Функцийн деривативыг олох үйл явцыг гэнэ ялгах.Деривативыг математикийн шинжилгээний явцад хэд хэдэн асуудалд олох шаардлагатай. Жишээлбэл, функцийн графикийн экстремум цэг ба гулзайлтын цэгийг олох үед.
Хэрхэн олох вэ?
Функцийн деривативыг олохын тулд та үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг мэдэж, ялгах үндсэн дүрмийг ашиглах хэрэгтэй.
- Тогтмолыг деривативын тэмдгээс цааш шилжүүлэх: $$ (Cu)" = C(u)" $$
- Функцийн нийлбэр/ялгааны дериватив: $$ (u \pm v)" = (u)" \pm (v)" $$
- Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив: $$ (u \cdot v)" = u"v + uv" $$
- Бутархайн дериватив: $$ \bigg (\frac(u)(v) \bigg)" = \frac(u"v - uv"))(v^2) $$
- Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив: $$ (f(g(x))" = f"(g(x)) \cdot g"(x) $$
Шийдлийн жишээ
| Жишээ 1 |
| $ y = x^3 - 2x^2 + 7x - 1 $ функцийн уламжлалыг ол. |
| Шийдэл |
|
Функцийн нийлбэр/ялгааны дериватив нь деривативын нийлбэр/ялгаатай тэнцүү байна: $$ y" = (x^3 - 2x^2 + 7x - 1)" = (x^3)" - (2x^2)" + (7x)" - (1)" = $$ $ (x^p)" = px^(p-1) $ чадлын функцийн деривативын дүрмийг ашигласнаар бид дараах байдалтай байна: $$ y" = 3x^(3-1) - 2 \cdot 2 x^(2-1) + 7 - 0 = 3x^2 - 4x + 7 $$ Тогтмол хэмжигдэхүүний дериватив нь тэгтэй тэнцүү байдгийг мөн харгалзан үзсэн. Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална! |
| Хариулах |
| $$y" = 3x^2 - 4x + 7 $$ |
Дериватив
Математик функцийн деривативыг (ялгаалах) тооцоолох нь дээд математикийг шийдвэрлэхэд маш түгээмэл асуудал юм. Энгийн (анхан) математикийн функцүүдийн хувьд энэ нь нэлээд энгийн асуудал юм, учир нь анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтүүдийг эртнээс эмхэтгэсэн бөгөөд хялбархан ашиглах боломжтой. Гэсэн хэдий ч математикийн нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох нь энгийн ажил биш бөгөөд ихэвчлэн ихээхэн хүчин чармайлт, цаг хугацаа шаарддаг.
Деривативыг онлайнаар олоорой
Манай онлайн үйлчилгээ нь утгагүй урт тооцооллоос ангижрах боломжийг олгодог деривативыг онлайнаар олохнэг агшинд. Түүнчлэн, вэбсайт дээр байрлах манай үйлчилгээг ашиглан www.site, та тооцоолж болно онлайн деривативаль аль нь энгийн функцээс, аналитик шийдэлгүй маш нарийн төвөгтэй функцээс. Манай сайтын бусадтай харьцуулахад гол давуу тал нь: 1) деривативыг тооцоолох математик функцийг оруулах аргад хатуу шаардлага байхгүй (жишээлбэл, синус x функцийг оруулахдаа sin x эсвэл sin гэж оруулж болно. (x) эсвэл sin[x] гэх мэт d.); 2) онлайн дериватив тооцоолол нь нэн даруй тохиолддог онлайнмөн туйлын үнэгүй; 3) функцийн деривативыг олох боломжийг танд олгоно ямар ч захиалга, деривативын дарааллыг өөрчлөх нь маш хялбар бөгөөд ойлгомжтой; 4) бид танд бараг бүх математикийн функцын деривативыг, тэр ч байтугай бусад үйлчилгээгээр шийдэж чадахгүй маш төвөгтэй функцийг олох боломжийг олгодог. Өгөгдсөн хариулт нь үргэлж үнэн зөв бөгөөд алдаа агуулсан байж болохгүй.
