Pokyny

strany a uhly sú považované za základné prvky A. Trojuholník je úplne definovaný ktorýmkoľvek z nasledujúcich základných prvkov: buď tri strany, alebo jedna strana a dva uhly, alebo dve strany a uhol medzi nimi. Pre existenciu trojuholník dané tromi stranami a, b, c, je potrebné a postačujúce na uspokojenie nerovností nazývaných nerovnosti trojuholník:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Stavať trojuholník na troch stranách a, b, c je potrebné z bodu C úsečky CB = a kružidlom nakresliť kružnicu s polomerom b. Potom rovnakým spôsobom nakreslite kružnicu z bodu B s polomerom rovným strane c. Ich priesečník A je tretím vrcholom požadovaného trojuholník ABC, kde AB=c, CB=a, CA=b - strany trojuholník. Problém má, ak strany a, b, c vyhovujú nerovnostiam trojuholníkšpecifikované v kroku 1.

Plocha S skonštruovaná týmto spôsobom trojuholník ABC so známymi stranami a, b, c sa vypočíta pomocou Heronovho vzorca:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kde a, b, c sú strany trojuholník, p – poloobvod.
p = (a+b+c)/2

Ak je trojuholník rovnostranný, to znamená, že všetky jeho strany sú rovnaké (a=b=c).Oblasť trojuholník vypočítané podľa vzorca:
S=(a^2 v3)/4

Ak je trojuholník pravouhlý, to znamená, že jeden z jeho uhlov sa rovná 90° a strany, ktoré ho tvoria, sú nohy, tretia strana je prepona. V tomto prípade štvorec sa rovná súčinu nôh deleného dvoma.
S = ab/2

Ak chcete nájsť štvorec trojuholník, môžete použiť jeden z mnohých vzorcov. Vyberte vzorec v závislosti od toho, aké údaje sú už známe.

Budete potrebovať

• znalosť vzorcov na nájdenie oblasti trojuholníka

Pokyny

Ak poznáte veľkosť jednej zo strán a hodnotu výšky zníženej na túto stranu z opačného uhla, potom môžete nájsť plochu pomocou nasledujúceho: S = a*h/2, kde S je plocha trojuholníka a je jedna zo strán trojuholníka a h - výška na stranu a.

Existuje známa metóda na určenie plochy trojuholníka, ak sú známe jeho tri strany. Je to Heronov vzorec. Pre zjednodušenie jeho zaznamenávania sa zavádza medzihodnota - semi-obvod: p = (a+b+c)/2, kde a, b, c - . Potom je Heronov vzorec nasledujúci: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ umocnenie.

Predpokladajme, že poznáte jednu zo strán trojuholníka a tri uhly. Potom je ľahké nájsť oblasť trojuholníka: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kde β je uhol oproti strane a a α a γ sú uhly susediace so stranou.

Video k téme

Vezmite prosím na vedomie

Najvšeobecnejší vzorec, ktorý je vhodný pre všetky prípady, je Heronov vzorec.

Zdroje:

Tip 3: Ako nájsť oblasť trojuholníka na základe troch strán

Nájdenie oblasti trojuholníka je jedným z najčastejších problémov v školskej planimetrii. Na určenie plochy akéhokoľvek trojuholníka stačí poznať tri strany trojuholníka. V špeciálnych prípadoch rovnostranných trojuholníkov stačí poznať dĺžky dvoch, respektíve jednej strany.

Budete potrebovať

• dĺžky strán trojuholníkov, Heronov vzorec, kosínusová veta

Pokyny

Heronov vzorec pre oblasť trojuholníka je nasledujúci: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Ak napíšeme polobvod p, dostaneme: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Vzorec pre oblasť trojuholníka môžete odvodiť z úvah, napríklad použitím kosínusovej vety.

