Kanonické rovnice priamky v priestore sú rovnice, ktoré definujú priamku prechádzajúcu daným bodom kolineárne so smerovým vektorom.

Nech je daný bod a smerový vektor. Ľubovoľný bod leží na priamke l iba ak sú vektory a kolineárne, t.j. je pre ne splnená podmienka:

.

Vyššie uvedené rovnice sú kanonické rovnice priamky.

čísla m , n A p sú projekcie smerového vektora na súradnicové osi. Keďže vektor je nenulový, potom všetky čísla m , n A p sa nemôže súčasne rovnať nule. Ale jeden alebo dva z nich môžu byť nula. V analytickej geometrii je napríklad povolený nasledujúci záznam:

,

čo znamená, že projekcie vektora na os Oj A Oz sa rovnajú nule. Preto vektor aj priamka definovaná kanonickými rovnicami sú kolmé na osi Oj A Oz, teda lietadlá yOz .

Príklad 1 Napíšte rovnice pre priamku v priestore kolmom na rovinu a prechádza cez priesečník tejto roviny s osou Oz .

Riešenie. Nájdite priesečník tejto roviny s osou Oz. Od akéhokoľvek bodu ležiaceho na osi Oz, má teda súradnice , za predpokladu, že v danej rovnici roviny x = y = 0, dostaneme 4 z- 8 = 0 alebo z= 2. Preto je priesečník tejto roviny s osou Oz má súradnice (0; 0; 2) . Pretože je požadovaná čiara kolmá na rovinu, je rovnobežná s jej normálovým vektorom. Preto smerovým vektorom priamky môže byť normálový vektor danej rovine.

Teraz si napíšme požadované rovnice pre priamku prechádzajúcu bodom A= (0; 0; 2) v smere vektora:

Rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi

Priamka môže byť definovaná dvoma bodmi, ktoré na nej ležia A V tomto prípade môže byť smerovým vektorom priamky vektor . Potom nadobudnú tvar kanonické rovnice priamky

.

Vyššie uvedené rovnice určujú priamku prechádzajúcu cez dva dané body.

Príklad 2 Napíšte rovnicu pre priamku v priestore prechádzajúcu bodmi a .

Riešenie. Zapíšme si požadované rovnice priamky vo forme uvedenej vyššie v teoretickom odkaze:

.

Od , potom je požadovaná priamka kolmá na os Oj .

Rovná ako priesečník rovín

Priamku v priestore možno definovať ako priesečník dvoch nerovnobežných rovín, t. j. ako množinu bodov spĺňajúcu systém dvoch lineárnych rovníc.

Rovnice sústavy sa nazývajú aj všeobecné rovnice priamky v priestore.

Príklad 3 Zostavte kanonické rovnice priamky v priestore dané všeobecnými rovnicami

Riešenie. Ak chcete napísať kanonické rovnice priamky alebo, čo je to isté, rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body, musíte nájsť súradnice ľubovoľných dvoch bodov na priamke. Môžu to byť napríklad priesečníky priamky s akýmikoľvek dvomi súradnicovými rovinami yOz A xOz .

Priesečník priamky a roviny yOz má abscisu X= 0. Preto za predpokladu, že v tomto systéme rovníc X= 0, dostaneme systém s dvoma premennými:

Jej rozhodnutie r = 2 , z= 6 spolu s X= 0 definuje bod A(0; 2; 6) požadovaný riadok. Potom za predpokladu v danej sústave rovníc r= 0, dostaneme systém

Jej rozhodnutie X = -2 , z= 0 spolu s r= 0 definuje bod B(-2; 0; 0) priesečník priamky s rovinou xOz .

Teraz si zapíšme rovnice priamky prechádzajúcej bodmi A(0; 2; 6) a B (-2; 0; 0) :

,

alebo po vydelení menovateľov číslom -2:

,

Dajme dva body M 1 (x 1, y 1) A M 2 (x 2, y 2). Napíšme rovnicu priamky v tvare (5), kde k zatiaľ neznámy koeficient:

Od veci M 2 patrí k danej čiare, potom jej súradnice spĺňajú rovnicu (5): . Vyjadrením odtiaľto a dosadením do rovnice (5) dostaneme požadovanú rovnicu:

Ak táto rovnica môže byť prepísaná do formy, ktorá je vhodnejšia na zapamätanie:

(6)

Príklad. Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (1,2) a M 2 (-2,3)

Riešenie. . Použitím vlastnosti proporcie a vykonaním potrebných transformácií získame všeobecnú rovnicu priamky:

Uhol medzi dvoma rovnými čiarami

Zvážte dve priame čiary l 1 A l 2:

l 1: , , A

l 2: , ,

φ je uhol medzi nimi (). Z obr.4 je zrejmé: .

