Chủ đề này ban đầu có vẻ phức tạp do có nhiều công thức không đơn giản. Bản thân các phương trình bậc hai không chỉ có ký hiệu dài mà gốc của nó còn được tìm thấy thông qua phân biệt. Tổng cộng có ba công thức mới được thu được. Không dễ nhớ lắm. Điều này chỉ có thể thực hiện được sau khi giải các phương trình như vậy thường xuyên. Khi đó tất cả các công thức sẽ tự được ghi nhớ.
Tổng quát về phương trình bậc hai
Ở đây chúng tôi đề xuất cách ghi rõ ràng, khi mức độ lớn nhất được viết trước, sau đó theo thứ tự giảm dần. Thường có những tình huống khi các điều khoản không nhất quán. Sau đó, tốt hơn là viết lại phương trình theo thứ tự giảm dần của biến.
Hãy để chúng tôi giới thiệu một số ký hiệu. Chúng được trình bày trong bảng dưới đây.
Nếu chúng ta chấp nhận những ký hiệu này thì tất cả các phương trình bậc hai sẽ được rút gọn về ký hiệu sau.
Hơn nữa, hệ số a ≠ 0. Hãy coi công thức này là số một.
Khi đưa ra một phương trình, không rõ đáp án sẽ có bao nhiêu nghiệm. Bởi vì một trong ba lựa chọn luôn có thể thực hiện được:
- giải pháp sẽ có hai gốc;
- câu trả lời sẽ là một con số;
- phương trình sẽ không có nghiệm nào cả.
Và cho đến khi quyết định được đưa ra, thật khó để hiểu phương án nào sẽ xuất hiện trong một trường hợp cụ thể.
Các loại ghi phương trình bậc hai
Có thể có các mục khác nhau trong nhiệm vụ. Chúng không phải lúc nào cũng giống công thức phương trình bậc hai tổng quát. Đôi khi nó sẽ thiếu một số điều khoản. Những gì được viết ở trên là phương trình hoàn chỉnh. Nếu bạn loại bỏ số hạng thứ hai hoặc thứ ba trong đó, bạn sẽ nhận được thứ khác. Những bản ghi này còn được gọi là phương trình bậc hai, chỉ là không đầy đủ.
Hơn nữa, chỉ những thuật ngữ có hệ số “b” và “c” mới có thể biến mất. Số "a" không thể bằng 0 trong mọi trường hợp. Bởi vì trong trường hợp này công thức biến thành phương trình tuyến tính. Các công thức cho dạng phương trình không đầy đủ sẽ như sau:
Vì vậy, chỉ có hai loại; ngoài những loại phương trình hoàn chỉnh, còn có những phương trình bậc hai không đầy đủ. Đặt công thức đầu tiên là số hai và công thức thứ hai - ba.
Sự phân biệt và sự phụ thuộc của số lượng gốc vào giá trị của nó
Bạn cần biết con số này để tính nghiệm của phương trình. Nó luôn có thể được tính toán, bất kể công thức của phương trình bậc hai là gì. Để tính giá trị phân biệt, bạn cần sử dụng đẳng thức được viết bên dưới, giá trị này sẽ có số bốn.
Sau khi thay thế các giá trị hệ số vào công thức này, bạn có thể nhận được các số có dấu khác nhau. Nếu câu trả lời là có thì đáp án của phương trình sẽ có hai nghiệm khác nhau. Nếu số âm thì sẽ không có nghiệm của phương trình bậc hai. Nếu nó bằng 0 thì sẽ chỉ có một câu trả lời.
Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai hoàn chỉnh?
Trên thực tế, việc xem xét vấn đề này đã bắt đầu. Bởi vì trước tiên bạn cần tìm một người phân biệt đối xử. Sau khi xác định được nghiệm của phương trình bậc hai và số của chúng đã biết, bạn cần sử dụng công thức cho các biến. Nếu có hai gốc thì bạn cần áp dụng công thức sau.
Vì nó có chứa dấu “±” nên sẽ có hai nghĩa. Biểu thức dưới dấu căn bậc hai là biểu thức phân biệt. Do đó, công thức có thể được viết lại khác nhau.
Công thức số năm. Từ cùng một bản ghi, rõ ràng là nếu phân biệt bằng 0 thì cả hai nghiệm sẽ có cùng giá trị.
Nếu chưa giải được phương trình bậc hai thì tốt hơn hết bạn nên ghi giá trị của tất cả các hệ số trước khi áp dụng công thức phân biệt và công thức biến. Sau này thời điểm này sẽ không gây khó khăn. Nhưng ngay từ đầu đã có sự nhầm lẫn.
Làm thế nào để giải một phương trình bậc hai không đầy đủ?
Mọi thứ ở đây đơn giản hơn nhiều. Thậm chí không cần phải có thêm công thức. Và những thứ đã được viết ra cho người phân biệt đối xử và những điều chưa biết sẽ không cần thiết.
Đầu tiên, chúng ta hãy xem xét phương trình chưa hoàn chỉnh số hai. Trong đẳng thức này, cần phải lấy đại lượng chưa biết ra khỏi ngoặc và giải phương trình tuyến tính, phương trình này sẽ vẫn ở trong ngoặc. Câu trả lời sẽ có hai gốc rễ. Số đầu tiên nhất thiết phải bằng 0, vì có một số nhân bao gồm chính biến đó. Cái thứ hai sẽ thu được bằng cách giải một phương trình tuyến tính.
Phương trình chưa hoàn chỉnh số ba được giải bằng cách di chuyển số từ vế trái của đẳng thức sang phải. Sau đó, bạn cần chia cho hệ số đối diện với ẩn số. Tất cả những gì còn lại là trích căn bậc hai và nhớ viết hai lần với dấu ngược nhau.
Dưới đây là một số bước sẽ giúp bạn học cách giải tất cả các loại đẳng thức chuyển thành phương trình bậc hai. Chúng sẽ giúp học sinh tránh được những sai sót do thiếu chú ý. Những bất cập này có thể gây ra điểm kém khi học chuyên đề mở rộng “Phương trình bậc hai (lớp 8)”. Sau đó, những hành động này sẽ không cần phải được thực hiện liên tục. Bởi vì một kỹ năng ổn định sẽ xuất hiện.
- Đầu tiên bạn cần viết phương trình ở dạng chuẩn. Nghĩa là, đầu tiên là thuật ngữ có bậc lớn nhất của biến, sau đó - không có bậc và cuối cùng - chỉ là một con số.
- Nếu một điểm trừ xuất hiện trước hệ số “a”, nó có thể làm phức tạp công việc của người mới bắt đầu nghiên cứu phương trình bậc hai. Tốt hơn là nên loại bỏ nó. Vì mục đích này, tất cả đẳng thức phải được nhân với “-1”. Điều này có nghĩa là tất cả các số hạng sẽ đổi dấu ngược lại.
- Nên loại bỏ các phân số theo cách tương tự. Đơn giản chỉ cần nhân phương trình với hệ số thích hợp để các mẫu số triệt tiêu.
Ví dụ
Cần phải giải các phương trình bậc hai sau:
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Phương trình thứ nhất: x 2 − 7x = 0. Phương trình này không đầy đủ nên được giải như mô tả ở công thức số hai.
Sau khi lấy nó ra khỏi ngoặc, kết quả là: x (x - 7) = 0.
Căn thứ nhất lấy giá trị: x 1 = 0. Căn thứ hai sẽ được tìm từ phương trình tuyến tính: x - 7 = 0. Dễ dàng thấy rằng x 2 = 7.
Phương trình thứ hai: 5x 2 + 30 = 0. Một lần nữa không đầy đủ. Chỉ có nó được giải quyết như mô tả cho công thức thứ ba.
Sau khi di chuyển 30 sang vế phải của phương trình: 5x 2 = 30. Bây giờ bạn cần chia cho 5. Kết quả là: x 2 = 6. Đáp án sẽ là các số: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Phương trình thứ ba: 15 − 2x − x 2 = 0. Sau đây, việc giải phương trình bậc hai sẽ bắt đầu bằng cách viết lại chúng ở dạng chuẩn: − x 2 − 2x + 15 = 0. Bây giờ là lúc sử dụng mẹo hữu ích thứ hai và nhân mọi thứ với trừ đi một . Hóa ra x 2 + 2x - 15 = 0. Sử dụng công thức thứ tư, bạn cần tính phân biệt: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Đó là một số dương. Từ những gì đã nói ở trên, hóa ra phương trình có hai nghiệm. Chúng cần được tính toán bằng công thức thứ năm. Hoá ra x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Khi đó x 1 = 3, x 2 = - 5.
Phương trình thứ tư x 2 + 8 + 3x = 0 được chuyển thành: x 2 + 3x + 8 = 0. Phân biệt của nó bằng giá trị này: -23. Vì số này là số âm nên câu trả lời cho nhiệm vụ này sẽ là mục sau: “Không có gốc”.
Phương trình thứ năm 12x + x 2 + 36 = 0 nên được viết lại như sau: x 2 + 12x + 36 = 0. Sau khi áp dụng công thức phân biệt, thu được số 0. Điều này có nghĩa là nó sẽ có một nghiệm, đó là: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Phương trình thứ sáu (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) yêu cầu các phép biến đổi, bao gồm thực tế là bạn cần đưa các số hạng tương tự vào, trước tiên hãy mở ngoặc. Thay cho biểu thức đầu tiên sẽ có biểu thức sau: x 2 + 2x + 1. Sau đẳng thức, mục này sẽ xuất hiện: x 2 + 3x + 2. Sau khi đếm các số hạng tương tự, phương trình sẽ có dạng: x 2 - x = 0. Nó đã trở nên không đầy đủ . Một cái gì đó tương tự như thế này đã được thảo luận cao hơn một chút. Nguồn gốc của điều này sẽ là số 0 và 1.
Hãy làm việc với phương trình bậc hai. Đây là những phương trình rất phổ biến! Ở dạng tổng quát nhất, phương trình bậc hai có dạng như sau:
Ví dụ:
Đây MỘT =1; b = 3; c = -4
Đây MỘT =2; b = -0,5; c = 2,2
Đây MỘT =-3; b = 6; c = -18
Vâng, bạn hiểu...
