Federal State Educational
Institut for videregående faglig uddannelse
"FINANSIEL UNIVERSITET UNDER REGERINGEN AF DEN RUSSISKE FØDERATION"
Institut for Anvendt Matematik
V.Yu.Popov V.I.Troitsky
METODER TIL LØSNING AF TESTPROBLEMER I FYSIK
Moskva 2011
Introduktion
I På det sidste til at teste nuværende viden om studerende, gennemføre mellemprøver, samt ved beståelse af eksamener og vurdering af resterende viden om studerende, bliver de i stigende grad brugt forskellige former afprøvning. Manualen er beregnet til effektiv forberedelse af bachelorstuderende inden for områderne "Anvendt matematik og informatik" og "Anvendt informatik" til test i disciplinen "Fysik".
Rotationsmatricer bruges til at rotere en vektor i en ny retning. Ved transformation af vektorer i 3D-rum støder man ofte på rotationsmatricer. Rotationsmatricer bruges i to betydninger: de kan bruges til at rotere en vektor til en ny position, eller de kan bruges til at rotere en koordinatbase til en ny. I dette tilfælde forbliver vektoren alene, men dens komponenter i den nye basis vil afvige fra komponenterne i den oprindelige basis. Hver rotation er specificeret af en rotationsvinkel. Rotationsvinklen er defineret som positiv for rotation mod uret, når observatøren kigger langs rotationsaksen i oprindelsesretningen.
1. Mekanik
- kinematik af et punkt og translationel bevægelse af et stivt legeme;
- dynamik af et punkt og translationel bevægelse af en stiv krop;
- dynamiske parametre for rotationsbevægelse af et stivt legeme;
- dynamik af rotationsbevægelse;
- bevaringslove i mekanik;
- elementer i den særlige relativitetsteori.
Enhver vilkårlig rotation kan være en kombination af disse tre. De næste tre tal viser, hvordan positive rotationer ser ud for hver rotationsakse. For enhver rotation er der en omvendt rotation, der opfylder A - 1 A = 1. F.eks. omvendt matrix Rotationen af x-aksen opnås ved at ændre vinklens fortegn.
Dette eksempel illustrerer en grundlæggende egenskab: det omvendte af en rotationsmatrix er lig med transponeringen af originalen. Under rotationer bevares vektorernes længder, samt vinklerne mellem vektorerne. Vi kan tænke om sving forskelligt. De nye basisvektorer kan skrives som lineære kombinationer af de gamle og inkludere transposition.
Opgave 1. Materialepunktet M bevæger sig i en cirkel med hastighed. Figur 1 viser en graf over hastighedsprojektionen versus tid (– enhedsvektor for den positive retning, – projektion til denne retning). Desuden, hvilken retning har vektoren?
fuld acceleration i fig. 2 (1, 3, 4, 2)?
Nu kan enhver vektor skrives som en lineær kombination af ethvert sæt basisvektorer. En cirkulær platform roterer omkring en akse vinkelret på den, som passerer gennem dens centrum med ensartet Vinkelhastighedω. Find udtrykket for bilens hastighed set fra platformen og fra observatøren i absolut hvile.
Beskriv de baner, som bilen beskriver for hver af disse observatører. Den bestemmer de kinematiske størrelser i det øjeblik, der er vist på figuren. Hvad skal der ske for at den øjeblikkelige rotationsakse og minimumsslip kan passere gennem midten af skiven? I dette tilfælde beregnes den tidsafledede af den kinematiske reduktion. . Som følge heraf er der altid en lige del af keglens sideflade i kontakt med skivens radius. Når keglen flyttes, vender den uden at glide på skiven.
Opgave 1 viser, at hastigheden af materialepunktet M falder over tid. Vi ved, at når hastigheden falder, er den tangentielle accelerationsvektor rettet modsat hastigheden (det vil sige modsat vektoren τ), og den normale accelerationsvektor er altid mod midten af banen (cirklens centrum). Derfor er retningen af total acceleration 4.
Angiv positionen af de øjeblikkelige akser for de forskellige bevægelser, der findes i dette system. Bemærk. 
- Kinematiske sammentrækninger af relative bevægelser.
- Rotationsakser og bevægelsers art.
- Accelerationsfelter.