Odtiaľ , alebo

Pomocou vzorca (7) môžete určiť jeden z uhlov medzi priamkami. Druhý uhol sa rovná .

Príklad. Dve priamky sú dané rovnicami y=2x+3 a y=-3x+2. nájdite uhol medzi týmito čiarami.

Riešenie. Z rovníc je zrejmé, že k 1 =2 a k 2 =-3. Nahradením týchto hodnôt do vzorca (7) zistíme

. Uhol medzi týmito čiarami je teda rovný .

Podmienky pre rovnobežnosť a kolmosť dvoch priamok

Ak rovno l 1 A l 2 sú teda paralelné φ=0 A tgφ=0. zo vzorca (7) vyplýva, že , odkiaľ k2 = k1. Podmienkou rovnobežnosti dvoch priamok je teda rovnosť ich uhlových koeficientov.

Ak rovno l 1 A l 2 sú teda kolmé φ=π/2, a2 = π/2+ ai. . Podmienkou kolmosti dvoch priamok je teda to, že ich uhlové koeficienty majú inverznú veľkosť a opačné znamienko.

Vzdialenosť od bodu k čiare

Veta. Ak je daný bod M(x 0, y 0), potom vzdialenosť k priamke Ax + Bу + C = 0 je určená ako

Dôkaz. Nech bod M 1 (x 1, y 1) je základňou kolmice spadnutej z bodu M na danú priamku. Potom vzdialenosť medzi bodmi M a M 1:

Súradnice x 1 a y 1 možno nájsť riešením sústavy rovníc:

Druhá rovnica sústavy je rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom M 0 kolmým na danú priamku.

Ak transformujeme prvú rovnicu systému do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

potom pri riešení dostaneme:

Dosadením týchto výrazov do rovnice (1) zistíme:

Veta je dokázaná.

Príklad. Určte uhol medzi čiarami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

ki = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.

Príklad. Ukážte, že priamky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 sú kolmé.

Nájdeme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, teda čiary sú kolmé.

Príklad. Dané sú vrcholy trojuholníka A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nájdite rovnicu výšky nakreslenú z vrcholu C.

Nájdeme rovnicu strany AB: ; 4x = 6r – 6;

2x – 3r + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnica má tvar: Ax + By + C = 0 alebo y = kx + b.

k= . Potom y =. Pretože výška prechádza bodom C, potom jej súradnice spĺňajú túto rovnicu: odkiaľ b = 17. Spolu: .

Odpoveď: 3x + 2r – 34 = 0.

Vzdialenosť od bodu k priamke je určená dĺžkou kolmice vedenej od bodu k priamke.

Ak je priamka rovnobežná s rovinou premietania (h | | P 1), potom na určenie vzdialenosti od bodu A na priamku h je potrebné spustiť kolmicu z bodu A do horizontály h.

Uvažujme o zložitejšom príklade, keď priamka zaujíma všeobecnú polohu. Nech je potrebné určiť vzdialenosť od bodu M na priamku A všeobecné postavenie.

Určovacia úloha vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami je riešený podobne ako predchádzajúci. Na jednej priamke sa vezme bod a z nej sa na inú priamku spustí kolmica. Dĺžka kolmice sa rovná vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami.

Krivka druhého rádu je priamka definovaná rovnicou druhého stupňa vzhľadom na aktuálne karteziánske súradnice. Vo všeobecnom prípade Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kde A, B, C, D, E, F sú reálne čísla a aspoň jedno z čísel A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Kruh

Stred kruhu– ide o geometrické ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od bodu v rovine C(a,b).

Kruh je daný nasledujúcou rovnicou:

Kde x,y sú súradnice ľubovoľného bodu na kružnici, R je polomer kružnice.

Znamienko rovnice kruhu

1. Chýba člen s x,y

2. Koeficienty pre x 2 a y 2 sú rovnaké

Elipsa

Elipsa sa nazýva geometrické miesto bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností každého z nich od dvoch daných bodov tejto roviny sa nazýva ohniská (konštantná hodnota).

Kanonická rovnica elipsy:

X a y patria do elipsy.

a – hlavná poloos elipsy

b – vedľajšia os elipsy

Elipsa má 2 osi symetrie OX a OU. Osami súmernosti elipsy sú jej osi, ich priesečník je stredom elipsy. Os, na ktorej sa nachádzajú ohniská, sa nazýva ohnisková os. Priesečník elipsy s osami je vrcholom elipsy.

Kompresný (napäťový) pomer: ε = s/a– excentricita (charakterizuje tvar elipsy), čím je menšia, tým je elipsa menej predĺžená pozdĺž ohniskovej osi.

Ak stredy elipsy nie sú v strede C(α, β)

Hyperbola

Hyperbola sa nazýva geometrické miesto bodov v rovine, absolútna hodnota rozdielu vzdialeností, z ktorých každý z dvoch daných bodov tejto roviny, nazývaných ohniská, je konštantná hodnota odlišná od nuly.

Kanonická rovnica hyperboly

Hyperbola má 2 osi symetrie:

a – skutočná poloos symetrie

b – pomyselná poloos symetrie

Asymptoty hyperboly:

Parabola

Parabola je ťažisko bodov v rovine rovnako vzdialených od daného bodu F, nazývaného ohnisko, a danej priamky, nazývanej priamka.

Kanonická rovnica paraboly:

У 2 = 2рх, kde р je vzdialenosť od ohniska po smerovú čiaru (parabola paraboly)

Ak je vrchol paraboly C (α, β), potom rovnica paraboly (y-β) 2 = 2р(x-α)

Ak je ohnisková os považovaná za ordinátovú os, potom rovnica paraboly bude mať tvar: x 2 = 2qу

Nechajte priamku prechádzať bodmi M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnica priamky prechádzajúcej bodom M 1 má tvar y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Kde k - zatiaľ neznámy koeficient.

Keďže priamka prechádza bodom M 2 (x 2 y 2), súradnice tohto bodu musia spĺňať rovnicu (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odtiaľ nájdeme Nahradenie nájdenej hodnoty k do rovnice (10.6) dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi M 1 a M 2:

Predpokladá sa, že v tejto rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ak x 1 = x 2, potom priamka prechádzajúca bodmi M 1 (x 1,y I) a M 2 (x 2,y 2) je rovnobežná so zvislou osou. Jeho rovnica je x = x 1 .

Ak y 2 = y I, potom rovnicu priamky môžeme zapísať ako y = y 1, priamka M 1 M 2 je rovnobežná s osou x.

Rovnica priamky v segmentoch

Nech priamka pretína os Ox v bode M 1 (a;0) a os Oy v bode M 2 (0;b). Rovnica bude mať tvar:
tie.
. Táto rovnica sa nazýva rovnica priamky v segmentoch, pretože čísla aab označujú, ktoré segmenty úsečka oddeľuje na súradnicových osiach.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmo na daný vektor

Nájdite rovnicu priamky prechádzajúcej daným bodom Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).

Zoberme si ľubovoľný bod M(x; y) na priamke a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (pozri obr. 1). Pretože vektory n a M o M sú kolmé, ich skalárny súčin sa rovná nule: tj.

A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Volá sa rovnica (10.8). rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom kolmým na daný vektor .

Vektor n= (A; B), kolmý na priamku, sa nazýva normálny normálny vektor tejto čiary .

Rovnicu (10.8) je možné prepísať ako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kde A a B sú súradnice normálového vektora, C = -Ax o - Vu o je voľný člen. rovnica (10.9) je všeobecná rovnica priamky(pozri obr. 2).

Obr.1 Obr.2

Kanonické rovnice priamky

,

Kde
- súradnice bodu, ktorým čiara prechádza, a
- smerový vektor.

Krivky druhého rádu Kruh

Kruh je množina všetkých bodov roviny rovnako vzdialených od daného bodu, ktorý sa nazýva stred.

Kanonická rovnica kružnice s polomerom R sústredený v bode
:

Najmä, ak sa stred kolíka zhoduje s pôvodom súradníc, rovnica bude vyzerať takto:

Elipsa

Elipsa je množina bodov v rovine, pričom súčet vzdialeností od každého z nich k dvom daným bodom A , ktoré sa nazývajú ohniská, je konštantná veličina
, väčšia ako vzdialenosť medzi ohniskami
.

Kanonická rovnica elipsy, ktorej ohniská ležia na osi Ox a počiatok súradníc v strede medzi ohniskami má tvar
G de a dĺžka hlavnej osi; b – dĺžka vedľajšej osi (obr. 2).

Tento článok odhaľuje odvodenie rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body v pravouhlom súradnicovom systéme umiestnenom v rovine. Odvoďme rovnicu priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi v pravouhlom súradnicovom systéme. Názorne si ukážeme a vyriešime niekoľko príkladov súvisiacich s preberanou látkou.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pred získaním rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je potrebné venovať pozornosť niektorým skutočnostiam. Existuje axióma, ktorá hovorí, že cez dva divergentné body v rovine je možné nakresliť priamku a iba jednu. Inými slovami, dva dané body na rovine sú definované priamkou prechádzajúcou týmito bodmi.

Ak je rovina definovaná pravouhlým súradnicovým systémom Oxy, potom akákoľvek priamka v nej zobrazená bude zodpovedať rovnici priamky v rovine. Existuje aj súvislosť s usmerňovacím vektorom priamky Tento údaj postačuje na zostavenie rovnice priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi.

Pozrime sa na príklad riešenia podobného problému. Je potrebné vytvoriť rovnicu pre priamku a prechádzajúcu dvoma divergentnými bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), ktoré sa nachádzajú v karteziánskom súradnicovom systéme.

V kanonickej rovnici priamky v rovine, ktorá má tvar x - x 1 a x = y - y 1 a y, je pravouhlý súradnicový systém O x y určený priamkou, ktorá sa s ňou pretína v bode so súradnicami M 1 (x 1, y 1) s vodiacim vektorom a → = (a x , a y) .

Je potrebné vytvoriť kanonickú rovnicu priamky a, ktorá bude prechádzať dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2).

Priama a má smerový vektor M 1 M 2 → so súradnicami (x 2 - x 1, y 2 - y 1), keďže pretína body M 1 a M 2. Získali sme potrebné údaje na transformáciu kanonickej rovnice so súradnicami smerového vektora M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) a súradnicami bodov M 1 na nich ležiacich. (x1,y1) a M2(x2,y2). Získame rovnicu v tvare x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Zvážte obrázok nižšie.

Po výpočtoch zapíšeme parametrické rovnice priamky na rovine, ktorá prechádza dvoma bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2). Získame rovnicu tvaru x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y2 + (y2 - y1) · λ.

Pozrime sa bližšie na riešenie niekoľkých príkladov.

Príklad 1

Napíšte rovnicu priamky prechádzajúcej 2 danými bodmi so súradnicami M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Riešenie

Kanonická rovnica pre priamku pretínajúcu sa v dvoch bodoch so súradnicami x 1, y 1 a x 2, y 2 má tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Podľa podmienok úlohy máme, že x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Je potrebné dosadiť číselné hodnoty do rovnice x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odtiaľto dostávame, že kanonická rovnica má tvar x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odpoveď: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ak potrebujete vyriešiť problém s iným typom rovnice, môžete najprv prejsť na kanonickú, pretože je ľahšie z nej prejsť na akúkoľvek inú.

Príklad 2

Zostavte všeobecnú rovnicu priamky prechádzajúcej bodmi so súradnicami M 1 (1, 1) a M 2 (4, 2) v súradnicovom systéme O x y.

Riešenie

Najprv si musíte zapísať kanonickú rovnicu danej priamky, ktorá prechádza danými dvoma bodmi. Dostaneme rovnicu v tvare x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Uveďme kanonickú rovnicu do požadovaného tvaru, potom dostaneme:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 r - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

odpoveď: x - 3 y + 2 = 0.

