Vend den Gaussiske metode online. Gaussmetoden eller hvorfor børn ikke forstår matematik

I dag ser vi på Gauss-metoden til løsning af systemer af lineære algebraiske ligninger. Du kan læse om, hvad disse systemer er, i den forrige artikel, der er viet til at løse de samme SLAE'er ved hjælp af Cramer-metoden. Gauss-metoden kræver ingen specifik viden, du har kun brug for opmærksomhed og konsekvens. På trods af at skoletræning fra et matematisk synspunkt er tilstrækkelig til at anvende den, har eleverne ofte svært ved at mestre denne metode. I denne artikel vil vi forsøge at reducere dem til ingenting!

Gauss metode

M Gaussisk metode– den mest universelle metode til at løse SLAE'er (med undtagelse af meget store systemer). I modsætning til det, der blev diskuteret tidligere, er det ikke kun egnet til systemer, der har en enkelt løsning, men også til systemer, der har et uendeligt antal løsninger. Der er tre mulige muligheder her.

1. Systemet har en unik løsning (determinanten for systemets hovedmatrix er ikke lig med nul);
2. Systemet har et uendeligt antal løsninger;
3. Der er ingen løsninger, systemet er inkompatibelt.

Så vi har et system (lad det have én løsning), og vi skal løse det ved hjælp af Gauss-metoden. Hvordan det virker?

Gauss-metoden består af to trin - fremad og omvendt.

Direkte streg af Gauss-metoden

Lad os først skrive systemets udvidede matrix ned. For at gøre dette skal du tilføje en kolonne med gratis medlemmer til hovedmatrixen.

Hele essensen af ​​Gauss-metoden er at bringe denne matrix til en trinvis (eller, som de også siger, trekantet) form gennem elementære transformationer. I denne form skal der kun være nuller under (eller over) matrixens hoveddiagonal.

Hvad du kan gøre:

1. Du kan omarrangere rækkerne i matrixen;
2. Hvis der er lige store (eller proportionale) rækker i en matrix, kan du fjerne alle undtagen én af dem;
3. Du kan gange eller dividere en streng med et hvilket som helst tal (undtagen nul);
4. Nul rækker fjernes;
5. Du kan tilføje en streng ganget med et andet tal end nul til en streng.

Omvendt Gaussisk metode

Efter at vi har transformeret systemet på denne måde, en ukendt Xn bliver kendt, og du kan finde alle de resterende ukendte i omvendt rækkefølge, idet du erstatter de allerede kendte x'er i systemets ligninger op til den første.

Når internettet altid er ved hånden, kan du løse et ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden online. Du skal blot indtaste koefficienterne i online-beregneren. Men du må indrømme, det er meget mere behageligt at indse, at eksemplet ikke blev løst af et computerprogram, men af ​​din egen hjerne.

Et eksempel på løsning af et ligningssystem ved hjælp af Gauss-metoden

Og nu - et eksempel, så alt bliver klart og forståeligt. Lad et system af lineære ligninger være givet, og du skal løse det ved hjælp af Gauss-metoden:

Først skriver vi den udvidede matrix:

Lad os nu lave transformationerne. Vi husker, at vi skal opnå et trekantet udseende af matrixen. Lad os gange den 1. linje med (3). Gang 2. linje med (-1). Tilføj 2. linje til 1. og få:

Derefter ganges den 3. linje med (-1). Lad os tilføje 3. linje til 2.:

Lad os gange den 1. linje med (6). Lad os gange 2. linje med (13). Lad os tilføje 2. linje til 1.:

Voila - systemet bringes til den passende form. Det er tilbage at finde de ukendte:

Systemet i dette eksempel har en unik løsning. Vi vil overveje at løse systemer med et uendeligt antal løsninger i en separat artikel. Måske ved du først ikke, hvor du skal begynde at transformere matrixen, men efter passende øvelse vil du få styr på det og vil knække SLAE'er ved hjælp af Gauss-metoden som nødder. Og hvis du pludselig støder på en SLAE, der viser sig at være for hård en nød at knække, så kontakt vores forfattere! du kan ved at efterlade en anmodning i korrespondancekontoret. Sammen løser vi ethvert problem!

