Determinar la estrategia óptima para utilizar el equipo durante un período de tiempo que dure t años, y beneficio por cada i años, i= desde la edad de uso del equipo t años debe ser máximo.
Conocido
r(t) – ingresos por ventas de productos producidos por año utilizando equipos antiguos t años;
yo(t) – costos anuales dependiendo de la antigüedad del equipo t;
Con(t) – valor residual del equipo antiguo t años;
R - costo de equipo nuevo.
La antigüedad del equipo se refiere al período de funcionamiento del equipo después del último reemplazo, expresado en años.
Utilicemos las etapas anteriores para compilar un modelo matemático del problema.
1. Determinación del número de pasos. El número de pasos es igual al número de años que el equipo ha estado en uso.
2. Determinación de los estados del sistema. El estado del sistema se caracteriza por la antigüedad del equipo. t, t= .
3. Definición de ecuaciones. En primer lugar i-ésimo paso i= se puede seleccionar uno de dos controles: reemplazar o no reemplazar el equipo. A cada opción de control se le asigna un número
4. Determinación de la función de pago en i-ésimo paso. Función ganar activada i el décimo paso es el beneficio del uso del equipo al final i- año de funcionamiento, t= , i= . Por tanto, si el equipo no se vende, el beneficio de su uso es la diferencia entre el coste de producción y los costes operativos. Al reemplazar un equipo, la ganancia es la diferencia entre el valor residual del equipo y el costo de un equipo nuevo, a lo que se suma la diferencia entre el costo de producción y los costos operativos de un equipo nuevo, cuya antigüedad al inicio i El décimo paso es 0 años.
5. Definición de la función de cambio de estado.
(9.7)
Así, si el equipo no cambia xyo=0, entonces la antigüedad del equipo aumenta en un año t+1 si el equipo cambia xyo=1, entonces el equipo tendrá un año de antigüedad.
6. Elaboración de una ecuación funcional para i=t
La línea superior de la ecuación funcional corresponde a la situación en la que El año pasado el equipo no cambia y la empresa recibe una ganancia por el importe de la diferencia entre los ingresos r(t) y costos anuales yo(t).
7. Elaboración de la ecuación funcional básica.
Dónde yo(t t años desde i-ésimo paso (desde el final i año) hasta el final del período operativo;
Yo + 1 (t) – beneficiarse del uso de equipos antiguos t+ 1 año desde ( i+1)º paso hasta el final del período operativo.
Se ha construido un modelo matemático del problema.
Ejemplo
t=12, pag= 10, Con(t)=0, r(t) – yo(t)=φ (t).
Valores φ (t) se dan en la Tabla 9.1.
Tabla 9.1.
| t | |||||||||||||
| φ (t) |
Para este ejemplo, las ecuaciones funcionales se verán como
Veamos cómo completar la tabla en varios pasos.
La optimización condicional comienza desde el último paso 12. Para i=Se consideran 12 posibles estados del sistema t= 0, 1, 2,…, 12. La ecuación funcional en el paso 12 tiene la forma
1) t= 0 
X 12 (0)=0.
2) t= 1 
X 12 (1)=0.
10) t= 9 
X 12 (9)=0.
11) t= 10 
X 12 (10)=0; X 12 (10)=1.
13) t= 12 
X 12 (12)=0; X 12 (12)=1.
Por lo tanto, en el paso 12, no es necesario reemplazar los equipos de 0 a 9 años. Los equipos con edades comprendidas entre 10 y 12 años pueden sustituirse o seguir utilizándose, ya que para t= 10, 11, 12 hay dos controles de optimización condicional 1 y 0.
Con base en los resultados del cálculo, se completan dos columnas de la Tabla 9.2, correspondientes yo = 12.
Optimización condicional del undécimo paso.
Para i=11 se consideran todos los estados posibles del sistema t=0, 1, 2,…, 12. La ecuación funcional en el paso 11 tiene la forma
1) t= 0 X 11 (0)=0.
2) t= 1 X 11 (1)=0.
6) t= 5 X 11 (5)=0; X 11 (5)=1.
7) t= 6 X 11 (6)=1.
13) t= 12 X 11 (12)=1.
Por lo tanto, en el paso 11, no debe reemplazar equipos que tengan entre 0 y 4 años. Para equipos que tienen 5 años, son posibles dos estrategias de uso: reemplazar o continuar operando.
A partir del 6º año se deberá sustituir el equipo. Con base en los resultados del cálculo, se completan dos columnas de la Tabla 9.2, correspondientes i=11.
