Giả thuyết: chúng tôi tin rằng sự hoàn hảo của hình dạng kim tự tháp là do các định luật toán học vốn có trong hình dạng của nó.
Mục tiêu: Sau khi nghiên cứu kim tự tháp như một khối hình học, hãy giải thích sự hoàn hảo về hình dạng của nó.
Nhiệm vụ:
1. Đưa ra định nghĩa toán học về hình chóp.
2. Nghiên cứu kim tự tháp như một khối hình học.
3. Hiểu những kiến thức toán học mà người Ai Cập đã đưa vào các kim tự tháp của họ.
Câu hỏi riêng tư:
1. Kim tự tháp là một khối hình học như thế nào?
2. Làm thế nào có thể giải thích hình dạng độc đáo của kim tự tháp theo quan điểm toán học?
3. Điều gì giải thích được những kỳ quan hình học của kim tự tháp?
4. Điều gì giải thích sự hoàn hảo của hình dạng kim tự tháp?
Định nghĩa của một kim tự tháp.
KIM TỰ THÁP (từ tiếng Hy Lạp pyramis, gen. Pyramidos) - một khối đa diện có đáy là một đa giác và các mặt còn lại là các hình tam giác có một đỉnh chung (hình vẽ). Dựa vào số góc đáy, hình chóp được phân thành hình tam giác, hình tứ giác, v.v.
KIM TỰ THÁP - một cấu trúc hoành tráng có hình dạng hình học của kim tự tháp (đôi khi cũng có bậc hoặc hình tháp). Kim tự tháp là tên được đặt cho những ngôi mộ khổng lồ của các pharaoh Ai Cập cổ đại thuộc thiên niên kỷ thứ 3-2 trước Công nguyên. e., cũng như các bệ đền thờ cổ của Mỹ (ở Mexico, Guatemala, Honduras, Peru), gắn liền với các giáo phái vũ trụ.
Có thể từ “kim tự tháp” trong tiếng Hy Lạp xuất phát từ cách diễn đạt per-em-us của người Ai Cập, tức là từ một thuật ngữ có nghĩa là chiều cao của kim tự tháp. Nhà Ai Cập học xuất sắc người Nga V. Struve tin rằng “puram...j” trong tiếng Hy Lạp có nguồn gốc từ “p"-mr” của người Ai Cập cổ đại.
Từ lịch sử. Đã nghiên cứu tài liệu trong sách giáo khoa “Hình học” của các tác giả Atanasyan. Butuzov và những người khác, chúng ta đã học được rằng: Một khối đa diện gồm n-giác A1A2A3... Một và n tam giác PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 được gọi là hình chóp. Đa giác A1A2A3...An là đáy của hình chóp, các tam giác PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 là các mặt bên của hình chóp, P là đỉnh của hình chóp, các đoạn PA1, PA2,..., PAn là các cạnh bên.
Tuy nhiên, định nghĩa này về kim tự tháp không phải lúc nào cũng tồn tại. Ví dụ, nhà toán học Hy Lạp cổ đại, tác giả của các chuyên luận lý thuyết về toán học đến nay, Euclid, định nghĩa kim tự tháp là một hình khối được giới hạn bởi các mặt phẳng hội tụ từ một mặt phẳng đến một điểm.
Nhưng định nghĩa này đã bị chỉ trích từ thời cổ đại. Vì vậy, Heron đã đề xuất định nghĩa sau về kim tự tháp: “Nó là một hình được giới hạn bởi các hình tam giác hội tụ tại một điểm và đáy của nó là một đa giác”.
Nhóm của chúng tôi, sau khi so sánh các định nghĩa này, đã đi đến kết luận rằng họ không có một công thức rõ ràng về khái niệm “nền tảng”.
Chúng tôi đã xem xét các định nghĩa này và tìm ra định nghĩa của Adrien Marie Legendre, người vào năm 1794 trong tác phẩm “Các yếu tố hình học” đã định nghĩa kim tự tháp như sau: “Kim tự tháp là một hình khối được hình thành bởi các hình tam giác hội tụ tại một điểm và kết thúc ở các cạnh khác nhau của một đế phẳng.”
Đối với chúng tôi, có vẻ như định nghĩa cuối cùng đưa ra một ý tưởng rõ ràng về kim tự tháp, vì nó nói về thực tế là đáy phẳng. Một định nghĩa khác về kim tự tháp xuất hiện trong sách giáo khoa thế kỷ 19: “kim tự tháp là một góc đặc cắt một mặt phẳng”.
Kim tự tháp như một cơ thể hình học.
Cái đó. Hình chóp là một khối đa diện, một mặt (đế) là đa giác, các mặt (cạnh) còn lại là những hình tam giác có một đỉnh chung (đỉnh của hình chóp).
Đường vuông góc kẻ từ đỉnh hình chóp đến mặt phẳng đáy được gọi là chiều caoh kim tự tháp.
Ngoài kim tự tháp tùy ý, còn có đúng kim tự thápở đáy của nó là một đa giác đều và kim tự tháp cắt ngắn.
Trong hình vẽ có một hình chóp PABCD, ABCD là đáy, PO là chiều cao.
Tổng diện tích bề mặt của một kim tự tháp là tổng diện tích của tất cả các mặt của nó.
Sfull = Bên + Smain,Ở đâu Bên- tổng diện tích các mặt bên.
Khối lượng của kim tự tháp được tìm thấy bởi công thức:
V=1/3Sbas. h, ở đâu Sbas. - vùng cơ sở, h- chiều cao.
 |
|
Apothem ST là chiều cao của mặt bên của hình chóp đều.
Diện tích mặt bên của hình chóp đều được biểu thị như sau: Cạnh bên. =1/2P h, trong đó P là chu vi của đáy, h- chiều cao của mặt bên (điểm cao của hình chóp thông thường). Nếu hình chóp cắt mặt phẳng A'B'C'D', song song với đáy thì:
1) các gân bên và chiều cao được mặt phẳng này chia thành các phần tỷ lệ;
2) trên mặt cắt ngang thu được đa giác A'B'C'D', tương tự như đáy;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" Height="151">
Cơ sở của một kim tự tháp cắt ngắn– các đa giác ABCD và A`B`C`D` đồng dạng, các mặt bên là hình thang.
Chiều cao kim tự tháp cắt ngắn - khoảng cách giữa các căn cứ.
Khối lượng bị cắt bớt kim tự tháp được tìm thấy theo công thức:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png"align="left" width="91" Height="96"> Diện tích bề mặt bên của hình chóp cắt cụt thông thường được biểu thị như sau: Cạnh = ½(P+P') h, trong đó P và P’ là chu vi của các đáy, h- chiều cao của mặt bên (kết quả của một pirami cắt ngắn thông thường
Các phần của một kim tự tháp.
Các phần của kim tự tháp theo các mặt phẳng đi qua đỉnh của nó là các hình tam giác.
Phần đi qua hai cạnh bên không liền kề của hình chóp được gọi là phần đường chéo.
Nếu mặt cắt đi qua một điểm trên cạnh bên và cạnh của đế thì dấu vết của nó đối với mặt phẳng của đáy hình chóp sẽ là cạnh này.
