การศึกษาของรัฐบาลกลาง
สถาบันการศึกษาวิชาชีพชั้นสูง
"มหาวิทยาลัยทางการเงินภายใต้รัฐบาลสหพันธรัฐรัสเซีย"
ภาควิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์
V.Yu.Popov V.I.Troitsky
วิธีการแก้ไขปัญหาการทดสอบทางฟิสิกส์
มอสโก 2554
การแนะนำ
ใน เมื่อเร็วๆ นี้เพื่อทดสอบความรู้ปัจจุบันของนักเรียน ทำการทดสอบระดับกลาง ตลอดจนเมื่อสอบผ่านและประเมินความรู้ที่เหลืออยู่ของนักเรียน มีการใช้มากขึ้น รูปทรงต่างๆการทดสอบ คู่มือนี้จัดทำขึ้นเพื่อเตรียมความพร้อมที่มีประสิทธิภาพสำหรับนักศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาวิชา “คณิตศาสตร์และสารสนเทศประยุกต์” และ “สารสนเทศประยุกต์” เพื่อการทดสอบในสาขาวิชา “ฟิสิกส์” อย่างมีประสิทธิผล
เมทริกซ์การหมุนใช้เพื่อหมุนเวกเตอร์ไปในทิศทางใหม่ เมื่อแปลงเวกเตอร์ในพื้นที่ 3 มิติ มักพบเมทริกซ์การหมุน เมทริกซ์การหมุนถูกใช้ในสองสัมผัส: สามารถใช้เพื่อหมุนเวกเตอร์ไปยังตำแหน่งใหม่ หรือสามารถใช้เพื่อหมุนฐานพิกัดไปที่ตำแหน่งใหม่ ในกรณีนี้ เวกเตอร์ยังคงอยู่เพียงลำพัง แต่ส่วนประกอบในพื้นฐานใหม่จะแตกต่างจากส่วนประกอบในพื้นฐานดั้งเดิม การหมุนแต่ละครั้งจะถูกระบุโดยมุมการหมุน มุมการหมุนถูกกำหนดให้เป็นบวกสำหรับการหมุนทวนเข็มนาฬิกา เมื่อผู้สังเกตมองไปตามแกนการหมุนในทิศทางของจุดกำเนิด
1. กลศาสตร์
- จลนศาสตร์ของจุดและการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุเกร็ง
- พลศาสตร์ของจุดและการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็งเกร็ง
- พารามิเตอร์แบบไดนามิกของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง
- พลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน
- กฎหมายการอนุรักษ์ในกลศาสตร์
- องค์ประกอบของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ
การหมุนตามใจชอบอาจเป็นการผสมผสานระหว่างทั้งสามสิ่งนี้ ตัวเลขสามตัวถัดไปแสดงให้เห็นว่าการหมุนที่เป็นบวกมีลักษณะอย่างไรสำหรับแกนการหมุนแต่ละแกน สำหรับการหมุนใดๆ จะมีการหมุนผกผันที่เป็นไปตาม A - 1 A = 1 ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ผกผันการหมุนของแกน x ได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของมุม
ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติพื้นฐาน: ค่าผกผันของเมทริกซ์การหมุนเท่ากับทรานสโพสของต้นฉบับ ในระหว่างการหมุน ความยาวของเวกเตอร์จะยังคงอยู่ เช่นเดียวกับมุมระหว่างเวกเตอร์ เราคิดเรื่องการเลี้ยวแตกต่างออกไปได้ เวกเตอร์พื้นฐานใหม่สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เก่าและรวมการขนย้ายด้วย
ปัญหาที่ 1. จุดวัสดุ M เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็ว รูปที่ 1 แสดงกราฟของการฉายภาพความเร็วเทียบกับเวลา (– เวกเตอร์หน่วยของทิศทางบวก – การฉายภาพไปในทิศทางนี้) นอกจากนี้ เวกเตอร์มีทิศทางใด?
อัตราเร่งเต็มที่ในรูปที่ 2 (1, 3, 4, 2)?
