S základňa trojuholníkovej pyramídy. Pravidelná štvorhranná pyramída

Video tutoriál 2: Problém pyramídy. Objem pyramídy

Video tutoriál 3: Problém pyramídy. Správna pyramída

prednáška: Pyramída, jej základňa, bočné rebrá, výška, bočná plocha; trojuholníková pyramída; pravidelná pyramída

Pyramída, jej vlastnosti

Pyramída je trojrozmerné teleso, ktoré má na svojej základni mnohouholník a všetky jeho strany pozostávajú z trojuholníkov.

Špeciálnym prípadom pyramídy je kužeľ s kruhom na základni.

Pozrime sa na hlavné prvky pyramídy:

Apothem- je to segment, ktorý spája vrchol pyramídy so stredom spodného okraja bočnej steny. Inými slovami, toto je výška okraja pyramídy.

Na obrázku vidíte trojuholníky ADS, ABS, BCS, CDS. Ak sa pozriete pozorne na názvy, môžete vidieť, že každý trojuholník má vo svojom názve jedno spoločné písmeno - S. To znamená, že všetky bočné steny (trojuholníky) sa zbiehajú v jednom bode, ktorý sa nazýva vrchol pyramídy. .

Úsečka OS, ktorá spája vrchol s priesečníkom uhlopriečok základne (v prípade trojuholníkov - v priesečníku výšok) sa nazýva výška pyramídy.

Diagonálny rez je rovina, ktorá prechádza vrcholom pyramídy, ako aj jednou z uhlopriečok základne.

Pretože bočná plocha pyramídy pozostáva z trojuholníkov, na nájdenie celkovej plochy bočnej plochy je potrebné nájsť plochu každej plochy a sčítať ich. Počet a tvar plôch závisí od tvaru a veľkosti strán mnohouholníka, ktorý leží na základni.

Jediná rovina v pyramíde, ktorá nepatrí do jej vrcholu, je tzv základ pyramídy.

Na obrázku vidíme, že základňou je rovnobežník, môže to však byť ľubovoľný mnohouholník.

Vlastnosti:

Zoberme si prvý prípad pyramídy, v ktorej má hrany rovnakej dĺžky:

• Okolo základne takejto pyramídy možno nakresliť kruh. Ak premietnete vrchol takejto pyramídy, jej projekcia bude umiestnená v strede kruhu.
• Uhly na základni pyramídy sú na každej strane rovnaké.
• V tomto prípade postačujúcu podmienku na to, že okolo základne pyramídy možno opísať kruh a tiež, že všetky hrany majú rôznu dĺžku, možno považovať za rovnaké uhly medzi základňou a každou hranou plôch.

Ak narazíte na pyramídu, v ktorej sú uhly medzi bočnými stenami a základňou rovnaké, potom platia nasledujúce vlastnosti:

• Budete vedieť opísať kruh okolo základne pyramídy, ktorej vrchol sa premieta presne do stredu.
• Ak nakreslíte každý bočný okraj výšky k základni, budú mať rovnakú dĺžku.
• Na nájdenie bočného povrchu takejto pyramídy stačí nájsť obvod základne a vynásobiť ho polovicou dĺžky.
• S bp = 0,5 P oc H.
• Druhy pyramíd.
• V závislosti od toho, ktorý mnohouholník leží na základni pyramídy, môžu byť trojuholníkové, štvoruholníkové atď. Ak pravidelný mnohouholník (s rovnakými stranami) leží na základni pyramídy, potom sa takáto pyramída bude nazývať pravidelná.

Pravidelná trojuholníková pyramída

Definícia

Pyramída je mnohosten zložený z mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) a \(n\) trojuholníkov so spoločným vrcholom \(P\) (neležiacim v rovine mnohouholníka) a protiľahlých strán, ktoré sa zhodujú s strany mnohouholníka.
Označenie: \(PA_1A_2...A_n\) .
Príklad: päťuholníková pyramída \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trojuholníky \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) atď. sa volajú bočné steny pyramídy, segmenty \(PA_1, PA_2\) atď. – bočné rebrá, mnohouholník \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – základ, bod \(P\) – top.

Výška pyramídy sú kolmicou zostupujúcou z vrcholu pyramídy k rovine základne.

Pyramída s trojuholníkom na základni sa nazýva štvorsten.

