Kompletný vzorec kvadratickej rovnice. Riešenie neúplných kvadratických rovníc

“, teda rovnice prvého stupňa. V tejto lekcii sa na to pozrieme čo sa nazýva kvadratická rovnica a ako to vyriešiť.

Čo je to kvadratická rovnica?

Dôležité!

Stupeň rovnice je určený najvyšším stupňom, v ktorom neznáma stojí.

Ak je maximálny výkon, v ktorom je neznáma „2“, potom máte kvadratickú rovnicu.

Príklady kvadratických rovníc

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Dôležité! Všeobecný tvar kvadratickej rovnice vyzerá takto:

A x 2 + b x + c = 0

„a“, „b“ a „c“ sú dané čísla.

• „a“ je prvý alebo najvyšší koeficient;
• „b“ je druhý koeficient;
• „c“ je voľný termín.

Ak chcete nájsť „a“, „b“ a „c“, musíte porovnať svoju rovnicu so všeobecným tvarom kvadratickej rovnice „ax 2 + bx + c = 0“.

Precvičme si určovanie koeficientov „a“, „b“ a „c“ v kvadratických rovniciach.

5x 2 − 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Rovnica	Odds
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

1

3

= 0

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

x 2 + 0,25 x = 0

• a = 1
• b = 0,25
• c = 0

x 2 − 8 = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Ako riešiť kvadratické rovnice

Na rozdiel od lineárnych rovníc sa na riešenie kvadratických rovníc používa špeciálna metóda. vzorec na hľadanie koreňov.

Pamätajte!

Na vyriešenie kvadratickej rovnice potrebujete:

• priveďte kvadratickú rovnicu do všeobecného tvaru „ax 2 + bx + c = 0“.
• To znamená, že na pravej strane by mala zostať iba „0“;

použite vzorec pre korene:

Pozrime sa na príklad, ako použiť vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu.

X 2 − 3x − 4 = 0 Rovnica „x 2 − 3x − 4 = 0“ už bola zredukovaná na všeobecný tvar „ax 2 + bx + c = 0“ a nevyžaduje ďalšie zjednodušenia. Aby sme to vyriešili, musíme len podať žiadosť.

vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice

Určme koeficienty „a“, „b“ a „c“ pre túto rovnicu.
Určme koeficienty „a“, „b“ a „c“ pre túto rovnicu.
Určme koeficienty „a“, „b“ a „c“ pre túto rovnicu.
Určme koeficienty „a“, „b“ a „c“ pre túto rovnicu.

x 1;2 =

Môže sa použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.
Vo vzorci „x 1;2 = “ sa radikálny výraz často nahrádza

„b 2 − 4ac“ pre písmeno „D“ a nazýva sa diskriminačný. Pojem diskriminant je podrobnejšie rozobraný v lekcii „Čo je diskriminant“.

Pozrime sa na ďalší príklad kvadratickej rovnice.

x 2 + 9 + x = 7x

X2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz môžete použiť vzorec pre korene.

Xi;2=
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odpoveď: x = 3

Sú chvíle, keď kvadratické rovnice nemajú korene. Táto situácia nastane, keď vzorec obsahuje pod koreňom záporné číslo.

V modernej spoločnosti môže byť schopnosť vykonávať operácie s rovnicami obsahujúcimi druhú mocninu premennej užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaná v praxi vo vedeckom a technickom vývoji. Dôkazom toho môžu byť návrhy námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou takýchto výpočtov sa určujú trajektórie pohybu širokej škály telies vrátane vesmírnych objektov. Príklady s riešením kvadratických rovníc sa využívajú nielen v ekonomických prognózach, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť potrebné na peších výletoch, na športových podujatiach, v obchodoch pri nákupoch a v iných veľmi bežných situáciách.

Rozložme výraz na jednotlivé faktory

Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa premennej, ktorú výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, potom sa takáto rovnica nazýva kvadratická.

Ak hovoríme jazykom vzorcov, potom uvedené výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy uvedené do podoby, keď ľavú stranu výrazu tvoria tri výrazy. Medzi nimi: ax 2 (to znamená premenná na druhú so svojím koeficientom), bx (neznáma bez druhej mocniny s koeficientom) a c (voľná zložka, teda obyčajné číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že takémuto polynómu chýba jeden zo svojich členov, s výnimkou osi 2, nazýva sa neúplná kvadratická rovnica. Najprv by sa mali zvážiť príklady s riešením takýchto problémov, hodnoty premenných, v ktorých sa dajú ľahko nájsť.

