Konštrukcia rezov mnohostenu na príklade hranola. Praktická lekcia: "Konštrukcia častí rovnobežnostenu"

Ciele lekcie: zvážte riešenie problémov pri konštrukcii rezov, ak dva body rezu patria k tej istej ploche.

Pokrok v lekcii

Učenie sa nových konceptov
Definícia 1. Rovina rezu mnohostena je ľubovoľná rovina, na ktorej oboch stranách sú body daného mnohostena.
Definícia 2. Úsek mnohostena je mnohouholník, ktorého strany sú segmenty, pozdĺž ktorých rovina rezu pretína plochy mnohostena.
Cvičenie. Pomenujte segmenty, pozdĺž ktorých rovina rezu pretína plochy rovnobežnostena (obr. 1). Pomenujte časť rovnobežnostena.

Základné úkony pri konštrukcii sekcií

	Teoretický základ	Odpoveď
1. Ako skontrolovať, či bol úsek skonštruovaný alebo nie	Definícia sekcie	Musí to byť mnohouholník, ktorého strany patria k plochám mnohostenu
2. Pred začatím práce zistite, či je možné zostaviť časť na základe údajov o úlohe	Metódy na definovanie roviny	Je to možné, ak tieto prvky jednoznačne definujú rovinu, to znamená, že sú dané tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, bod a priamka atď.
3. V rovine nejakej plochy sú dva body roviny rezu	Ak dva body patria do roviny, potom celá čiara patrí do roviny	Cez tieto body nakreslite priamku
4. Na jednej z rovnobežných plôch je strana rezu a na druhej je bod rezu	Vlastnosť rovnobežných rovín	Cez tento bod nakreslite čiaru rovnobežnú s týmto bodom
5. Na jednej ploche je bod rezu a je známe, že rovina rezu prechádza priamkou rovnobežnou s touto plochou	Znak rovnobežnosti medzi priamkou a rovinou. Vlastnosť rovnobežných rovín	Zostrojte priesečník rovín rovnobežných s danou priamkou
6. Dva body rezu patria jednej ploche a tretí bod leží v susednej	Axiómy stereometrie	Rovina rezu pretína plochy pozdĺž segmentov OC a AB, ktoré sa nazývajú stopa roviny rezu na plochách

Riešenie problémov

Úloha 1. Ktorý zo štvoruholníkov, EFKM alebo EFKL, môže byť rezom tohto mnohostenu (obr. 2)? prečo?

Úloha 2.Žiak nakreslil prierez štvorstenom (obr. 3). Je možný takýto úsek?

Riešenie. Je potrebné dokázať, že N, M a H, L ležia v rovnakej rovine. Nech body N a M patria zadnej ploche, H a L spodnej ploche, to znamená, že priesečník NM a HL musí ležať na priamke patriacej obom plochám, teda AC. Predĺžme priamky NM a HL a nájdime ich priesečník. Tento bod nebude patriť do vedenia AC. To znamená, že body N, M, L, H netvoria plochý mnohouholník. nemožné.

Úloha 3. Zostrojte rez štvorstenom ABCS s rovinou prechádzajúcou bodmi K, L, N, kde K a N sú stredy hrán SA a SB (obr. 4).

1. V akej ploche môžu byť skonštruované strany profilu?

2. Vyberte jeden z bodov, v ktorých sa úsek zlomí.
Riešenie. Metóda I. Vyberte bod L.
Určíme plochu, na ktorej leží vybraný bod a v ktorej potrebujeme zostrojiť rez.

Určíme plochu, v ktorej leží priamka KN, ktorá neprechádza zvoleným bodom L.

Nájdite priesečník stien ABC a ASB.

Aká je vzájomná poloha priamok KN a AB (obr. 5)?
[Paralelné.]

Čo je potrebné zostrojiť, ak rovina rezu prechádza priamkou rovnobežnou s priesečníkom rovín?
[Nakreslite priamku rovnobežnú s AB cez bod L. Táto čiara pretína hranu CB v bode P.]
Spájame body patriace tej istej tvári. KLPN - požadovaný úsek.
Metóda II. Zvoľte bod N (obr. 6).

Určíme plochy, v ktorých leží bod N a priamka KL.

Priesečník týchto rovín bude priamka SC. Nájdite priesečník čiar KL a SC. Označme to Y.
Spojte body N a Y. Čiara NY pretína hranu CB v bode P.
Spájame body patriace tej istej tvári.
KLNP - požadovaný úsek.
Vysvetlite toto rozhodnutie.
Jeden žiak pracuje pri tabuli, zvyšok v zošitoch.

Problém 4. Zostrojte rez rovnobežnostena prechádzajúceho bodmi M, P a H, H ` (A1B1C1) (obr. 7).

Riešenie. 1. Spojte body patriace tej istej tvári.
2. Ktorú priamku a bod zvolíme na zostrojenie rezu?
3. Čo určíme ďalej?
4. Aká je vzájomná poloha zvolenej priamky a priesečníka plôch (obr. 8)?

5. Ako zostrojiť stopu roviny rezu na ploche B1C1D1A1 prechádzajúcej bodom H?
6. Spojte body patriace tej istej tvári.
7. Ktorú čiaru a bod zvoliť na zostrojenie stopy roviny rezu na ploche AA1D1D?
8. Aká je vzájomná poloha plôch BB1C1C a AA1D1D?
9. Akú vlastnosť treba použiť na zostrojenie stopy roviny rezu na ploche AA1D1D?
10. Pomenujte požadovanú sekciu.

Úloha 5. Zostrojte časť pyramídy SABCD prechádzajúcu bodmi M, P a H,
H' (ABC) (obr. 9).

Odpoveď: Pozri obrázok 10.

Zadanie domácej úlohy

Úloha. Ako sa zmenia konštrukcie ak presne
Ako H zmení svoju polohu? Zostavte rezy pomocou rôznych možností (obr. 11).

