Bài viết này thảo luận về cách tìm các giá trị của biểu thức toán học. Hãy bắt đầu với các biểu thức số đơn giản và sau đó xem xét các trường hợp khi độ phức tạp của chúng tăng lên. Cuối cùng, chúng tôi trình bày một biểu thức chứa các ký hiệu chữ cái, dấu ngoặc, căn, ký hiệu toán học đặc biệt, lũy thừa, hàm, v.v. Theo truyền thống, chúng tôi sẽ cung cấp cho toàn bộ lý thuyết những ví dụ phong phú và chi tiết.
Làm thế nào để tìm giá trị của một biểu thức số?
Trong số những thứ khác, biểu thức số giúp mô tả tình trạng của một vấn đề bằng ngôn ngữ toán học. Nói chung, các biểu thức toán học có thể rất đơn giản, bao gồm một cặp số và ký hiệu số học, hoặc rất phức tạp, chứa các hàm, lũy thừa, căn, dấu ngoặc đơn, v.v. Là một phần của nhiệm vụ, thường cần phải tìm ra ý nghĩa của một cách diễn đạt cụ thể. Làm thế nào để làm điều này sẽ được thảo luận dưới đây.
Những trường hợp đơn giản nhất
Đây là những trường hợp biểu thức không chứa gì ngoài số và các phép tính số học. Để tìm thành công giá trị của các biểu thức đó, bạn sẽ cần có kiến thức về thứ tự thực hiện các phép tính số học không có dấu ngoặc đơn, cũng như khả năng thực hiện các phép tính với nhiều số khác nhau.
Nếu biểu thức chỉ chứa số và dấu hiệu số học " + " , " · " , " - " , " ` " , thì các hành động được thực hiện từ trái sang phải theo thứ tự sau: nhân và chia đầu tiên, sau đó là cộng và trừ. Hãy đưa ra ví dụ.
Ví dụ 1: Giá trị của biểu thức số
Giả sử bạn cần tìm các giá trị của biểu thức 14 - 2 · 15 6 - 3.
Trước tiên hãy thực hiện phép nhân và chia. Chúng tôi nhận được:
14 - 2 15 6 - 3 = 14 - 30 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Bây giờ chúng ta thực hiện phép trừ và nhận được kết quả cuối cùng:
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Ví dụ 2: Giá trị của biểu thức số
Hãy tính: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 2 3 4 · 11 12.
Đầu tiên chúng ta thực hiện chuyển đổi phân số, chia và nhân:
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ` 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ` 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ` 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Bây giờ chúng ta hãy thực hiện một số phép cộng và phép trừ. Hãy nhóm các phân số và đưa chúng về mẫu số chung:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Giá trị cần thiết đã được tìm thấy.
Biểu thức có dấu ngoặc đơn
Nếu một biểu thức chứa dấu ngoặc đơn, chúng sẽ xác định thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức đó. Các hành động trong ngoặc được thực hiện trước tiên, sau đó là tất cả các hành động khác. Hãy chứng minh điều này bằng một ví dụ.
Ví dụ 3: Giá trị của biểu thức số
Hãy tìm giá trị của biểu thức 0,5 · (0,76 - 0,06).
Biểu thức chứa dấu ngoặc đơn, vì vậy trước tiên chúng ta thực hiện phép trừ trong dấu ngoặc đơn, sau đó mới thực hiện phép nhân.
0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.
Ý nghĩa của các biểu thức chứa dấu ngoặc đơn trong dấu ngoặc đơn được tìm thấy theo nguyên tắc tương tự.
Ví dụ 4: Giá trị của biểu thức số
Hãy tính giá trị 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.
Chúng ta sẽ thực hiện các hành động bắt đầu từ dấu ngoặc trong cùng, di chuyển ra dấu ngoặc bên ngoài.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Khi tìm ý nghĩa của các biểu thức có dấu ngoặc, điều chính là tuân theo chuỗi hành động.
Biểu thức có gốc
Các biểu thức toán học mà giá trị chúng ta cần tìm có thể chứa dấu căn. Hơn nữa, bản thân biểu thức có thể nằm dưới dấu gốc. Phải làm gì trong trường hợp này? Trước tiên, bạn cần tìm giá trị của biểu thức dưới gốc, sau đó trích xuất gốc từ số thu được. Nếu có thể, tốt hơn hết bạn nên loại bỏ gốc trong các biểu thức số, thay thế chúng bằng các giá trị số.
Ví dụ 5: Giá trị của biểu thức số
Hãy tính giá trị của biểu thức có gốc - 2 · 3 - 1 + 60 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Đầu tiên, chúng tôi tính toán các biểu thức căn bản.
2 3 - 1 + 60 `4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Bây giờ bạn có thể tính giá trị của toàn bộ biểu thức.