Làm thế nào để giải phương trình bậc hai? Nếu bạn có một phương trình bậc hai ở dạng này trước mặt thì mọi thứ đều đơn giản. Hãy nhớ lời kỳ diệu phân biệt đối xử . Hiếm có học sinh trung học nào lại không nghe thấy từ này! Cụm từ “chúng tôi giải quyết bằng cách phân biệt đối xử” truyền cảm hứng cho sự tự tin và yên tâm. Bởi vì không cần phải mong chờ những thủ đoạn từ kẻ phân biệt đối xử! Nó rất đơn giản và không gặp rắc rối khi sử dụng. Vì vậy, công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai trông như sau:
Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức phân biệt đối xử. Như bạn có thể thấy, để tìm X, chúng tôi sử dụng chỉ có a, b và c. Những thứ kia. các hệ số từ phương trình bậc hai. Chỉ cần cẩn thận thay thế các giá trị a, b và cĐây là công thức chúng tôi tính toán. Hãy thay thế với những dấu hiệu của riêng bạn! Ví dụ, đối với phương trình đầu tiên MỘT =1; b = 3; c= -4. Ở đây chúng tôi viết nó ra:
Ví dụ gần như đã được giải quyết:
Đó là tất cả.
Những trường hợp nào có thể xảy ra khi sử dụng công thức này? Chỉ có ba trường hợp.
1. Người phân biệt đối xử là tích cực. Điều này có nghĩa là gốc có thể được trích xuất từ nó. Việc lấy gốc tốt hay kém lại là một câu hỏi khác. Điều quan trọng là những gì được trích xuất về nguyên tắc. Khi đó phương trình bậc hai của bạn có hai nghiệm. Hai giải pháp khác nhau.
2. Phân biệt đối xử bằng không. Sau đó, bạn có một giải pháp. Nói đúng ra, đây không phải là một gốc, mà là hai giống hệt nhau. Nhưng điều này đóng một vai trò trong sự bất bình đẳng, nơi chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề chi tiết hơn.
3. Người phân biệt đối xử là tiêu cực. Căn bậc hai của số âm không thể được lấy. Được rồi. Điều này có nghĩa là không có giải pháp.
Mọi thứ đều rất đơn giản. Và bạn nghĩ rằng không thể phạm sai lầm? Vâng, vâng, làm thế nào...
Những lỗi phổ biến nhất là nhầm lẫn với các giá trị ký hiệu a, b và c. Hay đúng hơn, không phải bằng các dấu hiệu của chúng (lẫn lộn ở đâu?), mà bằng việc thay thế các giá trị âm vào công thức tính căn. Điều hữu ích ở đây là bản ghi chi tiết công thức với những con số cụ thể. Nếu có vấn đề về tính toán, làm việc đó đi!
Giả sử chúng ta cần giải ví dụ sau:
Đây a = -6; b = -5; c = -1
Giả sử bạn biết rằng bạn hiếm khi nhận được câu trả lời ngay lần đầu tiên.
Đừng lười biếng. Sẽ mất khoảng 30 giây để viết thêm một dòng Và số lỗi sai. sẽ giảm mạnh. Vì vậy, chúng tôi viết chi tiết, với tất cả các dấu ngoặc và dấu hiệu:
Có vẻ như rất khó để viết ra một cách cẩn thận. Nhưng nó chỉ có vẻ như vậy. Hãy thử một lần. Vâng, hoặc chọn. Cái nào tốt hơn, nhanh hay đúng? Ngoài ra, tôi sẽ làm cho bạn hạnh phúc. Sau một thời gian, sẽ không cần phải viết ra mọi thứ một cách cẩn thận như vậy nữa. Nó sẽ tự diễn ra ngay. Đặc biệt nếu bạn sử dụng các kỹ thuật thực tế được mô tả dưới đây. Ví dụ xấu xa này với hàng loạt nhược điểm có thể được giải quyết một cách dễ dàng và không có sai sót!
Vì thế, cách giải phương trình bậc hai thông qua sự phân biệt đối xử mà chúng tôi đã nhớ. Hoặc họ đã học được, điều đó cũng tốt. Bạn biết cách xác định chính xác a, b và c. Bạn có biết làm thế nào? chăm chú thay thế chúng vào công thức gốc và chăm chúđếm kết quả. Bạn hiểu rằng từ khóa ở đây là chăm chú?
Tuy nhiên, phương trình bậc hai thường trông hơi khác một chút. Ví dụ như thế này:
Cái này phương trình bậc hai không đầy đủ . Họ cũng có thể được giải quyết thông qua một phân biệt đối xử. Bạn chỉ cần hiểu chính xác chúng bằng nhau ở đây là gì. a, b và c.
Bạn đã tìm ra nó chưa? Trong ví dụ đầu tiên a = 1; b = -4; MỘT c? Nó hoàn toàn không có ở đó! Vâng, đúng vậy. Trong toán học điều này có nghĩa là c = 0 ! Đó là tất cả. Thay thế số 0 vào công thức c, và chúng ta sẽ thành công. Tương tự với ví dụ thứ hai. Chỉ có chúng tôi không có số không ở đây Với, MỘT b !
Nhưng các phương trình bậc hai không đầy đủ có thể được giải đơn giản hơn nhiều. Không có bất kỳ sự phân biệt đối xử. Hãy xem xét phương trình không đầy đủ đầu tiên. Bạn có thể làm gì ở phía bên trái? Bạn có thể bỏ X ra khỏi ngoặc! Hãy lấy nó ra.
Và điều gì từ điều này? Và thực tế là tích bằng 0 khi và chỉ khi bất kỳ thừa số nào bằng 0! Không tin tôi? Được rồi, sau đó nghĩ ra hai số khác 0 mà khi nhân với nhau sẽ bằng 0!
Không hoạt động? Đó là nó...
Vì vậy, chúng ta có thể tự tin viết: x = 0, hoặc x = 4
Tất cả. Đây sẽ là gốc rễ của phương trình của chúng tôi. Cả hai đều phù hợp. Khi thay bất kỳ giá trị nào trong số chúng vào phương trình ban đầu, chúng ta sẽ nhận được đẳng thức đúng 0 = 0. Như bạn có thể thấy, lời giải đơn giản hơn nhiều so với việc sử dụng phân biệt đối xử.
Phương trình thứ hai cũng có thể được giải một cách đơn giản. Di chuyển số 9 sang bên phải. Chúng tôi nhận được:
Tất cả những gì còn lại là trích xuất gốc từ 9, thế là xong. Nó sẽ bật ra:
Cũng có hai gốc . x = +3 và x = -3.
Đây là cách tất cả các phương trình bậc hai không đầy đủ được giải. Hoặc bằng cách đặt X ra khỏi ngoặc hoặc đơn giản là di chuyển số sang bên phải và sau đó trích xuất gốc.
Rất khó để nhầm lẫn các kỹ thuật này. Đơn giản vì trong trường hợp đầu tiên, bạn sẽ phải trích xuất gốc của X, điều này không thể hiểu được, còn trong trường hợp thứ hai thì không có gì để lấy ra khỏi ngoặc cả...
Bây giờ hãy lưu ý đến các kỹ thuật thực tế giúp giảm đáng kể số lỗi. Cũng là do thiếu chú ý... Mà sau này lại đau đớn và khó chịu...
Cuộc hẹn đầu tiên. Đừng lười biếng trước khi giải phương trình bậc hai và đưa nó về dạng chuẩn. Điều đó có nghĩa là gì?
Giả sử rằng sau tất cả các phép biến đổi, bạn nhận được phương trình sau:
Đừng vội viết công thức gốc! Bạn gần như chắc chắn sẽ nhận được tỷ lệ cược lẫn lộn a, b và c. Xây dựng ví dụ một cách chính xác. Đầu tiên, X bình phương, sau đó không bình phương, sau đó là số hạng tự do. Như thế này:
Và một lần nữa, đừng vội vàng! Một dấu trừ đứng trước bình phương X có thể thực sự làm bạn khó chịu. Thật dễ dàng để quên... Hãy loại bỏ điểm trừ. Làm sao? Có, như đã dạy ở chủ đề trước! Chúng ta cần nhân toàn bộ phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:
Nhưng bây giờ bạn có thể viết ra công thức nghiệm một cách an toàn, tính phân biệt và hoàn thành việc giải ví dụ. Quyết định cho chính mình. Bây giờ bạn sẽ có gốc 2 và -1.
Lễ đón thứ hai. Kiểm tra rễ! Theo định lý Vieta. Đừng sợ, tôi sẽ giải thích mọi thứ! Kiểm tra thứ cuối cùng phương trình. Những thứ kia. cái mà chúng ta đã sử dụng để viết ra công thức gốc. Nếu (như trong ví dụ này) hệ số một = 1, việc kiểm tra rễ rất dễ dàng. Chỉ cần nhân chúng lên là đủ. Kết quả phải là thành viên miễn phí, tức là. trong trường hợp của chúng tôi -2. Xin lưu ý, không phải 2, mà là -2! Thành viên miễn phí với dấu hiệu của bạn
. Nếu nó không thành công, điều đó có nghĩa là bạn đã làm sai ở đâu đó. Hãy tìm lỗi. Nếu nó hoạt động, bạn cần thêm rễ. Kiểm tra cuối cùng và cuối cùng. Hệ số phải là b Với đối diện
thân thuộc. Trong trường hợp của chúng tôi -1+2 = +1. một hệ số b, đứng trước X, bằng -1. Vì vậy, mọi thứ đều chính xác!
Thật đáng tiếc là điều này chỉ đơn giản đối với các ví dụ trong đó x bình phương là thuần túy, có hệ số một = 1. Nhưng ít nhất hãy kiểm tra các phương trình như vậy! Sẽ ngày càng có ít lỗi hơn.
Lễ tân thứ ba. Nếu phương trình của bạn có hệ số phân số, hãy loại bỏ phân số! Nhân phương trình với mẫu số chung như mô tả ở phần trước. Khi làm việc với phân số, vì lý do nào đó, lỗi luôn xuất hiện...
Nhân tiện, tôi đã hứa sẽ đơn giản hóa ví dụ xấu xa bằng một loạt điểm trừ. Vui lòng! Anh ta đây rồi.
Để không bị nhầm lẫn bởi các điểm trừ, chúng ta nhân phương trình với -1. Chúng tôi nhận được:
Đó là tất cả! Giải quyết là một niềm vui!
Vì vậy, hãy tóm tắt chủ đề.