Ak výraz vyzerá, že má na pravej strane dva členy, presnejšie ax 2 a bx, najjednoduchší spôsob, ako nájsť x, je dať premennú zo zátvoriek. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x(ax+b). Ďalej je zrejmé, že buď x=0, alebo problém spočíva v nájdení premennej z nasledujúceho výrazu: ax+b=0. Je to dané jednou z vlastností násobenia. Pravidlo hovorí, že súčin dvoch faktorov má za následok 0 iba vtedy, ak je jeden z nich nula.

Príklad

x = 0 alebo 8x - 3 = 0

Výsledkom je, že dostaneme dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohto druhu môžu opísať pohyb telies pod vplyvom gravitácie, ktoré sa začali pohybovať od určitého bodu braného ako počiatok súradníc. Tu má matematický zápis nasledujúci tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Nahradením potrebných hodnôt, prirovnaním pravej strany k 0 a zistením možných neznámych môžete zistiť čas, ktorý uplynie od okamihu, keď sa telo zdvihne do okamihu, keď klesne, ako aj mnohé ďalšie veličiny. Ale o tom si povieme neskôr.

Faktorizácia výrazu

Vyššie popísané pravidlo umožňuje riešiť tieto problémy v zložitejších prípadoch. Pozrime sa na príklady riešenia kvadratických rovníc tohto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Tento kvadratický trinom je úplný. Najprv transformujme výraz a rozložme ho. Sú dve z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.

Príklady s riešením kvadratických rovníc v 9. ročníku umožňujú touto metódou nájsť premennú vo výrazoch nielen druhého, ale dokonca aj tretieho a štvrtého rádu.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri rozkladaní pravej strany na faktory s premennou sú tri z nich, teda (x+1), (x-3) a (x+ 3).

V dôsledku toho je zrejmé, že táto rovnica má tri korene: -3; -1; 3.

Druhá odmocnina

Ďalším prípadom neúplnej rovnice druhého rádu je výraz reprezentovaný v reči písmen tak, že pravá strana je zostrojená zo zložiek ax 2 a c. Tu, aby sa získala hodnota premennej, sa voľný člen prenesie na pravú stranu a potom sa z oboch strán rovnosti extrahuje druhá odmocnina. Treba poznamenať, že v tomto prípade sú zvyčajne dva korene rovnice. Výnimkou môžu byť len rovnosti, ktoré vôbec neobsahujú člen s, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade neexistujú žiadne riešenia, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Mali by sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.

V tomto prípade budú koreňmi rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet plochy pozemku

Potreba tohto druhu výpočtov sa objavila v staroveku, pretože vývoj matematiky v týchto vzdialených časoch bol do značnej miery určený potrebou určiť s najväčšou presnosťou plochy a obvody pozemkov.

Mali by sme tiež zvážiť príklady riešenia kvadratických rovníc založených na problémoch tohto druhu.

Povedzme teda, že ide o obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Dĺžku, šírku a obvod pozemku by ste mali zistiť, ak viete, že jeho plocha je 612 m2.

Ak chcete začať, najprv vytvorte potrebnú rovnicu. Označme x šírku oblasti, potom jej dĺžka bude (x+16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom x(x+16), ktorý je podľa podmienok našej úlohy 612. To znamená, že x(x+16) = 612.

Riešenie úplných kvadratických rovníc a tento výraz je presne taký, sa nedá urobiť rovnakým spôsobom. prečo? Hoci ľavá strana stále obsahuje dva faktory, ich súčin sa vôbec nerovná 0, preto sa tu používajú rôzne metódy.

Diskriminačný

Najprv urobíme potrebné transformácie, potom bude vzhľad tohto výrazu vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že sme výraz dostali vo forme zodpovedajúcej predtým špecifikovanej norme, kde a = 1, b = 16, c = -612.