En af de enkleste måder at løse et system af lineære ligninger på er en teknik baseret på beregning af determinanter ( Cramers regel). Dens fordel er, at det giver dig mulighed for straks at registrere løsningen, det er især praktisk i tilfælde, hvor systemets koefficienter ikke er tal, men nogle parametre. Dens ulempe er besværligheden af ​​beregninger i tilfælde af et stort antal ligninger. Desuden er Cramers regel ikke direkte anvendelig på systemer, hvor antallet af ligninger ikke er sammenfaldende med antallet af ubekendte. I sådanne tilfælde bruges det normalt Gaussisk metode.

Systemer af lineære ligninger med det samme sæt af løsninger kaldes tilsvarende. Det er klart, at mængden af ​​løsninger af et lineært system ikke ændres, hvis nogen ligninger byttes om, eller hvis en af ​​ligningerne multipliceres med et tal, der ikke er nul, eller hvis en ligning lægges til en anden.

Gauss metode (metode til sekventiel eliminering af ukendte) er, at systemet ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af en trintype. Først ved hjælp af den 1. ligning eliminerer vi x 1 af alle efterfølgende ligninger i systemet. Så, ved hjælp af den 2. ligning, eliminerer vi x 2 fra 3. og alle efterfølgende ligninger. Denne proces, kaldet direkte gaussisk metode, fortsætter, indtil der kun er én ukendt tilbage på venstre side af den sidste ligning x n. Herefter er det gjort omvendt af Gauss-metoden– at løse den sidste ligning, finder vi x n; derefter, ved hjælp af denne værdi, fra den næstsidste ligning, vi beregner x n-1 osv. Vi finder den sidste x 1 fra den første ligning.

Det er praktisk at udføre gaussiske transformationer ved at udføre transformationer ikke med ligningerne selv, men med matricerne for deres koefficienter. Overvej matrixen:

hedder udvidet matrix af systemet, fordi det ud over systemets hovedmatrix indeholder en kolonne med frie termer. Den Gaussiske metode er baseret på at reducere systemets hovedmatrix til en trekantet form (eller trapezform i tilfælde af ikke-kvadratiske systemer) ved hjælp af elementære rækketransformationer (!) af systemets udvidede matrix.

Eksempel 5.1. Løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning. Lad os skrive systemets udvidede matrix ud, og ved hjælp af den første række nulstilles derefter de resterende elementer:

vi får nuller i 2., 3. og 4. række i den første kolonne:

Nu skal alle elementer i den anden kolonne under 2. række være lig med nul. For at gøre dette kan du gange den anden linje med –4/7 og lægge den til den 3. linje. Men for ikke at beskæftige os med brøker, lad os oprette en enhed i 2. række i den anden kolonne og kun

Nu, for at få en trekantet matrix, skal du nulstille elementet i den fjerde række i den 3. kolonne for at gøre dette, kan du gange den tredje række med 8/54 og tilføje den til den fjerde. Men for ikke at beskæftige os med brøker, vil vi bytte 3. og 4. række og 3. og 4. kolonne, og først efter det nulstiller vi det angivne element. Bemærk, at når du omarrangerer kolonnerne, skifter de tilsvarende variable plads, og dette skal huskes; andre elementære transformationer med kolonner (addition og multiplikation med et tal) kan ikke udføres!

Den sidste forenklede matrix svarer til et ligningssystem svarende til det oprindelige:

Herfra, ved at bruge det omvendte af Gauss-metoden, finder vi fra den fjerde ligning x 3 = -1; fra den tredje x 4 = –2, fra den anden x 2 = 2 og fra den første ligning x 1 = 1. På matrixform skrives svaret som

Vi overvejede sagen, når systemet er bestemt, dvs. når der kun er én løsning. Lad os se, hvad der sker, hvis systemet er inkonsekvent eller usikkert.