Những mẹo có ích:
1. Trước khi giải, ta đưa phương trình bậc hai về dạng chuẩn và xây dựng nó Phải.
2. Nếu có hệ số âm phía trước bình phương X, chúng ta loại bỏ nó bằng cách nhân toàn bộ phương trình với -1.
3. Nếu các hệ số là phân số, chúng ta loại bỏ các phân số bằng cách nhân toàn bộ phương trình với hệ số tương ứng.
4. Nếu x bình phương thuần khiết, hệ số bằng 1 thì nghiệm có thể dễ dàng chứng minh bằng định lý Vieta. Làm đi!
Phương trình phân số. ODZ.
Chúng tôi tiếp tục làm chủ các phương trình. Chúng ta đã biết cách làm việc với các phương trình tuyến tính và phương trình bậc hai. Chế độ xem cuối cùng còn lại - phương trình phân số. Hoặc họ còn được gọi một cách kính trọng hơn nhiều - phương trình hữu tỉ phân số. Nó giống nhau.
Phương trình phân số.
Đúng như tên gọi, các phương trình này nhất thiết phải chứa phân số. Nhưng không chỉ phân số, mà cả những phân số có chưa biết về mẫu số. Ít nhất là trong một. Ví dụ:
Hãy để tôi nhắc bạn rằng nếu mẫu số chỉ con số, đây là những phương trình tuyến tính.
Làm thế nào để quyết định phương trình phân số? Trước hết, hãy loại bỏ các phân số! Sau này, phương trình thường biến thành tuyến tính hoặc bậc hai. Và khi đó chúng ta biết phải làm gì... Trong một số trường hợp, nó có thể biến thành một số nhận dạng, chẳng hạn như 5=5 hoặc một biểu thức không chính xác, chẳng hạn như 7=2. Nhưng điều này hiếm khi xảy ra. Tôi sẽ đề cập đến điều này dưới đây.
Nhưng làm thế nào để loại bỏ phân số!? Rất đơn giản. Áp dụng các phép biến đổi giống hệt nhau.
Chúng ta cần nhân toàn bộ phương trình với cùng một biểu thức. Vì vậy, tất cả các mẫu số đều giảm! Mọi thứ sẽ ngay lập tức trở nên dễ dàng hơn. Hãy để tôi giải thích bằng một ví dụ. Ta cần giải phương trình:
Bạn được dạy ở trường tiểu học như thế nào? Chúng ta chuyển mọi thứ sang một bên, đưa về mẫu số chung, v.v. Hãy quên nó đi như một giấc mơ tồi tệ! Đây là những gì bạn cần làm khi cộng hoặc trừ các phân số. Hoặc bạn làm việc với sự bất bình đẳng. Và trong các phương trình, chúng ta ngay lập tức nhân cả hai vế với một biểu thức sẽ cho chúng ta cơ hội rút gọn tất cả các mẫu số (tức là, về bản chất, bằng một mẫu số chung). Và biểu hiện này là gì?
Ở vế bên trái, việc rút gọn mẫu số đòi hỏi phải nhân với x+2. Và ở bên phải, cần phải nhân với 2. Điều này có nghĩa là phương trình phải được nhân với. 2(x+2). Nhân:
Đây là phép nhân phổ biến của các phân số, nhưng tôi sẽ mô tả chi tiết:
Xin lưu ý rằng tôi chưa mở khung (x + 2)! Vì vậy, toàn bộ, tôi viết nó:
Ở bên trái nó co lại hoàn toàn (x+2) và ở bên phải 2. Đó là những gì được yêu cầu! Sau khi giảm chúng ta nhận được tuyến tính phương trình:
Và mọi người đều có thể giải được phương trình này! x = 2.
Hãy giải một ví dụ khác, phức tạp hơn một chút:
Nếu chúng ta nhớ rằng 3 = 3/1, và 2x = 2x/ 1, ta có thể viết:
Và một lần nữa chúng ta loại bỏ những gì chúng ta không thực sự thích - phân số.
Ta thấy rằng để rút gọn mẫu số của X thì ta cần nhân phân số đó với (x – 2). Và một số ít không phải là trở ngại đối với chúng tôi. Vâng, hãy nhân lên. Tất cả bên trái và tất cả bên phải:
Dấu ngoặc đơn lại (x – 2) Tôi không tiết lộ. Tôi làm việc với toàn bộ dấu ngoặc như thể nó là một số! Điều này phải luôn luôn được thực hiện, nếu không sẽ không có gì giảm bớt.
Với cảm giác thỏa mãn sâu sắc, chúng ta giảm bớt (x – 2) và chúng ta có được một phương trình không có phân số bằng thước kẻ!
Bây giờ hãy mở dấu ngoặc:
Chúng tôi mang những cái tương tự, di chuyển mọi thứ sang bên trái và nhận được:
Phương trình bậc hai cổ điển. Nhưng điểm trừ phía trước là không tốt. Bạn luôn có thể loại bỏ nó bằng cách nhân hoặc chia cho -1. Nhưng nếu nhìn kỹ vào ví dụ, bạn sẽ nhận thấy rằng tốt nhất nên chia phương trình này cho -2! Trong một cú trượt ngã, điểm trừ sẽ biến mất và tỷ lệ cược sẽ trở nên hấp dẫn hơn! Chia cho -2. Ở phía bên trái - từng số hạng và ở bên phải - chỉ cần chia 0 cho -2, 0 và chúng ta nhận được:
Chúng tôi giải quyết thông qua phân biệt và kiểm tra bằng định lý Vieta. Chúng tôi nhận được x = 1 và x = 3. Hai rễ.
Như bạn có thể thấy, trong trường hợp đầu tiên, phương trình sau khi biến đổi trở thành tuyến tính, nhưng ở đây nó trở thành phương trình bậc hai. Điều xảy ra là sau khi loại bỏ các phân số, tất cả các chữ X đều bị rút gọn. Một cái gì đó còn lại, như 5=5. Nó có nghĩa là x có thể là bất cứ thứ gì. Dù thế nào thì nó vẫn sẽ giảm. Và hóa ra đó là sự thật thuần túy, 5=5. Tuy nhiên, sau khi loại bỏ phân số, nó có thể hoàn toàn sai, chẳng hạn như 2=7. Và điều này có nghĩa là không có giải pháp! Bất kỳ X hóa ra là không đúng sự thật.
Thực hiện được giải pháp chính phương trình phân số? Nó đơn giản và hợp lý. Chúng ta thay đổi cách diễn đạt ban đầu để mọi thứ chúng ta không thích đều biến mất. Hoặc nó can thiệp. Trong trường hợp này đây là những phân số. Chúng ta sẽ làm tương tự với tất cả các loại ví dụ phức tạp với logarit, sin và những điều kinh khủng khác. Chúng tôi Luôn luôn Hãy thoát khỏi tất cả điều này.
Tuy nhiên, chúng ta cần thay đổi biểu thức ban đầu theo hướng chúng ta cần theo các quy tắc, vâng... Thành thạo nó là chuẩn bị cho Kỳ thi Toán thống nhất toàn quốc. Vì vậy, chúng tôi đang làm chủ nó.
Bây giờ chúng ta sẽ học cách bỏ qua một trong phục kích chính trong kỳ thi Thống nhất! Nhưng trước hết hãy xem bạn có rơi vào đó hay không?
Hãy xem một ví dụ đơn giản:
Vấn đề đã quen thuộc rồi, chúng ta nhân cả hai vế với (x – 2), chúng tôi nhận được:
Tôi nhắc bạn, trong ngoặc (x – 2) Chúng tôi làm việc như thể với một, biểu thức tích phân!
Ở đây tôi không viết số một ở mẫu số nữa, nó không đứng đắn... Và tôi cũng không vẽ dấu ngoặc ở mẫu số, ngoại trừ x – 2 không có gì, bạn không cần phải vẽ. Hãy rút ngắn:
Mở dấu ngoặc đơn, di chuyển mọi thứ sang trái và đưa ra những cái tương tự:
Chúng tôi giải quyết, kiểm tra, chúng tôi nhận được hai gốc. x = 2 Và x = 3. Tuyệt vời.
Giả sử bài tập yêu cầu viết ra nghiệm hoặc tổng của chúng nếu có nhiều hơn một nghiệm. Chúng ta sẽ viết gì?
Nếu bạn quyết định câu trả lời là 5, bạn đã bị phục kích. Và nhiệm vụ sẽ không được ghi có cho bạn. Họ làm việc vô ích... Câu trả lời đúng 3.
Có chuyện gì vậy?! Và bạn thử kiểm tra xem. Thay các giá trị chưa biết vào nguyên bản ví dụ. Và nếu tại x = 3 mọi thứ sẽ cùng nhau phát triển một cách tuyệt vời, chúng ta có 9 = 9, rồi khi x = 2 Nó sẽ được chia cho số 0! Điều mà bạn hoàn toàn không thể làm được. Có nghĩa x = 2 không phải là giải pháp và không được tính đến trong câu trả lời. Đây được gọi là gốc ngoại lai hoặc gốc bổ sung. Chúng tôi chỉ đơn giản là loại bỏ nó. Gốc cuối cùng là một. x = 3.
Làm sao vậy?! – Tôi nghe thấy những tiếng kêu phẫn nộ. Chúng ta đã được dạy rằng một phương trình có thể được nhân với một biểu thức! Đây là một sự chuyển đổi giống hệt nhau!
Vâng, giống hệt nhau. Dưới một điều kiện nhỏ - biểu thức mà chúng ta nhân (chia) - khác với số không. MỘT x – 2 Tại x = 2 bằng không! Vì vậy, mọi thứ đều công bằng.
Và bây giờ tôi có thể làm gì?! Đừng nhân với biểu thức? Tôi có nên kiểm tra mọi lúc không? Một lần nữa nó không rõ ràng!
Bình tĩnh! Không hoảng loạn!
Trong hoàn cảnh khó khăn này, ba lá thư thần kỳ sẽ cứu chúng ta. Tôi biết bạn đang nghĩ gì. Phải! Cái này ODZ . Vùng giá trị chấp nhận được.