ทีนี้ เวกเตอร์ใดๆ ก็สามารถเขียนเป็นผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ฐานชุดใดก็ได้ แท่นทรงกลมหมุนรอบแกนที่ตั้งฉากกับมันซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางอย่างสม่ำเสมอ ความเร็วเชิงมุมω. ค้นหาการแสดงออกของความเร็วของรถที่มองเห็นได้จากชานชาลาและจากผู้สังเกตขณะจอดนิ่ง
อธิบายวิถีที่รถอธิบายสำหรับผู้สังเกตการณ์แต่ละคน จะกำหนดปริมาณจลนศาสตร์ ณ เวลาที่แสดงในรูป จะเกิดอะไรขึ้นหากแกนหมุนทันทีและสลิปขั้นต่ำผ่านศูนย์กลางของดิสก์ ในกรณีนี้ ให้คำนวณอนุพันธ์ของเวลาของการลดจลนศาสตร์ - ดังนั้นจึงมีส่วนตรงของพื้นผิวด้านข้างของกรวยสัมผัสกับรัศมีของจานเสมอ เมื่อกรวยถูกย้าย มันจะพลิกกลับโดยไม่เลื่อนบนดิสก์
ปัญหาที่ 1 แสดงให้เห็นว่าความเร็วของจุดวัสดุ M ลดลงเมื่อเวลาผ่านไป เรารู้ว่าเมื่อความเร็วลดลง เวกเตอร์ความเร่งในวงโคจรจะหันไปทางตรงข้ามกับความเร็ว (ซึ่งก็คือ ตรงข้ามกับเวกเตอร์ τ) และเวกเตอร์ความเร่งปกติจะหันไปทางศูนย์กลางของวิถี (จุดศูนย์กลางของวงกลม) เสมอ ดังนั้น ทิศทางความเร่งรวมคือ 4
ระบุตำแหน่งของแกนปัจจุบันของการเคลื่อนที่ต่างๆ ที่มีอยู่ในระบบนี้ บันทึก. 
- การหดตัวทางจลนศาสตร์ของการเคลื่อนไหวสัมพันธ์กัน
- แกนการหมุนและลักษณะของการเคลื่อนไหว
- ฟิลด์การเร่งความเร็ว
ปัญหาที่ 2 ถ้า และ เป็นองค์ประกอบในวงสัมผัสและปกติของการเร่งความเร็ว ดังนั้นการเคลื่อนที่ประเภทใด (การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอ การเคลื่อนที่แนวโค้งสม่ำเสมอ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงที่มีความเร่งสม่ำเสมอ การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ) มีความสัมพันธ์ที่ถูกต้องดังต่อไปนี้: a τ = 0,a τ = 0?
0 ใช้ได้เฉพาะกับการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเป็นเส้นตรงเท่านั้น
นอกจากนี้ กรวยจะเคลื่อนที่เพื่อให้จุดสัมผัสไม่มีการเลื่อนหลุด มีความสมเหตุสมผลที่จะได้รับคู่จลนศาสตร์ที่อธิบายไว้ กรณีทั่วไปการเคลื่อนไหวทันทีทำให้ของแข็ง 2 สัมพันธ์กับแถบได้ องศาอิสระของระบบมีกี่องศา? - ดิสก์หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ω ซึ่งเป็นแกนการหมุนซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับแกน พัดลมทรงแบนถูกติดตั้งบนผนังตั้งฉากทั้งสองโดยมีการวางแนวคงที่ ทั้งสองมีความสูงเท่ากันและมีศูนย์กลางอยู่ที่ระยะห่างจากมุมเท่ากัน
ปัญหาที่ 3 ร่างกายแข็งเกร็งจากสภาวะที่เหลือเริ่มหมุนรอบแกน Z ด้วย ความเร่งเชิงมุมการฉายภาพจะแปรผันตามเวลาดังแสดงในกราฟ
ความเร็วเชิงมุมของการหมุนของวัตถุจะถึงค่าสูงสุด ณ เวลาใด
ในปัญหานี้จากการขึ้นอยู่กับความเร่งเชิงมุมε Z กับความเร็วคุณต้องค้นหาช่วงเวลา
เมื่อความเร็วเชิงมุมถึงค่าสูงสุด เป็นที่รู้กันว่าε Z = | d ω มาจากไหน? | ||
ε Z dt иω (t) =∫ 0 เสื้อ ε Ζ (t) dt นั่นคือค่าของความเร็วเชิงมุม ω (t) ถูกกำหนดโดยพื้นที่ | |||
ใต้เส้นโค้ง ε Ζ (t) โดยคำนึงถึงว่าพื้นที่เหนือแกน t เป็นบวก ใต้แกน - | |||
เชิงลบ. จากนี้จะเห็นได้ว่าพื้นที่รวมที่ใหญ่ที่สุด (โดยคำนึงถึงเครื่องหมาย) สอดคล้องกับ t = 10c
ปัญหาที่ 4 กฎข้อที่สองของนิวตันใช้ในสถานการณ์ใดบ้าง ความแข็งแกร่งอยู่ที่ไหน, ออกฤทธิ์ต่อร่างกายจากร่างอื่น?
a) เหมาะสำหรับการอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดเล็ก b) ใช้ได้เฉพาะที่ความเร็วของร่างกายต่ำกว่าความเร็วแสงในสุญญากาศเท่านั้น c) ใช้ได้ที่ความเร็วของร่างกายทั้งน้อยและเทียบได้กับความเร็วแสงในสุญญากาศ ในระบบอ้างอิงใดๆ
กฎข้อที่สองของนิวตันในรูปแบบ m a = ∑ F: ใช้ได้เฉพาะที่ความเร็วของร่างกายน้อยกว่าความเร็วแสงในสุญญากาศ ด้วยความเร็วที่สมกับความเร็วแสงก็เป็นจริง
สมการสัมพัทธภาพของไดนามิก d dt p = ∑ F โดยที่ p คือโมเมนตัมสัมพัทธภาพ คำอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุขนาดเล็กนั้นดำเนินการในหน่วยควอนตัม
กลศาสตร์. กฎของนิวตันใช้ได้เฉพาะในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเท่านั้น
ปัญหาที่ 5 จุด M เคลื่อนที่เป็นเกลียวด้วยความเร็วคงที่ในทิศทางที่ลูกศรระบุ ในเวลาเดียวกันขนาดของความเร่งทั้งหมดมีพฤติกรรมอย่างไร (ไม่เปลี่ยนแปลงเพิ่มลดลง)
จากรูปที่รัศมีความโค้งของวิถีจุด M ลดลง และถึงแม้ว่า
ความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นความเร่งในวงสัมผัส (a T =d dt ν) จึงเป็นศูนย์
ระบบประกอบด้วยลูกบอล 3 ลูก โดยมีมวล m1 = 1 กก., m2 = 2 กก., m3 = 3 กก. โดยเคลื่อนที่ดังรูป
ถ้าความเร็วของลูกบอลคือ v1 =3m/s, v2 =2m/s, v3 =1m/s แล้วค่าความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบนี้มีหน่วยเป็น m/s เป็นเท่าใด
แรงกระตุ้นทั้งหมด ระบบเครื่องกล(ในกรณีนี้คือระบบสามลูก) เท่ากับผลรวม
แรงกระตุ้นขององค์ประกอบระบบเช่น | (∑ ม. ผม) V ค= ∑ มล.ล | ν l หรือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวลของระบบ |
|||||||||||||||||||||
เท่ากับ V c = | ∑ มจ υ เจ | ||||||||||||||||||||||
∑มจ | |||||||||||||||||||||||
ตามการคาดการณ์ | บนแกน x และ y เท่ากับ υ | ∑ ม จู xj | |||||||||||||||||||||
∑มจ | |||||||||||||||||||||||
ม. 10 + ม. 22 2+ ม. 30 | - เอซ | ∑ มจ υ เจ | 3ม | ม 2 0 | ม.3 (1 ม | 1 3 − 3 1 | |||||||||||||||||
∑มจ | |||||||||||||||||||||||
นั่นคือ υ c = υ cx = 2 ม | |||||||||||||||||||||||
โมเมนตัมของร่างกายเปลี่ยนไปภายใต้อิทธิพลของผลกระทบในระยะสั้นและเท่ากันดังแสดงในรูป
แรงที่กระทำต่อขณะกระแทกมีทิศทางใด
เรารู้ว่ากฎข้อที่สองของนิวตันสามารถแสดงเป็นได้ | ∆ป = | ∆t, |
||||||||
∆ p = p 2 − p 1 จะเห็นได้ว่าทิศทางของแรงนั้น | ||||||||||