Манай серверийг ашигласнаар 1) үүсмэл хувилбарыг онлайнаар тооцоолж, алдаа, үсгийн алдаа гаргаж болох цаг хугацаа шаардсан, уйтгартай тооцооллуудыг арилгах боломжтой; 2) хэрэв та математик функцийн деривативыг өөрөө тооцоолсон бол бид танд олж авсан үр дүнг манай үйлчилгээний тооцоололтой харьцуулж, шийдэл зөв эсэхийг шалгах, эсвэл дотогш орсон алдааг олох боломжийг танд олгоно; 3) хүссэн функцийг олоход ихэвчлэн цаг хугацаа шаардагддаг энгийн функцүүдийн дериватив хүснэгтүүдийг ашиглахын оронд манай үйлчилгээг ашигла.
Танаас шаардагдах бүх зүйл бол хийх явдал юм деривативыг онлайнаар олох- манай үйлчилгээг ашиглах явдал юм
Хэрэв та тодорхойлолтыг дагаж мөрдвөл тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь Δ функцийн өсөлтийн харьцааны хязгаар юм. yаргументийн өсөлт рүү Δ x:
Бүх зүйл ойлгомжтой байх шиг байна. Гэхдээ энэ томъёог ашиглан функцийн деривативыг тооцоолж үзээрэй е(x) = x 2 + (2x+ 3) · д xнүгэл x. Хэрэв та бүх зүйлийг тодорхойлолтоор хийвэл хэдэн хуудас тооцоо хийсний дараа та зүгээр л унтах болно. Тиймээс илүү энгийн бөгөөд үр дүнтэй аргууд байдаг.
Эхлэхийн тулд бид бүх төрлийн функцүүдээс энгийн функц гэж нэрлэгддэг функцүүдийг ялгаж салгаж болно гэдгийг тэмдэглэж байна. Эдгээр нь харьцангуй энгийн илэрхийллүүд бөгөөд деривативуудыг удаан хугацаанд тооцоолж, хүснэгтэд оруулсан болно. Ийм функцууд нь тэдгээрийн деривативуудын хамт санахад хялбар байдаг.
Энгийн функцүүдийн деривативууд
Үндсэн функцууд нь доор жагсаасан бүх функцууд юм. Эдгээр функцүүдийн деривативуудыг цээжээр мэддэг байх ёстой. Түүнээс гадна тэдгээрийг цээжлэх нь тийм ч хэцүү биш - тиймээс тэд анхан шатны шинж чанартай байдаг.
Тиймээс, үндсэн функцүүдийн деривативууд:
| Нэр | Чиг үүрэг | Дериватив |
| Тогтмол | е(x) = C, C ∈ Р | 0 (тийм ээ, тэг!) |
| Рационал үзүүлэлттэй хүч | е(x) = x n | n · x n − 1 |
| Синус | е(x) = нүгэл x | cos x |
| Косинус | е(x) = cos x | - нүгэл x(хасах синус) |
| Тангенс | е(x) = тг x | 1/cos 2 x |
| Котангенс | е(x) = ctg x | − 1/нүгэл 2 x |
| Байгалийн логарифм | е(x) = бүртгэл x | 1/x |
| Дурын логарифм | е(x) = бүртгэл а x | 1/(x ln а) |
| Экспоненциал функц | е(x) = д x | д x(юу ч өөрчлөгдөөгүй) |
Хэрэв энгийн функцийг дурын тогтмол тоогоор үржүүлбэл шинэ функцийн деривативыг хялбархан тооцоолно.
(C · е)’ = C · е ’.
Ерөнхийдөө деривативын тэмдгээс тогтмолуудыг авч болно. Жишээлбэл:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Мэдээжийн хэрэг, энгийн функцуудыг бие биендээ нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт олон зүйлийг хийх боломжтой. Ийм байдлаар шинэ функцууд гарч ирэх бөгөөд энэ нь ялангуяа энгийн байхаа больсон, гэхдээ бас тодорхой дүрмийн дагуу ялгагдах болно. Эдгээр дүрмийг доор авч үзэх болно.
Нийлбэр ба зөрүүний дериватив
Функцуудыг өгье е(x) Мөн g(x), деривативууд нь бидэнд мэдэгддэг. Жишээлбэл, та дээр дурдсан үндсэн функцуудыг авч болно. Дараа нь та эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны деривативыг олох боломжтой.
- (е + g)’ = е ’ + g ’
- (е − g)’ = е ’ − g ’
Тэгэхээр хоёр функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна. Илүү олон нэр томъёо байж болно. Жишээлбэл, ( е + g + h)’ = е ’ + g ’ + h ’.