Dnes sa opäť pozrieme na to, ako zostrojte rez štvorstenom s rovinou.
Uvažujme o najjednoduchšom prípade (povinná úroveň), keď 2 body roviny rezu patria jednej ploche a tretí bod patrí inej ploche.

Dovoľte nám pripomenúť algoritmus na vytváranie sekcií tohto typu (prípad: 2 body patria tej istej tvári).

1. Hľadáme plochu, ktorá obsahuje 2 body roviny rezu. Nakreslite priamku cez dva body ležiace na tej istej ploche. Nájdeme body jeho priesečníka s okrajmi štvorstenu. Časť priamky, ktorá končí v tvári, je strana sekcie.

2. Ak je možné polygón uzavrieť, sekcia je skonštruovaná. Ak nie je možné zavrieť, nájdeme priesečník zostrojenej čiary a roviny obsahujúcej tretí bod.

1. Vidíme, že body E a F ležia na rovnakej ploche (BCD), nakreslite priamku EF v rovine (BCD).
2. Nájdite priesečník priamky EF s hranou štvorstenu BD, toto je bod H.
3. Teraz treba nájsť priesečník priamky EF a roviny obsahujúcej tretí bod G, t.j. rovina (ADC).
Priamka CD leží v rovinách (ADC) a (BDC), čo znamená, že pretína priamku EF a bod K je priesečníkom priamky EF a roviny (ADC).
4. Ďalej nájdeme ďalšie dva body ležiace v rovnakej rovine. Ide o body G a K, oba ležia v rovine ľavého bočného čela. Nakreslíme priamku GK a označíme body, v ktorých táto priamka pretína hrany štvorstenu. Sú to body M a L.
4. Zostáva „uzavrieť“ sekciu, t.j. spojiť body ležiace na tej istej ploche. Sú to body M a H a tiež L a F. Oba tieto segmenty sú neviditeľné, nakreslíme ich bodkovanou čiarou.

Prierez sa ukázal ako štvoruholník MHFL. Všetky jeho vrcholy ležia na okrajoch štvorstenu. Vyberieme výslednú sekciu.

Teraz poďme formulovať "vlastnosti" správne postavenej sekcie:

1. Všetky vrcholy mnohouholníka, ktorý je rezom, ležia na hranách štvorstenu (rovnobežník, mnohouholník).

2. Všetky strany rezu ležia na plochách mnohostenu.
3. Každá plocha mnohouholníka nemôže obsahovať viac ako jednu (jednu alebo žiadnu!) stranu rezu

V tejto lekcii sa pozrieme na štvorsten a jeho prvky (hrana štvorstenu, plocha, plochy, vrcholy). A my vyriešime niekoľko problémov pri konštrukcii sekcií v štvorstene pomocou všeobecnej metódy konštrukcie sekcií.

Téma: Rovnobežnosť priamok a rovín

Lekcia: Tetrahedron. Problémy pri konštrukcii sekcií v štvorstene

Ako postaviť štvorsten? Zoberme si ľubovoľný trojuholník ABC. Akýkoľvek bod D, ktoré neležia v rovine tohto trojuholníka. Získame 4 trojuholníky. Povrch tvorený týmito 4 trojuholníkmi sa nazýva štvorsten (obr. 1.). Súčasťou štvorstenu sú aj vnútorné body ohraničené touto plochou.

Ryža. 1. Tetrahedron ABCD

Prvky štvorstenu
A,B, C, D - vrcholy štvorstenu.
AB, A.C., AD, B.C., BD, CD - hrany štvorstenu.
ABC, ABD, BDC, ADC - štvorstenné tváre.

komentár: dá sa zobrať naplocho ABC pre štvorstenná základňa a potom ukážte D je vrchol štvorstenu. Každá hrana štvorstenu je priesečníkom dvoch rovín. Napríklad rebro AB- toto je priesečník rovín ABD A ABC. Každý vrchol štvorstenu je priesečníkom troch rovín. Vertex A leží v rovinách ABC, ABD, ADS. Bodka A je priesečník troch určených rovín. Táto skutočnosť je napísaná takto: A= ABC ∩ ABD ∩ ACD.

Definícia štvorstenu

takže, štvorsten je plocha tvorená štyrmi trojuholníkmi.

Hrana štvorstenu- priesečník dvoch rovín štvorstenu.

Zo 6 zápaliek vytvorte 4 rovnaké trojuholníky. V lietadle je nemožné vyriešiť problém. A to sa vo vesmíre dá ľahko urobiť. Zoberme si štvorsten. 6 zápaliek sú jeho okraje, štyri strany štvorstenu a budú to štyri rovnaké trojuholníky. Problém je vyriešený.

Daný štvorsten ABCD. Bodka M patrí k okraju štvorstenu AB, bod N patrí k okraju štvorstenu IND a bodka R patrí na okraj DS(obr. 2.). Zostrojte rez štvorstenom s rovinou MNP.

Ryža. 2. Nákres k úlohe 2 - Zostrojte rez štvorstenom s rovinou

Riešenie:
Predstavte si tvár štvorstenu DSlnko. Na túto tvár veci N A P patrí k tváram DSlnko, a teda štvorsten. Ale podľa stavu bodu N, P patria do roviny rezu. znamená, NP- toto je priesečník dvoch rovín: rovina tváre DSlnko a rovinu rezu. Predpokladajme, že rovné čiary NP A Slnko nie paralelne. Ležia v rovnakej rovine DSlnko. Nájdite priesečník čiar NP A Slnko. Označme to E(Obr. 3.).

Ryža. 3. Nákres problému 2. Nájdenie bodu E

Bodka E patrí do roviny rezu MNP, keďže leží na linke NP a priamku NP leží úplne v rovine rezu MNP.