Mặt cắt đi qua một điểm nằm trên mặt kim tự tháp và vết cắt cho trước trên mặt phẳng đáy thì việc thi công như sau:
· tìm giao điểm của mặt phẳng của một mặt nhất định và vết của phần kim tự tháp và chỉ định nó;
· dựng đường thẳng đi qua một điểm cho trước và giao điểm đó;
· lặp lại các bước này cho các mặt tiếp theo.
, tương ứng với tỷ lệ hai chân của một tam giác vuông là 4:3. Tỷ lệ hai chân này tương ứng với tam giác vuông nổi tiếng có cạnh 3:4:5, được gọi là tam giác “hoàn hảo”, “thần thánh” hay “Ai Cập”. Theo các nhà sử học, tam giác “Ai Cập” mang một ý nghĩa kỳ diệu. Plutarch viết rằng người Ai Cập so sánh bản chất của vũ trụ với một hình tam giác “linh thiêng”; họ ví một cách tượng trưng chân thẳng đứng với chồng, chân đáy với vợ, và cạnh huyền với cái được sinh ra từ cả hai.
Đối với tam giác 3:4:5, đẳng thức đúng: 32 + 42 = 52, biểu thị định lý Pythagore. Chẳng phải định lý này là do các tu sĩ Ai Cập muốn duy trì bằng cách dựng lên một kim tự tháp dựa trên hình tam giác 3:4:5 sao? Thật khó để tìm ra một ví dụ thành công hơn để minh họa định lý Pythagore, định lý đã được người Ai Cập biết đến từ rất lâu trước khi Pythagoras phát hiện ra nó.
Vì vậy, những người sáng tạo xuất sắc của các kim tự tháp Ai Cập đã tìm cách làm kinh ngạc các hậu duệ xa xôi bằng kiến thức sâu rộng của họ, và họ đã đạt được điều này bằng cách chọn tam giác vuông “vàng” làm “ý tưởng hình học chính” cho kim tự tháp Cheops và “linh thiêng” hay “Ai Cập” cho tam giác Khafre.
Rất thường xuyên trong nghiên cứu của mình, các nhà khoa học sử dụng các đặc tính của kim tự tháp với tỷ lệ Tỷ lệ vàng.
Từ điển bách khoa toán học đưa ra định nghĩa sau đây về Phần Vàng - đây là phép chia điều hòa, phép chia theo tỷ lệ cực trị và trung bình - chia đoạn AB thành hai phần sao cho phần AC lớn hơn của nó là tỷ lệ trung bình giữa toàn bộ đoạn AB và phần nhỏ NE của nó.
Xác định đại số phần Vàng của một đoạn AB = một rút gọn về giải phương trình a: x = x: (a – x), từ đó x xấp xỉ bằng 0,62a. Tỷ lệ x có thể được biểu thị dưới dạng phân số 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, trong đó 2, 3, 5, 8, 13, 21 là các số Fibonacci.
Việc xây dựng hình học của Mặt cắt vàng của đoạn AB được thực hiện như sau: tại điểm B, một đường vuông góc với AB được phục hồi, đoạn BE = 1/2 AB được đặt trên đó, A và E được nối, DE = BE bị loại bỏ và cuối cùng AC = AD thì đẳng thức AB được thỏa mãn: CB = 2:3.
Tỷ lệ vàng thường được sử dụng trong các tác phẩm nghệ thuật, kiến trúc và được tìm thấy trong tự nhiên. Ví dụ sinh động là tác phẩm điêu khắc của Apollo Belvedere và Parthenon. Trong quá trình xây dựng đền Parthenon, tỷ lệ chiều cao của tòa nhà so với chiều dài của nó đã được sử dụng và tỷ lệ này là 0,618. Các đồ vật xung quanh chúng ta cũng cung cấp ví dụ về Tỷ lệ vàng, ví dụ như bìa của nhiều cuốn sách có tỷ lệ chiều rộng và chiều dài gần bằng 0,618. Xem xét sự sắp xếp của các lá trên thân chung của cây, bạn có thể nhận thấy rằng giữa mỗi cặp lá thứ ba, lá thứ ba nằm ở Tỷ lệ vàng (slide). Mỗi người trong chúng ta đều “mang” Tỷ lệ vàng bên mình “trong tay” - đây là tỷ lệ của các đốt ngón tay.
Nhờ phát hiện ra một số giấy cói toán học, các nhà Ai Cập học đã học được điều gì đó về hệ thống tính toán và đo lường của người Ai Cập cổ đại. Các nhiệm vụ trong đó đã được giải quyết bởi những người ghi chép. Một trong những cuốn nổi tiếng nhất là cuộn giấy cói toán học Rhind. Bằng cách nghiên cứu những vấn đề này, các nhà Ai Cập học đã học được cách người Ai Cập cổ đại xử lý các đại lượng khác nhau nảy sinh khi tính toán các thước đo trọng lượng, chiều dài và thể tích, thường liên quan đến phân số, cũng như cách họ xử lý các góc.
Người Ai Cập cổ đại đã sử dụng phương pháp tính góc dựa trên tỷ lệ giữa chiều cao và đáy của một tam giác vuông. Họ thể hiện bất kỳ góc độ nào bằng ngôn ngữ của một gradient. Độ dốc của độ dốc được biểu thị dưới dạng tỷ lệ số nguyên gọi là "seced". Trong cuốn Toán học thời đại các Pharaoh, Richard Pillins giải thích: “Dòng của một kim tự tháp đều là độ nghiêng của bất kỳ mặt nào trong số bốn mặt tam giác so với mặt phẳng đáy, được đo bằng số thứ n đơn vị ngang trên một đơn vị độ cao theo chiều dọc. . Do đó, đơn vị đo này tương đương với cotang hiện đại của góc nghiêng. Do đó, từ "seced" trong tiếng Ai Cập có liên quan đến từ "gradient" hiện đại của chúng ta.
Chìa khóa số của các kim tự tháp nằm ở tỷ lệ chiều cao của chúng với đáy. Về mặt thực tế, đây là cách dễ nhất để tạo ra các mẫu cần thiết để liên tục kiểm tra góc nghiêng chính xác trong suốt quá trình xây dựng kim tự tháp.
Các nhà Ai Cập học sẽ vui lòng thuyết phục chúng ta rằng mỗi pharaoh đều mong muốn thể hiện cá tính của mình, do đó có sự khác biệt về góc nghiêng của mỗi kim tự tháp. Nhưng có thể có một lý do khác. Có lẽ tất cả họ đều muốn thể hiện những liên tưởng mang tính biểu tượng khác nhau, ẩn giấu theo những tỷ lệ khác nhau. Tuy nhiên, góc của kim tự tháp Khafre (dựa trên tam giác (3:4:5) xuất hiện trong ba bài toán do kim tự tháp trình bày trong cuộn giấy cói toán học Rhind). Vì vậy, thái độ này đã được người Ai Cập cổ đại biết đến.