Хатуухан хэлэхэд алгебрт "хасах" гэсэн ойлголт байдаггүй. "Сөрөг элемент" гэсэн ойлголт байдаг. Тиймээс ялгаа е − gнийлбэр болгон дахин бичиж болно е+ (−1) g, дараа нь зөвхөн нэг томъёо үлдэнэ - нийлбэрийн дериватив.
е(x) = x 2 + нүгэл х; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцийн нийлбэр тул:
е ’(x) = (x 2 + нүгэл x)’ = (x 2)' + (нүгэл x)’ = 2x+ cos x;
Бид функцийг ижил төстэй шалтгаанаар тайлбарлаж байна g(x). Зөвхөн гурван нэр томъёо байдаг (алгебрийн үүднээс):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
Хариулт:
е ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Бүтээгдэхүүний дериватив
Математик бол логик шинжлэх ухаан тул олон хүн нийлбэрийн дериватив нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү бол тухайн бүтээгдэхүүний дериватив гэж олон хүн үздэг. ажил хаях"> деривативын үржвэртэй тэнцүү байна. Гэхдээ та эргэлзээрэй! Бүтээгдэхүүний деривативыг огт өөр томъёогоор тооцдог. Тухайлбал:
(е · g) ’ = е ’ · g + е · g ’
Томъёо нь энгийн боловч ихэнхдээ мартагддаг. Зөвхөн сургуулийн сурагчид төдийгүй оюутнууд ч гэсэн. Үр дүн нь буруу шийдэгдсэн асуудлууд юм.
Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · д x .
Чиг үүрэг е(x) нь хоёр үндсэн функцын бүтээгдэхүүн тул бүх зүйл энгийн:
е ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (−нүгэл x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x)
Чиг үүрэг g(x) эхний үржүүлэгч нь арай илүү төвөгтэй боловч ерөнхий схем өөрчлөгддөггүй. Мэдээжийн хэрэг, функцийн эхний хүчин зүйл g(x) нь олон гишүүнт бөгөөд түүний уламжлал нь нийлбэрийн дериватив юм. Бидэнд байгаа:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · д x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · д x + (x 2 + 7x− 7) ( д x)’ = (2x+ 7) · д x + (x 2 + 7x− 7) · д x = д x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · д x = x(x+ 9) · д x .
Хариулт:
е ’(x) = x 2 (3cos x − xнүгэл x);
g ’(x) = x(x+ 9) · д
x
.
Сүүлийн шатанд деривативыг хүчин зүйлээр ангилдаг болохыг анхаарна уу. Албан ёсоор үүнийг хийх шаардлагагүй, гэхдээ ихэнх деривативуудыг бие даан тооцдоггүй, харин функцийг шалгахын тулд хийдэг. Энэ нь цаашид деривативыг тэгтэй тэнцүүлэх, түүний тэмдгүүдийг тодорхойлох гэх мэт болно гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд илэрхийлэлийг хүчин зүйл болгон хуваах нь дээр.
Хэрэв хоёр функц байгаа бол е(x) Мөн g(x), болон g(x) Бидний сонирхож буй олонлог дээр ≠ 0 байвал бид шинэ функцийг тодорхойлж болно h(x) = е(x)/g(x). Ийм функцийн хувьд та деривативыг олж болно:
Сул биш, тийм үү? Хасах нь хаанаас ирсэн бэ? Яагаад g 2? Мөн үүн шиг! Энэ бол хамгийн төвөгтэй томъёонуудын нэг бөгөөд та үүнийг лонхгүйгээр олж чадахгүй. Тиймээс тодорхой жишээн дээр судалж үзэх нь зүйтэй.
Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:
Бутархай тус бүрийн тоологч ба хуваагч нь энгийн функцуудыг агуулдаг тул бидэнд хэрэгтэй зүйл бол энэ хэсгийн деривативын томъёо юм.
Уламжлал ёсоор бид тоологчийг хүчин зүйл болгон хуваадаг - энэ нь хариултыг ихээхэн хялбаршуулах болно:
Нарийн төвөгтэй функц нь хагас километрийн урттай томьёо байх албагүй. Жишээлбэл, функцийг авахад хангалттай е(x) = нүгэл xболон хувьсагчийг солино x, дээр гэж хэлье x 2 + лн x. Энэ нь бүтэх болно е(x) = нүгэл ( x 2 + лн x) - энэ бол нарийн төвөгтэй функц юм. Энэ нь мөн деривативтай боловч дээр дурдсан дүрмийн дагуу үүнийг олох боломжгүй болно.
