Variačný koeficient je jedným z najviac použiteľných štatistických koeficientov vo finančnom sektore. Povieme vám, ako vypočítať variačný koeficient a ako to môže byť užitočné pre finančného riaditeľa.

Čo je variačný koeficient a prečo je potrebný?

Variačný koeficient (CV) je mierou relatívneho rozšírenia náhodnej premennej. Ukazuje, aký podiel má priemerný rozptyl náhodnej premennej od priemernej hodnoty tejto premennej.

Vo všeobecnosti sa variačný koeficient používa na určenie rozptylu hodnôt bez odkazu na stupnicu nameranej hodnoty a jednotky merania. Variačný koeficient je zaradený do skupiny relatívnych štatistických metód, meria sa v percentách a preto ho možno použiť na porovnanie variácie viacerých nesúvisiacich procesov a javov.

Použitie variačného koeficientu vo finančnom modelovaní

Variačný koeficient je lídrom medzi variačnými štatistickými metódami používanými finančnými a investičnými analytikmi.

Analytici používajú pomer:

1. Na určenie stability predpovedného modelu.
2. Porovnať niekoľko predpovedných modelov (hlavne investičných) s rôznymi absolútnymi úrovňami príjmu a rizika.
3. Ak chcete vykonať analýzu XYZ.

Vzorec na výpočet variačného koeficientu

Variačný koeficient sa vypočíta podľa vzorca:

kde CV je variačný koeficient,

σ – štandardná odchýlka náhodnej veličiny,

tav – priemerná hodnota náhodnej premennej.

Vzorec pre variačný koeficient pre investičné finančné modely:

kde NPV je čistá súčasná hodnota.

Vzorec pre variačný koeficient pre investovanie do cenných papierov:

kde: %year je výnos z cenného papiera v % ročne.

Variačný koeficient v Exceli

=STDEV(rozsah hodnôt)/AVERAGE(rozsah hodnôt)

Alebo pomocou vstavaného balíka Data Analysis.

Analýza variačných koeficientov

Variačný koeficient je na rozdiel od rozptylu a štandardnej odchýlky univerzálnejší, pretože umožňuje porovnať riziko a výnos dvoch alebo viacerých aktív, ktoré sa môžu výrazne líšiť. Metóda hodnotenia dvojice výnos/riziko pomocou variačného koeficientu má však obmedzenia. Ak má očakávaný výnos tendenciu k nule, potom hodnota variačného koeficientu má tendenciu k nekonečnu. A aj nepatrná zmena očakávanej ziskovosti projektu (alebo zabezpečenia) vedie k výraznej zmene koeficientu, ktorý je potrebné zohľadniť pri zdôvodňovaní investičných rozhodnutí.

• menej ako 10 %, potom je stupeň rizika projektu nevýznamný,
• od 10 % do 20 % – priemer,
• viac ako 20 % – významné,
• ak je hodnota variačného koeficientu vyššia ako 33 %, potom sa finančný model považuje za heterogénny a nestabilný. Nedá sa použiť na prijímanie objektívnych investičných rozhodnutí.

Príklady výpočtu variačného koeficientu v Exceli

Príklad 1

Prvým je otvorenie siete maloobchodných predajní na predaj šperkov v Moskve a Petrohrade.

Druhým je otvorenie siete maloobchodných predajní po celom Rusku v mestách s viac ako miliónom obyvateľov.

Podnikový finančný analytik zostavil finančné modely oboch projektov v Exceli a pomocou modelu Monte Carlo urobil 5 000 cyklov pre NPV v každom projekte (pozri tiež, ako vytvoriť vizuálny finančný model v Exceli ). Potom som pomocou analytického balíka „Data Analysis“ získal nasledujúce štatistické ukazovatele (pozri tabuľky 1 a 2).