F cp เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางการเปลี่ยนแปลง |
||||||||||
โมเมนตัม ∆ p ซึ่งหาได้จากกฎการบวกเวกเตอร์: p 2 | P 1 + ∆ p นั่นคือใน |
|||||||||
ขณะที่เกิดการกระแทก แรงจะกระทำในทิศทางที่ 3 | ||||||||||
ปัญหาที่ 8 ลูกเทนนิสบินด้วยโมเมนตัมในแนวนอนเมื่อนักเทนนิสตีลูกบอลอย่างรุนแรงเป็นเวลา 0.1 วินาที โมเมนตัมที่เปลี่ยนแปลงของลูกบอลเท่ากัน (สเกลระบุในรูป) แรงกระแทกเฉลี่ยคือเท่าไร?
คล้ายกับปัญหาก่อนหน้านี้ F cp ∆ t = p 2 − p 1 เมื่อพบขนาดและทิศทางของ ∆ p = p 2 − p 1
และหารด้วย ∆ t | ||||||||||||||
รูปภาพแสดงวิธีการค้นหา | ∆น(น | + ∆พี =พี | - ในระดับเซลล์ | ∆ หน้า 2= 3 2kl + 4 2kl = 5 2kl |
||||||||||
∆ p= 5 cl= 5 1 กก.ม. s=5กก./วินาที | ||||||||||||||
เอฟ ซีพี= | ∆หน้า | 5 กก | 50 ชม. | |||||||||||
∆ที | ||||||||||||||
0.1 วินาที | ||||||||||||||
ปัญหาที่ 9. จุดวัสดุ M เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็ว ในรูป รูปที่ 1 แสดงกราฟของการพึ่งพาเวลา (– เวกเตอร์หน่วยของทิศทางบวก,–
ฉายไปในทิศทางนี้) ในรูปที่ 2 ระบุทิศทางของแรงที่กระทำต่อ T.M ณ เวลา t 1
t 1 สอดคล้องกับส่วนที่ความเร็วเพิ่มขึ้น โดยคำนึงถึงว่าความเร่งปกติมุ่งสู่ศูนย์กลางของวงกลม ความเร่งรวม a (a = a T + a n)
ในส่วนที่ t 2 ความเร็วไม่เปลี่ยนแปลง a T = 0 และความเร่งรวมในวงสัมผัสที่มีความเร็วเพิ่มขึ้นคือ a = a H และกำหนดทิศทางเป็น 2 ในส่วนที่ t 3 เมื่อความเร็วลดลง ผลรวม
ความเร่งถูกกำหนดทิศทางเป็น 4 (ความเร่งในวงโคจรตรงข้ามกับความเร็ว) ทิศทางของแรงดังที่เราทราบนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของความเร่ง a
ปัญหาที่ 10 ในสนามศักย์ แรงจะเป็นสัดส่วนกับการไล่ระดับพลังงานศักย์
ถ้ากราฟของพลังงานศักย์เทียบกับพิกัด x มีรูปแบบดังแสดงในรูป
การฉายแรงในทิศทาง x, y, z
เท่ากับ F = −
∂Wp
∂Wp
- ฉ = -
∂Wp
เมื่อพิจารณาถึง
∂เอ็กซ์
∂y
∂ซ
ว่าการพึ่งพา W
(x) ดูเหมือน
= α x 2 แล้ว
ฉ = − (α x2 ) "
= − 2 dx จากนั้นจึงขึ้นต่อกัน
เส้นโครงของแรงบนแกน X มีรูปแบบ 2
ปัญหาที่ 11. ร่างที่มีน้ำหนัก 2 กิโลกรัมถูกยกขึ้นเหนือพื้นโลก พลังงานศักย์ของมันคือ 400 J หากพลังงานศักย์ของร่างกายเป็นศูนย์บนพื้นผิวโลกและสามารถละเลยแรงต้านทานอากาศได้ความเร็วที่มันจะตกลงสู่พื้นโลกควรเป็นเท่าใด?