2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Thông thường, việc tìm ý nghĩa của một biểu thức có gốc thường đòi hỏi phải chuyển đổi biểu thức gốc trước tiên. Hãy giải thích điều này bằng một ví dụ nữa.
Ví dụ 6: Giá trị của biểu thức số
3 + 1 3 - 1 - 1 là bao nhiêu
Như bạn có thể thấy, chúng ta không có cơ hội thay thế gốc bằng một giá trị chính xác, điều này làm phức tạp quá trình đếm. Tuy nhiên, trong trường hợp này, bạn có thể áp dụng công thức nhân rút gọn.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Như vậy:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Biểu thức có quyền hạn
Nếu một biểu thức chứa lũy thừa thì giá trị của chúng phải được tính toán trước khi tiến hành tất cả các hành động khác. Điều đó xảy ra là số mũ hoặc cơ số của bậc đó là biểu thức. Trong trường hợp này, giá trị của các biểu thức này trước tiên được tính toán và sau đó là giá trị bậc.
Ví dụ 7: Giá trị của biểu thức số
Hãy tìm giá trị của biểu thức 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.
Hãy bắt đầu tính toán theo thứ tự.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Tất cả những gì còn lại là thực hiện phép cộng và tìm ra ý nghĩa của biểu thức:
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Người ta cũng thường khuyên nên đơn giản hóa biểu thức bằng cách sử dụng các thuộc tính của độ.
Ví dụ 8: Giá trị của biểu thức số
Hãy tính giá trị của biểu thức sau: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Các số mũ lại sao cho không thể thu được các giá trị số chính xác của chúng. Hãy đơn giản hóa biểu thức ban đầu để tìm giá trị của nó.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Biểu thức với phân số
Nếu một biểu thức chứa phân số thì khi tính biểu thức đó, tất cả các phân số trong biểu thức đó phải được biểu diễn dưới dạng phân số thông thường và giá trị của chúng được tính toán.
Nếu tử số và mẫu số của một phân số chứa các biểu thức, thì giá trị của các biểu thức này trước tiên được tính toán và giá trị cuối cùng của phân số đó được ghi lại. Các phép toán số học được thực hiện theo thứ tự tiêu chuẩn. Hãy xem giải pháp ví dụ.
Ví dụ 9: Giá trị của biểu thức số
Hãy tìm giá trị của biểu thức chứa các phân số: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ` 1 + 2 + 3 9 - 6 ` 2.
Như bạn có thể thấy, có ba phân số trong biểu thức ban đầu. Đầu tiên chúng ta hãy tính giá trị của chúng.
3, 2 2 = 3, 2 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Hãy viết lại biểu thức của chúng ta và tính giá trị của nó:
1, 6 - 3 1 6 1 = 1, 6 - 0, 5 1 = 1, 1
Thông thường khi tìm ý nghĩa của các biểu thức, việc rút gọn phân số sẽ thuận tiện hơn. Có một quy tắc bất thành văn: trước khi tìm giá trị của nó, tốt nhất nên đơn giản hóa bất kỳ biểu thức nào đến mức tối đa, giảm mọi phép tính xuống những trường hợp đơn giản nhất.
Ví dụ 10: Giá trị của biểu thức số
Hãy tính biểu thức 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.
Chúng ta không thể trích xuất hoàn toàn gốc của năm, nhưng chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức ban đầu thông qua các phép biến đổi.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Biểu thức ban đầu có dạng:
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Hãy tính giá trị của biểu thức này:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Biểu thức với logarit
Khi có logarit trong một biểu thức, giá trị của chúng sẽ được tính từ đầu, nếu có thể. Ví dụ: trong nhật ký biểu thức 2 4 + 2 · 4, bạn có thể viết ngay giá trị của logarit này thay vì nhật ký 2 4, sau đó thực hiện tất cả các hành động. Ta có: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Các biểu thức số cũng có thể được tìm thấy dưới dấu logarit và ở gốc của nó. Trong trường hợp này, điều đầu tiên cần làm là tìm ra ý nghĩa của chúng. Hãy lấy log biểu thức 5 - 6 3 5 2 + 2 + 7. Chúng ta có:
log 5 - 6 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Nếu không thể tính giá trị chính xác của logarit, việc đơn giản hóa biểu thức sẽ giúp tìm ra giá trị của nó.
Ví dụ 11: Giá trị của biểu thức số
Hãy tìm giá trị của biểu thức log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Theo tính chất logarit:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Sử dụng lại các tính chất của logarit, đối với phân số cuối cùng trong biểu thức, chúng ta nhận được:
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Bây giờ bạn có thể tiến hành tính giá trị của biểu thức ban đầu.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Biểu thức với hàm lượng giác
Điều xảy ra là biểu thức chứa các hàm lượng giác của sin, cos, tiếp tuyến và cotang, cũng như các hàm nghịch đảo của chúng. Giá trị được tính từ trước khi tất cả các phép tính số học khác được thực hiện. Ngược lại, biểu thức được đơn giản hóa.