Eksempel 5.2. Udforsk systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning. Vi udskriver og transformerer systemets udvidede matrix

Vi skriver et forenklet ligningssystem:

Her viser det sig i den sidste ligning, at 0=4, dvs. modsigelse. Systemet har følgelig ingen løsning, dvs. hun uforenelig. à

Eksempel 5.3. Udforsk og løs systemet ved hjælp af Gauss-metoden:

Løsning. Vi udskriver og transformerer systemets udvidede matrix:

Som et resultat af transformationerne indeholder den sidste linje kun nuller. Det betyder, at antallet af ligninger er faldet med én:

Efter forenklinger er der således to ligninger tilbage, og fire ubekendte, dvs. to ukendte "ekstra". Lad dem være "overflødige", eller, som de siger, frie variabler, vil x 3 og x 4 . Derefter

Troende x 3 = 2-en Og x 4 = b, vi får x 2 = 1–-en Og x 1 = 2b–-en; eller i matrixform

En løsning skrevet på denne måde kaldes generel, fordi, at give parametre -en Og b forskellige værdier, kan alle mulige løsninger af systemet beskrives. -en

1. System af lineære algebraiske ligninger

1.1 Begrebet et system af lineære algebraiske ligninger

Et ligningssystem er en tilstand, der består af samtidig udførelse af flere ligninger med hensyn til flere variable. Et system af lineære algebraiske ligninger (herefter benævnt SLAE), der indeholder m-ligninger og n ukendte, kaldes et system af formen:

hvor tal a ij kaldes systemkoefficienter, tal b i kaldes frie led, en ij Og b i(i=1,…, m; b=1,…, n) repræsenterer nogle kendte tal, og x 1, …, x n- ukendt. I udpegningen af ​​koefficienter en ij det første indeks i betegner ligningens nummer, og det andet j er tallet på den ukendte, hvor denne koefficient står. Tallene x n skal findes. Det er praktisk at skrive et sådant system i en kompakt matrixform: AX=B. Her er A matrixen af ​​systemkoefficienter, kaldet hovedmatrixen;

– kolonnevektor af ukendte xj.
er en kolonnevektor med frie led bi.

Produktet af matricerne A*X er defineret, da der er lige så mange kolonner i matrix A, som der er rækker i matrix X (n stykker).

Et systems udvidede matrix er systemets matrix A, suppleret med en kolonne med frie udtryk

1.2 Løsning af et system af lineære algebraiske ligninger

Løsningen til et ligningssystem er et ordnet sæt tal (værdier af variable), når de erstattes i stedet for variabler, bliver hver af systemets ligninger til en sand lighed.

En løsning til et system er n værdier af de ukendte x1=c1, x2=c2,..., xn=cn, ved substitution af hvilke alle systemets ligninger bliver sande ligheder. Enhver løsning til systemet kan skrives som en kolonnematrix

Et ligningssystem kaldes konsistent, hvis det har mindst én løsning, og inkonsistent, hvis det ikke har nogen løsning.

Et konsistent system siges at være bestemmende, hvis det har en enkelt løsning, og ubestemt, hvis det har mere end én løsning. I sidstnævnte tilfælde kaldes hver af dens løsninger for en bestemt løsning af systemet. Sættet af alle særlige løsninger kaldes den generelle løsning.

At løse et system betyder at finde ud af, om det er kompatibelt eller inkonsekvent. Hvis systemet er konsistent, så find dets generelle løsning.

To systemer kaldes ækvivalente (ækvivalente), hvis de har den samme generelle løsning. Med andre ord er systemer ækvivalente, hvis hver løsning af den ene af dem er en løsning af den anden, og omvendt.

En transformation, hvis anvendelse gør et system til et nyt system svarende til det oprindelige, kaldes en tilsvarende eller tilsvarende transformation. Eksempler på ækvivalente transformationer omfatter følgende transformationer: udveksling af to ligninger af et system, udveksling af to ukendte sammen med koefficienterne for alle ligninger, multiplikation af begge sider af enhver ligning af et system med et tal, der ikke er nul.

Et system af lineære ligninger kaldes homogent, hvis alle frie led er lig med nul:

Et homogent system er altid konsistent, da x1=x2=x3=…=xn=0 er en løsning af systemet. Denne løsning kaldes nul eller triviel.

2. Gaussisk eliminationsmetode

2.1 Essensen af ​​den Gaussiske eliminationsmetode

Den klassiske metode til at løse systemer af lineære algebraiske ligninger er metoden til sekventiel eliminering af ukendte - Gaussisk metode(det kaldes også den Gaussiske eliminationsmetode). Dette er en metode til sekventiel eliminering af variable, når et ligningssystem ved hjælp af elementære transformationer reduceres til et ækvivalent system af trin (eller trekantet) form, hvorfra alle andre variable findes sekventielt, begyndende med den sidste (ved antal) variabler.

