• apotéma- výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy, ktorá sa kreslí z jej vrcholu (navyše apotéma je dĺžka kolmice, ktorá je znížená zo stredu pravidelného mnohouholníka na jednu z jeho strán);
• bočné steny (ASB, BSC, CSD, DSA) - trojuholníky, ktoré sa stretávajú vo vrchole;
• bočné rebrá ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — spoločné strany bočných plôch;
• vrchol pyramídy (t. S) - bod, ktorý spája bočné rebrá a ktorý neleží v rovine základne;
• výška ( SO ) - kolmý segment pretiahnutý cez vrchol pyramídy k rovine jeho základne (konce takéhoto segmentu budú vrcholom pyramídy a základňou kolmice);
• diagonálny rez pyramídy- časť pyramídy, ktorá prechádza vrcholom a uhlopriečkou základne;
• základňu (ABCD) - mnohouholník, ktorý nepatrí k vrcholu pyramídy.

Vlastnosti pyramídy.

1. Keď majú všetky bočné okraje rovnakú veľkosť, potom:

• je ľahké opísať kruh blízko základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• bočné rebrá zvierajú rovnaké uhly s rovinou základne;
• Navyše to platí aj naopak, t.j. keď bočné rebrá zvierajú rovnaké uhly s rovinou podstavy, alebo keď je možné opísať kruh okolo podstavy pyramídy a vrchol pyramídy sa bude premietať do stredu tejto kružnice, znamená to, že všetky bočné hrany pyramídy majú rovnakú veľkosť.

2. Keď majú bočné plochy uhol sklonu k rovine základne rovnakej hodnoty, potom:

• je ľahké opísať kruh blízko základne pyramídy a vrchol pyramídy sa premietne do stredu tohto kruhu;
• výšky bočných plôch sú rovnako dlhé;
• plocha bočnej plochy sa rovná ½ súčinu obvodu základne a výšky bočnej plochy.

3. Guľu je možné opísať okolo pyramídy, ak sa na základni pyramídy nachádza mnohouholník, okolo ktorého možno opísať kruh (nutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín, ktoré prechádzajú stredmi okrajov pyramídy, ktoré sú na ne kolmé. Z tejto vety usudzujeme, že guľu je možné opísať okolo akéhokoľvek trojuholníka aj okolo akejkoľvek pravidelnej pyramídy.

4. Guľu možno vpísať do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v 1. bode (nutná a postačujúca podmienka). Tento bod sa stane stredom gule.

Najjednoduchšia pyramída.

Na základe počtu uhlov je základňa pyramídy rozdelená na trojuholníkové, štvoruholníkové atď.

Bude tam pyramída trojuholníkový, štvoruholníkový a tak ďalej, keď základňou pyramídy je trojuholník, štvoruholník atď. Trojuholníková pyramída je štvorsten - štvorsten. Štvoruholníkové - päťuholníkové a tak ďalej.

Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Na vine sú slávne veľké egyptské divy sveta. Preto, keď sa začína študovať tento nádherný mnohosten, väčšina študentov si to už jasne predstavuje. Všetky vyššie spomenuté atrakcie majú správny tvar. Čo sa stalo pravidelná pyramída a aké vlastnosti má, o tom sa bude diskutovať ďalej.

Definícia

Existuje pomerne veľa definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.

Napríklad Euklides ho definoval ako telesnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa od jednej zbiehajú v určitom bode.

Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že toto bola postava má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.

Na základe modernej interpretácie je pyramída reprezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.

Pozrime sa na to podrobnejšie, z akých prvkov pozostáva:

• K-uholník sa považuje za základ obrázku;
• 3-uholníkové tvary vyčnievajú ako okraje bočnej časti;
• horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
• všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
• ak je priamka spustená z vrcholu do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť obsiahnutá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
• v ktoromkoľvek bočnom prvku môže byť na stranu nášho mnohostena nakreslená kolmica, nazývaná apotém.

Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, napríklad pyramída, možno určiť pomocou výrazu k+1.

Dôležité! Pyramída pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.

Základné vlastnosti

Správna pyramída má veľa vlastností, ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:

1. Základom je figúrka správneho tvaru.
2. Okraje pyramídy, ktoré obmedzujú bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
3. Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
4. Základňa výšky obrazca spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
5. Všetky bočné rebrá sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
6. Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.

Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je vykonávanie výpočtov prvkov oveľa jednoduchšie. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:

1. V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky hrany pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.

Základom je štvorec

Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten, ktorého základňa je štvorec.

Má štyri bočné plochy, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.

Štvorec je znázornený na rovine, ale je založený na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.

Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom použite nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Je založená na pravidelnom trojuholníku

Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.

Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom je to také číslo nazývaný štvorsten.

Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:

• uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
• veľkosť všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
• ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
• , nakreslené vo vnútri obrázku, sú to rovnaké prvky.

Úseky mnohostenu

V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií byt. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:

• axiálne;
• paralelne so základom.

Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.

Pozor! V pravidelnej pyramíde je osový rez rovnoramenný trojuholník.

Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme prierez podobný základni.

Napríklad, ak je základňa štvorec, potom rez rovnobežný so základňou bude tiež štvorec, len s menšími rozmermi.

Pri riešení úloh za tejto podmienky používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže hornú časť mnohostenu, potom v spodnej časti vznikne pravidelná zrezaná pyramída. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.

Na určenie výšky zrezaného mnohostenu je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.

Plochy povrchu

Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.

Existujú dva typy hodnôt povrchovej plochy:

• plocha bočných prvkov;
• plocha celého povrchu.

Už z názvu je jasné, o čom hovoríme. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:

1. Plocha rovnoramenného 3-uholníka sa rovná Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
2. Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota je 4a = Rosn, kde Rosn je obvod základne. A výraz 1/2*Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside = Rosn * L.

Plocha celkového povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p = Sside + Sbas.

Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.

Objem pravidelnej pyramídy rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbas*H, kde H je výška mnohostenu.

Čo je pravidelná pyramída v geometrii

Vlastnosti pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy

Vstupná úroveň

Pyramída. Vizuálny sprievodca (2019)

Čo je pyramída?

Ako vyzerá?

Vidíte: na dne pyramídy (hovoria „ na základni") nejaký mnohouholník a všetky vrcholy tohto mnohouholníka sú spojené s nejakým bodom v priestore (tento bod sa nazýva " vrchol»).

Celá táto štruktúra stále má bočné steny, bočné rebrá A základné rebrá. Ešte raz nakreslíme pyramídu so všetkými týmito menami:

Niektoré pyramídy môžu vyzerať veľmi zvláštne, no stále sú to pyramídy.

Tu je napríklad úplne „šikmý“ pyramída.

A ešte trochu k názvom: ak je na základni pyramídy trojuholník, tak sa pyramída nazýva trojuholníková, ak je štvoruholníková, tak štvoruholníková a ak je centagon, tak... hádajte sami .

Zároveň bod, kde to padlo výška, volal výškový základ. Upozorňujeme, že v „krivých“ pyramídach výška môže dokonca skončiť mimo pyramídy. takto:

A nie je na tom nič zlé. Vyzerá to ako tupý trojuholník.

Správna pyramída.

Veľa zložitých slov? Poďme dešifrovať: „Na základni - správne“ - to je pochopiteľné. Teraz si pamätajme, že pravidelný mnohouholník má stred - bod, ktorý je stredom a , a .

Slová „vrchol sa premieta do stredu základne“ znamenajú, že základňa výšky padá presne do stredu základne. Pozrite sa, ako hladko a roztomilo to vyzerá pravidelná pyramída.

Šesťhranné: na základni je pravidelný šesťuholník, vrchol sa premieta do stredu základne.

Štvorhranný: základňa je štvorec, vrchol sa premieta do priesečníka uhlopriečok tohto štvorca.

Trojuholníkový: na základni je pravidelný trojuholník, vrchol sa premieta do priesečníka výšok (sú to aj stredy a osi) tohto trojuholníka.