Ví dụ 12: Giá trị của biểu thức số
Tìm giá trị của biểu thức: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Đầu tiên, chúng ta tính giá trị của các hàm lượng giác có trong biểu thức.
tội lỗi - 5 π 2 = - 1
Chúng tôi thay thế các giá trị vào biểu thức và tính giá trị của nó:
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Giá trị biểu thức đã được tìm thấy.
Thông thường, để tìm giá trị của một biểu thức có hàm lượng giác, trước tiên nó phải được chuyển đổi. Hãy giải thích bằng một ví dụ.
Ví dụ 13: Giá trị của biểu thức số
Chúng ta cần tìm giá trị của biểu thức cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.
Để chuyển đổi, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cho cosin của một góc kép và cosin của một tổng.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .
Trường hợp tổng quát của biểu thức số
Nói chung, một biểu thức lượng giác có thể chứa tất cả các phần tử được mô tả ở trên: dấu ngoặc, lũy thừa, căn, logarit, hàm. Chúng ta hãy xây dựng một quy tắc chung để tìm ý nghĩa của các biểu thức đó.
Cách tìm giá trị của một biểu thức
- Căn, lũy thừa, logarit, v.v. được thay thế bằng giá trị của chúng.
- Các hành động trong ngoặc được thực hiện.
- Các thao tác còn lại thực hiện theo thứ tự từ trái qua phải. Đầu tiên - nhân và chia, sau đó - cộng và trừ.
Hãy xem một ví dụ.
Ví dụ 14: Giá trị của biểu thức số
Hãy tính giá trị của biểu thức - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.
Cách diễn đạt khá phức tạp và rườm rà. Không phải ngẫu nhiên mà chúng tôi chọn một ví dụ như vậy sau khi cố gắng đưa tất cả các trường hợp được mô tả ở trên vào đó. Làm thế nào để tìm thấy ý nghĩa của một biểu thức như vậy?
Được biết, khi tính giá trị của một dạng phân số phức, các giá trị của tử số và mẫu số của phân số lần lượt được tìm thấy riêng biệt. Chúng ta sẽ lần lượt biến đổi và đơn giản hóa biểu thức này.
Trước hết, hãy tính giá trị của biểu thức căn 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Để làm điều này, bạn cần tìm giá trị của sin và biểu thức là đối số của hàm lượng giác.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Bây giờ bạn có thể tìm ra giá trị của sin:
sinπ 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2.
Chúng tôi tính toán giá trị của biểu thức căn thức:
2 sinπ 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sinπ 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Với mẫu số của phân số, mọi việc trở nên đơn giản hơn:
Bây giờ chúng ta có thể viết giá trị của toàn bộ phân số:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Có tính đến điều này, chúng tôi viết toàn bộ biểu thức:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Kết quả cuối cùng:
2 · sinπ 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Trong trường hợp này, chúng tôi có thể tính toán các giá trị chính xác của căn, logarit, sin, v.v. Nếu điều này là không thể, bạn có thể cố gắng loại bỏ chúng thông qua các phép biến đổi toán học.
Tính giá trị biểu thức bằng phương pháp hữu tỉ
Các giá trị số phải được tính toán một cách nhất quán và chính xác. Quá trình này có thể được hợp lý hóa và tăng tốc bằng cách sử dụng các thuộc tính khác nhau của các phép toán với số. Ví dụ, người ta biết rằng một tích bằng 0 nếu có ít nhất một trong các thừa số bằng 0. Khi tính đến tính chất này, chúng ta có thể nói ngay rằng biểu thức 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 bằng 0. Đồng thời, không nhất thiết phải thực hiện các hành động theo thứ tự được mô tả trong bài viết trên.
Việc sử dụng tính chất trừ các số bằng nhau cũng rất thuận tiện. Không cần thực hiện bất kỳ hành động nào, bạn có thể yêu cầu giá trị của biểu thức 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 cũng bằng 0.
Một kỹ thuật khác để tăng tốc quá trình là sử dụng các phép biến đổi nhận dạng chẳng hạn như nhóm các thuật ngữ và thừa số và đặt thừa số chung ra khỏi ngoặc. Một cách tiếp cận hợp lý để tính biểu thức với phân số là giảm các biểu thức giống nhau ở tử số và mẫu số.
Ví dụ: lấy biểu thức 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Không thực hiện các phép tính trong ngoặc đơn mà bằng cách giảm phân số, chúng ta có thể nói rằng giá trị của biểu thức là 1 3 .