Podľa kosínusovej vety AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Pomocou zavedených zápisov ich možno zapísať aj v tvare: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Preto cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Plochu trojuholníka nájdeme aj podľa vzorca S = a*c*sin(ABC)/2 pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi. Sínus uhla ABC možno pomocou neho vyjadriť pomocou základnej goniometrickej identity: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Dosadením sínusu do vzorca pre oblasť a jeho vypísaním , môžete dospieť k vzorcu pre oblasť trojuholníka ABC.

Video k téme

Na vykonanie opravných prác môže byť potrebné meranie štvorec steny To uľahčuje výpočet potrebného množstva farby alebo tapety. Na meranie je najlepšie použiť zvinovací meter alebo krajčírsky meter. Merania by sa mali vykonať po steny boli vyrovnané.

Budete potrebovať

• - ruleta;
• -rebrík.

Pokyny

Počítať štvorec steny, musíte poznať presnú výšku stropov a tiež zmerať dĺžku pozdĺž podlahy. To sa deje takto: vezmite centimeter a položte ho na základnú dosku. Zvyčajne na celú dĺžku nestačí centimeter, preto ho zaistite v rohu, potom rozviňte na maximálnu dĺžku. V tomto bode si ceruzkou zaznačte, zapíšte si získaný výsledok a rovnakým spôsobom vykonajte ďalšie merania, začínajúc od posledného bodu merania.

Štandardné stropy sú 2 metre 80 centimetrov, 3 metre a 3 metre 20 centimetrov, v závislosti od domu. Ak bol dom postavený pred 50-tymi rokmi, potom je s najväčšou pravdepodobnosťou skutočná výška o niečo nižšia, ako je uvedené. Ak počítate štvorec na opravy, potom malá zásoba neublíži - zvážte na základe normy. Ak stále potrebujete poznať skutočnú výšku, vykonajte merania. Princíp je podobný ako pri meraní dĺžky, ale budete potrebovať rebrík.

Vynásobte výsledné ukazovatele - to je štvorec tvoj steny. Pravda, pri maľovaní alebo pri maľovaní treba ubrať štvorec dverné a okenné otvory. Za týmto účelom položte centimeter pozdĺž otvoru. Ak hovoríme o dverách, ktoré budete následne meniť, potom pokračujte s odstránenou zárubňou, pričom berte do úvahy iba štvorec priamo k samotnému otvoru. Plocha okna sa počíta pozdĺž obvodu jeho rámu. Po štvorec vypočítané okno a dvere, odpočítajte výsledok od celkovej výslednej plochy miestnosti.

Upozorňujeme, že meranie dĺžky a šírky miestnosti vykonávajú dvaja ľudia, čo uľahčuje fixáciu centimetra alebo pásky a podľa toho získate presnejší výsledok. Vykonajte rovnaké meranie niekoľkokrát, aby ste sa uistili, že získané čísla sú presné.

Video k téme

Nájsť objem trojuholníka je skutočne netriviálna úloha. Faktom je, že trojuholník je dvojrozmerný obrazec, t.j. leží celý v jednej rovine, čo znamená, že jednoducho nemá objem. Samozrejme, nemôžete nájsť niečo, čo neexistuje. Ale nevzdávajme sa! Môžeme prijať nasledujúci predpoklad: objemom dvojrozmerného útvaru je jeho plocha. Budeme hľadať oblasť trojuholníka.

Budete potrebovať

• list papiera, ceruzka, pravítko, kalkulačka

Pokyny

Nakreslite na kus papiera pomocou pravítka a ceruzky. Pozorným skúmaním trojuholníka sa môžete uistiť, že v skutočnosti nemá trojuholník, pretože je nakreslený v rovine. Označte strany trojuholníka: nech je jedna strana stranou „a“, druhá strana „b“ a tretia strana „c“. Označte vrcholy trojuholníka písmenami "A", "B" a "C".

Odmerajte ľubovoľnú stranu trojuholníka pomocou pravítka a zapíšte výsledok. Potom obnovte kolmicu na meranú stranu z vrcholu oproti nej, takáto kolmica bude výška trojuholníka. V prípade znázornenom na obrázku je kolmica "h" obnovená na stranu "c" z vrcholu "A". Zmerajte výslednú výšku pravítkom a zapíšte si výsledok merania.