Pyramída je tzv správne, ak je jeho základňou pravidelný mnohouholník a je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

\((a)\) bočné okraje pyramídy sú rovnaké;

\((b)\) výška pyramídy prechádza stredom kružnice opísanej blízko základne;

\((c)\) bočné rebrá sú sklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.

\((d)\) bočné plochy sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.

Pravidelný štvorsten je trojuholníková pyramída, ktorej všetky strany sú rovnaké rovnostranné trojuholníky.

Veta

Podmienky \((a), (b), (c), (d)\) sú ekvivalentné.

Dôkaz

Zistime výšku pyramídy \(PH\) . Nech \(\alpha\) je rovina podstavy pyramídy.

1) Dokážme, že z \((a)\) vyplýva \((b)\) . Nech \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Pretože \(PH\perp \alpha\), potom je \(PH\) kolmé na akúkoľvek priamku ležiacu v tejto rovine, čo znamená, že trojuholníky sú pravouhlé. To znamená, že tieto trojuholníky sú rovnaké v spoločnej vetve \(PH\) a prepone \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . To znamená \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . To znamená, že body \(A_1, A_2, ..., A_n\) sú v rovnakej vzdialenosti od bodu \(H\), teda ležia na rovnakej kružnici s polomerom \(A_1H\) . Tento kruh je podľa definície opísaný okolo mnohouholníka \(A_1A_2...A_n\) .

2) Dokážme, že \((b)\) implikuje \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) obdĺžnikové a rovnaké na dvoch nohách. To znamená, že ich uhly sú tiež rovnaké, \(\uhol PA_1H=\uhol PA_2H=...=\uhol PA_nH\).

3) Dokážme, že \((c)\) implikuje \((a)\) .

Podobne ako v prvom bode, trojuholníky \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) pravouhlé pozdĺž nohy a ostrého uhla. To znamená, že aj ich prepony sú rovnaké, teda \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Dokážme, že z \((b)\) vyplýva \((d)\) .

Pretože v pravidelnom mnohouholníku sa stredy opísanej a vpísanej kružnice zhodujú (všeobecne povedané, tento bod sa nazýva stred pravidelného mnohouholníka), potom \(H\) je stred opísanej kružnice. Nakreslíme kolmice z bodu \(H\) do strán podstavy: \(HK_1, HK_2\) atď. Toto sú polomery vpísanej kružnice (podľa definície). Potom podľa TTP (\(PH\) je kolmá na rovinu, \(HK_1, HK_2\) atď. sú projekcie kolmé na strany) naklonené \(PK_1, PK_2\) atď. kolmo na strany \(A_1A_2, A_2A_3\) atď. resp. Takže podľa definície \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H\) rovné uhlom medzi bočnými plochami a základňou. Pretože trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) sú rovnaké (ako pravouhlé na dvoch stranách), potom uhly \(\uhol PK_1H, \uhol PK_2H, ...\) sú si rovní.

5) Dokážme, že \((d)\) implikuje \((b)\) .

Podobne ako vo štvrtom bode sú trojuholníky \(PK_1H, PK_2H, ...\) rovnaké (ako pravouhlé pozdĺž nohy a ostrý uhol), čo znamená, že segmenty \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) sú rovnaké rovný. To podľa definície znamená, že \(H\) je stred kruhu vpísaného do základne. Ale pretože V prípade pravidelných mnohouholníkov sa stredy vpísanej a opísanej kružnice zhodujú, potom je \(H\) stredom kružnice opísanej. Chtd.

Dôsledok

Bočné steny pravidelnej pyramídy sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky.

Definícia

Výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu sa nazýva apotéma.
Apotémy všetkých bočných stien pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné a sú to tiež stredy a stredy.

Dôležité poznámky

1. Výška pravidelnej trojuholníkovej pyramídy spadá do priesečníka výšok (alebo polôh alebo stredníc) základne (základňa je pravidelný trojuholník).

2. Výška pravidelného štvorbokého ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je štvorec).

3. Výška pravidelného šesťhranného ihlanu spadá do priesečníka uhlopriečok podstavy (podstavou je pravidelný šesťuholník).

4. Výška pyramídy je kolmá na akúkoľvek priamku ležiacu na základni.

Definícia

Pyramída je tzv pravouhlý, ak je jedna z jeho bočných hrán kolmá na rovinu podstavy.