1) t= 0 X 10 (0)=0.
2) t= 1 X 10 (1)=0.
3) t= 2 X 10 (2)=0.
4) t= 3 X 10 (3)=0.
5) t= 4 X 10 (4)=1.
13) t= 12 X 10 (12)=1.
En el paso 10, no debe reemplazar equipos que tengan entre 0 y 3 años. A partir del año 4 en adelante, los equipos deben ser reemplazados ya que los equipos nuevos generan mayores ganancias.
Con base en los resultados del cálculo, se completan dos columnas en 9.2, correspondientes i=10.
Las nueve columnas restantes del cuadro 9.2 se completan de la misma manera. Al calcular Yo + 1 (t) en cada paso de valor φ (t) para cada t=0, 1, 2,…, 12 se toman de la tabla 9.1 de los datos iniciales dados en el planteamiento del problema, y los valores yo(t) – de la última columna completada en el paso anterior en 9.2.
La etapa de optimización condicional finaliza después de completar la Tabla 9.2.
La optimización incondicional comienza con el primer paso.
Supongamos que en el primer paso i=1 hay equipos nuevos cuya antigüedad es 0 años.
Para t=t 1 =0 el pago óptimo es W. 1 (0) = 82. Este valor corresponde al beneficio máximo por el uso de equipos nuevos durante 12 años.
ancho*= ancho 1 (0)=82.
yo ganaré W. 1 (0)=82 corresponde X 1 (0)=0.
Para i=2 según la fórmula (9.7) t 2 = t 1 +1=1.
Control óptimo incondicional X 2 (1)=0.
Para i=3 según la fórmula (9.7) t 3 = t 2 +1=2.
Control óptimo incondicional X 3 (2)=0.
| i=4 | t 4 = t 3 +1=3 | X 4 (3)=0 |
| i=5 | t 5 = t 4 +1=4 | X 5 (4)=1 |
| i=6 | t 6 = 1 | X 6 (1)=0 |
| i=7 | t 7 = t 6 +1=2 | X 7 (2)=0 |
| i=8 | t 8 = t 7 +1=3 | X 8 (3)=0 |
| i=9 | t 9 = t 8 +1=4 | X 9 (4)=1 |
| i=10 | t 10 = 1 | X 10 (1)=0 |
| i=11 | t 11 = t 10 +1=2 | X 11 (2)=0 |
| i=12 | t 12 = t 11 +1=3 | X 12 (3)=0 |
Para ello, la estrategia óptima es reemplazar el equipo cuando cumpla 4 años. De manera similar, se puede determinar la estrategia óptima para usar equipos de cualquier edad.
La columna izquierda de la Tabla 9.2 registra posibles casos del sistema. t= , en la línea superior – números de paso i= . Para cada paso, se determinan controles óptimos condicionales. xyo(t) y pago óptimo condicional yo(t)C i-ésimo paso y hasta el final para la antigüedad del equipo t años.
Los controles que conforman la estrategia óptima para el uso del equipo se resaltan en negrita en la Tabla 9.2.
Tabla 9.2.
| t | i=12 | i=11 | i=10 | i=9 | i=8 | i=7 | i=6 | i=5 | i=4 | i=3 | i=2 | i=1 | ||||||||||||
| X 12 | W. 12 | X 11 | W. 11 | X 10 | W. 10 | X 9 | W. 9 | X 8 | W. 8 | X 7 | W. 7 | X 6 | W. 6 | X 5 | W. 5 | X 4 | W. 4 | X 3 | W. 3 | X 2 | W. 2 | X 1 | W. 1 | |
| 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||||
| 0/1 | 0/1 | 0/1 | 0/1 | |||||||||||||||||||||
| 0/1 | 0/1 | 0/1 | ||||||||||||||||||||||
| 0/1 | ||||||||||||||||||||||||
| 0/1 | ||||||||||||||||||||||||
| 0/1 |
Estrategia óptima de reemplazo de equipos
Uno de los problemas económicos importantes es la determinación estrategia optima en la sustitución de máquinas, unidades y máquinas antiguas por otras nuevas.
El envejecimiento de los equipos incluye su desgaste físico y moral, como resultado de lo cual aumentan los costos de producción para producir productos en equipos viejos, aumentan los costos de reparación y mantenimiento, y disminuyen la productividad y el valor líquido.