Tiež bod E leží v rovine ABC, pretože leží na priamke Slnko mimo lietadla ABC.

Chápeme to EM- priesečník rovín ABC A MNP, od bodov E A M ležať súčasne v dvoch rovinách - ABC A MNP. Spojme bodky M A E a pokračujte rovno EM ku križovatke s čiarou AC. Priesečník čiar EM A AC označme Q.

Takže v tomto prípade NPQM- požadovaný úsek.

Ryža. 4. Nákres úlohy 2. Riešenie úlohy 2

Pozrime sa teraz na prípad, kedy NP paralelný B.C.. Ak rovno NP rovnobežná s nejakou čiarou, napríklad priamkou Slnko mimo lietadla ABC, potom rovno NP rovnobežne s celou rovinou ABC.

Požadovaná rovina rezu prechádza priamkou NP, rovnobežne s rovinou ABC, a pretína rovinu v priamke MQ. Takže priesečník MQ rovnobežne s čiarou NP. dostaneme NPQM- požadovaný úsek.

Bodka M leží na bočnom okraji ADINštvorsten ABCD. Zostrojte rez štvorstenom s rovinou, ktorá prechádza bodom M rovnobežne so základňou ABC.

Ryža. 5. Kresba k úlohe 3 Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
Rovina rezu φ rovnobežne s rovinou ABC podľa podmienky to znamená, že táto rovina φ rovnobežné s čiarami AB, AC, Slnko.
V lietadle ABD cez bod M urobme si prím PQ paralelný AB(obr. 5). Rovno PQ leží v rovine ABD. Podobne aj v lietadle ACD cez bod R urobme si prím PR paralelný AC. Mám bod R. Dve pretínajúce sa čiary PQ A PR lietadlo PQR rovnobežne s dvoma pretínajúcimi sa čiarami AB A AC lietadlo ABC, čo znamená lietadlá ABC A PQR paralelný. PQR- požadovaný úsek. Problém je vyriešený.

Daný štvorsten ABCD. Bodka M- vnútorný bod, bod na líci štvorstenu ABD. N- vnútorný bod segmentu DS(obr. 6.). Zostrojte priesečník priamky N.M. a lietadlá ABC.

Ryža. 6. Nákres pre problém 4

Riešenie:
Aby sme to vyriešili, zostrojíme pomocnú rovinu DMN. Nech je to rovno DM pretína priamku AB v bode TO(obr. 7.). potom SKD- toto je časť lietadla DMN a štvorsten. V lietadle DMN lži a rovné N.M. a výsledná priamka SK. Ak teda N.M. nie paralelne SK, potom sa v určitom bode pretnú R. Bodka R a tam bude požadovaný priesečník čiary N.M. a lietadlá ABC.

Ryža. 7. Nákres úlohy 4. Riešenie úlohy 4

Daný štvorsten ABCD. M- vnútorný bod tváre ABD. R- vnútorný bod tváre ABC. N- vnútorný bod okraja DS(obr. 8.). Zostrojte rez štvorstenom s rovinou prechádzajúcou bodmi M, N A R.

Ryža. 8. Kresba k úlohe 5 Zostrojte rez štvorstenom rovinou

Riešenie:
Zoberme si prvý prípad, keď je priamka MN nie sú rovnobežné s rovinou ABC. V predchádzajúcej úlohe sme našli priesečník priamky MN a lietadlá ABC. Toto je pointa TO, získa sa pomocou pomocnej roviny DMN, t.j. vedieme DM a získame bod F. Vykonávame CF a na križovatke MN získame bod TO.

Ryža. 9. Nákres k úlohe 5. Hľadanie bodu K

Urobme si prím KR. Rovno KR leží v rovine rezu aj v rovine ABC. Získavanie bodov P 1 A R 2. Pripája sa P 1 A M a ako pokračovanie dostávame pointu M 1. Pripojenie bodky R 2 A N. V dôsledku toho získame požadovanú sekciu P 1 P 2 NM 1. Problém v prvom prípade je vyriešený.
Zoberme si druhý prípad, keď je priamka MN rovnobežne s rovinou ABC. Lietadlo MNP prechádza cez priamku MN rovnobežne s rovinou ABC a pretína rovinu ABC pozdĺž nejakej priamky R 1 R 2, potom rovno R 1 R 2 rovnobežne s danou čiarou MN(Obr. 10.).

Ryža. 10. Výkres problému 5. Požadovaná časť

Teraz nakreslíme priamku R 1 M a získame bod M 1.P 1 P 2 NM 1- požadovaný úsek.

Pozreli sme sa teda na štvorsten a vyriešili niektoré typické štvorstenové problémy. V ďalšej lekcii sa pozrieme na rovnobežnosten.

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a rozšírené - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s. : chorý. Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií (základný a špecializovaný stupeň)

2. Sharygin I.F. - M.: Drop, 1999. - 208 s.: chorý. Geometria. Ročníky 10-11: Učebnica pre inštitúcie všeobecného vzdelávania

3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. vydanie, stereotyp. - M.: Drop, 008. - 233 s. :il. Geometria. 10. ročník: Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie s hĺbkovým a špecializačným štúdiom matematiky

Ďalšie webové zdroje

2. Ako zostrojiť prierez štvorstena. Matematika ().

3. Festival pedagogických myšlienok ().

Urobte si doma úlohy na tému „Tetrahedron“, ako nájsť okraj štvorstena, steny štvorstenu, vrcholy a povrch štvorstenu

1. Geometria. Ročníky 10-11: učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií (základný a špecializovaný stupeň) I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. vydanie, opravené a rozšírené - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. Úlohy 18, 19, 20 50

2. Bod E stredné rebro MAštvorsten MAVS. Zostrojte rez štvorstenom s rovinou prechádzajúcou bodmi B, C A E.

3. V štvorstene MABC patrí bod M stene AMV, bod P patrí stene BMC, bod K patrí hrane AC. Zostrojte rez štvorstenom s rovinou prechádzajúcou bodmi M, R, K.