Dôležité poznámky

1. V pravouhlej pyramíde je hrana kolmá na základňu výškou pyramídy. To znamená, že \(SR\) je výška.

2. Pretože \(SR\) je teda kolmá na akúkoľvek čiaru od základne \(\trojuholník SRM, \trojuholník SRP\)– pravouhlé trojuholníky.

3. Trojuholníky \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- tiež pravouhlý.
To znamená, že akýkoľvek trojuholník tvorený touto hranou a uhlopriečkou vychádzajúca z vrcholu tejto hrany ležiacej na základni bude pravouhlý.

\[(\Veľký(\text(Objem a povrch pyramídy)))\]

Veta

Objem pyramídy sa rovná jednej tretine súčinu plochy základne a výšky pyramídy: \

Dôsledky

Nech \(a\) je strana základne, \(h\) je výška pyramídy.

1. Objem pravidelného trojuholníkového ihlana je \(V_(\text(pravý trojuholník.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Objem pravidelného štvorbokého ihlana je \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Objem pravidelného šesťhranného ihlana je \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Objem pravidelného štvorstenu je \(V_(\text(pravé tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Veta

Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovičnému súčinu obvodu základne a apotému.

\[(\Large(\text(Frustum)))\]

Definícia

Uvažujme ľubovoľnú pyramídu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Narysujme rovinu rovnobežnú so základňou pyramídy cez určitý bod ležiaci na bočnej hrane pyramídy. Táto rovina rozdelí pyramídu na dva mnohosteny, z ktorých jeden je pyramída (\(PB_1B_2...B_n\)) a druhý je tzv. zrezaná pyramída(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Zrezaná pyramída má dve základne - mnohouholníky \(A_1A_2...A_n\) a \(B_1B_2...B_n\), ktoré sú si navzájom podobné.

Výška zrezaného ihlana je kolmica vedená z niektorého bodu hornej základne k rovine spodnej základne.

Dôležité poznámky

1. Všetky bočné strany zrezaného ihlana sú lichobežníky.

2. Úsečka spájajúca stredy podstav pravidelného zrezaného ihlana (teda pyramídy získanej prierezom pravidelného ihlana) je výška.

Naďalej zvažujeme úlohy zahrnuté v Jednotnej štátnej skúške z matematiky. Už sme študovali problémy, kde je daná podmienka a je potrebné nájsť vzdialenosť medzi dvoma danými bodmi alebo uhol.

Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník, ostatné steny sú trojuholníky a majú spoločný vrchol.

Pravidelná pyramída je pyramída, na základni ktorej leží pravidelný mnohouholník a jej vrchol sa premieta do stredu základne.

Pravidelný štvoruholníkový ihlan - podstavou je štvorec Vrch ihlana sa premieta do bodu priesečníka uhlopriečok podstavy (štvorca).

ML - apotém
∠MLO - dihedrálny uhol na základni pyramídy
∠MCO - uhol medzi bočným okrajom a rovinou základne pyramídy

V tomto článku sa pozrieme na problémy na vyriešenie pravidelnej pyramídy. Musíte nájsť nejaký prvok, bočnú plochu, objem, výšku. Samozrejme, musíte poznať Pytagorovu vetu, vzorec pre plochu bočného povrchu pyramídy a vzorec na nájdenie objemu pyramídy.

V článku "" predstavuje vzorce, ktoré sú potrebné na riešenie problémov v stereometrii. Takže úlohy:

SABCD bodka O- stred základne,S vrchol, SO = 51, A.C.= 136. Nájdite bočnú hranuS.C..

V tomto prípade je základom štvorec. To znamená, že uhlopriečky AC a BD sú rovnaké, pretínajú sa a sú rozpoltené priesečníkom. Všimnite si, že v pravidelnej pyramíde výška spadnutá z jej vrcholu prechádza stredom základne pyramídy. Takže SO je výška a trojuholníkSOCpravouhlý. Potom podľa Pytagorovej vety:

Ako extrahovať koreň veľkého čísla.

odpoveď: 85

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, SO = 4, A.C.= 6. Nájdite bočnú hranu S.C..

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, S.C. = 5, A.C.= 6. Nájdite dĺžku segmentu SO.

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- stred základne, S vrchol, SO = 4, S.C.= 5. Nájdite dĺžku segmentu A.C..

SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 7, a S.R.= 16. Nájdite plochu bočného povrchu.