Tabuľka 1. Ukazovatele pre projekt 1

Priemerný odhad NPV z Projektu 1 bude 14,05 tisíc dolárov, rozptyl (aka štandardná odchýlka) bude rovný 1,72 tisíc dolárov.

Variačný koeficient pre prvý projekt je:

CV = 1,72/14,05 = 12 %

Projekt je uznaný ako stredne rizikový.

Priemerná odhadovaná NPV z Projektu 2 bude 25,23 tisíc dolárov, rozptyl bude 6,30 tisíc dolárov.

Variačný koeficient pre druhý projekt bude:

CV = 6,30/25,23 = 24,97 %

Projekt je považovaný za vysoko rizikový.

Ak porovnávate projekty 1 a 2 variačným koeficientom, mali by ste zvoliť Projekt 1, pretože má lepší pomer výnos/riziko.

Príklad 2

Spoločnosť Sigma vykonáva XYZ analýzu svojho sortimentu na základe variability predaja. Produktový rad spoločnosti predstavuje päť produktov: A, B, C, D a E.

Pre každý produkt sú k dispozícii mesačné štatistiky predaja za posledný rok (pozri obrázok). V praxi je lepšie mať štatistiky za obdobie dlhšie ako tri roky/

Kreslenie. Štatistiky predaja za posledný rok pre každý produkt

Finančný analytik spoločnosti vypočítal variačný koeficient pre každý produkt

CVа = STANDARDEV(B2:B13)/AVERAGE(B2:B13) = 30 %

Spoločnosť zaviedla nasledujúce intervaly pre skupiny XYZ:

Z – 31–100 %.

To znamená, že tovar B a D patrí do kategórie X. Dopyt po nich je stály, zásoby na skladoch preň musia byť pod prísnou kontrolou a neustále dopĺňané.

Produkty A a C patria do kategórie Y. Dopyt po nich sa z mesiaca na mesiac pohybuje do 30 %. Môže byť dopyt po sezónnosti. Pre túto skupinu je potrebné hlbšie analyzovať štatistiky predaja a vypracovať optimálnu politiku skladových zostatkov.

Produkt E má najnestálejší dopyt, predaj sa uskutočňuje nepravidelne, takže môže mať zmysel prejsť na prácu s ním na predobjednávku.

Závery

Malo by sa pamätať na to, že variačný koeficient nie je jediným spôsobom, ako posúdiť efektívnosť investície, pretože nezohľadňuje niekoľko dôležitých faktorov:

1. Objemy počiatočných investícií.
2. Možná asymetria distribúcie. Pri výpočte variačného koeficientu sa predpokladá, že rozptyl hodnôt náhodnej premennej je symetrický k priemeru (často pozdĺž normálneho rozdelenia). Nie je to však vždy pravda. Napríklad pri opciách, ktorých ziskovosť nemôže byť nižšia ako nula, existuje asymetria distribúcie a ich variačný koeficient sa musí analyzovať s ohľadom na iné metódy štatistickej analýzy.
3. Investičná politika investičného subjektu.
4. Iné nečíselné faktory.

Metóda hodnotenia štatistických vrátane finančných údajov pomocou výpočtu variačného koeficientu je však zaslúžene uznávaná ako jedna z najúčinnejších porovnávacích metód štatistiky.

Mnoho ľudí sa stretáva s variabilitou sledovanej charakteristiky v jednotlivých jednotkách populácie, jej kolísaním voči určitej hodnote, teda jej variáciou. To je niečo, čo by sa malo brať do úvahy, aby sa získali čo najspoľahlivejšie informácie o pokroku konkrétneho vedeckého výskumu.

Väčšina výskumníkov sa pri určovaní intervalu zmeny hodnoty konkrétneho parametra najčastejšie uchyľuje k absolútnym hodnotám, medzi ktorými sa najčastejšie používa variačný koeficient, ktorý, ak je študovaná hodnota charakterizovaná normálnym rozdelením , je kritériom homogenity obyvateľstva. Tento indikátor vám umožňuje určiť, aký stupeň rozptylu budú mať hodnoty skúmaného parametra, bez toho, aby ste venovali pozornosť mierke a jednotke merania.