4. Aké tvary možno získať priesečníkom štvorstenu s rovinou?

Axiómy planimetrie:

V rôznych učebniciach môžu byť vlastnosti čiar a rovín prezentované rôznymi spôsobmi, vo forme axiómy, jej dôsledkom, vety, lemy atď. Zvážte učebnicu Pogorelova A.V.

Priamka rozdeľuje rovinu na dve polroviny.

0

Z ľubovoľnej polpriamky možno do danej polroviny vykresliť uhol s danou mierou stupňov menšou ako 180. 0 , a iba jeden.

Nech je trojuholník akýkoľvek, v danom mieste vzhľadom k danej polpriamke je rovnaký trojuholník.

Cez bod, ktorý neleží na danej priamke, možno na rovine nakresliť najviac jednu priamku rovnobežnú s danou.

Axiómy stereometrie:

Nech je rovina akákoľvek, existujú body, ktoré patria do tejto roviny a body, ktoré do tejto roviny nepatria a body, ktoré do nej nepatria.

Ak majú dve rôzne roviny spoločný bod, potom sa pretínajú pozdĺž priamky prechádzajúcej týmto bodom.

Ak majú dve rôzne čiary spoločný bod, potom je možné cez ne nakresliť rovinu, a to iba jednu.

Bez ohľadu na čiaru existujú body, ktoré patria do tejto čiary a body, ktoré do nej nepatria.

Cez ľubovoľné dva body môžete nakresliť priamku a iba jeden.

Z troch bodov na priamke leží iba jeden medzi ostatnými dvoma.

Každý segment má určitú dĺžku väčšiu ako nula. Dĺžka úsečky sa rovná súčtu dĺžok častí, na ktoré je rozdelená ktorýmkoľvek z jej bodov.

Priamka patriaca do roviny rozdeľuje túto rovinu na dve polroviny.

Každý uhol má určitý stupeň väčší ako nula. Priamy uhol je 180 0 . Miera stupňov uhla sa rovná súčtu mier stupňov uhlov, na ktoré je rozdelený ľubovoľným lúčom prechádzajúcim medzi jeho stranami.

Na ľubovoľnej polpriamke od jej počiatočného bodu môžete vykresliť segment danej dĺžky a iba jeden.

Z polpriamky v rovine, v ktorej sa nachádza, možno do danej polroviny vykresliť uhol s daným mierom stupňov menším ako 180. 0 , a iba jeden.

Bez ohľadu na trojuholník existuje rovnaký trojuholník v danej rovine v danom mieste vzhľadom k danej polpriamke v tejto rovine.

Na rovine, cez daný bod, ktorý neleží na danej priamke, možno nakresliť najviac jednu priamku rovnobežnú s danou.

oddiel

V priestore môžu mať dva obrazce, v našom prípade rovina a mnohosten, tieto vzájomné polohy: nepretínajú sa, pretínajú sa v bode, pretínajú sa v priamke a rovina pretína mnohosten pozdĺž jeho vnútra (obr. 1). a zároveň tvoria tieto obrázky:

a) prázdny obrazec (nepretínajú sa)

b) bod

c) segment

d) mnohouholník

Ak je v priesečníku mnohostenu a roviny mnohouholník, potom tento mnohouholníknazývaný úsek mnohostenu s rovinou .

Obr.1

Definícia. oddiel priestorové teleso (napríklad mnohosten) je útvar, ktorý vznikne priesečníkom telesa s rovinou.

Rovina rezu mnohosten nazvime ľubovoľnú rovinu, na ktorej oboch stranách sú body daného mnohostenu.

Budeme uvažovať iba v prípade, keď rovina pretína mnohosten pozdĺž jeho vnútra. V tomto prípade bude priesečník tejto roviny s každou plochou mnohostenu určitým segmentom.

Ak sa roviny pretínajú v priamke, nazýva sa priamkapo jednej z týchto rovín na druhú.

Vo všeobecnosti rovina rezu mnohostena pretína rovinu každej z jeho plôch (rovnako ako akúkoľvek inú rovinu rezu tohto mnohostena). Taktiež pretína každú z čiar, na ktorých ležia okraje mnohostenu.

Priama čiara, pozdĺž ktorej rovina rezu pretína rovinu ľubovoľnej plochy mnohostenu, sa nazývapo rovine rezu na rovine tejto plochy a bod, v ktorom rovina rezu pretína čiaru obsahujúcu ľubovoľnú hranu mnohostenu, sa nazývapo rovine rezu natúto priamku. Tento bod je tiež stopou čiary na rovine rezu. Ak rovina rezu priamo pretína plochu mnohostenu, potom môžeme hovoriť o stope roviny rezu na ploche a podobnestopa roviny rezu na okraji mnohostenu, teda o stopu hrany na rovine rezu.

Keďže priamka je jednoznačne určená dvoma bodmi, na nájdenie stopy roviny rezu na akejkoľvek inej rovine a najmä na rovine ktorejkoľvek plochy mnohostenu stačí zostrojiť dva spoločné body rovín.

Na zostrojenie stopy roviny rezu, ako aj na zostrojenie rezu mnohostena s touto rovinou, musí byť špecifikovaný nielen mnohosten, ale aj rovina rezu. A konštrukcia roviny rezu závisí od špecifikácie tejto roviny. Hlavné spôsoby definovania roviny, a najmä roviny rezu, sú tieto:

tri body, ktoré neležia na tej istej čiare;

priamka a bod, ktorý na nej neleží;

dve rovnobežné čiary;

dve pretínajúce sa čiary;

bod a dve pretínajúce sa čiary;

Možné sú aj iné spôsoby určenia roviny rezu.