Công bằng mà nói, các nhà Ai Cập học cho rằng người Ai Cập cổ đại không biết đến tam giác 3:4:5 thì độ dài cạnh huyền 5 chưa bao giờ được đề cập đến. Nhưng các bài toán liên quan đến kim tự tháp luôn được giải dựa trên góc seceda - tỷ lệ giữa chiều cao và đáy. Vì độ dài cạnh huyền không bao giờ được đề cập đến nên người ta kết luận rằng người Ai Cập chưa bao giờ tính được độ dài cạnh thứ ba.
Tỷ lệ chiều cao và đáy được sử dụng trong các kim tự tháp Giza chắc chắn đã được người Ai Cập cổ đại biết đến. Có thể những mối quan hệ này cho mỗi kim tự tháp đã được chọn một cách tùy tiện. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với tầm quan trọng của biểu tượng số trong tất cả các loại hình mỹ thuật Ai Cập. Rất có thể những mối quan hệ như vậy rất có ý nghĩa vì chúng thể hiện những ý tưởng tôn giáo cụ thể. Nói cách khác, toàn bộ khu phức hợp Giza tuân theo một thiết kế mạch lạc được thiết kế để phản ánh một chủ đề thần thánh nhất định. Điều này giải thích tại sao các nhà thiết kế lại chọn các góc khác nhau cho ba kim tự tháp.
Trong Bí ẩn của Orion, Bauval và Gilbert đã đưa ra bằng chứng thuyết phục về mối liên hệ giữa các kim tự tháp Giza với chòm sao Orion, đặc biệt là với các ngôi sao trên Vành đai Orion. Chòm sao tương tự cũng hiện diện trong huyền thoại về Isis và Osiris, và có lý do để xem xét. mỗi kim tự tháp tượng trưng cho một trong ba vị thần chính - Osiris, Isis và Horus.
PHÉP LẠI "Hình học".
Trong số các kim tự tháp hùng vĩ của Ai Cập, nó chiếm một vị trí đặc biệt Kim tự tháp vĩ đại của Pharaoh Cheops (Khufu). Trước khi bắt đầu phân tích hình dạng và kích thước của kim tự tháp Cheops, chúng ta nên nhớ người Ai Cập đã sử dụng hệ thống đo lường nào. Người Ai Cập có ba đơn vị chiều dài: một "cubit" (466 mm), bằng bảy "lòng bàn tay" (66,5 mm), tương đương với bốn "ngón tay" (16,6 mm).
Chúng ta hãy phân tích kích thước của kim tự tháp Cheops (Hình 2), dựa trên những lập luận được đưa ra trong cuốn sách tuyệt vời của nhà khoa học người Ukraine Nikolai Vasyutinsky “Tỷ lệ vàng” (1990).
Hầu hết các nhà nghiên cứu đều đồng ý rằng chiều dài cạnh đáy của kim tự tháp, chẳng hạn, GF tương đương với L= 233,16 m Giá trị này gần như tương ứng chính xác với 500 “khuỷu tay”. Việc tuân thủ đầy đủ 500 “khuỷu tay” sẽ xảy ra nếu chiều dài của “khuỷu tay” được coi là bằng 0,4663 m.
Chiều cao của kim tự tháp ( H) được các nhà nghiên cứu ước tính khác nhau từ 146,6 đến 148,2 m. Và tùy thuộc vào chiều cao được chấp nhận của kim tự tháp, tất cả các mối quan hệ của các yếu tố hình học của nó đều thay đổi. Lý do dẫn đến sự khác biệt trong ước tính chiều cao của kim tự tháp là gì? Thực tế là, nói đúng ra, kim tự tháp Cheops đã bị cắt bớt. Nền phía trên của nó ngày nay có kích thước xấp xỉ 10 x 10 m, nhưng một thế kỷ trước nó là 6 x 6 m. Rõ ràng, đỉnh của kim tự tháp đã bị tháo dỡ và nó không tương ứng với ban đầu.
Khi đánh giá chiều cao của kim tự tháp, cần phải tính đến yếu tố vật lý như “bản nháp” của cấu trúc. Trải qua một thời gian dài, dưới tác dụng của áp suất khổng lồ (đạt 500 tấn/1 m2 bề mặt bên dưới), chiều cao của kim tự tháp giảm đi so với chiều cao ban đầu.
Chiều cao ban đầu của kim tự tháp là bao nhiêu? Chiều cao này có thể được tái tạo bằng cách tìm ra "ý tưởng hình học" cơ bản của kim tự tháp.
Hình 2.
Năm 1837, Đại tá người Anh G. Wise đã đo góc nghiêng của các mặt của kim tự tháp: hóa ra chúng bằng nhau Một= 51°51". Giá trị này vẫn được hầu hết các nhà nghiên cứu ngày nay công nhận. Giá trị góc được chỉ định tương ứng với tiếp tuyến (tg Một), bằng 1,27306. Giá trị này tương ứng với tỷ lệ chiều cao của kim tự tháp ACđến một nửa cơ sở của nó C.B.(Hình 2), đó là AC. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
Và ở đây các nhà nghiên cứu đã phải ngạc nhiên lớn!.png" width="25" Height="24">= 1.272. So sánh giá trị này với giá trị tg Một= 1.27306, ta thấy các giá trị này rất gần nhau. Nếu chúng ta lấy góc Một= 51°50", nghĩa là giảm nó chỉ một phút cung, sau đó giá trị Một sẽ trở thành bằng 1,272, nghĩa là nó sẽ trùng với giá trị. Cần lưu ý rằng vào năm 1840 G. Wise đã lặp lại các phép đo của mình và làm rõ rằng giá trị của góc Một=51°50".
Những phép đo này đã đưa các nhà nghiên cứu đến giả thuyết rất thú vị sau đây: tam giác ACB của kim tự tháp Cheops dựa vào hệ thức AC / C.B. = = 1,272!
Bây giờ hãy xem xét tam giác vuông ABC, trong đó tỉ số của hai chân AC. / C.B.= (Hình 2). Nếu bây giờ độ dài các cạnh của hình chữ nhật ABC chỉ định bởi x, y, z, và cũng tính đến tỷ lệ y/x= , thì theo định lý Pythagore, độ dài z có thể được tính bằng công thức:
Nếu chúng ta chấp nhận x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" Height="27">
Hình 3. Tam giác vuông bên phải "vàng".
Một tam giác vuông trong đó các cạnh có liên hệ với nhau t:vàng" tam giác vuông.
Khi đó, nếu lấy giả thuyết làm cơ sở cho rằng “ý tưởng hình học” chính của kim tự tháp Cheops là hình tam giác vuông “vàng” thì từ đây chúng ta có thể dễ dàng tính được chiều cao “thiết kế” của kim tự tháp Cheops. Nó bằng:
H = (L/2) ` = 148,28 m.
Bây giờ chúng ta hãy rút ra một số mối quan hệ khác cho kim tự tháp Cheops, dựa trên giả thuyết “vàng”. Cụ thể, chúng ta sẽ tìm tỷ lệ giữa diện tích bên ngoài của kim tự tháp và diện tích đáy của nó. Để làm điều này, chúng tôi lấy chiều dài của chân C.B. trên một đơn vị, đó là: C.B.= 1. Khi đó độ dài cạnh đáy của kim tự tháp GF= 2 và diện tích đáy EFGH sẽ bằng nhau SEFGH = 4.