Tìm giá trị của biểu thức có biến
Giá trị của một biểu thức bằng chữ và một biểu thức có biến được tìm thấy cho các giá trị cụ thể của các chữ cái và biến.
Tìm giá trị của biểu thức có biến
Để tìm giá trị của một biểu thức bằng chữ và một biểu thức có biến, bạn cần thay thế các giá trị đã cho của các chữ cái và biến vào biểu thức ban đầu, sau đó tính giá trị của biểu thức số thu được.
Ví dụ 15: Giá trị của biểu thức có biến
Tính giá trị của biểu thức 0, 5 x - y khi biết x = 2, 4 và y = 5.
Ta thay giá trị của các biến vào biểu thức và tính:
0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.
Đôi khi bạn có thể chuyển đổi một biểu thức để nhận được giá trị của nó bất kể giá trị của các chữ cái và biến có trong nó. Để làm điều này, bạn cần loại bỏ các chữ cái và biến trong biểu thức, nếu có thể, bằng cách sử dụng các phép biến đổi giống hệt nhau, các thuộc tính của phép tính số học và tất cả các phương thức khác có thể có.
Ví dụ, biểu thức x + 3 - x rõ ràng có giá trị 3 và để tính giá trị này không cần thiết phải biết giá trị của biến x. Giá trị của biểu thức này bằng ba đối với tất cả các giá trị của biến x trong phạm vi giá trị cho phép của nó.
Một ví dụ nữa. Giá trị của biểu thức x x bằng một với mọi x dương.
Nếu bạn thấy văn bản có lỗi, vui lòng đánh dấu nó và nhấn Ctrl+Enter
Vì vậy, nếu một biểu thức số được tạo thành từ các số và các dấu +, −, · và:, thì theo thứ tự từ trái sang phải, trước tiên bạn phải thực hiện phép nhân và chia, sau đó là phép cộng và phép trừ, điều này sẽ cho phép bạn tìm được giá trị mong muốn của biểu thức.
Hãy đưa ra một số ví dụ để làm rõ.
Ví dụ.
Tính giá trị của biểu thức 14−2·15:6−3.
Giải pháp.
Để tìm giá trị của một biểu thức, bạn cần thực hiện tất cả các hành động được chỉ định trong biểu thức đó theo thứ tự được chấp nhận để thực hiện các hành động này. Đầu tiên, theo thứ tự từ trái sang phải, ta thực hiện phép nhân và chia, ta được 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Bây giờ chúng ta cũng thực hiện các thao tác còn lại theo thứ tự từ trái sang phải: 14−5−3=9−3=6. Đây là cách chúng tôi tìm thấy giá trị của biểu thức ban đầu, nó bằng 6.
Trả lời:
14−2·15:6−3=6.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức.
Giải pháp.
Trong ví dụ này, trước tiên chúng ta cần thực hiện phép nhân 2·(−7) và phép chia với phép nhân trong biểu thức . Nhớ lại cách , chúng ta tìm được 2·(−7)=−14. Và để thực hiện các hành động trong biểu thức trước tiên 
, sau đó 
và thực hiện: 
.
Chúng ta thay các giá trị thu được vào biểu thức ban đầu: .
Nhưng nếu có một biểu thức số ở dưới dấu gốc thì sao? Để có được giá trị của một gốc như vậy, trước tiên bạn phải tìm giá trị của biểu thức căn thức, tuân thủ thứ tự thực hiện các hành động được chấp nhận. Ví dụ, .
Trong các biểu thức số, các gốc phải được coi là một số số và nên thay thế ngay các gốc bằng các giá trị của chúng, sau đó tìm giá trị của biểu thức thu được không có gốc, thực hiện các hành động theo trình tự được chấp nhận.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức có gốc.
Giải pháp.
Đầu tiên chúng ta hãy tìm giá trị của gốc 
. Để làm điều này, trước tiên, chúng ta tính giá trị của biểu thức căn thức, chúng ta có −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. Và thứ hai, chúng ta tìm thấy giá trị của gốc.
Bây giờ hãy tính giá trị của căn bậc hai từ biểu thức ban đầu: .
Cuối cùng, chúng ta có thể tìm ra ý nghĩa của biểu thức ban đầu bằng cách thay thế các gốc bằng các giá trị của chúng: .
Trả lời:
Khá thường xuyên, để tìm ra ý nghĩa của một biểu thức có gốc, trước tiên cần phải biến đổi nó. Hãy chỉ ra giải pháp của ví dụ.
Ví dụ.
Ý nghĩa của biểu thức là gì 
.
Giải pháp.
