Določite optimalno strategijo za uporabo opreme v določenem časovnem obdobju T let in dobiček za vsako i leta, i= od starosti uporabe opreme t let mora biti največja.

Znano

r(t) – prihodki od prodaje izdelkov, proizvedenih na leto s staro opremo t leta;

l(t) – letni stroški glede na starost opreme t;

z(t) – preostala vrednost starostne opreme t leta;

R – stroški nove opreme.

Starost opreme se nanaša na obdobje delovanja opreme po zadnji zamenjavi, izraženo v letih.

Uporabimo zgornje faze sestavljanja matematičnega modela problema.

1. Določitev števila korakov. Število korakov je enako številu let, kolikor je bila oprema v uporabi.

2. Določanje sistemskih stanj. Stanje sistema je označeno s starostjo opreme t, t= .

3. Definicija enačb. Na začetku i-ti korak i= mogoče je izbrati eno od dveh kontrol: zamenjati ali ne zamenjati opreme. Vsaki kontrolni možnosti je dodeljena številka

4. Definicija izplačilne funkcije na i-ti korak. Funkcija Win vklopljena i korak je dobiček od uporabe opreme na koncu i- leto delovanja, t= , i= . Torej, če oprema ni prodana, je dobiček od njene uporabe razlika med proizvodnimi stroški in obratovalnimi stroški. Pri zamenjavi opreme je dobiček razlika med preostalo vrednostjo opreme in stroški nove opreme, ki se ji prišteje razlika med proizvodnimi stroški in obratovalnimi stroški za novo opremo, katere starost na začetku i Korak je 0 let.

5. Opredelitev funkcije spremembe stanja

(9.7)

Torej, če se oprema ne spremeni x i=0, potem se starost opreme poveča za eno leto t+1, če se oprema spremeni x i=1, potem bo oprema stara eno leto.

6. Sestavljanje funkcionalne enačbe za i=T

Zgornja vrstica funkcionalne enačbe ustreza situaciji, v kateri lansko leto oprema se ne spremeni in podjetje dobi dobiček v višini razlike med prihodki r(t) in letne stroške l(t).

7. Sestavljanje osnovne funkcionalne enačbe

kje W i(t t leta od takrat i-th korak (od konca i leto) do konca obdobja poslovanja;

W i + 1 (t) – dobiček od uporabe starostne opreme t+ 1 leto od ( i+1) korak do konca obratovalnega obdobja.

Konstruiran je bil matematični model problema.

Primer

T=12, p= 10, z(t)=0, r(t) – l(t)=φ (t).

Vrednote φ (t) so podani v tabeli 9.1.

Tabela 9.1.

t

φ (t)

Za ta primer bodo funkcionalne enačbe videti takole

Oglejmo si izpolnjevanje tabele v več korakih.

Pogojna optimizacija se začne od zadnjega 12. koraka. Za i=12 upoštevanih možnih stanj sistema t= 0, 1, 2, …, 12. Funkcijska enačba na 12. koraku ima obliko

1) t= 0 X 12 (0)=0.

2) t= 1 X 12 (1)=0.

10) t= 9 X 12 (9)=0.

11) t= 10 X 12 (10)=0; X 12 (10)=1.

13) t= 12 X 12 (12)=0; X 12 (12)=1.

Tako na 12. koraku opreme, stare od 0 do 9 let, ni treba zamenjati. Opremo, staro 10 - 12 let, lahko zamenjate ali uporabljate naprej, saj za t= 10, 11, 12 sta dva pogojna nadzora optimizacije 1 in 0.

Na podlagi rezultatov izračuna se ustrezno izpolnita dva stolpca tabele 9.2 i= 12.

Pogojna optimizacija 11. koraka.

Za i=11 upoštevana so vsa možna stanja sistema t=0, 1, 2, …, 12. Funkcijska enačba na 11. koraku ima obliko

1) t= 0 X 11 (0)=0.

2) t= 1 X 11 (1)=0.

6) t= 5 X 11 (5)=0; X 11 (5)=1.

7) t= 6 X 11 (6)=1.

13) t= 12 X 11 (12)=1.

Zato pri koraku 11 ne zamenjajte opreme, ki je stara 0–4 leta. Za opremo, ki je stara 5 let, sta možni dve strategiji uporabe: zamenjava ali nadaljevanje delovanja.

Od 6. leta naprej je treba opremo zamenjati. Na podlagi rezultatov izračuna se ustrezno izpolnita dva stolpca tabele 9.2 i=11.

1) t= 0 X 10 (0)=0.

2) t= 1 X 10 (1)=0.

3) t= 2 X 10 (2)=0.

4) t= 3 X 10 (3)=0.

5) t= 4 X 10 (4)=1.

13) t= 12 X 10 (12)=1.

Pri 10. koraku ne smete zamenjati opreme, ki je stara 0–3 leta. Od 4. leta naprej je treba opremo zamenjati, saj nova oprema ustvarja večji dobiček.

Na podlagi rezultatov izračuna se izpolnita dva stolpca v 9.2, ki ustrezata i=10.