Bây giờ chúng ta hãy tính diện tích mặt bên của kim tự tháp Cheops SD. Vì chiều cao AB Tam giác AEF tương đương với t, khi đó diện tích của mặt bên sẽ bằng SD = t. Khi đó tổng diện tích của cả 4 mặt bên của hình chóp sẽ bằng 4 t, và tỉ số giữa tổng diện tích bên ngoài của kim tự tháp và diện tích đáy sẽ bằng tỉ lệ vàng! Chuyện là thế đấy - bí ẩn hình học chính của kim tự tháp Cheops!
Nhóm “phép lạ hình học” của kim tự tháp Cheops bao gồm những đặc tính có thật và xa vời về mối quan hệ giữa các chiều không gian khác nhau trong kim tự tháp.
Theo quy định, chúng thu được khi tìm kiếm một số “hằng số” nhất định, đặc biệt là số “pi” (số Ludolfo), bằng 3,14159...; cơ số logarit tự nhiên "e" (số Neperovo), bằng 2,71828...; số "F", số của "phần vàng", ví dụ bằng 0,618... v.v.
Bạn có thể đặt tên, ví dụ: 1) Tính chất của Herodotus: (Height)2 = 0,5 art. nền tảng x Apothem; 2) Thuộc tính của V. Giá: Chiều cao: 0,5 Art. base = Căn bậc hai của "F"; 3) Tính chất của M. Eist: Chu vi đáy: 2 Height = “Pi”; theo một cách giải thích khác - 2 muỗng canh. nền tảng : Chiều cao = "Pi"; 4) Tính chất của G. Edge: Bán kính hình tròn nội tiếp: 0,5 Art. nền tảng = "F"; 5) Tài sản của K. Kleppisch: (Art. main.)2: 2(Art. main. x Apothem) = (Art. main. W. Apothema) = 2(Art. main. x Apothem) : ((2 art . main X Apothem) + (v. main)2). Vân vân. Bạn có thể nghĩ ra nhiều tính chất như vậy, đặc biệt nếu bạn kết nối hai kim tự tháp liền kề. Ví dụ, như “Tính chất của A. Arefiev”, chúng ta có thể đề cập rằng sự khác biệt về thể tích của kim tự tháp Cheops và kim tự tháp Khafre bằng hai lần thể tích của kim tự tháp Mikerin...
Nhiều điểm thú vị, đặc biệt là về việc xây dựng các kim tự tháp theo “tỷ lệ vàng”, được D. Hambidge “Đối xứng động trong kiến trúc” và “Thẩm mỹ về tỷ lệ trong tự nhiên và nghệ thuật” của M. Gick nêu ra. Chúng ta hãy nhớ lại “tỷ lệ vàng” là phép chia một đoạn theo tỷ lệ sao cho phần A lớn hơn phần B bao nhiêu lần, A nhỏ hơn toàn bộ đoạn A + B bao nhiêu lần. Tỷ lệ A/B bằng số “F” == 1.618.. Việc sử dụng “tỷ lệ vàng” không chỉ được thể hiện ở từng kim tự tháp mà còn trong toàn bộ quần thể kim tự tháp ở Giza.
Tuy nhiên, điều gây tò mò nhất là cùng một kim tự tháp Cheops “không thể” chứa đựng nhiều đặc tính tuyệt vời như vậy. Lấy từng thuộc tính nhất định, nó có thể được “lắp”, nhưng tất cả chúng không khớp cùng một lúc - chúng không trùng nhau, chúng mâu thuẫn với nhau. Do đó, nếu, ví dụ, khi kiểm tra tất cả các thuộc tính, ban đầu chúng ta lấy cùng một cạnh của đáy kim tự tháp (233 m), thì chiều cao của các kim tự tháp có các thuộc tính khác nhau cũng sẽ khác nhau. Nói cách khác, có một “họ” kim tự tháp nhất định có bề ngoài giống Cheops, nhưng có những đặc tính khác. Lưu ý rằng không có gì đặc biệt kỳ diệu trong các thuộc tính “hình học” - phần lớn phát sinh hoàn toàn tự động, từ các thuộc tính của chính hình đó. Một “phép màu” chỉ nên được coi là một điều gì đó rõ ràng là không thể đối với người Ai Cập cổ đại. Đặc biệt, điều này bao gồm các phép lạ “vũ trụ”, trong đó các phép đo của kim tự tháp Cheops hoặc khu phức hợp kim tự tháp ở Giza được so sánh với một số phép đo thiên văn và các số “chẵn” được chỉ ra: ít hơn một triệu lần, ít hơn một tỷ lần và sớm. Hãy xem xét một số mối quan hệ "vũ trụ".
Một trong những câu nói đó là: “nếu bạn chia cạnh đáy của kim tự tháp cho độ dài chính xác của năm, bạn sẽ có được chính xác 10 phần triệu trục trái đất”. Tính: chia 233 cho 365 ta được 0,638. Bán kính Trái Đất là 6378 km.
Một tuyên bố khác thực sự trái ngược với tuyên bố trước đó. F. Noetling đã chỉ ra rằng nếu chúng ta sử dụng “cubit Ai Cập” do chính ông phát minh ra, thì cạnh của kim tự tháp sẽ tương ứng với “khoảng thời gian chính xác nhất của năm dương lịch, được biểu thị đến một phần tỷ gần nhất của một ngày” - 365.540. 903.777.
Tuyên bố của P. Smith: "Chiều cao của kim tự tháp đúng bằng một phần tỷ khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời". Mặc dù độ cao thường được lấy là 146,6 m nhưng Smith lại lấy nó là 148,2 m. Theo các phép đo radar hiện đại, bán trục lớn của quỹ đạo trái đất là 149.597.870 + 1,6 km. Đây là khoảng cách trung bình từ Trái đất đến Mặt trời, nhưng ở điểm cận nhật, nó nhỏ hơn 5.000.000 km so với ở điểm viễn nhật.
Một tuyên bố thú vị cuối cùng:
“Làm sao chúng ta có thể giải thích rằng khối lượng của các kim tự tháp Cheops, Khafre và Mykerinus có liên quan với nhau, giống như khối lượng của các hành tinh Trái đất, Sao Kim, Sao Hỏa?” Hãy tính toán. Khối lượng của ba kim tự tháp là: Khafre - 0,835; Cheops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Tỷ số khối lượng của ba hành tinh: Sao Kim - 0,815; Trái đất - 1.000; Sao Hỏa - 0.108.