Trong xã hội hiện đại, khả năng thực hiện các phép tính với các phương trình chứa biến bình phương có thể hữu ích trong nhiều lĩnh vực hoạt động và được sử dụng rộng rãi trong thực tế trong phát triển khoa học kỹ thuật. Bằng chứng về điều này có thể được tìm thấy trong thiết kế của tàu biển và sông, máy bay và tên lửa. Sử dụng các phép tính như vậy, quỹ đạo chuyển động của nhiều loại vật thể, bao gồm cả các vật thể không gian, được xác định. Các ví dụ về giải phương trình bậc hai không chỉ được sử dụng trong dự báo kinh tế, trong thiết kế và xây dựng các tòa nhà mà còn trong các tình huống thông thường nhất hàng ngày. Chúng có thể cần thiết trong các chuyến đi bộ đường dài, tại các sự kiện thể thao, trong cửa hàng khi mua hàng và trong các tình huống rất phổ biến khác.
Hãy chia biểu thức thành các yếu tố thành phần của nó
Bậc của một phương trình được xác định bởi giá trị lớn nhất của bậc của biến mà biểu thức chứa. Nếu nó bằng 2 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai.
Nếu chúng ta nói bằng ngôn ngữ của các công thức, thì các biểu thức được chỉ định, bất kể chúng trông như thế nào, luôn có thể được đưa về dạng khi vế trái của biểu thức bao gồm ba thuật ngữ. Trong số đó: ax 2 (nghĩa là một biến bình phương với hệ số của nó), bx (một ẩn số không có bình phương với hệ số của nó) và c (một thành phần tự do, nghĩa là một số thông thường). Tất cả những điều này ở vế phải đều bằng 0. Trong trường hợp đa thức như vậy thiếu một trong các số hạng cấu thành của nó, ngoại trừ ax 2, nó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Các ví dụ về cách giải các bài toán như vậy, giá trị của các biến dễ tìm cần được xem xét trước tiên.
Nếu biểu thức trông giống như có hai số hạng ở vế phải, chính xác hơn là ax 2 và bx, cách dễ nhất để tìm x là đặt biến ra khỏi ngoặc. Bây giờ phương trình của chúng ta sẽ như thế này: x(ax+b). Tiếp theo, rõ ràng là x=0 hoặc vấn đề nằm ở việc tìm một biến từ biểu thức sau: ax+b=0. Điều này được quyết định bởi một trong những tính chất của phép nhân. Quy tắc nêu rõ rằng tích của hai thừa số chỉ cho kết quả bằng 0 nếu một trong chúng bằng 0.
Ví dụ
x=0 hoặc 8x - 3 = 0
Kết quả là chúng ta nhận được hai nghiệm của phương trình: 0 và 0,375.
Các phương trình loại này có thể mô tả chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của trọng lực, bắt đầu chuyển động từ một điểm nhất định được lấy làm gốc tọa độ. Ở đây ký hiệu toán học có dạng sau: y = v 0 t + gt 2 /2. Bằng cách thay thế các giá trị cần thiết, đánh đồng vế phải bằng 0 và tìm những ẩn số có thể có, bạn có thể tìm ra thời gian trôi qua từ lúc vật nổi lên đến lúc rơi xuống, cũng như nhiều đại lượng khác. Nhưng chúng ta sẽ nói về điều này sau.
Phân tích một biểu thức
Quy tắc được mô tả ở trên giúp giải quyết những vấn đề này trong những trường hợp phức tạp hơn. Chúng ta hãy xem các ví dụ về giải phương trình bậc hai thuộc loại này.
X 2 - 33x + 200 = 0
Tam thức bậc hai này đã hoàn tất. Đầu tiên, hãy biến đổi biểu thức và phân tích nó. Có hai trong số chúng: (x-8) và (x-25) = 0. Kết quả là chúng ta có hai nghiệm 8 và 25.
Các ví dụ về giải phương trình bậc hai lớp 9 cho phép phương pháp này tìm một biến trong các biểu thức không chỉ bậc hai mà thậm chí bậc ba và bậc bốn.
Ví dụ: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Khi phân tích vế phải thành nhân tử với một biến, có ba thừa số đó là (x+1), (x-3) và (x+ 3).
Kết quả là, rõ ràng phương trình này có ba nghiệm: -3; -1; 3.
Căn bậc hai
Một trường hợp khác của phương trình bậc hai không đầy đủ là biểu thức được biểu diễn bằng ngôn ngữ chữ cái sao cho vế phải được xây dựng từ các thành phần ax 2 và c. Ở đây, để thu được giá trị của biến, số hạng tự do được chuyển sang vế phải và sau đó căn bậc hai được trích ra từ cả hai vế của đẳng thức. Cần lưu ý rằng trong trường hợp này thường có hai nghiệm của phương trình. Các ngoại lệ duy nhất có thể là các đẳng thức hoàn toàn không chứa một thuật ngữ nào, trong đó biến bằng 0, cũng như các biến thể của biểu thức khi vế phải âm. Trong trường hợp sau, không có giải pháp nào cả, vì các hành động trên không thể được thực hiện bằng root. Cần xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai thuộc loại này.
Trong trường hợp này, nghiệm của phương trình sẽ là các số -4 và 4.
Tính diện tích đất
Nhu cầu về loại tính toán này đã xuất hiện từ thời cổ đại, bởi vì sự phát triển của toán học vào thời xa xưa đó phần lớn được quyết định bởi nhu cầu xác định diện tích và chu vi của các thửa đất với độ chính xác cao nhất.
Chúng ta cũng nên xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai dựa trên các bài toán thuộc loại này.
Vì vậy, giả sử có một mảnh đất hình chữ nhật, chiều dài lớn hơn chiều rộng 16 mét. Bạn nên tìm chiều dài, chiều rộng và chu vi của khu đất nếu bạn biết diện tích của nó là 612 m2.
Để bắt đầu, trước tiên hãy tạo phương trình cần thiết. Chúng ta biểu thị bằng x chiều rộng của khu vực, khi đó chiều dài của nó sẽ là (x+16). Từ những gì đã viết, diện tích được xác định bởi biểu thức x(x+16), theo các điều kiện của bài toán của chúng ta, là 612. Điều này có nghĩa là x(x+16) = 612.
Việc giải các phương trình bậc hai hoàn chỉnh và biểu thức này chính xác là như vậy, không thể thực hiện theo cách tương tự. Tại sao? Mặc dù vế trái vẫn chứa hai thừa số, nhưng tích của chúng hoàn toàn không bằng 0, vì vậy các phương pháp khác nhau được sử dụng ở đây.
phân biệt đối xử
Trước hết, chúng ta sẽ thực hiện các phép biến đổi cần thiết, khi đó biểu thức này sẽ trông như sau: x 2 + 16x - 612 = 0. Điều này có nghĩa là chúng ta đã nhận được biểu thức ở dạng tương ứng với tiêu chuẩn đã chỉ định trước đó, trong đó a=1, b=16, c= -612.
Đây có thể là một ví dụ về giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng phân biệt đối xử. Ở đây các tính toán cần thiết được thực hiện theo sơ đồ: D = b 2 - 4ac. Đại lượng phụ này không chỉ giúp tìm được các đại lượng cần thiết trong phương trình bậc hai mà còn xác định số lượng các phương án có thể có. Nếu D>0 thì có hai trong số chúng; với D=0 có một nghiệm. Trong trường hợp D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.
Về rễ và công thức của chúng
Trong trường hợp của chúng tôi, phân biệt đối xử bằng: 256 - 4(-612) = 2704. Điều này cho thấy rằng bài toán của chúng tôi có đáp án. Nếu biết k thì phải tiếp tục giải phương trình bậc hai bằng công thức dưới đây. Nó cho phép bạn tính toán gốc.
Điều này có nghĩa là trong trường hợp được trình bày: x 1 =18, x 2 =-34. Phương án thứ hai trong tình huống khó xử này không thể là một giải pháp, vì kích thước của thửa đất không thể đo được bằng đại lượng âm, nghĩa là x (tức là chiều rộng của thửa đất) là 18 m. Từ đây chúng ta tính được chiều dài: 18. +16=34 và chu vi 2(34+ 18)=104(m2).
Ví dụ và nhiệm vụ
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu phương trình bậc hai. Ví dụ và giải pháp chi tiết của một số trong số chúng sẽ được đưa ra dưới đây.
1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1
Chúng ta hãy di chuyển mọi thứ sang bên trái của đẳng thức, thực hiện một phép biến đổi, nghĩa là chúng ta thu được dạng phương trình, thường được gọi là chuẩn và đánh đồng nó bằng 0.
15x2 + 20x + 5 - 12x2 - 27x - 1 = 0
Cộng những cái tương tự, chúng ta xác định được biệt thức: D = 49 - 48 = 1. Điều này có nghĩa là phương trình của chúng ta sẽ có hai nghiệm. Hãy tính chúng theo công thức trên, có nghĩa là số thứ nhất sẽ bằng 4/3 và số thứ hai sẽ bằng 1.
2) Bây giờ chúng ta hãy giải quyết những bí ẩn thuộc loại khác.
Cùng tìm xem ở đây có nghiệm nào x 2 - 4x + 5 = 1 không? Để có được câu trả lời toàn diện, hãy rút gọn đa thức về dạng thông thường tương ứng và tính phân biệt. Trong ví dụ trên, không cần thiết phải giải phương trình bậc hai, vì đây hoàn toàn không phải là bản chất của vấn đề. Trong trường hợp này, D = 16 - 20 = -4, có nghĩa là thực sự không có nghiệm nào.
Định lý Vieta
Sẽ rất thuận tiện khi giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các công thức trên và phân biệt đối xử khi căn bậc hai được lấy từ giá trị của giá trị sau. Nhưng điều này không phải lúc nào cũng xảy ra. Tuy nhiên, có nhiều cách để lấy giá trị của biến trong trường hợp này. Ví dụ: giải phương trình bậc hai sử dụng định lý Vieta. Cô được đặt theo tên của người sống ở Pháp vào thế kỷ 16 và có một sự nghiệp rực rỡ nhờ tài năng toán học và các mối quan hệ tại triều đình. Chân dung của ông có thể được nhìn thấy trong bài viết.
Mô hình mà người Pháp nổi tiếng chú ý như sau. Ông đã chứng minh rằng các nghiệm của phương trình cộng lại bằng số -p=b/a, và tích của chúng tương ứng với q=c/a.
Bây giờ hãy xem xét các nhiệm vụ cụ thể.
