Na zmenšenie zlomkov na najmenšieho spoločného menovateľa je potrebné: 1) nájsť najmenší spoločný násobok menovateľov daných zlomkov, bude to najmenší spoločný menovateľ. 2) nájdite ďalší faktor pre každý zlomok vydelením nového menovateľa menovateľom každého zlomku. 3) vynásobte čitateľa a menovateľa každého zlomku jeho dodatočným faktorom.
Príklady. Znížte nasledujúce zlomky na ich najnižšieho spoločného menovateľa.
Nájdeme najmenší spoločný násobok menovateľov: LCM(5; 4) = 20, keďže 20 je najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 5 aj 4. Nájdite pre 1. zlomok dodatočný faktor 4 (20 : 5 = 4). Pre druhú časť je dodatočný faktor 5 (20 : 4 = 5). Čitateľ a menovateľ 1. zlomku vynásobíme 4 a čitateľ a menovateľ 2. zlomku 5. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenšieho spoločného menovateľa ( 20 ).
Najnižším spoločným menovateľom týchto zlomkov je číslo 8, keďže 8 je deliteľné 4 a samo sebou. Pre 1. zlomok nebude žiadny dodatočný faktor (alebo môžeme povedať, že sa rovná jednej), pre 2. zlomok je dodatočný faktor 2 (8 : 4=2). Čitateľ a menovateľ 2. zlomku vynásobíme 2. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenší spoločný menovateľ ( 8 ).
Tieto frakcie nie sú neredukovateľné.
Zmenšime 1. zlomok o 4 a 2. zlomok o 2. ( pozri príklady redukcie obyčajných zlomkov: Mapa stránok → 5.4.2. Príklady redukcie bežných zlomkov). Nájdite LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Dodatočný násobiteľ pre 1. zlomok je 5 (80 : 16=5). Dodatočný faktor pre druhú časť je 4 (80 : 20 = 4). Čitateľ a menovateľ 1. zlomku vynásobíme 5 a čitateľ a menovateľ 2. zlomku 4. Tieto zlomky sme zredukovali na najmenší spoločný menovateľ ( 80 ).
Nájdeme najnižší spoločný menovateľ NCD (5 ; 6 a 15) = NOK (5 ; 6 a 15) = 30. Dodatočný faktor k 1. zlomku je 6 (30 : 5=6), dodatočný faktor k 2. zlomku je 5 (30 : 6=5), dodatočný faktor k 3. zlomku je 2 (30 : 15=2). Čitateľa a menovateľa 1. zlomku vynásobíme 6, čitateľa a menovateľa 2. zlomku 5, čitateľa a menovateľa 3. zlomku 2. Tieto zlomky sme zredukovali na najnižšieho spoločného menovateľa ( 30 ).
Strana 1 z 1 1
V tomto materiáli sa pozrieme na to, ako správne previesť zlomky na nový menovateľ, čo je ďalší faktor a ako ho nájsť. Potom sformulujeme základné pravidlo pre redukciu zlomkov na nových menovateľov a ilustrujeme ho na príkladoch úloh.
Koncept redukcie zlomku na iného menovateľa
Pripomeňme si základnú vlastnosť zlomku. Podľa neho obyčajný zlomok a b (kde a a b sú ľubovoľné čísla) má nekonečný počet zlomkov, ktoré sa mu rovnajú. Takéto zlomky možno získať vynásobením čitateľa a menovateľa rovnakým číslom m (prirodzené číslo). Inými slovami, všetky obyčajné zlomky možno nahradiť inými v tvare a · m b · m. Ide o redukciu pôvodnej hodnoty na zlomok s požadovaným menovateľom.
Zlomok môžete zredukovať na iného menovateľa vynásobením jeho čitateľa a menovateľa ľubovoľným prirodzeným číslom. Hlavnou podmienkou je, že násobiteľ musí byť rovnaký pre obe časti zlomku. Výsledkom bude zlomok rovný pôvodnému.
Ilustrujme si to na príklade.
Príklad 1
Premeňte zlomok 11 25 na nového menovateľa.
Riešenie
Zoberme si ľubovoľné prirodzené číslo 4 a vynásobme ním obe strany pôvodného zlomku. Počítame: 11 · 4 = 44 a 25 · 4 = 100. Výsledkom je zlomok 44 100.