Variačný koeficient možno vypočítať vydelením aritmetickým priemerom premennej vyjadreným v percentách. Výsledok tohto výpočtu môže spadať do rozsahu od nuly do nekonečna, pričom sa zvyšuje so zvyšujúcou sa variáciou vlastnosti. Ak je získaná hodnota menšia ako 33,3 %, variácia vlastnosti je slabá. Ak viac - silný. V druhom prípade je skúmaný súbor údajov heterogénny, považuje sa za atypický, a preto nemôže byť zovšeobecňujúcim ukazovateľom. Preto sa pre túto populáciu oplatí použiť iné ukazovatele.

Stojí za zmienku, že variačný koeficient nielen charakterizuje homogenitu určitej populácie, ale používa sa aj ako jej porovnávacie hodnotenie. Napríklad sa používa, ak sú potrebné výkyvy určitej charakteristiky v populáciách, pre ktoré je vypočítaná priemerná hodnota iná. V tomto prípade rozptyl získaných údajov neumožňuje objektívne posúdiť získaný význam. Variačný koeficient charakterizuje relatívnu variabilitu premennej, a preto môže byť relatívnou mierou fluktuácií hodnoty študovaného parametra.

Sú tu však určité obmedzenia. Najmä je možné posúdiť mieru kolísania hodnôt parametrov iba pre konkrétnu charakteristiku a ak má populácia určité zloženie. Navyše, rovnosť týchto ukazovateľov môže naznačovať silné aj slabé variácie. To je prípad, ak sú príznaky odlišné alebo sa štúdie vykonávajú na rôznych populáciách. Tento výsledok sa tvorí pod vplyvom veľmi objektívnych príčin a s tým treba počítať pri spracovaní získaných experimentálnych údajov.

Variačný koeficient je široko používaný v rôznych oblastiach vedy a techniky. Aktívne sa využíva najmä pri hodnotení výkyvov parametrov v ekonómii a sociológii. Zároveň sa použitie koeficientu stáva nemožným, ak je potrebné posúdiť variabilitu premenných, ktoré môžu zmeniť svoje znamienko na opačné. Koniec koncov, v dôsledku výpočtov sa získajú nesprávne hodnoty tohto ukazovateľa: buď bude veľmi malý, alebo bude mať záporné znamienko. V druhom prípade stojí za to skontrolovať správnosť vykonaných výpočtov.

Môžeme teda povedať, že variačný koeficient je parameter, ktorý vám umožní vyhodnotiť mieru rozptylu a relatívnu variabilitu priemernej hodnoty. Použitie tohto ukazovateľa nám umožňuje identifikovať najvýznamnejšie faktory, ktorých zameranie nám umožní dosiahnuť naše ciele a vyriešiť potrebné problémy.

Každá štatistická populácia pozostáva z jednotiek, ktorých hodnoty atribútov sa líšia. Aby bolo možné posúdiť homogenitu populácie a typickosť priemernej hodnoty skúmanej charakteristiky, analýza by mala byť doplnená o výpočet variačných ukazovateľov.

Variabilita je kolísanie, rôznorodosť, premenlivosť hodnoty znaku v jednotlivých jednotkách populácie.

Medzi absolútne ukazovatele variácie patria: rozsah variácie, priemerná lineárna odchýlka, rozptyl a štandardná odchýlka.

Rozsah variácie je charakteristikou hraníc variácie skúmanej charakteristiky. Ukazuje, aký veľký je rozdiel medzi jednotkami populácie, ktoré majú najmenšiu a najväčšiu hodnotu atribútu, je založený na extrémnych hodnotách premenlivého atribútu a neodráža odchýlky všetkých variantov v rade. Určené podľa vzorca:

R=Xmax-Xmin, (5,4)

kde Xmax je maximálna hodnota série variácií;

Xmin - minimum.