Vì vậy, bất chấp sự hoài nghi, chúng tôi lưu ý sự hài hòa nổi tiếng trong việc xây dựng các tuyên bố: 1) chiều cao của kim tự tháp, giống như một đường “đi vào không gian”, tương ứng với khoảng cách từ Trái đất đến Mặt trời; 2) cạnh của đáy kim tự tháp, gần “nền” nhất, tức là với Trái đất, chịu trách nhiệm về bán kính trái đất và sự hoàn lưu của trái đất; 3) thể tích của kim tự tháp (đọc - khối lượng) tương ứng với tỷ lệ khối lượng của các hành tinh gần Trái đất nhất. Ví dụ, một “mật mã” tương tự có thể được truy tìm bằng ngôn ngữ của loài ong được Karl von Frisch phân tích. Tuy nhiên, hiện tại chúng tôi sẽ không bình luận về vấn đề này.
HÌNH DÁNG Kim Tự Tháp
Hình dạng tứ diện nổi tiếng của các kim tự tháp không xuất hiện ngay lập tức. Người Scythia chôn cất dưới dạng đồi đất - gò đất. Người Ai Cập đã xây dựng những “ngọn đồi” bằng đá - kim tự tháp. Điều này lần đầu tiên xảy ra sau sự thống nhất Thượng và Hạ Ai Cập, vào thế kỷ 28 trước Công nguyên, khi người sáng lập Vương triều thứ ba, Pharaoh Djoser (Zoser), phải đối mặt với nhiệm vụ củng cố sự thống nhất đất nước.
Và ở đây, theo các nhà sử học, “khái niệm thần thánh mới” của nhà vua đã đóng vai trò quan trọng trong việc củng cố quyền lực trung ương. Mặc dù các ngôi mộ của hoàng gia được phân biệt bởi sự lộng lẫy hơn, nhưng về nguyên tắc, chúng không khác biệt với lăng mộ của các quý tộc trong triều đình; chúng có cùng cấu trúc - mastabas. Phía trên căn phòng chứa quan tài chứa xác ướp, người ta đổ một ngọn đồi hình chữ nhật bằng đá nhỏ, nơi đặt một tòa nhà nhỏ làm bằng những khối đá lớn - một "mastaba" (trong tiếng Ả Rập - "băng ghế dài") được đặt. Pharaoh Djoser đã xây dựng kim tự tháp đầu tiên trên địa điểm mastaba của người tiền nhiệm Sanakht. Nó có bậc và là một giai đoạn chuyển tiếp rõ ràng từ dạng kiến trúc này sang dạng kiến trúc khác, từ mastaba đến kim tự tháp.
Bằng cách này, nhà hiền triết và kiến trúc sư Imhotep, người sau này được coi là một phù thủy và được người Hy Lạp đồng nhất với thần Asclepius, đã “nuôi” pharaoh. Cứ như thể sáu mastabas được dựng lên liên tiếp. Hơn nữa, kim tự tháp đầu tiên có diện tích 1125 x 115 mét, chiều cao ước tính là 66 mét (theo tiêu chuẩn Ai Cập - 1000 “lòng bàn tay”). Lúc đầu, kiến trúc sư dự định xây dựng một mastaba, nhưng không có hình thuôn dài mà có hình vuông. Sau đó nó được mở rộng, nhưng vì phần mở rộng được hạ thấp hơn nên có vẻ như có hai bước.
Tình huống này không làm kiến trúc sư hài lòng, và trên bệ phía trên của mastaba phẳng khổng lồ, Imhotep đặt thêm ba chiếc nữa, giảm dần về phía trên. Ngôi mộ nằm dưới kim tự tháp.
Một số kim tự tháp bậc thang khác cũng được biết đến, nhưng sau đó những người xây dựng đã chuyển sang xây dựng các kim tự tháp tứ diện quen thuộc hơn với chúng ta. Tuy nhiên, tại sao không phải là hình tam giác hay hình bát giác? Câu trả lời gián tiếp được đưa ra bởi thực tế là hầu hết tất cả các kim tự tháp đều được định hướng hoàn hảo theo bốn hướng chính và do đó có bốn cạnh. Ngoài ra, kim tự tháp còn là một “ngôi nhà”, vỏ của một căn phòng chôn cất hình tứ giác.
Nhưng điều gì quyết định góc nghiêng của khuôn mặt? Trong cuốn sách “Nguyên tắc Tỷ lệ”, có cả một chương dành cho vấn đề này: “Điều gì có thể xác định được góc nghiêng của các kim tự tháp”. Đặc biệt, người ta chỉ ra rằng “hình ảnh mà các kim tự tháp vĩ đại của Vương quốc Cổ hướng tới là một hình tam giác có một góc vuông ở đỉnh.
Trong không gian, nó là một hình bán bát diện: một kim tự tháp trong đó các cạnh và cạnh của đáy bằng nhau, các cạnh là các hình tam giác đều." Một số cân nhắc được đưa ra về chủ đề này trong các cuốn sách của Hambidge, Gick và những người khác.
Ưu điểm của góc bán bát diện là gì? Theo mô tả của các nhà khảo cổ và sử học, một số kim tự tháp đã sụp đổ dưới sức nặng của chính chúng. Điều cần thiết là “góc bền”, góc có độ tin cậy cao nhất về mặt năng lượng. Hoàn toàn theo kinh nghiệm, góc này có thể được lấy từ góc đỉnh của một đống cát khô vụn. Nhưng để có được dữ liệu chính xác, bạn cần sử dụng mô hình. Lấy bốn quả bóng cố định chắc chắn, bạn cần đặt quả thứ năm lên chúng và đo góc nghiêng. Tuy nhiên, bạn có thể mắc sai lầm ở đây, vì vậy phép tính lý thuyết sẽ hữu ích: bạn nên kết nối tâm của các quả bóng bằng các đường thẳng (về mặt tinh thần). Đáy sẽ là hình vuông có cạnh bằng hai lần bán kính. Hình vuông sẽ chỉ là đáy của kim tự tháp, chiều dài các cạnh của nó cũng sẽ bằng hai lần bán kính.
Do đó, việc xếp các quả bóng chặt chẽ như 1:4 sẽ cho chúng ta một hình bán bát diện đều.
Tuy nhiên, tại sao nhiều kim tự tháp có hình dạng tương tự nhưng lại không giữ được nó? Các kim tự tháp có lẽ đang già đi. Ngược lại với câu nói nổi tiếng:
“Mọi thứ trên thế giới đều sợ thời gian, và thời gian sợ kim tự tháp”, các tòa nhà của kim tự tháp đều phải già đi, không chỉ các quá trình phong hóa bên ngoài có thể và nên xảy ra trong đó mà cả các quá trình “co rút” bên trong cũng có thể xảy ra. khiến kim tự tháp trở nên thấp hơn. Sự co ngót cũng có thể xảy ra bởi vì, như công trình của D. Davidovits tiết lộ, người Ai Cập cổ đại đã sử dụng công nghệ tạo khối từ vụn vôi, hay nói cách khác là từ “bê tông”. Chính những quá trình tương tự có thể giải thích nguyên nhân dẫn đến sự phá hủy Kim tự tháp Medum, nằm cách Cairo 50 km về phía nam. Nó đã 4600 năm tuổi, kích thước chân đế là 146 x 146 m, cao 118 m. V. Zamarovsky hỏi: “Tại sao nó lại bị biến dạng như vậy?” “Những đề cập thông thường về tác động tàn phá của thời gian và việc “sử dụng đá cho các công trình khác” không phù hợp ở đây.