Plocha bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému (apotém je výška bočnej steny pravidelnej pyramídy vytiahnutej z jej vrcholu):

Alebo môžeme povedať toto: plocha bočného povrchu pyramídy sa rovná súčtu plôch troch bočných stien. Bočné steny v pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sú trojuholníky rovnakej plochy. V tomto prípade:

odpoveď: 168

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 1, a S.R.= 2. Nájdite plochu bočného povrchu.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe AB= 1 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu S.R..

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC L- stred rebra B.C., S- vrchol. To je známe SL= 2 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu AB.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC M. Oblasť trojuholníka ABC je 25, objem pyramídy je 100. Nájdite dĺžku segmentu čs.

Základňa pyramídy je rovnostranný trojuholník. Preto Mje stred základne ačs- výška pravidelnej pyramídySABC. Objem pyramídy SABC rovná sa: zobraziť riešenie

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC stredy základne sa pretínajú v bode M. Oblasť trojuholníka ABC rovná sa 3, čs= 1. Nájdite objem pyramídy.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC stredy základne sa pretínajú v bode M. Objem pyramídy je 1, čs= 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC.

Skončime tu. Ako vidíte, problémy sa riešia v jednom alebo dvoch krokoch. V budúcnosti zvážime ďalšie problémy z tejto časti, kde sú uvedené revolučné orgány, nenechajte si to ujsť!

Nech sa vám darí!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Na vine sú slávne veľké egyptské divy sveta. Preto, keď sa začína študovať tento nádherný mnohosten, väčšina študentov si to už jasne predstavuje. Všetky vyššie spomenuté atrakcie majú správny tvar. Čo sa stalo pravidelná pyramída a aké vlastnosti má, o tom sa bude diskutovať ďalej.

Definícia

Existuje pomerne veľa definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.

Napríklad Euklides ho definoval ako telesnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa od jednej zbiehajú v určitom bode.

Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že toto bola postava má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.

Na základe modernej interpretácie je pyramída reprezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.

Pozrime sa na to podrobnejšie, z akých prvkov pozostáva:

• K-uholník sa považuje za základ obrázku;
• 3-uholníkové tvary vyčnievajú ako okraje bočnej časti;
• horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
• všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
• ak je priamka spustená z vrcholu do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť obsiahnutá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
• v ktoromkoľvek bočnom prvku môže byť na stranu nášho mnohostena nakreslená kolmica, nazývaná apotém.

Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, napríklad pyramída, možno určiť pomocou výrazu k+1.

Dôležité! Pyramída pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.

Základné vlastnosti

Správna pyramída má veľa vlastností, ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:

1. Základom je figúrka správneho tvaru.
2. Okraje pyramídy, ktoré obmedzujú bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
3. Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
4. Základňa výšky obrazca spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
5. Všetky bočné rebrá sú naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom.
6. Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.

Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je vykonávanie výpočtov prvkov oveľa jednoduchšie. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:

1. V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky hrany pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.

Základom je štvorec

Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten, ktorého základňa je štvorec.

Má štyri bočné plochy, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.

Štvorec je znázornený na rovine, ale je založený na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.

Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom použite nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Je založená na pravidelnom trojuholníku

Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.

Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom je to také číslo nazývaný štvorsten.

Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:

• uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
• veľkosť všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
• ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
• , nakreslené vo vnútri obrázku, sú to rovnaké prvky.

Úseky mnohostenu

V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií byt. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:

• axiálne;
• paralelne so základom.

Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.

Pozor! V pravidelnej pyramíde je osový rez rovnoramenný trojuholník.

Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme prierez podobný základni.

Napríklad, ak je základňa štvorec, potom rez rovnobežný so základňou bude tiež štvorec, len s menšími rozmermi.

Pri riešení úloh za tejto podmienky používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže hornú časť mnohostenu, potom v spodnej časti vznikne pravidelná zrezaná pyramída. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.

Na určenie výšky zrezaného mnohostenu je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.

Plochy povrchu

Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.

Existujú dva typy hodnôt povrchovej plochy:

• plocha bočných prvkov;
• plocha celého povrchu.

Už z názvu je jasné, o čom hovoríme. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:

1. Plocha rovnoramenného 3-uholníka sa rovná Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
2. Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota je 4a = Rosn, kde Rosn je obvod základne. A výraz 1/2*Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside = Rosn * L.

Plocha celkového povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p = Sside + Sbas.

Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.

Objem pravidelnej pyramídy rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbas*H, kde H je výška mnohostenu.

Čo je pravidelná pyramída v geometrii

Vlastnosti pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy