Definícia
Pyramída je mnohosten zložený z mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) a \(n\) trojuholníkov so spoločným vrcholom \(P\) (neležiacim v rovine mnohouholníka) a protiľahlých strán, ktoré sa zhodujú s strany mnohouholníka.
Označenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Príklad: päťuholníková pyramída \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Trojuholníky \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) atď. sa volajú bočné steny pyramídy, segmenty \(PA_1, PA_2\) atď. – bočné rebrá, mnohouholník \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – základ, bod \(P\) – top.
Výška pyramídy sú kolmicou zostupujúcou z vrcholu pyramídy k rovine základne.
Pyramída s trojuholníkom na základni sa nazýva štvorsten.
Pyramída je tzv správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:
\((a)\) bočné okraje pyramídy sú rovnaké;
\((b)\) výška pyramídy prechádza stredom kružnice opísanej blízko základne;
\((c)\) bočné rebrá sú sklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
\((d)\) bočné plochy sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
Pravidelný štvorsten je trojuholníková pyramída, ktorej všetky strany sú rovnaké rovnostranné trojuholníky.
Veta
Podmienky \((a), (b), (c), (d)\) sú ekvivalentné.
Dôkaz
Zistime výšku pyramídy \(PH\) . Nech \(\alpha\) je rovina podstavy pyramídy.
1) Dokážme, že \((a)\) implikuje \((b)\) . Nech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Pretože \(PH\perp \alpha\), potom je \(PH\) kolmé na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, čo znamená, že trojuholníky sú pravouhlé. To znamená, že tieto trojuholníky sú rovnaké v spoločnej vetve \(PH\) a prepone \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Takže, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znamená, že body \(A_1, A_2, ..., A_n\) sú v rovnakej vzdialenosti od bodu \(H\), teda ležia na rovnakej kružnici s polomerom \(A_1H\) . Tento kruh je podľa definície opísaný okolo mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) .
2) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a rovnaké na dvoch nohách. To znamená, že ich uhly sú tiež rovnaké, \(\uhol PA_1H=\uhol PA_2H=...=\uhol PA_nH\).
3) Dokážme, že \((c)\) implikuje \((a)\) .
Podobne ako v prvom bode, trojuholníky \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravouhlé pozdĺž nohy a ostrého uhla. To znamená, že aj ich prepony sú rovnaké, teda \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((d)\) .
Pretože v pravidelnom mnohouholníku sa stredy opísanej a vpísanej kružnice zhodujú (všeobecne povedané, tento bod sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka), potom \(H\) je stred opísanej kružnice. Nakreslíme kolmice z bodu \(H\) do strán podstavy: \(HK_1, HK_2\) atď. Toto sú polomery vpísanej kružnice (podľa definície). Potom podľa TTP (\(PH\) je kolmica na rovinu, \(HK_1, HK_2\) atď. sú projekcie kolmé na strany) naklonené \(PK_1, PK_2\) atď. kolmo na strany \(A_1A_2, A_2A_3\) atď. resp. Takže podľa definície \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H\) rovné uhlom medzi bočnými plochami a základňou. Pretože trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) sú rovnaké (ako pravouhlé na dvoch stranách), potom uhly \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H, ...\) sú si rovní.
5) Dokážme, že \((d)\) implikuje \((b)\) .
Podobne ako vo štvrtom bode sú trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) rovnaké (ako pravouhlé pozdĺž nohy a ostrý uhol), čo znamená, že segmenty \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sú rovnaké rovný. To podľa definície znamená, že \(H\) je stred kruhu vpísaného do základne. Ale pretože V prípade pravidelných mnohouholníkov sa stredy vpísanej a opísanej kružnice zhodujú, potom je \(H\) stredom kružnice opísanej. Chtd.
Dôsledok
Bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.
Definícia
Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu sa nazýva apotéma.
Apotémy všetkých bočných stien pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné a sú to tiež stredy a stredy.
Dôležité poznámky
1. Výška pravidelnej trojuholníkovej pyramídy spadá do priesečníka výšok (alebo polôh alebo stredníc) základne (základňa je pravidelný trojuholník).
2. Výška pravidelného štvorbokého ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je štvorec).
3. Výška pravidelného šesťhranného ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je pravidelný šesťuholník).
4. Výška pyramídy je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu na základni.
Definícia
Pyramída je tzv pravouhlý, ak je jedna z jeho bočných hrán kolmá na rovinu podstavy.
Dôležité poznámky
1. V pravouhlej pyramíde je hrana kolmá na základňu výškou pyramídy. To znamená, že \(SR\) je výška.
2. Pretože \(SR\) je teda kolmá na akúkoľvek čiaru od základne \(\trojuholník SRM, \trojuholník SRP\)– pravouhlé trojuholníky.
3. Trojuholníky \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- tiež pravouhlý.
To znamená, že akýkoľvek trojuholník tvorený touto hranou a uhlopriečkou vychádzajúca z vrcholu tejto hrany ležiacej na základni bude pravouhlý.
\[(\Veľký(\text(Objem a povrch pyramídy)))\]
Veta
Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky pyramídy: \
Dôsledky
Nech \(a\) je strana základne, \(h\) je výška pyramídy.
1. Objem pravidelného trojuholníkového ihlana je \(V_(\text(pravý trojuholník.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Objem pravidelného štvorbokého ihlana je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).
3. Objem pravidelného šesťhranného ihlana je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Objem pravidelného štvorstenu je \(V_(\text(pravé tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Veta
Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovičnému súčinu obvodu základne a apotému.
\[(\Large(\text(Frustum)))\]
Definícia
Uvažujme ľubovoľnú pyramídu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujme rovinu rovnobežnú so základňou pyramídy cez určitý bod ležiaci na bočnej hrane pyramídy. Táto rovina rozdelí pyramídu na dva mnohosteny, z ktorých jeden je pyramída (\(PB_1B_2...B_n\)) a druhý je tzv. zrezaná pyramída(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Zrezaná pyramída má dve základne - mnohouholníky \(A_1A_2...A_n\) a \(B_1B_2...B_n\), ktoré sú si navzájom podobné.
Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z niektorého bodu hornej základne k rovine spodnej základne.
Dôležité poznámky
1. Všetky bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.
2. Úsečka spájajúca stredy podstav pravidelného zrezaného ihlana (t. j. ihlanu získaného prierezom pravidelného ihlana) je výška.
hypotéza: veríme, že dokonalosť tvaru pyramídy je spôsobená matematickými zákonmi, ktoré sú vlastné jej tvaru.
Cieľ: Po preštudovaní pyramídy ako geometrického telesa vysvetlite dokonalosť jej tvaru.
Úlohy:
1. Uveďte matematickú definíciu pyramídy.
2. Študujte pyramídu ako geometrické teleso.
3. Pochopte, aké matematické poznatky Egypťania začlenili do svojich pyramíd.
Súkromné otázky:
1. Čo je pyramída ako geometrické teleso?
2. Ako možno z matematického hľadiska vysvetliť jedinečný tvar pyramídy?
3. Čo vysvetľuje geometrické zázraky pyramídy?