Løsningsprocessen ved hjælp af Gauss-metoden består af to faser: frem og tilbage.

1. Direkte slag.

I det første trin udføres den såkaldte direkte bevægelse, når systemet gennem elementære transformationer over rækkerne bringes til en trinformet eller trekantet form, eller det konstateres, at systemet er inkompatibelt. Nemlig blandt elementerne i den første kolonne i matrixen, vælg en ikke-nul, flyt den til den øverste position ved at omarrangere rækkerne, og subtraher den resulterende første række fra de resterende rækker efter omarrangeringen, multiplicer den med en værdi lig med forholdet mellem det første element i hver af disse rækker og det første element i den første række, og dermed nulstilles kolonnen under det.

Efter at disse transformationer er blevet gennemført, streges den første række og den første kolonne mentalt ud og fortsættes, indtil der er en nul-størrelse matrix tilbage. Hvis der ved en iteration ikke er noget ikke-nul element blandt elementerne i den første kolonne, så gå til den næste kolonne og udfør en lignende operation.

I det første trin (direkte slag) reduceres systemet til en trinvis (især trekantet) form.

Systemet nedenfor har en trinvis form:

,

Koefficienter aii kaldes de vigtigste (ledende) elementer i systemet.

(hvis a11=0, omarranger rækkerne i matrixen, så -en 11 var ikke lig med 0. Dette er altid muligt, for ellers indeholder matricen en nulsøjle, dens determinant er lig med nul, og systemet er inkonsekvent).

Lad os transformere systemet ved at eliminere den ukendte x1 i alle ligninger undtagen den første (ved at bruge elementære transformationer af systemet). For at gøre dette skal du gange begge sider af den første ligning med

og tilføj led for led med systemets anden ligning (eller fra den anden ligning træk led for led med det første ganget med ). Derefter multiplicerer vi begge sider af den første ligning med og lægger dem til den tredje ligning i systemet (eller fra den tredje trækker vi den første ganget med ). Således multiplicerer vi sekventielt den første linje med et tal og lægger til jeg linje, for i= 2, 3, …,n.

Ved at fortsætte denne proces opnår vi et tilsvarende system:

– nye værdier af koefficienter for ukendte og frie led i de sidste m-1-ligninger af systemet, som er bestemt af formlerne:

Ved det første trin bliver alle koefficienter, der ligger under det første førende element a 11, således ødelagt

0, i andet trin ødelægges de elementer, der ligger under det andet forreste element a 22 (1) (hvis en 22 (1) 0) osv. For at fortsætte denne proces yderligere reducerer vi endelig, ved (m-1) trin, det oprindelige system til et trekantet system.

Hvis der i processen med at reducere systemet til en trinvis form opstår nul-ligninger, dvs. ligheder på formen 0=0, de kasseres. Hvis en ligning af formen vises

så indikerer dette systemets inkompatibilitet.

Det er her den direkte progression af Gauss' metode slutter.

2. Omvendt slag.

På det andet trin udføres det såkaldte omvendte træk, hvis essens er at udtrykke alle de resulterende grundlæggende variabler i form af ikke-grundlæggende og opbygge et grundlæggende system af løsninger, eller hvis alle variablerne er grundlæggende , så udtryk numerisk den eneste løsning til systemet af lineære ligninger.

Denne procedure begynder med den sidste ligning, hvorfra den tilsvarende grundvariabel udtrykkes (der er kun én i den) og substitueres i de foregående ligninger, og så videre, og går op ad "trinene".

Hver linje svarer til nøjagtig én basisvariabel, så ved hvert trin undtagen det sidste (øverst), gentager situationen nøjagtigt tilfældet med den sidste linje.

Bemærk: i praksis er det mere bekvemt ikke at arbejde med systemet, men med dets udvidede matrix, der udfører alle de elementære transformationer på dets rækker. Det er praktisk at koefficienten a11 er lig med 1 (omarranger ligningerne, eller divider begge sider af ligningen med a11).

2.2 Eksempler på løsning af SLAE'er ved hjælp af Gauss-metoden

I dette afsnit vil vi ved hjælp af tre forskellige eksempler vise, hvordan den Gaussiske metode kan løse SLAE'er.