Všetky výpočty je možné zapísať v tomto tvare: 11 25 = 11 4 25 4 = 44 100
Ukazuje sa, že akýkoľvek zlomok sa dá zredukovať na obrovské množstvo rôznych menovateľov. Namiesto štyroch by sme mohli vziať iné prirodzené číslo a získať ďalší zlomok ekvivalentný pôvodnému.
Ale žiadne číslo sa nemôže stať menovateľom nového zlomku. Takže pre a b môže menovateľ obsahovať iba čísla b m, ktoré sú násobkami b. Zopakujte si základné pojmy delenia – násobky a delitele. Ak číslo nie je násobkom b, ale nemôže byť deliteľom nového zlomku. Ilustrujme našu predstavu na príklade riešenia problému.
Príklad 2
Vypočítajte, či je možné zlomok 5 9 zredukovať na menovateľov 54 a 21.
Riešenie
54 je násobok deviatky, ktorý je v menovateli nového zlomku (t. j. 54 možno deliť 9). To znamená, že takéto zníženie je možné. Ale nemôžeme deliť 21 číslom 9, takže túto akciu nemožno vykonať pre tento zlomok.
Koncept dodatočného multiplikátora
Sformulujme si, čo je to dodatočný faktor.
Definícia 1
Dodatočný multiplikátor predstavuje prirodzené číslo, ktorým sa obe strany zlomku vynásobia, aby sa dostal do nového menovateľa.
Tie. keď to urobíme so zlomkom, vezmeme za to ďalší faktor. Napríklad na zmenšenie zlomku 7 10 na tvar 21 30 potrebujeme ďalší faktor 3. A môžete získať zlomok 15 40 z 3 8 pomocou násobiteľa 5.
Ak teda poznáme menovateľa, na ktorý je potrebné zlomok zredukovať, môžeme preň vypočítať ďalší faktor. Poďme zistiť, ako to urobiť.
Máme zlomok a b, ktorý možno zredukovať na určitý menovateľ c; Vypočítajme dodatočný faktor m. Menovateľ pôvodného zlomku potrebujeme vynásobiť m. Dostaneme b · m, a podľa podmienok úlohy b · m = c. Pripomeňme si, ako spolu súvisí násobenie a delenie. Toto spojenie nás privedie k nasledujúcemu záveru: dodatočný faktor nie je nič iné ako kvocient delenia c číslom b, inými slovami m = c: b.
Aby sme teda našli ďalší faktor, musíme vydeliť požadovaný menovateľ pôvodným.
Príklad 3
Nájdite ďalší faktor, ktorým bol zlomok 17 4 zredukovaný na menovateľ 124.
Riešenie
Pomocou vyššie uvedeného pravidla jednoducho vydelíme 124 menovateľom pôvodného zlomku, štyrmi.
Počítame: 124: 4 = 31.
Tento typ výpočtu sa často vyžaduje pri prevode zlomkov na spoločného menovateľa.
Pravidlo pre redukciu zlomkov na zadaný menovateľ
Prejdime k definovaniu základného pravidla, pomocou ktorého môžete zlomky zmenšiť na určený menovateľ. takže,
Definícia 2
Na zníženie zlomku na určený menovateľ potrebujete:
- určiť ďalší faktor;
- vynásobte ním čitateľa aj menovateľa pôvodného zlomku.
Ako uplatniť toto pravidlo v praxi? Uveďme príklad riešenia problému.
Príklad 4
Zredukujte zlomok 7 16 na menovateľ 336.
Riešenie
Začnime výpočtom dodatočného násobiteľa. Delenie: 336: 16 = 21.
Výslednú odpoveď vynásobíme oboma časťami pôvodného zlomku: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336. Pôvodný zlomok sme teda priviedli na požadovaný menovateľ 336.
Odpoveď: 7 16 = 147 336.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Tento článok vysvetľuje ako nájsť najnižšieho spoločného menovateľa A ako zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa. Najprv sú uvedené definície spoločného menovateľa zlomkov a najmenšieho spoločného menovateľa a ukazuje sa, ako nájsť spoločného menovateľa zlomkov. Nižšie je uvedené pravidlo na zníženie zlomkov na spoločného menovateľa a zvažujú sa príklady použitia tohto pravidla. Na záver sú diskutované príklady privedenia troch alebo viacerých zlomkov k spoločnému menovateľovi.