Би юу хийх хэрэгтэй вэ? Ийм тохиолдолд нийлмэл функцийн деривативын хувьсагч болон томъёог орлуулах нь дараахь зүйлийг хийхэд тусална.
е ’(x) = е ’(т) · т', Хэрэв x-ээр солигдоно т(x).
Дүрмээр бол энэ томьёог ойлгох нөхцөл байдал нь хуваалтын деривативаас ч илүү гунигтай байдаг. Тиймээс тодорхой жишээнүүдийг ашиглан алхам бүрийг нарийвчлан тайлбарлах нь дээр.
Даалгавар. Функцийн деривативыг ол: е(x) = д 2x + 3 ; g(x) = нүгэл ( x 2 + лн x)
Хэрэв функцэд байгаа бол гэдгийг анхаарна уу е(x) илэрхийлэл 2-ын оронд x+ 3 амархан байх болно x, тэгвэл бид энгийн функцийг авна е(x) = д x. Тиймээс бид орлуулалт хийдэг: 2 байг x + 3 = т, е(x) = е(т) = д т. Бид нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор хайдаг.
е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (д т)’ · т ’ = д т · т ’
Тэгээд одоо - анхаарлаа хандуулаарай! Бид урвуу орлуулалтыг гүйцэтгэдэг: т = 2x+ 3. Бид дараахыг авна:
е ’(x) = д т · т ’ = д 2x+ 3 (2 x + 3)’ = д 2x+ 3 2 = 2 д 2x + 3
Одоо функцийг харцгаая g(x). Үүнийг солих шаардлагатай байгаа нь ойлгомжтой x 2 + лн x = т. Бидэнд байгаа:
g ’(x) = g ’(т) · т' = (нүгэл т)’ · т’ = cos т · т ’
Урвуу солих: т = x 2 + лн x. Дараа нь:
g ’(x) = cos ( x 2 + лн x) · ( x 2 + лн x)’ = cos ( x 2 + лн x) · (2 x + 1/x).
Тэгээд л болоо! Сүүлийн илэрхийллээс харахад бүх асуудлыг үүсмэл нийлбэрийг тооцоолох хүртэл багасгасан.
Хариулт:
е ’(x) = 2 · д
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) учир нь ( x 2 + лн x).
Хичээлдээ би "үүсмэл" гэсэн нэр томъёоны оронд "анхны" гэдэг үгийг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, нийлбэрийн цохилт нь цус харвалтын нийлбэртэй тэнцүү байна. Энэ нь илүү ойлгомжтой юу? За, сайн байна.
Тиймээс деривативыг тооцоолох нь дээр дурдсан дүрмийн дагуу эдгээр ижил цохилтоос ангижрахад хүргэдэг. Эцсийн жишээ болгон рационал илтгэгчтэй дериватив хүчин рүү буцъя:
(x n)’ = n · x n − 1
Цөөхөн хүн дүрд нь үүнийг мэддэг nбутархай тоо байж магадгүй. Жишээлбэл, үндэс нь x 0.5. Үндэс дор нь ямар нэгэн гоёмсог зүйл байвал яах вэ? Дахин хэлэхэд үр дүн нь нарийн төвөгтэй функц байх болно - тэд туршилт, шалгалтанд ийм бүтэц өгөх дуртай.
Даалгавар. Функцийн деривативыг ол:
Эхлээд язгуурыг рационал илтгэгчтэй зэрэглэлээр дахин бичье.
е(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Одоо бид орлуулалт хийж байна: зөвшөөрөх x 2 + 8x − 7 = т. Бид дараах томъёог ашиглан деривативыг олно.
е ’(x) = е ’(т) · т ’ = (т 0.5)’ · т’ = 0.5 · т−0.5 · т ’.