Llega un momento en el que es más rentable vender equipos viejos y sustituirlos por otros nuevos que operarlos con un coste Altos precios; Además, se puede sustituir por equipos nuevos del mismo tipo o por otros nuevos y más avanzados.
La estrategia óptima para reemplazar equipos es determinar el momento óptimo de reemplazo. El criterio de optimización en este caso puede ser el beneficio de operar el equipo, que debe optimizarse, o los costos operativos totales durante el período de tiempo considerado, que deben minimizarse.
Introduzcamos la siguiente notación: r(t) es el costo de los productos producidos en un año en una unidad de equipo de t años;
u(t) - costos anuales de mantenimiento de equipos con una antigüedad de t años;
s(t) - valor residual de los equipos de t años;
P es el precio de compra del equipo.
Consideremos un período de N años dentro del cual es necesario determinar el ciclo óptimo de sustitución de equipos.
Denotemos por fN(t) el ingreso máximo recibido de equipos de t años durante los N años restantes del ciclo de uso del equipo, sujeto a una estrategia óptima.
La antigüedad del equipo se cuenta en la dirección del flujo del proceso. Así, t = 0 corresponde al caso de utilizar equipos nuevos. Las etapas temporales del proceso se numeran en sentido inverso al avance del proceso. Por lo tanto, N = 1 se refiere a una etapa de tiempo restante hasta la finalización del proceso, y N = N - al comienzo del proceso.
En cada etapa del proceso de N etapas, se debe tomar la decisión de conservar o reemplazar el equipo. La opción elegida debe garantizar el máximo beneficio.
Las ecuaciones funcionales basadas en el principio de optimización tienen la forma:
La primera ecuación describe un proceso de N etapas y la segunda describe un proceso de una etapa. Ambas ecuaciones tienen dos partes: la línea superior determina los ingresos que se reciben por el mantenimiento del equipo; menor: ingresos recibidos al reemplazar equipos y continuar el proceso de trabajo en equipos nuevos.
En la primera ecuación, la función r(t) - u(t) es la diferencia entre el costo de los productos manufacturados y los costos operativos en la enésima etapa del proceso.
La función fN–1 (t + 1) caracteriza el beneficio total de (N - 1) etapas restantes para equipos cuya antigüedad al inicio de estas etapas es (t + 1) años.
El resultado final de la primera ecuación se caracteriza de la siguiente manera: la función s(t) - P representa el costo neto de reemplazar equipo que tiene t años.
La función r(0) expresa los ingresos recibidos por equipos nuevos de 0 años. Se supone que la transición de trabajar en equipos de t años a trabajar en equipos nuevos se produce instantáneamente, es decir. el período de sustitución de equipos antiguos y la transición al trabajo en equipos nuevos encajan en la misma etapa.
La última función fN–1 representa los ingresos de las N - 1 etapas restantes, antes de cuyo inicio el equipo tiene un año.
Se puede dar una interpretación similar a la ecuación de un proceso de una etapa. No existe ningún término de la forma f0(t + 1), ya que N toma el valor 1, 2,..., N. La igualdad f0(t) = 0 se deriva de la definición de la función fN(t).
Las ecuaciones son relaciones recurrentes que permiten determinar el valor de fN(t) en función de fN–1(t + 1). La estructura de estas ecuaciones muestra que al pasar de una etapa del proceso a la siguiente, la edad del equipo aumenta de t a (t + 1) años, y el número de etapas restantes disminuye de N a (N - 1) .
El cálculo comienza usando la primera ecuación. Las ecuaciones permiten evaluar opciones de reemplazo y mantenimiento de equipos para poder aceptar el que ofrezca mayores ingresos. Estos ratios permiten no sólo elegir un curso de acción a la hora de decidir si mantener o reemplazar un equipo, sino también determinar la ganancia obtenida al tomar cada una de estas decisiones.
Ejemplo. Determine el ciclo óptimo de reemplazo de equipos con los siguientes datos iniciales: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), presentados en la tabla.
Solución. Escribimos las ecuaciones de la siguiente forma:
Continuamos los cálculos hasta que se cumpla la condición f1(1) > f2(2), es decir V este momento el equipo debe ser reemplazado, ya que la cantidad de beneficio obtenido como resultado de la sustitución del equipo es mayor que en el caso de utilizar el antiguo. Colocamos los resultados del cálculo en la tabla, marcamos el momento de reemplazo con un asterisco, después de lo cual detenemos más cálculos a lo largo de la línea.