Navigácia na stránke.
Čo sa nazýva redukcia zlomkov na spoločného menovateľa?
Teraz môžeme povedať, čo to znamená zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa. Redukcia zlomkov na spoločného menovateľa- Ide o násobenie čitateľov a menovateľov daných zlomkov takými dodatočnými faktormi, že výsledkom sú zlomky s rovnakými menovateľmi.
Spoločný menovateľ, definícia, príklady
Teraz je čas definovať spoločného menovateľa zlomkov.
Inými slovami, spoločným menovateľom určitej množiny obyčajných zlomkov je akékoľvek prirodzené číslo, ktoré je deliteľné všetkými menovateľmi týchto zlomkov.
Z uvedenej definície vyplýva, že daná množina zlomkov má nekonečne veľa spoločných menovateľov, keďže spoločných násobkov všetkých menovateľov pôvodnej množiny zlomkov je nekonečne veľa.
Určenie spoločného menovateľa zlomkov umožňuje nájsť spoločných menovateľov daných zlomkov. Nech sú napríklad dané zlomky 1/4 a 5/6 ich menovateľmi 4 a 6. Kladné spoločné násobky čísel 4 a 6 sú čísla 12, 24, 36, 48, ... Ktorékoľvek z týchto čísel je spoločným menovateľom zlomkov 1/4 a 5/6.
Na konsolidáciu materiálu zvážte riešenie nasledujúceho príkladu.
Príklad.
Dajú sa zlomky 2/3, 23/6 a 7/12 zredukovať na spoločného menovateľa 150?
Riešenie.
Aby sme odpovedali na položenú otázku, musíme zistiť, či číslo 150 je spoločným násobkom menovateľov 3, 6 a 12. Aby sme to urobili, skontrolujme, či je 150 deliteľné každým z týchto čísel (v prípade potreby si pozrite pravidlá a príklady delenia prirodzených čísel, ako aj pravidlá a príklady delenia prirodzených čísel zvyškom): 150:3=50 , 150:6=25, 150:12=12 (zostávajúcich 6).
takže, 150 nie je rovnomerne deliteľné 12, preto 150 nie je spoločným násobkom 3, 6 a 12. Preto číslo 150 nemôže byť spoločným menovateľom pôvodných zlomkov.
odpoveď:
Je to zakázané.
Najnižší spoločný menovateľ, ako ho nájsť?
V množine čísel, ktoré sú spoločnými menovateľmi daných zlomkov, je najmenšie prirodzené číslo, ktoré sa nazýva najmenší spoločný menovateľ. Sformulujme definíciu najmenšieho spoločného menovateľa týchto zlomkov.
Definícia.
Najnižší spoločný menovateľ je najmenší počet všetkých spoločných menovateľov týchto zlomkov.
Zostáva sa zaoberať otázkou, ako nájsť najmenšieho spoločného deliteľa.
Keďže je najmenším kladným spoločným deliteľom danej množiny čísel, LCM menovateľov daných zlomkov predstavuje najmenší spoločný menovateľ daných zlomkov.
Nájdenie najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov teda vedie k menovateľom týchto zlomkov. Pozrime sa na riešenie príkladu.
Príklad.
Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov 3/10 a 277/28.
Riešenie.
Menovateľmi týchto zlomkov sú 10 a 28. Požadovaný najnižší spoločný menovateľ sa nachádza ako LCM čísel 10 a 28. V našom prípade je to jednoduché: keďže 10=2·5 a 28=2·2·7, potom LCM(15, 28)=2·2·5·7=140.
odpoveď:
140 .
Ako zredukovať zlomky na spoločného menovateľa? Pravidlo, príklady, riešenia
Výsledkom spoločných zlomkov je zvyčajne najmenší spoločný menovateľ. Teraz si zapíšeme pravidlo, ktoré vysvetľuje, ako zmenšiť zlomky na ich najnižšieho spoločného menovateľa.
Pravidlo pre redukciu zlomkov na najmenší spoločný menovateľ pozostáva z troch krokov:
- Najprv nájdite najnižšieho spoločného menovateľa zlomkov.
- Po druhé, pre každý zlomok sa vypočíta dodatočný faktor vydelením najnižšieho spoločného menovateľa menovateľom každého zlomku.