Príklady takýchto úloh boli rozoberané v školských učebniciach na hodinách algebry. Školské úlohy sa líšili tým, že bola známa rovnica priamky s uhlovým koeficientom, ktorá mala tvar y = k x + b. Ak potrebujete nájsť hodnotu sklonu k a číslo b, pre ktoré rovnica y = k x + b definuje priamku v sústave O x y, ktorá prechádza bodmi M 1 (x 1, y 1) a M 2 ( x 2, y 2), kde x 1 ≠ x 2. Keď x 1 = x 2 , potom uhlový koeficient nadobudne hodnotu nekonečna a priamka M 1 M 2 je definovaná všeobecnou neúplnou rovnicou tvaru x - x 1 = 0 .

Pretože body M 1 A M 2 sú na priamke, potom ich súradnice spĺňajú rovnicu y 1 = k x 1 + b a y 2 = k x 2 + b. Je potrebné vyriešiť sústavu rovníc y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b pre k a b.

Aby sme to dosiahli, nájdeme k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

S týmito hodnotami k a b sa rovnica priamky prechádzajúcej cez dané dva body stáva y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 alebo y = y2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamätať si také obrovské množstvo vzorcov naraz je nemožné. K tomu je potrebné zvýšiť počet opakovaní pri riešení úloh.

Príklad 3

Napíšte rovnicu priamky s uhlovým koeficientom prechádzajúcou bodmi so súradnicami M 2 (2, 1) a y = k x + b.

Riešenie

Na vyriešenie úlohy použijeme vzorec s uhlovým koeficientom v tvare y = k x + b. Koeficienty k a b musia mať takú hodnotu, aby táto rovnica zodpovedala priamke prechádzajúcej cez dva body so súradnicami M 1 (- 7, - 5) a M 2 (2, 1).

Body M 1 A M 2 sú umiestnené na priamke, potom ich súradnice musia urobiť z rovnice y = k x + b skutočnú rovnosť. Z toho dostaneme, že - 5 = k · (- 7) + b a 1 = k · 2 + b. Spojme rovnicu do sústavy - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b a vyriešime.

Pri nahradení to dostaneme

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz sú hodnoty k = 2 3 a b = - 1 3 dosadené do rovnice y = k x + b. Zistíme, že požadovaná rovnica prechádzajúca danými bodmi bude rovnica v tvare y = 2 3 x - 1 3 .

Tento spôsob riešenia predurčuje stratu množstva času. Existuje spôsob, akým sa úloha rieši doslova v dvoch krokoch.

Napíšme kanonickú rovnicu priamky prechádzajúcej cez M 2 (2, 1) a M 1 (- 7, - 5), ktorá má tvar x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5). ) 1 - (- 5) ⇔x + 79 = y + 56.

Teraz prejdime k rovnici sklonu. Dostaneme, že: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odpoveď: y = 2 3 x - 1 3 .

Ak v trojrozmernom priestore existuje pravouhlý súradnicový systém O x y z s dvomi danými nezhodnými bodmi so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), priamka M prechádzajúca cez ne 1 M 2, je potrebné získať rovnicu tejto priamky.

Máme, že kanonické rovnice tvaru x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z a parametrické rovnice tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ sú schopné definovať priamku v súradnicovom systéme O x y z, prechádzajúcu bodmi so súradnicami (x 1, y 1, z 1) so smerovým vektorom a → = (a x, a y, a z).

Rovné M 1 M 2 má smerový vektor v tvare M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), kde priamka prechádza bodom M 1 (x 1, y 1, z 1) a M 2 (x 2, y 2, z 2), teda kanonická rovnica môže mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 alebo x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zasa parametrické x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ alebo x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ.

Zoberme si výkres, ktorý zobrazuje 2 dané body v priestore a rovnicu priamky.

Príklad 4

Napíšte rovnicu priamky definovanej v pravouhlom súradnicovom systéme O x y z trojrozmerného priestoru, prechádzajúcej cez dané dva body so súradnicami M 1 (2, - 3, 0) a M 2 (1, - 3, - 5).

Riešenie

Je potrebné nájsť kanonickú rovnicu. Keďže hovoríme o trojrozmernom priestore, znamená to, že keď čiara prechádza danými bodmi, požadovaná kanonická rovnica bude mať tvar x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Podľa podmienky máme, že x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Z toho vyplýva, že potrebné rovnice budú napísané takto:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpoveď: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(X 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(X - X 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(X 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(X 1 , r 1) a B(X 2 , r 2), napísané takto:

Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom

r = k 1 X + B 1 ,