Toto by mohol byť príklad riešenia kvadratických rovníc pomocou diskriminantu. Tu sa vykonávajú potrebné výpočty podľa schémy: D = b 2 - 4ac. Táto pomocná veličina nielenže umožňuje nájsť požadované veličiny v rovnici druhého rádu, ale určuje aj počet možných možností. Ak D>0, sú dve; pre D=0 je jeden koreň. V prípade D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorci

V našom prípade je diskriminant rovný: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpoveď. Ak poznáte k, riešenie kvadratických rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. Umožňuje vám vypočítať korene.

To znamená, že v prezentovanom prípade: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnosť v tejto dileme nemôže byť riešením, pretože rozmery pozemku nie je možné merať v záporných veličinách, čo znamená, že x (čiže šírka pozemku) je 18 m, odtiaľ vypočítame dĺžku: 18 +16=34 a obvod 2(34+18)=104(m2).

Príklady a úlohy

Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenia niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Presuňme všetko na ľavú stranu rovnosti, vykonajte transformáciu, to znamená, že dostaneme typ rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandardná, a prirovnáme ju k nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sčítaním podobných určíme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naša rovnica bude mať dva korene. Vypočítajme ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich sa bude rovnať 4/3 a druhý 1.

2) Teraz poďme riešiť záhady iného druhu.

Poďme zistiť, či sú tu nejaké korene x 2 - 4x + 5 = 1? Aby sme získali komplexnú odpoveď, zredukujme polynóm na zodpovedajúcu zvyčajnú formu a vypočítajme diskriminant. Vo vyššie uvedenom príklade nie je potrebné riešiť kvadratickú rovnicu, pretože to vôbec nie je podstata problému. V tomto prípade D = 16 - 20 = -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Je vhodné riešiť kvadratické rovnice pomocou vyššie uvedených vzorcov a diskriminantu, keď sa druhá odmocnina berie z jeho hodnoty. Ale nie vždy sa to stane. V tomto prípade však existuje veľa spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety. Je pomenovaná po tom, kto žil v 16. storočí vo Francúzsku a vďaka svojmu matematickému talentu a konexiám na dvore urobil skvelú kariéru. Jeho portrét si môžete pozrieť v článku.

Vzor, ktorý si slávny Francúz všimol, bol nasledovný. Dokázal, že korene rovnice sa numericky sčítavajú na -p=b/a a ich súčin zodpovedá q=c/a.

Teraz sa pozrime na konkrétne úlohy.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pre jednoduchosť transformujme výraz:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Použime Vietovu vetu, to nám dá nasledovné: súčet koreňov je -7 a ich súčin je -18. Odtiaľto dostaneme, že korene rovnice sú čísla -9 a 2. Po kontrole sa presvedčíme, že tieto hodnoty premenných skutočne zapadajú do výrazu.

Parabolový graf a rovnica

Pojmy kvadratická funkcia a kvadratické rovnice spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené skôr. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky trochu podrobnejšie. Každá rovnica opísaného typu môže byť znázornená vizuálne. Takýto vzťah, nakreslený ako graf, sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú znázornené na obrázku nižšie.

Každá parabola má vrchol, teda bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a>0, idú vysoko do nekonečna a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne reprezentácie funkcií pomáhajú riešiť akékoľvek rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica x v bodoch, kde sa čiara grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu sa dajú nájsť pomocou práve daného vzorca x 0 = -b/2a. A dosadením výslednej hodnoty do pôvodnej rovnice funkcie zistíte y 0, teda druhú súradnicu vrcholu paraboly, ktorá patrí k osi y.

Priesečník vetiev paraboly s osou x

Existuje veľa príkladov riešenia kvadratických rovníc, ale existujú aj všeobecné vzorce. Pozrime sa na ne. Je jasné, že priesečník grafu s osou 0x pre a>0 je možný len vtedy, ak 0 nadobúda záporné hodnoty. A pre a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly môžete určiť aj korene. Platí to aj naopak. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálnu reprezentáciu kvadratickej funkcie, môžete prirovnať pravú stranu výrazu k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu. A ak poznáme priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie zostaviť graf.

Z histórie

Pomocou rovníc obsahujúcich druhú mocninu premennej za starých čias nielen matematicky počítali a určovali plochy geometrických útvarov. Starovekí potrebovali takéto výpočty na veľké objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na vytváranie astrologických predpovedí.