No es necesario resolver la ecuación cada vez, sino realizar los cálculos en una tabla. Por ejemplo, calculemos f4(t):
Dejamos de realizar más cálculos para f4(t), ya que f4(4) = 23 Con base en los resultados del cálculo y a lo largo de la línea que delimita las áreas de decisión para el mantenimiento y reemplazo de equipos, encontramos el ciclo óptimo de reemplazo de equipos. Para esta tarea son 4 años.
Respuesta. Para obtener el máximo beneficio del uso de equipos en un proceso de doce pasos, el ciclo óptimo es reemplazar el equipo cada 4 años.
Asignación óptima de recursos
Sea una cierta cantidad de recursos x que deben distribuirse entre n empresas, objetos, trabajos, etc. diferentes. para obtener la máxima eficiencia total del método de distribución seleccionado.
Introduzcamos la siguiente notación: xi - la cantidad de recursos asignados a la i-ésima empresa (i = );
gi(xi) es la función de utilidad, en en este caso esta es la cantidad de ingresos por el uso del recurso xi recibido por la i-ésima empresa;
fk(x) es el mayor ingreso que se puede obtener utilizando los recursos x de las primeras k empresas diferentes.
El problema formulado se puede escribir en forma matemática:
con restricciones:
Para resolver el problema, es necesario obtener una relación de recurrencia que conecte fk(x) y fk–1(x).
Denotemos por xk la cantidad de recursos utilizados por el método k (0 ≤ xk ≤ x), luego, para los métodos (k - 1), la cantidad de recursos restantes es igual a (x - xk). El mayor ingreso que se obtiene al utilizar un recurso (x - xk) de los primeros (k - 1) métodos será fk–1(x - xk).
Para maximizar el ingreso total de los métodos k–ésimo y primero (k - 1), es necesario elegir xk de tal manera que se satisfagan las siguientes relaciones:
Consideremos tarea específica sobre la distribución de inversiones de capital entre empresas.
Distribución de inversiones para uso efectivo potencial empresarial
El consejo de administración de la empresa está considerando propuestas para aumentar la capacidad de producción para aumentar la producción de productos homogéneos en cuatro empresas de propiedad de la empresa.
Para ampliar la producción, la junta directiva asigna fondos por valor de 120 millones de rublos. con discreción de 20 millones de rublos. El aumento de la producción en las empresas depende de la cantidad asignada; sus valores son presentados por las empresas y figuran en la tabla.
Encuentre la distribución de fondos entre empresas que garantice el máximo aumento de la producción y no se pueda realizar más de una inversión por empresa.
Solución. Dividamos la solución del problema en cuatro etapas según el número de empresas en las que se espera realizar inversiones.
Las relaciones de recurrencia se verán así:
para la empresa número 1
para todas las demás empresas
Realizaremos la solución según relaciones de recurrencia en cuatro etapas.
1ra etapa. Realizamos inversiones sólo para la primera empresa. Entonces
2da etapa. Asignamos inversiones a la primera y segunda empresa. La relación de recurrencia para la segunda etapa tiene la forma
en x = 20 f2(20) = máx (8 + 0,0 + 10) = máx (8, 10) = 10,
en x = 40 f2(40) = máx (16,8 + 10,20) = máx (16, 18, 20) =20,
en x = 60 f2(60) = máx (25,16 + 10, 8 + 20,28) = máx (25,26, 28,28) = 28,
en x = 80 f2(80) = máx (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = máx (36, 35, 36, 36, 40) = 40,
en x = 100 f2(100) = máx (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = máx (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,
en x = 120 f2(120) = máx (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) = máx (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.
3ra etapa. Estamos financiando la 2da etapa y el tercer emprendimiento. Realizamos cálculos utilizando la fórmula.
en x = 20 f3(20) = máx(10, 12) = 12,
en x = 40 f3(40) = máx (20,10 + 12,21) = máx (20, 22, 21) = 22,
en x = 60 f3(60) = máx (28,20 + 12,10 + 21,27) = máx (28, 32, 31, 27) = 32,
en x = 80 f3(80) = máx (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = máx (40, 40, 41, 37, 38) = 41,
en x = 100 f3(100) = máx (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = máx (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,
en x = 120 f3(120) = máximo (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = máximo (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.
4ta etapa. Inversiones por valor de 120 millones de rublos. distribuidos entre la 3ª etapa y la cuarta empresa.
En x = 120 f4(120) = máx (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = máx (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.
