэгшитгэлүүдийг бие биетэйгээ тэнцүүлж, үндсийг нь олдог. $$ x^2-2x+1=x^2+1 $$ Бид тэгшитгэлийн янз бүрийн тал дээр $ x $-тай болон $гүйгээр нэр томъёог хуваарилдаг. $$ x^2-2x-x^2=1-1 $$ Хүссэн цэгийн абсцисс олдсон боловч энэ нь хангалтгүй юм. Ординат $y$ байхгүй хэвээр байна. Бид $ x = 0 $-г асуудлын нөхцөлийн хоёр тэгшитгэлийн аль нэгэнд орлуулна. Жишээлбэл: $$ f(0)=0^2-2\cdot 0 + 1 = 1 $$ $ M (0;1) $ - функцийн графикуудын огтлолцлын цэг

Хариулах

$$ М (0;1) $$