Priemerná lineárna odchýlka ukazuje, o koľko sa charakteristika v skúmanej populácii odchyľuje od priemernej hodnoty charakteristiky. Nájdené podľa vzorca:

kde sú jednotlivé hodnoty premennej charakteristiky (varianty); - frekvencie, hmotnosti; - priemerná hodnota meniacej sa charakteristiky;

Disperzia je priemerná štvorec odchýlky jednotlivých hodnôt charakteristiky od ich priemernej hodnoty. Vypočítané pomocou nasledujúcich vzorcov.

Prvý spôsob, ako určiť rozptyl:

Druhý spôsob určenia disperzie (pomocou aritmetického priemeru):

kde je priemer druhých mocnín jednotlivých hodnôt; - štvorec priemernej hodnoty atribútu.

Smerodajná odchýlka je všeobecná charakteristika veľkosti variácie charakteristiky v súhrne. Ukazuje, o koľko sa v priemere líši hodnota charakteristiky od štandardnej hodnoty určenej podľa vzorca:

Čím menší je rozptyl a smerodajná odchýlka, tým je populácia homogénnejšia (kvantitatívne) a tým typickejší bude priemer.

Vypočítajme variačné ukazovatele pre zoskupenie dopravných organizácií podľa obratu nákladu cestnej dopravy (tabuľka 5.1).

Nájdite rozsah variácií (pomocou vzorca 5.4):

Rozpätie hodnôt obratu nákladnej dopravy pre verejnú dopravu je pomerne vysoké.

Vypočítajme priemernú lineárnu odchýlku (pomocou vzorca 5.5):

Hodnoty obratu nákladnej cestnej dopravy sa od priemernej hodnoty líšili o 508,8 mil. ton km.

Vypočítajme rozptyl dvoma spôsobmi (pomocou vzorcov 5.6 - 5.7). Prvý spôsob:

Vypočítajme štandardnú odchýlku (pomocou vzorca 5.8):

To znamená, že prepravný obrat verejnej dopravy sa v priemere líši od štandardnej hodnoty o 23,68 milióna ton km.

Nájdite variačné ukazovatele na zoskupenie plôch obytných priestorov (tabuľka 5.3) pomocou vzorcov 5.4 - 5.8

Vypočítajme rozsah variácie:

Variačný rozsah 3,1 m2 nám ukazuje, že rozptyl hodnôt pre plochy obytných priestorov nie je príliš vysoký.

Vypočítajme priemernú lineárnu odchýlku:

Hodnoty plôch obytných priestorov v skúmanej populácii sa teda od priemernej hodnoty odchyľujú o 1,19 m2.

Vypočítajme rozptyl dvoma spôsobmi.

Prvý spôsob:

Druhá metóda (pomocou aritmetického priemeru):

Vypočítajme štandardnú odchýlku:

Z toho vyplýva, že plocha obytných priestorov sa od štandardnej hodnoty líši v priemere o 1,3 m2.

Variačné koeficienty

Odchýlka sa meria pomocou relatívnych hodnôt nazývaných variačné koeficienty, ktoré sú definované ako pomer priemernej odchýlky k priemernej hodnote. Variačný koeficient sa používa nielen na porovnávacie hodnotenie variácie jednotiek populácie, ale aj ako charakteristika homogenity populácie. Hodnoty variačného koeficientu sa pohybujú od 0 do 100 % a čím je bližšie k nule, tým je zistená priemerná hodnota typickejšia pre študovanú štatistickú populáciu, a preto sa štatistické údaje vyberajú lepšie. Populácia sa považuje za kvantitatívne homogénnu, ak variačný koeficient nepresiahne 33 % (pre distribúcie blízke normálu). Rozlišujú sa tieto relatívne ukazovatele variácie:

Variačný koeficient:

kde je štandardná odchýlka, je aritmetický priemer.