4. Čo vysvetľuje dokonalosť tvaru pyramídy?
Definícia pyramídy.
PYRAMÍDA (z gréčtiny pyramis, gen. pyramidos) - mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zvyšné strany sú trojuholníky so spoločným vrcholom (kresba). Na základe počtu rohov základne sú pyramídy klasifikované ako trojuholníkové, štvoruholníkové atď.
PYRAMÍDA - monumentálna stavba, ktorá má geometrický tvar pyramídy (niekedy aj stupňovitý alebo vežovitý). Pyramídy sú pomenovanie pre obrovské hrobky staroegyptských faraónov z 3. – 2. tisícročia pred Kristom. e., ako aj staroveké americké chrámové podstavce (v Mexiku, Guatemale, Hondurase, Peru), spojené s kozmologickými kultmi.
Je možné, že grécke slovo „pyramída“ pochádza z egyptského výrazu per-em-us, t. j. z výrazu, ktorý znamená výšku pyramídy. Vynikajúci ruský egyptológ V. Struve veril, že grécke „puram...j“ pochádza zo staroegyptského „p“-mr.
Z histórie. Po preštudovaní materiálu v učebnici „Geometria“ od autorov Atanasyan. Butuzova a ďalších sme sa dozvedeli, že: Mnohosten zložený z n-uholníka A1A2A3 ... An a n trojuholníkov PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 sa nazýva pyramída. Mnohouholník A1A2A3...An je základňa pyramídy a trojuholníky PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 sú bočné steny pyramídy, P je vrchol pyramídy, segmenty PA1, PA2,.. ., PAn sú bočné okraje.
Táto definícia pyramídy však vždy neexistovala. Napríklad starogrécky matematik, autor teoretických pojednaní o matematike, ktoré sa k nám dostali, Euclid, definuje pyramídu ako pevnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.
Ale táto definícia bola kritizovaná už v staroveku. Heron teda navrhol nasledujúcu definíciu pyramídy: „Je to postava ohraničená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a ktorej základňou je mnohouholník.
Naša skupina po porovnaní týchto definícií dospela k záveru, že nemajú jasnú formuláciu pojmu „základ“.
Preskúmali sme tieto definície a našli sme definíciu Adriena Marie Legendre, ktorý v roku 1794 vo svojom diele „Elements of Geometry“ definuje pyramídu takto: „Pyramída je pevná postava tvorená trojuholníkmi zbiehajúcimi sa v jednom bode a končiacimi na rôznych stranách. plochá základňa."
Zdá sa nám, že posledná definícia dáva jasnú predstavu o pyramíde, pretože hovorí o tom, že základňa je plochá. Ďalšia definícia pyramídy sa objavila v učebnici z 19. storočia: „pyramída je pevný uhol, ktorý pretína rovina“.
Pyramída ako geometrické teleso.
To. Pyramída je mnohosten, ktorého jedna stena (základňa) je mnohouholník, zvyšné steny (strany) sú trojuholníky, ktoré majú jeden spoločný vrchol (vrchol pyramídy).
Kolmica vedená z vrcholu pyramídy na rovinu základne sa nazýva výškah pyramídy.
Okrem ľubovoľnej pyramídy existujú správna pyramída na základni ktorého je pravidelný mnohouholník a zrezaná pyramída.
Na obrázku je pyramída PABCD, ABCD je jej základňa, PO je jej výška.
Celková plocha povrchu pyramída je súčet plôch všetkých jej plôch.
Sfull = Sside + Smain, Kde Side– súčet plôch bočných plôch.
Objem pyramídy sa nachádza podľa vzorca:
V=1/3Sbas. h, kde Sbas. - základná plocha, h- výška.
 |
|
Apotéma ST je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy.
Plocha bočnej steny pravidelnej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana. = 1/2P h, kde P je obvod základne, h- výška bočného čela (apotém pravidelnej pyramídy). Ak pyramídu pretína rovina A'B'C'D', rovnobežná so základňou, potom:
1) bočné rebrá a výška sú rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
2) v priereze sa získa mnohouholník A’B’C’D’, podobný základni;
https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">
Základy zrezanej pyramídy– podobné polygóny ABCD a A`B`C`D`, bočné strany sú lichobežníky.
Výška zrezaná pyramída - vzdialenosť medzi základňami.
Skrátený objem pyramídu nájdeme podľa vzorca:
V = 1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je vyjadrená takto: Sstrana = ½(P+P') h, kde P a P' sú obvody základní, h- výška bočnej strany (apotém pravidelnej skrátenej pirami
Časti pyramídy.
Rezy pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky.
Úsek prechádzajúci dvoma nesusediacimi bočnými okrajmi pyramídy sa nazýva diagonálny rez.
Ak rez prechádza bodom na bočnom okraji a na strane základne, potom jeho stopa k rovine základne pyramídy bude táto strana.
Úsek prechádzajúci bodom ležiacim na čele pyramídy a daný úsek rezu na základnej rovine, potom by sa mala konštrukcia vykonať takto:
· nájsť priesečník roviny danej steny a stopy rezu pyramídy a označiť ho;
· zostrojiť priamku prechádzajúcu daným bodom a výsledným priesečníkom;
· zopakujte tieto kroky pre ďalšie tváre.
, čo zodpovedá pomeru ramien pravouhlého trojuholníka 4:3. Tento pomer nôh zodpovedá známemu pravouhlému trojuholníku so stranami 3:4:5, ktorý sa nazýva „dokonalý“, „posvätný“ alebo „egyptský“ trojuholník. Podľa historikov dostal „egyptský“ trojuholník magický význam. Plutarchos napísal, že Egypťania prirovnávali povahu vesmíru k „posvätnému“ trojuholníku; vertikálnu nohu symbolicky prirovnali k manželovi, základňu k manželke a preponu k tej, ktorá sa rodí z oboch.
Pre trojuholník 3:4:5 platí rovnosť: 32 + 42 = 52, čo vyjadruje Pytagorovu vetu. Nebola to táto veta, ktorú chceli egyptskí kňazi zachovať, keď postavili pyramídu založenú na trojuholníku 3:4:5? Ťažko nájsť úspešnejší príklad na ilustráciu Pytagorovej vety, ktorú poznali Egypťania dávno pred jej objavením Pytagorom.
Brilantní tvorcovia egyptských pyramíd sa teda snažili ohromiť vzdialených potomkov hĺbkou svojich vedomostí a dosiahli to výberom „zlatého“ pravouhlého trojuholníka ako „hlavnej geometrickej myšlienky“ pre Cheopsovu pyramídu a „posvätného“ alebo „egyptský“ pre pyramídu Khafre.
Vedci pri svojom výskume veľmi často využívajú vlastnosti pyramíd s proporciami Zlatého rezu.
Matematický encyklopedický slovník uvádza nasledujúcu definíciu zlatého rezu - ide o harmonické delenie, delenie v extrémnych a stredných pomeroch - rozdelenie segmentu AB na dve časti tak, že jeho väčšia časť AC je priemerná úmerná medzi celým segmentom. AB a jeho menšia časť SV.