Se obtienen las condiciones de control de la 1ª a la 4ª etapa. Volvamos de la cuarta a la primera etapa. El aumento máximo en la producción de productos es de 64 millones de rublos. obtenido en la cuarta etapa como 41 + 23, es decir 23 millones de rublos. corresponden a la asignación de 40 millones de rublos. la cuarta empresa (ver Tabla 29.3). Según la tercera etapa, 41 millones de rublos. obtenido como 20 + 21, es decir 21 millones de rublos. corresponde a una dotación específica de 40 millones de rublos. a una tercera empresa. Según la etapa 2, 20 millones de rublos. recibido con la asignación de 40 millones de rublos. a la segunda empresa.
Por tanto, las inversiones ascienden a 120 millones de rublos. Es aconsejable asignar 40 millones de rublos cada una a la segunda, tercera y cuarta empresa. cada uno, mientras que el aumento de la producción será máximo y ascenderá a 64 millones de rublos.
Minimizar los costos de construcción y operación de empresas.
Problema de colocación óptima empresas manufactureras se puede reducir al problema de asignación de recursos según el criterio de minimización, teniendo en cuenta las condiciones enteras impuestas a las variables.
Supongamos que existe una necesidad determinada de un producto con demanda en un territorio determinado. Hay puntos conocidos donde es posible construir empresas que produzcan este producto. Se han calculado los costos de construcción y operación de dichas empresas.
Es necesario ubicar las empresas de manera que los costos de su construcción y operación sean mínimos.
Introduzcamos la siguiente notación:
x es la cantidad de recurso distribuido que se puede utilizar de n maneras diferentes,
xi - cantidad de recurso utilizado según el método i (i = );
gi(xi) es una función de costos igual, por ejemplo, al valor de los costos de producción cuando se utiliza el recurso xi utilizando el método i;
φk(x) - costo más bajo, que deben producirse cuando se utiliza el recurso x en las primeras k formas.
Es necesario minimizar el costo total de desarrollar el recurso x en todos los sentidos:
bajo restricciones
El significado económico de las variables xi es encontrar el número de empresas recomendadas para la construcción en el punto i. Para facilitar los cálculos, asumiremos que está prevista la construcción de empresas de la misma capacidad.
Consideremos el problema específico de la localización de empresas.
Ejemplo. En tres distritos de la ciudad, el empresario planea construir cinco empresas de igual capacidad para producir los productos de panadería más demandados.
Es necesario ubicar las empresas de tal manera que se aseguren costos totales mínimos para su construcción y operación. Los valores de la función de costos gi(x) se dan en la tabla.
EN en este ejemplo gi(x) es una función de los gastos en millones de rublos, que caracteriza el monto de los costos de construcción y operación dependiendo del número de empresas ubicadas en la i-ésima región;
φk(x) es la cantidad más pequeña de costos en millones de rublos en los que se debe incurrir durante la construcción y operación de empresas en las primeras k regiones.
Solución. Resolvemos el problema usando relaciones de recurrencia: para la primera región
para otras áreas
Resolveremos el problema en tres etapas.
1ra etapa. Si todas las empresas se construyen sólo en el primer distrito, entonces
los costes mínimos posibles en x = 5 son 76 millones de rublos.
2da etapa. Determinemos la estrategia óptima para ubicar empresas solo en las dos primeras regiones usando la fórmula
Encontremos φ2(l):
g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,
g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,
φ2(l) = mín (10, 11) = 10.
Calculemos φ2(2):
g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,
g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,
g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,
φ2(2) = mín (19, 21, 18) = 18.
Encontremos φ2(3):
g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,
g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,
g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,
g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,
φ2(3) = mín. (34, 30, 28, 35) = 28.
Definamos φ2(4):
g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,
g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,
g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,
g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,
g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,
φ2(4) = mín. (53, 45, 37, 45, 51) = 37.
Calculemos φ2(5):
g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,
g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,
g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,
g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,
g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,
g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,
φ2(5) = mín. (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.
3ra etapa. Determinemos la estrategia óptima para ubicar cinco empresas en tres distritos usando la fórmula
φ3(x) = mín(g3(x3) + φ2(x – x3)).
Encontremos φ3(5):
g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,
g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,
g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,
g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,
g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,
g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,
φ3(5) = mín. (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.
Los costes mínimos posibles en x = 5 son 46 millones de rublos.