Na enak način se izpolni preostalih devet stolpcev tabele 9.2. Pri izračunu W i + 1 (t) pri vsakem koraku vrednosti φ (t) za vse t=0, 1, 2, ..., 12 so vzeti iz tabele 9.1 začetnih podatkov, navedenih v predstavitvi problema, in vrednosti W i(t) – iz zadnjega stolpca, izpolnjenega v prejšnjem koraku v 9.2.

Faza pogojne optimizacije se konča po izpolnitvi tabele 9.2.

Brezpogojna optimizacija se začne s prvim korakom.

Predpostavimo, da v prvem koraku i=1 je nova oprema, stara 0 let.

Za t=t 1 =0 je optimalen izkupiček W 1 (0)=82. Ta vrednost ustreza največjemu dobičku od uporabe nove opreme za 12 let.

W*=W 1 (0)=82.

Zmagal bom W 1 (0)=82 ustreza X 1 (0)=0.

Za i=2 po formuli (9.7) t 2 =t 1 +1=1.

Brezpogojno optimalen nadzor X 2 (1)=0.

Za i=3 po formuli (9.7) t 3 =t 2 +1=2.

Brezpogojno optimalen nadzor X 3 (2)=0.

i=4	t 4 =t 3 +1=3	X 4 (3)=0
i=5	t 5 =t 4 +1=4	X 5 (4)=1
i=6	t 6 = 1	X 6 (1)=0
i=7	t 7 =t 6 +1=2	X 7 (2)=0
i=8	t 8 =t 7 +1=3	X 8 (3)=0
i=9	t 9 =t 8 +1=4	x 9 (4)=1
i=10	t 10 = 1	X 10 (1)=0
i=11	t 11 =t 10 +1=2	X 11 (2)=0
i=12	t 12 =t 11 +1=3	X 12 (3)=0

V ta namen je optimalna strategija zamenjava opreme, ko otrok dopolni 4 leta starosti. Podobno je mogoče določiti optimalno strategijo za uporabo opreme katere koli starosti.

Levi stolpec tabele 9.2 beleži možne primere sistema t= , v zgornji vrstici – številke korakov i= . Za vsak korak so določene pogojne optimalne kontrole x i(t) in pogojno optimalno izplačilo W i(t)c i-th korak in do konca za starost opreme t leta.

Kontrole, ki sestavljajo optimalno strategijo za uporabo opreme, so v tabeli 9.2 označene s krepkim tiskom.

Tabela 9.2.

t

i=12

i=11

i=10

i=9

i=8

i=7

i=6

i=5

i=4

i=3

i=2

i=1

x 12

W 12

x 11

W 11

x 10

W 10

x 9

W 9

x 8

W 8

x 7

W 7

x 6

W 6

x 5

W 5

x 4

W 4

x 3

W 3

x 2

W 2

x 1

W 1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

0/1

Optimalna strategija zamenjave opreme

Eden od pomembnih gospodarskih problemov je odločnost optimalna strategija pri zamenjavi starih strojev, agregatov, strojev z novimi.

Staranje opreme vključuje njeno fizično in moralno obrabo, zaradi česar se povečajo proizvodni stroški za izdelavo izdelkov na stari opremi, povečajo se stroški njenega popravila in vzdrževanja, zmanjšata produktivnost in likvidnost.

Pride čas, ko je bolj donosno prodati staro opremo in jo zamenjati z novo, kot pa jo upravljati po stroških. visoki stroški; Poleg tega ga je mogoče zamenjati z novo opremo istega tipa ali novo, naprednejšo.

Optimalna strategija za zamenjavo opreme je določitev optimalnega časa zamenjave. Merilo optimalnosti je v tem primeru lahko dobiček od obratovanja opreme, ki ga je treba optimizirati, ali celotni obratovalni stroški v obravnavanem obdobju, ki jih je treba minimizirati.

Uvedemo naslednji zapis: r(t) je cena proizvodov, proizvedenih v enem letu na enoti opreme, stare t let;

u(t) - letni stroški vzdrževanja opreme, stare t let;

s(t) - preostala vrednost opreme, stare t let;

P je nabavna cena opreme.

Vzemimo obdobje N let, v katerem je treba določiti optimalen cikel zamenjave opreme.

Označimo s fN(t) največji dohodek, prejet od opreme, stare t let, za preostalih N let cikla uporabe opreme, ob upoštevanju optimalne strategije.

Starost opreme se šteje v smeri poteka procesa. Tako t = 0 ustreza primeru uporabe nove opreme. Časovne faze procesa so oštevilčene v nasprotni smeri glede na potek procesa. Tako se N = 1 nanaša na eno časovno fazo, ki ostane do zaključka procesa, N = N pa na začetek procesa.

Na vsaki stopnji N-stopenjskega procesa je treba sprejeti odločitev o ohranitvi ali zamenjavi opreme. Izbrana možnost mora zagotoviti največji dobiček.

Funkcionalne enačbe, ki temeljijo na principu optimalnosti, imajo obliko:

Prva enačba opisuje N-stopenjski proces, druga pa enostopenjski proces. Obe enačbi imata dva dela: zgornja vrstica določa dohodek, prejet z vzdrževanjem opreme; nižji - dohodek, prejet ob zamenjavi opreme in nadaljevanju delovnega procesa na novi opremi.

V prvi enačbi je funkcija r(t) - u(t) razlika med stroški proizvedenih izdelkov in obratovalnimi stroški na N-ti stopnji procesa.