Урвуу орлуулалтыг хийцгээе: т = x 2 + 8x− 7. Бидэнд:
е ’(x) = 0.5 · ( x 2 + 8x− 7) −0.5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0.5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Эцэст нь, үндэс рүү буцах:
Математикийн физикийн асуудал эсвэл жишээг шийдвэрлэх нь дериватив, түүнийг тооцоолох аргуудын талаар мэдлэггүйгээр бүрэн боломжгүй юм. Дериватив нь математик шинжилгээний хамгийн чухал ойлголтуудын нэг юм. Бид өнөөдрийн нийтлэлийг энэ үндсэн сэдэвт зориулахаар шийдлээ. Дериватив гэж юу вэ, түүний физик, геометрийн утга нь юу вэ, функцийн деривативыг хэрхэн тооцоолох вэ? Эдгээр бүх асуултыг нэг дор нэгтгэж болно: деривативыг хэрхэн ойлгох вэ?
Деривативын геометрийн болон физикийн утга
Функц байх болтугай f(x) , тодорхой интервалд заасан (а, б) . x ба x0 цэгүүд энэ интервалд хамаарна. X өөрчлөгдөхөд функц нь өөрөө өөрчлөгддөг. Аргументыг өөрчлөх - түүний утгуудын ялгаа x-x0 . Энэ ялгааг дараах байдлаар бичнэ дельта x ба аргументын өсөлт гэж нэрлэдэг. Функцийн өөрчлөлт эсвэл өсөлт нь хоёр цэг дэх функцийн утгуудын зөрүү юм. Деривативын тодорхойлолт:
Тухайн цэг дэх функцийн үүсмэл утга нь өгөгдсөн цэг дэх функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар нь тэг байх хандлагатай байдаг.
Үгүй бол дараах байдлаар бичиж болно.
Ийм хязгаар олох нь ямар учиртай юм бэ? Тэгээд энэ нь юу вэ:
цэг дээрх функцийн уламжлал нь OX тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн тангенс ба тухайн цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчтэй тэнцүү байна.
Деривативын физик утга: цаг хугацааны хувьд замын дериватив нь шулуун хөдөлгөөний хурдтай тэнцүү байна.
Сургуулийн наснаас хойш хүн бүр хурд бол тодорхой зам гэдгийг мэддэг x=f(t) ба цаг хугацаа т . Тодорхой хугацааны дундаж хурд:
Цаг мөчид хөдөлгөөний хурдыг олж мэдэх t0 Та хязгаарыг тооцоолох хэрэгтэй:
Нэгдүгээр дүрэм: тогтмолыг тохируулах
Тогтмолыг дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно. Түүнээс гадна үүнийг хийх ёстой. Математикийн жишээг шийдвэрлэхдээ үүнийг дүрмээр аваарай - Хэрэв та илэрхийлэлийг хялбарчилж чадвал түүнийг хялбарчлахаа мартуузай .
Жишээ. Деривативыг тооцоолъё:
Хоёрдугаар дүрэм: функцүүдийн нийлбэрийн дериватив
Хоёр функцийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. Функцийн зөрүүний деривативын хувьд ч мөн адил.
Бид энэ теоремын баталгааг өгөхгүй, харин практик жишээг авч үзэх болно.
Функцийн деривативыг ол:
Гуравдугаар дүрэм: функцүүдийн үржвэрийн дериватив
Хоёр дифференциалагдах функцийн үржвэрийн деривативыг дараахь томъёогоор тооцоолно.
Жишээ нь: функцийн деривативыг ол:
Шийдэл: 
Энд нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативыг тооцоолох талаар ярих нь чухал юм. Комплекс функцийн дериватив нь завсрын аргументтай харьцуулахад энэ функцийн деривативын үржвэртэй, бие даасан хувьсагчтай холбоотой завсрын аргументийн деривативтай тэнцүү байна.
Дээрх жишээн дээр бид дараах илэрхийлэлтэй тулгардаг.
Энэ тохиолдолд завсрын аргумент нь тав дахь зэрэглэлд 8x байна. Ийм илэрхийллийн деривативыг тооцоолохын тулд эхлээд завсрын аргументтай холбоотойгоор гадаад функцийн деривативыг тооцож, дараа нь бие даасан хувьсагчийн хувьд завсрын аргументийн деривативаар үржүүлнэ.
Дөрөвдүгээр дүрэм: хоёр функцийн хуваалтын дериватив
Хоёр функцийн хуваалтын деривативыг тодорхойлох томъёо:
Бид даммигийн деривативын талаар эхнээс нь ярихыг хичээсэн. Энэ сэдэв нь тийм ч энгийн зүйл биш, тиймээс сэрэмжлүүлээрэй: жишээнүүдэд алдаанууд ихэвчлэн байдаг тул деривативыг тооцоолохдоо болгоомжтой байгаарай.