Veľmi dôležité vlastnosti pravidelnej pyramídy:

V pravej pyramíde

• všetky bočné okraje sú rovnaké.
• všetky bočné steny sú rovnoramenné trojuholníky a všetky tieto trojuholníky sú rovnaké.

Objem pyramídy

Hlavný vzorec pre objem pyramídy:

Odkiaľ presne pochádza? Nie je to také jednoduché a najprv si stačí pamätať, že pyramída a kužeľ majú vo vzorci objem, ale valec nie.

Teraz poďme vypočítať objem najobľúbenejších pyramíd.

Nech je strana základne rovnaká a bočná hrana rovnaká. Musíme nájsť a.

Toto je oblasť pravidelného trojuholníka.

Pripomeňme si, ako hľadať túto oblasť. Používame plošný vzorec:

Pre nás je „ “ toto a „ “ je tiež toto, eh.

Teraz to poďme nájsť.

Podľa Pytagorovej vety pre

Aký je rozdiel? Toto je circumradius v pretože pyramídasprávne a teda centrum.

Od - bod priesečníka mediánov tiež.

(Pytagorova veta pre)

Dosadíme ho do vzorca pre.

A nahradíme všetko do objemového vzorca:

Pozor: ak máte pravidelný štvorsten (t.j.), potom vzorec vyzerá takto:

Nech je strana základne rovnaká a bočná hrana rovnaká.

Tu nie je potrebné hľadať; Koniec koncov, základňa je štvorec, a preto.

My to nájdeme. Podľa Pytagorovej vety pre

Vieme? Teda skoro. Pozri:

(to sme videli pri pohľade na to).

Doplňte do vzorca:

A teraz dosadíme a do objemového vzorca.

Nech je strana základne rovnaká a bočná hrana.

Ako nájsť? Pozrite, šesťuholník pozostáva z presne šiestich rovnakých pravidelných trojuholníkov. Už sme hľadali plochu pravidelného trojuholníka pri výpočte objemu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, tu používame vzorec, ktorý sme našli.

Teraz poďme nájsť (to).

Podľa Pytagorovej vety pre

Ale čo na tom záleží? Je to jednoduché, pretože (a všetci ostatní tiež) majú pravdu.

Nahradíme:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMÍDA. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Pyramída je mnohosten, ktorý pozostáva z ľubovoľného plochého mnohouholníka (), bodu, ktorý neleží v rovine základne (vrchol pyramídy) a všetkých segmentov spájajúcich vrchol pyramídy s bodmi základne (bočné hrany).

Kolmica spadnutá z vrcholu pyramídy na rovinu základne.

Správna pyramída- pyramída, v ktorej na základni leží pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne.

Vlastnosť pravidelnej pyramídy:

• V pravidelnej pyramíde sú všetky bočné hrany rovnaké.
• Všetky bočné steny sú rovnoramenné trojuholníky a všetky tieto trojuholníky sú rovnaké.

Pyramída. Skrátená pyramída

Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha je mnohouholník ( základňu ) a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné steny ) (obr. 15). Pyramída je tzv správne , ak je jeho základňa pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne (obr. 16). Trojuholníková pyramída so všetkými rovnakými okrajmi sa nazýva štvorsten .

Bočné rebro pyramídy je strana bočnej steny, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída je vzdialenosť od jej vrcholu k základnej rovine. Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné, všetky bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy vytiahnutej z vrcholu sa nazýva apotéma . Diagonálny rez sa nazýva rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Bočný povrch pyramída je súčet plôch všetkých bočných stien. Celková plocha povrchu sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.

Vety

1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej v blízkosti podstavy.

2. Ak v pyramíde majú všetky bočné hrany rovnakú dĺžku, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej blízko základne.

3. Ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine základne, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kruhu vpísaného do základne.

Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je správny vzorec:

Kde V- objem;

S základňa– základná plocha;

H- výška pyramídy.

Pre pravidelnú pyramídu sú správne nasledujúce vzorce:

Kde p– obvod základne;

h a– apotéma;

H- výška;

S plný

S strana

S základňa– základná plocha;

V– objem pravidelnej pyramídy.