Funkcija fN–1 (t + 1) označuje skupni dobiček iz (N - 1) preostalih stopenj za opremo, katere starost na začetku teh stopenj je (t + 1) let.

Spodnja vrstica v prvi enačbi je označena takole: funkcija s(t) - P predstavlja neto stroške zamenjave opreme, stare t let.

Funkcija r(0) izraža dohodek, prejet od nove opreme, stare 0 let. Predpostavlja se, da se prehod z dela na opremi, stari t let, na delo na novi opremi zgodi takoj, tj. obdobje zamenjave stare opreme in prehod na delo na novi opremi spadata v isto fazo.

Zadnja funkcija fN–1 predstavlja prihodek od preostalih N - 1 stopenj, pred začetkom katerih je oprema stara eno leto.

Podobno lahko razlagamo enačbo za enostopenjski proces. Ni člena oblike f0(t + 1), saj ima N vrednost 1, 2,..., N. Enakost f0(t) = 0 izhaja iz definicije funkcije fN(t).

Enačbe so ponavljajoče se relacije, ki nam omogočajo določitev vrednosti fN(t) v odvisnosti od fN–1(t + 1). Struktura teh enačb kaže, da se pri prehodu iz ene faze procesa v drugo starost opreme poveča s t na (t + 1) let, število preostalih stopenj pa se zmanjša z N na (N - 1) .

Izračun se začne z uporabo prve enačbe. Enačbe vam omogočajo, da ocenite možnosti za zamenjavo in vzdrževanje opreme, da bi sprejeli tisto, ki nudi največji dohodek. Ta razmerja omogočajo ne le izbiro smeri delovanja pri odločanju o vzdrževanju ali zamenjavi opreme, temveč tudi določitev dobička, prejetega pri vsaki od teh odločitev.

Primer. Določite optimalni cikel zamenjave opreme z naslednjimi začetnimi podatki: P = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t), predstavljenimi v tabeli.

rešitev. Enačbe zapišemo v naslednji obliki:

Računanje nadaljujemo, dokler ni izpolnjen pogoj f1(1) > f2(2), tj. V v tem trenutku opremo je treba zamenjati, saj je višina dobička, pridobljenega z zamenjavo opreme, večja kot v primeru uporabe stare. Rezultate izračuna postavimo v tabelo, označimo trenutek zamenjave z zvezdico, po kateri ustavimo nadaljnje izračune vzdolž vrstice.

Ni vam treba vsakič rešiti enačbe, ampak izračune opravite v tabeli. Na primer, izračunajmo f4(t):

Za f4(t) prenehamo z nadaljnjimi izračuni, saj je f4(4) = 23. Na podlagi rezultatov izračuna in vzdolž črte, ki razmejuje območja odločanja za vzdrževanje in zamenjavo opreme, poiščemo optimalen cikel zamenjave opreme. Za to nalogo so potrebni 4 leta.

Odgovori. Da bi dosegli največji dobiček z uporabo opreme v dvanajststopenjskem procesu, je optimalen cikel zamenjava opreme vsaka 4 leta.

Optimalna razporeditev virov

Naj obstaja določena količina virov x, ki jih je treba razdeliti med n različnih podjetij, objektov, delovnih mest itd. tako da dosežemo največji skupni izkoristek iz izbrane distribucijske metode.

Uvedimo naslednji zapis: xi - količina sredstev, dodeljenih i-temu podjetju (i = );

gi(xi) je funkcija koristnosti, in v tem primeru to je znesek dohodka od uporabe vira xi, ki ga prejme i-to podjetje;

fk(x) je največji dohodek, ki ga je mogoče pridobiti z uporabo virov x iz prvih k različnih podjetij.

Formulirano težavo lahko zapišemo v matematični obliki:

z omejitvami:

Za rešitev problema je potrebno pridobiti povratno razmerje, ki povezuje fk(x) in fk–1(x).

Z xk označimo količino virov, ki jih uporablja k-ta metoda (0 ≤ xk ≤ x), potem je za (k - 1) metod količina preostalih virov enaka (x - xk). Največji dohodek, ki ga dobimo pri uporabi vira (x - xk) iz prvih (k - 1) metod, bo fk–1(x - xk).

Za maksimiranje celotnega dohodka iz k–te in prve (k - 1) metode je treba xk izbrati tako, da so izpolnjena naslednja razmerja:

Razmislimo določeno nalogo o porazdelitvi kapitalskih naložb med podjetji.

Razdelitev naložb za učinkovita uporaba potencial podjetja

Upravni odbor družbe obravnava predloge za povečanje proizvodnih zmogljivosti za povečanje proizvodnje homogenih izdelkov v štirih podjetjih v lasti družbe.

Za razširitev proizvodnje upravni odbor dodeli sredstva v višini 120 milijonov rubljev. z diskretnostjo 20 milijonov rubljev. Povečanje proizvodnje v podjetjih je odvisno od dodeljenega zneska, njegove vrednosti so predstavljene po podjetjih in so vsebovane v tabeli.

Poiščite porazdelitev sredstev med podjetji, ki zagotavlja največje povečanje proizvodnje in na podjetje ni mogoče izvesti več kot ene naložbe.

rešitev. Rešitev problema razdelimo na štiri stopnje glede na število podjetij, v katera se predvidevajo naložbe.