Lineárny variačný koeficient:

kde je priemerná lineárna odchýlka.

Oscilačný koeficient:

kde je rozsah variácií.

Vypočítajme variačné koeficienty pre skupinu organizácií pre obrat nákladnej cestnej dopravy (tabuľka 5.1) pomocou vzorcov 5.9, 5.10, 5.11

Variačný koeficient sa bude rovnať: , čo presahuje 33 %, preto je populácia heterogénna.

Vypočítajme lineárny variačný koeficient: . Podiel priemernej hodnoty absolútnych odchýlok organizácií od priemernej hodnoty je teda 30,7 %.

Nájdite koeficient oscilácie: . Z toho vyplýva, že rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami organizácií prevyšuje priemernú hodnotu takmer 1,078-krát.

Stanovme variačné koeficienty pre zoskupenie obytných oblastí (v priemere na obyvateľa) (tabuľka 5.3).

Vypočítajme variačný koeficient pomocou vzorca (5.9):

To znamená, že variačný koeficient nepresahuje 33 %, teda populácia je homogénna.

Vypočítajme lineárny variačný koeficient pomocou vzorca (5.10):

To znamená, že podiel priemernej hodnoty absolútnych odchýlok plôch bytových priestorov od priemernej hodnoty je 5,56 %.

Nájdite koeficient oscilácie pomocou vzorca (5.11):

Rozdiel medzi maximálnymi a minimálnymi hodnotami plôch obytných priestorov nepresahuje priemernú hodnotu.

VÝPOČET VARIANTOVÝCH UKAZOVATEĽOV

PRAKTICKÁ PRÁCA 3

Účel práce: získanie praktických zručností pri výpočte rôznych ukazovateľov (mier) variácie v závislosti od úloh stanovených štúdiou.

Pracovný poriadok:

1. Určite typ a formu (jednoduché alebo vážené) variačných ukazovateľov.

3. Formulujte závery.

1. Určenie typu a formy variačných ukazovateľov.

Variačné ukazovatele sú rozdelené do dvoch skupín: absolútne a relatívne. Medzi absolútne patria: variačný rozsah, kvartilová odchýlka, priemerná lineárna odchýlka, disperzia a štandardná odchýlka. Relatívne ukazovatele sú koeficienty oscilácie, variácie, relatívnej lineárnej odchýlky, relatívnej kvartilovej variácie atď.

Rozsah variácií (R) je najjednoduchšou mierou variácie vlastnosti a je určená nasledujúcim vzorcom:

kde je najvyššia hodnota premennej charakteristiky;

– najmenšia hodnota premennej charakteristiky.

Kvartilová odchýlka (Q)– používa sa na charakterizáciu variácie charakteristiky v súhrne. Môže sa použiť namiesto rozsahu variácií, aby sa predišlo nevýhodám spojeným s používaním extrémnych hodnôt.

kde a sú prvý a tretí kvartil distribúcie.

Kvartily– ide o hodnoty charakteristiky v zoradenom rade rozdelenia, vybrané tak, že 25 % jednotiek populácie bude mať menšiu hodnotu; 25 % jednotiek bude obsiahnutých medzi a ; 25 % jednotiek bude obsiahnutých medzi a a zvyšných 25 % presiahne .

Kvartily 1 a 3 sa určujú podľa vzorcov:

,

Kde je spodná hranica intervalu, v ktorom sa nachádza prvý kvartil;

– súčet akumulovaných frekvencií intervalov predchádzajúcich intervalu, v ktorom sa nachádza prvý kvartil;

– frekvencia intervalu, v ktorom sa nachádza prvý kvartil.

kde Ja je medián série;

,

Symboly sú rovnaké ako pre množstvá.

V symetrických alebo stredne asymetrických distribúciách Q»2/3s. Keďže kvartilová odchýlka nie je ovplyvnená odchýlkami všetkých hodnôt atribútu, jej použitie by sa malo obmedziť na prípady, keď je určenie smerodajnej odchýlky ťažké alebo nemožné.