Rốt cuộc, hầu hết các khối và tấm ốp mặt của nó vẫn còn nguyên tại chỗ cho đến ngày nay, trong đống đổ nát dưới chân nó." Như chúng ta sẽ thấy, một số điều khoản thậm chí còn khiến chúng ta nghĩ rằng kim tự tháp Cheops nổi tiếng cũng đã "co lại". dù thế nào đi nữa, trong tất cả các hình ảnh cổ xưa, các kim tự tháp đều nhọn ...
Hình dạng của các kim tự tháp cũng có thể được tạo ra bằng cách mô phỏng: một số mẫu tự nhiên, ví dụ như “sự hoàn hảo kỳ diệu”, một số tinh thể ở dạng bát diện.
Các tinh thể tương tự có thể là tinh thể kim cương và vàng. Một số lượng lớn các đặc điểm “chồng chéo” là điển hình cho các khái niệm như Pharaoh, Sun, Gold, Diamond. Ở mọi nơi - cao quý, rực rỡ (rực rỡ), vĩ đại, hoàn hảo, v.v. Những điểm tương đồng không phải là ngẫu nhiên.
Sự sùng bái mặt trời, như đã biết, là một phần quan trọng trong tôn giáo của Ai Cập cổ đại. “Cho dù chúng tôi dịch tên của kim tự tháp vĩ đại nhất như thế nào,” một trong những sách hướng dẫn hiện đại ghi chú, “Bầu trời của Khufu” hay “Khufu trên trời”, nó có nghĩa rằng nhà vua là mặt trời.” Nếu Khufu, trong sức mạnh rực rỡ của mình, tưởng tượng mình là mặt trời thứ hai, thì con trai ông Djedef-Ra đã trở thành vị vua Ai Cập đầu tiên tự gọi mình là “con trai của Ra”, tức là con trai của Mặt trời. Mặt trời, ở hầu hết các quốc gia, được tượng trưng bằng “kim loại mặt trời”, vàng. “Một chiếc đĩa lớn bằng vàng sáng” - đó là cách mà người Ai Cập gọi là ánh sáng ban ngày của chúng ta. Người Ai Cập biết rất rõ về vàng, họ biết hình dạng nguyên gốc của nó, nơi các tinh thể vàng có thể xuất hiện dưới dạng khối bát diện.
“Đá mặt trời”—kim cương—ở đây cũng thú vị như một “mẫu hình dạng”. Tên của viên kim cương xuất phát chính xác từ thế giới Ả Rập, “almas” - loại cứng nhất, cứng nhất, không thể phá hủy. Người Ai Cập cổ đại biết khá rõ về kim cương và đặc tính của nó. Theo một số tác giả, họ thậm chí còn sử dụng ống đồng với máy cắt kim cương để khoan.
Ngày nay, nguồn cung cấp kim cương chính là Nam Phi, nhưng Tây Phi cũng rất giàu kim cương. Lãnh thổ của Cộng hòa Mali thậm chí còn được gọi là “Vùng đất kim cương”. Trong khi đó, người Dogon sinh sống trên lãnh thổ Mali, những người ủng hộ giả thuyết chuyến thăm Paleo đặt nhiều hy vọng (xem bên dưới). Kim cương không thể là lý do cho sự tiếp xúc của người Ai Cập cổ đại với khu vực này. Tuy nhiên, bằng cách này hay cách khác, có thể chính xác bằng cách sao chép các khối bát diện của tinh thể kim cương và vàng, người Ai Cập cổ đại đã thần thánh hóa các pharaoh, “không thể phá hủy” như kim cương và “rực rỡ” như vàng, con trai của Mặt trời, chỉ có thể so sánh được. đến những sáng tạo tuyệt vời nhất của thiên nhiên.
Phần kết luận:
Sau khi nghiên cứu kim tự tháp như một khối hình học, làm quen với các yếu tố và tính chất của nó, chúng tôi tin chắc vào giá trị của quan điểm về vẻ đẹp hình dạng của kim tự tháp.
Kết quả nghiên cứu của chúng tôi, chúng tôi đi đến kết luận rằng người Ai Cập, sau khi thu thập những kiến thức toán học có giá trị nhất, đã thể hiện nó trong một kim tự tháp. Vì vậy, kim tự tháp thực sự là sự sáng tạo hoàn hảo nhất của thiên nhiên và con người.
THƯ MỤC
"Hình học: Sách giáo khoa. dành cho lớp 7 – 9. giáo dục phổ thông tổ chức\, v.v. - tái bản lần thứ 9 - M.: Education, 1999
Lịch sử toán học ở trường, M: “Prosveshchenie”, 1982.
Hình học lớp 10-11, M: “Khai sáng”, 2000
Peter Tompkins “Bí mật của Kim tự tháp Cheops vĩ đại”, M: “Tsentropoligraf”, 2005.
tài nguyên Internet
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Chúng tôi tiếp tục xem xét các nhiệm vụ có trong Kỳ thi Thống nhất về môn toán. Chúng ta đã nghiên cứu các bài toán trong đó điều kiện cho trước và cần tìm khoảng cách giữa hai điểm hoặc một góc cho trước.
Hình chóp là một khối đa diện, đáy là đa giác, các mặt còn lại là hình tam giác và có một đỉnh chung.
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và đỉnh của nó chiếu vào tâm của đáy.
Hình chóp tứ giác đều - đáy là hình vuông. Đỉnh của hình chóp được chiếu tại giao điểm của các đường chéo của đáy (hình vuông).
ML - apothem
∠MLO - góc nhị diện ở đáy kim tự tháp
∠MCO - góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy của hình chóp
Trong bài này chúng ta sẽ xem xét các vấn đề để giải kim tự tháp thông thường. Bạn cần tìm một phần tử nào đó, diện tích bề mặt bên, thể tích, chiều cao. Tất nhiên, bạn cần biết định lý Pythagore, công thức tính diện tích bề mặt bên của kim tự tháp và công thức tính thể tích của kim tự tháp.
Trong bài viết "" trình bày các công thức cần thiết để giải các bài toán về lập thể. Vì vậy, các nhiệm vụ:
SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở,Sđỉnh, VÌ THẾ = 51, AC.= 136. Tìm cạnh bênS.C..
Trong trường hợp này, đáy là hình vuông. Điều này có nghĩa là các đường chéo AC và BD bằng nhau, chúng cắt nhau và chia đôi bởi điểm giao nhau. Lưu ý rằng trong một kim tự tháp thông thường, chiều cao rơi từ đỉnh của nó đi qua tâm của đáy kim tự tháp. Vậy SO là chiều cao và là hình tam giácSOChình hộp chữ nhật. Khi đó theo định lý Pythagore:
Cách trích xuất gốc của một số lớn.
Đáp án: 85
Quyết định cho chính mình:
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở, Sđỉnh, VÌ THẾ = 4, AC.= 6. Tìm cạnh bên S.C..
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở, Sđỉnh, S.C. = 5, AC.= 6. Tìm độ dài đoạn thẳng VÌ THẾ.