Chúng tôi không thể thay thế căn bậc ba bằng giá trị chính xác của nó, điều này không cho phép chúng tôi tính giá trị của biểu thức này theo cách được mô tả ở trên. Tuy nhiên, chúng ta có thể tính giá trị của biểu thức này bằng cách thực hiện các phép biến đổi đơn giản. Áp dụng công thức hiệu bình phương: . Có tính đến , chúng tôi nhận được 
. Do đó, giá trị của biểu thức ban đầu là 1.
Trả lời:
.
Với độ
Nếu cơ số và số mũ là số thì giá trị của chúng được tính bằng cách xác định bậc, ví dụ: 3 2 =3·3=9 hoặc 8 −1 =1/8. Ngoài ra còn có các mục trong đó cơ số và/hoặc số mũ là một số biểu thức. Trong những trường hợp này, bạn cần tìm giá trị của biểu thức ở cơ số, giá trị của biểu thức ở số mũ, sau đó tính giá trị của bậc đó.
Ví dụ.
Tìm giá trị của biểu thức có lũy thừa dạng 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.
Giải pháp.
Trong biểu thức ban đầu có hai lũy thừa 2 3·4−10 và (1−1/2) 3,5−2·1/4. Giá trị của chúng phải được tính toán trước khi thực hiện các hành động khác.
Hãy bắt đầu với lũy thừa 2 3·4−10. Chỉ báo của nó chứa một biểu thức số, hãy tính giá trị của nó: 3·4−10=12−10=2. Bây giờ bạn có thể tìm thấy giá trị của bậc đó: 2 3·4−10 =2 2 =4.
Cơ số và số mũ (1−1/2) 3,5−2 1/4 chứa các biểu thức; chúng ta tính giá trị của chúng để sau đó tìm ra giá trị của số mũ. Chúng ta có (1−1/2) 3.5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.
Bây giờ chúng ta quay lại biểu thức ban đầu, thay thế độ trong đó bằng giá trị của chúng và tìm giá trị của biểu thức chúng ta cần: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.
Trả lời:
2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3.5−2·1/4 =6.
Điều đáng chú ý là có những trường hợp phổ biến hơn nên tiến hành điều tra sơ bộ. đơn giản hóa biểu thức với quyền hạn trên cơ sở.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức 
.
Giải pháp.
Đánh giá theo số mũ trong biểu thức này, sẽ không thể thu được giá trị chính xác của số mũ. Hãy cố gắng đơn giản hóa biểu thức ban đầu, có thể điều này sẽ giúp tìm ra ý nghĩa của nó. Chúng ta có 
Trả lời:
.
Các lũy thừa trong biểu thức thường đi đôi với logarit, nhưng chúng ta sẽ nói về việc tìm ý nghĩa của biểu thức có logarit ở một trong các biểu thức đó.
Tìm giá trị của biểu thức với phân số
Biểu thức số có thể chứa phân số trong ký hiệu của chúng. Khi bạn cần tìm ý nghĩa của một biểu thức như thế này, các phân số không phải phân số phải được thay thế bằng giá trị của chúng trước khi tiếp tục các bước còn lại.
Tử số và mẫu số của phân số (khác với phân số thông thường) có thể chứa cả số và biểu thức. Để tính giá trị của một phân số như vậy, bạn cần tính giá trị của biểu thức ở tử số, tính giá trị của biểu thức ở mẫu số, sau đó tính giá trị của chính phân số đó. Thứ tự này được giải thích bởi thực tế là phân số a/b, trong đó a và b là một số biểu thức, về cơ bản biểu thị thương số có dạng (a):(b), vì .
Hãy xem giải pháp ví dụ.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức có phân số 
.
Giải pháp.
Có ba phân số trong biểu thức số ban đầu 
Và . Để tìm giá trị của biểu thức ban đầu, trước tiên chúng ta cần thay thế các phân số này bằng giá trị của chúng. Hãy làm nó.
Tử số và mẫu số của một phân số đều chứa các số. Để tìm giá trị của một phân số như vậy, hãy thay thanh phân số bằng dấu chia và thực hiện hành động sau: 
.
Trong tử số của phân số có biểu thức 7−2·3, giá trị của nó dễ tìm: 7−2·3=7−6=1. Như vậy, . Bạn có thể tiến hành tìm giá trị của phân số thứ ba.
Phân số thứ ba trong tử số và mẫu số chứa các biểu thức số, do đó, trước tiên bạn cần tính giá trị của chúng và điều này sẽ cho phép bạn tìm ra giá trị của chính phân số đó. Chúng ta có 
.
Việc còn lại là thay thế các giá trị tìm thấy vào biểu thức ban đầu và thực hiện các hành động còn lại: .
Trả lời:
.
Thông thường, khi tìm giá trị của biểu thức có phân số, bạn phải thực hiện đơn giản hóa các biểu thức phân số, dựa trên việc thực hiện các phép tính với phân số và rút gọn phân số.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức 
.