Môže byť pre vás ťažké obnoviť presnú kolmicu. V tomto prípade by ste mali použiť iný vzorec. Zmerajte všetky strany trojuholníka pomocou pravítka. Potom vypočítajte polobvod trojuholníka „p“ pridaním výsledných dĺžok strán a vydelením ich súčtu na polovicu. Ak máte k dispozícii hodnotu polobvodu, môžete použiť Heronov vzorec. Aby ste to dosiahli, musíte vziať druhú odmocninu z nasledujúceho: p(p-a)(p-b)(p-c).

Získali ste požadovanú oblasť trojuholníka. Problém nájdenia objemu trojuholníka nebol vyriešený, ale ako bolo uvedené vyššie, objem nie je. V trojrozmernom svete môžete nájsť objem, ktorý je v podstate trojuholníkom. Ak si predstavíme, že náš pôvodný trojuholník sa stal trojrozmernou pyramídou, potom objem takejto pyramídy bude súčinom dĺžky jej základne a výslednej plochy trojuholníka.

Vezmite prosím na vedomie

Čím starostlivejšie budete merať, tým presnejšie budú vaše výpočty.

Zdroje:

• Kalkulačka „Všetko ku všetkému“ - portál pre referenčné hodnoty
• objem trojuholníka v roku 2019

Tri body, ktoré jednoznačne definujú trojuholník v karteziánskom súradnicovom systéme, sú jeho vrcholy. Keď poznáte ich polohu vzhľadom na každú zo súradnicových osí, môžete vypočítať akékoľvek parametre tohto plochého útvaru vrátane tých, ktoré sú obmedzené jeho obvodom. štvorec. Dá sa to urobiť niekoľkými spôsobmi.

Pokyny

Na výpočet plochy použite Heronov vzorec trojuholník. Zahŕňa rozmery troch strán obrázku, takže začnite výpočty s . Dĺžka každej strany sa musí rovnať odmocnine súčtu štvorcov dĺžok jej priemetov na súradnicové osi. Ak označíme súradnice A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) a C(X₃,Y₃,Z₃), dĺžky ich strán môžeme vyjadriť takto: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

Pre zjednodušenie výpočtov zaveďte pomocnú premennú - semi-obvod (P). Zo skutočnosti, že ide o polovicu súčtu dĺžok všetkých strán: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y1-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z3)²) + √((X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²).

Na určenie plochy trojuholníka môžete použiť rôzne vzorce. Zo všetkých metód je najjednoduchšie a najčastejšie používané vynásobenie výšky dĺžkou základne a následné vydelenie výsledku dvomi. Táto metóda však zďaleka nie je jediná. Nižšie si môžete prečítať, ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou rôznych vzorcov.

Samostatne sa pozrieme na spôsoby výpočtu plochy konkrétnych typov trojuholníkov - pravouhlých, rovnoramenných a rovnostranných. Každý vzorec sprevádzame krátkym vysvetlením, ktoré vám pomôže pochopiť jeho podstatu.

Univerzálne metódy na nájdenie oblasti trojuholníka

Vzorce uvedené nižšie používajú špeciálnu notáciu. Rozlúštime každý z nich:

• a, b, c – dĺžky troch strán obrazca, ktoré uvažujeme;
• r je polomer kruhu, ktorý možno vpísať do nášho trojuholníka;
• R je polomer kružnice, ktorú možno okolo nej opísať;
• α je veľkosť uhla, ktorý zvierajú strany b a c;
• β je veľkosť uhla medzi a a c;
• γ je veľkosť uhla, ktorý zvierajú strany a a b;
• h je výška nášho trojuholníka zníženého z uhla α na stranu a;
• p – polovica súčtu strán a, b a c.