Opgave 2. Hvis og er de tangentielle og normale komponenter af acceleration, så for hvilken type bevægelse (ensartet cirkulær bevægelse, ensartet kurvelineær bevægelse, ensartet accelereret retlinet bevægelse, ensartet retlinet bevægelse) er følgende relationer gyldige: a τ = 0,a τ = 0?
0 er kun gyldig for retlinet ensartet bevægelse.
Derudover bevæger keglerne sig, så deres kontaktpunkter ikke har nogen relativ glidning. Det er rimeligt at opnå et kinematisk par, der beskriver i almindelig sagøjeblikkelig bevægelse tilladt at fast 2 i forhold til strimlen. Hvad er antallet af frihedsgrader i systemet? . Skiven roterer med en konstant vinkelhastighed ω, hvis rotationsakse falder sammen med stangen. Flade ventilatorer blev installeret på to vinkelrette vægge med en fast orientering, begge i samme højde og med deres respektive centre placeret i lige store afstande fra hjørnet.
Opgave 3. Et stift legeme fra hviletilstand begynder at rotere rundt om Z-aksen med vinkelacceleration, hvis fremskrivning varierer over tid, som vist i grafen.
På hvilket tidspunkt vil kroppens rotationsvinkelhastighed nå sin maksimale værdi?
I dette problem, ud fra afhængigheden af vinkelaccelerationen ε Z af hastigheden, skal du finde tidspunktet,
når vinkelhastigheden når sin maksimale værdi. Det er kendt, at ε Z = | Hvor kommer d ω fra? | ||
ε Z dt иω (t) =∫ 0 t ε Ζ (t) dt. Det vil sige, at værdien af vinkelhastigheden ω (t) bestemmes af arealet | |||
under kurven ε Ζ (t) under hensyntagen til, at arealet over t-aksen er positivt, under aksen - | |||
negativ. Ud fra dette kan det ses, at det største samlede areal (under hensyntagen til tegnet) svarer til t = 10c.
Opgave 4. I hvilke situationer gælder Newtons anden lov i skemaet hvor er styrken, virker på kroppen fra andre kroppe?
a) egnet til at beskrive bevægelsen af mikroobjekter b) kun gyldig ved kropshastigheder, der er meget lavere end lysets hastighed i vakuum i ethvert referencesystem.
Newtons anden lov i formen m a = ∑ F: er kun gyldig ved kropshastigheder mindre end lysets hastighed i vakuum. Ved hastigheder, der svarer til lysets hastighed, er det sandt
relativistisk dynamikligning d dt p = ∑ F , hvor p er det relativistiske momentum. Beskrivelsen af mikroobjekters bevægelse udføres i kvante
mekanik. Newtons love er kun gyldige i inerti-referencerammer.
Opgave 5. Punkt M bevæger sig i en spiral med konstant hastighed i den retning, pilen angiver. På samme tid, hvordan opfører størrelsen af den samlede acceleration sig (ændres ikke, øges, falder)
Det kan ses af figuren, at krumningsradius af banen til punkt M falder, og selvom
hastigheden ændres ikke, og derfor er tangentialaccelerationen (a T =d dt ν) nul,
Systemet består af tre bolde med masserne m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg, som bevæger sig som vist på figuren.
Hvis kuglernes hastigheder er v1 =3m/s, v2 =2m/s, v3 =1m/s, hvad er så værdien af hastigheden af dette systems massecenter i m/s?
Total impuls mekaniske systemer(i dette tilfælde et system med tre kugler) er lig med summen
impulser af systemelementerne, dvs. | (∑ m i) V c= ∑ m l | ν l eller hastigheden af systemets massecenter |
|||||||||||||||||||||
lig med V c = | ∑ mj υ j | ||||||||||||||||||||||
∑mj | |||||||||||||||||||||||
Følgelig fremskrivninger | på x- og y-aksen er lig med υ | ∑ m jυ xj | |||||||||||||||||||||
∑mj | |||||||||||||||||||||||
m 10 + m 22 2+ m 30 | ; υce | ∑ mj υ j | 3m | M 2 0 | M 3 (1 m | 1 3 − 3 1 | |||||||||||||||||
∑mj | |||||||||||||||||||||||
Det vil sige, υ c = υ cx = 2 m | |||||||||||||||||||||||
Kroppens momentum ændrede sig under påvirkning af en kortvarig påvirkning og blev lige, som vist på figuren.