Giải pháp.
Căn bậc 5 không thể được trích xuất hoàn toàn, vì vậy để tìm giá trị của biểu thức ban đầu, trước tiên hãy đơn giản hóa nó. Vì điều này chúng ta hãy loại bỏ sự bất hợp lý trong mẫu số phân số đầu tiên: 
. Sau này, biểu thức ban đầu sẽ có dạng 
. Sau khi trừ các phân số, các nghiệm sẽ biến mất, điều này cho phép chúng ta tìm giá trị của biểu thức đã cho ban đầu: .
Trả lời:
.
Với logarit
Nếu một biểu thức số chứa , và nếu có thể loại bỏ chúng thì việc này được thực hiện trước khi thực hiện các hành động khác. Ví dụ: khi tìm giá trị của biểu thức log 2 4+2·3, logarit log 2 4 được thay thế bằng giá trị 2 của nó, sau đó các hành động còn lại được thực hiện theo thứ tự thông thường, nghĩa là log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.
Khi có các biểu thức số dưới dấu của logarit và/hoặc ở cơ số của nó, giá trị của chúng được tìm thấy trước tiên, sau đó giá trị của logarit được tính toán. Ví dụ, hãy xem xét một biểu thức có logarit có dạng 
. Ở đáy của logarit và dưới dấu của nó có các biểu thức số; chúng ta tìm thấy các giá trị của chúng: . Bây giờ chúng ta tìm logarit, sau đó chúng ta hoàn thành các phép tính: .
Nếu logarit không được tính toán chính xác thì việc đơn giản hóa sơ bộ bằng cách sử dụng . Đồng thời, bạn cần nắm vững tốt nội dung trong bài. chuyển đổi biểu thức logarit.
Ví dụ.
Tìm giá trị của biểu thức bằng logarit 
.
Giải pháp.
Hãy bắt đầu bằng cách tính log 2 (log 2 256) . Vì 256=2 8, nên log 2 256=8, do đó, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.
Logarit log 6 2 và log 6 3 có thể được nhóm lại. Tổng của logarit log 6 2+log 6 3 bằng logarit của tích log 6 (2 3), do đó, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.
Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào phân số. Để bắt đầu, chúng ta sẽ viết lại cơ số của logarit trong mẫu số dưới dạng phân số thông thường là 1/5, sau đó chúng ta sẽ sử dụng các thuộc tính của logarit, điều này sẽ cho phép chúng ta thu được giá trị của phân số: 
.
Tất cả những gì còn lại là thay thế kết quả thu được vào biểu thức ban đầu và kết thúc việc tìm giá trị của nó: 
Trả lời:
Làm thế nào để tìm giá trị của một biểu thức lượng giác?
Khi một biểu thức số chứa hoặc, v.v., giá trị của chúng sẽ được tính toán trước khi thực hiện các hành động khác. Nếu có các biểu thức số dưới dấu của hàm lượng giác thì giá trị của chúng được tính trước tiên, sau đó giá trị của hàm lượng giác được tìm thấy.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức 
.
Giải pháp.
Chuyển sang bài viết, chúng tôi nhận được 
và cosπ=−1 . Chúng ta thay các giá trị này vào biểu thức ban đầu, nó có dạng 
. Để tìm giá trị của nó, trước tiên bạn cần thực hiện lũy thừa, sau đó hoàn thành các phép tính: .
Trả lời:
.
Điều đáng chú ý là việc tính toán các giá trị của biểu thức bằng sin, cosin, v.v. thường yêu cầu trước chuyển đổi một biểu thức lượng giác.
Ví dụ.
Giá trị của biểu thức lượng giác là gì 
.
Giải pháp.
Hãy biến đổi biểu thức ban đầu bằng cách sử dụng , trong trường hợp này chúng ta sẽ cần công thức cosin góc kép và công thức tổng cosin: 
Những phép biến đổi mà chúng tôi thực hiện đã giúp chúng tôi tìm ra ý nghĩa của biểu thức.
Trả lời:
.
Trường hợp chung
Nói chung, một biểu thức số có thể chứa căn, lũy thừa, phân số, một số hàm và dấu ngoặc đơn. Việc tìm giá trị của các biểu thức đó bao gồm việc thực hiện các hành động sau:
- gốc đầu tiên, lũy thừa, phân số, v.v. được thay thế bằng giá trị của chúng,
- hành động tiếp theo trong ngoặc,
- và theo thứ tự từ trái sang phải, các phép tính còn lại được thực hiện - nhân và chia, sau đó là cộng và trừ.
Các hành động được liệt kê được thực hiện cho đến khi thu được kết quả cuối cùng.
Ví dụ.