Relacije ponavljanja bodo videti takole:

za podjetje št. 1

za vsa druga podjetja

Rešitev bomo izvedli po rekurentnih relacijah v štirih fazah.

1. stopnja. Investiramo samo za prvo podjetje. Potem

2. stopnja. Naložbe razporedimo na prvo in drugo podjetje. Rekurentna relacija za 2. stopnjo ima obliko

pri x = 20 f2(20) = največ (8 + 0,0 + 10) = največ (8, 10) = 10,

pri x = 40 f2(40) = največ (16,8 + 10,20) = največ (16, 18, 20) =20,

pri x = 60 f2(60) = največ (25,16 + 10, 8 + 20,28) = največ (25,26, 28,28) = 28,

pri x = 80 f2(80) = največ (36,25 + 10,16 + 20,8 + 28,40) = največ (36, 35, 36, 36, 40) = 40,

pri x = 100 f2(100) = največ (44,36 + 10,25 + 20,16 + 28,8 + 40,48) = največ (44, 46, 45, 44, 48, 48) = 48,

pri x = 120 f2(120) = največ (62,44 + 10,36 +20,25 + 28,16 + 40,8 + 48,62) ​​= največ (62, 54, 56, 53, 56, 56, 62) = 62.

3. stopnja. Financiramo 2. fazo in tretje podjetje. Izračune izvajamo po formuli

pri x = 20 f3(20) = max(10, 12) = 12,

pri x = 40 f3(40) = največ (20,10 + 12,21) = največ (20, 22, 21) = 22,

pri x = 60 f3(60) = največ (28,20 + 12,10 + 21,27) = največ (28, 32, 31, 27) = 32,

pri x = 80 f3(80) = največ (40,28 + 12,20 + 21,10 + 27,38) = največ (40, 40, 41, 37, 38) = 41,

pri x = 100 f3(100) = največ (48,40 + 12,28 + 21,20 + 27,10 + 38,50) = največ (48, 52, 49, 47, 48, 50) = 52,

pri x = 120 f3(120) = največ (62,48 + 12,40 + 21,28 + 27,20 + 38,10 + 50,63) = največ (62, 60, 61, 55, 58, 60, 63) = 63.

4. stopnja. Naložbe v višini 120 milijonov rubljev. porazdeljeno med 3. stopnjo in četrto podjetje.

Pri x = 120 f4(120) = največ (63,52 + 11,41 + 23,32 + 30,22 + 37,12 + 51,63) = največ (63, 63, 64, 62, 59, 63, 63) = 64.

Dobljeni so kontrolni pogoji od 1. do 4. stopnje. Vrnimo se s 4. na 1. stopnjo. Največje povečanje proizvodnje izdelkov je 64 milijonov rubljev. dobljeno na 4. stopnji kot 41 + 23, tj. 23 milijonov rubljev. ustreza dodelitvi 40 milijonov rubljev. četrto podjetje (glej tabelo 29.3). Po 3. stopnji 41 milijonov rubljev. dobimo kot 20 + 21, tj. 21 milijonov rubljev. ustreza namenski dodelitvi 40 milijonov rubljev. tretjemu podjetju. Glede na 2. stopnjo 20 milijonov rubljev. prejel z dodelitvijo 40 milijonov rubljev. drugemu podjetju.

Tako naložbe v višini 120 milijonov rubljev. Drugemu, tretjemu in četrtemu podjetju je priporočljivo dodeliti po 40 milijonov rubljev. vsak, medtem ko bo povečanje proizvodnje največje in bo znašalo 64 milijonov rubljev.

Zmanjšanje stroškov za gradnjo in delovanje podjetij

Problem optimalne postavitve proizvodna podjetja se lahko zmanjša na problem dodeljevanja virov v skladu s kriterijem minimizacije, ob upoštevanju celoštevilskih pogojev, naloženih spremenljivkam.

Naj obstaja določena potreba po izdelku, po katerem povprašujejo na določenem ozemlju. Znane so točke, kjer je mogoče graditi podjetja za proizvodnjo ta izdelek. Izračunani so stroški gradnje in obratovanja tovrstnih podjetij.

Podjetja je treba locirati tako, da so stroški njihove gradnje in delovanja minimalni.

Vstavimo naslednji zapis:

x je količina porazdeljenega vira, ki ga je mogoče uporabiti na n različnih načinov,

xi - količina uporabljenega vira po metodi i (i = );

gi(xi) je stroškovna funkcija, ki je na primer enaka vrednosti proizvodnih stroškov pri uporabi vira xi z metodo i;

φk(x) - najnižji stroški, ki jih je treba proizvesti pri uporabi vira x na prvih k načinov.

Skupne stroške razvoja vira x je treba zmanjšati na vse načine:

pod omejitvami

Ekonomski pomen spremenljivk xi je ugotoviti število podjetij, priporočenih za gradnjo na i-ti točki. Za udobje izračunov bomo predpostavili, da je načrtovana gradnja podjetij enake zmogljivosti.

Razmislimo o specifičnem problemu lociranja podjetij.

Primer. V treh mestnih okrožjih namerava podjetnik zgraditi pet podjetij enake zmogljivosti za proizvodnjo pekovskih izdelkov, po katerih je povpraševanje.