Preto možno všetky metódy konštrukcie sekcií mnohostenov rozdeliť na metódy.

Metódy konštrukcie sekcií mnohostenov

Metóda rezov mnohostenov v stereometrii sa používa v konštrukčných úlohách. Je založená na schopnosti zostrojiť rez mnohostenom a určiť typ rezu.

Existujú tri hlavné spôsoby konštrukcie sekcií mnohostenov:

Axiomatická metóda:

Metóda sledovania.

Kombinovaná metóda.

Súradnicová metóda.

Poznámka že stopová metóda a metóda pomocných rezov sú odrodyAxiomatická metóda konštrukcie rezov.

Môžeme tiež rozlíšiť nasledujúce metódy konštrukcie sekcií mnohostenov:

zostrojenie rezu mnohostena s rovinou prechádzajúcou daným bodom rovnobežnou s danou rovinou;

zostrojenie úseku prechádzajúceho danou čiarou rovnobežnou s inou danou čiarou;

zostrojenie rezu prechádzajúceho daným bodom rovnobežným s dvomi danými pretínajúcimi sa priamkami;

zostrojenie rezu mnohostena s rovinou prechadzajucou danou priamkou kolmou na danu rovinu;

zostrojenie rezu mnohostena s rovinou prechádzajúcou daným bodom kolmou na danú priamku.

Hlavné akcie, ktoré tvoria metódy konštrukcie rezov, sú nájdenie priesečníka priamky s rovinou, zostrojenie priesečníka dvoch rovín, zostrojenie priamky rovnobežnej s rovinou, kolmej na rovinu. Na vytvorenie priesečníka dvoch rovín sa zvyčajne nájdu dva jej body a cez ne sa nakreslí priamka. Ak chcete zostrojiť priesečník priamky a roviny, nájdite v rovine priamku, ktorá danú rovinu pretína. Potom sa požadovaný bod získa v priesečníku nájdenej čiary s danou.

Uvažujme samostatne o tých, ktoré sme uviedliMetódy konštrukcie sekcií mnohostenov:

Metóda sledovania.

Metóda sledovania vychádza (zakladá sa na) axiómach stereometrie, podstatou metódy je zostrojiť pomocnú čiaru, ktorá je obrazom priesečníka roviny rezu s rovinou ľubovoľnej plochy obrazca. Najvhodnejšie je zostrojiť obraz priesečníka roviny rezu s rovinou spodnej základne. Tento riadoknazývaná hlavná stopa roviny rezu . Pomocou stopy je ľahké zostaviť obrazy bodov roviny rezu umiestnených na bočných hranách alebo plochách obrázku. Dôsledným spájaním obrázkov týchto bodov získame obraz požadovaného úseku.

Všimnite si to že pri konštrukcii hlavnej stopy roviny rezu sa používa nasledujúce tvrdenie.

Ak body patria do roviny rezu a neležia na rovnakej priamke a ich priemet (stredový alebo rovnobežný) na rovinu zvolenú ako hlavnú, body sú potom body priesečníka zodpovedajúcich čiar, to znamená body a ležia na tej istej čiare (obr. 1, a, b).

Obr.1.a Obr.1.b

Táto priamka je hlavnou stopou roviny rezu. Keďže body ležia na hlavnej stope, na jej zostrojenie stačí nájsť dva body z týchto troch.

Metóda pomocných sekcií.

Tento spôsob konštrukcie úsekov polyhedra je celkom univerzálny. V prípadoch, keď je požadovaná stopa (alebo stopy) roviny rezu mimo výkresu, má táto metóda dokonca určité výhody. Zároveň treba mať na pamäti, že stavby realizované touto metódou sa často ukážu ako „preplnené“. V niektorých prípadoch sa však metóda pomocných sekcií ukazuje ako najracionálnejšia.

Kombinovaná metóda

Podstatou kombinovanej metódy konštrukcie rezov mnohostenov je aplikácia viet o rovnobežnosti priamok a rovín v priestore v kombinácii s axiomatickou metódou.

Súradnicová metóda konštrukcie sekcií.

Podstatou súradnicovej metódy je výpočet súradníc priesečníkov hrán alebo mnohostenu s rovinou rezu, ktorá je určená rovnicou roviny. Rovnica roviny rezu sa vypočíta na základe problémových podmienok.

Poznámka že tento spôsob konštrukcie rezu mnohostena je prijateľný pre počítač, pretože zahŕňa veľké množstvo výpočtov a preto je vhodné tento spôsob realizovať pomocou počítača.

Našou hlavnou úlohou bude zostrojiť rez mnohostenom s rovinou, t.j. pri konštrukcii priesečníka týchto dvoch množín.

Konštrukcia úsekov mnohostenov

Predovšetkým si všimneme, že časť konvexného mnohostenu je konvexný plochý mnohouholník, ktorého vrcholy sú vo všeobecnosti priesečníkmi roviny rezu s okrajmi mnohostenu a strany s jeho okrajmi. tváre.

Príklady konštrukcie sekcií:

Metódy na definovanie sekcie sú veľmi rôznorodé. Najbežnejšou z nich je metóda definovania roviny rezu tromi bodmi, ktoré neležia na rovnakej priamke.

Príklad 1 Pre rovnobežnostenné ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Zostrojte rez prechádzajúci bodmi M, N, L.

Riešenie:

Spojte body M a L ležiace v rovine AA 1 D 1 D.

Hranou A preložíme priamku ML (patriacu rezu). 1 D 1 1 D 1 D. Získajte bod X 1 .

Bod X1 leží na hrane A 1 D 1 , a teda rovina A 1 B 1 C 1 D 1 , spojíme stehom N ležiacim v rovnakej rovine.

X 1 N pretína hranu A 1 B 1 v bode K.

