Pri sčítavaní a odčítaní algebraických zlomkov s rôznymi menovateľmi vedú najskôr zlomky k spoločný menovateľ. To znamená, že nájdu jedného menovateľa, ktorý sa vydelí pôvodným menovateľom každého algebraického zlomku zahrnutého v danom výraze.
Ako viete, ak sa čitateľ a menovateľ zlomku vynásobia (alebo vydelia) rovnakým číslom iným ako nula, hodnota zlomku sa nezmení. Toto je hlavná vlastnosť zlomku. Preto, keď sa zlomky zredukujú na spoločného menovateľa, v podstate vynásobia pôvodný menovateľ každého zlomku chýbajúcim faktorom, aby sa získal spoločný menovateľ. V tomto prípade je potrebné vynásobiť čitateľa zlomku týmto faktorom (pre každý zlomok je iný).
Napríklad, ak vezmeme do úvahy nasledujúci súčet algebraických zlomkov:
Je potrebné výraz zjednodušiť, to znamená pridať dva algebraické zlomky. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr uviesť zlomkové členy do spoločného menovateľa. Prvým krokom je nájsť jednočlen, ktorý je deliteľný 3x aj 2y. V tomto prípade je žiaduce, aby bol najmenší, to znamená nájsť najmenší spoločný násobok (LCM) pre 3x a 2y.
Pre číselné koeficienty a premenné sa LCM vyhľadáva samostatne. LCM(3,2) = 6 a LCM(x, y) = xy. Ďalej sa nájdené hodnoty vynásobia: 6xy.
Teraz musíme určiť, akým faktorom musíme vynásobiť 3x, aby sme dostali 6xy:
6xy ÷ 3x = 2r
To znamená, že pri redukcii prvého algebraického zlomku na spoločného menovateľa treba jeho čitateľa vynásobiť 2y (menovateľ je už vynásobený pri redukcii na spoločného menovateľa). Násobiteľ pre čitateľa druhého zlomku sa hľadá podobne. Bude to rovné 3x.
Tak dostaneme: 
Potom môžete postupovať ako pri zlomkoch s rovnakými menovateľmi: sčítajte čitateľov a napíšte jeden spoločný menovateľ: 
Po transformáciách sa získa zjednodušený výraz, ktorým je jeden algebraický zlomok, ktorý je súčtom dvoch pôvodných: 
Algebraické zlomky v pôvodnom výraze môžu obsahovať menovateľov, ktoré sú skôr polynómami než monočlenmi (ako v príklade vyššie). V tomto prípade by ste pred hľadaním spoločného menovateľa mali zohľadňovať menovateľov (ak je to možné). Ďalej sa z rôznych faktorov zbiera spoločný menovateľ. Ak je násobiteľ vo viacerých pôvodných menovateľoch, berie sa raz. Ak má násobiteľ v pôvodných menovateľoch rôzne mocniny, berie sa väčší. Napríklad: 
Tu možno polynóm a 2 – b 2 znázorniť ako súčin (a – b) (a + b). Faktor 2a – 2b je rozšírený ako 2(a – b). Spoločný menovateľ bude teda 2(a – b)(a + b).
Pôvodne som chcel do časti Sčítanie a odčítanie zlomkov zahrnúť techniky spoločného menovateľa. Ukázalo sa však, že existuje toľko informácií a ich dôležitosť je taká veľká (napokon, nielen číselné zlomky majú spoločných menovateľov), že je lepšie študovať túto problematiku samostatne.
Povedzme teda, že máme dva zlomky s rôznymi menovateľmi. A chceme zabezpečiť, aby menovatelia boli rovnakí. Na pomoc prichádza základná vlastnosť zlomku, ktorá, dovoľte mi pripomenúť, znie takto:
Zlomok sa nezmení, ak sa jeho čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom iným ako nula.