Podjetja je treba locirati tako, da so zagotovljeni minimalni skupni stroški njihove izgradnje in delovanja. Vrednosti stroškovne funkcije gi(x) so podane v tabeli.

IN v tem primeru gi(x) je funkcija stroškov v milijonih rubljev, ki označuje znesek stroškov gradnje in obratovanja glede na število podjetij v i-ti regiji;

φk(x) je najmanjši znesek stroškov v milijonih rubljev, ki morajo nastati med gradnjo in delovanjem podjetij v prvih k regijah.

rešitev. Zadevo rešimo z uporabo povratnih relacij: za prvo regijo

za druga področja

Problem bomo rešili v treh fazah.

1. stopnja. Če so vsa podjetja zgrajena samo v prvem okrožju, potem

najmanjši možni stroški pri x = 5 so 76 milijonov rubljev.

2. stopnja. Določimo optimalno strategijo za lociranje podjetij samo v prvih dveh regijah z uporabo formule

Poiščimo φ2(l):

g2(1) + φ1(0) = 10 + 0 = 10,

g2(0) + φ1(l)= 0 +11 = 11,

φ2(l) = min (10, 11) = 10.

Izračunajmo φ2(2):

g2(2) + φ1(0) = 19 + 0 = 19,

g2(l) + φ1(l) = 10 + 11 = 21,

g2(0) + φ1 (2) = 0 + 18 = 18,

φ2(2) = min (19, 21, 18) = 18.

Poiščimo φ2(3):

g2(3) + φ1 (0) = 34 + 0 = 34,

g2(2) + φ1(l) = 19 + 11 = 30,

g2(1) + φ1(2) = 10 + 18 = 28,

g2(0) + φ1(3) = 0 + 35 = 35,

φ2(3) = min (34, 30, 28, 35) = 28.

Določimo φ2(4):

g2(4) + φ1(0) = 53 + 0 = 53,

g2(3) + φ1(l) = 34 + 11 = 45,

g2(2) + φ1(2) = 19 + 18 = 37,

g2(l) + φ1(3) = 10 + 35 = 45,

g2(0) +φ1(4) = 0 + 51 = 51,

φ2(4) = min (53, 45, 37, 45, 51) = 37.

Izračunajmo φ2(5):

g2(5) + φ1(0) = 75 + 0 = 75,

g2(4) + φ1(l) = 53 + 11 = 64,

g2(3) + φ1(2) = 34 + 18 = 52,

g2(2) + φ1(3) = 19 + 35 = 54,

g2(1) + φ1(4) = 10 + 51 = 61,

g2(0) + φ1(5) = 0 + 76 = 76,

φ2(5) = min (75, 64, 52, 54, 61, 76) = 52.

3. stopnja. Določimo optimalno strategijo za lociranje petih podjetij v treh okrožjih z uporabo formule

φ3(x) = min(g3(x3) + φ2(x – x3)).

Poiščimo φ3(5):

g3(5) + φ2(0) = 74 + 0 = 74,

g3(4) + φ2(1) = 54 + 10 = 64,

g3(3) + φ2(2) = 36 + 18 = 54,

g3(2) +φ2(3) = 20 + 28 = 48,

g3(1) + φ2(4) = 9 + 37 = 46,

g3(0) + φ2(5) = 0 + 52 = 52,

φ3(5) = min (74, 64, 54, 48, 46, 52) = 46.

Najmanjši možni stroški pri x = 5 so 46 milijonov rubljev.

Določeni so stroški za gradnjo podjetij od 1. do 3. stopnje. Vrnimo se na 1. stopnjo 3. Minimalni stroški na 46 milijonov rubljev. na 3. stopnji dobimo kot 9 + 37, tj. 9 milijonov rubljev. ustrezajo izgradnji enega podjetja v tretji regiji (glej tabelo 29.4). Po 2. stopnji 37 milijonov rubljev. dobimo kot 19 + 18, tj. 19 milijonov rubljev. ustrezajo izgradnji dveh podjetij v drugi regiji. Po 1. stopnji 18 milijonov rubljev. ustrezajo izgradnji dveh podjetij v prvi regiji.

Odgovori. Optimalna strategija je zgraditi eno podjetje v tretji regiji, po dve podjetji v drugi in prvi regiji, medtem ko bodo minimalni stroški gradnje in delovanja 46 den. enote

Iskanje racionalnih stroškov pri gradnji cevovodov in transportnih žil

Med dvema točkama A in B je treba položiti pot (cevovod, avtocesto) tako, da so skupni stroški njene izgradnje minimalni.

rešitev. Razdaljo med točkama A in B razdelimo na korake (odseke). Na vsakem koraku se lahko premikamo proti vzhodu (vzdolž osi X) ali proti severu (vzdolž osi Y). Potem je pot od A do B stopničasta lomljena črta, katere segmenti so vzporedni z eno od koordinatnih osi. Stroški gradnje vsakega odseka so znani (slika 29.2) v milijonih rubljev.