Spojte body K a M ležiace v rovnakej rovine AA 1 B 1 B.

Nájdite priamku priesečníka roviny rezu s rovinou DD 1 C 1 C:

Pretínajme priamku ML (patriacu do rezu) s hranou DD 1 , ležia v rovnakej rovine AA 1 D 1 D, dostaneme bod X 2 .

Hranou D preložíme priamku KN (patriacu rezu). 1 C 1 , ležia v rovnakej rovine A 1 B 1 C 1 D 1 , dostaneme bod X3;

Body X2 a X3 ležia v rovine DD 1 C 1 C. Nakreslite priamku X 2 X 3 , ktorá pretína hranu C 1 C v bode T, a hrana DC v bode P. A spojte body L a P ležiace v rovine ABCD.

Problém sa teda považuje za vyriešený, ak sa nájdu všetky segmenty, pozdĺž ktorých rovina pretína plochy mnohostenu, čo sme urobili. MKNTPL - požadovaná sekcia.

Poznámka. Rovnaký problém konštrukcie rezu možno vyriešiť pomocou vlastnosti rovnobežných rovín.

Z vyššie uvedeného môžete vytvoriť algoritmus (pravidlo) na riešenie problémov tohto typu.

Pravidlá pre konštrukciu sekcií mnohostenov:

1. kresliť priame čiary cez body ležiace v rovnakej rovine;

   Hľadáme priame priesečníky roviny rezu s plochami mnohostenu, a to:

Príklad 2 DL, M

Riešime pomocou axiomatickej metódy:

Nakreslíme pomocnú rovinuDKM, ktorý pretína hrany AB a BC v bodoch E aF(priebeh riešenia na obr. 2.). Zostrojme „stopu“ CM roviny rezu na tejto pomocnej rovine, nájdime priesečník CM a EF– bod P. Bod P, akoL, leží v rovine ABC a je možné nakresliť priamku, pozdĺž ktorej rovina rezu pretína rovinu ABC („stopa“ rezu v rovine ABC).

Príklad 3 Na hranách AB a AD pyramídy MABCD definujeme body P a Q, respektíve stredy týchto hrán, a na hrane MC definujeme bod R. Zostrojme rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou cez body P, Q a R.

Riešenie vykonáme kombinovanou metódou:

1). Je zrejmé, že hlavnou stopou roviny PQR je priamka PQ.

2). Nájdite bod K, v ktorom rovina MAC pretína priamku PQ. Body K a R patria do roviny PQR aj do roviny MAC. Preto nakreslením priamky KR dostaneme priesečník týchto rovín.

3). Nájdeme bod N=AC BD, nakreslíme priamku MN a nájdeme bod F=KR MN.

4). Bod F je spoločným bodom rovín PQR a MDB, to znamená, že tieto roviny sa pretínajú pozdĺž priamky prechádzajúcej bodom F. Zároveň, keďže PQ je stredová čiara trojuholníka ABD, potom PQ je rovnobežná s BD, to znamená, že priamka PQ je rovnobežná s rovinou MDB. Potom rovina PQR prechádzajúca priamkou PQ pretína rovinu MDB pozdĺž priamky rovnobežnej s priamkou PQ, teda rovnobežnej a priamej BD. Preto v rovine MDB cez bod F nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou BD.

5). Ďalšie konštrukcie sú zrejmé z obrázku. V dôsledku toho získame polygón PQD"RB" - požadovaný úsek

Zoberme si prierezy hranola pre jednoduchosť, teda pohodlie logického myslenia, uvažujme časti kocky (obr. 3.a):

Ryža. 3.a

Rezy hranola s rovinami rovnobežnými s bočnými okrajmi sú rovnobežníky. Najmä diagonálne rezy sú rovnobežníky (obr. 4).

Def. Diagonálny rez Hranol je rezaný rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Mnohouholník, ktorý je výsledkom diagonálneho rezu hranola, je rovnobežník. Otázka o počte diagonálnych sekciín-uhlový hranol je náročnejší ako otázka počtu uhlopriečok. Bude toľko sekcií, koľko je uhlopriečok na základni. Vieme, že konvexný hranol má na svojich základniach konvexné mnohouholníky a konvexný hranoln-gon uhlopriečok. A tak môžeme povedať, že uhlopriečok je o polovicu menej ako uhlopriečok.

Poznámka: Pri konštrukcii rezov rovnobežnostena na obrázku je potrebné vziať do úvahy skutočnosť, že ak rovina rezu pretína dve protiľahlé plochy pozdĺž niektorých segmentov, potom sú tieto segmenty rovnobežné „vlastnosťou rovnobežnostena, t.j. Protiľahlé strany kvádra sú rovnobežné a rovnaké."

Dáme odpovede na často kladené otázky:

Aké mnohouholníky sa získajú, keď je kocka prerezaná rovinou?

"trojuholník, štvoruholník, päťuholník, šesťuholník."

Dá sa kocka rozrezať lietadlom na sedemuholník? A čo osemuholník?

"nemôžu."

3) Vzniká otázka: aký je najväčší počet strán mnohouholníka, ktorý sa získa rezom mnohostenu rovinou?

Najväčší počet strán mnohouholníka získaný rezaním mnohostenu rovinou sa rovná počtu plôch mnohostenu .

Príklad 3 Zostrojte prierez hranola A 1 B 1 C 1 D 1 ABCD rovinou prechádzajúcou tromi bodmi M, N, K.

Uvažujme prípad umiestnenia bodov M, N, K na povrchu hranola (obr. 5).

Zvážte prípad: V tomto prípade je zrejmé, že M1 = B1.

Konštrukcia:

Príklad 4. Zostrojte časť rovnobežnostenu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P (body sú naznačené na výkrese (obr. 6)).