Je logicky jasné, prečo môžete týmto spôsobom nájsť oblasť trojuholníka. Trojuholník sa dá ľahko doplniť do rovnobežníka, v ktorom jedna strana trojuholníka bude pôsobiť ako uhlopriečka. Plocha rovnobežníka sa zistí vynásobením dĺžky jednej z jeho strán hodnotou výšky, ktorá je k nemu nakreslená. Uhlopriečka rozdeľuje tento podmienený rovnobežník na 2 rovnaké trojuholníky. Preto je celkom zrejmé, že plocha nášho pôvodného trojuholníka sa musí rovnať polovici plochy tohto pomocného rovnobežníka.

S = ½ a b sin γ

Podľa tohto vzorca sa plocha trojuholníka zistí vynásobením dĺžok jeho dvoch strán, to znamená a a b, sínusom uhla, ktorý tvoria. Tento vzorec je logicky odvodený od predchádzajúceho. Ak znížime výšku z uhla β na stranu b, potom podľa vlastností pravouhlého trojuholníka, keď vynásobíme dĺžku strany a sínusom uhla γ, dostaneme výšku trojuholníka, teda h .

Oblasť predmetného obrázku sa zistí vynásobením polovice polomeru kruhu, ktorý je možné do neho vpísať, jeho obvodom. Inými slovami, nájdeme súčin polobvodu a polomeru spomínanej kružnice.

S = abc/4R

Podľa tohto vzorca možno hodnotu, ktorú potrebujeme, nájsť vydelením súčinu strán obrázku 4 polomermi kruhu opísaného okolo neho.

Tieto vzorce sú univerzálne, pretože umožňujú určiť plochu akéhokoľvek trojuholníka (scalene, rovnoramenný, rovnostranný, obdĺžnikový). Dá sa to urobiť aj pomocou zložitejších výpočtov, ktorými sa nebudeme podrobne zaoberať.

Oblasti trojuholníkov so špecifickými vlastnosťami

Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka? Zvláštnosťou tohto obrázku je, že jeho dve strany sú súčasne jeho výškami. Ak a a b sú nohy a c sa stane preponou, potom nájdeme oblasť takto:

Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka? Má dve strany s dĺžkou a a jednu stranu s dĺžkou b. V dôsledku toho môže byť jeho plocha určená vydelením 2 súčinu druhej mocniny strany a sínusom uhla γ.

Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka? V ňom sa dĺžka všetkých strán rovná a a veľkosť všetkých uhlov je α. Jeho výška sa rovná polovici súčinu dĺžky strany a a druhej odmocniny z 3. Ak chcete nájsť obsah pravidelného trojuholníka, musíte vynásobiť druhú mocninu strany a druhou odmocninou z 3 a vydeliť 4.

Trojuholník je geometrický útvar, ktorý pozostáva z troch priamok spájajúcich sa v bodoch, ktoré neležia na tej istej priamke. Spojovacie body čiar sú vrcholy trojuholníka, ktoré sú označené latinskými písmenami (napríklad A, B, C). Spojovacie priamky trojuholníka sa nazývajú segmenty, ktoré sa tiež zvyčajne označujú latinskými písmenami. Rozlišujú sa tieto typy trojuholníkov:

• Obdĺžnikový.
• Tupý.
• Akútne uhlové.
• Všestranný.
• Rovnostranný.
• Rovnoramenné.

Všeobecné vzorce na výpočet plochy trojuholníka

Vzorec pre oblasť trojuholníka na základe dĺžky a výšky

S = a*h/2,
kde a je dĺžka strany trojuholníka, ktorého obsah treba nájsť, h je dĺžka výšky nakreslenej k základni.

Heronov vzorec

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kde √ je druhá odmocnina, p je polobvod trojuholníka, a,b,c je dĺžka každej strany trojuholníka. Polobvod trojuholníka možno vypočítať pomocou vzorca p=(a+b+c)/2.

Vzorec pre oblasť trojuholníka na základe uhla a dĺžky segmentu

S = (a*b*sin(α))/2,
kde b,c je dĺžka strán trojuholníka, sin(α) je sínus uhla medzi dvoma stranami.