Tìm ý nghĩa của biểu thức 
.
Giải pháp.
Hình thức của biểu thức này khá phức tạp. Trong biểu thức này, chúng ta thấy phân số, căn bậc, lũy thừa, sin và logarit. Làm thế nào để tìm thấy giá trị của nó?
Di chuyển qua bản ghi từ trái sang phải, chúng ta bắt gặp một phần của biểu mẫu 
. Chúng ta biết rằng khi làm việc với các phân số phức, chúng ta cần tính riêng giá trị của tử số, riêng mẫu số và cuối cùng tìm giá trị của phân số.
Trong tử số chúng ta có nghiệm nguyên của dạng 
. Để xác định giá trị của nó, trước tiên bạn cần tính giá trị của biểu thức căn 
. Có một sin ở đây. Chúng ta chỉ có thể tìm thấy giá trị của nó sau khi tính giá trị của biểu thức 
. Điều này chúng ta có thể làm: . Thế thì ở đâu và từ đâu 
.
Mẫu số rất đơn giản: .
Như vậy, 
.
Sau khi thay kết quả này vào biểu thức ban đầu sẽ có dạng . Biểu thức kết quả có chứa mức độ . Để tìm giá trị của nó, trước tiên chúng ta phải tìm giá trị của chỉ báo, chúng ta có 
.
Vì thế, .
Trả lời:
.
Nếu không thể tính toán các giá trị chính xác của căn, lũy thừa, v.v., thì bạn có thể thử loại bỏ chúng bằng cách sử dụng một số phép biến đổi, sau đó quay lại tính giá trị theo sơ đồ đã chỉ định.
Những cách hợp lý để tính giá trị của biểu thức
Việc tính toán các giá trị của biểu thức số đòi hỏi tính nhất quán và chính xác. Đúng, cần phải tuân thủ trình tự hành động đã ghi ở các đoạn trước, nhưng không cần thiết phải thực hiện việc này một cách mù quáng và máy móc. Điều chúng tôi muốn nói ở đây là thường có thể hợp lý hóa quá trình tìm ra ý nghĩa của một biểu thức. Ví dụ: một số thuộc tính nhất định của các phép tính với số có thể tăng tốc đáng kể và đơn giản hóa việc tìm giá trị của một biểu thức.
Ví dụ: chúng ta biết tính chất của phép nhân: nếu một trong các thừa số của tích bằng 0 thì giá trị của tích bằng 0. Sử dụng thuộc tính này, chúng ta có thể nói ngay rằng giá trị của biểu thức 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) bằng 0. Nếu tuân theo thứ tự thực hiện tiêu chuẩn, trước tiên chúng ta sẽ phải tính giá trị của các biểu thức rườm rà trong ngoặc đơn, việc này sẽ mất rất nhiều thời gian mà kết quả vẫn bằng 0.
Việc sử dụng tính chất trừ các số bằng nhau cũng rất thuận tiện: nếu bạn trừ một số bằng nhau thì kết quả sẽ bằng 0. Thuộc tính này có thể được xem xét rộng hơn: hiệu giữa hai biểu thức số giống hệt nhau bằng 0. Ví dụ: không tính giá trị của biểu thức trong ngoặc đơn, bạn có thể tìm giá trị của biểu thức (54 6−12 47362:3)−(54 6−12 47362:3), nó bằng 0, vì biểu thức ban đầu là hiệu của các biểu thức giống hệt nhau.
Các phép biến đổi nhận dạng có thể tạo điều kiện thuận lợi cho việc tính toán hợp lý các giá trị biểu thức. Ví dụ, việc nhóm các thuật ngữ và thừa số có thể hữu ích; việc đưa hệ số chung ra khỏi ngoặc cũng không kém phần được sử dụng. Vì vậy, giá trị của biểu thức 53·5+53·7−53·11+5 rất dễ tìm được sau khi lấy thừa số 53 ra khỏi ngoặc: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Tính toán trực tiếp sẽ mất nhiều thời gian hơn.
Để kết luận điểm này, chúng ta hãy chú ý đến một cách tiếp cận hợp lý để tính giá trị của các biểu thức với phân số - các thừa số giống nhau trong tử số và mẫu số của phân số đều bị loại bỏ. Ví dụ: rút gọn các biểu thức giống nhau ở tử số và mẫu số của một phân số 
cho phép bạn tìm ngay giá trị của nó, bằng 1/2.
Tìm giá trị của một biểu thức bằng chữ và một biểu thức có biến
Giá trị của một biểu thức bằng chữ và một biểu thức có biến được tìm thấy cho các giá trị cụ thể của các chữ cái và biến. Nghĩa là, chúng ta đang nói về việc tìm giá trị của một biểu thức bằng chữ cho các giá trị chữ cái đã cho hoặc về việc tìm giá trị của một biểu thức có các biến cho các giá trị biến đã chọn.