3x2 + 21x - 54 = 0
Để đơn giản, hãy biến đổi biểu thức:
x 2 + 7x - 18 = 0
Hãy sử dụng định lý Vieta, điều này sẽ cho chúng ta kết quả sau: tổng của các nghiệm là -7 và tích của chúng là -18. Từ đây chúng ta hiểu rằng nghiệm của phương trình là các số -9 và 2. Sau khi kiểm tra, chúng ta sẽ đảm bảo rằng các giá trị biến này thực sự phù hợp với biểu thức.
Đồ thị và phương trình parabol
Các khái niệm về hàm bậc hai và phương trình bậc hai có liên quan chặt chẽ với nhau. Ví dụ về điều này đã được đưa ra trước đó. Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số câu đố toán học chi tiết hơn một chút. Bất kỳ phương trình nào thuộc loại được mô tả đều có thể được biểu diễn trực quan. Mối quan hệ như vậy, được vẽ dưới dạng đồ thị, được gọi là parabol. Các loại khác nhau của nó được trình bày trong hình dưới đây.
Bất kỳ parabol nào cũng có một đỉnh, nghĩa là một điểm mà từ đó các nhánh của nó xuất hiện. Nếu a>0 thì chúng tăng cao đến vô cùng và khi a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.
Biểu diễn trực quan của các hàm giúp giải bất kỳ phương trình nào, kể cả phương trình bậc hai. Phương pháp này được gọi là đồ họa. Và giá trị của biến x là tọa độ abscissa tại các điểm mà đường đồ thị giao với 0x. Tọa độ của đỉnh có thể được tìm thấy bằng công thức vừa cho x 0 = -b/2a. Và bằng cách thay thế giá trị kết quả vào phương trình ban đầu của hàm, bạn có thể tìm ra y 0, tức là tọa độ thứ hai của đỉnh parabol, thuộc trục tọa độ.
Giao điểm các nhánh của parabol với trục hoành
Có rất nhiều ví dụ về cách giải phương trình bậc hai, nhưng cũng có những dạng chung. Hãy nhìn vào chúng. Rõ ràng là giao điểm của đồ thị với trục 0x cho a>0 chỉ có thể xảy ra nếu 0 nhận giá trị âm. Và đối với một<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Ngược lại D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.
Từ đồ thị parabol bạn cũng có thể xác định được nghiệm. Điều ngược lại cũng đúng. Nghĩa là, nếu không dễ dàng có được biểu diễn trực quan của hàm bậc hai, bạn có thể đánh đồng vế phải của biểu thức bằng 0 và giải phương trình thu được. Và biết được các điểm giao nhau với trục 0x thì việc xây dựng đồ thị sẽ dễ dàng hơn.
Từ lịch sử
Sử dụng các phương trình chứa một biến bình phương, ngày xưa người ta không chỉ thực hiện các phép tính toán học và xác định diện tích của các hình hình học. Người xưa cần những phép tính như vậy cho những khám phá vĩ đại trong lĩnh vực vật lý và thiên văn học, cũng như để đưa ra những dự báo chiêm tinh.
Như các nhà khoa học hiện đại đề xuất, cư dân Babylon là một trong những người đầu tiên giải được phương trình bậc hai. Điều này đã xảy ra bốn thế kỷ trước thời đại của chúng ta. Tất nhiên, những tính toán của họ hoàn toàn khác với những tính toán hiện được chấp nhận và hóa ra còn thô sơ hơn nhiều. Ví dụ, các nhà toán học Lưỡng Hà không biết gì về sự tồn tại của số âm. Họ cũng không quen với những điều tinh tế khác mà bất kỳ học sinh hiện đại nào cũng biết.
Có lẽ còn sớm hơn cả các nhà khoa học ở Babylon, nhà hiền triết đến từ Ấn Độ Baudhayama đã bắt đầu giải phương trình bậc hai. Điều này xảy ra khoảng tám thế kỷ trước thời đại Chúa Kitô. Đúng là các phương trình bậc hai, các phương pháp giải mà ông đưa ra, là đơn giản nhất. Ngoài ông, các nhà toán học Trung Quốc ngày xưa cũng quan tâm đến những câu hỏi tương tự. Ở châu Âu, phương trình bậc hai chỉ bắt đầu được giải vào đầu thế kỷ 13, nhưng sau đó chúng đã được sử dụng trong các công trình của mình bởi các nhà khoa học vĩ đại như Newton, Descartes và nhiều người khác.
Chúng ta tiếp tục nghiên cứu chủ đề “ giải phương trình" Chúng ta đã làm quen với các phương trình tuyến tính và đang chuyển sang làm quen với phương trình bậc hai.
Đầu tiên, chúng ta sẽ xem phương trình bậc hai là gì, nó được viết ở dạng tổng quát như thế nào và đưa ra các định nghĩa liên quan. Sau đó, chúng ta sẽ sử dụng các ví dụ để kiểm tra chi tiết cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ. Tiếp theo, chúng ta sẽ chuyển sang giải các phương trình hoàn chỉnh, tìm công thức nghiệm, làm quen với phân biệt của phương trình bậc hai và xem xét nghiệm của các ví dụ điển hình. Cuối cùng, hãy theo dõi mối liên hệ giữa nghiệm và hệ số.
Điều hướng trang.
Phương trình bậc hai là gì? Loại của họ
Đầu tiên bạn cần hiểu rõ phương trình bậc hai là gì. Do đó, sẽ hợp lý khi bắt đầu cuộc trò chuyện về phương trình bậc hai với định nghĩa của phương trình bậc hai, cũng như các định nghĩa liên quan. Sau này, bạn có thể xem xét các loại phương trình bậc hai chính: rút gọn và không rút gọn, cũng như các phương trình đầy đủ và không đầy đủ.
Định nghĩa và ví dụ về phương trình bậc hai
Sự định nghĩa.
phương trình bậc hai là một phương trình có dạng a x 2 +b x+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và a khác 0.
Hãy nói ngay rằng phương trình bậc hai thường được gọi là phương trình bậc hai. Điều này là do phương trình bậc hai là phương trình đại số mức độ thứ hai.
Định nghĩa đã nêu cho phép chúng ta đưa ra ví dụ về phương trình bậc hai. Vậy 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0, v.v. Đây là những phương trình bậc hai.
Sự định nghĩa.
số a, b và c được gọi là các hệ số của phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0, hệ số a gọi là số hạng thứ nhất, cao nhất, hoặc hệ số của x 2, b là hệ số thứ hai, hoặc hệ số của x, và c là số hạng tự do .
Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai có dạng 5 x 2 −2 x −3=0, ở đây hệ số cao nhất là 5, hệ số thứ hai bằng −2 và số hạng tự do bằng −3. Xin lưu ý rằng khi các hệ số b và/hoặc c âm, như trong ví dụ vừa đưa ra, dạng rút gọn của phương trình bậc hai là 5 x 2 −2 x−3=0 , thay vì 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .
Điều đáng chú ý là khi các hệ số a và/hoặc b bằng 1 hoặc −1 thì chúng thường không xuất hiện rõ ràng trong phương trình bậc hai, đó là do đặc thù của cách viết như vậy. Ví dụ, trong phương trình bậc hai y 2 −y+3=0 hệ số cao nhất là một và hệ số của y bằng −1.
Phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn
Tùy thuộc vào giá trị của hệ số dẫn đầu, người ta phân biệt phương trình bậc hai rút gọn và không rút gọn. Hãy đưa ra các định nghĩa tương ứng.
Sự định nghĩa.
Phương trình bậc hai có hệ số lớn nhất bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ngược lại phương trình bậc hai là nguyên vẹn.
Theo định nghĩa này, các phương trình bậc hai x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0, v.v. – đã cho, trong mỗi hệ số đầu tiên bằng một. A 5 x 2 −x−1=0, v.v. - phương trình bậc hai không rút gọn, hệ số cao nhất khác 1.
Từ bất kỳ phương trình bậc hai không rút gọn nào, bằng cách chia cả hai vế cho hệ số dẫn đầu, bạn có thể đi đến phương trình rút gọn. Hành động này là một phép biến đổi tương đương, nghĩa là phương trình bậc hai rút gọn thu được theo cách này có cùng nghiệm với phương trình bậc hai không rút gọn ban đầu, hoặc giống như nó, không có nghiệm.
Chúng ta hãy xem một ví dụ về cách thực hiện quá trình chuyển đổi từ phương trình bậc hai không rút gọn sang phương trình rút gọn.
Ví dụ.
Từ phương trình 3 x 2 +12 x−7=0, đi đến phương trình bậc hai rút gọn tương ứng.
Giải pháp.
Ta chỉ cần chia cả hai vế của phương trình ban đầu cho hệ số đầu 3 khác 0 là ta có thể thực hiện được thao tác này. Chúng ta có (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, bằng nhau, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, và sau đó (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, từ đó . Đây là cách chúng ta thu được phương trình bậc hai rút gọn, tương đương với phương trình ban đầu.
Trả lời:
Phương trình bậc hai đầy đủ và không đầy đủ
Định nghĩa của phương trình bậc hai chứa điều kiện a≠0. Điều kiện này là cần thiết để phương trình a x 2 + b x + c = 0 là phương trình bậc hai, vì khi a = 0 nó thực sự trở thành phương trình tuyến tính có dạng b x + c = 0.
Đối với các hệ số b và c, chúng có thể bằng 0, cả riêng lẻ và cùng nhau. Trong những trường hợp này, phương trình bậc hai được gọi là không đầy đủ.
Sự định nghĩa.
Phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0 được gọi là chưa hoàn thiện, nếu ít nhất một trong các hệ số b, c bằng 0.
Đến lượt nó
Sự định nghĩa.
Phương trình bậc hai hoàn chỉnh là một phương trình trong đó tất cả các hệ số đều khác 0.
Những cái tên như vậy không được đưa ra một cách tình cờ. Điều này sẽ trở nên rõ ràng từ các cuộc thảo luận sau đây.
Nếu hệ số b bằng 0 thì phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +0·x+c=0, và nó tương đương với phương trình a·x 2 +c=0. Nếu c=0, tức là phương trình bậc hai có dạng a·x 2 +b·x+0=0, thì nó có thể được viết lại thành a·x 2 +b·x=0. Và với b=0 và c=0 chúng ta thu được phương trình bậc hai a·x 2 =0. Các phương trình thu được khác với phương trình bậc hai hoàn chỉnh ở chỗ vế trái của chúng không chứa số hạng biến x hoặc số hạng tự do hoặc cả hai. Do đó tên của chúng - phương trình bậc hai không đầy đủ.