Vzorec pre oblasť trojuholníka daný polomerom vpísanej kružnice a troch strán

S=p*r,
kde p je polobvod trojuholníka, ktorého obsah treba nájsť, r je polomer kružnice vpísanej do tohto trojuholníka.

Vzorec pre oblasť trojuholníka založený na troch stranách a polomere kruhu, ktorý je okolo neho opísaný

S= (a*b*c)/4*R,
kde a,b,c je dĺžka každej strany trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej trojuholníku.

Vzorec pre oblasť trojuholníka pomocou karteziánskych súradníc bodov

Kartézske súradnice bodov sú súradnice v systéme xOy, kde x je úsečka, y je ordináta. Kartézsky súradnicový systém xOy v rovine sú vzájomne kolmé číselné osi Ox a Oy so spoločným počiatkom v bode O. Ak sú súradnice bodov v tejto rovine uvedené v tvare A(x1, y1), B(x2, y2). ) a C(x3, y3), potom môžete vypočítať plochu trojuholníka pomocou nasledujúceho vzorca, ktorý sa získa z vektorového súčinu dvoch vektorov.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kde || znamená modul.

Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka

Pravouhlý trojuholník je trojuholník s jedným uhlom 90 stupňov. Trojuholník môže mať iba jeden takýto uhol.

Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka na dvoch stranách

S= a*b/2,
kde a,b je dĺžka nôh. Nohy sú strany susediace s pravým uhlom.

Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka na základe prepony a ostrého uhla

S = a*b*sin(α)/ 2,
kde a, b sú ramená trojuholníka a sin(α) je sínus uhla, v ktorom sa priamky a, b pretínajú.

Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka na základe strany a opačného uhla

S = a*b/2*tg(β),
kde a, b sú ramená trojuholníka, tan(β) je dotyčnica uhla, pod ktorým sú ramená a, b spojené.

Ako vypočítať plochu rovnoramenného trojuholníka

Rovnoramenný trojuholník je taký, ktorý má dve rovnaké strany. Tieto strany sa nazývajú strany a druhá strana je základňa. Na výpočet plochy rovnoramenného trojuholníka môžete použiť jeden z nasledujúcich vzorcov.

Základný vzorec na výpočet plochy rovnoramenného trojuholníka

S=h*c/2,
kde c je základňa trojuholníka, h je výška trojuholníka spusteného k základni.

Vzorec rovnoramenného trojuholníka na základe strany a základne

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kde c je základňa trojuholníka, a je veľkosť jednej zo strán rovnoramenného trojuholníka.

Ako nájsť oblasť rovnostranného trojuholníka

Rovnostranný trojuholník je trojuholník, v ktorom sú všetky strany rovnaké. Na výpočet plochy rovnostranného trojuholníka môžete použiť nasledujúci vzorec:
S = (√3*a*a)/4,
kde a je dĺžka strany rovnostranného trojuholníka.

Vyššie uvedené vzorce vám umožnia vypočítať požadovanú plochu trojuholníka. Je dôležité si uvedomiť, že na výpočet plochy trojuholníkov je potrebné zvážiť typ trojuholníka a dostupné údaje, ktoré možno použiť na výpočet.

Koncepcia oblasti

Pojem plochy akéhokoľvek geometrického útvaru, najmä trojuholníka, bude spojený s útvarom, akým je napríklad štvorec. Pre jednotku plochy akéhokoľvek geometrického útvaru vezmeme plochu štvorca, ktorého strana sa rovná jednej. Pre úplnosť si pripomeňme dve základné vlastnosti pre pojem plochy geometrických útvarov.

Vlastnosť 1: Ak sú geometrické útvary rovnaké, potom sú rovnaké aj ich plochy.

Vlastnosť 2: Akákoľvek figúrka sa dá rozdeliť na niekoľko figúrok. Okrem toho sa plocha pôvodnej figúry rovná súčtu plôch všetkých jej základných figúrok.

Pozrime sa na príklad.