Algebraické určenie zlatého rezu segmentu AB = a redukuje na riešenie rovnice a: x = x: (a – x), z ktorej x sa približne rovná 0,62a. Pomer x môžeme vyjadriť ako zlomky 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, kde 2, 3, 5, 8, 13, 21 sú Fibonacciho čísla.
Geometrická konštrukcia zlatého rezu segmentu AB sa vykonáva nasledovne: v bode B sa obnoví kolmica na AB, položí sa naň segment BE = 1/2 AB, spoja sa A a E, DE = BE je prepustený a nakoniec AC = AD, potom je splnená rovnosť AB: CB = 2:3.
Zlatý rez sa často používa v umeleckých dielach, architektúre a nachádza sa v prírode. Živými príkladmi sú socha Apolla Belvedere a Parthenon. Pri stavbe Parthenonu bol použitý pomer výšky budovy k jej dĺžke a tento pomer je 0,618. Predmety okolo nás tiež poskytujú príklady zlatého rezu, napríklad väzby mnohých kníh majú pomer šírky k dĺžke blízky 0,618. Vzhľadom na usporiadanie listov na spoločnej stonke rastlín si môžete všimnúť, že medzi každými dvoma pármi listov sa tretí nachádza v zlatom reze (sklíčka). Každý z nás „nesie“ zlatý pomer so sebou „vo svojich rukách“ - to je pomer falangov prstov.
Vďaka objavu niekoľkých matematických papyrusov sa egyptológovia dozvedeli niečo o staroegyptských systémoch výpočtu a merania. Úlohy v nich obsiahnuté riešili pisári. Jedným z najznámejších je Rhindov matematický papyrus. Štúdiom týchto problémov sa egyptológovia dozvedeli, ako starí Egypťania narábali s rôznymi veličinami, ktoré vznikli pri výpočte mier hmotnosti, dĺžky a objemu, ktoré často zahŕňali zlomky, ako aj to, ako narábali s uhlami.
Starovekí Egypťania používali metódu výpočtu uhlov na základe pomeru výšky k základni pravouhlého trojuholníka. Vyjadrili akýkoľvek uhol v jazyku gradientu. Gradient sklonu bol vyjadrený ako pomer celých čísel nazývaný "seced". Richard Pillins v knihe Mathematics in the Age of the Pharaohs vysvetľuje: „Seked pravidelnej pyramídy je sklon ktorejkoľvek zo štyroch trojuholníkových stien k rovine základne, meraný n-tým počtom horizontálnych jednotiek na vertikálnu jednotku vzostupu. . Táto jednotka merania je teda ekvivalentná nášmu modernému kotangensu uhla sklonu. Preto egyptské slovo „seced“ súvisí s naším moderným slovom „gradient“.
Číselný kľúč pyramíd spočíva v pomere ich výšky k základni. Z praktického hľadiska je to najjednoduchší spôsob, ako vyrobiť šablóny potrebné na neustálu kontrolu správneho uhla sklonu počas celej stavby pyramídy.
Egyptológovia by nás radi presvedčili, že každý faraón túžil vyjadriť svoju individualitu, a preto sú rozdiely v uhloch sklonu pre každú pyramídu. Ale môže to byť aj iný dôvod. Možno všetci chceli stelesniť rôzne symbolické asociácie, skryté v rôznych pomeroch. Avšak uhol Khafrovej pyramídy (založený na trojuholníku (3:4:5) sa objavuje v troch problémoch prezentovaných pyramídami v Rhindovom matematickom papyruse). Takže tento postoj bol dobre známy starým Egypťanom.
Aby sme boli spravodliví voči egyptológom, ktorí tvrdia, že starí Egypťania nevedeli o trojuholníku 3:4:5, dĺžka prepony 5 sa nikdy nespomínala. Ale matematické problémy týkajúce sa pyramíd sa vždy riešia na základe uhla seceda - pomeru výšky k základni. Keďže dĺžka prepony nebola nikdy spomenutá, dospelo sa k záveru, že Egypťania nikdy nevypočítali dĺžku tretej strany.
Pomery výšky a základne používané v pyramídach v Gíze boli nepochybne známym starým Egypťanom. Je možné, že tieto vzťahy pre každú pyramídu boli zvolené ľubovoľne. To je však v rozpore s dôležitosťou, ktorá sa pripisuje číselnej symbolike vo všetkých typoch egyptského výtvarného umenia. Je veľmi pravdepodobné, že takéto vzťahy boli významné, pretože vyjadrovali špecifické náboženské predstavy. Inými slovami, celý komplex v Gíze bol podriadený ucelenému dizajnu navrhnutému tak, aby odrážal určitú božskú tému. To by vysvetľovalo, prečo dizajnéri zvolili rôzne uhly pre tri pyramídy.
V knihe The Orion Mystery predložili Bauval a Gilbert presvedčivé dôkazy spájajúce pyramídy v Gíze so súhvezdím Orion, najmä hviezdy Orionovho pásu. Rovnaké súhvezdie je prítomné aj v mýte o Isis a Osiris a existuje dôvod považovať každú pyramídu za pyramídu. reprezentácia jedného z troch hlavných božstiev - Osiris, Isis a Horus.
"GEOMETRICKÉ" ZÁZRAKY.
Medzi grandióznymi pyramídami Egypta zaujíma osobitné miesto Veľká pyramída faraóna Cheopsa (Khufu). Skôr ako začneme analyzovať tvar a veľkosť Cheopsovej pyramídy, mali by sme si spomenúť, aký systém mier Egypťania používali. Egypťania mali tri jednotky dĺžky: „loket“ (466 mm), ktorý sa rovnal siedmim „dlaniam“ (66,5 mm), čo sa zase rovnalo štyrom „prstom“ (16,6 mm).
Analyzujme rozmery Cheopsovej pyramídy (obr. 2) na základe argumentov uvedených v nádhernej knihe ukrajinského vedca Nikolaja Vasjutinského „Zlatý pomer“ (1990).
Väčšina výskumníkov súhlasí s tým, že dĺžka strany základne pyramídy, napr. GF rovná sa L= 233,16 m Táto hodnota takmer presne zodpovedá 500 „lakťom“. Úplná zhoda s 500 „lakťami“ nastane, ak sa dĺžka „lakťa“ považuje za rovnú 0,4663 m.
Výška pyramídy ( H) odhadujú výskumníci rôzne od 146,6 do 148,2 m a v závislosti od akceptovanej výšky pyramídy sa menia všetky vzťahy jej geometrických prvkov. Aký je dôvod rozdielov v odhadoch výšky pyramídy? Faktom je, že presne povedané, Cheopsova pyramída je skrátená. Jej horná plošina dnes meria približne 10´ 10 m, no pred storočím mala 6´ 6 m. Vrch pyramídy bol zjavne rozobratý a nezodpovedá pôvodnému.