Se han determinado los costos de construcción de empresas de la 1ª a la 3ª etapa. Volvamos a la etapa 1 el día 3. Costos mínimos a 46 millones de rublos. en la tercera etapa se obtienen 9 + 37, es decir 9 millones de rublos. corresponden a la construcción de una empresa en la tercera región (ver Cuadro 29.4). Según la segunda etapa, 37 millones de rublos. obtenido como 19 + 18, es decir 19 millones de rublos. Corresponden a la construcción de dos emprendimientos en la segunda región. Según la primera etapa, 18 millones de rublos. Corresponden a la construcción de dos emprendimientos en la primera región.
Respuesta. La estrategia óptima es construir una empresa en la tercera región, dos empresas en la segunda y la primera región, mientras que el costo mínimo de construcción y operación será de 46 den. unidades
Encontrar costos racionales en la construcción de oleoductos y arterias de transporte.
Se requiere trazar un camino (tubería, carretera) entre dos puntos A y B de tal manera que los costos totales de su construcción sean mínimos.
Solución. Dividamos la distancia entre los puntos A y B en pasos (segmentos). En cada paso podemos movernos hacia el este (a lo largo del eje X) o hacia el norte (a lo largo del eje Y). Entonces, el camino de A a B representa una línea discontinua escalonada, cuyos segmentos son paralelos a uno de los ejes de coordenadas. Los costos de construcción de cada sección se conocen (Fig. 29.2) en millones de rublos.
Dividamos la distancia de A a B en dirección este en 4 partes, en el norte, en 3 partes. El camino puede considerarse como un sistema controlado, que se mueve bajo la influencia del control desde el estado inicial A al estado final B. El estado de este sistema antes del inicio de cada paso se caracterizará por dos coordenadas enteras x e y. Para cada estado del sistema (punto nodal), encontramos el control óptimo condicional. Se elige de modo que el coste de todos los pasos restantes hasta el final del proceso sea mínimo. Realizamos el procedimiento de optimización condicional en la dirección opuesta, es decir del punto B al punto A.
Encontremos la optimización condicional del último paso.
Programación dinámica. Problema de reemplazo de equipos
Encuentre el momento óptimo para reemplazar el equipo. Costo inicial del equipo q 0 =6000 convencional. unidades, valor de liquidación L(t)=q 0 2 -i, el costo de mantener el equipo con una antigüedad de i años durante 1 año S(t)=0.1q 0 (t+1), la vida útil del equipo es de 5 años. Al final de su vida útil, el equipo se vende. Resuelve el problema gráficamente.
Para construir un gráfico en el software Wolfram Mathematica 6.0, ingrese
g = Trazar[(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]
Como resultado, obtenemos un gráfico:
Del gráfico vemos que tiempo optimo La sustitución de equipos es el segundo año de su funcionamiento.
Programación dinámica. Distribución óptima de fondos entre empresas.
Encuentre la distribución óptima de fondos en la cantidad de 9 unidades convencionales. unidades entre cuatro empresas. El beneficio de cada empresa es función de los fondos invertidos en ella y se presenta en la tabla:
|
Inversiones |
|||||||||
|
Yo emprendo |
|||||||||
|
II empresa |
|||||||||
|
III empresa |
|||||||||
|
IV empresa |
Las inversiones en cada empresa son múltiplos de 1 unidad convencional. unidades
Dividamos el proceso de asignación de fondos a las empresas en 4 etapas: en la primera etapa, se asignan y 1 fondos a la empresa P 1, en la segunda, y 2 fondos a la empresa P 2, en la tercera, y 3 fondos a la empresa. P 3, en el cuarto tercio - y 4 fondos para la empresa P 4
x norte = x norte - 1 - y norte, norte = 1,2,3, 4.
Tenga en cuenta que en la cuarta etapa de asignación de fondos, todo el saldo x 3 se invierte en la empresa P 4, por lo tanto y 3 = x 4.
Usemos las ecuaciones de Bellman para N = 4.
Como resultado obtenemos las siguientes tablas:
tabla 1
 |
||||||||||||
Tabla 2
Tabla 3
Tabla 4
De la Tabla 4 se deduce que el control óptimo será y 1 * = 3, mientras que el beneficio óptimo es 42. A continuación obtenemos
x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1
x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1
x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4
Por tanto, la inversión más óptima es en las empresas P1, P2, P3 y P4. Dinero en la cantidad de 4, 1,1 y 3 unidades convencionales, respectivamente. En este caso, el beneficio será máximo y ascenderá a 42 unidades convencionales. unidades
Durante el funcionamiento, los equipos están sujetos a desgaste físico y moral. Hay dos formas de restaurar el equipo: completa y parcial. En caso de restauración completa, el equipo se reemplaza por uno nuevo; en caso de restauración parcial, se repara el equipo. Para un uso óptimo del equipo, es necesario encontrar la edad a la que es necesario reemplazarlo para que los ingresos de la máquina sean máximos o, si no se pueden calcular los ingresos, los costos de reparación y mantenimiento sean mínimos. Este enfoque se considera desde la perspectiva de los intereses económicos del consumidor.