Príklad 1

Je zrejmé, že jedna zo strán trojuholníka je uhlopriečkou obdĺžnika, ktorého jedna strana má dĺžku $ 5 $ (pretože sú tam bunky $ 5 $) a druhá je $ 6 $ (keďže bunky sú $ 6 $). Preto sa plocha tohto trojuholníka bude rovnať polovici takého obdĺžnika. Plocha obdĺžnika je

Potom sa plocha trojuholníka rovná

Odpoveď: 15 $.

Ďalej zvážime niekoľko metód na nájdenie oblastí trojuholníkov, konkrétne pomocou výšky a základne, pomocou Heronovho vzorca a plochy rovnostranného trojuholníka.

Ako nájsť oblasť trojuholníka pomocou jeho výšky a základne

Veta 1

Plochu trojuholníka možno nájsť ako polovicu súčinu dĺžky strany a výšky tejto strany.

Matematicky to vyzerá takto

$S=\frac(1)(2)αh$

kde $a$ je dĺžka strany, $h$ je výška k nej nakreslená.

Dôkaz.

Uvažujme trojuholník $ABC$, v ktorom $AC=α$. Na túto stranu je nakreslená výška $BH$, ktorá sa rovná $h$. Postavme to do štvorca $AXYC$ ako na obrázku 2.

Plocha obdĺžnika $AXBH$ je $h\cdot AH$ a plocha obdĺžnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Potom

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Preto sa požadovaná plocha trojuholníka podľa vlastnosti 2 rovná

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Veta bola dokázaná.

Príklad 2

Nájdite plochu trojuholníka na obrázku nižšie, ak má bunka plochu rovnajúcu sa jednej

Základňa tohto trojuholníka sa rovná 9 $ (pretože 9 $ sú štvorce $ 9 $). Výška je tiež 9 $. Potom podľa vety 1 dostaneme

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odpoveď: 40,5 $.

Heronov vzorec

Veta 2

Ak dostaneme tri strany trojuholníka $α$, $β$ a $γ$, potom jeho obsah možno nájsť takto

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tu $ρ$ znamená polobvod tohto trojuholníka.

Dôkaz.

Zvážte nasledujúci obrázok:

Pytagorovou vetou získame z trojuholníka $ABH$

Z trojuholníka $CBH$ podľa Pytagorovej vety máme

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Z týchto dvoch vzťahov získame rovnosť

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Keďže $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potom $α+β+γ=2ρ$, čo znamená

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Podľa vety 1 dostaneme

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trojuholník je najjednoduchší geometrický útvar, ktorý sa skladá z troch strán a troch vrcholov. Trojuholník sa vďaka svojej jednoduchosti používa už od staroveku na rôzne merania a dnes môže byť figúrka užitočná pri riešení praktických a každodenných problémov.

Vlastnosti trojuholníka

Obrázok sa používa na výpočty už od staroveku, napríklad geodeti a astronómovia pracujú s vlastnosťami trojuholníkov na výpočet plôch a vzdialeností. Je ľahké vyjadriť plochu akéhokoľvek n-uholníka cez plochu tohto obrázku a túto vlastnosť používali starovekí vedci na odvodenie vzorcov pre oblasti polygónov. Neustála práca s trojuholníkmi, najmä pravouhlým, sa stala základom pre celé odvetvie matematiky – trigonometriu.

Geometria trojuholníka

Vlastnosti geometrického útvaru sa skúmali už v staroveku: najstaršie informácie o trojuholníku sa našli v egyptských papyroch spred 4000 rokov. Potom bola postava študovaná v starovekom Grécku a najväčší prínos ku geometrii trojuholníka mali Euclid, Pytagoras a Heron. Štúdium trojuholníka nikdy neprestalo a v 18. storočí Leonhard Euler zaviedol koncept ortocentra obrazca a Eulerovho kruhu. Na prelome 19. a 20. storočia, keď sa zdalo, že o trojuholníku je známe úplne všetko, Frank Morley sformuloval vetu o uhlových trisektoroch a Waclaw Sierpinski navrhol fraktálny trojuholník.