Trong một kim tự tháp tứ giác đều SABCD dấu chấm Ô- trung tâm của cơ sở, Sđỉnh, VÌ THẾ = 4, S.C.= 5. Tìm độ dài đoạn thẳng AC..
SABC R- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng AB= 7, một S.R.= 16. Tìm diện tích xung quanh.
Diện tích bề mặt bên của một hình chóp tam giác đều bằng một nửa tích của chu vi đáy và đường trung đoạn (điểm trung đoạn là chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều được vẽ từ đỉnh của nó):
Hoặc chúng ta có thể nói thế này: diện tích bề mặt bên của hình chóp bằng tổng diện tích của ba mặt bên. Các mặt bên của hình chóp tam giác đều là những hình tam giác có diện tích bằng nhau. Trong trường hợp này:
Đáp án: 168
Quyết định cho chính mình:
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC R- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng AB= 1, một S.R.= 2. Tìm diện tích xung quanh.
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC R- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng AB= 1, diện tích xung quanh là 3. Tìm độ dài đoạn thẳng S.R..
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC L- giữa xương sườn BC, S- đứng đầu. Người ta biết rằng SL= 2, diện tích xung quanh là 3. Tìm độ dài đoạn thẳng AB.
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC M. Diện tích của một hình tam giác ABC là 25, thể tích của hình chóp là 100. Tìm độ dài của đoạn đó bệnh đa xơ cứng.
Đáy của kim tự tháp là một tam giác đều. Đó là lý do tại sao Mlà tâm của đáy vàbệnh đa xơ cứng- chiều cao của một kim tự tháp thông thườngSABC. Khối lượng của kim tự tháp SABC bằng: xem giải pháp
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC các đường trung tuyến của đáy cắt nhau tại điểm M. Diện tích của một hình tam giác ABC bằng 3, bệnh đa xơ cứng= 1. Tìm thể tích của hình chóp.
Trong một kim tự tháp tam giác đều SABC các đường trung tuyến của đáy cắt nhau tại điểm M. Thể tích của kim tự tháp là 1, bệnh đa xơ cứng= 1. Tìm diện tích tam giác ABC.
Hãy kết thúc ở đây. Như bạn có thể thấy, vấn đề được giải quyết chỉ trong một hoặc hai bước. Trong tương lai, chúng ta sẽ xem xét các vấn đề khác từ phần này, nơi đưa ra các cơ quan cách mạng, đừng bỏ lỡ!
Chúc các bạn thành công!
Trân trọng, Alexander Krutitskikh.
P.S: Tôi sẽ rất biết ơn nếu bạn cho tôi biết về trang này trên mạng xã hội.
Sự định nghĩa
Kim tự tháp là một khối đa diện gồm một đa giác \(A_1A_2...A_n\) và \(n\) có một đỉnh chung \(P\) (không nằm trong mặt phẳng của đa giác) và các cạnh đối diện với nó, trùng với các cạnh của đa giác.
Chỉ định: \(PA_1A_2...A_n\) .
Ví dụ: hình chóp ngũ giác \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Hình tam giác \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), v.v. được gọi là mặt bên kim tự tháp, phân đoạn \(PA_1, PA_2\), v.v. – xương sườn bên, đa giác \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – nền tảng, điểm \(P\) – đứng đầu.
Chiều cao kim tự tháp là đường vuông góc đi từ đỉnh kim tự tháp xuống mặt phẳng đáy.
Kim tự tháp có hình tam giác ở đáy được gọi là tứ diện.
Kim tự tháp được gọi là Chính xác, nếu đáy của nó là đa giác đều và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
\((a)\) các cạnh bên của hình chóp bằng nhau;
\((b)\) chiều cao của hình chóp đi qua tâm của vòng tròn ngoại tiếp gần đáy;
\((c)\) các gân bên nghiêng với mặt phẳng của đế một góc bằng nhau.
\((d)\) các mặt bên nghiêng với mặt phẳng của đế một góc bằng nhau.
Tứ diện đều là một hình chóp tam giác, tất cả các mặt đều là những tam giác đều bằng nhau.
Định lý
Các điều kiện \((a), (b), (c), (d)\) là tương đương.
Bằng chứng
Hãy tìm chiều cao của kim tự tháp \(PH\) . Gọi \(\alpha\) là mặt phẳng đáy của hình chóp.
1) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((a)\) ngụ ý \((b)\) . Đặt \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Bởi vì \(PH\perp \alpha\), thì \(PH\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này, nghĩa là các tam giác là vuông góc. Điều này có nghĩa là các tam giác này bằng nhau ở chân chung \(PH\) và cạnh huyền \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Điều này có nghĩa là \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Điều này có nghĩa là các điểm \(A_1, A_2, ..., A_n\) cách điểm \(H\) một khoảng cách bằng nhau, do đó chúng nằm trên cùng một đường tròn có bán kính \(A_1H\) . Vòng tròn này, theo định nghĩa, được bao quanh đa giác \(A_1A_2...A_n\) .
2) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((b)\) ngụ ý \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hình chữ nhật và bằng nhau ở hai chân. Điều này có nghĩa là các góc của chúng cũng bằng nhau, do đó, \(\góc PA_1H=\góc PA_2H=...=\góc PA_nH\).
3) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((c)\) ngụ ý \((a)\) .
Tương tự như điểm đầu tiên, hình tam giác \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) hình chữ nhật cả dọc theo chân và góc nhọn. Điều này có nghĩa là các cạnh huyền của chúng cũng bằng nhau, tức là \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((b)\) ngụ ý \((d)\) .
Bởi vì trong một đa giác đều, tâm của các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau (nói chung, điểm này được gọi là tâm của đa giác đều), khi đó \(H\) là tâm của đường tròn nội tiếp. Hãy vẽ các đường vuông góc từ điểm \(H\) đến các cạnh của đáy: \(HK_1, HK_2\), v.v. Đây là bán kính của đường tròn nội tiếp (theo định nghĩa). Khi đó, theo TTP (\(PH\) là đường vuông góc với mặt phẳng, \(HK_1, HK_2\), v.v. là các hình chiếu vuông góc với các cạnh) nghiêng \(PK_1, PK_2\), v.v. vuông góc với các cạnh \(A_1A_2, A_2A_3\), v.v. tương ứng. Vì vậy, theo định nghĩa \(\góc PK_1H, \góc PK_2H\) bằng góc giữa các mặt bên và đáy. Bởi vì các tam giác \(PK_1H, PK_2H, ...\) bằng nhau (là hình chữ nhật có hai cạnh) thì các góc \(\góc PK_1H, \góc PK_2H, ...\)đều bình đẳng.
5) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng \((d)\) ngụ ý \((b)\) .
Tương tự như điểm thứ tư, các tam giác \(PK_1H, PK_2H, ...\) bằng nhau (là hình chữ nhật dọc theo chân và góc nhọn), nghĩa là các đoạn \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) là bình đẳng. Điều này có nghĩa, theo định nghĩa, \(H\) là tâm của một đường tròn nội tiếp đáy. Nhưng bởi vì Đối với đa giác đều, tâm của đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau thì \(H\) là tâm của đường tròn ngoại tiếp. Chtd.