Ako naznačujú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí riešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred naším letopočtom. Samozrejme, ich výpočty boli radikálne odlišné od tých, ktoré sú v súčasnosti akceptované a ukázali sa ako oveľa primitívnejšie. Mezopotámski matematici napríklad netušili o existencii záporných čísel. Nepoznali ani ďalšie jemnosti, ktoré pozná každý moderný školák.

Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu začal mudrc z Indie Baudhayama riešiť kvadratické rovnice. Stalo sa to asi osem storočí pred Kristovým obdobím. Je pravda, že rovnice druhého rádu, metódy riešenia, ktoré dal, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa o podobné otázky za starých čias zaujímali aj čínski matematici. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až začiatkom 13. storočia, no neskôr ich vo svojich prácach začali používať takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnohí ďalší.

Napríklad pre trojčlenku \(3x^2+2x-7\) bude diskriminant rovný \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). A pre trojčlenku \(x^2-5x+11\) sa bude rovnať \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Diskriminant sa označuje písmenom \(D\) a často sa používa pri riešení. Tiež podľa hodnoty diskriminantu môžete pochopiť, ako približne vyzerá graf (pozri nižšie).

Diskriminant a korene kvadratickej rovnice

Diskriminačná hodnota ukazuje počet kvadratických rovníc:
- ak je \(D\) kladné, rovnica bude mať dva korene;
- ak sa \(D\) rovná nule – existuje len jeden koreň;
- ak je \(D\) záporné, neexistujú žiadne korene.

To sa netreba učiť, nie je ťažké dospieť k takémuto záveru, stačí vedieť, že z diskriminantu (teda \(\sqrt(D)\) je zahrnuté vo vzorci na výpočet koreňov kvadratickej rovnica: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Pozrime sa na každý prípad podrobnejšie.

Ak je diskriminant pozitívny

V tomto prípade je jeho koreň nejaké kladné číslo, čo znamená, že \(x_(1)\) a \(x_(2)\) budú mať rôzny význam, pretože v prvom vzorci \(\sqrt(D)\ ) sa pridáva a v druhom sa odčítava. A máme dva rôzne korene.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(x^2+2x-3=0\)
Riešenie :

Odpoveď : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ak je diskriminant nulový

Koľko koreňov bude, ak bude diskriminant nulový? Uvažujme.

Koreňové vzorce vyzerajú takto: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) a \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . A ak je diskriminant nulový, potom jeho koreň je tiež nula. Potom sa ukáže:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

To znamená, že hodnoty koreňov rovnice sa budú zhodovať, pretože pridanie alebo odčítanie nuly nič nezmení.

Príklad : Nájdite korene rovnice \(x^2-4x+4=0\)
Riešenie :

\(x^2-4x+4=0\)		Vypíšeme koeficienty:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Diskriminant vypočítame pomocou vzorca \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Hľadanie koreňov rovnice
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Dostali sme dva rovnaké korene, takže nemá zmysel ich písať oddelene – píšeme ich ako jeden.

Odpoveď : \(x=2\)

Vzorce pre korene kvadratickej rovnice. Zvažujú sa prípady skutočných, viacnásobných a zložitých koreňov. Rozdelenie kvadratického trinomu. Geometrická interpretácia. Príklady určovania koreňov a faktoringu.

Základné vzorce

Zvážte kvadratickú rovnicu:
(1) .
Korene kvadratickej rovnice(1) sa určujú podľa vzorcov:
; .
Tieto vzorce je možné kombinovať takto:
.
Keď sú známe korene kvadratickej rovnice, potom môže byť polynóm druhého stupňa reprezentovaný ako súčin faktorov (faktorovaný):
.

Ďalej predpokladáme, že ide o reálne čísla.
Uvažujme diskriminant kvadratickej rovnice:
.
Ak je diskriminant kladný, potom kvadratická rovnica (1) má dva rôzne reálne korene:
; .
Potom má faktorizácia kvadratického trinomu tvar:
.
Ak je diskriminant rovný nule, potom kvadratická rovnica (1) má dva viacnásobné (rovnaké) skutočné korene:
.
Faktorizácia:
.
Ak je diskriminant záporný, potom kvadratická rovnica (1) má dva komplexne konjugované korene:
;
.
Tu je pomyselná jednotka, ;
a sú skutočnými a imaginárnymi časťami koreňov:
; .
Potom

.