- Po tretie, čitateľ a menovateľ každého zlomku sa vynásobí jeho dodatočným faktorom.
Aplikujme uvedené pravidlo na vyriešenie nasledujúceho príkladu.
Príklad.
Zlomky 5/14 a 7/18 zredukujte na ich najmenšieho spoločného menovateľa.
Riešenie.
Vykonajte všetky kroky algoritmu na redukciu zlomkov na najmenší spoločný menovateľ.
Najprv nájdeme najmenšieho spoločného menovateľa, ktorý sa rovná najmenšiemu spoločnému násobku čísel 14 a 18. Pretože 14=2·7 a 18=2·3·3, potom LCM(14, 18)=2·3·3·7=126.
Teraz vypočítame ďalšie faktory, pomocou ktorých sa zlomky 5/14 a 7/18 zredukujú na menovateľ 126. Pre zlomok 5/14 je dodatočný faktor 126:14=9 a pre zlomok 7/18 je dodatočný faktor 126:18=7.
Zostáva vynásobiť čitateľov a menovateľov zlomkov 5/14 a 7/18 ďalšími faktormi 9 a 7. Máme a 
.
Takže redukcia zlomkov 5/14 a 7/18 na najnižšieho spoločného menovateľa je dokončená. Výsledné frakcie boli 45/126 a 49/126.
Pri sčítavaní a odčítavaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi vedú najskôr zlomky k spoločný menovateľ. To znamená, že nájdu jedného menovateľa, ktorý sa vydelí pôvodným menovateľom každého algebraického zlomku zahrnutého v danom výraze.
Ako viete, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (alebo vydelia) rovnakým číslom iným ako nula, hodnota zlomku sa nezmení. Toto je hlavná vlastnosť zlomku. Preto, keď sa zlomky zredukujú na spoločného menovateľa, v podstate vynásobia pôvodný menovateľ každého zlomku chýbajúcim faktorom, aby sa získal spoločný menovateľ. V tomto prípade je potrebné vynásobiť čitateľa zlomku týmto faktorom (pre každý zlomok je iný).
Napríklad, ak vezmeme do úvahy nasledujúci súčet algebraických zlomkov:
Je potrebné výraz zjednodušiť, to znamená pridať dva algebraické zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr uviesť zlomkové členy do spoločného menovateľa. Prvým krokom je nájsť jednočlen, ktorý je deliteľný 3x aj 2y. V tomto prípade je žiaduce, aby bol najmenší, to znamená nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) pre 3x a 2y.
Pre číselné koeficienty a premenné sa LCM vyhľadáva samostatne. LCM(3,2) = 6 a LCM(x, y) = xy. Ďalej sa nájdené hodnoty vynásobia: 6xy.
Teraz musíme určiť, akým faktorom musíme vynásobiť 3x, aby sme dostali 6xy:
6xy ÷ 3x = 2r
To znamená, že pri redukcii prvého algebraického zlomku na spoločného menovateľa treba jeho čitateľa vynásobiť 2y (menovateľ je už vynásobený pri redukcii na spoločného menovateľa). Násobiteľ pre čitateľa druhého zlomku sa hľadá podobne. Bude to rovné 3x.
Tak dostaneme: 
Potom môžete postupovať ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi: sčítajte čitateľov a napíšte jedného spoločného menovateľa: 
Po transformáciách sa získa zjednodušený výraz, ktorým je jeden algebraický zlomok, ktorý je súčtom dvoch pôvodných: 
Algebraické zlomky v pôvodnom výraze môžu obsahovať menovateľov, ktoré sú skôr polynómami než monočlenmi (ako v príklade vyššie). V tomto prípade by ste pred hľadaním spoločného menovateľa mali zohľadňovať menovateľov (ak je to možné). Ďalej sa z rôznych faktorov zbiera spoločný menovateľ. Ak je násobiteľ vo viacerých pôvodných menovateľoch, berie sa raz. Ak má násobiteľ v pôvodných menovateľoch rôzne mocniny, berie sa väčší. Napríklad: 
Tu možno polynóm a 2 – b 2 znázorniť ako súčin (a – b) (a + b). Faktor 2a – 2b sa rozšíri ako 2(a – b). Spoločný menovateľ bude teda 2(a – b)(a + b).