Kết quả
Các mặt bên của hình chóp đều là các tam giác cân bằng nhau.
Sự định nghĩa
Chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều vẽ từ đỉnh của nó được gọi là huyền thoại.
Các trung điểm của tất cả các mặt bên của một hình chóp đều bằng nhau và cũng là đường trung tuyến và đường phân giác.
Ghi chú quan trọng
1. Chiều cao của hình chóp tam giác đều là giao điểm của các đường cao (hoặc đường phân giác, đường trung bình) của đáy (đáy là tam giác đều).
2. Chiều cao của hình chóp tứ giác đều rơi vào giao điểm của các đường chéo của đáy (đáy là hình vuông).
3. Chiều cao của hình chóp lục giác đều rơi vào giao điểm của các đường chéo của đáy (đáy là hình lục giác đều).
4. Chiều cao của kim tự tháp vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào nằm ở đáy.
Sự định nghĩa
Kim tự tháp được gọi là hình hộp chữ nhật, nếu một trong các cạnh bên của nó vuông góc với mặt phẳng đáy.
Ghi chú quan trọng
1. Trong hình chóp hình chữ nhật, cạnh vuông góc với đáy chính là chiều cao của hình chóp. Tức là \(SR\) là chiều cao.
2. Bởi vì \(SR\) vuông góc với bất kỳ đường thẳng nào tính từ đáy thì \(\tam giác SRM, \tam giác SRP\)- tam giác vuông.
3. Hình tam giác \(\tam giác SRN, \tam giác SRK\)- cũng là hình chữ nhật.
Nghĩa là, bất kỳ tam giác nào được hình thành bởi cạnh này và đường chéo nổi lên từ đỉnh của cạnh này nằm ở đáy sẽ là hình chữ nhật.
\[(\Large(\text(Thể tích và diện tích bề mặt của hình chóp)))\]
Định lý
Thể tích của hình chóp bằng một phần ba tích của diện tích đáy và chiều cao của hình chóp: \
Hậu quả
Gọi \(a\) là cạnh đáy, \(h\) là chiều cao của hình chóp.
1. Thể tích của hình chóp tam giác đều là \(V_(\text(tam giác vuông.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Thể tích của hình chóp tứ giác đều là \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Thể tích của hình chóp lục giác đều là \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Thể tích của một tứ diện đều là \(V_(\text(right tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Định lý
Diện tích bề mặt bên của một hình chóp đều bằng nửa tích của chu vi đáy và trung đoạn.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Sự định nghĩa
Hãy xem xét một kim tự tháp tùy ý \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Chúng ta hãy vẽ một mặt phẳng song song với đáy của kim tự tháp thông qua một điểm nhất định nằm trên cạnh bên của kim tự tháp. Mặt phẳng này sẽ chia hình chóp thành hai khối đa diện, một khối là hình chóp (\(PB_1B_2...B_n\)), khối còn lại được gọi là kim tự tháp cắt ngắn(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Hình chóp cụt có hai đáy - đa giác \(A_1A_2...A_n\) và \(B_1B_2...B_n\) tương tự nhau.
Chiều cao của hình chóp cụt là đường vuông góc được vẽ từ một điểm nào đó của đáy trên đến mặt phẳng của đáy dưới.
Ghi chú quan trọng
1. Tất cả các mặt bên của hình chóp cụt đều là hình thang.
2. Đoạn nối tâm các đáy của hình chóp cụt đều (tức là hình chóp thu được qua mặt cắt ngang của hình chóp đều) là chiều cao.
- huyền thoại- chiều cao của mặt bên của một hình chóp đều, được vẽ từ đỉnh của nó (ngoài ra, trung điểm là chiều dài của đường vuông góc, được hạ từ giữa đa giác đều xuống một trong các cạnh của nó);
- mặt bên (ASB, BSC, CSD, DSA) - hình tam giác gặp nhau ở đỉnh;
- xương sườn bên ( BẰNG , B.S. , CS , D.S. ) - các cạnh chung của các mặt bên;
- đỉnh của kim tự tháp (t. S) - điểm nối các gân bên và không nằm trong mặt phẳng của đế;
- chiều cao ( VÌ THẾ ) - đoạn vuông góc vẽ qua đỉnh của hình chóp đến mặt phẳng đáy của nó (các đầu của đoạn đó sẽ là đỉnh của hình chóp và đáy của đường vuông góc);
- mặt cắt chéo của kim tự tháp- phần kim tự tháp đi qua đỉnh và đường chéo của đáy;
- căn cứ (A B C D) - một đa giác không thuộc đỉnh của hình chóp.
Thuộc tính của kim tự tháp.
1. Khi tất cả các cạnh bên có cùng kích thước thì:
- thật dễ dàng để mô tả một vòng tròn gần chân kim tự tháp, và đỉnh của kim tự tháp sẽ được chiếu vào tâm của vòng tròn này;
- các gân bên tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng của đế;
- Hơn nữa, điều ngược lại cũng đúng, tức là khi các gân bên tạo thành các góc bằng nhau với mặt phẳng của đáy hoặc khi có thể mô tả một hình tròn xung quanh đáy hình chóp và đỉnh của hình chóp sẽ chiếu vào tâm của hình tròn này, điều đó có nghĩa là tất cả các cạnh bên của kim tự tháp có cùng kích thước.
2. Khi các mặt bên có một góc nghiêng so với mặt phẳng đáy có cùng giá trị thì:
- thật dễ dàng để mô tả một vòng tròn gần chân kim tự tháp, và đỉnh của kim tự tháp sẽ được chiếu vào tâm của vòng tròn này;
- chiều cao của các mặt bên có chiều dài bằng nhau;
- diện tích của mặt bên bằng ½ tích của chu vi đáy và chiều cao của mặt bên.
3. Một hình cầu có thể được mô tả xung quanh một kim tự tháp nếu ở đáy của kim tự tháp có một đa giác xung quanh có thể mô tả một hình tròn (điều kiện cần và đủ). Tâm của hình cầu sẽ là điểm giao nhau của các mặt phẳng đi qua tâm của các cạnh của hình chóp vuông góc với chúng. Từ định lý này, chúng ta kết luận rằng một hình cầu có thể được mô tả xung quanh bất kỳ hình tam giác nào và xung quanh bất kỳ hình chóp đều nào.
4. Một hình cầu có thể nội tiếp vào hình chóp nếu các mặt phẳng phân giác của các góc nhị diện trong của hình chóp cắt nhau tại điểm thứ nhất (điều kiện cần và đủ). Điểm này sẽ trở thành tâm của hình cầu.
Kim tự tháp đơn giản nhất.
Dựa trên số góc, đáy của kim tự tháp được chia thành hình tam giác, hình tứ giác, v.v.
Sẽ có một kim tự tháp hình tam giác, hình tứ giác, v.v., khi đáy của kim tự tháp là hình tam giác, hình tứ giác, v.v. Hình chóp tam giác là hình tứ diện - tứ diện. Tứ giác - ngũ giác và vân vân.