Vì vậy các phương trình x 2 +x+1=0 và −2 x 2 −5 x+0.2=0 là ví dụ về phương trình bậc hai hoàn chỉnh và x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ.
Giải phương trình bậc hai không đầy đủ
Từ thông tin ở đoạn trước, có thể suy ra rằng có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:
- a·x 2 =0 thì các hệ số b=0 và c=0 tương ứng với nó;
- a x 2 +c=0 khi b=0 ;
- và a·x 2 +b·x=0 khi c=0.
Chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai không đầy đủ của từng loại này.
a x 2 = 0
Hãy bắt đầu bằng việc giải các phương trình bậc hai không đầy đủ trong đó các hệ số b và c bằng 0, nghĩa là với các phương trình có dạng a x 2 = 0. Phương trình a·x 2 =0 tương đương với phương trình x 2 =0, thu được từ phương trình ban đầu bằng cách chia cả hai phần cho một số khác 0 a. Rõ ràng, nghiệm của phương trình x 2 =0 bằng 0, vì 0 2 =0. Phương trình này không có nghiệm nào khác, điều này được giải thích bởi thực tế là với mọi số p khác 0 thì bất đẳng thức p 2 >0 đúng, có nghĩa là với p≠0 đẳng thức p 2 = 0 không bao giờ đạt được.
Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 =0 có một nghiệm duy nhất x=0.
Để làm ví dụ, chúng tôi đưa ra nghiệm của phương trình bậc hai không đầy đủ −4 x 2 = 0. Nó tương đương với phương trình x 2 =0, nghiệm duy nhất của nó là x=0, do đó, phương trình ban đầu có một nghiệm duy nhất bằng 0.
Một giải pháp ngắn gọn trong trường hợp này có thể được viết như sau:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0 .
a x 2 +c=0
Bây giờ chúng ta hãy xem cách giải các phương trình bậc hai không hoàn chỉnh trong đó hệ số b bằng 0 và c≠0, tức là các phương trình có dạng a x 2 +c=0. Chúng ta biết rằng việc di chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của phương trình có dấu ngược lại, cũng như chia cả hai vế của phương trình cho một số khác 0, sẽ cho một phương trình tương đương. Do đó, chúng ta có thể thực hiện các phép biến đổi tương đương sau đây của phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0:
- di chuyển c sang bên phải để có phương trình a x 2 =−c,
- và chia cả hai vế cho a, ta được .
Phương trình thu được cho phép chúng ta rút ra kết luận về gốc của nó. Tùy thuộc vào giá trị của a và c, giá trị của biểu thức có thể âm (ví dụ: nếu a=1 và c=2 thì) hoặc dương, (ví dụ: nếu a=−2 và c=6 , thì), nó không bằng 0 , vì theo điều kiện c≠0. Chúng tôi sẽ phân tích riêng các trường hợp và.
Nếu , thì phương trình không có nghiệm. Tuyên bố này xuất phát từ thực tế là bình phương của bất kỳ số nào đều là số không âm. Từ đó suy ra rằng khi , thì với mọi số p đẳng thức không thể đúng.
Nếu , thì tình huống với nghiệm của phương trình sẽ khác. Trong trường hợp này, nếu chúng ta nhớ về , thì nghiệm của phương trình ngay lập tức trở nên rõ ràng; đó là số, vì . Thật dễ dàng để đoán rằng con số này thực sự cũng là nghiệm của phương trình, . Phương trình này không có nghiệm nào khác, có thể được chứng minh bằng phản chứng chẳng hạn. Hãy làm nó.
Chúng ta hãy ký hiệu nghiệm của phương trình vừa công bố là x 1 và −x 1 . Giả sử phương trình có thêm một nghiệm x 2, khác với các nghiệm x 1 và −x 1 đã chỉ ra. Người ta biết rằng việc thay thế các nghiệm của nó vào một phương trình thay vì x sẽ biến phương trình thành một đẳng thức số đúng. Với x 1 và −x 1 ta có , và với x 2 ta có . Các tính chất của các đẳng thức số cho phép chúng ta thực hiện phép trừ từng số hạng của các đẳng thức số chính xác, do đó phép trừ các phần tương ứng của các đẳng thức sẽ cho x 1 2 −x 2 2 =0. Các tính chất của phép toán với số cho phép chúng ta viết lại đẳng thức thu được là (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Chúng ta biết rằng tích của hai số bằng 0 khi và chỉ khi có ít nhất một trong số chúng bằng 0. Do đó, từ đẳng thức thu được, ta suy ra x 1 −x 2 =0 và/hoặc x 1 +x 2 =0, bằng nhau, x 2 =x 1 và/hoặc x 2 =−x 1. Vì vậy, chúng ta đi đến mâu thuẫn, vì lúc đầu chúng ta đã nói rằng nghiệm của phương trình x 2 khác với x 1 và −x 1. Điều này chứng tỏ rằng phương trình không có nghiệm nào khác ngoài và .
Hãy để chúng tôi tóm tắt thông tin trong đoạn này. Phương trình bậc hai không đầy đủ a x 2 +c=0 tương đương với phương trình
- không có gốc nếu ,
- có hai nghiệm và , nếu .
Hãy xem xét các ví dụ về giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng a·x 2 +c=0.
Hãy bắt đầu với phương trình bậc hai 9 x 2 +7=0. Sau khi di chuyển số hạng tự do sang vế phải của phương trình, nó sẽ có dạng 9 x 2 =−7. Chia cả hai vế của phương trình thu được cho 9, chúng ta có . Vì vế phải có số âm nên phương trình này không có nghiệm, do đó phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu 9 x 2 +7 = 0 không có nghiệm.
Hãy giải một phương trình bậc hai không đầy đủ khác −x 2 +9=0. Chúng ta di chuyển số 9 sang vế phải: −x 2 =−9. Bây giờ chúng ta chia cả hai vế cho −1, chúng ta được x 2 = 9. Ở bên phải có một số dương, từ đó chúng ta kết luận rằng hoặc . Sau đó, chúng ta viết ra câu trả lời cuối cùng: phương trình bậc hai không đầy đủ −x 2 +9=0 có hai nghiệm x=3 hoặc x=−3.
a x 2 +b x=0
Vẫn còn phải giải quyết loại phương trình bậc hai không đầy đủ cuối cùng cho c=0. Phương trình bậc hai không đầy đủ dạng a x 2 + b x = 0 cho phép bạn giải phương pháp nhân tử hóa. Rõ ràng, chúng ta có thể, nằm ở vế trái của phương trình, chỉ cần lấy hệ số chung x ra khỏi ngoặc là đủ. Điều này cho phép chúng ta chuyển từ phương trình bậc hai không đầy đủ ban đầu sang một phương trình tương đương có dạng x·(a·x+b)=0. Và phương trình này tương đương với một tập hợp gồm hai phương trình x=0 và a·x+b=0, phương trình sau là tuyến tính và có nghiệm x=−b/a.
Vì vậy, phương trình bậc hai không đầy đủ a·x 2 +b·x=0 có hai nghiệm x=0 và x=−b/a.
Để củng cố tài liệu, chúng tôi sẽ phân tích giải pháp cho một ví dụ cụ thể.
Ví dụ.
Giải phương trình.
Giải pháp.
Lấy x ra khỏi ngoặc sẽ có phương trình . Nó tương đương với hai phương trình x=0 và . Chúng ta giải phương trình tuyến tính thu được: , và bằng cách chia hỗn số cho một phân số thông thường, chúng ta tìm được . Do đó, nghiệm của phương trình ban đầu là x=0 và .
Sau khi đạt được những thực hành cần thiết, lời giải của các phương trình như vậy có thể được viết ngắn gọn:
Trả lời:
x=0 , .
Phân biệt, công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Để giải phương trình bậc hai, có một công thức gốc. Hãy viết nó ra công thức nghiệm của phương trình bậc hai: , Ở đâu D=b 2 −4 a c- cái gọi là biệt thức của phương trình bậc hai. Mục nhập về cơ bản có nghĩa là .
Sẽ rất hữu ích khi biết công thức nghiệm được rút ra như thế nào và nó được sử dụng như thế nào để tìm nghiệm của phương trình bậc hai. Hãy tìm hiểu điều này.
Dẫn xuất công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Chúng ta cần giải phương trình bậc hai a·x 2 +b·x+c=0. Hãy thực hiện một số phép biến đổi tương đương:
- Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình này cho một số khác 0 a, dẫn đến phương trình bậc hai sau đây.
- Hiện nay chọn một hình vuông hoàn chỉnhở phía bên trái của nó: . Sau này, phương trình sẽ có dạng .
- Ở giai đoạn này, có thể chuyển hai số hạng cuối sang vế phải với dấu ngược lại, ta có .
- Và chúng ta cũng hãy biến đổi biểu thức ở vế phải: .
Kết quả là chúng ta thu được một phương trình tương đương với phương trình bậc hai ban đầu a·x 2 +b·x+c=0.
Chúng tôi đã giải các phương trình có dạng tương tự trong các đoạn trước khi chúng tôi xem xét. Điều này cho phép chúng ta rút ra các kết luận sau đây về nghiệm của phương trình:
- nếu , thì phương trình không có nghiệm thực;
- nếu , thì phương trình có dạng , do đó, , từ đó có thể nhìn thấy nghiệm duy nhất của nó;
- nếu , thì hoặc , giống như hoặc , nghĩa là phương trình có hai nghiệm.
Do đó, sự hiện diện hay vắng mặt của nghiệm của phương trình, và do đó, phương trình bậc hai ban đầu, phụ thuộc vào dấu của biểu thức ở vế phải. Ngược lại, dấu của biểu thức này được xác định bởi dấu của tử số, vì mẫu số 4·a 2 luôn dương, nghĩa là bằng dấu của biểu thức b 2 −4·a·c. Biểu thức b 2 −4 a c này được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai và được chỉ định bằng chữ cái D. Từ đây, bản chất của phân biệt đã rõ ràng - dựa trên giá trị và dấu của nó, họ kết luận liệu phương trình bậc hai có nghiệm thực hay không, và nếu có thì số của chúng là bao nhiêu - một hoặc hai.