Existuje niekoľko typov plochých trojuholníkov, ktoré poznáme zo školských kurzov geometrie:

• akútne - všetky rohy postavy sú akútne;
• tupý - postava má jeden tupý uhol (viac ako 90 stupňov);
• obdĺžnikový - obrázok obsahuje jeden pravý uhol rovný 90 stupňom;
• rovnoramenný - trojuholník s dvoma rovnakými stranami;
• rovnostranný - trojuholník so všetkými rovnakými stranami.
• V reálnom živote existujú všetky druhy trojuholníkov a v niektorých prípadoch možno budeme musieť vypočítať plochu geometrického útvaru.

Oblasť trojuholníka

Plocha je odhad toho, akú veľkú časť roviny obrázok obklopuje. Oblasť trojuholníka možno nájsť šiestimi spôsobmi, pomocou strán, výšky, uhlov, polomeru vpísanej alebo opísanej kružnice, ako aj pomocou Heronovho vzorca alebo výpočtom dvojitého integrálu pozdĺž čiar ohraničujúcich rovinu. Najjednoduchší vzorec na výpočet plochy trojuholníka je:

kde a je strana trojuholníka, h je jeho výška.

V praxi však nie je vždy vhodné nájsť výšku geometrického útvaru. Algoritmus našej kalkulačky vám umožňuje vypočítať plochu s vedomím:

• tri strany;
• dve strany a uhol medzi nimi;
• jedna strana a dva rohy.

Na určenie plochy cez tri strany používame Heronov vzorec:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

kde p je polobvod trojuholníka.

Plocha na dvoch stranách a uhol sa vypočítajú pomocou klasického vzorca:

S = a × b × sin(alfa),

kde alfa je uhol medzi stranami a a b.

Na určenie plochy z hľadiska jednej strany a dvoch uhlov používame vzťah, že:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Pomocou jednoduchého pomeru určíme dĺžku druhej strany, po ktorej vypočítame plochu pomocou vzorca S = a × b × sin(alfa). Tento algoritmus je plne automatizovaný a stačí zadať špecifikované premenné a získať výsledok. Pozrime sa na pár príkladov.

Príklady zo života

Dlažobné dosky

Povedzme, že chcete podlahu vydláždiť trojuholníkovými dlaždicami a na určenie množstva potrebného materiálu potrebujete poznať plochu jednej dlaždice a plochu podlahy. Predpokladajme, že potrebujete spracovať 6 metrov štvorcových povrchu pomocou dlaždice, ktorej rozmery sú a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Je zrejmé, že na výpočet plochy trojuholníka kalkulačka používa Heronov vzorec a dáva výsledok:

Plocha jedného dlaždicového prvku bude teda 0,021 metrov štvorcových a na úpravu podlahy budete potrebovať 6/0,021 = 285 trojuholníkov. Čísla 20, 21 a 29 tvoria pytagorejské trojčísla, ktoré spĺňajú . A je to tak, naša kalkulačka vypočítala aj všetky uhly trojuholníka a uhol gama je presne 90 stupňov.

Školská úloha

V školskom probléme musíte nájsť oblasť trojuholníka s vedomím, že strana a = 5 cm a uhly alfa a beta sú 30 a 50 stupňov. Aby sme tento problém vyriešili manuálne, najprv by sme pomocou pomeru pomeru strán a sínusov opačných uhlov našli hodnotu strany b a potom určili plochu pomocou jednoduchého vzorca S = a × b × sin(alfa). Ušetrime čas, zadajte údaje do formulára kalkulačky a získajte okamžitú odpoveď

Pri používaní kalkulačky je dôležité správne uviesť uhly a strany, inak bude výsledok nesprávny.

Záver

Trojuholník je jedinečná postava, ktorá sa nachádza v reálnom živote aj v abstraktných výpočtoch. Použite našu online kalkulačku na určenie oblasti trojuholníkov akéhokoľvek druhu.