Priemerná lineárna odchýlka () predstavuje priemernú hodnotu absolútnych odchýlok variantov atribútu od ich priemeru. Môže sa vypočítať pomocou vzorca aritmetického priemeru, neváženého aj váženého, ​​v závislosti od neprítomnosti alebo prítomnosti frekvencií v distribučných radoch.

nevážená priemerná lineárna odchýlka,

- vážená priemerná lineárna odchýlka.

rozptyl()– priemerná štvorec odchýlok jednotlivých hodnôt charakteristiky od ich priemernej hodnoty. Rozptyl sa vypočíta pomocou jednoduchých nevážených a vážených vzorcov.

- nevážený,

- vážený.

štandardná odchýlka (s)– najbežnejším ukazovateľom variácie je druhá odmocnina hodnoty rozptylu.

Rozsah variácie, kvartilová odchýlka, priemerná lineárna a štvorcová odchýlka sú pomenované veličiny a majú rozmer charakteristiky, ktorá sa spriemeruje. Disperzia nemá žiadnu mernú jednotku.

Na účely porovnania variability rôznych charakteristík v tej istej populácii alebo pri porovnaní variability tej istej charakteristiky vo viacerých populáciách sa vypočítajú relatívne ukazovatele variácie. Základom pre porovnanie je aritmetický priemer. Relatívne ukazovatele sú najčastejšie vyjadrené v percentách a charakterizujú nielen porovnávacie hodnotenie variácií, ale charakterizujú aj homogenitu populácie.

Oscilačný koeficient(relatívny rozsah variácie) sa vypočíta pomocou vzorca:

,

Lineárny variačný koeficient(relatívna lineárna odchýlka):

Relatívny kvartilový variačný index:

alebo

Variačný koeficient:

,

Najčastejšie používaným ukazovateľom relatívnej variability v štatistike je variačný koeficient. Používa sa nielen na porovnávacie hodnotenie variácií, ale aj ako charakteristika homogenity populácie. Čím väčší je koeficient variácie, tým väčšie je rozšírenie hodnôt atribútov okolo priemeru, tým väčšia je heterogenita populácie. Existuje stupnica na určenie stupňa homogenity populácie v závislosti od hodnôt variačného koeficientu (17; P.61).

Aby sme získali približnú predstavu o tvare distribúcie, sú vytvorené distribučné grafy (polygón a histogram).

V praxi štatistického výskumu sa stretávame so širokou škálou rozdelení. Pri štúdiu homogénnych populácií sa zvyčajne zaoberáme rozdeleniami s jedným vrcholom. Multivertex označuje heterogenitu skúmanej populácie; Určenie všeobecnej povahy rozdelenia zahŕňa posúdenie stupňa jeho homogenity, ako aj výpočet ukazovateľov asymetrie a špičatosti. Symetrické je distribúcia, v ktorej sú frekvencie ľubovoľných dvoch možností, rovnako rozmiestnené na oboch stranách distribučného centra, navzájom rovnaké. Pre symetrické rozdelenia sú aritmetický priemer, modus a medián rovnaké. V tomto ohľade najjednoduchší ukazovateľ asymetria vychádza z pomeru ukazovateľov distribučného centra: čím väčší je rozdiel medzi priemermi, tým väčšia je asymetria radu.

Na charakterizáciu asymetrie v centrálnej časti distribúcie, teda prevažnú časť jednotiek, alebo na porovnávaciu analýzu stupňa asymetrie niekoľkých distribúcií sa vypočíta relatívny index asymetrie K. Pearsona:

Hodnota ukazovateľa As môže byť kladná a záporná. Pozitívna hodnota indikátora naznačuje prítomnosť pravostrannej asymetrie (pravá vetva vzhľadom na maximálnu ordinátu je predĺženejšia ako ľavá). Pri pravostrannej asymetrii existuje vzťah medzi ukazovateľmi distribučného centra: . Negatívne znamienko indexu asymetrie indikuje prítomnosť ľavostrannej asymetrie (obr. 1). V tomto prípade existuje vzťah medzi ukazovateľmi distribučného centra: .