Энэ болон бусад сэдвээр асуух зүйл байвал оюутны үйлчилгээтэй холбогдож болно. Богино хугацаанд бид танд хамгийн хэцүү сорилтыг шийдэж, даалгавруудыг ойлгоход туслах болно, тэр ч байтугай та урьд өмнө хэзээ ч дериватив тооцоо хийж байгаагүй.
Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.
Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт ба нарийн тодорхойлсон ялгах дүрмүүд гарч ирэв. . Дериватив олох чиглэлээр хамгийн анх ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.
Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.
Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Дараа нь бид үндсэн функцүүдийн деривативуудыг деривативын хүснэгтээс, үржвэр, нийлбэр ба хуваалтын деривативын томъёог ялгах дүрмээс олно. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.
Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Ялгах дүрмээс бид функцийн нийлбэрийн дериватив нь функцын деривативын нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.
Деривативын хүснэгтээс бид "x"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.
Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно гэж бид ялгадаг;
Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн тухай асуултууд гарсаар байвал деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа тэдгээрийг арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.
Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт
| 1. Тогтмол (тоо)-ын дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг | |
| 2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм | |
| 3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй. | |
| 4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл | |
| 5. Квадрат язгуурын дериватив | |
| 6. Синусын дериватив | |
| 7. Косинусын дериватив |  |
| 8. Шүргэгчийн дериватив |  |
| 9. Котангенсийн дериватив |  |
| 10. Арксинусын дериватив |  |
| 11. Нумын косинусын дериватив |  |
| 12. Арктангенсын дериватив |  |
| 13. Нумын котангенсын дериватив |  |
| 14. Натурал логарифмын дериватив | |
| 15. Логарифм функцийн дериватив |  |
| 16. Экспонентийн дериватив | |
| 17. Экспоненциал функцийн дериватив |
Ялгах дүрэм
| 1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив |  |
| 2. Бүтээгдэхүүний дериватив |  |
| 2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив | |
| 3. Хэсгийн дериватив |  |
| 4. Комплекс функцийн дериватив |  |
Дүрэм 1.Хэрэв функцууд
аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцууд нь нэг цэг дээр дифференциал болно
болон
тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл
Дүрэм 2.Хэрэв функцууд
Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой
болон
тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.
Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:
Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:
Дүрэм 3.Хэрэв функцууд
хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба
тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.
Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ
Бодит бодлогод бүтээгдэхүүний дериватив ба категорийг олохдоо хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэг дор хэрэглэх шаардлагатай байдаг тул өгүүлэлд эдгээр деривативуудын талаар илүү олон жишээнүүд байдаг."Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн коэффициент".
Сэтгэгдэл.Тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл тоо) нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томьёоны хувьд дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ба тогтмол хүчин зүйлийн хувьд деривативуудын тэмдгээс хасагдана. Энэ нь деривативыг судлах эхний үе шатанд тохиолддог ердийн алдаа боловч дундаж оюутан хэд хэдэн нэг ба хоёр хэсгээс бүрдсэн жишээг шийддэг тул энэ алдааг гаргахаа больсон.
Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).
Өөр нэг нийтлэг алдаа бол нийлмэл функцийн деривативыг энгийн функцийн дериватив болгон механик аргаар шийдвэрлэх явдал юм. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид энгийн функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно.
Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .
Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. 
, дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.
Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол 
, дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.
Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох
Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид деривативын дараах утгыг олж авдаг.
Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.
Мөн та дериватив асуудлын шийдлийг дээр шалгаж болно.
Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олохыг шаарддаг. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх хуваагчийн квадрат юм. Бид авах:
Бид 2-р жишээн дэх тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Одоогийн жишээн дэх тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг хасах тэмдгээр авсан гэдгийг мартаж болохгүй.
Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: 
, тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .
Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад тригонометрийн функцүүдийн деривативын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол, өөрөөр хэлбэл функц нь иймэрхүү харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .
Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Энэ функцэд бид үржвэрийг харж байна, үүний нэг хүчин зүйл нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур бөгөөд деривативын хүснэгтэд бид танилцсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрэм ба квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Та дериватив асуудлын шийдлийг эндээс шалгаж болно онлайн дериватив тооцоолуур .
Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтаж, ашигласан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтэн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тоолуур дахь бутархайг арилгахын тулд тоо болон хуваагчийг -ээр үржүүлнэ.