(40 ม./วินาที, 20 ม./วินาที, 10 ม./, 14 ม./วินาที)
วัตถุที่มีมวล m=2m ถูกยกขึ้นเหนือพื้นดิน พลังงานศักย์ของมันคือ 400J สมมติว่าพลังงานศักย์บนพื้นผิวโลก = 0 และไม่มีแรงต้านอากาศ
เราพบพลังงานจลน์ของร่างกายที่พื้นผิวโลกโดยใช้สูตร | ม.ν2 | Mgh= 400 เจ |
|||||||
วี 2 = 400 ม. 2 | และวี = 20 | ||||||||
ปัญหาที่ 12 เด็กซนตัวเล็กเริ่มเคลื่อนไหวโดยไม่มี ความเร็วเริ่มต้นได้อย่างราบรื่น สไลด์น้ำแข็งจากจุด A ความต้านทานอากาศมีน้อยมาก การพึ่งพาศักยภาพ
พลังงานเด็กซนเทียบกับพิกัดจะแสดงบนกราฟ
อัตราส่วนของพลังงานจลน์ของเด็กซนที่จุด C และ B เป็นเท่าใด
น้อยกว่าจุด B 2 เท่า มากกว่าจุด B 1.75 เท่า; น้อยกว่าจุด B 1.75 เท่า มากกว่าจุด B 2 เท่า
หากไม่คำนึงถึงความต้านทานของการเคลื่อนไหวของเครื่องซักผ้าพลังงานกลทั้งหมดของเครื่องซักผ้าจะไม่เปลี่ยนแปลงนั่นคือ ณ จุดใดก็ตามที่มีพิกัด X จะเท่ากับพลังงานที่จุด A
ถ้าที่จุด A มีการเคลื่อนที่โดยไม่มีความเร็วเริ่มต้น (พลังงานจลน์เป็น 0) พลังงานทั้งหมดจะเท่ากับพลังงานศักย์ E = 100 J
ถ้าที่จุด B พลังงานศักย์คือ 70 J ดังนั้นพลังงานจลน์ = 30 J และที่จุด C พลังงานศักย์คือ 40 J และพลังงานจลน์คือ 60 J จากนั้นพลังงานจลน์ที่จุด C จะมากกว่าที่ 2 เท่า จุดซี
ปัญหาที่ 13. หมุนห่วงที่มีมวล m=0.3 กก. และรัศมี R=0.5 ม. ทำให้มีพลังงานการหมุน 1200 J และหย่อนลงไปที่พื้นเพื่อให้แกนหมุนขนานกับพื้นเรียบ ถ้าห่วงเริ่มเคลื่อนที่โดยไม่ลื่นไถล โดยมีพลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่เชิงแปลเท่ากับ 200 J แรงเสียดทานจะทำงานได้มากน้อยเพียงใด
ตัวเลือกที่ 5
5.1. ในภาพ ลูกศรแสดงทิศทางความเร่งเชิงมุมของจานหมุน และยังระบุด้วยว่าความเร็วเชิงมุมของจานเปลี่ยนแปลงแบบโมดูโลเมื่อเวลาผ่านไปอย่างไร ดิสก์ประเภทใดที่กำลังหมุน? ตามเข็มนาฬิกา(ถ้าคุณดูดิสก์จากด้านล่าง)?
5.2. จานหมุนด้วยความเร่งเชิงมุมคงที่ ε = 5 ราด/เอส- ดิสก์จะหมุนกี่รอบเมื่อความเร็วการหมุนเปลี่ยนจาก n 1 = 240 นาที-1 ถึง n2 = 90 นาที-1 ? ค้นหาเวลาที่สิ่งนี้จะเกิดขึ้น
5.3. 