Pri posudzovaní výšky pyramídy je potrebné vziať do úvahy taký fyzikálny faktor, ako je „návrh“ konštrukcie. Počas dlhého obdobia sa pod vplyvom kolosálneho tlaku (dosahujúceho 500 ton na 1 m2 spodnej plochy) výška pyramídy zmenšila oproti pôvodnej výške.
Aká bola pôvodná výška pyramídy? Táto výška môže byť znovu vytvorená nájdením základnej "geometrickej myšlienky" pyramídy.
Obrázok 2
V roku 1837 anglický plukovník G. Wise zmeral uhol sklonu stien pyramídy: ukázalo sa, že je rovnaký a= 51°51". Táto hodnota je dodnes uznávaná väčšinou výskumníkov. Uvedená hodnota uhla zodpovedá dotyčnici (tg a), rovná 1,27306. Táto hodnota zodpovedá pomeru výšky pyramídy AC na polovicu svojej základne C.B.(obr.2), tj A.C. / C.B. = H / (L / 2) = 2H / L.
A tu čakalo výskumníkov veľké prekvapenie!.png" width="25" height="24">= 1,272. Porovnanie tejto hodnoty s hodnotou tg a= 1,27306, vidíme, že tieto hodnoty sú veľmi blízko seba. Ak vezmeme uhol a= 51°50", to znamená, že ho znížte len o jednu oblúkovú minútu, potom hodnotu a sa bude rovnať 1,272, to znamená, že sa bude zhodovať s hodnotou. Treba poznamenať, že v roku 1840 G. Wise zopakoval svoje merania a objasnil, že hodnota uhla a= 51°50".
Tieto merania viedli výskumníkov k nasledujúcej veľmi zaujímavej hypotéze: trojuholník ACB Cheopsovej pyramídy vychádzal zo vzťahu AC / C.B. = = 1,272!
Zvážte teraz pravý trojuholník ABC, v ktorom pomer nôh A.C. / C.B.= (obr. 2). Ak teraz dĺžky strán obdĺžnika ABC určiť podľa x, r, z, a tiež vziať do úvahy, že pomer r/x= , potom v súlade s Pytagorovou vetou dĺžka z možno vypočítať pomocou vzorca:
Ak prijmeme x = 1, r= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">
Obrázok 3."Zlatý" pravouhlý trojuholník.
Pravouhlý trojuholník, v ktorom sú strany spojené ako t:zlatý" pravouhlý trojuholník.
Potom, ak vezmeme za základ hypotézu, že hlavnou „geometrickou myšlienkou“ Cheopsovej pyramídy je „zlatý“ pravouhlý trojuholník, potom môžeme ľahko vypočítať „návrhovú“ výšku Cheopsovej pyramídy. Rovná sa:
H = (L/2)' = 148,28 m.
Odvoďme teraz niektoré ďalšie vzťahy pre Cheopsovu pyramídu, ktoré vyplývajú zo „zlatej“ hypotézy. Najmä nájdeme pomer vonkajšej plochy pyramídy k ploche jej základne. Aby sme to urobili, vezmeme dĺžku nohy C.B. na jednotku, teda: C.B.= 1. Ale potom dĺžka strany základne pyramídy GF= 2 a plocha základne EFGH budú rovné SEFGH = 4.
Vypočítajme teraz plochu bočnej steny Cheopsovej pyramídy SD. Pretože výška AB trojuholník AEF rovná sa t, potom sa plocha bočnej plochy bude rovnať SD = t. Potom sa celková plocha všetkých štyroch bočných stien pyramídy bude rovnať 4 t a pomer celkovej vonkajšej plochy pyramídy k ploche základne sa bude rovnať zlatému pomeru! toto je ono - hlavná geometrická záhada Cheopsovej pyramídy!
Skupina „geometrických zázrakov“ Cheopsovej pyramídy zahŕňa skutočné a pritiahnuté za vlasy vlastnosti vzťahov medzi rôznymi dimenziami v pyramíde.
Spravidla sa získavajú pri hľadaní určitých „konštantín“, najmä čísla „pi“ (Ludolfovo číslo), ktoré sa rovná 3,14159...; základ prirodzených logaritmov "e" (neperovské číslo), rovný 2,71828...; číslo "F", číslo "zlatého rezu", rovné napríklad 0,618... atď.
Môžete pomenovať napr.: 1) Vlastnosť Herodota: (Výška)2 = 0,5 čl. základné x Apothem; 2) Majetok V. Cena: Výška: 0,5 čl. základ = Druhá odmocnina z "F"; 3) Vlastnosť M. Eista: Obvod základne: 2 Výška = "Pi"; v inej interpretácii - 2 polievkové lyžice. základné : Výška = "Pi"; 4) Vlastnosť G. Hrany: Polomer vpísanej kružnice: 0,5 čl. základné = "F"; 5) Majetok K. Kleppischa: (čl. main.)2: 2(čl. hlavný. x apotém) = (čl. hlavný. W. Apothema) = 2 (čl. hlavný. x apotém) : ((2 čl. . hlavný X Apotém) + (v. hlavný)2). A tak ďalej. Takýchto vlastností môžete vymyslieť veľa, najmä ak spojíte dve susediace pyramídy. Napríklad ako „Vlastnosti A. Arefyeva“ možno uviesť, že rozdiel v objemoch Cheopsovej pyramídy a Rachefovej pyramídy sa rovná dvojnásobku objemu Mikerinovej pyramídy...
Mnohé zaujímavé body, najmä o stavbe pyramíd podľa „zlatého rezu“, sú uvedené v knihách D. Hambidgea „Dynamická symetria v architektúre“ a M. Gicka „Estetika proporcie v prírode a umení“. Pripomeňme si, že „zlatý pomer“ je rozdelenie segmentu v takom pomere, že časť A je toľkokrát väčšia ako časť B, koľkokrát A je menšia ako celý segment A + B. Pomer A/B sa rovná číslu „F“ == 1,618 .. Použitie „zlatého rezu“ je uvedené nielen v jednotlivých pyramídach, ale aj v celom komplexe pyramíd v Gíze.
Najzaujímavejšie však je, že jedna a tá istá Cheopsova pyramída jednoducho „nemôže“ obsahovať toľko úžasných vlastností. Ak vezmeme určitú vlastnosť jednu po druhej, možno ju „vybaviť“, ale všetky sa nezmestia naraz - nezhodujú sa, protirečia si. Ak teda napríklad pri kontrole všetkých vlastností zoberieme na začiatku rovnakú stranu základne pyramídy (233 m), potom sa budú líšiť aj výšky pyramíd s rôznymi vlastnosťami. Inými slovami, existuje určitá „rodina“ pyramíd, ktoré sú zvonka podobné Cheopsovi, ale majú odlišné vlastnosti. Všimnite si, že v „geometrických“ vlastnostiach nie je nič mimoriadne zázračné - veľa vyplýva čisto automaticky z vlastností samotnej postavy. Za „zázrak“ treba považovať len niečo, čo bolo pre starých Egypťanov zjavne nemožné. Patria sem najmä „kozmické“ zázraky, v ktorých sa merania Cheopsovej pyramídy alebo pyramídového komplexu v Gíze porovnávajú s niektorými astronomickými meraniami a uvádzajú sa „párne“ čísla: miliónkrát menej, miliardakrát menej a tak ďalej. Uvažujme o niektorých „kozmických“ vzťahoch.