Razdaljo od A do B v vzhodni smeri razdelimo na 4 dele, v severni – na 3 dele. Pot lahko obravnavamo kot nadzorovan sistem, ki se pod vplivom krmiljenja premika iz začetnega stanja A v končno stanje B. Stanje tega sistema pred začetkom vsakega koraka bo označeno z dvema celima koordinatama x in y. Za vsako stanje sistema (vozlišče) najdemo pogojno optimalno regulacijo. Izbran je tako, da so stroški vseh preostalih korakov do konca procesa minimalni. Postopek pogojne optimizacije izvedemo v obratni smeri, tj. od točke B do točke A.

Poiščimo pogojno optimizacijo zadnjega koraka.

Dinamično programiranje. Težava pri zamenjavi opreme

Poiščite optimalen čas za zamenjavo opreme. Začetni stroški opreme q 0 =6000 konvencionalnih. enote, rešilna vrednost L(t)=q 0 2 -i, stroški vzdrževanja opreme, stare i let za 1 leto S(t)=0,1q 0 (t+1), življenjska doba opreme 5 let. Ob izteku življenjske dobe se oprema proda. Nalogo reši grafično.

Če želite zgraditi graf v programski opremi Wolfram Mathematica 6.0, vnesite

g = izris [(6000*2^-x, 600*(x + 1)), (x, 0, 5)]

Kot rezultat dobimo graf:

Iz grafa to vidimo optimalen čas zamenjava opreme je drugo leto delovanja.

Dinamično programiranje. Optimalna porazdelitev sredstev med podjetji

Poiščite optimalno porazdelitev sredstev v višini 9 konvencionalnih enot. enote med štirimi podjetji. Dobiček iz vsakega podjetja je funkcija vloženih sredstev in je predstavljen v tabeli:

Naložbe
I podjetje
II podjetje
III podjetje
IV podjetje

Naložbe v vsako podjetje so večkratniki 1 konvencionalne enote. enote

Razdelimo postopek dodeljevanja sredstev podjetjem na 4 stopnje: na prvi stopnji se sredstva y 1 dodelijo podjetju P 1, na drugi - sredstva y 2 podjetju P 2, na tretji stopnji - sredstva y 3 podjetju P. 3, v četrti tretjini - y 4 sredstva podjetju P 4

x n = x n - 1 - y n, n = 1,2,3, 4.

Upoštevajte, da je na četrti stopnji dodeljevanja sredstev celotno stanje x 3 vloženo v podjetje P 4, torej y 3 = x 4.

Uporabimo Bellmanove enačbe za N = 4.

Kot rezultat dobimo naslednje tabele:

Tabela 1

Tabela 2

Tabela 3

Tabela 4

Iz tabele 4 sledi, da bo optimalni nadzor y 1 * = 3, medtem ko je optimalen dobiček 42. Nato dobimo

x 1 =x 0 -y 1 *=9-3=6, 2 (x 1)= 2 (6)=30, y 2 * =1

x 2 =x 1 -y 2 *=6-1=5, 3 (x 2)= 3 (5)=23, y 3 * =1

x 3 =x 2 -y 3 *=5-1=4, 4 (x 3)= 4 (4)=15, y 3 * =4

Tako je najbolj optimalna naložba v podjetja P1, P2, P3 in P4 gotovina v višini 4, 1,1 in 3 konvencionalne enote. V tem primeru bo dobiček največji in bo znašal 42 konvencionalnih enot. enote

Med delovanjem je oprema izpostavljena fizični in moralni obrabi. Obstajata dva načina za obnovitev opreme - popolna in delna. V primeru popolne obnove se oprema zamenja z novo, v primeru delne obnove pa se oprema popravi. Za optimalno uporabo opreme morate poiskati starost, pri kateri jo je treba zamenjati, da bo dohodek od stroja največji ali, če dohodka ni mogoče izračunati, da bodo stroški popravila in vzdrževanja minimalni. Ta pristop se obravnava z vidika ekonomskih interesov potrošnika.

Za optimizacijo popravil in zamenjave opreme je potrebno razviti strategijo zamenjave strojev za načrtovano obdobje. Kot gospodarski interes se lahko uporabi eden od dveh pristopov:

1. Največji dohodek od avtomobila v določenem časovnem obdobju.

2. Minimalni stroški za potrebe popravil in vzdrževanja, če dohodka ni mogoče izračunati.

Ta problem je rešen z metodo dinamično programiranje. Glavna ideja te metode je nadomestiti sočasno izbiro več parametre tako, da jih izberete enega za drugim. Ta metoda lahko reši široko paleto problemov optimizacije. Splošnost pristopa k reševanju najrazličnejših problemov je ena od prednosti te metode.

Razmislimo o mehanizmu za optimizacijo popravila in zamenjave opreme. Za rešitev problema uvedemo naslednji zapis:

t je starost opreme;

d(t) - neto letni prihodek od opreme starosti t;

U(t) - stroški popravila in vzdrževanja stroja starosti t;

C je cena nove opreme.

Za rešitev tega problema uvedemo funkcijo fn(t), ki prikazuje vrednost največjega dohodka v zadnjih n - letih, pod pogojem, da smo na začetku obdobja n - let imeli avto star t - let.

Algoritem za rešitev problema je naslednji:

1) f1(t) = max d(0) - C

) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)

fn-1(1) + d(0) - C

Povečanje stroškov bo povzročilo zmanjšanje čistega dobička, ki se izračuna na naslednji način:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - letni prihodek od opreme starosti t;

u(t) - letni stroški za potrebe popravil in vzdrževanja

starost opreme t.

