ФУНКЦИЙН ГРАФИК
Синусын функц
- бөөн Рбүх бодит тоо.
Олон функцийн утгууд— сегмент [-1; 1], i.e. синус функц - хязгаарлагдмал.
Хачирхалтай функц: sin(−x)=−sin x нь бүх x ∈ Р.
Функц нь үе үе юм
sin(x+2π k) = sin x, энд k ∈ Збүх x ∈-ийн хувьд Р.
sin x = 0хувьд x = π k , k ∈ З.
sin x > 0(эерэг) бүх x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ З.
гэм х< 0 (сөрөг) бүх x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ З.
Косинусын функц
Функцийн домэйн- бөөн Рбүх бодит тоо.
Олон функцийн утгууд— сегмент [-1; 1], i.e. косинусын функц - хязгаарлагдмал.
Тэгш функц:Бүх x ∈ хувьд cos(−x)=cos x Р.
Функц нь үе үе юмхамгийн бага эерэг үе 2π:
cos(x+2π к) = cos x, хаана к ∈ Збүх x ∈-ийн хувьд Р.
| cos x = 0цагт |  |
| cos x > 0бүгдэд нь |  |
| cos x< 0 бүгдэд нь |  |
| Функц нэмэгддэг−1-ээс 1 хүртэлх интервалаар: | |
| Функц буурч байна−1-ээс 1 хүртэлх интервалаар: | |
| sin x = 1 функцийн хамгийн том утгацэгүүдэд: |  |
| sin x = −1 функцийн хамгийн бага утгацэгүүдэд: |
Тангенсийн функц
Олон функцийн утгууд- бүх тооны шугам, өөрөөр хэлбэл. шүргэгч - функц хязгааргүй.
Хачирхалтай функц: tg(−x)=−tg x
Функцийн график нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.
Функц нь үе үе юмхамгийн бага эерэг үетэй π, i.e. tg(x+π к) = бор х, к ∈ Зтодорхойлолтын домэйноос бүх x-ийн хувьд.
Котангентын функц
Олон функцийн утгууд- бүх тооны шугам, өөрөөр хэлбэл. котангенс - функц хязгааргүй.
Хачирхалтай функц: ctg(−x)=−ctg x нь тодорхойлолтын мужаас бүх х.Функцийн график нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.
Функц нь үе үе юмхамгийн бага эерэг үетэй π, i.e. cotg(x+π к)=ctg x, к ∈ Зтодорхойлолтын домэйноос бүх x-ийн хувьд.
Арксинус функц
Функцийн домэйн— сегмент [-1; 1]
Олон функцийн утгууд- сегмент -π /2 arcsin x π /2, i.e. арксинус - функц хязгаарлагдмал.
Хачирхалтай функц: arcsin(−x)=−arcsin x бүх x ∈ хувьд Р.
Функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
Тодорхойлолтын бүхэл бүтэн хэсэгт.
Нумын косинусын функц
Функцийн домэйн— сегмент [-1; 1]
Олон функцийн утгууд— сегмент 0 arccos x π, i.e. арккосин - функц хязгаарлагдмал.
Функц нэмэгдэж байнатодорхойлолтын бүх талбарт.
Арктангенсийн функц
Функцийн домэйн- бөөн Рбүх бодит тоо.
Олон функцийн утгууд- сегмент 0 π, өөрөөр хэлбэл. арктангенс - функц хязгаарлагдмал.
Хачирхалтай функц:Бүх x ∈-ийн хувьд arctg(−x)=−arctg x Р.
Функцийн график нь гарал үүслийн хувьд тэгш хэмтэй байна.
Функц нэмэгдэж байнатодорхойлолтын бүх талбарт.
Нуман тангенсийн функц
Функцийн домэйн- бөөн Рбүх бодит тоо.
Олон функцийн утгууд- сегмент 0 π, өөрөөр хэлбэл. арккотангенс - функц хязгаарлагдмал.
Функц нь тэгш, сондгой ч биш.
Функцийн график нь гарал үүслийн хувьд ч, Oy тэнхлэгийн хувьд ч тэгш хэмтэй биш байна.
Функц нь буурч байнатодорхойлолтын бүх талбарт.
Тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ
Арксинус (y = arcsin x) нь синусын урвуу функц (x = гэмтэй -1 ≤ x ≤ 1ба утгуудын багц -π /2 ≤ y ≤ π/2.sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Арксиныг заримдаа дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.
Арксинусын функцийн график
y = функцийн график arcsin x
Арксинусын графикийг синусын графикаас абсцисса ба ордны тэнхлэгийг сольсон тохиолдолд авна. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд утгын хүрээ нь функц монотон байх интервалаар хязгаарлагддаг. Энэ тодорхойлолтыг арксинусын үндсэн утга гэж нэрлэдэг.
Арккосин, аркос
Тодорхойлолт ба тэмдэглэгээ
Нуман косинус (y = arccos x) нь косинусын урвуу функц (x = cos y). Энэ нь хамрах хүрээтэй -1 ≤ x ≤ 1мөн олон утгатай 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Арккосиныг заримдаа дараах байдлаар тэмдэглэдэг.
.
Нумын косинусын функцийн график
y = функцийн график arccos x
Косинусын графаас абсцисса ба ординатын тэнхлэгүүдийг сольсон тохиолдолд нумын косинусын график гарна. Тодорхой бус байдлыг арилгахын тулд утгын хүрээ нь функц монотон байх интервалаар хязгаарлагддаг. Энэ тодорхойлолтыг нумын косинусын үндсэн утга гэж нэрлэдэг.
Паритет
Arcsine функц нь сондгой:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Нумын косинусын функц тэгш эсвэл сондгой биш:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Шинж чанар - хэт туйлшрал, өсөлт, бууралт
Arcsine болон arccosine функцууд нь тодорхойлолтынхоо хүрээнд тасралтгүй байдаг (тасралтгүй байдлын баталгааг үзнэ үү). Арксин ба арккосины үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.
| у= arcsin x | у= arccos x | |
| Хамрах хүрээ ба тасралтгүй байдал | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Утгын хүрээ | ||
| Өсөх, уруудах | монотоноор нэмэгддэг | монотоноор буурдаг |
| Өндөр | ||
| Хамгийн бага | ||
| Тэг, у = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд, x = 0 | у= 0 | у = π/ 2 |
Арксинус ба арккосинуудын хүснэгт
Энэхүү хүснэгтэд аргументийн тодорхой утгуудын хувьд арксин ба арккосинуудын утгыг градус, радианаар харуулав.
| x | arcsin x | arccos x | ||
| мөндөр | баяртай. | мөндөр | баяртай. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Томъёо
Мөн үзнэ үү: Урвуу тригонометрийн функцүүдийн томъёог гарган авахНийлбэр ба ялгааны томъёо
эсвэл
дээр болон
дээр болон
эсвэл
дээр болон
дээр болон
цагт
цагт
цагт
цагт
Логарифм, комплекс тоогоор илэрхийлэх илэрхийлэл
Мөн үзнэ үү: Гаргах томъёоГиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл
Дериватив
;
.
Арксин ба арккосин деривативын гарал үүслийг үзнэ үү > > >
Дээд зэрэглэлийн деривативууд:
,
градусын олон гишүүнт хаана байна . Үүнийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
;
;
.
Арксин ба арккосины дээд эрэмбийн деривативуудын гарал үүслийг үзнэ үү > > >
Интеграл
Бид x = орлуулалтыг хийнэ синт. -π/ гэдгийг харгалзан хэсэг хэсгээр нь нэгтгэдэг. 2 ≤ t ≤ π/2,
cos t ≥ 0:
.
Нумын косинусыг нумын синусаар илэрхийлье:
.
Цуврал өргөтгөл
Хэзээ |x|< 1
дараах задрал явагдана.
;
.
Урвуу функцууд
Арксин ба арккосинын урвуу утга нь синус ба косинус юм.
Дараах томьёо нь тодорхойлолтын бүх хэсэгт хүчинтэй байна.
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Дараах томьёо нь зөвхөн арксинус ба арккосины утгуудын багцад хүчинтэй.
arcsin(sin x) = xцагт
arccos(cos x) = xцагт.
Лавлагаа:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
Урвуу тригонометрийн функцтэй холбоотой асуудлыг сургуулийн төгсөлтийн шалгалт болон зарим их дээд сургуулийн элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн санал болгодог. Энэ сэдвийн нарийвчилсан судалгааг зөвхөн сонгон суралцах хичээл эсвэл сонгон суралцах хичээлд л хийх боломжтой. Санал болгож буй хичээл нь оюутан бүрийн чадварыг аль болох бүрэн хөгжүүлэх, математикийн бэлтгэлийг сайжруулах зорилготой юм.