Para optimizar la reparación y reemplazo de equipos, es necesario desarrollar una estrategia de reemplazo de máquinas para el período de planificación. Como intereses económicos, se puede utilizar uno de dos enfoques:
1. Ingresos máximos de un automóvil durante un período de tiempo determinado.
2. Costes mínimos por necesidades de reparación y mantenimiento, si no se pueden calcular los ingresos.
Este problema se resuelve usando el método programación dinámica. La idea principal de este método es reemplazar la selección simultánea. más parámetros seleccionándolos uno por uno. Este método puede resolver una amplia variedad de problemas de optimización. La generalidad del enfoque para resolver una amplia variedad de problemas es una de las ventajas de este método.
Consideremos un mecanismo para optimizar la reparación y sustitución de equipos. Para resolver el problema, introducimos la siguiente notación:
t es la antigüedad del equipo;
d(t) - ingreso anual neto procedente de equipos de edad t;
U(t) - costos por necesidades de reparación y mantenimiento de una máquina de edad t;
C es el precio del equipo nuevo.
Para resolver este problema, introducimos una función fn(t), que muestra el valor del ingreso máximo durante los últimos n años, siempre que al comienzo del período de n años tuviéramos un automóvil con una antigüedad de t años.
El algoritmo para resolver el problema es el siguiente:
1) f1(t) = máx d(0) - C
) fn(t) = máx. fn-1(t+1) + d(t)
fn-1(1) + d(0) - C
Un aumento de los costos conducirá a una disminución del ingreso neto, que se calcula de la siguiente manera:
d(t) = r(t) - u(t)
r(t) - ingreso anual procedente de equipos de edad t;
u(t) - costos anuales por necesidades de reparación y mantenimiento
Edad del equipo t.
Enfoque de maximización de ingresos
Para resolver este problema, introducimos la función fn(t), que muestra el valor del ingreso máximo durante los últimos n años, siempre que al comienzo del período de n años tuviéramos equipos con una antigüedad de t años.
Si falta 1 año para que finalice el periodo
Si quedan n años hasta el final del periodo
(t) = máx. 
donde t es la antigüedad del equipo;
d (t) - ingreso anual neto procedente de equipos de edad t;
C es el precio del equipo nuevo.
Un aumento de los costos conducirá a una disminución del ingreso neto, que se calcula de la siguiente manera:
(t) = r(t) - u(t)
donde r (t) es el ingreso anual proveniente de equipos de edad t;
u(t) - costos anuales de reparación y necesidades operativas de equipos de edad t.
Calculemos los ingresos netos utilizando la fórmula, conociendo la dinámica de los ingresos y el crecimiento de los costos de reparación.
Cuadro 2. Ingresos netos por equipos por año
Este servicio está destinado a online. resolviendo el problema de la estrategia óptima de actualización de equipos. Normalmente, los siguientes parámetros se especifican en los datos de origen:
- r(t) es el costo de los productos producidos durante cada año del período de planificación utilizando este equipo;
- u(t) - costos anuales asociados con la operación del equipo;
- s(t) - valor residual del equipo;
- p es el costo de los equipos nuevos, que incluye los costos asociados con la instalación, puesta en servicio y puesta en marcha del equipo y no cambia en un período de planificación determinado.
Planificación de inversiones de capital.
Ejemplo No. 1. Encuentre la estrategia óptima para operar el equipo durante un período de 6 años, si en la tabla se dan el ingreso anual r(t) y el valor residual S(t) dependiendo de la edad, el costo del equipo nuevo es P = 13, y el La antigüedad del equipo al inicio del período operativo era de 1 año.| t | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| r(t) | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
| calle) | 12 | 10 | 8 | 8 | 7 | 6 | 4 |
Etapa I. Optimización condicional(k = 6,5,4,3,2,1).
Variable de control activada k-ésimo paso es una variable lógica que puede tomar uno de dos valores: mantener (C) o reemplazar (R) el equipo al comienzo del k-ésimo año.