Pristop maksimiranja prihodkov

Za rešitev tega problema uvedemo funkcijo fn(t), ki prikazuje vrednost največjega dohodka v zadnjih n-letih, pod pogojem, da smo imeli na začetku obdobja n-let opremo, staro t-let. .

Če je do konca obdobja še 1 leto

Če je do konca obdobja še n let

(t) = maks

kjer je t starost opreme;

d (t) - neto letni prihodek od opreme starosti t;

C je cena nove opreme.

Povečanje stroškov bo povzročilo zmanjšanje čistega dobička, ki se izračuna na naslednji način:

(t) = r(t) - u(t)

kjer je r (t) letni dohodek od opreme, stare t;

u(t) - letni stroški za popravila in obratovalne potrebe opreme starosti t.

Izračunajmo čisti dobiček po formuli, poznamo dinamiko prihodkov in rast stroškov popravil.

Tabela 2. Čisti prihodki od opreme po letih

Ta storitev je namenjena spletnim uporabnikom reševanje problema optimalne strategije nadgradnje opreme. Običajno so v izvornih podatkih navedeni naslednji parametri:

• r(t) so stroški proizvodov, proizvedenih v vsakem letu načrtovalnega obdobja z uporabo te opreme;
• u(t) - letni stroški, povezani z delovanjem opreme;
• s(t) - preostala vrednost opreme;
• p je strošek nove opreme, ki vključuje stroške, povezane z namestitvijo, zagonom in zagonom opreme in se v danem planskem obdobju ne spremeni.

Če stroški opreme niso določeni, bo rešen problem stroškov in nadomestnih funkcij (problem načrtovanja kapitalskih naložb).

Načrtovanje kapitalskih naložb.

Primer št. 1. Poiščite optimalno strategijo delovanja opreme za obdobje 6 let, če sta v tabeli podana letni dohodek r(t) in preostala vrednost S(t) glede na starost, stroški nove opreme so P = 13 in starost opreme na začetku obratovalnega obdobja je bila 1 leto.

t	0	1	2	3	4	5	6
r(t)	8	7	7	6	6	5	5
s(t)	12	10	8	8	7	6	4

rešitev.
stopnja I. Pogojna optimizacija(k = 6,5,4,3,2,1).
Kontrolna spremenljivka vklopljena k-ti korak je logična spremenljivka, ki ima lahko eno od dveh vrednosti: obdržati (C) ali zamenjati (R) opremo na začetku k-tega leta.
1. korak: k = 6. Za 1. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3,4,5,6, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 6 (t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (3))
F 6 (1) = max (7; 10 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (2) = največ (7; 8 - 13 + 8) = 7 (C)
F 6 (3) = največ (6; 8 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (4) = max (6; 7 - 13 + 8) = 6 (C)
F 6 (5) = max (5; 6 - 13 + 8) = 5 (C)
F 6 (6) = največ (5; 4 - 13 + 8) = 5 (C)
2. korak: k = 5. Za 2. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3,4,5, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 5 (t) = max(r(t) + F 6 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 6 (1))
F 5 (1) = največ (7 + 7; 10 - 13 + 8 + 7) = 14 (C)
F 5 (2) = največ (7 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 13 (C)
F 5 (3) = največ (6 + 6; 8 - 13 + 8 + 7) = 12 (C)
F 5 (4) = največ (6 + 5; 7 - 13 + 8 + 7) = 11 (C)
F 5 (5) = največ (5 + 5; 6 - 13 + 8 + 7) = 10 (C)
F 5 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 7) = 6 (3)
3. korak: k = 4. Za 3. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3,4, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 4 (t) = max(r(t) + F 5 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 5 (1))
F 4 (1) = največ (7 + 13; 10 - 13 + 8 + 14) = 20 (C)
F 4 (2) = največ (7 + 12; 8 - 13 + 8 + 14) = 19 (C)
F 4 (3) = max (6 + 11; 8 - 13 + 8 + 14) = 17 (N/W)
F 4 (4) = max (6 + 10; 7 - 13 + 8 + 14) = 16 (N/W)
F 4 (5) = največ (5 + 6; 6 - 13 + 8 + 14) = 15 (3)
F 4 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 14) = 13 (W)
4. korak: k = 3. Za 4. korak so možna stanja sistema t = 1,2,3, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 3 (t) = max(r(t) + F 4 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 4 (1))
F 3 (1) = največ (7 + 19; 10 - 13 + 8 + 20) = 26 (C)
F 3 (2) = največ (7 + 17; 8 - 13 + 8 + 20) = 24 (C)
F 3 (3) = max (6 + 16; 8 - 13 + 8 + 20) = 23 (W)
F 3 (4) = največ (6 + 15; 7 - 13 + 8 + 20) = 22 (W)
F 3 (5) = največ (5 + 13; 6 - 13 + 8 + 20) = 21 (W)
F 3 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 20) = 19 (W)
5. korak: k = 2. Za 5. korak so možna stanja sistema t = 1,2, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 2 (t) = max(r(t) + F 3 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 3 (1))
F 2 (1) = max (7 + 24; 10 - 13 + 8 + 26) = 31 (N/W)
F 2 (2) = največ (7 + 23; 8 - 13 + 8 + 26) = 30 (C)
F 2 (3) = max (6 + 22; 8 - 13 + 8 + 26) = 29 (W)
F 2 (4) = max (6 + 21; 7 - 13 + 8 + 26) = 28 (W)
F 2 (5) = max (5 + 19; 6 - 13 + 8 + 26) = 27 (W)
F 2 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 26) = 25 (W)
6. korak: k = 1. Za 6. korak so možna stanja sistema t = 1, funkcijske enačbe pa imajo obliko:
F 1 (t) = max(r(t) + F 2 (t+1) ; S(t) - P + r(0) + F 2 (1))
F 1 (1) = največ (7 + 30; 10 - 13 + 8 + 31) = 37 (C)
F 1 (2) = največ (7 + 29; 8 - 13 + 8 + 31) = 36 (C)
F 1 (3) = max (6 + 28; 8 - 13 + 8 + 31) = 34 (N/W)
F 1 (4) = max (6 + 27; 7 - 13 + 8 + 31) = 33 (N/W)
F 1 (5) = največ (5 + 25; 6 - 13 + 8 + 31) = 32 (3)
F 1 (6) = max (5 + ; 4 - 13 + 8 + 31) = 30 (W)
Rezultati izračunov z uporabo Bellmanovih enačb F k (t) so podani v tabeli, v kateri je k leto obratovanja, t pa starost opreme.
Tabela – matrika največjega dobička