Riešenie:

Ryža. 6

Body N a P ležia v rovine rezu a v rovine spodnej základne rovnobežnostena. Zostrojme priamku prechádzajúcu týmito bodmi. Táto priamka je stopou roviny rezu na rovinu základne rovnobežnostena.

Pokračujme v priamke, na ktorej strane AB leží rovnobežnosten. Priamky AB a NP sa pretínajú v niektorom bode S. Tento bod patrí do roviny rezu.

Keďže bod M tiež patrí do roviny rezu a pretína priamku AA 1 v určitom bode X.

Body X a N ležia v rovnakej rovine plochy AA 1 D 1 D, spojte ich a získajte priamku XN.

Pretože roviny plôch kvádra sú rovnobežné, potom bodom M môžeme nakresliť priamku k ploche A 1 B 1 C 1 D 1 , rovnobežná s čiarou NP. Táto čiara bude pretínať stranu B 1 S 1 v bode Y.

Podobne nakreslíme priamku YZ rovnobežnú s priamkou XN. Spojíme Z s P a získame požadovanú sekciu - MYZPNX.

Rezy pyramídy rovinami prechádzajúcimi jej vrcholom sú trojuholníky. Najmä trojuholníky sú diagonálne rezy. Ide o rezy rovinami prechádzajúcimi cez dva nesusediace bočné okraje pyramídy.

Príklad 4. Zostrojte prierez pyramídy ABCDrovina prechádzajúca bodmi K,L, M.

Riešenie:

1. Nakreslíme ďalšiu pomocnú rovinuDCKa postavte priesečník BLADK – bod E. Tento bod patrí do oboch pomocných rovín (obr. 7, b);

   Nájdite priesečník segmentovL.M.a EC (tieto segmenty ležia v rovineBLC, Obr. 7, c) – bodF. BodkaFleží v rovine rezu a v rovineDCK;

   Urobme si prímKFa nájdite priesečník tejto priamky sDC– bodN(bodkaNpatrí do sekcie). ŠtvoruholníkKLNM– požadovaný úsek.

Vyriešme tento istý príklad inak .

Predpokladajme, že v bodoch K,L, a M konštruovaný úsekKLNM(obr. 7). Označme podľaFpriesečník uhlopriečok štvoruholníkaKLNM. Urobme si prímDFa označujú podľaF 1 jeho priesečník s hranou ABC. BodkaF 1 sa zhoduje s priesečníkom priamych čiar AM a SC (F 1 súčasne patrí do rovin AMDADSK). BodkaF 1 ľahko stavať. Ďalej postavíme bodFako priesečníkDF 1 AL.M.. Ďalej nájdeme pointuN.

Uvažovaná technika je tzvmetóda interného dizajnu . (V našom prípade hovoríme o centrálnom dizajne. ŠtvoruholníkKMSA je projekcia štvoruholníkaKMNLz boduD. V tomto prípade je to priesečník uhlopriečokKMNL– bodF– ide do priesečníka uhlopriečok štvoruholníkaKMSA - bodF 1 .

Úseková plocha mnohostenu.

Problém výpočtu plochy prierezu mnohostenu sa zvyčajne rieši v niekoľkých etapách. Ak úloha uvádza, že bol skonštruovaný rez (alebo bola nakreslená rovina rezu atď.), potom sa v prvej fáze riešenia určí typ obrazca získaného v reze.

Toto je potrebné urobiť, aby ste vybrali vhodný vzorec na výpočet plochy prierezu. Po objasnení typu obrázku získaného v sekcii a výbere vzorca na výpočet plochy tohto obrázku prejdeme priamo k výpočtovej práci.

V niektorých prípadoch môže byť jednoduchšie, ak bez toho, aby ste zistili typ obrázku získaného v sekcii, prejdete priamo k výpočtu jeho plochy pomocou vzorca, ktorý vyplýva z vety.

Veta o oblasti ortogonálnej projekcie mnohouholníka: Plocha ortogonálneho priemetu mnohouholníka na rovinu sa rovná súčinu jeho plochy a kosínusu uhla medzi rovinou mnohouholníka a projekčnou rovinou: .

Správny vzorec na výpočet prierezovej plochy je: kde je plocha ortogonálneho priemetu obrazca získaného v reze, a to je uhol medzi rovinou rezu a rovinou, na ktorú je obrazec premietaný. Pri tomto riešení je potrebné zostrojiť ortogonálny priemet obrazca získaného v reze a vypočítať

Ak sa v probléme uvádza, že je potrebné skonštruovať rez a musí sa nájsť plocha výsledného rezu, potom by sa mal v prvej fáze oprávnene postaviť daný rez a potom, prirodzene, určiť typ obrazca získaného v oddiel atď.

Všimnime si nasledujúcu skutočnosť: keďže sú zostrojené úseky konvexných mnohostenov, aj úsekový mnohouholník bude konvexný, takže jeho obsah možno zistiť rozdelením na trojuholníky, to znamená, že plocha rezu sa rovná súčtu plôch trojuholníky, z ktorých sa skladá.

Úloha 1.

– pravidelný trojuholníkový ihlan so stranou podstavy a výškou rovnajúcou sa Zostrojte rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou bodmi, kde je stred strany a nájdite jej plochu (obr. 8).

Riešenie.

Prierez pyramídy je trojuholník. Poďme nájsť jeho oblasť.

Keďže základňa pyramídy je rovnostranný trojuholník a bod je stredom strany, je to výška a potom .

Oblasť trojuholníka možno nájsť:

Úloha 2.

Bočný okraj pravidelného hranola sa rovná strane základne. Zostrojte rezy hranola s rovinami prechádzajúcich bodomA, kolmo na priamku Ak nájdeme plochu výsledného prierezu hranola.

Riešenie.

Zostavme daný úsek. Urobme to z čisto geometrických úvah, napríklad takto.