Eksempel 1. Løs en 3. ordens SLAE.

Lad os nulstille koefficienterne til

i anden og tredje linje. For at gøre dette skal du gange dem med henholdsvis 2/3 og 1 og tilføje dem til den første linje:

Lad et system af lineære algebraiske ligninger gives, som skal løses (find sådanne værdier af de ukendte xi, der gør hver ligning i systemet til en lighed).

Vi ved, at et system af lineære algebraiske ligninger kan:

1) Har ingen løsninger (vær ikke-fælles).
2) Har uendeligt mange løsninger.
3) Har en enkelt løsning.

Som vi husker, er Cramers regel og matrixmetoden ikke egnede i tilfælde, hvor systemet har uendeligt mange løsninger eller er inkonsistent. Gauss metode – det mest kraftfulde og alsidige værktøj til at finde løsninger på ethvert system af lineære ligninger, hvilken i alle tilfælde vil lede os til svaret! Selve metodealgoritmen fungerer ens i alle tre tilfælde. Hvis Cramer- og matrixmetoderne kræver kendskab til determinanter, så behøver man for at anvende Gauss-metoden kun kendskab til aritmetiske operationer, hvilket gør den tilgængelig selv for folkeskoleelever.

Augmented matrix transformationer ( dette er systemets matrix - en matrix kun sammensat af koefficienterne for de ukendte plus en kolonne med frie udtryk) systemer af lineære algebraiske ligninger i Gauss-metoden:

1) Med troki matricer Kan omarrangere nogle steder.

2) hvis der forekommer (eller findes) proportionale (som et specialtilfælde – identiske) rækker i matrixen, skal du slette Alle disse rækker er fra matrixen undtagen én.

3) hvis en nul-række vises i matricen under transformationer, så skal den også være det slette.

4) en række af matrixen kan være gange (dividere) til et hvilket som helst andet tal end nul.

5) til en række af matrixen kan du tilføje endnu en streng ganget med et tal, forskellig fra nul.

I Gauss-metoden ændrer elementære transformationer ikke løsningen af ​​ligningssystemet.

Gauss-metoden består af to faser:

1. "Direkte bevægelse" - ved hjælp af elementære transformationer, bring den udvidede matrix af et system af lineære algebraiske ligninger til en "trekant" trinform: elementerne i den udvidede matrix placeret under hoveddiagonalen er lig med nul (top-down bevægelse). For eksempel til denne type:

For at gøre dette skal du udføre følgende trin:

1) Lad os betragte den første ligning af et system af lineære algebraiske ligninger og koefficienten for x 1 er lig med K. Den anden, tredje osv. vi transformerer ligningerne som følger: vi dividerer hver ligning (koefficienter for de ukendte, inklusive frie led) med koefficienten for den ukendte x 1 i hver ligning, og multiplicerer med K. Herefter trækker vi den første fra den anden ligning ( koefficienter for ukendte og frie udtryk). For x 1 i den anden ligning får vi koefficienten 0. Fra den tredje transformerede ligning trækker vi den første ligning, indtil alle ligninger undtagen den første, for ukendt x 1, har en koefficient 0.

2) Lad os gå videre til næste ligning. Lad dette være den anden ligning og koefficienten for x 2 lig med M. Vi fortsætter med alle "lavere" ligninger som beskrevet ovenfor. Således vil der "under" den ukendte x 2 være nuller i alle ligninger.

3) Gå videre til næste ligning og så videre, indtil en sidste ukendt og det transformerede frie led er tilbage.

1. Gauss-metodens "omvendte træk" er at opnå en løsning på et system af lineære algebraiske ligninger ("bottom-up"-bevægelsen). Fra den sidste "nedre" ligning får vi en første løsning - den ukendte x n. For at gøre dette løser vi den elementære ligning A * x n = B. I eksemplet ovenfor er x 3 = 4. Vi erstatter den fundne værdi i den "øverste" næste ligning og løser den med hensyn til den næste ukendte. Eksempelvis x 2 – 4 = 1, dvs. x 2 = 5. Og så videre indtil vi finder alle de ukendte.

Eksempel.