วัตถุแข็งเริ่มหมุนรอบแกน Z ด้วยความเร็วเชิงมุม ซึ่งการฉายภาพจะเปลี่ยนไปตามเวลา ดังที่แสดงในกราฟ ในมุมไหน (ใน ยินดี) ร่างกายจะหมุนสัมพันธ์กับตำแหน่งเริ่มต้นหลังจาก 10 กับ ?
5.4. มีการพิจารณาสามร่าง: ดิสก์, ท่อผนังบางและลูกบอลแข็ง และมวลชน มและรัศมีของฐานของจานและท่อจะเท่ากัน จริงสำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของวัตถุที่พิจารณาเทียบกับแกนที่ระบุคือความสัมพันธ์ ...
1) เจ 3< J 2 < J 1 2) J 3 < J 1 < J 2 3) J 1 < J 2 < J 3 4) J 3 < J 1 = J 2
5.5. ดิสก์หมุนรอบแกนแนวตั้งที่คงที่ รูปภาพแสดงทิศทางการหมุนของดิสก์ด้วยลูกศรและความเร็วเชิงมุมของการหมุนเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเวลาผ่านไป ระบุจำนวนของจานที่โมเมนตัมเชิงมุมพุ่งไปตามแกนของการหมุนลง
5.6. ด้ายพันรอบขอบของรอกที่ติดตั้งบนแกนทั่วไปด้วยมู่เล่จนถึงจุดสิ้นสุดที่มีน้ำหนักบรรทุก ม = 4,0 กิโลกรัม- ต้องลดโหลดลงเท่าใดจึงจะล้อและลูกรอกได้รับความเร็วที่สอดคล้องกับความถี่? n = 60 รอบต่อนาที- โมเมนต์ความเฉื่อยของล้อพร้อมลูกรอก เจ = 0,42 กก. ม. 2, รัศมีลูกรอก ร = 10ซม.นี่คือภารกิจที่ 2
5.7. รูปนี้แสดงกราฟของการฉายภาพความเร็วเชิงมุมของวัตถุที่กำลังหมุนไปบนแกนการหมุนเป็นฟังก์ชันของเวลา โมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อร่างกายคงที่และไม่เท่ากับศูนย์ในพื้นที่ ...
5.8. ชายคนหนึ่งยืนอยู่บนม้านั่ง Zhukovsky หมุนด้วยแรงเสียดทานเล็กน้อยและจับแฮนด์บอลที่มีมวล ม = 0,4 กิโลกรัมบินในแนวนอนด้วยความเร็ว v = 20 นางสาว- วิถีของลูกบอลผ่านไปในระยะไกล ร = 0,8 มจากแกนแนวตั้งของการหมุนของม้านั่ง ด้วยความเร็วเชิงมุม ω ม้านั่ง Zhukovsky กับคนที่จับลูกบอลจะเริ่มหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมใด? พิจารณาว่าโมเมนต์ความเฉื่อยรวมของบุคคลและม้านั่ง เจ = 6 กก.∙ม. 2.
5.9. มู่เล่หมุนไปรอบ ๆ ตามกฎหมาย แสดงโดยสมการφ = 2+16 ที- 2เสื้อ 2, ยินดี- หา กำลังเฉลี่ยพัฒนาขึ้นโดยแรงที่กระทำต่อมู่เล่ระหว่างการเคลื่อนที่จนกระทั่งหยุด หากเป็นโมเมนต์ความเฉื่อย เจ = 100 กก.∙ม. 2อำนาจ ณ เวลานี้คืออะไร? เสื้อ = 3 วินาที
5.10. เด็กชายคนหนึ่งกลิ้งห่วง พื้นผิวแนวนอนด้วยความเร็ว v=7.2 กม./ชม. จงหาความสูง (เป็นเมตร) ที่ห่วงสามารถกลิ้งขึ้นเนินได้เนื่องจากพลังงานจลน์ของห่วง หากละเลยแรงเสียดทานในการหมุน มุมเอียงของสไลด์คือ