Jedno z tvrdení znie: „ak vydelíte stranu základne pyramídy presnou dĺžkou roka, dostanete presne 10 milióntin zemskej osi“. Vypočítajte: vydeľte 233 číslom 365, dostaneme 0,638. Polomer Zeme je 6378 km.
Ďalšie tvrdenie je vlastne opakom predchádzajúceho. F. Noetling poukázal na to, že ak použijeme „egyptský lakeť“, ktorý sám vynašiel, strana pyramídy bude zodpovedať „najpresnejšiemu trvaniu slnečného roka, vyjadrenému na najbližšiu miliardtinu dňa“ – 365 540 903 777 .
Výrok P. Smitha: "Výška pyramídy je presne jedna miliardtina vzdialenosti od Zeme k Slnku." Aj keď je výška zvyčajne 146,6 m, Smith ju považoval za 148,2 m. Podľa moderných radarových meraní je hlavná poloos zemskej dráhy 149 597 870 + 1,6 km. Toto je priemerná vzdialenosť od Zeme k Slnku, ale v perihéliu je to o 5 000 000 kilometrov menej ako v aféliu.
Posledné zaujímavé tvrdenie:
"Ako môžeme vysvetliť, že hmotnosti pyramíd Cheops, Khafre a Mykerinus navzájom súvisia, ako sú hmotnosti planét Zem, Venuša, Mars?" Poďme počítať. Hmotnosti troch pyramíd sú: Khafre - 0,835; Cheops - 1 000; Mikerin - 0,0915. Pomery hmotností troch planét: Venuša - 0,815; Zem - 1 000; Mars - 0,108.
Takže napriek skepticizmu si všimneme dobre známu harmóniu konštrukcie výrokov: 1) výška pyramídy, ako čiara „ide do vesmíru“, zodpovedá vzdialenosti od Zeme k Slnku; 2) strana základne pyramídy, ktorá je najbližšie „k substrátu“, teda k Zemi, je zodpovedná za zemský polomer a zemský obeh; 3) objemy pyramídy (čítaj - hmotnosti) zodpovedajú pomeru hmotností planét najbližších k Zemi. Podobnú „šifru“ možno vysledovať napríklad vo včelej reči, ktorú analyzoval Karl von Frisch. Zatiaľ sa však k tejto veci nebudeme vyjadrovať.
TVAR PYRAMÍDY
Slávny štvorstenný tvar pyramíd nevznikol okamžite. Skýti robili pohrebiská vo forme hlinených kopcov - mohýl. Egypťania stavali „kopce“ z kameňa – pyramídy. Prvýkrát sa tak stalo po zjednotení Horného a Dolného Egypta, v 28. storočí pred Kristom, keď zakladateľ tretej dynastie faraón Džoser (Zoser) stál pred úlohou posilniť jednotu krajiny.
A tu podľa historikov zohral dôležitú úlohu pri posilňovaní centrálnej moci „nový koncept zbožštenia“ kráľa. Aj keď sa kráľovské pohrebiská vyznačovali väčšou nádherou, v zásade sa nelíšili od hrobiek dvorných šľachticov, boli to rovnaké stavby - mastaby. Nad komorou so sarkofágom obsahujúcim múmiu bol nasypaný obdĺžnikový kopec malých kameňov, kde bola potom postavená malá budova z veľkých kamenných blokov - „mastaba“ (v arabčine - „lavička“). Faraón Džoser postavil prvú pyramídu na mieste mastaby svojho predchodcu Sanachta. Bol stupňovitý a bol viditeľným prechodným štádiom z jednej architektonickej formy do druhej, od mastaby k pyramíde.
Takto faraóna „vychoval“ mudrc a architekt Imhotep, ktorého neskôr považovali za čarodejníka a Gréci ho stotožňovali s bohom Asclepiusom. Akoby sa postavilo šesť mastáb za sebou. Prvá pyramída navyše zaberala plochu 1125 x 115 metrov s odhadovanou výškou 66 metrov (podľa egyptských štandardov - 1 000 „paliem“). Architekt najskôr plánoval postaviť mastabu, nie však podlhovastého, ale štvorcového pôdorysu. Neskôr bola rozšírená, ale keďže bola prístavba robená nižšie, zdalo sa, že sú tam dva schodíky.
Táto situácia architekta neuspokojila a na hornú plošinu obrovskej plochej mastaby umiestnil Imhotep ďalšie tri, ktoré sa smerom k vrcholu postupne znižovali. Hrobka sa nachádzala pod pyramídou.
Je známych niekoľko ďalších stupňovitých pyramíd, ale neskôr stavitelia prešli na stavbu štvorstenných pyramíd, ktoré sú nám známejšie. Prečo však nie trojuholníkový alebo povedzme osemuholníkový? Nepriama odpoveď je daná skutočnosťou, že takmer všetky pyramídy sú dokonale orientované pozdĺž štyroch svetových strán, a preto majú štyri strany. Okrem toho bola pyramída „domom“, plášťom štvorhrannej pohrebnej komory.
Čo však určilo uhol sklonu tvárí? V knihe „Princíp proporcií“ je tomu venovaná celá kapitola: „Čo mohlo určiť uhly sklonu pyramíd. Predovšetkým sa uvádza, že „obraz, ku ktorému sa priťahujú veľké pyramídy Starej ríše, je trojuholník s pravým uhlom na vrchole.
Vo vesmíre je to poloktaedrón: pyramída, v ktorej sú okraje a strany základne rovnaké, okraje sú rovnostranné trojuholníky." Určité úvahy o tejto téme sú uvedené v knihách Hambidge, Gick a ďalších.
Aká je výhoda poloktaedrónového uhla? Podľa opisov archeológov a historikov sa niektoré pyramídy zrútili vlastnou váhou. Potrebný bol „uhol trvanlivosti“, uhol, ktorý bol energeticky najspoľahlivejší. Čisto empiricky možno tento uhol odobrať z vrcholového uhla v hromade rozpadajúceho sa suchého piesku. Ak však chcete získať presné údaje, musíte použiť model. Keď vezmete štyri pevne pripevnené gule, musíte na ne umiestniť piatu a zmerať uhly sklonu. Tu sa však môžete pomýliť, preto pomáha teoretický výpočet: stredy loptičiek by ste mali spájať čiarami (mentálne). Základňa bude štvorec so stranou rovnajúcou sa dvojnásobku polomeru. Štvorec bude len základňou pyramídy, ktorej dĺžka hrán bude tiež rovná dvojnásobku polomeru.
Tesné balenie loptičiek ako 1:4 nám teda poskytne pravidelný poloktaedrón.