k/t	1	2	3	4	5	6
1	37	36	34	33	32	30
2	31	30	29	28	27	25
3	26	24	23	22	21	19
4	20	19	17	16	15	13
5	14	13	12	11	10	6
6	7	7	6	6	5	5

V tabeli je poudarjena vrednost funkcije, ki ustreza stanju (3) - zamenjava opreme.
Pri reševanju tega problema v nekaterih tabelah pri ocenjevanju izbire potreben nadzor smo dobili enake vrednosti F za obe kontrolni možnosti. V tem primeru je treba v skladu z algoritmom za reševanje tovrstnih problemov izbrati nadzor ohranjanja opreme.
Stopnja II. Brezpogojna optimizacija(k = 6,5,4,3,2,1).
Glede na pogoje problema je starost opreme t 1 =1 let. Načrtovano obdobje N=6 let.
Do začetka 1. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 1 = t 0 + 1 = 0 + 1 = 1. Dobiček bo F 1 (1) = 37.
Optimalno krmiljenje za k = 1, x 1 (1) = (C), tj. maksimalni dohodek od 1. do 6. leta se doseže ob ohranjeni opremi, t.j. ni zamenjan.
Do začetka 2. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 2 = t 1 + 1 = 1 + 1 = 2. Dobiček bo F 2 (2) = 30.
Optimalno krmiljenje za k = 2, x 2 (2) = (C), tj. najvišji dohodek za leta 2 do 6 je dosežen, če je oprema vzdrževana, tj. ni zamenjan.
Do začetka 3. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 3 = t 2 + 1 = 2 + 1 = 3. Dobiček bo F 3 (3) = 23.
Brezpogojno optimalno krmiljenje za k = 3, x 3 (3)=(3), tj. Za čim večji dobiček v preostalih letih je potrebna zamenjava opreme v tem letu.
Do začetka 4. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 4 = t 3 + 1 = 0 + 1 = 1. Dobiček bo F 4 (1) = 20.
Optimalno krmiljenje za k = 4, x 4 (1) = (C), tj. maksimalni dohodek od 1. do 6. leta se doseže, če je oprema ohranjena, t.j. ni zamenjan.
Do začetka 5. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 5 = t 4 + 1 = 1 + 1 = 2. Dobiček bo F 5 (2) = 13.
Optimalno krmiljenje za k = 5, x 5 (2) = (C), tj. najvišji dohodek za leta 2 do 6 je dosežen, če je oprema vzdrževana, tj. ni zamenjan.
Do začetka 6. leta delovanja se bo starost opreme povečala za eno in bo: t 6 = t 5 + 1 = 2 + 1 = 3. Dobiček bo F 6 (3) = 6.
Optimalno krmiljenje za k = 6, x 6 (3) = (C), tj. maksimalen dohodek za 3. do 6. leto dosežemo, če je oprema ohranjena, t.j. ni zamenjan.
F 1 (1) → (C) → F 2 (2) → (C) → F 3 (3) → (W)→ F 4 (1) → (C) → F 5 (2) → (C) → F 6 (3) → (C) →
Tako je treba po 6 letih delovanja opreme zamenjati na začetku 3. leta delovanja

Primer št. 2. Problem načrtovanja kapitalskih naložb. Interval načrtovanja T=5 let. Funkcija stroškov za popravila in nadaljnje obratovanje K(t)=t+2t 2 (r.); nadomestna funkcija P(t)=10+0,05t 2 (p.). Določite optimalno strategijo zamenjave in popravila za novo opremo (t=0) in opremo, staro t=1, t=2, t=3.
Določite optimalne načrtovane stroške za leta petletke, če je količina opreme po starostnih skupinah naslednja: n(t=0)=10, n(t=1)=12, n(t=2). )=8, n(t=3)= 5