Hãy quay lại phương trình và viết lại nó bằng cách sử dụng ký hiệu phân biệt: . Và chúng tôi rút ra kết luận:
- nếu D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- nếu D=0 thì phương trình này có một nghiệm duy nhất;
- cuối cùng, nếu D>0, thì phương trình có hai nghiệm hoặc, có thể viết lại dưới dạng hoặc, và sau khi khai triển và đưa các phân số về mẫu số chung, chúng ta thu được.
Vì vậy, chúng ta đã rút ra các công thức cho nghiệm của phương trình bậc hai, chúng trông giống như , trong đó biệt thức D được tính bằng công thức D=b 2 −4·a·c.
Với sự giúp đỡ của họ, với phân biệt dương, bạn có thể tính cả hai nghiệm thực của phương trình bậc hai. Khi phân biệt bằng 0, cả hai công thức đều cho cùng một giá trị gốc, tương ứng với một nghiệm duy nhất của phương trình bậc hai. Và với phân biệt âm, khi chúng ta cố gắng sử dụng công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta phải đối mặt với việc trích căn bậc hai của một số âm, điều này đưa chúng ta vượt ra ngoài phạm vi chương trình giảng dạy ở trường. Với phân biệt âm, phương trình bậc hai không có nghiệm thực nhưng có một cặp liên hợp phức tạp các gốc, có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng cùng các công thức gốc mà chúng ta đã thu được.
Thuật toán giải phương trình bậc hai bằng công thức gốc
Trong thực tế, khi giải phương trình bậc hai, bạn có thể sử dụng ngay công thức gốc để tính giá trị của chúng. Nhưng điều này liên quan nhiều hơn đến việc tìm kiếm các gốc phức tạp.
Tuy nhiên, trong khóa học đại số ở trường, chúng ta thường không nói về độ phức tạp mà về nghiệm thực của phương trình bậc hai. Trong trường hợp này, trước khi sử dụng các công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trước tiên bạn phải tìm phân biệt, đảm bảo rằng nó không âm (nếu không, chúng ta có thể kết luận rằng phương trình không có nghiệm thực), và chỉ sau đó tính toán các giá trị của rễ.
Lập luận trên cho phép chúng ta viết thuật toán giải phương trình bậc hai. Để giải phương trình bậc hai a x 2 +b x+c=0, bạn cần:
- sử dụng công thức phân biệt D=b 2 −4·a·c, tính giá trị của nó;
- kết luận rằng phương trình bậc hai không có nghiệm thực nếu phân biệt âm;
- tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức nếu D=0;
- tìm hai nghiệm thực của phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm nếu phân biệt dương.
Ở đây chúng tôi chỉ lưu ý rằng nếu giá trị phân biệt bằng 0, bạn cũng có thể sử dụng công thức; nó sẽ cho giá trị tương tự như .
Bạn có thể chuyển sang các ví dụ về cách sử dụng thuật toán để giải phương trình bậc hai.
Ví dụ về giải phương trình bậc hai
Chúng ta hãy xem xét nghiệm của ba phương trình bậc hai với phân biệt dương, âm và bằng 0. Sau khi xử lý nghiệm của chúng, bằng cách tương tự, sẽ có thể giải bất kỳ phương trình bậc hai nào khác. Hãy bắt đầu nào.
Ví dụ.
Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2 +2·x−6=0.
Giải pháp.
Trong trường hợp này, chúng ta có các hệ số của phương trình bậc hai sau: a=1, b=2 và c=−6. Theo thuật toán, trước tiên bạn cần tính giá trị phân biệt; để làm điều này, chúng ta thay thế a, b và c được chỉ định vào công thức phân biệt, chúng ta có D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Vì 28>0, tức là phân biệt lớn hơn 0 nên phương trình bậc hai có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng cách sử dụng công thức gốc, chúng tôi nhận được , ở đây bạn có thể đơn giản hóa các biểu thức thu được bằng cách thực hiện di chuyển số nhân ra ngoài dấu gốc tiếp theo là giảm phân số:
Trả lời:
Hãy chuyển sang ví dụ điển hình tiếp theo.
Ví dụ.
Giải phương trình bậc hai −4 x 2 +28 x−49=0 .
Giải pháp.
Chúng tôi bắt đầu bằng cách tìm ra sự phân biệt đối xử: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Do đó, phương trình bậc hai này có một nghiệm duy nhất, mà chúng ta tìm thấy là , nghĩa là,
Trả lời:
x=3,5.
Vẫn còn phải xem xét việc giải phương trình bậc hai với phân biệt âm.
Ví dụ.
Giải phương trình 5·y 2 +6·y+2=0.
Giải pháp.
Dưới đây là các hệ số của phương trình bậc hai: a=5, b=6 và c=2. Thay các giá trị này vào công thức phân biệt, ta có D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Phân biệt là âm, do đó, phương trình bậc hai này không có nghiệm thực.
Nếu bạn cần chỉ ra các nghiệm phức, thì chúng ta áp dụng công thức nổi tiếng cho các nghiệm của phương trình bậc hai và thực hiện các phép toán với số phức:
Trả lời:
không có nghiệm thực, nghiệm phức là: .
Chúng ta hãy lưu ý một lần nữa rằng nếu phân biệt của phương trình bậc hai là âm, thì ở trường, họ thường viết ngay câu trả lời trong đó họ chỉ ra rằng không có nghiệm thực và không tìm thấy nghiệm phức.
Công thức gốc cho hệ số chẵn thứ hai
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai, trong đó D=b 2 −4·a·c cho phép bạn thu được công thức có dạng thu gọn hơn, cho phép bạn giải phương trình bậc hai với hệ số chẵn cho x (hoặc đơn giản với a hệ số có dạng 2·n chẳng hạn hoặc 14· ln5=2·7·ln5 ). Hãy đưa cô ấy ra ngoài.
Giả sử chúng ta cần giải một phương trình bậc hai có dạng a x 2 +2 n x+c=0. Hãy tìm gốc rễ của nó bằng công thức mà chúng ta biết. Để làm điều này, chúng tôi tính toán phân biệt D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), sau đó chúng ta sử dụng công thức gốc:
Chúng ta hãy ký hiệu biểu thức n 2 −a c là D 1 (đôi khi nó được ký hiệu là D "). Khi đó, công thức nghiệm của phương trình bậc hai đang xét với hệ số thứ hai 2 n sẽ có dạng 
, trong đó D 1 =n 2 −a·c.
Dễ dàng thấy rằng D=4·D 1, hay D 1 =D/4. Nói cách khác, D 1 là phần thứ tư của phân biệt đối xử. Rõ ràng là dấu của D 1 chính là dấu của D . Nghĩa là, dấu D 1 cũng là dấu hiệu cho thấy sự có mặt hay vắng mặt của nghiệm của phương trình bậc hai.
Vì vậy, để giải phương trình bậc hai với hệ số thứ hai 2·n, bạn cần
- Tính D 1 =n 2 −a·c ;
- Nếu D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Nếu D 1 =0 thì tính nghiệm duy nhất của phương trình bằng công thức;
- Nếu D 1 >0 thì tìm hai nghiệm thực bằng công thức.
Hãy xem xét việc giải ví dụ bằng cách sử dụng công thức gốc thu được trong đoạn này.
Ví dụ.
Giải phương trình bậc hai 5 x 2 −6 x −32=0 .
Giải pháp.
Hệ số thứ hai của phương trình này có thể được biểu diễn dưới dạng 2·(−3) . Nghĩa là, bạn có thể viết lại phương trình bậc hai ban đầu ở dạng 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, ở đây a=5, n=−3 và c=−32, rồi tính phần thứ tư của phân biệt đối xử: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Vì giá trị của nó là dương nên phương trình có hai nghiệm thực. Hãy tìm chúng bằng công thức gốc thích hợp:
Lưu ý rằng có thể sử dụng công thức thông thường cho nghiệm của phương trình bậc hai, nhưng trong trường hợp này sẽ phải thực hiện nhiều công việc tính toán hơn.
Trả lời:
Đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai
Đôi khi, trước khi bắt đầu tính nghiệm của phương trình bậc hai bằng cách sử dụng các công thức, sẽ không hại gì nếu bạn đặt câu hỏi: “Có thể đơn giản hóa dạng của phương trình này không?” Đồng ý rằng về mặt tính toán, việc giải phương trình bậc hai 11 x 2 −4 x−6=0 sẽ dễ dàng hơn 1100 x 2 −400 x−600=0.
Thông thường, việc đơn giản hóa dạng phương trình bậc hai đạt được bằng cách nhân hoặc chia cả hai vế cho một số nhất định. Ví dụ, trong đoạn trước, có thể đơn giản hóa phương trình 1100 x 2 −400 x −600=0 bằng cách chia cả hai vế cho 100.
Một phép biến đổi tương tự được thực hiện với các phương trình bậc hai, các hệ số của nó không phải là . Trong trường hợp này, cả hai vế của phương trình thường được chia cho các giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó. Ví dụ: hãy lấy phương trình bậc hai 12 x 2 −42 x+48=0. giá trị tuyệt đối của các hệ số của nó: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Chia cả hai vế của phương trình bậc hai ban đầu cho 6, chúng ta thu được phương trình bậc hai tương đương 2 x 2 −7 x+8=0.
Và nhân cả hai vế của phương trình bậc hai thường được thực hiện để loại bỏ các hệ số phân số. Trong trường hợp này, phép nhân được thực hiện bởi mẫu số của các hệ số của nó. Ví dụ: nếu cả hai vế của phương trình bậc hai được nhân với LCM(6, 3, 1)=6, thì nó sẽ có dạng đơn giản hơn x 2 +4·x−18=0.
Để kết luận về điểm này, chúng tôi lưu ý rằng họ hầu như luôn loại bỏ điểm trừ ở hệ số cao nhất của phương trình bậc hai bằng cách thay đổi dấu của tất cả các số hạng, tương ứng với việc nhân (hoặc chia) cả hai vế cho −1. Ví dụ, thông thường người ta chuyển từ phương trình bậc hai −2 x 2 −3 x+7=0 sang nghiệm 2 x 2 +3 x−7=0 .
Mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai biểu thị nghiệm của phương trình thông qua các hệ số của nó. Dựa vào công thức nghiệm, bạn có thể thu được các mối quan hệ khác giữa nghiệm và hệ số.