I hvilken retning virkede kraften i stødøjeblikket?
Vi ved, at Newtons anden lov kan repræsenteres som | ∆p = | ∆t, |
||||||||
∆ p = p 2 − p 1 . Det kan ses, at retningen af kraften | ||||||||||
F cp falder sammen med ændringens retning |
||||||||||
momentum ∆ p, som kan findes ved hjælp af vektoradditionsreglen: p 2 | P 1 + ∆ p , det vil sige i |
|||||||||
kraftmomentet virker i retning 3. | ||||||||||
Opgave 8. En tennisbold fløj med momentum i vandret retning, da tennisspilleren slog bolden med et skarpt slag, der varede 0,1 s. Kuglens ændrede momentum blev ens (skalaen er angivet på figuren). Hvad er den gennemsnitlige slagkraft?
Svarende til den foregående opgave F cp ∆ t = p 2 − p 1 . Efter at have fundet størrelsen og retningen af ∆ p = p 2 − p 1
og dividere med ∆ t | ||||||||||||||
Billedet viser, hvordan man finder | ∆p(s | + ∆p =p | ). På cellulær skala | ∆ p 2= 3 2kl + 4 2kl = 5 2kl |
||||||||||
∆ p= 5 cl= 5 1 kgm s=5kg/s | ||||||||||||||
F cp= | ∆s | 5 kg | 50 H. | |||||||||||
∆t | ||||||||||||||
0,1 s | ||||||||||||||
Opgave 9. Materialepunktet M bevæger sig i en cirkel med hastighed. I fig. Figur 1 viser en graf over afhængigheden af tid (– enhedsvektor for positiv retning,–
projektion i denne retning). I fig. 2 angives retningen af kraften, der virker på T.M på tidspunktet t 1.
t 1 svarer til sektionen, hvor hastigheden stiger. Tager man hensyn til, at den normale acceleration er rettet mod cirklens centrum, er den samlede acceleration a (a = a T + a n).
I sektion t 2 ændres hastigheden ikke, a T = 0, og den tangentielle totalacceleration med stigende hastighed er a = a H og er rettet som 2. I sektion t 3, hvor hastigheden falder, er den samlede
acceleration er rettet som 4 (tangentiel acceleration er modsat hastighed) Kraftens retning falder som bekendt sammen med accelerationsretningen a
Opgave 10 I et potentialfelt er kraften proportional med den potentielle energigradient
Hvis grafen for potentiel energi versus koordinat x har formen vist på figuren,
Projektioner af kraft i x-, y- og z-retningerne
er lig med F = −
∂Wp
∂Wp
; F = −
∂Wp
Overvejer,
∂X
∂y
∂z
at afhængigheden W
(x) ligner
= α x 2, så
F = − (α x2 ) "
= − 2 dx , derefter afhængigheden
projektionen af kraft på X-aksen har formen 2.
Opgave 11. Et legeme, der vejer 2 kg, er hævet over Jorden. Dens potentielle energi er 400 J. Hvis den potentielle energi af et legeme på Jordens overflade er nul, og luftmodstandens kræfter kan negligeres, hvad skal den hastighed være, hvormed den vil falde til Jorden?
(40 m/s, 20 m/s, 10 m/s, 14 m/s)
Et legeme med massen m=2m er hævet over jorden. Dens potentielle energi er 400J. Hvis vi antager, at på jordens overflade potentiel energi = 0, og der ikke er nogen luftmodstand,
vi finder kroppens kinetiske energi ved jordens overflade ved hjælp af formlen | m ν2 | Mgh = 400 J. |
|||||||
V 2 = 400m 2 | og V = 20 | ||||||||
Opgave 12. En lille puck begynder at bevæge sig uden starthastighed på glat isrutsjebane fra punkt A. Luftmodstanden er ubetydelig. Afhængighed af potentiale
puck energi kontra koordinater er vist på grafen
Hvad er forholdet mellem puckens kinetiske energi i punkterne C og B?
2 gange mindre end ved punkt B; 1,75 gange mere end ved punkt B; 1,75 gange mindre end ved punkt B; 2 gange mere end punkt B.
Hvis modstanden af skivens bevægelse ikke tages i betragtning, ændres skivens samlede mekaniske energi ikke, det vil sige, på ethvert punkt med koordinaterne X er den lig med energien i punkt A.