Grafická interpretácia

Ak vykreslíte funkciu
,
čo je parabola, potom priesečníky grafu s osou budú koreňmi rovnice
.
V bode , graf pretína os x (os) v dvoch bodoch.
Keď sa graf dotkne osi x v jednom bode.
Keď , graf nepretína os x.

Nižšie sú uvedené príklady takýchto grafov.

Užitočné vzorce súvisiace s kvadratickou rovnicou

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Vykonávame transformácie a aplikujeme vzorce (f.1) a (f.3):




,
Kde
; .

Takže sme dostali vzorec pre polynóm druhého stupňa v tvare:
.
To ukazuje, že rovnica

vykonaná o
A .
To je a sú koreňmi kvadratickej rovnice
.

Príklady určenia koreňov kvadratickej rovnice

Príklad 1

(1.1) .

Riešenie

.
V porovnaní s našou rovnicou (1.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminačné:
.
Keďže diskriminant je kladný, rovnica má dva skutočné korene:
;
;
.

Odtiaľ dostaneme faktorizáciu kvadratického trinomu:

.

Graf funkcie y = 2 x 2 + 7 x + 3 pretína os x v dvoch bodoch.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Pretína os x (os) v dvoch bodoch:
A .
Tieto body sú koreňmi pôvodnej rovnice (1.1).

Odpoveď

;
;
.

Príklad 2

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(2.1) .

Riešenie

Napíšme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare:
.
V porovnaní s pôvodnou rovnicou (2.1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminačné:
.
Keďže diskriminant je nula, rovnica má dva viacnásobné (rovnaké) korene:
;
.

Potom má faktorizácia trojčlenky tvar:
.

Graf funkcie y = x 2 - 4 x + 4 sa v jednom bode dotýka osi x.

Nakreslíme funkciu
.
Graf tejto funkcie je parabola. Dotýka sa osi x (osi) v jednom bode:
.
Tento bod je koreňom pôvodnej rovnice (2.1). Pretože tento koreň sa rozkladá dvakrát:
,
potom sa takýto koreň zvyčajne nazýva násobok. To znamená, že veria, že existujú dva rovnaké korene:
.

Odpoveď

;
.

Príklad 3

Nájdite korene kvadratickej rovnice:
(3.1) .

Riešenie

Napíšme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare:
(1) .
Prepíšme pôvodnú rovnicu (3.1):
.
V porovnaní s (1) nájdeme hodnoty koeficientov:
.
Nájdeme diskriminačné:
.
Diskriminant je negatívny, .

Preto neexistujú žiadne skutočné korene.
;
;
.

Môžete nájsť zložité korene:


.

Potom

Nakreslíme funkciu
.
Graf funkcie nepretína os x. Neexistujú žiadne skutočné korene.

Odpoveď

Graf tejto funkcie je parabola. Nepretína os x (os). Preto neexistujú žiadne skutočné korene.
;
;
.

Neexistujú žiadne skutočné korene. Komplexné korene:

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Diskriminant vám umožňuje vyriešiť akúkoľvek kvadratickú rovnicu pomocou všeobecného vzorca, ktorý má nasledujúci tvar:

Diskriminačný vzorec závisí od stupňa polynómu. Vyššie uvedený vzorec je vhodný na riešenie kvadratických rovníc nasledujúceho tvaru:

Diskriminant má nasledujúce vlastnosti, ktoré potrebujete vedieť:

* "D" je 0, ak má polynóm viacero koreňov (rovnaké korene);

* "D" je symetrický polynóm vzhľadom na korene polynómu, a preto je vo svojich koeficientoch polynóm; navyše koeficienty tohto polynómu sú celé čísla bez ohľadu na rozšírenie, v ktorom sú korene.

Povedzme, že dostaneme kvadratickú rovnicu nasledujúceho tvaru:

1 rovnica

Podľa vzorca máme:

Od \ má rovnica 2 korene. Poďme si ich definovať:

Kde môžem vyriešiť rovnicu pomocou diskriminačného online riešiteľa?