Lad os løse systemet med lineære ligninger ved hjælp af Gauss-metoden, som nogle forfattere anbefaler:

Lad os nedskrive den udvidede matrix af systemet og ved hjælp af elementære transformationer bringe det til en trinvis form:

Vi ser på det øverste venstre "trin". Vi burde have en der. Problemet er, at der slet ikke er nogen enheder i den første kolonne, så en omarrangering af rækkerne løser ikke noget. I sådanne tilfælde skal enheden organiseres ved hjælp af en elementær transformation. Dette kan normalt gøres på flere måder. Lad os gøre det:
1 trin . Til den første linje lægger vi den anden linje ganget med –1. Det vil sige, at vi mentalt gangede anden linje med –1 og tilføjede første og anden linje, mens den anden linje ikke ændrede sig.

Nu øverst til venstre er der “minus én”, hvilket passer os ret godt. Enhver, der ønsker at få +1, kan udføre en ekstra handling: gange den første linje med –1 (skift fortegn).

Trin 2 . Den første linje, ganget med 5, blev tilføjet til den anden linje. Den første linje, ganget med 3, blev tilføjet til den tredje linje.

Trin 3 . Den første linje blev ganget med –1, i princippet er dette for skønhed. Tegnet på den tredje linje blev også ændret, og det blev flyttet til andenpladsen, så vi på det andet "trin" havde den nødvendige enhed.

Trin 4 . Den tredje linje blev lagt til den anden linje, ganget med 2.

Trin 5 . Den tredje linje blev divideret med 3.

Et tegn, der angiver en fejl i beregningerne (mer sjældent, en tastefejl) er en "dårlig" bundlinje. Det vil sige, hvis vi fik noget i stil med (0 0 11 |23) nedenfor, og følgelig 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, så kan vi med en høj grad af sandsynlighed sige, at der er lavet en fejl i grundskolen transformationer.

Lad os gøre det omvendte i udformningen af ​​eksempler, selve systemet er ofte ikke omskrevet, men ligningerne er "taget direkte fra den givne matrix." Det omvendte træk, jeg minder dig om, virker nedefra og op. I dette eksempel var resultatet en gave:

x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, derfor x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1

Svar:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.

Lad os løse det samme system ved hjælp af den foreslåede algoritme. Vi får

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Divider den anden ligning med 5 og den tredje med 3. Vi får:

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Ved at gange den anden og tredje ligning med 4 får vi:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Træk den første ligning fra den anden og tredje ligning, vi har:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Divider den tredje ligning med 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Gang den tredje ligning med 0,4

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Hvis vi trækker den anden fra den tredje ligning, får vi en "trinnet" udvidet matrix:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Da fejlen akkumuleret under beregningerne, får vi x 3 = 0,96 eller cirka 1.

x 2 = 3 og x 1 = –1.

Ved at løse på denne måde bliver du aldrig forvirret i beregningerne og trods regnefejlene får du resultatet.

Denne metode til at løse et system af lineære algebraiske ligninger er let programmerbar og tager ikke højde for de specifikke egenskaber ved koefficienter for ukendte, fordi man i praksis (i økonomiske og tekniske beregninger) skal beskæftige sig med ikke-heltalskoefficienter.

Jeg ønsker dig succes! Vi ses i klassen! Underviser.

blog.site, ved kopiering af materiale helt eller delvist kræves et link til den originale kilde.

To systemer af lineære ligninger kaldes ækvivalente, hvis mængden af ​​alle deres løsninger falder sammen.

Elementære transformationer af et ligningssystem er:

1. Sletning af trivielle ligninger fra systemet, dvs. dem, for hvilke alle koefficienter er lig med nul;
2. Multiplicer enhver ligning med et andet tal end nul;
3. Tilføjelse til enhver i-te ligning en hvilken som helst j-te ligning ganget med et hvilket som helst tal.

En variabel x i kaldes fri, hvis denne variabel ikke er tilladt, men hele ligningssystemet er tilladt.

Sætning. Elementære transformationer omdanner et ligningssystem til et tilsvarende.

Betydningen af ​​den Gaussiske metode er at transformere det oprindelige ligningssystem og opnå et ækvivalent opløst eller ækvivalent inkonsekvent system.