Ak teda vyberiete faktory správne, menovatelia zlomkov sa vyrovnajú - tento proces sa nazýva redukcia na spoločného menovateľa. A požadované čísla, „vyrovnanie“ menovateľov, sa nazývajú dodatočné faktory.
Prečo potrebujeme zlomky zredukovať na spoločného menovateľa? Tu je len niekoľko dôvodov:
- Sčítanie a odčítanie zlomkov s rôznymi menovateľmi. Neexistuje žiadny iný spôsob vykonania tejto operácie;
- Porovnávanie zlomkov. Niekedy redukcia na spoločného menovateľa značne zjednodušuje túto úlohu;
- Riešenie problémov so zlomkami a percentami. Percentá sú v podstate bežné výrazy, ktoré obsahujú zlomky.
Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť čísla, ktoré po vynásobení urobia menovateľmi zlomkov rovnakými. Budeme zvažovať iba tri z nich - v poradí zvyšujúcej sa zložitosti a v istom zmysle účinnosti.
Krížové násobenie
Najjednoduchšia a najspoľahlivejšia metóda, ktorá zaručene vyrovnáva menovateľov. Budeme konať „bezhlavo“: prvý zlomok vynásobíme menovateľom druhého zlomku a druhý menovateľom prvého. V dôsledku toho sa menovatelia oboch zlomkov stanú rovnými súčinu pôvodných menovateľov. Pozri sa:
Ako ďalšie faktory zvážte menovateľov susedných zlomkov. Dostaneme:
Áno, je to také jednoduché. Ak práve začínate študovať zlomky, je lepšie pracovať s touto metódou - týmto spôsobom sa poistíte proti mnohým chybám a zaručene dostanete výsledok.
Jedinou nevýhodou tejto metódy je, že musíte veľa počítať, pretože menovatele sa násobia „celkom“ a výsledkom môžu byť veľmi veľké čísla. Toto je cena, ktorú treba zaplatiť za spoľahlivosť.
Metóda spoločného deliteľa
Táto technika pomáha výrazne znížiť výpočty, ale bohužiaľ sa používa pomerne zriedka. Metóda je nasledovná:
- Predtým, ako pôjdete rovno (t. j. pomocou krížovej metódy), pozrite sa na menovateľov. Možno je jedna z nich (tá, ktorá je väčšia) rozdelená na druhú.
- Číslo vyplývajúce z tohto delenia bude dodatočným faktorom pre zlomok s menším menovateľom.
- V tomto prípade zlomok s veľkým menovateľom nie je potrebné násobiť vôbec ničím – v tom spočíva úspora. Zároveň sa výrazne zníži pravdepodobnosť chyby.
Úloha. Nájdite význam výrazov:
Všimnite si, že 84: 21 = 4; 72:12 = 6. Keďže v oboch prípadoch sa jeden menovateľ delí bezo zvyšku druhým, použijeme metódu spoločných faktorov. Máme:
Všimnite si, že druhý zlomok nebol vynásobený vôbec ničím. V skutočnosti sme znížili množstvo výpočtov na polovicu!
Mimochodom, zlomky v tomto príklade som nezobral náhodou. Ak máte záujem, skúste ich spočítať krížovou metódou. Po zmenšení budú odpovede rovnaké, ale bude s tým oveľa viac práce.
Toto je sila metódy spoločných deliteľov, ale opäť ju možno použiť len vtedy, keď je jeden z menovateľov bezo zvyšku deliteľný druhým. Čo sa stáva dosť zriedka.
Najmenej bežná viacnásobná metóda
Keď zlomky zredukujeme na spoločného menovateľa, v podstate sa snažíme nájsť číslo, ktoré je deliteľné každým menovateľom. Potom privedieme menovateľov oboch zlomkov k tomuto číslu.
Takýchto čísel je veľa a najmenšie z nich sa nemusí nevyhnutne rovnať priamemu súčinu menovateľov pôvodných zlomkov, ako sa predpokladá pri metóde kríženia.