Хичээл 10 цаг үргэлжилнэ:
1. arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x функцууд (4 цаг).
2.Тригонометрийн урвуу функц дээр хийх үйлдлүүд (4 цаг).
3. Тригонометрийн функц дээр урвуу тригонометрийн үйлдлүүд (2 цаг).
Хичээл 1 (2 цаг) Сэдэв: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x функцууд.
Зорилго: энэ асуудлыг бүрэн хамрах.
1. y = arcsin x функц.
a) Хэсэг дээрх y = sin x функцийн хувьд урвуу (нэг утгатай) функц байгаа бөгөөд бид үүнийг арксинус гэж нэрлээд дараах байдлаар тэмдэглэхээр тохиролцсон: y = arcsin x. Урвуу функцийн график нь координатын I - III өнцгийн биссектрист хамаарах үндсэн функцийн графиктай тэгш хэмтэй байна.
y = arcsin x функцийн шинж чанарууд.
1) Тодорхойлолтын домэйн: сегмент [-1; 1];
2) Өөрчлөлтийн талбар: сегмент;
3) функц y = arcsin x сондгой: arcsin (-x) = - arcsin x;
4) y = arcsin x функц монотон нэмэгдэж байна;
5) График нь Ox, Oy тэнхлэгүүдийг эх дээр огтолж байна.
Жишээ 1. a = arcsin гэж ол. Энэ жишээг дараах байдлаар дэлгэрэнгүй томъёолж болно: -аас хүртэлх мужид байрлах, синус нь тэнцүү a аргументыг ол.
Шийдэл. Синус нь -тэй тэнцүү тоо томшгүй олон аргументууд байдаг, жишээлбэл: 
гэх мэт. Гэхдээ бид зөвхөн сегмент дээр байгаа аргументыг сонирхож байна. Энэ бол аргумент байх болно. Тэгэхээр, .
Жишээ 2. Хай 
.Шийдэл.Жишээ 1-тэй ижил аргаар маргаж, бид олж авна 
.
б) аман дасгал. Олно: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Жишээ хариулт: 
, учир нь 
. Илэрхийлэл нь утга учиртай байна уу: ; arcsin 1.5; 
?
в) Өсөх дарааллаар байрлуул: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.
II. y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (ижил төстэй) функцууд.
Хичээл 2 (2 цаг) Сэдэв: Урвуу тригонометрийн функц, тэдгээрийн график.
Зорилго: Энэ хичээлээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг тодорхойлох, урвуу тригонометрийн функцүүдийн графикийг D (y), E (y) болон шаардлагатай хувиргалтыг ашиглан бүтээх чадварыг хөгжүүлэх шаардлагатай.
Энэ хичээлээр y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos төрлийн функцүүдийн тодорхойлолтын муж, утгын мужийг олох дасгалуудыг бүрэн гүйцэд хийнэ.
Та функцүүдийн графикийг байгуулах хэрэгтэй: a) y = arcsin 2x; б) y = 2 арксин 2х; в) y = arcsin;
d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .
Жишээ. y = arccos графикийг зурцгаая
Та гэрийн даалгавартаа дараах дасгалуудыг оруулж болно: функцийн график байгуулах: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Урвуу функцүүдийн графикууд
Хичээл No3 (2 цаг) Сэдэв:
Урвуу тригонометрийн функцууд дээрх үйлдлүүд.Зорилго: урвуу тригонометрийн функцүүдийн үндсэн харилцааг нэвтрүүлэх замаар математикийн мэдлэгийг өргөжүүлэх (энэ нь математикийн сургалтанд тавигдах шаардлага нэмэгдсэн мэргэжлээр элсэгчдийн хувьд чухал юм).
Хичээлийн материал.
Урвуу тригонометрийн функцүүдийн зарим энгийн тригонометрийн үйлдлүүд: нүгэл (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Дасгал.
a) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
б) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). arcsin 0.6 = a, sin a = 0.6;
cos (arcsin x) =; нүгэл (arccos x) =.