Luật lệ Việc tìm giá trị của một biểu thức chữ hoặc một biểu thức có biến cho các giá trị đã cho của các chữ cái hoặc các giá trị đã chọn của các biến như sau: bạn cần thay các giá trị đã cho của các chữ cái hoặc biến vào biểu thức ban đầu và tính toán giá trị của biểu thức số thu được; đó là giá trị mong muốn.
Ví dụ.
Tính giá trị của biểu thức 0,5·x−y tại x=2,4 và y=5.
Giải pháp.
Để tìm giá trị cần thiết của biểu thức, trước tiên bạn cần thay thế các giá trị đã cho của các biến vào biểu thức ban đầu, sau đó thực hiện các bước sau: 0,5·2,4−5=1,2−5=−3,8.
Trả lời:
−3,8 .
Lưu ý cuối cùng, đôi khi việc thực hiện chuyển đổi trên các biểu thức bằng chữ và biến sẽ mang lại giá trị của chúng, bất kể giá trị của các chữ cái và biến. Ví dụ, biểu thức x+3−x có thể được đơn giản hóa, sau đó nó sẽ có dạng 3. Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng giá trị của biểu thức x+3−x bằng 3 đối với bất kỳ giá trị nào của biến x từ phạm vi giá trị cho phép (APV) của nó. Một ví dụ khác: giá trị của biểu thức bằng 1 với mọi giá trị dương của x, do đó phạm vi giá trị cho phép của biến x trong biểu thức ban đầu là tập hợp các số dương và trong phạm vi này đẳng thức nắm giữ.
Thư mục.
- toán học: sách giáo khoa cho lớp 5. giáo dục phổ thông tổ chức / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Tái bản lần thứ 21, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 trang.: ốm. ISBN 5-346-00699-0.
- Toán học. Lớp 6: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [N. Vâng, Vilenkin và những người khác]. - Tái bản lần thứ 22, sửa đổi. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-00897-2.
- Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 7. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 17. - M.: Giáo dục, 2008. - 240 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Đại số học: Lớp 9: giáo dục. cho giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2009. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-021134-5.
- Đại số học và phần đầu của phân tích: Proc. cho lớp 10-11. giáo dục phổ thông tổ chức / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. Ed. A. N. Kolmogorov - tái bản lần thứ 14 - M.: Giáo dục, 2004. - 384 trang: ốm - ISBN 5-09-013651-3.
Trong khóa học đại số lớp 7, chúng ta xử lý các phép biến đổi của biểu thức số nguyên, tức là các biểu thức được tạo thành từ các số và biến bằng cách sử dụng các phép tính cộng, trừ và nhân, cũng như chia cho một số khác 0. Vậy biểu thức là số nguyên
Ngược lại, các biểu thức
Ngoài các hành động cộng, trừ và nhân, chúng còn có phép chia thành một biểu thức có biến. Những biểu thức như vậy được gọi là biểu thức phân số.
Biểu thức số nguyên và phân số được gọi là biểu thức hữu tỉ.
Toàn bộ biểu thức có ý nghĩa đối với bất kỳ giá trị nào của các biến có trong nó, vì để tìm giá trị của toàn bộ biểu thức, bạn cần thực hiện các hành động luôn có thể thực hiện được.
Biểu thức phân số có thể không có ý nghĩa đối với một số giá trị biến. Ví dụ: biểu thức - không có ý nghĩa khi a = 0. Đối với tất cả các giá trị khác của a, biểu thức này có ý nghĩa. Biểu thức có ý nghĩa đối với các giá trị của x và y khi x ≠ y.
Giá trị của các biến mà biểu thức có ý nghĩa được gọi là giá trị hợp lệ của biến.
Một biểu thức của hình thức được gọi là một phân số.
Một phân số có tử số và mẫu số là đa thức được gọi là phân số hữu tỉ.
Ví dụ về phân số hữu tỉ là phân số
Trong một phân số hữu tỷ, các giá trị được chấp nhận của các biến là những giá trị mà mẫu số của phân số không biến mất.
Ví dụ 1. Hãy tìm giá trị chấp nhận được của biến trong phân số
Giải phápĐể tìm giá trị nào của mẫu số của phân số trở thành 0, bạn cần giải phương trình a(a - 9) = 0. Phương trình này có hai nghiệm: 0 và 9. Do đó, tất cả các số ngoại trừ 0 và 9 là các giá trị hợp lệ cho biến a.
Ví dụ 2. Tại giá trị nào của x là giá trị của phân số 
bằng 0?
Giải pháp Một phân số bằng 0 khi và chỉ khi a - 0 và b ≠ 0.