V rovine prechádzajúcej danou priamkou a daným bodom narysujeme priamku kolmú na priamku cez tento bod (obr. 9). Na tento účel využime skutočnosť, že v trojuholníku to znamená, že jeho medián je zároveň výškou tohto trojuholníka. Takže je to rovno.

Cez bod nakreslíme ďalšiu priamku kolmú na priamku. Nakreslíme ho napríklad v rovine prechádzajúcej priamkou. Je jasné, že táto čiara je priamka

Takže sú skonštruované dve pretínajúce sa čiary, kolmé na čiaru. Tieto čiary definujú rovinu prechádzajúcu bodom kolmým na čiaru, to znamená, že je určená rovina rezu.

Zostrojme rez hranolom s touto rovinou. Všimnite si, že keďže je čiara rovnobežná s rovinou. Potom rovina prechádzajúca priamkou pretína rovinu pozdĺž priamky rovnobežnej s priamkou, teda priamkou. Vedieme bodom priamku a výsledný bod spojíme bodkou.

Štvoruholník daný rez. Poďme určiť jeho oblasť.

Je jasné, že štvoruholník je obdĺžnik, teda jeho plocha je

ryža. 9

Viete, ako sa nazýva rez mnohostenom rovinou? Ak stále pochybujete o správnosti svojej odpovede na túto otázku, môžete sa jednoducho overiť. Odporúčame vám vykonať krátky test nižšie.

Otázka. Aké je číslo obrázku, ktorý znázorňuje rez rovnobežnostena rovinou?

Správna odpoveď je teda na obrázku 3.

Ak odpoviete správne, potvrdzuje to, že rozumiete tomu, čo máte do činenia. Ale, bohužiaľ, ani správna odpoveď na testovaciu otázku vám nezaručuje najvyššie známky v lekciách na tému „Sekcie mnohostenov“. Koniec koncov, najťažšie nie je rozpoznať rezy v hotových výkresoch, aj keď je to tiež veľmi dôležité, ale ich konštrukcia.

Na začiatok sformulujme definíciu úseku mnohostenu. Úsek mnohostena je teda mnohouholník, ktorého vrcholy ležia na okrajoch mnohostena a ktorého strany ležia na jeho stranách.

Teraz si precvičme rýchle a presné vytváranie priesečníkov daná priamka s danou rovinou. Ak to chcete urobiť, vyriešte nasledujúci problém.

Zostrojte priesečníky priamky MN s rovinami spodnej a hornej podstavy trojuholníkového hranola ABCA 1 B 1 C 1 za predpokladu, že bod M patrí bočnej hrane CC 1 a bod N patrí hrane BB 1.

Začnime predĺžením priamky MN v oboch smeroch na výkrese (obr. 1). Potom, aby sme získali priesečníky požadované úlohou, predĺžime čiary ležiace v hornej a dolnej základni. A teraz prichádza najťažší moment riešenia problému: ktoré riadky v oboch základniach je potrebné predĺžiť, keďže každá z nich má tri riadky.

Aby bolo možné správne dokončiť posledný krok výstavby, je potrebné určiť, ktoré z priamych základov sú v rovnakej rovine ako priamka MN, ktorá nás zaujíma. V našom prípade ide o rovný CB v spodných a C 1 B 1 v horných základniach. A práve tie predlžujeme, až kým sa nepretnú s priamkou NM (obr. 2).

Výsledné body P a P 1 sú priesečníky priamky MN s rovinami hornej a dolnej podstavy trojuholníkového hranola ABCA 1 B 1 C 1 .

Po analýze prezentovaného problému môžete pristúpiť priamo ku konštrukcii sekcií mnohostenov. Kľúčovým bodom tu bude zdôvodnenie, ktoré vám pomôže dospieť k požadovanému výsledku. V dôsledku toho sa nakoniec pokúsime vytvoriť šablónu, ktorá bude odrážať postupnosť akcií pri riešení problémov tohto typu.

Pozrime sa teda na nasledujúci problém. Zostrojte rez trojuholníkovým hranolom ABCA 1 B 1 C 1 rovinou prechádzajúcou bodmi X, Y, Z prislúchajúcimi hranám AA 1, AC a BB 1.

Riešenie: Nakreslíme nákres a určíme, ktoré dvojice bodov ležia v tej istej rovine.

Dvojice bodov X a Y, X a Z môžu byť spojené, pretože ležia v rovnakej rovine.

Zostrojme ďalší bod, ktorý bude ležať na rovnakej ploche ako bod Z. Aby sme to dosiahli, predĺžime priamky XY a CC 1, pretože ležia v rovine čela AA 1 C 1 C. Výsledný bod nazvime P.

Body P a Z ležia v rovnakej rovine - v rovine čela CC 1 B 1 B. Preto ich môžeme spojiť. Priamka PZ pretína hranu CB v určitom bode, nazvime ju T. Body Y a T ležia v spodnej rovine hranola, spojte ich. Tak vznikol štvoruholník YXZT a toto je želaný úsek.

Poďme si to zhrnúť. Ak chcete vytvoriť časť mnohostenu s rovinou, musíte:

1) nakreslite priame čiary cez dvojice bodov ležiacich v rovnakej rovine.

2) nájdite čiary, pozdĺž ktorých sa pretínajú roviny rezu a plochy mnohostenu. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť priesečníky priamky patriacej do roviny rezu s priamkou ležiacou v jednej z plôch.

Proces konštrukcie úsekov mnohostenov je komplikovaný, pretože je v každom konkrétnom prípade iný. A žiadna teória to nepopisuje od začiatku do konca. V skutočnosti existuje len jeden istý spôsob, ako sa naučiť, ako rýchlo a presne skonštruovať úseky akéhokoľvek mnohostenu – toto je neustála prax. Čím viac sekcií postavíte, tým ľahšie to pre vás bude v budúcnosti.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.