Hvis der i punkt A er bevægelse uden en starthastighed (kinetisk energi er 0), så er den samlede energi lig med den potentielle energi E = 100 J.
Hvis den potentielle energi i punkt B er 70 J, så er den kinetiske energi = 30 J, og i punkt C er den potentielle energi 40 J og den kinetiske energi er 60 J. Så er den kinetiske energi i punkt C 2 gange større end ved punkt B. punkt C.
Opgave 13. En bøjle med masse m=0,3 kg og radius R=0,5 m blev sat i rotation, hvilket gav den en rotationsenergi på 1200 J, og sænket til gulvet, så dens rotationsakse var parallel med det flade gulv. Hvis bøjlen begyndte at bevæge sig uden at glide med en kinetisk energi af translationel bevægelse på 200 J, hvor meget arbejde blev der så udført af friktionskraften?
Mulighed 5
5.1. På figuren viser pilene retningerne for vinkelaccelerationen af de roterende skiver, og angiver også, hvordan deres vinkelhastighed ændrer sig modulo over tid. Hvilken slags diske snurrer? med uret(hvis du ser på disken nedefra)?
5.2. Skiven roterer med konstant vinkelacceleration ε = 5 rad/s. Hvor mange omdrejninger N vil skiven lave, når omdrejningshastigheden ændres fra n 1 = 240 min-1 til n2 = 90 min-1? Find et tidspunkt, hvor dette vil ske.
5.3. 
Det stive legeme begynder at rotere rundt om Z-aksen med en vinkelhastighed, hvis projektion ændres med tiden, som vist på grafen. I hvilken vinkel (i glad) kroppen vil blive roteret i forhold til udgangspositionen efter 10 Med ?
5.4. Tre kroppe betragtes: en skive, et tyndvægget rør og en solid kugle; og masserne m og radierne af diskens og rørets baser er de samme. Sandt for inertimomenterne af de undersøgte kroppe i forhold til de angivne akser er forholdet ...
1) J 3< J 2 < J 1 2) J 3 < J 1 < J 2 3) J 1 < J 2 < J 3 4) J 3 < J 1 = J 2
5.5. Skiverne roterer omkring faste lodrette akser. Figuren viser med en pil skivens rotationsretning, og hvordan omdrejningsvinkelhastigheden ændrer sig over tid. Angiv numrene på de skiver, hvis vinkelmoment er rettet langs rotationsaksen nedad.
5.6. Et gevind er viklet langs kanten af en remskive monteret på en fælles akse med et svinghjul, til hvis ende en last vejer m = 4,0 kg. Hvor langt skal lasten sænkes, så hjul og remskive får en hastighed svarende til frekvensen? n = 60 rpm? Inertimoment af et hjul med en remskive J = 0,42 kg m 2, remskive radius r = 10cm. Dette er opgave nummer 2
5.7. Figuren viser en graf over projektionen af et roterende legemes vinkelhastighed på rotationsaksen som funktion af tiden. Momentet af kræfter, der virkede på kroppen, var konstant og ikke lig med nul i området ...
5.8. En mand står på en Zhukovsky bænk, roterer med ubetydelig friktion og fanger en håndbold med en masse m = 0,4 kg, der flyver i vandret retning med en hastighed v = 20 Frk. Boldens bane passerer på afstand r = 0,8 m fra bænkens lodrette rotationsakse. Ved hvilken vinkelhastighed ω vil Zhukovsky-bænken med den person, der fangede bolden, begynde at rotere? Overvej, at det samlede inertimoment af personen og bænken J = 6 kg∙m 2.
5.9. Svinghjulet roterer rundt i henhold til loven, udtrykt ved ligningenφ = 2+16 t- 2t 2, glad. Find gennemsnitlig effekt udviklet af de kræfter, der virker på svinghjulet under dets bevægelse, indtil det stopper, hvis dets inertimoment J = 100 kg∙m 2 Hvad er magten på tidspunktet? t = 3s.
5.10. En dreng ruller en bøjle vandret overflade med en hastighed v=7,2 km/t Find den højde (i meter), som bøjlen kan rulle op ad bakken på grund af sin kinetiske energi, hvis den rullende friktionskraft negligeres. Hældningsvinklen for slæden er .