Анхаарна уу: a = arcsin x хангасан тул язгуурын өмнө "+" тэмдгийг авна.
в) нүгэл (1.5 + arcsin) Хариулт: ;
d) ctg ( + arctg 3) Хариулт: ;
e) tg ( – arcctg 4) Хариулт: .
e) cos (0.5 + arccos). Хариулт: .
Тооцоолох:
a) нүгэл (2 арктан 5) .
Арктан 5 = a, дараа нь sin 2 a = гэж үзье 
эсвэл нүгэл (2 арктан 5) = 
;
b) cos (+ 2 arcsin 0.8) Хариулт: 0.28.
в) arctg + arctg.
a = арктан, b = арктан,
дараа нь tg(a + b) = 
.
г) нүгэл (arcsin + arcsin).
e) Бүх x I [-1; 1] үнэн arcsin x + arccos x = .
Нотолгоо:
arcsin x = – arccos x
нүгэл (arcsin x) = нүгэл ( – arccos x)
x = cos (arccos x)
Үүнийг өөрөө шийдэхийн тулд:нүгэл (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Гэрийн шийдлийн хувьд: 1) нүгэл (arcsin 0.6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0.6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) нүгэл (1.5 – arcsin 0.8); 6) arctg 0.5 – arctg 3.
Хичээл No4 (2 цаг) Сэдэв: Урвуу тригонометрийн функц дээр хийх үйлдлүүд.
Зорилго: Энэ хичээлээр илүү төвөгтэй илэрхийллийг хувиргахад харьцааг ашиглахыг харуулах.
Хичээлийн материал.
АМАН:
a) нүгэл (arccos 0.6), cos (arcsin 0.8);
б) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
в) нүгэл (arctg -3), cos (arcсtg());
г) tg (arccos), ctg (arccos()).
БИЧСЭНД:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =
3) tg ( - arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) = 
4) 
Бие даасан ажил нь тухайн материалыг эзэмшсэн түвшинг тодорхойлоход тусална.
| 1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos(- arctan2) 3) arcsin + arccos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) нүгэл (1.5 - арктан 3) 3) arcctg3 - arctg 2 |
Гэрийн даалгаврын хувьд та дараахь зүйлийг санал болгож болно.
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) нүгэл 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) нүгэл (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) нүгэл (2 арктан); 5) тг ((arcsin ))
Хичээл No5 (2 цаг) Сэдэв: Тригонометрийн функц дээр урвуу тригонометрийн үйлдлүүд.
Зорилго: Суралцагчдад тригонометрийн функцүүдийн урвуу тригонометрийн үйлдлүүдийн талаархи ойлголтыг бий болгож, судалж буй онолын ойлголтыг нэмэгдүүлэхэд анхаарлаа хандуулах.
Энэ сэдвийг судлахдаа цээжлэх онолын материалын хэмжээ хязгаарлагдмал гэж үздэг.
Хичээлийн материал:
Та y = arcsin (sin x) функцийг судалж, графикийг нь зурснаар шинэ материалыг сурч эхлэх боломжтой.
3. x I R бүр нь y I-тэй холбоотой, i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. Функц нь сондгой: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. График y = arcsin (sin x) дээр:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
б)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
нүгэл у = нүгэл ( – х) = нүгэл х , 0<= - x <= .
Тэгэхээр, 
y = arcsin (sin x) дээр байгуулсны дараа бид [- дээрх координатын гарал үүсэлтэй холбоотой тэгш хэмтэй үргэлжлүүлнэ; 0], энэ функцийн сондгой байдлыг өгсөн. Үе үеийг ашиглан бид бүх тооны шугамын дагуу үргэлжлүүлнэ.
Дараа нь зарим харилцааг бичнэ үү: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos а ) = a бол 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
Дараах дасгалуудыг хий:a) arccos(sin 2).Хариулт: 2 - ; b) arcsin (cos 0.6) Хариулт: - 0.1; в) arctg (tg 2) Хариулт: 2 - ;
d) arcctg(tg 0.6).Хариулт: 0.9; e) arccos (cos ( - 2)) Хариулт: 2 - ; д) арксин (нүгэл (- 0.6)). Хариулт: - 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Хариулт: 2 - ; h) аrcctg (tg 0.6). Хариулт: - 0.6; - арктан х; д) arccos + arccos