Prečo si ho však mnohé pyramídy, tiahnuce sa k podobnému tvaru, nezachovajú? Pyramídy pravdepodobne starnú. Na rozdiel od známeho výroku:
„Všetko na svete sa bojí času a čas sa bojí pyramíd,“ budovy pyramíd musia starnúť, môžu a mali by v nich prebiehať nielen procesy vonkajšieho zvetrávania, ale aj procesy vnútorného „zmršťovania“, z ktorých pyramídy sa môžu znížiť. Zmrašťovanie je možné aj preto, že, ako odhalila práca D. Davidovitsa, starí Egypťania používali technológiu výroby blokov z vápenných triesok, inými slovami, z „betónu“. Práve podobné procesy by mohli vysvetliť dôvod zničenia Medumskej pyramídy, ktorá sa nachádza 50 km južne od Káhiry. Má 4600 rokov, rozmery základne 146 x 146 m, výška 118 m. „Prečo je taký znetvorený?“ pýta sa V. Zamarovský „Zvyčajné odkazy na ničivé pôsobenie času a „použitie kameňa na iné stavby“ tu nie sú vhodné.
Väčšina jej blokov a obkladových dosiek zostala na svojom mieste dodnes, v troskách na jej úpätí.“ Ako uvidíme, množstvo ustanovení nás dokonca núti myslieť si, že „scvrkla“ aj slávna Cheopsova pyramída. v každom prípade, na všetkých starovekých obrazoch sú pyramídy špicaté ...
Tvar pyramíd mohol vzniknúť aj napodobňovaním: niektoré prírodné vzorky, „zázračná dokonalosť“, povedzme nejaké kryštály vo forme osemstenu.
Podobné kryštály by mohli byť diamantové a zlaté kryštály. Pre také pojmy ako faraón, slnko, zlato, diamant je typický veľký počet „prekrývajúcich sa“ prvkov. Všade - ušľachtilý, brilantný (brilantný), skvelý, dokonalý a tak ďalej. Podobnosti nie sú náhodné.
Slnečný kult, ako je známe, bol dôležitou súčasťou náboženstva starovekého Egypta. „Bez ohľadu na to, ako preložíme názov najväčšej z pyramíd,“ poznamenáva jedna z moderných príručiek „Chufuova obloha“ alebo „Khufuová obloha“, znamenalo to, že kráľom je slnko. Ak si Chufu v lesku svojej sily predstavoval, že je druhým slnkom, potom sa jeho syn Djedef-Ra stal prvým z egyptských kráľov, ktorý sa nazýval „synom Ra“, teda synom Slnka. Takmer vo všetkých národoch bolo slnko symbolizované „solárnym kovom“, zlatom. „Veľký kotúč jasného zlata“ - tak Egypťania nazývali naše denné svetlo. Egypťania dokonale poznali zlato, poznali jeho pôvodné formy, kde sa zlaté kryštály môžu objaviť v podobe osemstenov.
„Slnečný kameň“ – diamant – je tu tiež zaujímavý ako „vzorka foriem“. Názov diamantu pochádza práve z arabského sveta, „almas“ - najťažší, najtvrdší, nezničiteľný. Starovekí Egypťania poznali diamant a jeho vlastnosti celkom dobre. Podľa niektorých autorov dokonca na vŕtanie používali bronzové rúrky s diamantovými frézami.
V súčasnosti je hlavným dodávateľom diamantov Južná Afrika, ale na diamanty je bohatá aj západná Afrika. Územie Republiky Mali sa dokonca nazýva „Diamantová krajina“. Medzitým na území Mali žijú Dogoni, s ktorými priaznivci hypotézy paleo-návštev vkladajú veľa nádejí (pozri nižšie). Diamanty nemohli byť dôvodom kontaktov starých Egypťanov s týmto regiónom. Tak či onak je však možné, že práve kopírovaním osemstenov diamantu a zlatých kryštálov tak starí Egypťania zbožštili faraónov, „nezničiteľných“ ako diamant a „brilantných“ ako zlato, synov Slnka, porovnateľných len k najúžasnejším výtvorom prírody.
Záver:
Po štúdiu pyramídy ako geometrického telesa, oboznámení sa s jej prvkami a vlastnosťami sme sa presvedčili o opodstatnenosti názoru o kráse tvaru pyramídy.
Ako výsledok nášho výskumu sme dospeli k záveru, že Egypťania, ktorí zozbierali najcennejšie matematické poznatky, ich stelesnili do pyramídy. Preto je pyramída skutočne najdokonalejším výtvorom prírody a človeka.
ZOZNAM POUŽITÝCH REFERENCIÍ
„Geometria: učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie\ atď. - 9. vyd. - M.: Školstvo, 1999
História matematiky v škole, M: „Prosveshchenie“, 1982.
Geometria 10-11 ročníkov, M: "Osvietenie", 2000
Peter Tompkins „Tajomstvá Veľkej Cheopsovej pyramídy“, M: „Tsentropoligraf“, 2005.
Internetové zdroje
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Úvod
Keď sme začali študovať stereometrické obrazce, dotkli sme sa témy „Pyramída“. Táto téma sa nám páčila, pretože pyramída je veľmi často využívaná v architektúre. A keďže naša budúca profesia architektúry je inšpirovaná touto postavou, myslíme si, že nás môže posunúť k vynikajúcim projektom.
Sila architektonických štruktúr je ich najdôležitejšou kvalitou. Spojenie pevnosti, po prvé, s materiálmi, z ktorých sú vytvorené, a po druhé, s vlastnosťami dizajnových riešení sa ukazuje, že pevnosť konštrukcie priamo súvisí s geometrickým tvarom, ktorý je pre ňu základ.
Inými slovami, hovoríme o geometrickom útvare, ktorý možno považovať za model zodpovedajúcej architektonickej formy. Ukazuje sa, že geometrický tvar určuje aj silu architektonickej štruktúry.
Od staroveku boli egyptské pyramídy považované za najodolnejšie architektonické stavby. Ako viete, majú tvar pravidelných štvoruholníkových pyramíd.
Práve tento geometrický tvar poskytuje najväčšiu stabilitu vďaka veľkej základnej ploche. Na druhej strane pyramídový tvar zaisťuje, že hmotnosť klesá so zvyšujúcou sa výškou nad zemou. Práve tieto dve vlastnosti robia pyramídu stabilnou, a teda pevnou v podmienkach gravitácie.
Cieľ projektu: naučte sa niečo nové o pyramídach, prehĺbte si vedomosti a nájdite praktické uplatnenie.
Na dosiahnutie tohto cieľa bolo potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:
· Naučte sa historické informácie o pyramíde
· Zvážte pyramídu ako geometrický útvar
· Nájsť uplatnenie v živote a architektúre
· Nájdite podobnosti a rozdiely medzi pyramídami nachádzajúcimi sa v rôznych častiach sveta
Teoretická časť
Historické informácie
Geometria pyramíd začala v starovekom Egypte a Babylone, ale aktívne sa rozvíjala v starovekom Grécku. Prvý, kto určil objem pyramídy, bol Democritus a Eudoxus z Cnidu to dokázal. Staroveký grécky matematik Euclid systematizoval poznatky o pyramíde v XII zväzku svojich „Elementov“ a odvodil aj prvú definíciu pyramídy: pevná postava ohraničená rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.