Napríklad pre menovateľov 8 a 12 je číslo 24 celkom vhodné, pretože 24: 8 = 3; 24:12 = 2. Toto číslo je oveľa menšie ako súčin 8 · 12 = 96.
Najmenšie číslo, ktoré je deliteľné každým z menovateľov, sa nazýva ich najmenší spoločný násobok (LCM).
Zápis: Najmenší spoločný násobok aab sa označuje LCM(a ; b) . Napríklad LCM(16,24) = 48; LCM(8; 12) = 24 uM.
Ak sa vám podarí nájsť takéto číslo, celkové množstvo výpočtov bude minimálne. Pozrite si príklady:
Úloha. Nájdite význam výrazov:
Všimnite si, že 234 = 117 2; 351 = 117 3. Faktory 2 a 3 sú koprime (nemajú žiadne iné spoločné faktory ako 1) a faktor 117 je bežný. Preto LCM(234, 351) = 11723 = 702.
Podobne 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktory 3 a 4 sú koprimárne a faktor 5 je bežný. Preto LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.
Teraz zredukujeme zlomky na spoločných menovateľov:
Všimnite si, aké užitočné bolo faktorizovanie pôvodných menovateľov:
- Po objavení rovnakých faktorov sme okamžite dospeli k najmenšiemu spoločnému násobku, čo je vo všeobecnosti netriviálny problém;
- Z výsledného rozšírenia môžete zistiť, ktoré faktory „chýbajú“ v jednotlivých zlomkoch. Napríklad 234 · 3 = 702, preto pre prvý zlomok je dodatočný faktor 3.
Aby ste pochopili, aký veľký rozdiel spôsobuje metóda najmenej spoločného násobku, skúste vypočítať tieto rovnaké príklady pomocou krížovej metódy. Samozrejme, bez kalkulačky. Myslím, že po tomto komentáre budú zbytočné.
Nemyslite si, že v skutočných príkladoch nebudú také zložité zlomky. Stretávajú sa neustále a vyššie uvedené úlohy nie sú limitom!
Jediný problém je, ako nájsť práve toto NOC. Niekedy sa dá všetko nájsť za pár sekúnd, doslova „od oka“, ale vo všeobecnosti ide o komplexnú výpočtovú úlohu, ktorá si vyžaduje samostatné zváženie. Toho sa tu nedotkneme.
Menovateľom aritmetického zlomku a / b je číslo b, ktoré vyjadruje veľkosť zlomkov jednotky, z ktorej sa zlomok skladá. Menovateľom algebraického zlomku A / B je algebraický výraz B. Ak chcete vykonávať aritmetické operácie so zlomkami, musia byť zredukované na najmenšieho spoločného menovateľa.
Budete potrebovať
- Ak chcete pracovať s algebraickými zlomkami a nájsť najnižšieho spoločného menovateľa, musíte vedieť, ako násobiť polynómy.
Inštrukcie
Uvažujme redukciu dvoch aritmetických zlomkov n/m a s/t na najmenší spoločný menovateľ, kde n, m, s, t sú celé čísla. Je jasné, že tieto dva zlomky možno redukovať na ľubovoľného menovateľa deliteľného m a t. Ale snažia sa viesť k najnižšiemu spoločnému menovateľovi. Rovná sa najmenšiemu spoločnému násobku menovateľov m a t daných zlomkov. Najmenší násobok (LMK) čísla je najmenší deliteľný všetkými danými číslami súčasne. Tie. v našom prípade musíme nájsť najmenší spoločný násobok čísel m a t. Označené ako LCM (m, t). Potom sa frakcie vynásobia zodpovedajúcimi: (n/m) * (LCM (m, t) / m), (s/t) * (LCM (m, t) / t).