Các công thức nổi tiếng và có thể áp dụng nhất của định lý Vieta là có dạng và . Cụ thể, đối với phương trình bậc hai đã cho, tổng các nghiệm bằng hệ số thứ hai trái dấu và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Ví dụ, bằng cách nhìn vào dạng phương trình bậc hai 3 x 2 −7 x + 22 = 0, chúng ta có thể nói ngay rằng tổng các nghiệm của nó bằng 7/3 và tích của các nghiệm bằng 22 /3.
Sử dụng các công thức đã viết sẵn, bạn có thể thu được một số mối liên hệ khác giữa nghiệm và hệ số của phương trình bậc hai. Ví dụ: bạn có thể biểu thị tổng bình phương của các nghiệm của một phương trình bậc hai thông qua các hệ số của nó: .
Thư mục.
- Đại số học: sách giáo khoa cho lớp 8. giáo dục phổ thông tổ chức / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; sửa bởi S. A. Telyakovsky. - tái bản lần thứ 16. - M.: Giáo dục, 2008. - 271 tr. : ốm. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A. G.Đại số học. lớp 8. Trong 2 giờ Phần 1. Sách giáo khoa dành cho học sinh các cơ sở giáo dục phổ thông / A. G. Mordkovich. - Tái bản lần thứ 11, đã xóa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 tr.: ốm. ISBN 978-5-346-01155-2.
Với chương trình toán học này bạn có thể giải phương trình bậc hai.
Chương trình không chỉ đưa ra đáp án của bài toán mà còn hiển thị quá trình giải theo hai cách:
- sử dụng một sự phân biệt đối xử
- sử dụng định lý Vieta (nếu có thể).
Hơn nữa, câu trả lời được hiển thị chính xác chứ không phải gần đúng.
Ví dụ: đối với phương trình \(81x^2-16x-1=0\), câu trả lời được hiển thị ở dạng sau:
Chương trình này có thể hữu ích cho học sinh trung học ở các trường phổ thông khi chuẩn bị cho các bài kiểm tra và kỳ thi, khi kiểm tra kiến thức trước kỳ thi Thống nhất Nhà nước và giúp phụ huynh kiểm soát cách giải nhiều bài toán và đại số. Hoặc có thể việc thuê gia sư hoặc mua sách giáo khoa mới là quá đắt? Hay bạn chỉ muốn hoàn thành bài tập toán hoặc đại số của mình càng nhanh càng tốt? Trong trường hợp này, bạn cũng có thể sử dụng các chương trình của chúng tôi với các giải pháp chi tiết.
Bằng cách này, bạn có thể tiến hành đào tạo và/hoặc đào tạo các em trai hoặc em gái của mình trong khi trình độ học vấn trong lĩnh vực giải quyết vấn đề tăng lên.
Nếu bạn không quen với các quy tắc nhập đa thức bậc hai, chúng tôi khuyên bạn nên tự làm quen với chúng.
Quy tắc nhập đa thức bậc hai
Bất kỳ chữ cái Latinh nào cũng có thể hoạt động như một biến.
Ví dụ: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), v.v.
Các số có thể được nhập dưới dạng số nguyên hoặc phân số.
Hơn nữa, các số phân số có thể được nhập không chỉ ở dạng thập phân mà còn ở dạng phân số thông thường.
Quy tắc nhập phân số thập phân.
Trong phân số thập phân, phần phân số có thể được phân tách khỏi phần nguyên bằng dấu chấm hoặc dấu phẩy.
Ví dụ: bạn có thể nhập phân số thập phân như thế này: 2,5x - 3,5x^2
Quy tắc nhập phân số thông thường.
Chỉ một số nguyên mới có thể đóng vai trò là tử số, mẫu số và phần nguyên của một phân số.
Mẫu số không thể âm.
Khi nhập một phân số, tử số được phân cách với mẫu số bằng dấu chia: /
Toàn bộ phần được phân tách khỏi phân số bằng dấu và: &
Đầu vào: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Kết quả: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Khi nhập một biểu thức bạn có thể sử dụng dấu ngoặc đơn. Trong trường hợp này, khi giải phương trình bậc hai, biểu thức được đưa vào trước tiên được đơn giản hóa.
Ví dụ: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Quyết định
Người ta phát hiện ra rằng một số tập lệnh cần thiết để giải quyết vấn đề này đã không được tải và chương trình có thể không hoạt động.
Bạn có thể đã bật AdBlock.
Trong trường hợp này, hãy tắt nó và làm mới trang.
Để giải pháp xuất hiện, bạn cần bật JavaScript.
Dưới đây là hướng dẫn về cách bật JavaScript trong trình duyệt của bạn.
Bởi vì Có rất nhiều người sẵn sàng giải quyết vấn đề, yêu cầu của bạn đã được xếp hàng đợi.
Trong vài giây, giải pháp sẽ xuất hiện bên dưới.
Vui lòng chờ giây...
nếu bạn nhận thấy một lỗi trong giải pháp, thì bạn có thể viết về điều này trong Biểu mẫu phản hồi.
Đừng quên cho biết nhiệm vụ nào bạn quyết định cái gì nhập vào các trường.
Trò chơi, câu đố, trình giả lập của chúng tôi:
Một chút lý thuyết.
Phương trình bậc hai và nghiệm của nó. Phương trình bậc hai không đầy đủ
Mỗi phương trình
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
giống như
\(ax^2+bx+c=0, \)
trong đó x là một biến, a, b và c là các số.
Trong phương trình đầu tiên a = -1, b = 6 và c = 1,4, trong phương trình thứ hai a = 8, b = -7 và c = 0, trong phương trình thứ ba a = 1, b = 0 và c = 4/9. Những phương trình như vậy được gọi là phương trình bậc hai.
Sự định nghĩa.
phương trình bậc haiđược gọi là phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0, trong đó x là một biến, a, b và c là một số số và \(a \neq 0 \).
Các số a, b và c là các hệ số của phương trình bậc hai. Số a gọi là hệ số thứ nhất, số b là hệ số thứ hai, số c là số hạng tự do.
Trong mỗi phương trình có dạng ax 2 +bx+c=0, trong đó \(a\neq 0\), lũy thừa lớn nhất của biến x là một bình phương. Do đó có tên: phương trình bậc hai.
Lưu ý rằng phương trình bậc hai còn được gọi là phương trình bậc hai, vì vế trái của nó là đa thức bậc hai.
Phương trình bậc hai trong đó hệ số của x 2 bằng 1 được gọi là phương trình bậc hai đã cho. Ví dụ, các phương trình bậc hai đã cho là các phương trình
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Nếu trong phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 có ít nhất một trong các hệ số b hoặc c bằng 0 thì phương trình đó được gọi là phương trình bậc hai không đầy đủ. Như vậy, các phương trình -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 là các phương trình bậc hai không đầy đủ. Trong số thứ nhất b=0, trong thứ hai c=0, trong thứ ba b=0 và c=0.
Có ba loại phương trình bậc hai không đầy đủ:
1) ax 2 +c=0, trong đó \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, trong đó \(b \neq 0 \);
3) rìu 2 = 0.
Chúng ta hãy xem xét việc giải phương trình của từng loại này.
Để giải phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +c=0 với \(c \neq 0 \), hãy di chuyển số hạng tự do của nó sang vế phải và chia cả hai vế của phương trình cho a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Vì \(c \neq 0 \), nên \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Nếu \(-\frac(c)(a)>0\), thì phương trình có hai nghiệm.
Nếu \(-\frac(c)(a) Để giải một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +bx=0 với \(b \neq 0 \) nhân tích vế trái của nó và thu được phương trình
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (mảng)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.
Điều này có nghĩa là một phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 +bx=0 với \(b \neq 0 \) luôn có hai nghiệm.
Phương trình bậc hai không đầy đủ có dạng ax 2 = 0 tương đương với phương trình x 2 = 0 và do đó có một nghiệm duy nhất là 0.
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
Bây giờ chúng ta hãy xem xét cách giải các phương trình bậc hai trong đó cả hệ số của ẩn số và số hạng tự do đều khác 0.
Chúng ta hãy giải phương trình bậc hai ở dạng tổng quát và kết quả là chúng ta thu được công thức nghiệm. Công thức này sau đó có thể được sử dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào.
Hãy giải phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0
Chia cả hai vế cho a, ta thu được phương trình bậc hai rút gọn tương đương
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Hãy biến đổi phương trình này bằng cách chọn bình phương của nhị thức:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Biểu thức căn thức được gọi là biệt thức của phương trình bậc hai ax 2 +bx+c=0 (“phân biệt đối xử” trong tiếng Latin - phân biệt đối xử). Nó được ký hiệu bằng chữ D, tức là
\(D = b^2-4ac\)
Bây giờ, bằng cách sử dụng ký hiệu phân biệt, chúng ta viết lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), trong đó \(D= b^2-4ac \)
Hiển nhiên là:
1) Nếu D>0 thì phương trình bậc hai có hai nghiệm.
2) Nếu D=0 thì phương trình bậc hai có một nghiệm \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Nếu D Do đó, tùy thuộc vào giá trị của phân biệt, một phương trình bậc hai có thể có hai nghiệm (đối với D > 0), một nghiệm (đối với D = 0) hoặc không có nghiệm (đối với D Khi giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng này công thức, nên làm theo cách sau:
1) tính toán phân biệt và so sánh nó với 0;
2) nếu biệt thức dương hoặc bằng 0 thì sử dụng công thức nghiệm; nếu biệt thức âm thì viết ra rằng không có nghiệm nào.
Định lý Vieta
Phương trình bậc hai đã cho ax 2 -7x+10=0 có các nghiệm 2 và 5. Tổng của các nghiệm là 7, và tích là 10. Ta thấy tổng của các nghiệm bằng hệ số thứ hai lấy với số ngược lại dấu, và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do. Bất kỳ phương trình bậc hai rút gọn nào có nghiệm đều có tính chất này.
Tổng các nghiệm của phương trình bậc hai đã cho bằng hệ số thứ hai lấy dấu ngược lại và tích của các nghiệm bằng số hạng tự do.
Những thứ kia. Định lý Vieta phát biểu rằng các nghiệm x 1 và x 2 của phương trình bậc hai rút gọn x 2 +px+q=0 có tính chất:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)