Hrobky egyptských faraónov. Najväčšie z nich – Cheopsove, Khafre a Mikerinove pyramídy v El Gíze – boli v staroveku považované za jeden zo siedmich divov sveta. Stavba pyramídy, v ktorej už Gréci a Rimania videli pomník bezprecedentnej pýchy kráľov a krutosti, ktorá odsúdila celý Egypt na nezmyselné stavanie, bola najdôležitejším kultovým činom a mala zjavne vyjadrovať mystickú identitu krajiny a jej vládcu. Obyvateľstvo krajiny pracovalo na stavbe hrobky počas časti roka bez poľnohospodárskych prác. Množstvo textov svedčí o pozornosti a starostlivosti, ktorú stavbe svojej hrobky a jej staviteľom venovali samotní králi (hoci neskoršej doby). Je známe aj o špeciálnych kultových poctách, ktoré boli udelené samotnej pyramíde.
Základné pojmy
Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zvyšné plochy sú trojuholníky, ktoré majú spoločný vrchol.
Apothem- výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vedená z jej vrcholu;
Bočné plochy- trojuholníky stretávajúce sa vo vrchole;
Bočné rebrá- spoločné strany bočných plôch;
Vrchol pyramídy- bod spájajúci bočné rebrá a neležiaci v rovine základne;
Výška- kolmý segment pretiahnutý cez vrchol pyramídy k rovine jeho základne (konce tohto segmentu sú vrchol pyramídy a základňa kolmice);
Diagonálny rez pyramídy- rez pyramídy prechádzajúci vrcholom a uhlopriečkou podstavy;
Základňa- mnohouholník, ktorý nepatrí k vrcholu pyramídy.
Základné vlastnosti pravidelnej pyramídy
Bočné okraje, bočné steny a apotémy sú v tomto poradí rovnaké.
Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké.
Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov základne.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch.
Základné pyramídové vzorce
Plocha bočného a celkového povrchu pyramídy.
Plocha bočnej plochy pyramídy (plná a zrezaná) je súčtom plôch všetkých jej bočných plôch, celková plocha je súčtom plôch všetkých jej plôch.
Veta: Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému pyramídy.
p- obvod základne;
h- apotéma.
Plocha bočných a plných plôch zrezanej pyramídy.
p 1, s 2 - obvody základne;
h- apotéma.
R- celková plocha pravidelnej zrezanej pyramídy;
S strana- plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy;
S1 + S2- základná plocha
Objem pyramídy
Formulár objem ula sa používa pre pyramídy akéhokoľvek druhu.
H- výška pyramídy.
Rohy pyramídy
Uhly tvorené bočnou stenou a základňou pyramídy sa nazývajú dihedrálne uhly v základni pyramídy.
Dihedrálny uhol tvoria dve kolmice.
Na určenie tohto uhla musíte často použiť vetu o troch kolmých.
Nazývajú sa uhly, ktoré zviera bočná hrana a jej priemet na rovinu základne uhly medzi bočnou hranou a rovinou základne.
Uhol, ktorý zvierajú dve bočné hrany, sa nazýva dihedrálny uhol na bočnom okraji pyramídy.
Uhol, ktorý tvoria dve bočné hrany jednej strany pyramídy, sa nazýva uhol na vrchole pyramídy.
Úseky pyramídy
Povrch pyramídy je povrchom mnohostenu. Každá z jej plôch je rovina, preto je rez pyramídy definovaný rovinou rezu prerušovanou čiarou pozostávajúcou z jednotlivých priamok.
Diagonálny rez
Nazýva sa úsek pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré neležia na rovnakej ploche diagonálny rez pyramídy.
Paralelné úseky
Veta:
Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou, potom sú bočné hrany a výšky pyramídy rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
Rez tejto roviny je mnohouholník podobný základni;
Plochy rezu a základne sú vo vzájomnom vzťahu ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.
Druhy pyramíd
Správna pyramída– pyramída, ktorej základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne.
Pre bežnú pyramídu:
1. bočné rebrá sú rovnaké
2. bočné plochy sú rovnaké
3. apotémy sú si rovné
4. Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké
5. dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké
6. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov základne
7. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných hrán
Skrátená pyramída- časť pyramídy uzavretá medzi jej základňou a rovinou rezu rovnobežnou so základňou.
Základňa a zodpovedajúca časť zrezanej pyramídy sa nazývajú základne zrezanej pyramídy.
Nazýva sa kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k rovine druhej výška zrezanej pyramídy.
Úlohy
č. 1. V pravidelnom štvorhrannom ihlane je bod O stred podstavy, SO=8 cm, BD=30 cm Nájdite bočnú hranu SA.
Riešenie problémov
č. 1. V pravidelnej pyramíde sú všetky plochy a hrany rovnaké.
Zvážte OSB: OSB je obdĺžnikový obdĺžnik, pretože.
SB2=S02+OB2
SB2 = 64 + 225 = 289
Pyramída v architektúre
Pyramída je monumentálna stavba vo forme obyčajnej pravidelnej geometrickej pyramídy, v ktorej sa strany zbiehajú v jednom bode. Podľa svojho funkčného účelu boli pyramídy v dávnych dobách miestami pochovávania alebo kultového kultu. Základňa pyramídy môže mať trojuholníkový, štvoruholníkový alebo mnohouholníkový tvar s ľubovoľným počtom vrcholov, ale najbežnejšou verziou je štvoruholníková základňa.
Existuje značné množstvo pyramíd, ktoré postavili rôzne kultúry starovekého sveta, najmä ako chrámy alebo pamiatky. Medzi veľké pyramídy patria egyptské pyramídy.
Po celej Zemi môžete vidieť architektonické štruktúry v podobe pyramíd. Budovy pyramíd pripomínajú dávne časy a vyzerajú veľmi krásne.
Egyptské pyramídy sú najväčšie architektonické pamiatky starovekého Egypta, vrátane jedného zo „siedmich divov sveta“, Cheopsovej pyramídy. Od úpätia po vrchol dosahuje 137,3 m, a kým nestratil vrchol, jeho výška bola 146,7 m.
Budova rozhlasu v hlavnom meste Slovenska, pripomínajúca obrátenú pyramídu, bola postavená v roku 1983. Okrem kancelárií a obslužných priestorov sa vo vnútri zväzku nachádza pomerne priestranná koncertná sála, ktorá má jeden z najväčších organov na Slovensku.
Louvre, ktorý je „tichý, nezmenený a majestátny, ako pyramída“, prešiel v priebehu storočí mnohými zmenami, kým sa stal najväčším múzeom na svete. Zrodila sa ako pevnosť, ktorú dal postaviť Filip Augustus v roku 1190 a ktorá sa čoskoro stala kráľovskou rezidenciou. V roku 1793 sa palác stal múzeom. Zbierky sa obohacujú prostredníctvom odkazov alebo nákupov.
Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Na vine sú slávne veľké egyptské divy sveta. Preto, keď sa začína študovať tento nádherný mnohosten, väčšina študentov si to už jasne predstavuje. Všetky vyššie spomenuté atrakcie majú správny tvar. Čo sa stalo pravidelná pyramída a aké vlastnosti má, o tom sa bude diskutovať ďalej.
Definícia
Existuje pomerne veľa definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.
Napríklad Euklides ho definoval ako telesnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa od jednej zbiehajú v určitom bode.
Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že toto bola postava má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.
Na základe modernej interpretácie je pyramída reprezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.
Pozrime sa na to podrobnejšie, z akých prvkov pozostáva:
- K-uholník sa považuje za základ obrázku;
- 3-uholníkové tvary vyčnievajú ako okraje bočnej časti;
- horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
- všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
- ak je priamka spustená z vrcholu do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť obsiahnutá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
- v ktoromkoľvek bočnom prvku môže byť na stranu nášho mnohostena nakreslená kolmica, nazývaná apotém.
Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, napríklad pyramída, možno určiť pomocou výrazu k+1.
Dôležité! Pyramída pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.
Základné vlastnosti
Správna pyramída má veľa vlastností, ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:
- Základom je postava správneho tvaru.
- Okraje pyramídy, ktoré obmedzujú bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
- Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
- Základňa výšky obrazca spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
- Všetky bočné rebrá sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
- Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.
Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je vykonávanie výpočtov prvkov oveľa jednoduchšie. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:
- V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
- Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky hrany pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.
Základom je štvorec
Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten, ktorého základňa je štvorec.
Má štyri bočné plochy, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.
Štvorec je znázornený na rovine, ale je založený na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.
Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom použite nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.
Je založená na pravidelnom trojuholníku
Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.
Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom je to také číslo nazývaný štvorsten.
Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:
- uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
- veľkosť všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
- ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
- , nakreslené vo vnútri obrázku, sú to rovnaké prvky.
Úseky mnohostenu
V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií byt. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:
- axiálne;
- paralelne so základom.
Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.
Pozor! V pravidelnej pyramíde je osový rez rovnoramenný trojuholník.
Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme prierez podobný základni.
Napríklad, ak je na základni štvorec, potom rez rovnobežný so základňou bude tiež štvorec, len menších rozmerov.
Pri riešení úloh za tejto podmienky používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.
Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže hornú časť mnohostenu, potom v spodnej časti vznikne pravidelná zrezaná pyramída. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.
Na určenie výšky zrezaného mnohostenu je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.
Plochy povrchu
Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.
Existujú dva typy hodnôt povrchovej plochy:
- plocha bočných prvkov;
- plocha celého povrchu.
Už z názvu je jasné, o čom hovoríme. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:
- Plocha rovnoramenného 3-uholníka sa rovná Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
- Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota je 4a = Rosn, kde Rosn je obvod základne. A výraz 1/2*Rosn je jeho polobvod.
- Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside = Rosn * L.
Plocha celkového povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p = Sside + Sbas.
Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.
Objem pravidelnej pyramídy rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbas*H, kde H je výška mnohostenu.
Čo je pravidelná pyramída v geometrii
Vlastnosti pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy
Koncept pyramídy
Definícia 1
Geometrický útvar tvorený mnohouholníkom a bodom neležiacim v rovine obsahujúcej tento mnohouholník, spojený so všetkými vrcholmi mnohouholníka, sa nazýva pyramída (obr. 1).
Mnohouholník, z ktorého je pyramída vyrobená, sa nazýva základňa pyramídy, výsledné trojuholníky, keď sú spojené s bodom, sú bočné steny pyramídy, strany trojuholníkov sú strany pyramídy a spoločný bod; ku všetkým trojuholníkom je vrchol pyramídy.
Druhy pyramíd
V závislosti od počtu uhlov na základni pyramídy ju možno nazvať trojuholníkovou, štvorhrannou atď. (obr. 2).
Obrázok 2
Ďalším typom pyramídy je pravidelná pyramída.
Predstavme si a dokážme vlastnosť pravidelnej pyramídy.
Veta 1
Všetky bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnoramenné trojuholníky, ktoré sú si navzájom rovné.
Dôkaz.
Uvažujme pravidelnú $n-$gonálnu pyramídu s vrcholom $S$ s výškou $h=SO$. Okolo základne nakreslíme kruh (obr. 4).
Obrázok 4.
Zoberme si trojuholník $SOA$. Podľa Pytagorovej vety dostaneme
Je zrejmé, že každá bočná hrana bude definovaná týmto spôsobom. V dôsledku toho sú všetky bočné hrany navzájom rovnaké, to znamená, že všetky bočné steny sú rovnoramenné trojuholníky. Dokážme, že sú si navzájom rovní. Keďže základňa je pravidelný mnohouholník, základne všetkých bočných plôch sú si navzájom rovné. V dôsledku toho sú všetky bočné steny rovnaké podľa III kritéria rovnosti trojuholníkov.
Veta bola dokázaná.
Uveďme si teraz nasledujúcu definíciu súvisiacu s pojmom pravidelná pyramída.
Definícia 3
Apotém pravidelnej pyramídy je výška jej bočnej steny.
Je zrejmé, že podľa prvej vety sú si všetky apotémy navzájom rovné.
Veta 2
Bočný povrch pravidelnej pyramídy je určený ako súčin polobvodu základne a apotému.
Dôkaz.
Označme stranu podstavy $n-$gonálnej pyramídy $a$ a apotém $d$. Preto sa plocha bočnej plochy rovná
Pretože podľa vety 1 sú všetky strany rovnaké
Veta bola dokázaná.
Ďalším typom pyramídy je zrezaná pyramída.
Definícia 4
Ak je rovina rovnobežná s jej základňou nakreslená cez obyčajný ihlan, potom obrazec vytvorený medzi touto rovinou a rovinou základne sa nazýva zrezaný ihlan (obr. 5).
Obrázok 5. Zrezaná pyramída
Bočné steny zrezanej pyramídy sú lichobežníky.
Veta 3
Bočný povrch pravidelnej zrezanej pyramídy je určený ako súčin súčtu polobvodov základní a apotému.
Dôkaz.
Označme strany podstav $n-$gonálnej pyramídy $a\ a\ b$ a apotém $d$. Preto sa plocha bočnej plochy rovná
Keďže všetky strany sú si rovné
Veta bola dokázaná.
Vzorová úloha
Príklad 1
Nájdite oblasť bočného povrchu zrezaného trojuholníkového ihlana, ak je získaná z pravidelnej pyramídy so základnou stranou 4 a apotémom 5 odrezaním roviny prechádzajúcej stredovou čiarou bočných plôch.
Riešenie.
Pomocou vety o strednej čiare zistíme, že horná základňa skrátenej pyramídy sa rovná $4\cdot \frac(1)(2)=2$ a apotém sa rovná $5\cdot \frac(1)(2) = 2,5 $.
Potom podľa vety 3 dostaneme