Skrátená pyramída nazývaná časť pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Pravidelná zrezaná pyramída je časť pravidelnej pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.

Dôvody zrezaná pyramída - podobné mnohouholníky. Bočné plochy – lichobežníky. Výška zrezanej pyramídy je vzdialenosť medzi jej základňami. Uhlopriečka zrezaný ihlan je segment spájajúci jeho vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche. Diagonálny rez je rez zrezaného ihlana rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Pre skrátenú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

(4)

Kde S 1 , S 2 – plochy hornej a dolnej podstavy;

S plný– celková plocha;

S strana- bočný povrch;

H- výška;

V– objem zrezanej pyramídy.

Pre pravidelnú skrátenú pyramídu je vzorec správny:

Kde p 1 , p 2 – obvody podstavcov;

h a– apotéma pravidelného zrezaného ihlana.

Príklad 1 V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je dihedrálny uhol pri základni 60º. Nájdite dotyčnicu uhla sklonu bočnej hrany k rovine základne.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 18).

Pyramída je pravidelná, čo znamená, že na základni je rovnostranný trojuholník a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol pri základni je uhol sklonu bočnej plochy pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol je uhol a medzi dvoma kolmicami: atď. Vrchol pyramídy sa premieta do stredu trojuholníka (stred opísanej kružnice a vpísanej kružnice trojuholníka ABC). Uhol sklonu bočnej hrany (napr S.B.) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do roviny základne. Pre rebro S.B. tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete nájsť dotyčnicu, musíte poznať nohy SO A O.B.. Nechajte dĺžku segmentu BD rovná sa 3 A. Bodka O segment BD sa delí na časti: a Od nachádzame SO: Z toho nájdeme:

odpoveď:

Príklad 2 Nájdite objem pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana, ak sú uhlopriečky jeho podstav rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.

Riešenie. Na zistenie objemu zrezanej pyramídy použijeme vzorec (4). Ak chcete nájsť oblasť základní, musíte nájsť strany základných štvorcov a poznať ich uhlopriečky. Strany podstavcov sa rovnajú 2 cm a 8 cm, to znamená plochy podstavcov a Nahradením všetkých údajov do vzorca vypočítame objem zrezanej pyramídy:

odpoveď: 112 cm 3.

Príklad 3 Nájdite plochu bočnej steny pravidelnej trojuholníkovej zrezanej pyramídy, ktorej strany základne sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 19).

Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základňu a výšku. Základy sú dané podľa stavu, neznáma ostáva len výška. Odkiaľ ju nájdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovine spodnej základne, A 1 D– kolmo od A 1 os AC. A 1 E= 2 cm, keďže toto je výška pyramídy. Ak chcete nájsť DE Urobme si dodatočný nákres zobrazujúci pohľad zhora (obr. 20). Bodka O– premietanie stredov hornej a dolnej základne. keďže (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK– polomer vpísaný do kruhu a OM- polomer vpísaný do kruhu:

MK = DE.

Podľa Pytagorovej vety z

Oblasť bočnej tváre:

odpoveď:

Príklad 4. Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základy A A b (a> b). Každá bočná plocha zviera uhol rovný rovine základne pyramídy j. Nájdite celkovú plochu pyramídy.

Riešenie. Urobme si nákres (obr. 21). Celková plocha pyramídy SABCD rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka ABCD.

Použime tvrdenie, že ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kružnice vpísanej do podstavy. Bodka O– vrcholová projekcia S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálny priemet trojuholníka CSD do roviny základne. Pomocou vety o oblasti ortogonálnej projekcie rovinného útvaru získame:

Rovnako to znamená Problém sa teda zmenšil na nájdenie oblasti lichobežníka ABCD. Nakreslíme lichobežník ABCD samostatne (obr. 22). Bodka O– stred kruhu vpísaného do lichobežníka.

Keďže kruh môže byť vpísaný do lichobežníka, potom alebo Z Pytagorovej vety máme