Ryža. 1. Distribúcia:

1 – s ľavostrannou asymetriou; 2 – s pravostrannou asymetriou.

Ďalší ukazovateľ, ktorý navrhol švédsky matematik Lindbergh, sa vypočíta podľa vzorca:

kde P je percento tých charakteristických hodnôt, ktoré presahujú aritmetický priemer hodnoty.

Najpresnejší a najrozšírenejší ukazovateľ je založený na určení centrálneho momentu tretieho rádu (v symetrickom rozdelení je jeho hodnota nula):

kde je centrálny moment tretieho rádu:

σ – smerodajná odchýlka.

Použitie tohto ukazovateľa umožňuje nielen určiť veľkosť asymetrie, ale aj odpovedať na otázku o prítomnosti alebo neprítomnosti asymetrie v rozložení charakteristiky vo všeobecnej populácii. Hodnotenie stupňa významnosti tohto ukazovateľa sa vykonáva pomocou strednej štvorcovej chyby, ktorá závisí od objemu pozorovaní n a vypočíta sa podľa vzorca:

.

Ak je pomer , asymetria je významná a distribúcia vlastnosti v populácii nie je symetrická. Ak je pomer , asymetria nevýznamná, jej prítomnosť možno vysvetliť vplyvom rôznych náhodných okolností.

Pre symetrické rozdelenia sa ukazovateľ vypočíta prebytok(ostrosť). Lindbergh navrhol nasledujúci ukazovateľ na posúdenie špičatosti:

,

kde P je podiel (%) počtu možností ležiacich v intervale, ktorý sa rovná polovici štandardnej odchýlky v jednom alebo druhom smere od aritmetického priemeru.

Najpresnejší indikátor používa centrálny moment štvrtého rádu:

kde je centrálny moment štvrtého momentu;

- pre nezoskupené údaje;

- pre zoskupené údaje.

Obrázok 2 zobrazuje dve distribúcie: jedna je vrcholová (hodnota špičatosti je kladná), druhá je s plochým vrcholom (hodnota špičatosti je záporná). Kurtóza je rozsah, v ktorom je vrchol empirickej distribúcie nad alebo pod vrcholom normálnej distribučnej krivky. V normálnom rozdelení je pomer .

Ryža. 2. Distribúcia:

1,4 – normálne; 2 – hrotité; 3 – plochý vrch

Stredná štvorcová chyba špičatosti sa vypočíta pomocou vzorca:

,

kde n je počet pozorovaní.

Ak , potom je špičatosť významná, ak , potom nie je významná.

Posúdenie významnosti ukazovateľov asymetrie a špičatosti nám umožňuje dospieť k záveru, či túto empirickú štúdiu možno klasifikovať ako typ krivky normálneho rozdelenia.

2. Uvažujme o metodike výpočtu variačných indexov.

Druhá odmocnina rozptylu sa nazýva štandardná odchýlka od priemeru, ktorá sa vypočíta takto:

Elementárna algebraická transformácia vzorca smerodajnej odchýlky vedie k nasledujúcemu tvaru:

Tento vzorec sa často ukazuje ako vhodnejší v praxi výpočtu.

Smerodajná odchýlka, rovnako ako priemerná lineárna odchýlka, ukazuje, o koľko sa priemerné špecifické hodnoty charakteristiky líšia od ich priemernej hodnoty. Smerodajná odchýlka je vždy väčšia ako priemerná lineárna odchýlka. Existuje medzi nimi nasledujúci vzťah:

Keď poznáte tento pomer, môžete pomocou známych ukazovateľov určiť napríklad neznáme, ale (I vypočítať a a naopak. Smerodajná odchýlka meria absolútnu veľkosť variability charakteristiky a vyjadruje sa v rovnakých jednotkách merania ako hodnoty charakteristiky (ruble, tony, roky atď.). Je to absolútna miera variácie.