Nájdite najnižšieho spoločného menovateľa troch zlomkov: 4/5, 7/8, 11/14. Najprv rozviňme menovateľov 5, 8, 14: 5 = 1 * 5, 8 = 2 * 2 * 2 = 2^3, 14 = 2 * 7. Ďalej vypočítajte LCM (5, 8, 14) vynásobením všetky čísla zahrnuté aspoň v jednom z rozšírení. LCM (5, 8, 14) = 5 * 2^3 * 7 = 280. Všimnite si, že ak sa faktor vyskytne pri expanzii niekoľkých čísel (faktor 2 pri expanzii menovateľov 8 a 14), potom faktor berieme do vyšší stupeň (v našom prípade 2^3).
Takže sa získa všeobecný. Rovná sa 280 = 5 * 56 = 8 * 35 = 14 * 20. Tu dostaneme čísla, ktorými musíme vynásobiť zlomky so zodpovedajúcimi menovateľmi, aby sme ich dostali k najnižšiemu spoločnému menovateľovi. Získame 4/5 = 56 * (4/5) = 224/280, 7/8 = 35 * (7/8) = 245/280, 11/14 = 20 * (11/14) = 220/280.
Redukcia algebraických zlomkov na najmenší spoločný menovateľ sa vykonáva analogicky s aritmetickými. Pre prehľadnosť sa pozrime na problém pomocou príkladu. Nech sú dané dva zlomky (2 * x) / (9 * y^2 + 6 * y + 1) a (x^2 + 1) / (3 * y^2 + 4 * y + 1). Rozložme oboch menovateľov na faktor. Všimnite si, že menovateľ prvého zlomku je dokonalý štvorec: 9 * y^2 + 6 * y + 1 = (3 * y + 1)^2. Pre
Ak chcete vyriešiť príklady so zlomkami, musíte byť schopní nájsť najnižšieho spoločného menovateľa. Nižšie sú uvedené podrobné pokyny.
Ako nájsť najnižšieho spoločného menovateľa - koncept
Najmenší spoločný menovateľ (LCD), jednoducho povedané, je minimálne číslo, ktoré je deliteľné menovateľmi všetkých zlomkov v danom príklade. Inými slovami, nazýva sa to Least Common Multiple (LCM). NOS sa používa iba vtedy, ak sú menovatele zlomkov odlišné.
Ako nájsť najmenšieho spoločného menovateľa - príklady
Pozrime sa na príklady hľadania NOC.
Vypočítajte: 3/5 + 2/15.
Riešenie (Postupnosť akcií):
- Pozeráme sa na menovateľov zlomkov, dbáme na to, aby boli rôzne a aby výrazy boli čo najkratšie.
- Nájdeme najmenšie číslo, ktoré je deliteľné 5 aj 15. Toto číslo bude 15. Teda 3/5 + 2/15 = ?/15.
- Zistili sme menovateľa. Čo bude v čitateli? Dodatočný multiplikátor nám to pomôže zistiť. Ďalším faktorom je číslo získané vydelením NZ menovateľom konkrétneho zlomku. Pre 3/5 je dodatočný faktor 3, pretože 15/5 = 3. Pre druhý zlomok je dodatočný faktor 1, pretože 15/15 = 1.
- Po zistení dodatočného faktora ho vynásobíme čitateľmi zlomkov a pripočítame výsledné hodnoty. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.
Odpoveď: 3/5 + 2/15 = 11/15.
Ak v príklade nie sú sčítané alebo odčítané 2, ale 3 alebo viac zlomkov, potom je potrebné hľadať v NCD toľko zlomkov, koľko je zadaných.
Vypočítajte: 1/2 – 5/12 + 3/6
Riešenie (postupnosť akcií):
- Hľadanie najmenšieho spoločného menovateľa. Minimálne číslo deliteľné 2, 12 a 6 je 12.
- Získame: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
- Hľadáme ďalších násobiteľov. Pre 1/2 – 6; pre 5/12 – 1; na 3.6.-2.
- Vynásobíme čitateľmi a priradíme zodpovedajúce znamienka: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.
Odpoveď: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.