Så den Gaussiske metode består af følgende trin:

1. Lad os se på den første ligning. Lad os vælge den første ikke-nul koefficient og dividere hele ligningen med den. Vi får en ligning, hvor en eller anden variabel x i kommer ind med en koefficient på 1;
2. Lad os trække denne ligning fra alle de andre og gange den med sådanne tal, at koefficienterne for variablen x i i de resterende ligninger nulstilles. Vi opnår et system, der er løst med hensyn til variablen x i og svarer til det oprindelige;
3. Hvis der opstår trivielle ligninger (sjældent, men det sker; f.eks. 0 = 0), krydser vi dem ud af systemet. Som et resultat er der en ligning færre;
4. Vi gentager de foregående trin ikke mere end n gange, hvor n er antallet af ligninger i systemet. Hver gang vælger vi en ny variabel til "behandling". Hvis der opstår inkonsistente ligninger (f.eks. 0 = 8), er systemet inkonsistent.

Som et resultat vil vi efter et par trin opnå enten et løst system (eventuelt med frie variable) eller et inkonsistent system. Tilladte systemer falder i to tilfælde:

1. Antallet af variable er lig med antallet af ligninger. Det betyder, at systemet er defineret;
2. Antallet af variable er større end antallet af ligninger. Vi samler alle de frie variable til højre - vi får formler for de tilladte variable. Disse formler er skrevet i svaret.

Det er alt! System af lineære ligninger løst! Dette er en ret simpel algoritme, og for at mestre den behøver du ikke kontakte en højere matematikvejleder. Lad os se på et eksempel:

Opgave. Løs ligningssystemet:

Beskrivelse af trin:

1. Træk den første ligning fra den anden og tredje - vi får den tilladte variabel x 1;
2. Vi ganger den anden ligning med (−1), og dividerer den tredje ligning med (−3) - vi får to ligninger, hvor variablen x 2 kommer ind med koefficienten 1;
3. Vi lægger den anden ligning til den første og trækker fra den tredje. Vi får den tilladte variabel x 2 ;
4. Til sidst trækker vi den tredje ligning fra den første - vi får den tilladte variabel x 3;
5. Vi har modtaget et godkendt system, skriv svaret ned.

Den generelle løsning af et simultant system af lineære ligninger er et nyt system, svarende til det oprindelige, hvor alle tilladte variable er udtrykt som frie.

Hvornår kan der være behov for en generel løsning? Hvis du skal lave færre trin end k (k er hvor mange ligninger der er). Men årsagerne til, at processen slutter på et eller andet trin l< k , может быть две:

1. Efter 1. trin fik vi et system, der ikke indeholder en ligning med tal (l + 1). Faktisk er det godt, fordi... det autoriserede system er stadig opnået - selv et par skridt tidligere.
2. Efter 1. trin fik vi en ligning, hvor alle koefficienter af variablerne er lig med nul, og den frie koefficient er forskellig fra nul. Dette er en modstridende ligning, og derfor er systemet inkonsekvent.

Det er vigtigt at forstå, at fremkomsten af ​​en inkonsistent ligning ved hjælp af Gauss-metoden er et tilstrækkeligt grundlag for inkonsistens. Samtidig bemærker vi, at der som følge af 1. trin ikke kan forblive trivielle ligninger - alle er streget over lige i processen.

Beskrivelse af trin:

1. Træk den første ligning, ganget med 4, fra den anden. Vi tilføjer også den første ligning til den tredje - vi får den tilladte variabel x 1;
2. Træk den tredje ligning, ganget med 2, fra den anden - vi får den modstridende ligning 0 = −5.

Så systemet er inkonsekvent, fordi en inkonsistent ligning er blevet opdaget.

Opgave. Udforsk kompatibilitet og find en generel løsning på systemet:

Beskrivelse af trin:

1. Vi trækker den første ligning fra den anden (efter at have ganget med to) og den tredje - vi får den tilladte variabel x 1;
2. Træk den anden ligning fra den tredje. Da alle koefficienterne i disse ligninger er ens, vil den tredje ligning blive triviel. Samtidig ganges den anden ligning med (−1);
3. Træk den anden fra den første ligning - vi får den tilladte variabel x 2. Hele ligningssystemet er nu også løst;
4. Da variablerne x 3 og x 4 er frie, flytter vi dem til højre for at udtrykke de tilladte variable. Dette er svaret.

Så systemet er konsistent og ubestemt, da der er to tilladte variable (x 1 og x 2) og to frie (x 3 og x 4).