Pre alternatívne znaky, napríklad prítomnosť alebo neprítomnosť vysokoškolského vzdelania, poistenie, vzorce pre rozptyl a štandardnú odchýlku sú nasledovné:

Ukážme si výpočet smerodajnej odchýlky podľa údajov diskrétneho radu charakterizujúceho rozdelenie študentov jednej z fakúlt univerzity podľa veku (tabuľka 6.2).

Tabuľka 6.2.

Výsledky pomocných výpočtov sú uvedené v stĺpcoch 2-5 tabuľky. 6.2.

Priemerný vek študenta v rokoch sa určuje podľa vzorca váženého aritmetického priemeru (stĺpec 2):

V stĺpcoch 3-4 sú uvedené štvorce odchýlok individuálneho veku žiaka od priemeru a v stĺpci 5 súčin druhých mocnín odchýlok a príslušné frekvencie.

Zisťujeme rozptyl veku, rokov študentov pomocou vzorca (6.2):

Potom o = l/3,43 1,85 *oda, t.j. Každá konkrétna hodnota veku študenta sa od priemeru odchyľuje o 1,85 roka.

Variačný koeficient

Smerodajná odchýlka vo svojej absolútnej hodnote závisí nielen od stupňa variácie charakteristiky, ale aj od absolútnych úrovní možností a priemeru. Preto nie je možné priamo porovnávať štandardné odchýlky sérií variácií s rôznymi priemernými úrovňami. Aby ste mohli takéto porovnanie urobiť, potrebujete nájsť podiel priemernej odchýlky (lineárnej alebo kvadratickej) na aritmetickom priemere vyjadrený v percentách, t.j. vypočítať relatívne miery variácie.

Lineárny variačný koeficient vypočítané podľa vzorca

Variačný koeficient určuje sa podľa nasledujúceho vzorca:

Vo variačných koeficientoch sa eliminuje nielen neporovnateľnosť spojená s rôznymi jednotkami merania sledovanej charakteristiky, ale aj neporovnateľnosť, ktorá vzniká v dôsledku rozdielov v hodnote aritmetických priemerov. Okrem toho ukazovatele variácie charakterizujú homogenitu populácie. Populácia sa považuje za homogénnu, ak variačný koeficient nepresiahne 33 %.

Podľa tabuľky. 6.2 a výsledky výpočtu získané vyššie, určíme variačný koeficient, %, podľa vzorca (6.3):

Ak variačný koeficient presiahne 33 %, znamená to heterogenitu skúmanej populácie. Získaná hodnota v našom prípade naznačuje, že populácia študentov podľa veku je zložením homogénna. Dôležitou funkciou zovšeobecňujúcich ukazovateľov variácie je teda hodnotenie spoľahlivosti priemerov. Čím menej c1, a2 a V, čím homogénnejší je výsledný súbor javov a tým spoľahlivejší je výsledný priemer. Podľa „pravidla troch sigma“ uvažovaného matematickou štatistikou sa v normálne rozdelených alebo im blízkych sériách odchýlky od aritmetického priemeru nepresahujúce ± 3. vyskytujú v 997 prípadoch z 1000. X a, môžete získať všeobecnú počiatočnú predstavu o sérii variácií. Ak je napríklad priemerný plat zamestnanca v spoločnosti 25 000 rubľov a rovná sa 100 rubľov, potom s pravdepodobnosťou blízkou istote môžeme povedať, že mzdy zamestnancov spoločnosti sa pohybujú v rozmedzí (25 000 ± ± 3 x 100 ) t.j. od 24 700 do 25 300 rubľov.