1er paso: k = 6. Para el 1er paso, los estados posibles del sistema son t = 1,2,3,4,5,6, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 6 (t) = máx(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = máx(7; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = máx(7; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = máx(6; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = máx(6; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = máx(5; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = máx(5; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2do paso: k = 5. Para el 2do paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3,4,5, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 5 (t) = máx(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = máx(7 + 7 ; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = máx(7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = máx(6 + 6 ; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = máx(6 + 5 ; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = máx(5 + 5 ; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3er paso: k = 4. Para el 3er paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3,4, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 4 (t) = máx(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = máx(7 + 13; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = máx(7 + 12 ; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = máx(6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = máx(6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = máx(5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4to paso: k = 3. Para el 4to paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2,3, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 3 (t) = máx(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = máx(7 + 19 ; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = máx(7 + 17 ; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = máx(6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = máx(6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = máx(5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5to paso: k = 2. Para el 5to paso, los posibles estados del sistema son t = 1,2, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 2 (t) = máx(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = máx(7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = máx(7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = máx(6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = máx(6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = máx(5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6to paso: k = 1. Para el 6to paso, los posibles estados del sistema son t = 1, y las ecuaciones funcionales tienen la forma:
F 1 (t) = máx(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = máx(7 + 30; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = máx(7 + 29 ; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = máx(6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = máx(6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = máx(5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = máx(5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Los resultados de los cálculos utilizando las ecuaciones de Bellman F k (t) se dan en la tabla, en la que k es el año de funcionamiento y t es la antigüedad del equipo.
Tabla – Matriz de Beneficio Máximo
| k/t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 37 | 36 | 34 | 33 | 32 | 30 |
| 2 | 31 | 30 | 29 | 28 | 27 | 25 |
| 3 | 26 | 24 | 23 | 22 | 21 | 19 |
| 4 | 20 | 19 | 17 | 16 | 15 | 13 |
| 5 | 14 | 13 | 12 | 11 | 10 | 6 |
| 6 | 7 | 7 | 6 | 6 | 5 | 5 |
En la tabla se resalta el valor de la función correspondiente al estado (3) - reemplazo de equipo.
Al resolver este problema en algunas tablas al evaluar la elección. control requerido Obtuvimos los mismos valores de F para ambas opciones de control. En este caso, de acuerdo con el algoritmo para resolver tales problemas, es necesario seleccionar un control de conservación del equipo.
Etapa II. Optimización incondicional(k = 6,5,4,3,2,1).
Según las condiciones del problema, la antigüedad del equipo es t 1 =1 años. Período previsto N=6 años.
Al comienzo del primer año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. La ganancia será F 1 (1) = 37.
Control óptimo para k = 1, x 1 (1) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 1 a 6 se logra si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del segundo año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. La ganancia será F 2 (2) = 30.
Control óptimo para k = 2, x 2 (2) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 2 a 6 se logra si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del tercer año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. La ganancia será F 3 (3) = 23.
Control óptimo incondicional para k = 3, x 3 (3)=(3), es decir Para obtener el máximo beneficio durante los años restantes, es necesario reemplazar el equipo este año.
Al comienzo del cuarto año de operación, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. La ganancia será F 4 (1) = 20.
Control óptimo para k = 4, x 4 (1) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 1 a 6 se logra si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del quinto año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. La ganancia será F 5 (2) = 13.
Control óptimo para k = 5, x 5 (2) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 2 a 6 se logra si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
Al comienzo del sexto año de funcionamiento, la antigüedad del equipo aumentará en uno y será: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. La ganancia será F 6 (3) = 6.
Control óptimo para k = 6, x 6 (3) = (C), es decir el ingreso máximo para los años 3 a 6 se logra si se conserva el equipo, es decir, no reemplazado.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (3)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Así, después de 6 años de funcionamiento del equipo, el reemplazo deberá realizarse al inicio del 3er año de funcionamiento.
Ejemplo No. 2. El problema de la planificación de inversiones de capital. Intervalo de planificación T=5 años. Función de costo para reparaciones y operaciones posteriores K(t)=t+2t 2 (r.); función de reemplazo P(t)=10+0.05t 2 (p.). Determine la estrategia óptima de reemplazo y reparación para equipos nuevos (t=0) y equipos de edad t=1, t=2, t=3.
Determine los costos planificados óptimos para los años del plan quinquenal, si la cantidad de equipos por grupos de edad es la siguiente: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2 )=8, n(t=3)= 5